INTRODUCCIÓN

El flujo en ríos consiste en el movimiento si-multáneo de agua y sedimentos; por tanto, un cam-bio en las condiciones del flujo puede asociarse auna variación en el transporte de partículas en elfondo y, consecuentemente, en una modificacióndel relieve del cauce. Por tradición, prevalece lapráctica de realizar modelos matemáticos predicti-vos del nivel del fondo y las condiciones del flujoque separan ambos aspectos en dos componentes:sedimentos y agua. Tal consideración se basa en losdistintos tiempos de respuesta de los movimientosdel agua y sedimentos, como explican Bere-zowsky y Jiménez (1995). La hipótesis principalen la mayoría de estos modelos llamados no aco-plados, considera al fondo fijo durante la soluciónde las ecuaciones hidrodinámicas y al flujo congasto constante durante el cálculo del fondo móvil.En muchos casos prácticos, se justifica el uso de

sistemas de ecuaciones no acoplados debido a quela respuesta dinámica del fondo es mucho más len-ta que la del líquido; dicho de otra forma, en tramoslargos, el fondo se ajusta a caudales medios men-suales y casi no le afectan las variaciones diarias uhorarias en el flujo. En un tramo más o menos cor-to de un río, modificaciones bruscas en su régimende flujo pueden causar un cambio rápido en los ni-veles del fondo y en la capacidad de transporte, locual magnifica la importancia de la vinculación en-tre los movimientos del agua y del sedimento. Eneste caso no se recomienda emplear un modelo noacoplado ya que puede subestimarse la prediccióndel movimiento del fondo. Holly y colegas (Holly yRahuel, 1989, 1990 a y b; Rahuel et al, 1989; van-Nicker, 1992; Keh-Chia et al, 1993) han trabajadoen el mejoramiento de los modelos acoplados y se-miacoplados. La escuela de estos autores consideraque la distribución granulométrica cambia con eltiempo; suponen una capa activa o capa de mezcla-

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Resumen:La mayor parte de los modelos de fondo móvil existentes son aplicados a un diámetro represen-tativo del material del fondo. Esta consideración puede no ser la más recomendable, ya que si lamuestra de sedimentos es no uniforme, se genera un error sustancial en la estimación del trans-porte y depósito de partículas en el fondo. En estos casos lo más conveniente es dividir la mues-tra en fracciones con un diámetro representativo para cada una y calcular el transporte de sedi-mento por partes. En el presente trabajo se desarrolla un modelo numérico unidimensional defondo móvil, que pronostica los procesos de erosión y depósito y determina el cambio granulo-métrico asociado al movimiento del fondo. Las ecuaciones hidrodinámicas se resuelven por elmétodo de pasos fraccionados y las ecuaciones de sedimentos a través de un esquema explícito.Ambos sistemas se acoplan en el tiempo. El cambio granulométrico se determina adoptando elconcepto de capa activa. Se comparan y analizan los resultados obtenidos al modelar empleandola fórmula de transporte en sus posibles variantes: a) empleando un diámetro representativo dela muestra, b) dividiendo la muestra en fracciones y c) dividiendo en fracciones y asociando elcambio granulométrico. Los resultados muestran una mejor representación y caracterización delfondo al considerar el cambio granulométrico durante la simulación, de manera que el modelodesarrollado proporciona criterios útiles que se pueden emplear en estudios posteriores.

Palabras clave: Capa activa, transporte de sedimentos, evolución del fondo, modelación numérica,cambio granulométrico.

Universidad Autónoma Metropolitana – Azcapotzalco. Apdo. Postal 75-437. C.P. 07301, México, D.F.. México, D.F. (1) Tel.. (52 5)318 90 65. Fax (52 5)394 73 78. E-mail : jrt@pumas.iingen.unam.mx (2) Tel. (52 5)318 95 39. Fax (52 5)394 73 78. E-mail: gsc@correo.azc.uam.mxArtículo recibido y aceptado para su publicación el 4 de octubre de 2001. Pueden ser remitidas discusiones sobre el artículo hasta seis meses después dela publicación del mismo siguiendo lo indicado en las “Instrucciones para autores”. En el caso de ser aceptadas, éstas serán publicadas conjuntamentecon la respuesta de los autores.

