2.Capitulo 2 - Control Robusto Aplicado a NCS

7/26/2019 2.Capitulo 2 - Control Robusto Aplicado a NCS

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Estructura del trabajo

Introducción 13

Capítulo 2

Control Robusto Aplicado a NCS



Control Robusto

Control Robusto Aplicado a NCS 14

2. CONTROL ROBUSTO APLICADO A NCS

En este capítulo se va a realizar la formulación del problema que es objeto de

estudio en este trabajo, que no es otro que la aplicación de técnicas de control robusto a

los NCS estudiados anteriormente.

En primer lugar se exponen las técnicas de control basadas en la optimización de

norma H2 y norma H∞. Es importante destacar que la norma H∞ es adecuada para ser

empleada en sistemas con incertidumbre.

En esta línea de acción, se juntan las teorías antes descritas de comportamiento,

H2/espacio de estados, con las de perspectiva, H∞/dominio de la frecuencia, en la forma

de teorías mixtas H2/H∞. En uno de los abordajes del control mixto se encuentra el

controlador que conjuga criterios cuadráticos de comportamiento H2 con restricciones

de robustez H∞. Este tipo de controlador, que de aquí en adelante se denominará como

H2/H∞, será materia de aplicación en el presente trabajo.

Una de las aplicaciones más importantes de la teoría de optimización de norma

infinita está en el control robusto, o sea, el diseño de controladores que aseguren

estabilidad y buen funcionamiento en sistemas con incertidumbre. Se presenta el

problema conocido como sensibilidad mixta, que es la base de la Teoría del Control

Robusto. Esencialmente, el problema más estudiado en control robusto es el de la

presencia de incertidumbre estructural debida a dinámica no modelada.

En el control de sistemas a través de redes, es necesario destacar la elección de

un controlador robusto de 2 g.d.l., el cual permitirá la doble acción de actuar

directamente sobre el modelo de la planta, presentando un buen comportamiento antelas incertidumbres del mismo, así como compensar los inconvenientes que se producen

en la red de comunicaciones, presentados en el capítulo anterior.

2.1. Control Robusto

En el diseño de controladores para sistemas físicos debe tenerse en cuenta la

exactitud del modelo y su complejidad matemática. Los modelos “exactos”, si es que se

pueden conseguir, requieren demasiado esfuerzo computacional, lo que hace que no

sean considerados propicios para propósitos de control. En la práctica, los modelos nolineales de orden muy alto suelen ser linealizados en torno de algún punto de operación

y también reducidos para obtener modelos nominales que puedan ajustarse a las

limitaciones computacionales o a las restricciones de implementación del controlador.

Estas técnicas introducen errores de modelado en la forma de dinámica no

modelada, que deben ser tenidos en cuenta en el proceso de cálculo del controlador.

Adicionalmente, los parámetros en los modelos nominales y de análisis no son

conocidos con precisión y pueden causar inestabilidades en caso de que no se tomen las

debidas precauciones.



Control Robusto


En la reducción de orden se desprecia una parte del modelo usado de forma que

se obtenga un controlador de bajo orden. Aunque la dinámica no modelada (parte

despreciada) no esté más en el modelo nominal, ella aún puede tener influencia en el

sistema controlado.

Además, los modelos nominales contienen incertidumbres en parámetros, queforman parte del modelo nominal. Así, un requerimiento fundamental en el diseño de la

ley de control es alcanzar y preservar la estabilidad en lazo cerrado en la presencia de

dinámica no modelada e incertidumbres paramétricas.

De esta forma, se formula el problema general del control robusto como:

Figura 2.1-1: Formulación del problema del control robusto

donde se definen los siguientes parámetros:

- P(z): modelo nominal

- Δ(z): incertidumbres

- K(z): controlador

Con objeto de proporcionar una mayor descripción para los problemas de control

robusto, se presentan las siguientes definiciones:

Estabilidad Nominal (EN): el sistema controlado es estable sin considerarincertidumbres en el modelo.

Comportamiento Nominal (CN): el sistema en bucle cerrado satisface lasespecificaciones de comportamiento sin considerar incertidumbres en el

modelo.

Estabilidad Robusta (ER): el sistema es estable para todas las plantasinciertas alrededor del modelo nominal, e incluyendo hasta el peor caso

del modelo de incertidumbre.

