2o Parcial
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An´ alisis Matem´ atico Nombre: 2015A Segundo Parcial 5/6/2015 Tiempo: 115 Minutos Calificaci´ on: Este examen contiene 2 p´ aginas (incluida ´ esta) y 4 problemas. Total of points is 80. No olvide escribir sus respuestas de manera clara y ordenada. Justifique cada argu- mento dado. Puntaje Question Points Score 1 20 2 20 3 20 4 20 Total: 80 1. (20 points) Considere la sucesi´ on: a n = 1 1+ n 2 + 2 2+ n 2 + ··· + n n + n 2 n∈N (a) (5 points) Demuestre que (1 + 2 + ··· + n) · 1 n+n 2 ≤ a n . (b) (5 points) Demuestre que (1 + 2 + ··· + n) · 1 1+n 2 ≥ a n . (c) (5 points) Utilizando resultados vistos en clase encuentre lim n→∞ n(n+1) 1+n 2 . (d) (5 points) Utilizando los incisos anteriores calcule lim n→∞ a n . 2. (20 points) Sea {x n } n∈N una sucesi´ on de n´ umeros reales. Demuestre o de un contrae- jemplo de las siguientes afirmaciones: (a) (10 points) Si lim n→∞ x n =0y {y n } n∈N es acotada, entonces lim n→∞ x n · y n = 0. (b) (10 points) Si lim n→∞ x n = ∞ y {y n } n∈N es acotada, entonces lim n→∞ x n · y n = ∞. Hint: Recuerde el valor de lim n→∞ n. ¿Es acotado el rec´ ıproco de n 2 para cualquier n ∈ N?
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Analisis Matematico Nombre:2015ASegundo Parcial5/6/2015Tiempo: 115 Minutos Calificacion:
Este examen contiene 2 paginas (incluida esta) y 4 problemas.Total of points is 80.
No olvide escribir sus respuestas de manera clara y ordenada. Justifique cada argu-mento dado.
Puntaje
Question Points Score
1 20
2 20
3 20
4 20
Total: 80
1. (20 points) Considere la sucesion:{an =
1
1 + n2+
2
2 + n2+ + n
n + n2
}nN
(a) (5 points) Demuestre que (1 + 2 + + n) 1n+n2
an.(b) (5 points) Demuestre que (1 + 2 + + n) 1
1+n2 an.
(c) (5 points) Utilizando resultados vistos en clase encuentre limn
n(n+1)1+n2
.
(d) (5 points) Utilizando los incisos anteriores calcule limn
an.
2. (20 points) Sea {xn}nN una sucesion de numeros reales. Demuestre o de un contrae-jemplo de las siguientes afirmaciones:
(a) (10 points) Si limn
xn = 0 y {yn}nN es acotada, entonces limn
xn yn = 0.(b) (10 points) Si lim
nxn = y {yn}nN es acotada, entonces lim
nxn yn =.
Hint: Recuerde el valor de limn
n. Es acotado el recproco de n2 para cualquier
n N?
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Analisis Matematico Segundo Parcial - Pag. 2 de 2 5/6/2015
3. (20 points) Suponga que se ha aburrido en el examen y decide jugar con una pelota.Suponga ademas que si la pelota cae de una altura h, rebotara 1
3de esta altura, situandose
a una nueva altura h, despues de caer de nuevo, rebotara 13
de h. Si el proceso se extiendede manera indefinida (i.e. la pelota no se detiene). Calcule la distancia total que recorrela pelota.
4. (20 points) Estudiar la convergencia de las siguientes series:
(a) (4 points)n=1
1 cos2 nn
.
(b) (8 points)n=1
nn n!(3n)!
.
(c) (8 points)n=1
nn2 5nn!
.