ANÁLISIS COMPARATIVO DEL TRANSPORTE DE SEDIMENTOS

CON CAMBIO GRANULOMÉTRICOFabián Rivera Trejo1 y Gabriel Soto Cortés2

do la cual se define como el lugar en el espaciodonde se llevan a cabo los fenómenos de erosión,depósito, acorazamiento, etc., o sea el sitio donde elmaterial del fondo es susceptible de moverse. Eneste tipo de modelos, se resuelven las ecuacionespara el agua y los sedimentos de manera simultá-nea, lo cual permite minimizar el error que se pro-duce en una solución no acoplada. Aunque en am-bos enfoques, acoplados y no acoplados, se resuel-ven las ecuaciones para ríos de planicie constitui-dos principalmente por arenas y gravas, algunosautores como López y Falcón (1999) han trabajadoen ríos de montaña aplicando procedimientos aná-logos con buenos resultados. En el presente trabajose adopta el concepto de capa activa y se desarrollaun modelo de transporte semiacoplado en el tiem-po, aplicable a problemas de escala media y ríos deplanicie donde las ecuaciones promediadas en laprofundidad sean aplicables.

PROCESOS FÍSICOS Y ECUACIONESFUNDAMENTALES

Los procesos de erosión y depósito en cauceshan motivado e incrementado la demanda de mo-delos numéricos capaces de predecir la hidrodiná-mica, la evolución del fondo y la distribución gra-nulométrica asociada. Dichos modelos se funda-mentan en las ecuaciones de continuidad y cantidadde movimiento del agua y sedimentos.

Ecuaciones hidrodinámicas

Las ecuaciones hidrodinámicas unidimensio-nales aquí utilizadas, que se derivan de las hipótesisde Saint-Venant para aguas poco profundas y queno consideran el efecto de esfuerzos cortantes en lasuperficie, ni la componente debida a la aceleraciónde Coriolis son las siguientes:

Ecuación de cantidad de movimiento:

Ecuación de continuidad:

donde: g es la aceleración de la gravedad, h el ti-rante, H la elevación de la superficie libre, τbx el es-fuerzo cortante en el fondo, u la componente de ve-locidad en la dirección del flujo, ρ la densidad delagua, U el gasto por unidad de ancho en la direc-ción del flujo, u es la componente de velocidad, t el

tiempo y υt la viscosidad turbulenta. El esfuerzocortante en el fondo, se escribe en función de lapendiente de fricción Sf

Las variables dependientes en las ecuacionesanteriores son U = uh y h=H-zb, donde zb corres-ponde a la cota de fondo.

Ecuaciones de sedimentos

Por su parte, la mezcla de sedimentos en ríosse representa por n tamaños de clase, así que en eltransporte de sedimentos y en la evolución del fon-do, las incógnitas principales son: la distribucióngranulométrica en la superficie βi y la elevación delfondo zb. El sistema de ecuaciones se adopta deltrabajo de Spasojevic y Holly (1990).

Con este fin, se define el volumen elementalfinito completo como se muestra en la Figura 1.Donde el volumen elemental se define con un espe-sor igual al espesor de la capa activa, Em. Siempreque las partículas son adicionadas o removidas dela superficie dentro del volumen elemental, su dis-tribución granulométrica cambia. ∆l representa lalongitud del volumen elemental finito, mientrasque qse y qss son el gasto de sedimentos a la entraday a la salida respectivamente.

Si ∆V representa el volumen elemental quecontiene a la capa activa y p es la porosidad, enton-ces (1-p) ∆V es el volumen de todas las partículascontenidas en ∆V. La fracción β en la capa activa deun tamaño en particular, se define como la razóndel volumen de partículas de tamaño n, entre el vo-lumen total de partículas contenidas en ∆V.

Una vez definido el volumen elemental, seaplica la ecuación de continuidad correspondiente acada tamaño de clase:

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Figura 1. Volumen elemental del fondo

donde:

sumando todas las fracciones se tiene la ecuaciónde continuidad global del fondo:

donde: qsi el transporte volumétrico de sedimentosde tamaño i por unidad de ancho, βi la fracción vo-lumétrica en la capa activa para un tamaño i, mien-tras que Sei es el término fuente de intercambio desedimentos entre estratos del fondo. El espesor dela capa activa Em depende de los n gastos sólidosqsi. El término fuente del fondo Se, depende del ti-rante h, de la velocidad u y de las incógnitas princi-pales de los sedimentos (zb y β).

