2

7/17/2019 2

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UNAD

UNIVERSIDAD ABIERTA Y ADISTANCIA

Ingeniería ambiental

ECAPMA

TRABAJO COLABORATIVO FASE II

CALCULO INTERAL

Pre!enta"# a$

T%t#r$ E"gar Orle& M#ren#

Pre'ara"# '#r$

Cla%"ia Patri(ia N#!!a Fig%er#a

COD$ )*+,+-*./*0

S#gam#!#1 B#&a(2

3*)+

7/17/2019 2


7/17/2019 2


1.

∫0

1

ln ( x)dx=−1

∫0

1

ln ( x)d x

Calcular la integral indefnida

∫ ln ( x ) dx= xln( x)− x+C

∫ ln ( x ) dx

Aplicar integración por partes ∫uv' =uv−∫ u' v

u=ln ( x ) u' =1

x v

' =1v= x

¿ ln ( x ) x−∫ 1

x x dx

¿ xln ( x )−∫1

dx

∫1dx= x

¿ xln ( x )− x

Agregar una constante a la solución

¿ xln ( x )− x+C

Calcular los límites:

∫0

1

ln ( x)dx :∫0

1

ln ( x)dx=−1−0

7/17/2019 2


F ( x)(¿¿)

x→a+¿¿( F ( x ))−lim

¿¿

x→b−¿¿

∫a

b

f ( x)dx= F (b )− F (a )= lim¿ ¿

•

lim x→ 0

( xln ( x )− x )=0

lim x→ 0

(+ xln ( x )−lim x →0

+ x )

lim x→ 0

(+ xln ( x ) )=0

lim + x→ 0(

ln ( x)1

x )

lim + x→ a

(

f ( x )

g ( x) )=lim +

(

f ' ( x )

g ' ( x) ) x →a

Condición ¿−∞

∞

(ln ( x)

1

x )=¿ lim +

x →0( (ln ( x)) '

1

x ' )

lim + ¿

ln ( x )=1

x

d

dx=¿

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ln ( x )d

dx=¿

Aplicar la regla de derivación

ln ( x )=1

x

d

dx=¿

¿ 1

x

d

dx ( 1 x )=−1

x2

d

dx ( 1 x )

1

x= x

−1

=d

dx ( x−1 )

Aplicar la regla de la potencia:

∫ xadx=

xa+1

a+1, a≠−1

¿−1 x−1−1

Simplifcar:

¿− 1 x

2

¿ lim + x→ 0(

1

x

−1

x2 )

7/17/2019 2


Simplifcar:

¿=lim + (− x)

¿−0

¿0

lim x→ 0

(+ ( x ) )=0

¿0−0

¿0

•

lim x→ 1

( xln ( x )− x )=−1

lim x→ 1

(− xln ( x )−lim x →1

− x )

lim x→ 1

−( x )=1

lim x → a

x

¿a

¿1

lim x→ 1

(−ln ( x ) )=0

¿0

¿1∗0

¿0

7/17/2019 2


lim x→ 1

−( x )=1

¿1

¿0−1

¿−1

¿−1−0

¿−1

2.

∫2

∞1

( x−1)2 dx

Aplicar integración por sustitución:

∫ f (g ( x ) )∗g' ( x ) dx=∫ f ( u ) du u=g ( x)

u= ( x−1)du=1dx

¿∫ 1

u21du

¿∫ 1

u2 du

1

u2=u

−2

7/17/2019 2


∫u−2

du


∫ xadx=

xa+1

a+1

, a≠−1

¿ u

−2+1

−2+1

Sustituir en la ecuación: u=( x−1)

¿( x−1)−2+1

−2+1

Simplifcar:

¿− 1

x−1

Agregar constante:

¿− 1

x−1 +C

Calcular los límites: ∫2

∞1

( x−1)2 dx :

−1

∫2

∞1

( x−1)2 dx=0−¿ )

F ( x)(¿¿)

x→a+¿ ¿( F ( x ))−lim¿

¿

x→b−¿¿

∫a

b

f ( x)dx= F (b )− F ( a)=lim¿

¿

7/17/2019 2


• lim

x→ 2 ( −1

x−1 )=−1

Sustituir la variable:

( −1

2−1 ) Simplifcar: ¿−1

• lim

x → ∞ ( −1

x−1 )=0


( −1

∞−1 ) Simplifcar: ¿0

¿0−(−1)

¿1

3.