Comportamiento Robusto (CR): el sistema satisface las especificaciones

de comportamiento en todas las plantas inciertas alrededor del modelonominal, incluyendo el peor caso del modelo de incertidumbre.



Control Robusto


Las incertidumbres no paramétricas, tales como la dinámica no modelada,

típicamente ocurren en la región de alta frecuencia de los sistemas físicos. En el diseño

del controlador, la dinámica no modelada es tratada, frecuentemente, reduciendo el

comportamiento del controlador sobre una banda de alta frecuencia, por ejemplo

acotando la frecuencia de incertidumbre. El tratamiento de incertidumbres paramétricas

es un área donde se viene realizando mucha investigación. El presente trabajo estárelacionado con controladores que estabilizan (robustamente) un sistema ante la

presencia de incertidumbres paramétricas bajo la forma de incertidumbre estructural

multiplicativa.

Las incertidumbres también pueden ser vistas como perturbaciones sobre un

modelo nominal. Si un único controlador estabiliza la planta nominal y todos los

sistemas dentro de la vecindad generada por las perturbaciones, se dice que el

controlador estabiliza robustamente toda la familia de sistemas. La búsqueda de una

mayor vecindad para una planta dada, para la cual un único controlador produce

estabilidad en lazo cerrado, puede ser formulada mediante el problema de control H∞.

En aplicaciones prácticas, frecuentemente se desean controladores que sean

robustos y que también sean óptimos en una cierta clase. Tales controladores pueden ser

obtenidos con las técnicas de control H2/H∞, que buscan un compromiso entre robustez

y optimalidad.

A continuación, se ofrece una descripción detallada de los tres conceptos

fundamentales (Control Mixto H 2 /H ∞, Sensibilidad Mixta y Controlador Robusto de 2

g.d.l.) sobre los que se realizará la formulación del problema a estudiar en el siguiente

apartado, y en los que se basarán las estrategias de control robusto que se presentarán en

el siguiente capítulo.

2.1.1. Control Mixto H2/H∞

El control H2/H∞ es una estrategia de control óptimo que permite diseñar un

controlador estabilizante que garantice que el sistema controlado presente un

comportamiento óptimo y, al mismo tiempo, que tenga un margen de estabilidad

definido con respecto a incertidumbres, es decir, robustez. Así, en la Teoría de Control,

el problema de control H2/H∞ incorpora las normas H2 y H∞ simultáneamente, de

forma que se define la minimización de una norma H2 considerando restricciones en la

norma H∞. La norma H2 tiene en cuenta las características de comportamiento del

sistema y la norma H∞ representa una función de transferencia convenientementeescogida con el fin de garantizar estabilidad para una clase de perturbaciones.

Mientras que el diseño H2 resulta en un buen comportamiento nominal, los

controladores sólo son eficientes en la planta de diseño, planta que no considera un

modelo para el error cometido en el modelado. Como resultado, el comportamiento

alcanzado por sistemas de control H2, cuando son implementados en sistemas reales,

presentan limitaciones. Para alcanzar niveles adecuados de comportamiento en la

implementación, se debe considerar un modelo del error en el modelado cuando se

diseña el controlador, tal como se hace en la teoría de diseño de controladores H∞.



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Las teorías de control H2 y H∞ involucran formulaciones de problemas de

control en el dominio del tiempo que resultan en la minimización de una norma de

cierta función de transferencia. Así, se considera una perturbación en particular, o un

cambio en la señal de referencia, y luego se trata de optimizar la respuesta en lazo

cerrado. Al considerar señales de energía limitada en la entrada del sistema se puede

derivar una metodología de control basada en la norma H∞. Este último abordaje es degran interés dado que puede ser combinado con representaciones de modelos de

incertidumbre, haciendo posible la solución de complejos problemas de estabilidad y

comportamiento, lo que se conoce como control robusto H∞.

A menudo se intenta optimizar directamente ciertos objetivos más

representativos del sistema, tales como tiempo de estabilización, márgenes de

estabilidad u otros, en lugar de la norma de ciertas funciones de transferencia. Las

metodologías que involucran optimizaciones multiobjetivo de este tipo presentan

problemas difíciles de resolver computacionalmente hablando.

