2mapas de karnaught

8/2/2019 2mapas de karnaught

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2.MTODO DE REDUCCINDEMAPAS DE KARNAUGHEn la unidad anterior (lgebra de Boole), se resolvieron problemas quedependiendo del nmero de trminos que tena la funcin cannica, siendo elnmero de compuertas lgicas utilizadas igual al nmero de trminos obtenidosMS UNO; por lo tanto, los circuitos obtenidos son de dos niveles de conmutacincon un tiempo mnimo de retardo, pero que de ninguna manera es el ms sencilloni el ms econmico.El objetivo de esta unidad es estudiar algunos de los mtodos ms utilizados paraminimizarfunciones cannicas y as poder construir un circuito con menornmero de compuertas.Los mtodos utilizados, en esta seccin, para la minimizacindefuncionesbooleanas son: El algebraico, para lo cual se utilizan lospostuladosyteoremasdellgebra de Boole y el mtodo grfico de Karnaugh.

Si lo desea, elija una opcin haciendo clic sobre ella.2.1Generacin de Mapas de Karnaugh de2 y 3 Variables 2.2Procedimiento para Minimizar unaFuncin por Mapas K2.3Mapas de Karnaugh de4 Variables 2.4Mapas de Karnaugh de5 Variables2.5Mapas de Karnaugh de

6 Variables2.6Ejercicios

2.1Generacin deMAPA DE KARNAUGHde2y3variables.Los mapas de Karnaugh es uno de los mtodos ms prcticos. Se puede decirque es el ms poderoso, cuando el nmero de variables de entrada es menor oigual a seis; ms all, ya no es tan prctico. En general, el mapa deKarnaugh seconsidera como la forma grfica de una tabla de verdad o como una extensin deldiagrama de Venn.Antes de explicar como se utiliza el mapadeKarnaugh en la minimizacindefunciones, veremos como se obtiene elmapa. Esto nace de la representacingeomtrica de los nmeros binarios. Unnmero binario de nbits, puederepresentarse por lo que se denomina unpunto en un espacioN. Para entender lo
http://azul2.bnct.ipn.mx/clogicos/metodo%20de%20karnaugh/metodo%20de%20karnaugh.htm#funci%C3%B3nhttp://azul2.bnct.ipn.mx/clogicos/metodo%20de%20karnaugh/metodo%20de%20karnaugh.htm#funci%C3%B3nhttp://azul2.bnct.ipn.mx/clogicos/metodo%20de%20karnaugh/metodo%20de%20karnaugh.htm#4varhttp://azul2.bnct.ipn.mx/clogicos/metodo%20de%20karnaugh/metodo%20de%20karnaugh.htm#4varhttp://azul2.bnct.ipn.mx/clogicos/metodo%20de%20karnaugh/metodo%20de%20karnaugh.htm#5varhttp://azul2.bnct.ipn.mx/clogicos/metodo%20de%20karnaugh/metodo%20de%20karnaugh.htm#5varhttp://azul2.bnct.ipn.mx/clogicos/metodo%20de%20karnaugh/metodo%20de%20karnaugh.htm#6varhttp://azul2.bnct.ipn.mx/clogicos/metodo%20de%20karnaugh/metodo%20de%20karnaugh.htm#6varhttp://azul2.bnct.ipn.mx/clogicos/metodo%20de%20karnaugh/metodo%20de%20karnaugh.htm#ejercicioshttp://azul2.bnct.ipn.mx/clogicos/metodo%20de%20karnaugh/metodo%20de%20karnaugh.htm#ejercicioshttp://azul2.bnct.ipn.mx/clogicos/metodo%20de%20karnaugh/metodo%20de%20karnaugh.htm#ejercicioshttp://azul2.bnct.ipn.mx/clogicos/metodo%20de%20karnaugh/metodo%20de%20karnaugh.htm#ejercicioshttp://azul2.bnct.ipn.mx/clogicos/metodo%20de%20karnaugh/metodo%20de%20karnaugh.htm#6varhttp://azul2.bnct.ipn.mx/clogicos/metodo%20de%20karnaugh/metodo%20de%20karnaugh.htm#5varhttp://azul2.bnct.ipn.mx/clogicos/metodo%20de%20karnaugh/metodo%20de%20karnaugh.htm#4varhttp://azul2.bnct.ipn.mx/clogicos/metodo%20de%20karnaugh/metodo%20de%20karnaugh.htm#funci%C3%B3n


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que se quiere decir con esto, considrese el conjunto de los nmeros binarios deun bit, es decir 0o 1. Este conjunto puede representarse por dos puntos en unespacio1; esto es, por dos puntos unidos por una lnea. Tal representacin sedenomina un cubo1.