∫−∞

∞

e−5 x=∞

Calcular la integral indefnida: ∫e−5 x

dx=e

−5 x

5 +C

∫e−5 x

dx


∫ f (g ( x ) )∗g' ( x ) dx=∫ f ( u ) du u=g ( x)

u=−5 X du=−5 dx,dx=(−1

5 )du

7/17/2019 2


∫eu(−1

5 )du

∫ −eu

5 du

Sacar la constante: ∫a∗f ( x ) dx=a∫ f ( x ) dx

¿−1

5∫ e

udu

Aplicar la regla de integración: ∫eudu=e

u

¿−1

5 eu

Sustituir en la ecuación U =−5 x

¿−1

5 e(−5 x)

Simplifcar:

¿ e(−5 x)

5

Agregar constante:

¿ e

(−5 x)

5 +C

Calcular los límites: ∫

−∞

∞

e−5 x

dx=∫−∞

∞

e−5 x

dx=0−(−∞)

7/17/2019 2


F ( x)(¿¿)

x→a+¿¿( F ( x ))−lim

¿¿

x→b−¿¿

∫a

b

f ( x)dx= F (b )− F (a )= lim¿ ¿

• lim

x →−∞

e(−5 x)

5 =−∞

c∗f ( x )=¿¿¿

lim x → a

¿

lim x →−∞

e(−5 x)

5

lim x→ a [ f ( x)

g( x ) ]¿lim f ( x)

x →a

lim x→ a

g ( x),donde lim

x → a

g( x )≠0

e

¿lim

x→−∞(¿¿−5 x )

lim x →−∞

(5)

¿

• lim

x →−∞

e(−5 x)

5 =∞

Usar la continuidad de e x

en x=−∞

¿ e∞

Simplifcar:

7/17/2019 2


¿∞

•lim

x →−∞

(5)=5

lim x→ a

c=c

¿5

¿−∞

5 Simplifcar ¿−∞

• lim

x → ∞

(−e

−5 x

5 )=0

¿e−∞

¿−∞

•lim

x → ∞

(5)=5

¿−0

5

¿−0

¿0

¿0−(−∞)

¿∞

4.

∫2

5

4+ x

√ x2

−4

dx=(√ 21 )+4 ln (5+√ 21

2

)

Calcular la integral indefnida:

∫ 4+ x

√ x2−4dx=4 ln(√1−

4

x2 x

2 +

x

2)+∫√ x2−4+C

7/17/2019 2


Aplicar la regla de la suma:

¿∫ 4

√ x2−4

dx+∫ x

√ x2−4

∫ 4+ x

√ x2−4dx=4ln(√

1− 4

x2 x

2 +

x

2 )∫ 4+ x

√ x2−4

dx


¿4∫ 1

√ x2−4

dx

por√ bx2−a sustituir x= √ a

√ bsec(u)


∫ f (g ( x ) )∗g' ( x ) dx=∫ f ( u ) duu=g ( x)

x=2 sec (u ) :dx= 2

cos (u ) tan (u ) du

¿4∫ 1

√ (2 sec (u ) )2

−4

2

cos (u ) tan (u ) du

¿4∫

2tan(u)cos

(u)√ 4 sec2 (u )−4


7/17/2019 2


¿4∗2∫

tan(u)cos(u)

√ 4 sec2 (u )−4

4 sec2 (u )−4=4

(4 sec

2u

4

−1

)¿4∗2∫

tan(u)cos(u)

4 (4 sec2 (u)

4 −1)

¿4

∗2

∫

tan(u)cos (u)

2 (√ sec2 (u )−1)

Usando la siguiente identidad: sec2 x=1+ tan

2 x

¿4∗2∫

tan(u)cos(u)

2√ −1+1+ tan2u

¿4∗2∫tan(u)cos(u)

4 (4 sec2 (u)

4 −1)


¿4∗2

1

2∫

tan(u)cos(u)

√ −1+1+ tan2(u) du

¿4∗2 1

2∫

tan(u)cos (u)