Figura 2.1.1-1: Estructura general de control mixto H 2 /H∞

En este grupo de controladores se encuentra el controlador H2/H∞, el cual

intenta optimizar el comportamiento de un sistema en lazo cerrado mediante la

minimización de la norma H2, que puede definir objetivos de comportamiento, teniendo

como restricción la robustez en estabilidad del sistema en lazo cerrado, que es medida

por la norma H∞.

Aún cuando el control H∞ provee estabilidad y comportamiento en presencia de

errores del modelo, el uso de la norma H∞ como medida de comportamiento puede

resultar conservativo. Teniendo esto en consideración, el diseño de controladores

H2/H∞ ha sido desarrollado para proveer una estabilidad robusta (H∞) y uncomportamiento nominal (H2) mediante la minimización de la norma H2 para un

conjunto de entradas/salidas, mientras la norma H∞ limita otro conjunto de

entradas/salidas, tal y como se muestra en la Fig. 2.1.1-1.

Así, la formulación del problema de control mixto H2/H∞ provee un balance

explícito entre las demandas conflictivas, comportamiento nominal y estabilidad

robusta, de forma que se pretenda encontrar un controlador, K(z), que minimice el

siguiente criterio:

+

sujeto a:



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donde T ∞(z) y T 2(z) se corresponden con las funciones de transferencia en bucle

cerrado entre el vector objetivo, z, y el vector de perturbaciones, ω, siendo γ0 y ν0 las

cotas conseguidas.

2.1.2. Sensibilidad Mixta

En este apartado se presenta el planteamiento de sensibilidad mixta, para

sintetizar un controlador robusto gracias a sencillos métodos de selección de las

funciones de ponderación.

Previamente es necesario definir las funciones de sensibilidad S(z) y de

sensibilidad complementaria T(z). Para ello considérese el siguiente esquema de controlclásico por realimentación de 1 g.d.l.:

Figura 2.1.2-1: Esquema de control con modelado de las perturbaciones

donde K(z), G(z) y Gd (z) son respectivamente el controlador, el modelo de la

planta y el modelo de las perturbaciones.

La entrada del controlador K(z) es r − ym donde ym = y + n es la salida medida yn es el ruido de medida. Luego, la entrada a la planta es:

u = K(z)(r - y - n) Ec. (2.1.2-1)

El objetivo de control es manipular u (en el diseño de K(z)) tal que el error de

control e permanezca pequeño a pesar de las perturbaciones d . El error de control e es

definido como:

e = r - y

donde r denota el valor de referencia para la salida.



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El modelo de la planta es escrito como:

y = G(z)u + Gd (z)d Ec. (2.1.2-2)

Para un sistema con un controlador de 1 g.d.l., la sustitución de la Ec. (2.1.2-1)

en la Ec. (2.1.2-2) lleva a:

y = G(z)K(z) (r - y - n) + Gd (z)d

Agrupando términos:

(I + G(z)K(z))y = G(z)K(z)r + Gd (z)d - G(z)K(z)n

Finalmente, la respuesta en lazo cerrado es:

y = (I+G(z)K(z))-1

G(z)K(z)r + (I+G(z)K(z))-1

Gd (z)d - (I+G(z)K(z))-1

G(z)K(z)n

Similar análisis es efectuado con el error de control e y la señal de entrada a la

planta u, quedando las relaciones en bucle cerrado, entre la salida, y, el error, e, y la

acción de control, u, respecto a la referencia, r , las perturbaciones, d , y el ruido, n, son:

y = T(z)r + S(z)Gd (z)d - T(z)ne = r - y = S(z)r - S(z)Gd (z)d + T(z)n

u = K(r - ym ) = K(z)S(z)r - K(z)S(z)Gd (z)d - K(z)S(z)n

A partir de las ecuaciones previas, se pueden definir los siguientes conceptos:

Función de sensibilidad:

S(z) = (I + L(z))-1

Función de sensibilidad complementaria:

T(z) = L(z)(I + L(z))-1

Función de sensibilidad al control:

K(z)S(z) = K(z)(I + L(z))-1

Función de lazo (bucle abierto):

L(z) = G(z) K(z)

