2Apendice a R

Apéndice. A Caracterización de un Lente Zoom _________________________________________________________________________

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APÉNDICE A

CARACTERIZACIÓN DE UN LENTE ZOOM

En este apéndice se muestra la caracterización del sistema óptico usado en el arreglo experimental de LCD’s. Dicha caracterización tiene como objetivo determinar los puntos cardinales de un sistema óptico complejo (Lente Zoom). Así como, la calibración de la distorsión que puede introducir dicha lente, en la prueba de una esfera de calibración. Para llevar a cabo la exploración de la lente bajo estudio, se tomó en consideración la propuesta hecha por Yobani Mejia [69], así como los conceptos básicos de óptica paraxial [1-2]. Por otro lado, para calibrar la distorsión se utilizó un patrón de referencia impreso en serigrafía, mediante dicho patrón se obtiene el coeficiente de distorsión y el factor de amplificación de la lente utilizada. Algunos resultados derivados del análisis teórico y experimental se muestran en este apéndice. A.1 Características de una Lente Gruesa

La descripción típica de los puntos cardinales en la gran mayoría de textos de óptica [1-2], se realiza mediante el estudio de las características de una lente gruesa, es decir, una lente cuyo espesor en ningún caso es despreciable, dicha lente suele plantearse de forma más genérica como un “sistema óptico” (Fig. 1.), es decir, un sistema que puede estar formado por una o varias lentes simples, y no solamente por una.

Fig. A.1. Planos y puntos principales de una lente gruesa.

Por otro lado, es bien sabido [1-2] que los puntos focales anterior y posterior, o si es más claro, los focos objeto e imagen, f1 y f2, pueden medirse pertinentemente desde los vértices externos de la lente, de esta manera, podemos conocer la distancia focal anterior y distancia


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focal posterior, indicadas como f.f.l y b.f.l. De la misma forma, se sabe que al prolongar los rayos de entrada y de salida, estos se trasmiten por el sistema óptico de tal manera que en algunos puntos se superponen, estas intersecciones formaran una superficie curva, aproximada a un plano en la región paraxial, la cual puede estar dentro o fuera de la lente, dicha superficie se denomina como plano principal. A hora bien, los puntos donde los planos principales, primario y secundario cruzan el eje óptico, son conocidos como, primero y segundo punto principal respectivamente. A este conjunto de dos puntos focales, dos puntos principales y dos puntos nodales, se les denota como los seis puntos cardinales de un sistema óptico, tal y como se indica en la Fig. 1. Estos parámetros constituyen una referencia muy útil, a partir de los cuales es posible medir varios parámetros del sistema. Por esta razón, en este trabajo se propone una metodología experimental fundamentada en el análisis de la propagación de los rayos, para determinar los puntos cardinales de una lente zoom, de la cual, solo se sabe que tiene una distancia focal f=110 mm cuando el tambor de la lente zoom está ajustado hasta el tope del mismo sistema. Dicha lente fue usada para la obtención de imágenes experimentales en la prueba de pantallas nulas propuesta en esta tesis. Una imagen de este dispositivo se muestra en la Fig. A.2

Fig. A.2. Lente zoom bajo estudio.

A.1.1 Metodología para Determinar los Puntos Cardinales de una Lente Zoom

El método propuesto por Yobani Mejía [69] se basa en el uso de una rejilla cuadrada de 3X3 puntos, mediante la cual, se proyecta un conjunto de 9 rayos meridionales. El método consiste en capturar una imagen del arreglo de puntos en tres diferentes planos (Z1, Z2, Z3), para posteriormente realizar un análisis de la propagación de dichos rayos. Partiendo de las ideas de dicho artículo [69], se desarrolló el siguiente análisis experimental.

Primeramente se alinea y colima un láser sobre un banco óptico, haciendo pasar el haz colimado por una rejilla de 3x3, tal como se muestra en la Fig. A.3.


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Fig. A.3 Rayos paralelos al eje óptico provenientes de una rejilla.

Lo primero que se debe demostrar es que los rayos son realmente paralelos al eje óptico, es decir, que tienen una pendiente igual a cero. Para esto, se obtienen las coordenadas del patrón de puntos proyectados en los diferentes planos (Z1, Z2, Z3), mediante estas coordenadas se puede obtener la pendiente correspondiente a cada una de las rectas. Una vez obtenido el comportamiento de los rayos que se propagan a lo largo del eje óptico, se introduce la lente bajo estudio en el mismo arreglo. Al introducir la lente, se observa que la propagación de los rayos presenta un comportamiento distinto, como se muestra en la Fig. A.4.

