27 de octubre de 2011

Asociación Mexicana de Actuarios

Teoría de la Credibilidad aplicada a los seguros de corto plazo

índice

1.Antecedentes

2.Teoría de la Credibilidad

3.Aplicación a una cartera de seguros a corto plazo

Antecedentes

• La credibilidad es una medida de creencia, que se atribuye a una posible experiencia con la finalidad de determinar las primas de riesgo. Desde el punto de vista etimológico, creer viene del latín credere que proviene de cor-dare, es decir dar el corazón, dar lo más íntimo, es decir, confiar o entregar lo más profundo de uno.

• A principios del siglo XX, y como consecuencia de que las técnicas estadísticas en uso no permitían resolver los problemas actuariales, los actuarios desarrollaron sus propios métodos de forma aislada a la corriente de su época, caracterizada porque todo conocimiento a priori carecía de valor estadístico. Hasta entonces, existían únicamente situaciones que demandaban la utilización de información procedente de observaciones empíricas para realizar algún análisis.

Antecedentes

• Las compañías aseguradoras, día con día, se enfrentan al desafío del mejoramiento de sus ingresos, de lograr rentabilidad, de contar con solvencia y dinamizar un óptimo desempeño de sus carteras.

• Es necesario que profundicen en el estudio de modelos matemáticos que proporcionen bases y sustentos sólidos para el cobro de primas justas, equitativas y suficientes, además de competitivas, frente a las primas de las demás compañías.

• Para hacer frente a estos retos, desde hace algunos años, los Actuarios han buscado establecer modelos que permitan tarificar primas de manera adecuada y cumplir con los propósitos mencionados.

Antecedentes

• Para ello, se debe determinar como debe ser equilibrada la información que se posee de un asegurado o riesgo en particular y la información que se tiene de todo un grupo de asegurados. Ésta es la base sobre la que descansa la Teoría de la Credibilidad, la cual comenzó a desarrollarse a principios del siglo XX con los trabajos de Mowbray en 1914 y Whitney en el año de 1918.

• Así, los Actuarios de la época comenzaron a desarrollar sus propios métodos de forma aislada a la corriente estadística de la época, pues las técnicas existentes entonces, no permitían resolver los problemas actuariales.

Antecedentes

• Al inicio, las estimaciones de las primas se realizaban basándose en la experiencia colectiva únicamente, pero al paso del tiempo, los sistemas aseguradores maduraron y se hicieron cada vez más dinámicos, y con ello se hizo claro que existen características individuales en cada póliza, conglomerado o grupo y las cuales, influyen dentro de la prima.

• Por lo anterior, se introduce un factor ponderante para el cálculo de la prima de una póliza que represente, fielmente, el dinamismo mencionado, es decir, establecer la prima como una combinación lineal o convexa entre la experiencia particular del asegurado y la experiencia del colectivo.

Antecedentes

• La elaboración de sistemas de tarificación, tiene por objetivo garantizar la solvencia de la entidad aseguradora y al mismo tiempo, asegurar que las tarifas sean lo más justas posibles para los asegurados.

• Los sistemas de tarificación a posteriori, se caracterizan porque la prima de riesgo individual depende de la evolución de la siniestralidad, de ese mismo riesgo individual, lo que produce heterogeneidad en la cartera.

• Una solución a este problema viene dada por los modelos de credibilidad, los cuales hacen frente a los problemas de heterogeneidad de una clase o cartera de riesgos a la hora de tarificar, combinando y equilibrando la información de la experiencia particular del asegurado con la experiencia de la cartera. De esta manera se puede asegurar que se cobre lo justo para cada cliente de acuerdo al riesgo que este represente.

• La Teoría de la Credibilidad es una colección de ideas concernientes al ajuste sistemático de las primas de los seguros a medida que se obtiene la experiencia de la siniestralidad. Esta colección de ideas o modelos, busca la estimación de las primas de los seguros colectivos, más o menos homogéneos, combinando la información global disponible con la información individual con la que se cuenta, frecuentemente ésta última es de carácter muy limitado.

• Esta Teoría consiste en agrupar las pólizas referentes a un mismo riesgo con un conjunto de características comunes en un grupo de asegurados. A su vez, cada póliza tiene un conjunto de características que deben ser tomadas en cuenta a la hora de calcular las primas de riesgo individuales.

• Los autores que dieron su origen son Whitney (1918), posteriormente por Bailey (1950), Bühlmann (1967), Goovaerts and Hoogstad (1987), Klugman (1992), entre otros.

Teoría de la Credibilidad

• Fue introducido para resolver el problema de heterogeneidad en las carteras para obtener la prima justa y suficiente mediante un valor que equilibre la experiencia individual del riesgo y la experiencia de la cartera.