Nótese que tanto S(z), como T(z) y K(z)S(z) son funciones de transferencia en

lazo cerrado. Más específicamente, S(z) es la función de transferencia que relaciona la

perturbación con la salida del sistema, mientras que T(z) relaciona la señal de referencia

con la salida del sistema. Cabe resaltar que el término sensibilidad complementaria para

T(z) viene de la siguiente igualdad:

S(z) + T(z) = I



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Por tanto, un decremento de S(z) ha de ser a costa de un incremento de T(z), yviceversa. Si lo que se pretende es diseñar un controlador que minimice S(z), lo cual

sería equivalente a establecer una condición de seguimiento, se conseguirá a cambio de

un incremento de T(z), o lo que es lo mismo a cambio de aumentar la señal de control.

Minimizar S(z) se puede entender como minimizar la norma infinita de su respuesta

frecuencial, que sería como diseñar pensando en la frecuencia a la cual hay un mayorerror de seguimiento. Por otro lado, un valor elevado de T(z) puede ser causa de

inestabilidad, debido al efecto en el lazo cerrado de la incertidumbre.

El esquema general de control para un controlador robusto, incluyendo las

funciones de ponderación, es el siguiente:

Figura 2.1.2-2: Esquema general de control robusto con sensibilidad mixta

Se puede apreciar cómo se ponderan simultáneamente las funciones de

sensibilidad S(z), sensibilidad al control K(z)S(z) y sensibilidad complementaria T(z), siendo las funciones de ponderación que se utilizan Ws(z), Wks(z) y Wt(z) respectivamente.

El objetivo del control mixto H2/H∞ es el de calcular un controlador K(z) que

atenúe la relación entre la energía del vector objetivo, z , y la del vector de

perturbaciones, ω, siendo γ y ν la atenuación conseguida para las normas H2 y H∞,

respectivamente.

La síntesis del controlador, de acuerdo a lo presentado en Ortega (2001), se

realiza siguiendo los pasos que se describen a continuación



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1. Estimación de la incertidumbre

Para realizar la síntesis del controlador será necesario conocer la incertidumbre

del sistema, para lo cual, se va a estimar la incertidumbre multiplicativa a la salida del

mismo.

Para ello, se estima la incertidumbre de las funciones de transferencia, G*i(z), de

los puntos de operación donde se desee que el sistema funcione adecuadamente respecto

al modelo nominal, G(z), obtenido en el punto central de operación, mediante la

siguiente expresión:

E o,i(z) = (G*i(z) - G(z)) G(z)-1

con i = 1, 2, 3,…

La incertidumbre multiplicativa indica el porcentaje de desconocimiento que se

tiene de la planta en cada frecuencia. Este porcentaje suele aumentar con la frecuencia y

siempre habrá una frecuencia a partir de la cual el desconocimiento del sistema sea

total, o sea, una frecuencia a partir de la cual el valor de la incertidumbre multiplicativasupere la unidad.

2. Cálculo de la matriz de ponderación Wt(z)

En el diseño de Wt(z) se propone una matriz cuadrada y diagonal con todos sus

elementos iguales a una misma función de transferencia W Tdiag (z):

Wt(z) = W Tdiag (z)I q xq

La dimensión q es igual al número de salidas del sistema.

La función de transferencia W Tdiag (z) debe ser:

-

Estable.

- De fase mínima.

- De módulo mayor que el máximo valor singular de las incertidumbres

calculadas previamente para todas las frecuencias, es decir,

|W Tdiag (jw)| ≥ σ (E o,i(jw)) w, i

Además, teniendo en cuenta que Wt(z) debe ponderar a la función desensibilidad complementaria, para imponer que ésta tenga ganancia pequeña en alta

frecuencia se diseñará cada función W Tdiag (z) de forma que su módulo posea un valor

elevado en alta frecuencia.

3. Cálculo de la matriz de ponderación Ws(z)

La matriz de ponderación Ws(z) presenta la siguiente estructura:



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Por lo que se trata de una matriz de funciones de transferencia cuadrada y

diagonal de dimensión q igual al número de salidas del sistema.