De la Figura 2.1, se observa que el cubo1 se obtuvo proyectandoal cubo0 yque el cubo 2 se obtendr proyectandoal cubo1.De la Figura 2.2, se observa que alreflejarse el cubo1 se obtiene uncuadrilterocuyos vrtices representanun nmero binario. Estos nmeros seobtienen al agregar un 0 a la izquierdade los vrtices del cuboreflejado. Delcubo 2 se observa que se obtienen 4vrtices, los cuales corresponden a las

combinaciones de dos variables (2

2

=4),pero si se sigue la trayectoria indicada enla Figura 2.2.b, se podr observar que alpasar de un vrtice al otro, existe un solo

cambio, lo que da lugar a un cdigoespecial, debido que a no sigue la formacindel cdigo binario, como se muestra en la siguiente tabla. Ms adelante ledaremos un nombre a este cdigo.

A B0 00 11 11 0


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Ahora, si a cada vrtice del cubo 2 se le asigna un casillero, se tendr laFigura2.3.De laFigura 2.3.(b), si proyectamos elcubo2, obtendremos el cubo3, el cual se

muestra en la Figura 2.4.

De la Figura 2.4.b, si seguimos latrayectoria marcada por las flechasobtendremos la siguientetabla, en dondede un carcter a otro existe un solocambio; otra caracterstica de la tabla, esel reflejo que existe entre los caracteres1-2 y 5-6de la columna C y el reflejo

entre los caracteres 2-3-4-5 en la columna B. El reflejo que existe siempre es conrespecto al eje central de simetra.

Ahora que tenemos el cubo3, podemosobtener la representacin en la forma de laFigura 2.3.(a), (b) y (c), lo cual se muestraen la Figura 2.5.El levantamiento del cubo3, a partir de laFigura 2.5, se muestra en la Figura 2.6.

Ahora, si asignamos una rea a cadapunto, como se muestra en la Figura 2.7,

se obtendr la representacin que sedenomina mapadel cuboN, que en estecaso fue desarrollado para un cubo 3.

Como se tienen 8 casilleros, stoscorresponden a las combinaciones de tresvariables, la cuales pueden ser A, B y C,


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siendo A la ms significativa y C la menos significativa, por lo que la tablafuncionalpara presentar este mapaes:

DEC

CDIGOBINARIO GRAY

A B C G1G2G3

01234567

00001111

00110011

01010101

00001111

00111100

01100110

La primera tabla corresponde al cdigobinario y la otra corresponde al cdigoespecial que en realidad se le conocecomo cdigo de Gray o cdigo reflejado.Como veremos, ambos cdigos estnimplcitos en el mapa de Karnaugh.Si observamos elmapa de laFigura 2.8.(d),cada casillero

tiene asignado un nmero, el cual corresponde a unnmero del cdigo binario. De la misma figura pero delinciso (e), si seguimos la trayectoria marcada por lasflechas, cada nmero representa a un carcter del cdigoGray.


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En la tablaanterior, se muestran cada uno de los cdigos mencionados.

2.2ProcedimientoparaMINIMIZARunaFUNCINporMAPAS KEn forma definitiva, el mapa que seutilizar para la minimizacindefunciones booleanas con tres variables,ser el que se muestra en la Figura2.9.(d). A continuacin explicaremos laforma como se utilizar en este mapa.Los pasos a seguir sern los mismos

para cualquier mapa, no importa cual sea el nmero de variables.1.De la definicin del problema y de latabla funcional se obtiene la funcincannica.2. Los minitrminoso maxitrminosde la funcin cannica se trasladan almapaK. Se coloca un 1 si esminitrminoy 0 si es maxitrmino.

3.Se realizan los enlaces abarcandoel mayor nmero de trminos bajo lossiguientes criterios:a) El nmero de trminos que se enlazan (agrupan) deben seguir la regla deformacin binaria, es decir, de 1 en1, de 2 en 2, de 4 en4, de 8 en 8, etc.b) Al agrupar los trminos, se debe cuidar la simetra con los ejescentrales ysecundarios.

4. El hecho de que se haya tomado un trmino para un enlace no quiere decir queste mismo no pueda utilizarse para otros enlaces.5. La funcin reducida tendr tantos trminos como enlaces se hayan realizado.6. Para obtener el trmino reducido se realizan dos movimientos sobre el mapa,uno vertical, que barre a las variables ms significativasy otro horizontal, quebarre a las variables menos significativas.