• Para estimar el monto total de los siniestros se puede utilizar el promedio del monto de las reclamaciones, cuando las variables en cuestión tienen la misma distribución y son independientes entre sí. (Ley de los Grandes Números)

• Esta Teoría requiere de fundamentos bayesianos, por lo que es una metodología que comprende la incorporación de información histórica para un grupo en específico con respecto al total de la cartera.

Teoría de la Credibilidad

Teoría de la Credibilidad

• Esta teoría combina la experiencia de un asegurado en específico con la experiencia de toda la cartera de la empresa.

• La definición más ad hoc de la Teoría de la Credibilidad fue propuesta por Hickman en el año de 1975, definiendo a ésta como: “La Teoría de la Credibilidad es el mecanismo que permite el ajuste sistemático de las primas de seguros a medida que se obtiene la experiencia de siniestralidad”

• El objetivo de esta teoría, fue el establecer un balance entre la prima individual de cada riesgo o póliza y la prima de la cartera; por lo que, se estableció la siguiente fórmula:

zABzC )1( -

Teoría de la Credibilidad

• El objetivo de esta teoría, fue el establecer un balance entre la prima individual de cada riesgo o póliza y la prima de la cartera; por lo que, se estableció la siguiente fórmula:

C: Establece el balance entre A y B.

B: Prima de la cartera o prima teórica.

A: Prima propia correspondiente a los siniestros.

Z: Factor de credibilidad

zABzC )1( -

Teoría de la Credibilidad

Donde las variables que intervienen son:

: Período de observación (número de años de experiencia)

: Grado de heterogeneidad (medición de la disparidad o similaridad del riesgo)

: Variabilidad de las reclamaciones.

ats

atz

+= 2

t

a

2s

La asignación de un valor para Z esta en base a:

1. El volumen de la información individual relativa al volumen de la información de la cartera

2. Diferencias entre los datos individuales y los datos de la cartera.

Fundamentos

• Al desarrollarse la estadística Bayesiana se proporcionan fundamentos robustos para la tarificación a posteriori, siendo Arthur Bailey en el año de 1945, quien demostró que en determinados casos, la fórmula de la Credibilidad puede ser obtenida mediante el Teorema de Bayes.

• El Teorema de Bayes fusiona la información inicial conocida como distribución inicial o a priori con la información estadística de que se dispone, para así producir una distribución final o a posteriori.

• La solución Bayesiana, al problema de inferencia, brinda una descripción completa en términos de probabilidad sobre lo que conocemos en relación con el verdadero valor del parámetro. Por lo tanto, la Teoría de la Credibilidad sigue un esquema bayesiano, donde se da entrada a la información a priori con la información muestral para obtener, finalmente, un estimador revisado de la prima.

Fundamentos Bayesianos

• Para que el Teorema de Bayes pueda ser aplicado, es necesario especificar la distribución inicial, por lo que es indispensable que el parámetro a estimar tenga la condición de variable aleatoria.

• En el caso de riesgos nuevos sobre los cuales no existen datos disponibles, la Estadística Bayesiana brinda la solución a este problema, pues el uso de distribuciones iniciales resulta de gran utilidad, ya que en este caso, el Actuario se ve obligado a hacer un establecimiento inicial del riesgo, basado en condiciones no empíricas sobre las fuentes de siniestralidad.

Teorema de Bayes

El Teorema de Bayes, desarrollado por Thomas Bayes , en la teoría de la probabilidad, es el resultado que da la distribución de probabilidad condicional de una variable aleatoria B dada en términos de la distribución de probabilidad condicional de la variable E dada B y la distribución de probabilidad marginal de sólo B.

Teorema 1: Teorema de Bayes. Sea una partición de un espacio

muestral de un experimento aleatorio tal que y

. Sea un evento cualquiera tal que P(E) 0 y del que se conocen

las probabilidades condicionales , entonces la probabilidad

viene dada por la expresión:

n

iiB

1

n

iiB

1

iBEP EBiP

Teorema de Bayes

n

iii

iii

BPBΕP

)P(BBΕPΕBP

1

En otras palabras, podemos interpretar a las Bi’s como las posibles causas

y a E como un subconjunto del espacio muestral , con una probabilidad

de ocurrencia mayor o igual a cero, es decir, , .

ΩΕ 1ΕP0

Teorema de Bayes

Ahora, dado que conocemos un efecto determinado E, deseamos

conocer la probabilidad de que dicho efecto venga de la causa

específica Bi , entonces tenemos que para cualquier partición

y para un evento .

iB Ε

El Teorema de Bayes fusiona la información inicial, expresada mediante una distribución inicial o a priori, con las observaciones estadísticas, para producir una distribución final o posteriori, la cual sintetiza ambas fuentes de información y es la base para extraer conclusiones y tomar decisiones.