Se diseñará cada función de transferencia de la diagonal mediante la

siguiente expresión:

donde los parámetros de diseño que aparecen en estas funciones serán elegidos

de la siguiente manera:

αi : es la ganancia de la función en alta frecuencia. Es un indicador de la

sobreoscilación permitida en la salida i-ésima del sistema. Un valor altode αi, implicará especificaciones de menor sobreoscilación. Un valor

apropiado para cada αi debería ser del orden de 0.5, suponiendo escaladoel sistema.

β i : es la ganancia de la función a baja frecuencia. Hace las veces de la

cota superior del error en régimen permanente permitido. Este valor no

puede ser cero por problemas numéricos del algoritmo de síntesis. Un

valor apropiado para este parámetro puede estar entre 10−6 y 10−4.

ωT : es la frecuencia de corte de la función W Tdiag (z) previamentediseñada en el apartado anterior.

κ i : este parámetro es el encargado de variar la especificación de ancho de banda de la i-ésima salida. La elección inicial propuesta es de κ i = 0, con

lo que obtendrán respuestas lentas y raramente oscilatorias. A mayores

valores de κ i, más rapidez de la respuesta correspondiente, si bien

también llevará asociada una mayor sobreoscilación.

La forma deseada del módulo de estas funciones de ponderación viene dada por

la siguiente gráfica:

Figura 2.1.2-3: Diseño de la función de ponderación para la sensibilidad



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4. Diseño de la función de ponderación Wks(z)

La función Wks(z) pondera a la función de sensibilidad al control, función que

relaciona la referencia y perturbaciones con la actuación que proporciona el controlador.

Por tanto, con esta función se penaliza a la señal de control en el rango de frecuencia

deseado. Al penalizar a la señal de control se pretende disminuir la sobreoscilación sinafectar negativamente a los tiempos de subida.

Para el diseño de esta función de ponderación se utiliza el siguiente método:

-

Inicialmente se elige la matriz de funciones de ponderación Wks(z) constante

e igual a la matriz identidad, es decir:

Wks(z) = I m xm

donde m es el número de entradas del sistema.

El controlador obtenido con esta función se implementa y se analiza la

respuesta temporal que se obtenga ante entrada escalón, a partir de la cual, se

estima la frecuencia de oscilación de la misma. Para ello, se mide el tiempo

T transcurrido entre el primer pico de subida y el primer pico de bajada. A

partir de este tiempo, a la frecuencia de oscilación se le denominará ωd :

- A partir de este semiperiodo se rediseña la matriz Wks(z) de forma que sea

diagonal, y que su módulo aumente en torno a esa frecuencia:

Esta expresión es la de un filtro paso banda centrado en ωd , con ganancia

unitaria tanto en baja como en alta frecuencia y cuya anchura de banda es

función del parámetro ρ. El valor de este parámetro se tomará en torno a 3,

siendo mayor la anchura de la banda a medida que dicho valor aumenta.

- En un principio se tomará ρ = 3, pero opcionalmente se puede variar el valor

de este parámetro en función de los resultados obtenidos para lograr una

mejor respuesta.

5. Construcción de la planta aumentada P(z)

Para la creación de la planta aumentada se utiliza la función sysic contenida

en el µ-Analysis and Synthesis Toolbox de Matlab. A esta función se le debe

proporcionar la especificación de los subsistemas existentes y las interconexiones

entre ellos. La salida de esta función es la planta aumentada.



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6. Síntesis del controlador K(z)

Para la síntesis del controlador se pueden utilizar las funciones hinfsyn,

h2syn o hinfmix, dependiendo de si lo que se pretende resolver es un problema de

norma H∞, norma H2 o norma mixta H2/H∞, respectivamente. Estas funciones están

contenidas en el µ-Analysis and Synthesis Toolbox de Matlab. Para el caso de lafunción hinfsyn, se le deben proporcionar los siguientes parámetros:

-

Planta aumentada

- Número de entradas del controlador

-

Número de salidas del controlador

- Gamma máxima

-

Gamma mínima

- Tolerancia

En el caso de la función h2syn solo serán necesarios los tres primeros

parámetros de los que se acaban de listar, mientras que para usar la función hinfmix,se deben asignar los distintos pesos a las normas H2 y H∞.

La salida de estas funciones proporciona un controlador que cumple con las

especificaciones dadas.