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7. Se aplican los siguientes postulados:A.A' = 0A.A =A

EJEMPLO 1. Disear un circuito lgico combinatorio que detecte, medianteUNOS, los nmerospares para una combinacin de 3 variables de entrada.

SOLUCINa)Diagrama a bloques. El diagrama abloques se presenta en la figura adjunta.b)Tabla funcional: Para propsitos del

problema, se considera a0 como unnmero impar:

DEC A B C Z012345

67

000011

11

001100

11

010101

01

001010

10c)Funcin cannica.Z = 3m (2,4,6)d)Reduccin pormapas deKarnaugh.La figura adjunta muestra los

minitrminosde la funcin deconmutacin y los enlacescorrespondientes.e)Obtencin de lafuncinreducida.


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Del mapa, figura anexa, se observa que existen dos enlaces; por lo tanto lafuncin reducida tendr dos trminos, de acuerdo con el paso5del procedimientode reduccin.Para cada enlace, se realiza el barrido para cada una de las variables. Por orden,

es conveniente iniciar con la variable de mayor peso binario, en este caso A.

Como se muestra en la figuraadjunta , una parte del enlace(1),el elemento6, se encuentra dentrodel barrido y otra, el elemento 2,fuera de l. Esto indica que se tieneA.A', que es igual a 0, por lo queesa variable no participa, seelimina, del trmino reducido.Para mayor claridad, tomemos lasuma de los minitrminos2 y 6:A'BC' + ABC'= (A' +A)BC' = BC'

Como puede observarse, la variableA se eliminadel trmino reducido.La figura adjuntapresenta el barridode B. En este caso, el enlace(1)est contenido dentro del barrido, lo

cual corresponde a B.

B = B, lo quesignifica que esta variable formaparte del trmino reducido.Finalmente, el barrido de la variableC, de menor peso binario, eshorizontal y se muestra en la figurasiguiente. Claramente se observaque el enlace(1) est fuera delbarrido, es decir se encuentra en C',

indicando que dicha variable forma

parte del trmino reducido.

El trmino reducidocorrespondiente al enlace(1) esBC'.Siguiendo el mismo procedimientoy apoyndonos en las 3 figuras


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previas, se encuentra que para el enlace(2), el trmino reducidoesAC'. Lafuncin reducida en este primer ejemplo es:

Z(A, B, C) = BC' + AC'(1) (2)

f) Ellogigrama queda:

EJEMPLO 2.COLECTORAUTOMTICODE PEAJE.Se han introducido colectoresautomticosde peajeen diversascasetas de autopistas para acelerar

el flujo de trfico. Se nos pideconstruir un circuito lgicocombinatorio que sea parte delcolectorautomtico. Este circuitoes para contar la cantidad demonedas que han sido colocadas en el colector. Si se depositan 15 pesos(nicamente monedas de 5 y 10 pesos), entonces se enciende una luz de pasa(colorverde) y se enva una seal al colectorpara recolectar las monedas; deotra manera, la luz de alto (colorrojo) permanecer encendida.

SOLUCINExaminando el planteamiento del problema, se observa que hay dos seales deentrada y unaseal de salida, las que se definen como:C = Nmero de monedas de cinco pesos depositadasD = Nmero de monedas de diez pesos depositadasZ = Comando para la seal luminosa y el control de recoleccinEstas variables tomarn los siguientes valores enteros y lgicos:0#C #3 Nmero de monedas de cinco pesos0#D#1 Nmero de monedas dediez pesosZ =0 No contiene los15 pesos (luz roja)Z=1 Si contiene los 15 pesos (luz verde)Ahora, se puede codificar la informacin como sigue:

C = [c1, c2];[0,0] ceropesos[0,1] cincopesos


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[1,0] diez pesos[1,1] quincepesos

D = [d1] ;[0] ceropesos[1] diezpesos

a)Tabla funcional:DEC c1 c2 d1 Z

0123456

7

0000111

1

0011001

1

0101010

1

0001011

1b)Funcin cannica:Z(c1,c2,d1) = 3m (3,5,6,7)c)Reduciendo pormapas K:

d) Siguiendo el mismo procedimiento del ejemplo anterior para cada uno de losenlaces del mapa K, se obtiene la siguiente funcin reducida:Z(c1,c2,d1) = c1c2 + c2d1 + c1d1 =(1)(2)(3)


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= [c1c2 + c2d1 + c1d1]'' =Z(c1,c2,d1) = [(c1c2)' (c2d1)' (c1d1)']'e)De la funcin reducida, obsrvese que sta se complement2 veces y

despus se aplic uno de los complementos, de tal manera que cada uno de lostrminos puede generarse por medio de una compuerta NO-Y. Por tanto, ellogigramaqueda como:

EJEMPLO 3.Un contador digitalcontiene un registro de 3 bits. El contadorcuenta desde 0 = [000] hasta 7 = [111],se restablece y empieza la cuentanuevamente. Este contador es usado,como se muestra en el diagrama a bloquesadjunto, para generar tres seales decontrol, C1, C2 y C3. Estas seales tomanun valor de 1, de acuerdo con lassiguientes condiciones:C1 = 1 para una cuenta de 0, 1,3, 5 y 7C2= 1 para una cuenta de 0, 3, 5 y 6C3= 1 para una cuenta de 0, 3, 4 y 7Disee un circuito lgico combinacional que genere C1, C2 y C3.

SOLUCIN


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a)Tabla funcional:X3 X2X1 miC1C2C300

001111

00

110011

01

010101

01

234567

11

010101

10

010110

10

011001

Para este caso en particular, no es necesario realizar la tabla funcional, ya que lascondiciones del problema definen claramente para qu valores de entrada lasfunciones de salida tienen un valor de 1; es decir, los minitrminos asociados acada funcin de salida. Sin embargo, por procedimiento, siempre es convenienterealizar la tabla funcional.b)Funciones lgicas de conmutacin de lasvariables de salida:C1(X3,X2,X1) = 3m (0,1,3,5,7)C2(X3,X2,X1) = 3m (0,3,5,6)C3(X3,X2,X1) = 3m (0,3,4,7)

c) La figura adjunta muestra losmapas de Karnaugh para C1, C2 y C3.d)De los mapas K, se obtienen lasfunciones reducidas siguientes:C1=X1 + X3'X2'(1)(2)C2=X3'X2'X1' + X3'X2X1 + X3X2X1' +X3X2'X1(1)(2) (3)(4)C3=X2X1 + X2'X1' = X2rX1(1)(2)De la expresin de C2, se observa que no existen enlacesen el mapa. Por lotanto, no se obtiene una funcin reducida, pero empleando el mtodo algebraico,vemos que existe minimizacinporexclusividad.


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El siguiente desarrollo muestra el procedimiento para la reduccin de C2aexpresiones deexclusividad:C2 = X3'(X2'X1' + X2X1) + X3(X2X1' + X2'X1) = X3'(X2rX1)' + X3(X2rX1) =C2 = [X3r (X2rX1)]' = (X3rX2rX1)'e) El logigrama correspondiente a las funciones reducidasC1, C2 y C3, se muestraen la siguiente figura:

2.3MAPAS de KARNAUGHde4 VARIABLESHasta ahora se ha utilizado el mapa de Karnaugh para minimizar funciones de 3variables. A continuacin se usar el mapa de Karnaugh para4 variables.El mapa Kpara 4variables se obtieneproyectando el mapa de 3

variables. Cuando elnmero de variables espar proyectamos haciaabajo y cuando es imparproyectamos hacia laderecha. La Figura2.10.(a)muestra laproyeccin del cubo 3,


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para generar el cubo4. Obsrvese que al cubo que se proyecta se le agrega un 0a la izquierda y al proyectado un 1 a su izquierda. Dentro de cada celda seindica el valor binario asociado a ella, el cual se obtiene sustituyendo los valores binarios correspondientes a cada variable.

Sustituyendo los valores binarios por su decimal equivalente, se obtiene el mapade Karnaughde4 variables, el cual se usar posteriormente para minimizarfunciones de conmutacin de4variables. Este mapa se muestra en la Figura2.10.(b).

Para obtener el cdigoGraypara 4variables, setraza la grecade Gray enel mapa de la Figura2.10.(b), como se muestraen la Figura 2.10.(c).Obsrvese que se iniciaen la celda0, haciaabajohasta la celda2, ala derechaa la celda6,arribahasta la celda4, a

la derechaa la celda12,hacia abajohasta lacelda14, a la derechaala celda10 y hacia arribahasta la celda 8.