Capa activa

La capa activa y su espesor durante los proce-sos de erosión y depósito no son iguales. Durante laerosión la capa activa queda definida de acuerdo ala fórmula de Bennet y Nordin (1977) y es propor-cional al grado de erosión que ocurre durante el pa-so de tiempo:

donde n representa al instante de tiempo actual yn+1 el siguiente.

Si el fondo se aproxima a la condición de aco-razamiento, el espesor de la capa activa tiende a ce-ro, por lo que se usa la siguiente aproximación:

Durante el depósito el espesor de la capa ac-tiva se define por la siguientes expresión:

Transporte de sedimentos

Como ecuación representativa del transportetotal de sedimentos se adoptó la formula desarrolla-da por Karim (1998), la cual describe el gasto de se-dimentos (qs) en función de: la velocidad del flujo(u), la velocidad al esfuerzo cortante (u*), la veloci-dad de caída de la partícula (W), la gravedad espe-cífica de las partículas (s) y el diámetro medio (D50)

Al considerar que la muestra de sedimentosesta dividida en n fracciones, con (Di) representan-do el diámetro medio de cada fracción de tamaño i,entonces el gasto total de sedimentos de tamaño iqueda representado por:

Donde φi representa una función de peso de lafracción i, qs(Di) se deriva de (10) sustituyendo aD50 por Di y a la velocidad de caída W por la velo-cidad de caída de la fracción i (Wi).

Al considerar que las partículas no estánigualmente expuestas en el fondo, se supone unfactor de corrección (Pai) del área de la superficiecubierta por partículas de sedimentos de tamaño Diy con fracción volumétrica βi:

El efecto de cobertura de las partículas máspequeñas por las más grandes se representa por elfactor de ocultación (γ) y se define como:

donde C1 y C2 son exponentes empíricos que sepueden expresar como funciones de las variablesdel flujo: velocidad al cortante (u*) y la velocidadde caída para el diámetro medio D50 (W). Karim de-terminó las siguientes expresiones a partir del aná-lisis de datos experimentales de Einstein y Chien(1953).

A partir de las expresiones anteriores la fun-ción de peso φi, queda definida como:

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por lo que la ecuación de transporte de sedimentospor fracciones se obtiene a partir de (11), (12) y(13) y se escribe:

ESQUEMA NUMÉRICO DE SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES HIDRODINÁMICAS Y DE SEDIMENTOS

El sistema de ecuaciones total queda formadoen la parte hidrodinámica por: la ecuación de canti-dad de movimiento y la ecuación de continuidad(ecs. 1 y 2). En la parte de sedimentos: n ecuacionesde continuidad para cada tamaño de fracción i (ec.4) y una ecuación de continuidad global de sedi-mentos (ec. 6).

En las ecuaciones hidrodinámicas, se repre-senta la superposición de tres procesos físicos ele-mentales llamados: advección, difusión y propaga-ción (Benqué et al, 1982). La naturaleza de estasecuaciones hace posible el considerar el método desolución numérica más conveniente en cada caso.El método de pasos fraccionados desarrollado porYanenko et al. (1971) es particularmente aplicablea este tipo de problemas; suponiendo que el estadodel sistema se conoce al tiempo n ∆t, el nuevo esta-do al instante (n+1)∆t se calcula con la aplicaciónsucesiva de las etapas advectiva, difusiva y propa-gativa (Soto, 2000).

El método de solución disocia el sistema no li-neal de ecuaciones diferenciales en un grupo lineal-tridiagonal. La advección se calcula con un esque-ma explícito en diferencias finitas; la difusión decantidad de movimiento se calcula de manera semi-implícita y para tomar en cuenta los esfuerzos tur-bulentos de Reynolds se incorpora un coeficientede viscosidad turbulenta constante. La etapa depropagación se resuelve de manera semi-implícita.

Por otra parte, el sistema formado por lasecuaciones de sedimentos, llamado módulo de se-dimentos se resuelve a través de un esquema explí-cito. Partiendo de los valores calculados en el mó-dulo hidrodinámico se estiman las relaciones auxi-liares como son: la velocidad de caída de las partí-culas, el espesor de la capa activa, el esfuerzo cor-tante debido a los granos, el gasto sólido, etc. Conestos valores se forma el sistema de ecuaciones desedimentos, el cual relaciona al porcentaje de mate-

rial contenido en la capa activa y su gasto sólido pa-ra cada tamaño representativo de partículas en elfondo.