2.1.3. Controlador Robusto de 2 g.d.l.

Cuando se trata con control robusto en NCS, el esquema de control de 1 g.d.l.

tratado en apartados anteriores no responde correctamente ante los problemas que, en

este caso, provienen de dos fuentes distintas: las incertidumbres del modelo y losinconvenientes provocados por la red de comunicación. Como resultado, los objetivos

de control antes mencionados no pueden ser alcanzados simultáneamente con un único

controlador de realimentación. Es por ello, que sea necesario tratar las incertidumbres

procedentes de la red mediante un controlador específico, mientras que para la

atenuación de las perturbaciones y errores que afectan al modelo de la planta, se

requiere el uso del controlador de realimentación ya visto anteriormente.

Figura 2.1.3-1: Esquema de control NCS robusto con controlador de 2 g.d.l.



Definición del problema


La solución, por tanto, es usar un controlador de dos grados de libertad (2 g.d.l.).

De esta forma, el controlador es dividido en dos bloques como se muestra en la Fig.

2.1.3-1, donde K 1(z) denota la parte de realimentación del controlador y K 2(z) maneja la

señal procedente de la red de comunicación. El controlador de realimentación, K 1(z), es

usado para reducir el efecto de las incertidumbres (perturbaciones y errores del modelo)

mientras que el controlador K 2(z) es diseñado para mejorar los problemas derivados dela red de comunicación.

2.2. Definición del problema

Mediante la recopilación de los conceptos vistos en apartados anteriores, se

puede proceder a definir el problema general de control robusto aplicado a NCS.

Previamente a la formulación del problema, se establecen los principales

problemas que afectan al sistema de control, así como una serie de definiciones y

teoremas necesarios.

2.2.1. Problemas principales

El objetivo de este trabajo consiste en diseñar un controlador robusto, aplicado a

NCS, que estabilice el sistema sujeto a dos problemas principales: las incertidumbres en

el modelo de la planta, en forma de perturbaciones y errores de modelado, y los

inconvenientes ocasionados por la red de comunicación, ya presentados en el capítulo

anterior.

2.2.1.1. Incertidumbres en el modelo de la planta

En la Fig. 2.2.1.1-1 se pueden apreciar las incertidumbres multiplicativas que se

consideran para el modelo de la planta, las cuales vienen definidas mediante la siguiente

ecuación:

G*(z) = G(z)(I +W I (z) Δ(z))

donde G*(z) representa todas las plantas posibles, G(z) es la planta nominal y

W I (z)Δ(z) es la incertidumbre multiplicativa, con ||Δ(z)||∞ < 1.

Figura 2.2.1.1-1: Esquema de control con incertidumbres en el modelo





2.2.1.2. Pérdida de datos debida a la red de comunicación

En la Fig. 2.2.1.2-1 se puede apreciar el modelado de la pérdida de datos en el

canal de comunicación, d r , el cual se define como la relación existente entre la entrada

del canal, v, y la salida del canal, w, según la siguiente ecuación:

w(k) = (1 - d r (k)) v(k) con d r ϵ {0, 1} y k ϵ N 0.

Figura 2.2.1.2-1: Esquema de control con modelo real de la red de comunicación

2.2.2. Definiciones y Teoremas

Se introducirán a continuación, Silva et al. (2009) y Ling and Lemmon (2004),

dos conceptos, estabilidad en media cuadrática y teorema de equivalencia, cuyo uso

permitirá obtener un modelo equivalente para la red de comunicación mostrada en la

Fig. 2.2.1.2-1, permitiendo así aplicar las técnicas de control estudiadas anteriormente.

2.2.2.1. Definición: Estabilidad en Media Cuadrática

Considere un sistema descrito por x(k+1) = f (x(k), w(k)), donde k ϵ N 0 , f: Rn ×

Rm R

n , x(k) ϵ Rn es el estado del sistema en el instante de tiempo k , x(0) = x0, donde

x0 es una variable aleatoria de segundo orden, y la entrada w es un proceso estacionario

de segundo orden independiente del estado inicial x0.