√ tan2(u)

du

7/17/2019 2


√ tan2 (u )=( tan (u ) ) , tanu=≥0

¿4∗2 1

2∫

tan(u)cos(u)tan(u)

du

¿4∗2 1

2∫ 1

cos (u)du

Usando la siguiente identidad:1

cos ( x)=sec ( x)

¿4∗2 1

2∫ sec(u)du

tan (u )+sec(u)sec (u ) du=ln(¿)

∫¿

tan (u )+sec(u)du

¿ 4∗21

2 ln ¿

Sustituir en; arcsec 12 x

arcsec( 12 x )arcsec( 12 x )

tan (¿)+ (sec(¿))¿

¿4∗2

1

2 ln ¿

Simplifcar

¿4 ln(√1− 4

x2 x

x +

x

2)

7/17/2019 2


∫ x

√ x2−4

=√ x2−4


∫f (g ( x ) )∗g

' ( x ) dx=

∫f ( u ) duu=g ( x)

u= x2−4 ;du=2 xdxdx=

1

2 x du

¿∫ x

√ x

1

2 x du

¿∫ 1

2√ udu


¿1

2∫ 1

√ u

1

√ u=u

−0.5

¿1

2∫u

−0.5du


∫ xadx=

xa+1

a+1, a≠−1

¿ 1u−0.5+1

2−0.5+1

Sustituir en : x2−4

¿1

2( ( x

2−4 )−0.5+1

−0.5+1 )

7/17/2019 2


¿√ x2−4

¿4 ln(√1− 4

x2 x

x +

x

2)+√ x2−4

Aplicar la constante:

¿4 l n(√1− 4

x2 x

x +

x

2)+√ x2−4+C

Calcular los límites: ∫2

5

4+ x

√ x2−4

dx=4 ln( 5+√ 212 )+(√ 21 )−0

F ( x)(¿¿)

x→a+¿¿( F ( x ))−lim

¿¿

x→b−¿¿

∫a

b

f ( x)dx= F (b )− F (a )= lim¿¿

•

lim

x →2+4ln( √1− 4

x2 x

x+ x

2)+√ x2−4=0

¿

¿ lim x→ 2

4 ln(√1− 4

x2 x

x +

x

2)+ lim

x →2

√ x2−4

¿ lim x→ 2

4 ln(√1− 4

x2 x

x +

x

2)=0

7/17/2019 2


c∗f ( x )=¿¿¿

lim x → a

¿

¿4 lim x →2+(ln(√1− 4

x2 x

x +

x

2 ))❑

¿ lim x→2+( ln(√1− 4

x2 x

x +

x

2))

❑

=1

¿ √1−

4

222

2 +

2

2

¿1

¿4 ln(1)

¿4

∗0

¿0

¿ lim x→ 2

4 ln (√ x2−4 )=0

¿√ 22−4

¿0

7/17/2019 2


¿0+0

¿0

•

lim

x→5+4ln(√1− 4

x2 x

x +

x

2)+√ x2−4=4

ln( 5+√ 212 )+√ 21

¿ lim x→ 5

4 ln(√1− 4

x2 x

x +

x

2)+ lim

x →5

√ x2−4

¿ lim x→ 5

4 ln(√1− 4

x2 x

x +

x

2 )=4 ln( 5+√ 212 )

c∗f ( x )=¿¿¿

lim x → a

¿

¿4 lim x →5 (ln(√

1− 4

x2 x

x +

x

2 ))=5

2+√ 21

¿ √1−

4

525

2 +

5

2

¿5

2 +√ 21

2

¿4 ln( 52+ √ 21

2 )

7/17/2019 2


¿4 ln( 5+√ 21

2 )

¿lim x→ 5

4 ln

(√ x

2

−4

)=√ 21

¿√ 52−4

¿√ 21

¿4 ln

(5+√ 21

2

)+√ 21

−0

¿√ 21+4 ln(5+√ 21

2 )

5.