Para visualizar la solución del sistema deecuaciones, se puede pensar que las incógnitas desedimentos son los componentes de un vector enun punto, de la siguiente manera:

De manera más compacta se puede escribircomo:

donde k se introduce para denotar al tamaño i-ési-mo de la mezcla de sedimentos en consideración.

La ecuación de continuidad global de sedi-mentos (6), simbólicamente se puede escribir co-mo:

La ecuación de continuidad por fracciones (4)

Las ecuaciones 20 y 21 forman un sistema al-gebraico de ecuaciones no lineales. En su soluciónse aplica el método de Newton-Raphson donde alsistema a resolver es de la forma:

donde J representa al jacobiano. Rescribiendo lasecuaciones que forman el sistema algebraico se tie-ne:

donde a1,1,,,ak+1,k+1 representan a los coeficientes deljacobiano, Arreglándolo en forma matricial queda:

Las correcciones de las variables de sedimen-tos se escriben como:

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o de manera explícita:

Una vez obtenidas las correcciones de las va-riables de sedimentos, el valor actualizado de la ite-ración se calcula por medio de:

Las iteraciones continúan hasta que un crite-rio de convergencia previamente establecido se al-canza, es decir:

donde es el vector de convergencia.

Una vez finalizado el módulo de sedimentos,se fijan los nuevos valores de la distribución granu-lométrica y cotas del fondo. Estos valores ingresanal módulo hidrodinámico como datos para el si-guiente paso de tiempo. Se hace notar que la fric-ción en el fondo cambia debido a variaciones en lagranulometría y cotas del fondo, por lo que ésta serecalcula cada vez que se modifican estas condicio-nes. Es interesante comentar que debido a las dife-rentes escalas morfológicas entre el agua y los sedi-mentos, es posible realizar varios pasos de tiempohidrodinámicos y después acoplarlos al módulo desedimentos sin originar un error sustancial en losresultados. Este proceso se repite y avanza, hastaque se alcanza el tiempo máximo de simulación.

CONDICIONES INICIALES Y DE FRONTERA

Las condiciones iniciales están representadaspor las características geométricas del cauce, la to-pografía inicial, las características del material(composición), los parámetros hidrodinámicos ylas capacidades de transporte de sedimentos. Lascondiciones de frontera son aguas arriba: el gastolíquido U y el gasto de sedimentos qs, aguas abajo:el nivel del agua; además, se considera la hipótesisde deslizamiento nulo en las márgenes.

SIMULACIÓN NUMÉRICA

El modelo matemático descrito se utiliza parasimular numéricamente los cambios morfológicosy sedimentológicos generados por un flujo líquidoconstante a la entrada y un nivel constante a la sali-da y para estudiar los cambios granulométricosasociados a los procesos de erosión y depósito.

La composición granulométrica propuesta semuestra en la tabla 1:

Las condiciones propuestas fueron las si-guientes:

Gasto líquido aguas arriba: U = 13.8 l/sGasto sólido aguas arriba: Qs =0.0 m3/s Pendiente: So = 0.0Tiempo de modelación: t= 3h Tirante aguas abajo: h = 0.104 m Fórmula de fricción aplicada: EngelundFórmula de transporte: KarimPaso de tiempo hidrodinámico: 0.1sPaso de tiempo de sedimentos: 5s

Se consideró un tramo esquemático de 5.5 mde longitud que simula la curvatura de un río comose muestra en la Figura 2.

A continuación se grafican los resultados ob-tenidos durante la simulación. En la Figura 3 segráfica la evolución del fondo modelada con los di-ferentes criterios. La Figura 4 esquematiza el cam-bio granulométrico del fondo.

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Numero de clase iDiámetro medio (mm)

Porcentaje contenido (%)Porcentaje acumulado (%)

10.022020

20.162040

30.212060

43.52080

57.520100

Tabla 1. Composición granulométrica

Figura 2. Modelo propuesto (vista en planta)

Figura 3. Movimiento del fondo (t = 1 h)