Un sistema tiene Estabilidad en Media Cuadrática, también conocida como

Mean Square Stability (en adelante, MSS) si, y sólo si, existen los valores finitos μ ϵ Rn

y M ϵ Rn×n

, M ≥ 0, tal que se cumple, independientemente del estado inicial x0:

2.2.2.2. Teorema: Equivalencia

Considere el esquema de control representado en la Fig. 2.2.2.2-1, donde se presenta un

modelo equivalente para definir la red de comunicación, en el cual se supone que P ϵ (0,

1) y que se cumplen los Supuestos 1 y 2 de Silva et al. (2009).





Figura 2.2.2.2-1: Esquema de control con modelo equivalente de la red de

comunicación

Comparando el modelado de las redes de comunicación representadas en las Fig.

2.2.1.2-1 y 2.2.2-1, se puede demostrar que:

a)

Si el NCS de la Fig. 2.2.1.2-1 es MSS y el NCS de la Fig. 2.2.2.2-1 esinternamente estable, entonces la densidad espectral de potencia

estacionaria del error y de todas las señales del lazo, son idénticas en

ambas situaciones.

b) El NCS de la Fig. 2.2.1.2-1 es MSS si y sólo si el lazo de

realimentación de la Fig. 2.2.2.2-1 es asintóticamente estable y se

cumple:

Ec. (2.2.2.2-1)

donde T p(z) es la función de transferencia desde q a v p en la Fig.

2.2.2.2-1, definida como:

Se deduce, por tanto, que estudiar la MSS del sistema de la Fig. 2.2.1.2-1 es

equivalente a lograr la estabilidad del sistema de la Fig. 2.2.2.2-1, siempre que se

cumpla la condición dada por la Ec. (2.2.2.2-1).

2.2.3. Formulación del problema

Se formula un problema de Control Mixto H 2 / H∞, donde se pretende encontrar

un Controlador Robusto de 2 g.d.l., utilizando el modelo equivalente de la red de

comunicaciones presentado anteriormente, que minimice la siguiente función de coste:

+

El primer término, ||T ∞||∞, responde a un problema de control robusto H∞, donde

empleando un enfoque de Sensibilidad Mixta, se diseñan las funciones de ponderación

que logran la robustificación del sistema. Así, ponderando la función de sensibilidad se

consigue el comportamiento deseado en el seguimiento de la referencia, mientras que ponderando la sensibilidad complementaria, se consigue la estabilidad robusta. Se



Conclusiones


deberá proporcionar un mayor valor al parámetro α frente a β (priorizando la

minimización de la norma H∞ de T∞(z)) en caso de dar prioridad al rendimiento y

robustez frente a ruidos e incertidumbres.

El segundo término, ||T 2||2, se corresponde con ||T p(z)||2, y responde a un

problema de control H2, que permite encontrar la probabilidad mínima de éxito ( P ) quedebe cumplir la pérdida de datos en la transmisión de forma que satisfaga la condición

dada por la Ec. (2.2.2.2-1), la cual permite trabajar con el modelo NCS equivalente de la

Fig. 2.2.2.2-1. Si la prioridad es lograr la mínima probabilidad P posible, se debe

obtener un controlador que proporcione una norma H 2 de T 2(z) muy cerca de su mínimo,

esto es, el parámetro β debe ser mayor que α.

2.3. Conclusiones

En este capítulo se han presentado las bases sobre las que se sostiene la Teoría

del Control Robusto, las cuales han dado paso a la introducción de esta técnica decontrol en el campo de los NCS. Así, se confiere una serie de propiedades que permiten

dar una mayor fiabilidad a este tipo de sistemas ante las incertidumbres provenientes de

la red de comunicación usada, así como las achacables a las propias incertidumbres del

modelo de la planta, dadas por los propios errores en el modelado y las perturbaciones

que le afectan.

Los conceptos de Control Mixto H 2 /H ∞, Sensibilidad Mixta y Controlador

Robusto de 2 g.d.l., junto con el concepto de Mean Square Stability y el Teorema de Equivalencia, han proporcionado un esquema de control robusto equivalente para los

sistemas NCS.

De esta forma, una vez realizada la formulación del problema que se pretende

resolver mediante este trabajo, se exponen en el siguiente capítulo las soluciones

necesarias vía implementación de distintas estrategias de control robusto aplicadas al

control de sistemas a través de redes.

2.Capitulo 2 - Control Robusto Aplicado a NCS

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