∫ sec2 (√ x)√ x

dx=2tan (√ x )+C

∫ sec2 (√ x)√ x

dx


∫ f (g ( x ) )∗g' ( x ) dx=∫ f ( u ) duu=g ( x)

u=(√ x ) :du=

1

2√ x du=

1

2u dx dx=2udu

∫ sec2 (u )u

2u du

¿∫2 sec2 (u )du

7/17/2019 2



¿2∫ sec2 (u )du

Aplicar la regla de integración:¿2

∫sec

2 (u )du=tanu

¿2tan(u)

Sustituir en la ecuación: u=√ x

¿2tan(√ x)


¿2tan (√ x )+C

6.

∫1

4

¿ 1

1+ x2 dx=2+ln (4 )−ln (9)

∫1

4

¿ 1

1+ x2 dx

Calcular la integral indefnida ∫1

4

¿ 1

1+ x2 dx=2√ x−2 ln (√ x+1 )+C

∫ 1

1+√ xdx


∫ f (g ( x ) )∗g' ( x ) dx=∫ f ( u ) du u=g ( x)

u=(√ x )du= 1

2√ xdxdu=

1

2u dxdx=2udu

7/17/2019 2


¿∫ 1

1+u 2udu

¿∫ 2− 2

u+1du

Aplicar la regla de la suma:

¿∫ 2du−∫ 2

u+1du

∫2du=2u

∫2du

Integral de una constante ∫ f (a)dx= x∗f (a)

¿2u

∫2 2

u+1du=2 ln (u+1)

∫2 2

u+1 du


2∫ 1

u+1 du


∫ f (g ( x ) )∗g ' ( x ) dx=∫ f ( u ) du u=g ( x)

v=u+1:dv=1dudu=1dv

¿2∫ 1

v 1dv

7/17/2019 2


¿2∫ 1

v dv

Aplicar la regla de integración: ∫ 1

v dv=ln v

¿2 ln (v)

Sustituir en la ecuación v=u+1

¿2 ln (u+1)

¿2u−2 ln (u+1)

Sustituir en la ecuación: u=√ x

¿2 (√ x )−2 ln ((√ x )+1)

Agregar una constante a la solución:

¿2 (√ x )−2 ln ((√ x )+1 )+C


1

1+ x2 dx=¿∫1

4

1

1+ x2 dx=4−ln (9)−(2ln (4 ))

∫1

4

¿

F ( x)(¿¿)

x→a+¿ ¿( F ( x ))−lim

¿¿

x→b−¿¿∫a

b

f ( x)dx= F (b )− F ( a)=lim¿

¿

•

lim

x→1+(2 (√ x )−2 ln ((√ x )+1) )=2−ln(4 )

¿

7/17/2019 2


lim

x →1+(2 (√ x )−lim x→ 1

+2ln( (√ x )+1 ))=2−ln(4 )

¿

lim x →1+(2 (√ x ))=2

¿

Sustituir la variable

¿2∗√ 1 Simplifcar ¿2

(lim x →1

+2 ln ((√ x )+1 ))=ln(4 )

(lim x →1

+2 ln ((√ x )+1 ))

Calcularln( lim x →1

+ ((√ x)+1 ))

lim x→ 1

+( (√ x )+1 )=2


¿ (√ 1 ) +

Simplifcar ¿2

¿2 ln (2)

¿ ln (4)

¿2−ln (4)

•

lim

x →4−(2(√ x )−2 ln ((√ x )+1) )=4−ln (9)

¿

lim

x →4+(2 (√ x )−lim x →4

+2ln ( (√ x )+1) )=4−ln(9)

¿

7/17/2019 2


lim x →4+(2 (√ x ))=4

¿


¿2∗√ 4 Simplifcar ¿4

(lim x →4

+2 ln ((√ x )+1 ))=ln(9)

(2 lim x→ 4

+ ln ((√ x )+1 ))

Calcularln( lim x→ 4

+ ((√ x)+1 ))

(lim x →4

−((√ x )+1 ))=3

(lim x →4

−((√ x )+1 ))

Sustituir la variable=

¿ (√ 4 )+1

Simplifcar

¿3

¿2 ln (3)

Simplifcar

¿ ln (9)

¿4−ln (9)

¿4−ln (9 )−(2−ln (4))

7/17/2019 2


¿2+ln (4)−ln (9)

7.

