F a c u l t a d d e C i e n c i a s

U N A M

ECUACIONES DIFERENCIALES

Tarea 2

Nociones básicas, campo de direcciones y método de isóclinas

Alumnos: Yidel Mariano Mendoza Flores

Luis Javier Velazquez Cerda

Roxana Chichino Acevedo

Arturo Rodríguez Herrera

Profesor: Jesús López Estrada

Ayudante: Sergio Samuel Nieto Mejía

Fecha: Agosto 25, 2014

1. Ecuación Diferencial Ordinaria.

Una ecuación diferencial ordinaria es una expresión que establece una relación entre una función

y algunas de sus derivadas.

Sea f: D contenido en R x Rn → Rn

Una EDO tiene la forma x’=f(t,x) …(*)

El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta que aparece en la misma.

Cualquier otra expresión es una EDO siempre y cuando se pueda expresar como (*).

2. Verdadero o Falso

a) Si un problema es bajo-determinado entonces su solución, si existe, es única.

Verdadero

b) Si un problema es sobre-determinado entonces generalmente, no tiene solución.

VERDADERO

c) Un problema se dice bien-determinado, cuando se tienen las condiciones necesarias para poder hablar de la existencia y unicidad de su solución. Verdadero d) El problema y’ = f(x, y) está bien-determinado. Falso e) El problema y’’ = f(x, y) y(t0) = y0 , y(t1) = y1 está sobre-determinado. Falso 3. Sea A ϵ Rnxn .¿Bajo qué condiciones la expresión diferencial: Ay’= f(t,y) …(1) es una EDO? - Como y’ tiene la forma:

y’=

f(t,y)

Entonces A debe tener inversa (no singular) para que tenga solución. Por lo tanto A debe ser no singular para que sea una EDO, si no es una EDO entonces es una ecuación diferencial algebraica.

- ¿Si A es la matriz

es la expresión diferencial es (1) una EDO?

Calculamos el determinante de A, primero reacomodamos los renglones

det

= 0 A es una matriz singular y no tiene inversa, por lo tanto no es una EDO

4. Descripción del campo direccional, isóclinas y algunas soluciones. Se uso wolframalpha.com a) x’=x2-t

Para este caso las isóclinas son parábolas que abren a la derecha y el vértice de cada una de ellas

es de la forma V(0,-x’). El campo direccional está dado por los diferentes valores que toma x’ para

cada isóclina y determina la familia de soluciones que se muestran en la siguiente gráfica.

b) y’=sen (xy)

Aquí mostramos las isóclinas para y’=-0.5, y’=0, y’=0.5 El campo direccional está dado por los

diferentes valores que toma y’ para cada isóclina y determina la familia de soluciones que se

muestran en la gráfica más abajo.

c)

=

Aquí mostramos las isóclinas para dy/dx=2, dy/dx =4, dy/dx =10 El campo direccional está dado

por los diferentes valores que toma y’ para cada isóclina y determina la familia de soluciones que

se muestran en la gráfica más abajo.

d) y’=x2 + y2

Para este caso las isóclinas son circunferencias con centro en el origen y radio r=y’. El campo

direccional está dado por los diferentes valores que toma y’ o el radio de cada circunferencia. La

familia de soluciones se muestra en la siguiente gráfica.

5. Comportamiento geométrico (método de las isóclinas)

a) y =

Por el método de las isóclinas

y’= m i.e.

=

Observamos que las isóclinas tienen la forma y= mx/2 para toda m ϵ R, por los que las isóclinas son

líneas rectas que pasan por el origen con pendiente negativa para m<0 y positiva para m>0.

El campo direccional está determinado por el valor de m para cada isóclina. Y las soluciones pasan

por este campo. Abajo se muestran algunas de las soluciones.

b) y =

Por el método de las isóclinas

y’= m i.e.

=

Observamos que las isóclinas tienen la forma y=

m ϵ R y m es diferente de cero,

por los que las isóclinas son hipérbolas cuyas ramas están los cuadrantes I y III para m<0 y en los

cuadrantes II y IV para m>0.

El campo direccional está determinado por el valor de m para cada isóclina. Y las soluciones pasan

por este campo. Abajo se muestran algunas de las soluciones.

c) y =

Por el método de las isóclinas

y’= m i.e.

=

Observamos que las isóclinas tienen la forma y= (

( para m ϵ R, y me diferente de -1, por los

que las isóclinas son líneas rectas que pasan por el origen con pendiente (

(

El campo direccional está determinado por el valor de m para cada isóclina. Y las soluciones pasan

por este campo. A continuación se muestran algunas soluciones.

d) = sen (y-2x)

Por el método de las isóclinas

y’= m

Observamos que las isóclinas son líneas rectas con pendiente positiva 2. A continuación

mostramos las isóclinas cuando m=-0.5,0,0.5 respectivamente.

El campo direccional está determinado por el valor de m para cada isóclina. Y las soluciones pasan

por este campo. Abajo se muestran algunas de las soluciones.

e) y =

Por el método de las isóclinas

y’= m i.e.

=

Observamos que las isóclinas tienen la forma y=

m ϵ R y m es diferente de cero,

por los que las isóclinas son hipérbolas cuyas ramas están los cuadrantes II y IV para m<0 y en los

cuadrantes I y III para m>0.

El campo direccional está determinado por el valor de m para cada isóclina. Y las soluciones pasan

por este campo. Abajo se muestran algunas de las soluciones.

f) y’= y - x

Por el método de las isóclinas

y’= m i.e. y =

Observamos que las isóclinas tienen la forma y = para toda m ϵ R, por los que las isóclinas

son líneas rectas con pendiente 1 y ordenada al origen m.

El campo direccional está determinado por el valor de m para cada isóclina. Y las soluciones pasan

por este campo. Abajo se muestran algunas de las soluciones.