DISCUSIÓN DE RESULTADOS

En la Figura 3 se puede apreciar que existeuna diferencia muy marcada entre modelar el mo-vimiento del fondo utilizando una fórmula de trans-porte total, una por fracciones y una con cambiogranulométrico. Se nota que en el modelo de trans-porte total se tiene una menor variación en la cotadel fondo (línea gruesa), debido principalmente aque domina el efecto del diámetro mayor sobre elpromedio total de la muestra. En cambio en el mo-delo de transporte por fracciones se tiene mayormovilidad de los granos finos y por eso se calculauna variación mayor del nivel del fondo (línea fi-na). Sin embargo, se sabe que a medida que el fon-do se va erosionando van apareciendo los granos demayor diámetro por lo que considerar que no cam-bian implica cierto error. De igual manera, duranteel depósito se va adicionando material con distintagranulometría que la original, lo cual tiene el mis-mo efecto que estimar el transporte sin tener encuenta este cambio. Esta es la causa principal queorigina la diferencia que se encuentra al aplicar lafórmula de transporte por fracciones con y sin cam-bio granulométrico. Se observa que cuando se con-sidera cambio granulométrico (línea media) la ero-sión es menor, esto se debe a la aparición de partí-culas de mayor diámetro en el fondo; mientras quedurante el depósito, las partículas finas son arras-tradas con más facilidad que el resto y por ello el ni-vel no se eleva tanto como cuando no existe varia-ción granulométrica.

Los cambios granulométricos asociados conla variación del fondo se grafican en la Figura 4,donde B1, B2, B3, B4 y B5 son las fracciones granu-lométricas asociadas a los respectivos diámetros re-

presentativos d1, d2, d3, d4 y d5. En ella se muestra lacantidad en fracción volumétrica de material conte-nido en la superficie del fondo.

Partiendo de la hipótesis de que todas lasmuestras se encontraban en la misma proporción(20 %), en la Figura 4 se aprecia, cómo se va aco-razando el fondo en la parte donde se tiene mayorerosión y cómo en el tramo donde se tiene depósitoaumenta la proporción de partículas finas.

Se hace la aclaración que esta nueva granulo-metría obtenida se encuentra solamente en una pe-queña capa superficial, y por consiguiente, una va-riación brusca de las condiciones iniciales puededejar al descubierto la granulometría inicial. Este ti-po de cambio se encuentra considerado dentro de lamodelación.

CONCLUSIONES

En el presente trabajo se desarrolló un mode-lo numérico unidimensional que incorpora en sucálculo la variación granulométrica asociada al mo-vimiento del fondo por medio del concepto de capaactiva o capa de mezclado. Se hace un análisiscomparativo entre las diferentes maneras de aplicarla fórmula de transporte: a) transporte total, b) porfracciones y c) con cambio granulométrico.

Se encontraron diferencias significativas almodelar el movimiento de fondo por medio de lafórmula de transporte de sedimentos en sus distin-tas variantes. De la discusión previa se puede con-cluir que al aplicar la fórmula de transporte concambio granulométrico, se tiene una mejor repre-sentación y caracterización del fondo, debido a laconsideración del cambio de granulometría durantela simulación.

Se considera que el desarrollo planteado esuna buena alternativa para el estudio del movi-miento de fondo; además, proporciona algunos cri-terios útiles, que se pueden emplear en estudiosposteriores donde el cambio de granulometría jue-gue un papel importante durante la modelación.

AGRADECIMIENTOS

Se agradece al CONACYT, al Instituto de In-geniería de la UNAM y a la Universidad AutónomaMetropolitana por el apoyo económico y moralotorgado para la realización de este trabajo.

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Figura 4. Cambio granulométrico al final de la modelación

LISTA DE SIMBOLOS

coeficientes del jacobianoexponentes empíricosDiámetro 50Diámetro de tamaño iespesor de la capa activaaceleración de la gravedadelevación de la superficie libretiranteJacobianotamaño i-ésimo de la mezcla de sedi-mentosescala de estudio cortaescala de estudio largaescala de estudio mediaescala de adaptación hidrodinámicaescala de adaptación sedimentológicanúmero de tamaños de clasefracción del área de la superficie cubier-ta por partículas de la fracción iésima deltamaño Difracción volumétrica.transporte global volumétrico de sedi-mentos por unidad de anchotransporte volumétrico de sedimentos detamaño i por unidad de anchogravedad específica de las partículastérmino fuente de intercambio de sedi-mentos en el fondopendiente de fricciónvector de sedimentostiempocomponente de velocidadgasto por unidad de anchovelocidad al cortantevelocidad de caída de partículas con ta-maño medio D50velocidad de caída de partículas de tama-ño icota de fondofracción volumétrica de tamaño i en lacapa activaincrementovector de convergenciafactor de ocultamiento para partículas detamaño idensidad del aguaesfuerzo cortante en el fondoviscosidad turbulenta

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a1,1,,,ak+1,k+1

C1,C2

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