∫0

π 2

¿ sin2 ( x )cos ( x ) dx=1

3

Calcular la integral indefnida: ∫sin2 ( x )cos ( x ) dx=

sin3( x )3

+C

∫sin2 ( x )cos ( x ) dx


∫ f (g ( x ) )∗g' ( x ) dx=∫ f ( u ) duu=g ( x)

u=sin ( x ):du=cos ( x )dxdx= 1

cos ( x )du

¿∫ u2 (cos ) x

1

cos ( x)du

¿∫ u2du


∫ xadx=

xa+1

a+1, a≠−1

¿u

2+12+1

Sustituir en la ecuación u=sin ( x )

¿sin

2+1( x)2+1

7/17/2019 2


¿sin

3( x)3

Agregar una constante

¿sin

3( x)3 +C


¿ sin2 ( x ) cos ( x ) dx=¿1

3−0

¿sin2 ( x ) cos ( x ) dx=¿∫0

π

2

¿

∫0

π

2

¿

•

lim

x →0+sin

3( x)3

¿0

¿

lim x →0

+(sin3 x )

lim x→ 0

+3

¿ lim x→ 0

+(sin3 x )=0

lim x→ a

[ f ( x ) ]b ¿ [ lim x →a

f ( x)]b,cuandobesunaconstantereal

¿( lim x→ 0

+(sin ( x)))3

¿ lim x→ 0

+(sin ( x))=0

7/17/2019 2


¿03

¿0

¿ lim x→ 0

+ (3 )=3

¿ lim x→ a

c=C

¿3

¿0

3

Simplifcar

¿0

•

lim

x → π

2−

sin3( x)3

¿1

3

lim

x →π

2

−(sin3 x )

lim

x → π

2

−3

¿ lim x→

π

2

−(sin3 x )=1

lim x→ a [ f ( x ) ]

b

¿ [lim x →a f ( x)]

b

,cuandobesunaconstantereal

¿ lim

x → π

2

−(sin ( x))=1

7/17/2019 2


¿13

¿1

¿ lim

x →

π

2

−(3 )=3


¿3

¿1

3

¿1

3−0

Simplifcar

¿1

3

8.

∫ xe x

2−1

dx=e

x2−1

2 +C

∫ xe x

2−1

dx


∫f (g ( x ) )∗g

' ( x ) dx=

∫f ( u ) duu=g ( x)

u= x2−1 :du=2 ( x )dxdx= 1

2 ( x ) du

¿∫ xeu 1

2 x du

7/17/2019 2


¿∫ eu

2 du


¿ 1

2∫ e

udu

Aplicar la regla de integración ∫eudu=e

u

¿1

2 e

u

Sustituir en la ecuación:u= x

2−1

¿1

2 e

( x2−1)

Simplifcar

¿ e

x2−1

2


¿ e

x2−1

2 +C

9.

∫ 1

x

2

+4 x+

13dx=

arctan( x+23 )3

+C

∫ 1

x2+4 x+13

dx

7/17/2019 2


¿∫ 1

( x+2 )2+9


∫f (g ( x ) )∗g

' ( x ) dx=

∫f ( u ) duu=g ( x)

u= ( x+2 ) ;du=1dxdx=1du

¿∫ 1

u2+9

1du

¿∫ 1

u2+9

du

orb x2! sustituiren: x=√ a

√ bu


∫ f (g ( x ) )∗g' ( x ) dx=∫ f ( u ) duu=g ( x)

u=3 (v )du=3dv

¿∫ 1

(3 v )2+93dv

¿∫ 1

(3 v )2+3dv

!actor¿

1

3 v2+3

¿∫ 1

3 ( v2+1 )dv


7/17/2019 2


¿1

3∫ 1

v2+1

dv

Usar la integral ∫ 1

v2+1

dv=arctan (v )

¿1

3 arctan (v)

Sustituir en ¿1

3 u ,u=( x+2 )

¿1

3 arctan ( 13 ( x+2 ))

Simplifcar

¿

arctan( ( x+2 )3 )

3

Agregar la constante a la solución

¿

arctan

( ( x+2 )

3

)3 +C

10.