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Siguiendo la grecade Gray de la figura adjunta, se obtiene el cdigo de Gray,como se muestra en la tabla de la Figura 2.10.(d), donde tambin se presenta larelacin entre los cdigosbinarioy de Gray.

miD BINARIO GRAYA B C D G3G2G1 G0

0123456789

101112131415

0000000011111111

0000111100001111

0011001100110011

0101010101010101

0000000011111111

0000111111110000

0011110000111100

0110011001100110

FIGURA 2.10.(d). Tabla de los cdigosBINARIOyGRAY

EJEMPLO 4. Utilizando el mapadeKarnaugh, determinelasrealizacionesmnimasdesumadeproductosde las siguientes funciones:a)F(A, B, C, D) = 3m (0,4,6,10,11,13)b)F(A, B, C, D) = 3m (3,4,6,7,11,12,14,15)c)F(A, B, C, D) = 3m (1,3,6,8,9,11,15) + 3x (2,13)

SOLUCINA continuacin se presentan los mapas K para cada inciso, as como las funcionesmnimas, siguiendo el procedimiento establecido anteriormente.


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De los mapas K, se obtienen lasfunciones mnimas siguientes:

EJEMPLO 5.Se desea disear

un circuito lgico combinatorio dedos salidasy cuatro entradasque efecte sumas en mdulo4. La tabla de suma en mdulo4se muestra en la tabla siguiente.Por ejemplo, (3+3)MD 4 = 2. Enconsecuencia, se anota un 2 enlahilera3, columna3de la tabla(NOTA: no se considera el acarreo), yas sucesivamente. Los nmerosde entrada se deben codificar en

binario, en donde un nmero deentrada est dado por X2X1 y elotro por Y2Y1. La salida tambinse codifica como un nmerobinario Z2Z1. Es decir, Z2Z1 = 00si la suma es 0; 01 si la suma es1; 10 si la suma es 2 y 11 si lasuma es 3.

X0 1 2 3Y

0 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2


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De los mapas anteriores, seobtienen las siguientesfuncionesmnimas, las cuales se reducen arelaciones de EXCLUSIVIDAD.Asimismo, se presenta el

logigrama paraZ2 y Z1.

Z2 = X2'X1'Y2 + X2X1'Y2 + X2'Y2Y1'+ X2Y2'Y1' + X2'X1Y2'Y1 +X2X1Y2Y1 =(1) (2) (3) (4) (5) (6)= X1'(X2'Y2 + X2Y2') + Y1'(X2'Y2 +

X2Y2') + X1Y1(X2'Y2' + X2Y2) == X1'(X2rY2) + Y1'(X2r Y2) +X1X2(X2rY2)' =Z2 = (X1' + Y1')(X2rY2) + X1Y1(X2rY2)' = X1Y1r (X2r Y2)Z1 = X1Y1' + X1'Y1 = X1rY1(1) (2)

2.4MAPAS DE KARNAUGHDE5 VARIABLES


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Recordemos que paraconseguirel mapa de5variables, debeproyectarse el mapa de4variables. El abatimiento

es hacia la derecha yaque el nmero devariables esimpar. Lafiguraadjunta muestra laproyeccindel mapa de4variables.Obsrvese que al mapaque se proyecta se leantepone un 0 y alproyectado un 1.Tambin, se ha asociadoa cadacelda el nmero binariocorrespondiente, el cual se obtuvo asignando elvalor binario a cada variable en dicha celda.

Sustituyendo el nmero binariode cada celda por su equivalentedecimal, se obtiene el mapa deKarnaughpara5 variables quese emplear para minimizarfunciones de conmutacin de 5variables independientes. Lafigura adjunta presenta estemapa.Para generar el cdigo de Graypara 5variables, se traza lagreca de Graysobre el mapa Kpara 5variables y se escribeel

cdigo binario asociado a cadacelda.La figura adjunta muestra lagreca de Graysobre el mapa deKarnaugh de 5 variables.A continuacin se presentanalgunos ejemplos que muestranla aplicacin del mapa para laminimizacin de funciones de


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conmutacin de 5 variables binarias.

EJEMPLO 6. Minimice las siguientes funciones, empleando el mtodo de

Karnaugh:F1= 3m (0,1,3,8,9,11,16-17,19,24,25,29-31)F2= 3m (0-4,6,9,10,15-20,22,23,25,26,31)

SOLUCINLas siguientes figuraspresentan los mapas K para F1y F2:Las funciones reducidas son:F1(A, B, C, D, E) = C'D' + B'C'D+ ABCD + A'BDE + ABD'E(1) (2) (3) (4) (5)F2(A, B, C, D, E) = B'C' + B'E'+ C'D'E + C'DE' + AB'D +BCDE(1) (2) (3) (4) (5) (6)

EJEMPLO 7.Hay 5 personasque actan como jueces en uncompetencia dada. El voto decada uno de ellos se indica conun 1 (pasa) o 0 (fracasa) enuna lnea de seal. Las 5 lneasde seal son las entradas a uncircuito lgico combinacional.Las reglas de la competenciapermiten slo la disensin deun voto. Si la votacin es 2-3 o3-2, la competencia debecontinuar. El circuito lgicodebe tener dos salidas, XY. Si

el voto es 4-1 o 5-0 para pasar, XY=11. Si el voto es 4-1 o 5-0 para fracasar,XY=00; si el voto es 3-2o 2-3 para continuar, XY=10.