Fig. A.4 Rayos propagándose a través de sistema óptico bajo estudio. Como podemos notar (Fig. A.4), una vez que los rayos pasan a través de la lente zoom, el patrón de rayos diverge, esto quiere decir, que el punto de convergencia es virtual o se encuentra a la izquierda de la lente bajo estudio. Para determinar dicho punto de convergencia, se propone realizar una regresión lineal de cada una de las rectas, esto nos dará como resultado, una nube de puntos origen, los cuales representan el punto focal, tal como se representa en la Fig. A.5.


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Fig. A.5 Intersección de rayos que dan lugar a la ubicación del plano principal.

Una vez obtenido el punto focal, podemos inferir la ubicación del plano principal, ya que, como se sabe [1-2], las distancias focales efectivas se miden respecto de los planos principales, y como en este caso, conocemos apriori el valor de la distancia focal de la lente zoom, con esta información podemos determinar la ubicación de primer plano principal H1 y consecuentemente del punto nodal N1. Adicionalmente, si prolongamos los rayos de salida, desde el punto focal hasta el lugar donde se intersectan con los rayos paralelos (previamente determinados) que emergen de la rejilla, tal como se muestra en la misma Fig. A.5., de esta forma, se puede encontrar igualmente el lugar geométrico del primer plano principal H1, así como el primer punto nodal N1.

Con esta parte del análisis, hemos determinado la mitad de los puntos cardinales de un sistema óptico. Para determinar el conjunto completo de puntos cardinales, se propone girar la lente zoom y explorar el comportamiento que tienen los rayos al propagarse a través de esta nueva configuración de sistema óptico. Un ejemplo del análisis realizado se esquematiza en la Fig. A.6.

Fig. A.6 Intersección de rayos que dan lugar a la ubicación del plano principal. Al invertir la lente zoom, podemos notar que el conjunto de rayos provenientes de la rejilla inciden en el sistema óptico para converger en un punto focal posterior (Fig. A.6). Por lo cual, recurriendo nuevamente a los argumentos de la óptica paraxial [1-2], y conociendo apriori la distancia focal de la lente, podemos inferir el lugar geométrico donde se localiza el plano principal H2 y consecuentemente el punto nodal N2.


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De esta manera es como se ha logrado obtener el conjunto de puntos cardinales de nuestra lente bajo estudio. A continuación, en la figura A.7 se muestra un esquema de la lente bajo estudio, con el análisis realizado mediante la propagación de rayos, dando como resultado el conjunto de puntos cardinales.

Fig. A.7. Lente zoom y su conjunto de puntos cardinales.

A.1.2 Resultados Obtenidos

Finalmente, en la tabla 1 se muestran los valores obtenidos de los puntos cardinales para la lente zoom, medidos pertinentemente desde los vértices externos de dicha lente.

Tabla 1. Valores obtenidos de los puntos cardinales de una Lente Zoom

Parmetro Simbolo Valor

Distancia focal anterior b.f.l -615.41 mm

Distancia focal posterior f.f.l 1 mm

Distancia focal anterior efectiva faefect 110 mm

Distancia focal posterior efectiva fpefect 110 mm

Primer Plano Principal-Primer Vértice de la lente dv1 -725.41 mm

Segundo Plano Principal-Segundo Vértice de la lente dv2 151 mm

A.2 Calibración de la Distorsión de la Lente Zoom

Es bien sabido [1, 69] que la distorsión es una de las aberraciones que más problemas causa, ya que desplaza los centroides de las manchas de su posición ideal. El resto de las aberraciones como la aberración esférica y el astigmatismo no afectan la evaluación de los centroides, sin embargo, la falta de simetría en la imagen, introduce un mínimo de aberración de coma. En todo caso, la distorsión radial ya sea de barril o de cojín provoca que los puntos


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imagen que provienen de sus respectivos puntos objeto, no se encuentran en la posición que predice la aproximación paraxial, sino que, se encuentran desplazados respecto a la posición predicha. Es obvio, que el cálculo de los centroides de cada mancha en la imagen que corresponde a las coordenadas (x1, y1) será afectado por este tipo de aberración, por la cual, es necesario calibrar dicha lente, para llevar a cabo la corrección pertinente y reducir la propagación de los errores.

Esta calibración se llevó a cabo, comparando las posiciones de los centros de un arreglo cuadrado de círculos que se utiliza como objeto (patrón de referencia impreso en serigrafía Fig. A.8), con las posiciones de dichos centroides obtenidos en el plano imagen. Dicho arreglo cuadrado, fue colocado en un plano cercano al plano donde se ubicó la superficie bajo prueba. Lo importante a la hora de calibrar por distorsión es que el eje óptico de la cámara debe permanecer perpendicular al plano comprendido por el patrón de referencia, para evitar que la perspectiva modifique el aspecto de la distorsión introducida por la lente.