∫ 1

4− x2=

arctan"( x2 )2

+C

∫ 1

4− x2

"or b x2! sustituir x=√ a

√ bu


7/17/2019 2


∫ f (g ( x ) )∗g' ( x ) dx=∫ f ( u ) duu=g ( x)

x=2(u)dx=2du

¿∫

1

4−2u2

2du

¿∫ 1

2−2u2 du

2−2u2=2( 2u

2

2 )

¿∫ 1

2(1−2u

2

2 ) du


¿1

2∫ 1

1−2u

2

2

du

¿1

2∫ 1

1−u2du

Usar la integral ∫ 1

1−u2 du=arctan "(u)

¿1

2 arctan"(u)

Sustituir en u=1

2 x

7/17/2019 2


¿1

2 arctan"( 12 x )

Simplifcar

¿arctan"

( x

2 )2


¿

arctan"( x2 )2

+C

11.

∫ x (√ ( x+1 ) )dx=2 ( x+1 )

5

2

5 −

2 ( x+1 )3

2

3 +C

∫ x (√ ( x+1 ) )dx


∫ f (g ( x ) )∗g' ( x ) dx=∫ f ( u ) duu=g ( x)

u= x+1du=1dxdx=1du

¿∫ x (√ u )1du

¿

∫ x (√ u ) du

u= x+1→x=u−1

¿∫ (u−1 ) (√ u) du

#$pandir (u−1 ) (√ u ) du

7/17/2019 2


Aplicar la regla de la suma: ∫ f ( x ) !g ( x ) dx=∫ f ( x ) dx!∫ g ( x ) dx

¿∫ u3

2 du−∫ (√ u ) du

¿∫ u

3

2 du=2u

5

2

5

¿∫ u3

2 du


∫ xadx=

xa+1

a+1

, a≠−1

¿ u

3

2+1

3

2+1

Simplifcar

¿2u

5

2

5

∫ (√ u ) du=2u

3

2

3

∫ (√ u ) du


∫ xadx=

xa+1

a+1, a≠−1

¿ u

0.5+1

0.5+1

7/17/2019 2


Simplifcar

¿2u

3

2

3

¿2u

5

2

5 −

2u3

2

3

Sustituir en la ecuación u= x+1

¿2 ( x+1 )

5

2

5 −

2 ( x+1 )3

2

3


¿2 ( x+1 )

5

2

5 −

2 ( x+1 )3

2

3 +C

12.

∫ 2

x x

2−3 x−10dx=2

(2 ln

( x+2

)7 +5 ln

( x−5

)7 )+C

∫ 2 x

x2−3 x−10

dx


¿2

∫

x

x2−3 x−10

%omar la &racción parcial¿2∫ 2

7( x+2)+

5

7( x−5)dx

Aplicar la regla de la suma: ∫ f ( x ) !g ( x ) dx=∫ f ( x ) dx!∫ g ( x ) dx

7/17/2019 2


¿2(∫ 2

7( x+2)dx+∫ 5

7( x−5)dx)

∫ 2

7( x+2)dx=

2 ln ( x+2)7

∫ 2

7( x +2)dx


¿ 2

7∫ 1

x+2 dx


∫ f (g ( x ) )∗g' ( x ) dx=∫ f ( u ) duu=g ( x)

u= x+2du=1dxdx=1du

¿ 2

7∫ 1

u 1 dx

¿ 27∫ 1

u dx

Aplicar la regla de integración ∫ 1

udu=ln (u)

¿ 2

7 ln (u)

Sustituir en la ecuación u= x+2

¿ 2

7 ln ( x+2)

Simplifcar

7/17/2019 2


¿2 ln ( x+2)

7

∫ 5

7( x−5)dx=

5 ln ( x−5)7

∫ 5

7( x−5)dx


¿5

7∫ 1

x−5 dx


∫ f (g ( x ) )∗g' ( x ) dx=∫ f ( u ) du u=g ( x)

u= x−5du=1dx dx=1du

¿5

7∫ 1

u 1 du

¿5

7∫ 1

u du

Aplicar la regla de integración: ∫ 1

u=ln (u)

¿5

7 ln (u)

Sustituir en la ecuación

u= x−5

¿5

7 ln ( x−5)

7/17/2019 2


Simplifcar:

¿5 ln ( x−5)

7

x−5

¿5 ln (¿7¿)

2 ln ( x+2)7

+¿

¿2¿


x−5

¿5 ln (¿7¿)+C

2 ln ( x+2)7

+¿

¿2¿

2

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