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Disee un circuito mnimo desumadeproductos.SOLUCIN

La siguiente tabla agrupa las condiciones del enunciado:

REGLA OPCIN X Y1 0

PARA PASARPARA FRACASARPARA CONTINUAR

503

412

052

143

101

100

En base a la tabla anterior, se construye la siguiente:

TABLA FUNCIONALDEC A B C D E X Y DEC A B C D E X Y

01234567

89101112131415

00000000

00000000

00000000

11111111

00001111

00001111

00110011

00110011

01010101

01010101

00010111

01111111

00000000

00000001

1617181920212223

2425262728293031

11111111

11111111

00000000

11111111

00001111

00001111

00110011

00110011

01010101

01010101

01111111

11111111

00000001

00010111

De la tabla funcional, se obtienen las siguientesfunciones de conmutacincannicas:X(A, B, C, D, E) = 3m (3,5-7,9-15,17-31)Y(A, B, C, D, E) = 3m (15,23,27,19-31)Reduciendo por mapas de Karnaugh: Para mayor claridad, se presenta a X(A, B,C, D, E) en dos mapas:


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El mapa para Y(A, B, C, D, E)es:

De los mapas anteriores se tienen las siguientes funciones reducidas:X( A, B, C, D, E) = DE + BC + AB + AC + AE + AD + CE + CD + BE + BD(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)Y(A, B, C, D, E) = ABCE + ABCD + ACDE + BCDE + ABDE(1) (2) (3) (4) (5)El logigrama se presenta en la siguiente figura:


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2.5MAPAS DE KARNAUGHDE6 VARIABLESSiguiendo el mismo criterio para la obtencin de los mapas anteriores,

proyectando el mapa inmediatamente anterior, se obtiene el mapa Kpara6variables:


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EJEMPLO 8.Minimizar las siguientes funciones por el mtodo de Karnaugh:a)Z =3m (7,14,28,56) + 3x (0-6,8-13,16-27,29,32-55,57-59,61)b)Z = JM (15,30,31,60,62,63) Jx (0-6,8-13,16-27,29,32-55,57-59,61)

SOLUCINObsrveseque las funciones, en ambos incisos, son las mismas, una expresadacomo minitrminosy la otra como maxitrminos. Las siguientes figurasmuestran los mapas para los incisos a) y b), respectivamente:


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De los mapas anteriores, se obtienen las siguientes funciones reducidas:Z(A, B, C, D, E, F) = C' + D' + A'E' + B'F'(1) (2) (3) (4)Z(A, B, C, D, E, F) = (C' + F') (B' + E')(A' + B' + D')(1) (2) (3)

2.6EJERCICIOS1. Minimice las siguientes funciones booleanas, utilizando el mtodo de Karnaugh:a) f(A, B, C, D) = 3m (0,4,6,10,11,13)b)f(w, x, y, z) = JM(3,4,5,7,11,12,14,15)c)f(a, b, c, d) = 3m (3,5,7,11,15)d) f(A, B, C, D, E) = JM(0,1,2,8,9,11,15-19,24,25,29-31)e)f(A, B, C, D, E, F) = 3m (0,2,4,5,7,8,16,18,24,32,36,40,48,56)

2.Un nmero primoes aquel que slo es divisible entre si mismo y la unidad.Disee uncircuito lgico mnimo que detecte todos los nmeros primosentre 0 y31. La salida F(A, B, C, D, E), donde A es la variable de mayor peso binario, ser


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igual a 1, si y slo si los cinco bits de entrada representanunnmero primo.Realice el logigrama utilizando inversoresy compuertas NoY.

3. En uno de los laboratorios de una compaa qumico farmacutica se elaboran14 distintas solucionesa partir de las componentes W, X,Y y Z. Estassustancias pesan 800, 400, 200 y 100 mg, respectivamente. Las solucionesdepositadas en frascos se transportan por medio de una banda hasta una bscula.Si el peso indicado en la bscula es uno de los siguientes: 200, 500, 700, 800,1100, 1400 o 1500 mg, entonces un dispositivo electromecnico F, despus deagregar al compuesto la sustancia Q, sellar el frasco sobre la bscula y loapartar de la banda; de otro modo, el frasco permanecer abierto y la banda lotransportar hacia otra etapa del proceso. Adems, por las condiciones previas delproceso, no es posible que lleguen a la bscula ni frascosvacos, ni frascos quecontengan las siguientes sustancias: WY, YZ, WX o WZ; todas las dems

combinaciones s pueden llegar hasta la bscula.