Fig. A.9. Patrón de puntos de calibración impreso en serigrafía. Ahora bien, para el caso no paraxial, debemos tomar en cuenta el coeficiente de distorsión y realizar la corrección para obtener la posición correcta de los puntos. Entonces, la posición de la imagen con distorsión se define mediante la siguiente ecuación.

3i i ox h Ex , (A.1)

donde hi es la posición imagen paraxial, xo es la posición del objeto, y E es el coeficiente de distorsión. Por otro lado, sabemos que

i iT

o o

h xM

h x , (A.2)

donde MT es la amplificación transversal en el caso paraxial, entonces, sustituyendo (A.2) en (A.1), tenemos

3i T o ox M x Ex . (A.3)

Para despejar a xo se usa un método de inversión de polinomio, propuesto en ref [72], mediante el cual se obtiene la siguiente expresión

2 2 3o i i ix Ax Bx Cx . (A.4)


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Substituyendo la Ec. (A.4) en (A.3) tenemos

32 2 3 2 2 3i T i i i i i ix M Ax Bx Cx E Ax Bx Cx , (A.5)

Desarrollando la Ec. (A.5) y despreciando los términos de grado superior a 3 e igualando coeficientes del mismo grado a ambos lados de la igualdad se obtiene el sistema de ecuaciones:

TM A 1 , (A.6 a))

TM B 0 , (A.6 b)) 3

TM C EA 0 , (A.6 c))

Por lo que, al solucionar el sistema de ecuaciones simultáneas, se tiene

T

1A

M , (A.7 a))

B 0 , (A.7 b))

4T

EC

M , (A.7 c))

Con lo cual, podemos relacionar el coeficiente de distorsión, la amplificación transversal, los tamaños del objeto y la imagen de la siguiente forma:

3io i4

T T

x Ex x

M M . (A.8)

Que es igual al tamaño del objeto.

Finalmente, obtenemos hi multiplicando anterior (A.8) por la amplificación, lo que nos da la siguiente relación

3i T o i i3

T

Eh M x x x

M . (A.9)

Que es la posición de los puntos imagen corregidos por distorsión.

En la Fig. A.9 se la gráfica de la calibración de la distorsión para la lente zoom utilizada, en ella se muestra la relación entre la distancia radial de los centroides en la imagen respecto a la distancia radial de los centroides en el objeto. Estas distancias radiales están referidas al eje óptico del sistema que corresponde al eje óptico de la cámara.


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0 5 10 15

0

1

2

3 imagen(mm) vs objeto(mm)

línea de ajuste

imag

en(m

m)

objeto(mm)

Fig. A.9. Calibración de la distorsión para una Lente Zoom. Mediante un ajunte de los datos realizado en Origin, se obtuvieron los siguientes valores para la amplificación transversal y para el coeficiente de distorsión:

TM 0.17238 0.001117 , (A.10 a)) 6 6E 6.54052Exp 7.84124 Exp , (A.10 b))

Se dice que la distorsión es despreciable cuando ésta produzca un error de menos de un décimo de píxel, que es un límite razonable para la resolución en el cálculo de los centroides según los resultados que obtenidos en ref [72]. Finalmente, una vez obtenidas las coordenadas de los centroides de cada mancha en la imagen, éstos deben ser corregidos por la distorsión de la lente como se ha mencionado anteriormente siguiendo las siguientes ecuaciones:

' ' 2 ' 2 ' 2i i i i i3

T

Ex x x y x

M , (A.11 a))

' ' 2 ' 2 ' 2i i i i i3

T

Ey y x y y

M , (A.11 b))

donde (xi , yi) son las coordenadas de los centroides ya corregidos por distorsión, y (x’i , y’i) son las coordenadas de los centroides afectadas por las distorsión. A.3 Conclusiones En este apéndice se ha mostrado que mediante el uso de los conceptos de óptica paraxial [1-2], así como la propuesta hecha por Yobani Mejia [69], es posible obtener los puntos cardinales de una lente zoom. Adicionalmente, se ha mencionado sobre el problema de distorsión que introducen estos dispositivos, para esto, se ha realizado la calibración correspondiente del sistema óptico usado. En ambos casos los resultados son reproducibles, lo cual indica que el procedimiento realizado es confiable y válido. De esta forma podemos usar correctamente este dispositivo (lente zoom) para la evaluación de una esfera de calibración mediante el método de pantallas nulas propuesto.

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