Teorema de Bayes El Teorema de Bayes requiere, para poder ser aplicado, especificar la distribución a priori del parámetro, por lo que su uso como procedimiento inferencial implica la condición de la variable aleatoria para el parámetro a estimar, y una visión del concepto de probabilidad en términos de grados de creencia, personales o subjetivos, e inevitablemente condicionados a la información de la que se dispone.

1. La distribución a posteriori constituye la solución bayesiana al problema de inferencia y ofrece una descripción completa en términos de probabilidad sobre lo que es conocido en relación con el verdadero valor del parámetro a lo largo del espacio paramétrico.

2. La distribución a priori indica lo que se sabe acerca del parámetro de la distribución antes de tomar la muestra, esta información puede consistir en el conocimiento de algún especialista en la materia o en información pasada acerca de la característica de interés que se desea estudiar.

Teorema de Bayes Sea una muestra aleatoria continua independiente dado(un parámetro desconocido y fijo dentro de un espacio paramétrico ) e idénticamente distribuidas de la función de densidad de probabilidad , con la función de densidad conjunta de las variables aleatorias es :

nXXXX ,,,, 321

ixfni ,,3,2,1

nXXXX ,,,, 321

fxfxf ,De donde no depende de y es la función de verosimilitud, de la que se obtiene la información del parámetro que tiene la muestra.

es la distribución a priori y nos indica lo que se sabe del parámetro de la distribución antes de tomar la muestra.

es la distribución a posteriori del parámetro dada la muestra , y determina lo que se sabe del parámetro de la distribución dada la muestra.

xf xL

f

xf

x

Fundamentos bayesianos Sea una muestra aleatoria continua independiente dado

(un parámetro desconocido y fijo dentro de un espacio paramétrico ) e idénticamente distribuidas de la función de densidad de probabilidad , con la función de densidad conjunta de las variables aleatorias es :

nXXXX ,,,, 321

ixfni ,,3,2,1

nXXXX ,,,, 321

fxfxf ,De donde no depende de y es la función de verosimilitud, de la que se obtiene la información del parámetro que tiene la muestra.

es la distribución a priori y nos indica lo que se sabe del parámetro de la distribución antes de tomar la muestra.

es la distribución a posteriori del parámetro dada la muestra , y determina lo que se sabe del parámetro de la distribución dada la muestra.

xf xL

f

xf

x

Recordando….

• El objetivo de esta teoría, fue el establecer un balance entre la prima individual de cada riesgo o póliza y la prima de la cartera; por lo que, se estableció la siguiente fórmula:

C: Establece el balance entre A y B.

B: Prima de la cartera o prima teórica.

A: Prima propia correspondiente a los siniestros.

Z: Factor de credibilidad

zABzC )1( -

Recordando…

Donde las variables que intervienen son:

: Período de observación (número de años de experiencia)

: Grado de heterogeneidad (medición de la disparidad o similaridad del riesgo)

: Variabilidad de las reclamaciones.

ats

atz

+= 2

t

a

2s

Credibilidad parcial o total

El objetivo de esta fórmula de credibilidad fue el establecer un balance entre la

prima individual y la de la cartera, por lo que el factor de credibilidad Z tiene una importancia en particular de acuerdo a la siguiente tabla

Factor de Credibilidad

Factor de Credibilidad

En este caso se concluye que, mientras mayor sea la experiencia, se da mayor credibilidad a las primas de riesgo; si por el contrario, la experiencia es nula, se otorga mayor credibilidad a las primas de la experiencia de la cartera

Factor de Credibilidad

En este caso, se observa que a mayor heterogeneidad, se otorga mayor credibilidad a las primas de riesgo, en cambio, mientras la cartera sea homogénea, se otorga mayor credibilidad a las primas de la experiencia de la cartera.

Factor de Credibilidad

De este caso se concluye que, si la variabilidad entre los siniestros es amplia se la da mayor credibilidad a la prima de la experiencia de la cartera; en el caso de la variabilidad sea nula se toma como base la prima de los siniestros.

Factor de Credibilidad

De este caso se concluye que, si la variabilidad entre los siniestros es amplia se la da mayor credibilidad a la prima de la experiencia de la cartera; en el caso de la variabilidad sea nula se toma como base la prima de los siniestros.

Método de Bühlmann

• El método de Bühlmann fue el primer modelo que demostró, matemáticamente, la Teoría de la Credibilidad y su apego con la estadística bayesiana. Además, de ser el primer método de cálculo de prima de riesgo robusto que se creó para las ciencias actuariales.