Determinarlafuncin booleana del circuito combinatorio L que acciona eldispositivo F y minimizarhaciendo uso decondiciones irrelevantes. Realizar elcircuito mediante inversores y compuertasNoO.

4. En la torre de controlde un patio de ferrocarril,un controlador debe

seleccionar la ruta de losfurgones de carga queentran a una seccin delpatio, mismos queprovienen del puntoA,como puede verse en eltablero de control de lafigura adjunta.Dependiendo de lasposiciones de losconmutadores, un furgn

puede llegar a unocualesquiera de loscuatro destinos. Otros furgones pueden llegar desde los puntos B o C.Diseeun circuito, con inversoresy compuertas NoO, que reciba como entradaslas seales S1 a S5, indicadores de las posiciones de los conmutadorescorrespondientes, y que encienda una lmparaD0 a D3, indicando el destino alque llegar el furgn proveniente de A.


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Para los casos en que los furgones puedan entrar de B o C (S2 o S3 en la posicin0), todas las lmparas de salida deben encenderse, indicando que un furgnproveniente de A, no puede llegar con seguridad a su destino. NOTA:S1bit de mayor peso binario.

5.Un circuito lgico tiene 5 entradas A, B, C, D y E (donde A es la de mayor pesobinario). Cuatro de las entradas representan un dgito decimalenBCD(DecimalCodificado en Binario, por sus siglas eningls). La primera entrada, A, es decontrol.Cuando elcontrolest en0lgico, la salida Z e igual a 0 si el nmero decimal esimpary 1 si es par.Cuando elcontrolest en 1lgico, la salida Z es igual a 1 cuando la entrada enmltiplo de 3, en caso contrario es 0.Considerando las condiciones irrelevantes, diseeun circuito mnimo utilizandoslo inversores y compuertas No O.NOTA:Considere al0como un nmeropar.

6.Un tcnico de un laboratorio qumico tiene 4 productos A, B, C y D. Cada

producto debe encontrarse enunocualesquiera de dosrecipientes dealmacenamiento.Peridicamente, se requiere cambiar uno o ms productos de un recipiente a otro.La naturaleza de los productos es tal, que es peligroso guardarA y B juntos amenos que D est presente en el mismo recipiente. Tambin es peligrosoalmacenar B y C juntos a menos que D est presente.Este procesono permiteque alguno de los tanques estvaco.Obtenerel circuito mnimo de la expresin de una variable Z que deber tener el

valor de 0 para cada situacin peligrosa de almacenamiento, utilizando sloinversores y compuertas NoO.NOTA:Considere aAcomo la variable de mayor peso binario.


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7. Un posicionador de eje, proporciona una seal de 4 bits que indica la posicinde un eje en pasos de 30. Utilizando el cdigo de Gray, el cual se muestra en lasiguiente tabla, diseeun circuito (realizacin mnima de suma de productos) queproduzca unasalidaque indiqueen dnde se encuentra el eje.

POSICINDEL EJE SALIDA DELDECODIFICADOR POSICINDEL EJE SALIDA DELDECODIFICADOR

0


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9. El sistema nerviosohumano, incluyendo elcerebro, est hecho declulas especializadasllamadas neuronas. Cada

neuronatiene sinapsis(puntos de interconexin,como se muestra en la figuraadjunta) de excitacin ysinapsis de inhibicin. Unaneuronaproduce una salida1 si el nmero de sinapsis deexcitacin con pulsos 1excedeel nmero desinapsis de inhibicin conpulsos 1 por al menos el valor

de umbral de la neurona.

Determinela funcin booleana f(a, b, c, d, e) de emisin de pulsos a travs delcanal de salida (axn) en el modelo de la figura, bajo las siguientes condiciones:(C1) Valor del umbral = 1 [es decir, se produce una salida 1 si el nmero desinapsis de excitacincon pulsos 1, excedepor al menosunoel nmero desinapsis de inhibicin con pulsos 1], y(C2) Siempre que haya al menos un pulso 1 en alguna sinapsis del puerto deexcitacin, habr al menos un pulso 1 en alguna sinapsis del puerto de

inhibicin [es decir, no es posible -en este modelo restringido- que existanpulsos 1 en el puerto de excitacin si no existe al menos un pulso 1 en el puertode inhibicin].Minimizar f(a, b, c, d, e) haciendo uso de las condiciones irrelevante (C2).Realizar el logigrama utilizando inversoresy compuertas No Y.