• La idea del modelo original, planteado por Hans Bühlmann, radica en determinar un estimador lineal que permita ponderar la experiencia individual con la de toda la cartera. Previo a su planteamiento teórico se muestra la notación estructural

Notación estructural del método de Bühlmann

Variables para la costrucción del método de Bühlmann

Por lo que se requiere determinar rXE

Método de Bühlmann

Método de Bühlmann

Método de Bühlmann

221,,,

0tcc

XXXgEMint

2

00,,0

t

iiicc

XccEMint

Ahora bien, se debe obtener el mínimo en relación a cada uno de los coeficientes de Xi, usando herramientas de cálculo diferencial e integral y bajo condiciones de regularidad. Con ello es posible obtener valores mínimos de las variables utilizando las derivadas de las funciones e igualándolas a cero, por lo que se deriva la expresión anterior respecto a obteniendo lo siguiente:

Método de Bühlmann

t

ii

t

iii mcmXcEEc

000

Entonces se puede re-expresar la función óptima en términos del promedio ponderado de la esperanza del riesgo individual y la esperanza de los siniestros de toda la cartera de la siguiente manera:

ats

atz

2

Ventajas que ofrece el método de Bühlmann

1. Se obtienen primas por conglomerados en mayor detalle que los métodos frecuentistas;

2. Toma en cuenta la experiencia del actuario que elabora el análisis y la experiencia de la compañía;

3. Si se aplica mediante automatización, pueden obtenerse primas en un periodo relativamente corto;

4. Cumple con los criterios de equidad y suficiencia de las primas; y,

5. Aplica la heterogeneidad en un grado básico.

Aplicación a una cartera de seguros a corto plazo

Realizar conjuntamente el cálculo de las primas de riesgo, mediante el Modelo de Credibilidad con la información del 100 unidades expuestas.

El cálculo de las primas de riesgo se elaborará para las coberturas de Daños Materiales y Robo Total

Aplicación a una cartera de seguros a corto plazo

Aplicación a una cartera de seguros a corto plazo

Una vez obtenidas las primas de riesgo para cada obertura, se ponderará la experiencia de cada tipo de vehículo con la experiencia de la marca a la que pertenece dicho vehículo. Para ello, es necesario determinar el factor de credibilidad Z , y a su vez obtener los estimadores insesgados para la prima teórica, la varianza y la heterogeneidad promedio del monto de los siniestros, establecidos en el capítulo anterior.

Estos estimadores serán calculados para cada uno de los tipos de vehículo presentes en la cartera de la compañía y para cada cobertura mencionada previamente.

Aplicación a una cartera de seguros a corto plazo

Cálculo de estimador de prima teórica

k

j

t

r

jrk

jj t

x

kx

km

1 11

11ˆ

Cálculo de estimador de varianza

2

1 1

2

11

2

11

111

k

j

t

rJjr

t

rJjr

k

j

Mxtk

Mxtk

s

Aplicación a una cartera de seguros a corto plazo

Cálculo de estimador de heterogeneidad

2

1

2ˆ

1ˆ

11

ˆ st

mMk

ak

jJ

Cálculo de factor de credibilidad Z

ats

atz

2

Finalmente…

Prima de Credibilidad

zABzC )1( -

Fortalezas

1. La método de credibilidad requiere de un análisis profundo de la siniestralidad del riesgo y permite incorporar el conocimiento de los expertos que evalúan las primas.

2. Permite combinar la información de cada póliza con la experiencia del sector asegurador.

3. La CNSF comenzó a registrar este tipo de modelos de tarificación para la determinación de primas.

4. Se toman en cuenta las diferencias de siniestralidad en riesgos similares.

5. Reducción de tiempos en procesos técnicos y administrativos.

Finalmente…

Oportunidades

1. Una vez automatizado el modelo es de fácil y práctico uso, permitiendo generar cotizaciones de primas en poco tiempo.

2. Permite realizar un mejor cálculo de primas que sean suficientes y justas para cubrir las obligaciones de la compañía.

3. Permite calcular primas de acuerdo a cada riesgo específico.

4. Permite unificar la heterogeneidad de la cartera, a diferencia de un modelo tradicional que no permite incorporar esta información en el cálculo de la prima.

Finalmente…

Debilidades

1. Es de difícil aplicación si no se cuenta con una base de siniestralidad que permita analizar la información recopilada, así como las primas obtenidas a partir de la experiencia de la cartera.

2. Para ser aplicada debe mostrar la confianza suficiente.

3. Es necesaria la comprensión del modelo por la persona que realiza los cálculos.

4. La información estadística disponible del mercado no es tan específica, es muy limitada.

Finalmente…

Amenazas

1. La confianza de los cálculos depende de que la información histórica sea suficientemente fidedigna.

2. Posible aplicación de una prima más costosa que la generada mediante la metodología tradicional.

Finalmente…

Gracias!!