10.Textura es la organizacin de unasuperficie como un conjunto de

elementos repetidos. En un procesoautomtico para clasificar texturasartificiales, un sensor de 4 puntos(figura adjunta) enva seales a uncircuito combinatorio cuya tarea esdiscriminar (emitiendo pulsos 1) lossiguientes elementos:


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En todos los casos que inspeccionael sensor se activanal menos 2puntos de la rejilla (es decir, nosepresentan casos en los cuales seactivatan solo un punto nicasos en

los queno se activaningnelemento)Minimizar la funcin booleana f(a, b,c, d, e) a la salida del circuitodiscriminador, haciendo uso de lascondiciones irrelevantes. Realizarel circuito mediante inversores ycompuertas NoO.

11.En una fbrica un dispositivo con5 foto celdas (figura adjunta), registra loscaracteres formados abriendo pequeas ranuras en una tarjeta de control. Si en latarjeta registrada hay uno de los smbolos:(Para el smbolo I son vlidas las dos posiciones), entonces el dispositivo acciona

un taladro.En el proceso no hay tarjetas conalguno de los caracteres siguientes:(Todos los caracteres restantes sison vlidos)Cul es la funcin booleana a la salidadel dispositivo que acciona el taladro?Minimizar la funcin y realizar ellogigrama utilizando slo inversores ycompuertas


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NoY.

12.Se desea disear e instrumentar un circuito combinatorio mnimo de dos

entradas con dos bits cada una, sobre las cuales se codificandos de los cuatrotipos de sangraexistentes y a su salida se obtenga una seal que informe sobrela posibilidad o imposibilidad de la transfusin de uno de ellos sobre el otro, dadaslas siguientes reglas de compatibilidad entre ellos.Los tipos de sangre son4: A, B, AB y O.El tipo O puede donar a cualquier otro tipo, pero slo puede recibir de l mismo.El tipo AB puede recibir de cualquier otro tipo pero slo puede donar a AB.La clase A puede donar a A o a AB y recibir de A u O nicamente.Por ltimo, el tipo B puede donar al mismo B o al tipo AB y recibir de B u O.La seal de salida deber ser 1 cuando la transfusin propuesta en las entradassea permitida.Realizar ellogigrama utilizando inversores y compuertas NoO.

13.En un sistema de deteccinluminosaque tiene el arreglo mostradoen la figuraadjunta, se genera unaseal de salida con valor de 1nicamente cuando dos foto celdasadyacentesestn activadas, siempre ycuando la foto celda del centro esttambin activada.NOTA: No es posible, en este sistema,queexista una seal de salida 0 o 1si no hay almenos tres foto celda activadas.Considerando a A como la variable ms significativa, obtenerel logigrama mnimo,considerando las condiciones indiferentes y utilizando slo inversores ycompuertasNoY.


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14.Un robot de juguete -llamado U-2-est diseado para ser capaz deseguir una trayectoria (previamenteprogramada por medio de controlesque el robot tiene en la espalda)

avanzando cuadro por cuadro en unarea de5x6cuadros. El robot U-2puede realizar una de las cuatroacciones siguientes:(D) Girar (sobre su eje vertical) 90ala derechay luego avanzar al centrodel siguiente cuadro si su pequeocerebro recibe la seal binaria 01.(I) Girar90a la izquierday luego avanzar al centro del siguiente cuadro si su

diminuto cerebro percibe la seal binaria 10.

(F) Avanzaral frente un cuadro si su cerebro recibe la seal 00.(A)Haceralto si su cerebro recibe la seal 11.Programar el robot para que recorra el laberinto de la Figura (a). Determinar lasfunciones booleanas del par de estmulos binarios que recibe el mini cerebro delrobot durante este recorrido y minimizarlasmediante mapas de Karnaugh. (Eneste problema hay condiciones irrelevantes -parte de la solucin consiste enencontrarlas).Los controles en la espalda del U-2estn localizados en dos reas: En elreaI se indicar el cuadro inicialmediante los controles de dosposiciones a, b, c, d y e [como semuestra en la Figura (c)]; si el controla se presiona del lado derecho, elpeso de la variable a se contabilizarpara determinar el nmero asignadoal cuadro inicial (lo mismo ocurrir

para el resto de las variables). En elrea IIse programa la trayectoria pormedio de30 controles de tresposiciones cada uno.

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