TRABAJO COLABORATIVO 2 PROBABILIDAD

PRESENTADO POR:REINALDO SALAMANCACESAR AUGUSTO CASTAOALEXANDER PITTOJUAN MIGUEL MEJIA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNADNOVIEMBRE DE 2014

Variables aleatorias.Una variable aleatoria es, una funcin que asigna un nmero real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio. Se denota con una letra mayscula tal comoX.En este tema se ver la importancia de cuantificar los resultados de un experimento aleatorio sabiendo que ellos pueden ser cualitativos o cuantitativosPara facilitar estos clculos se acude a una funcin que ubica el espacio muestral en el conjunto de los nmeros reales, esta es conocida como variable aleatoria. Se puede definir como variables aleatorias cuyos valores sean contables o no, y al ser una caracterizacin cuantitativa de los resultados de un espacio muestral, ellas pueden ser discretas o continuas

Variable aleatoria X es discretasi el nmero de valores que puede tomar es finito (o infinito contable).Distribucin de probabilidad de una variable aleatoria X es una descripcin del conjunto de posibles valores de X, junto con la probabilidad asociada con cada uno de estos valores. Esta distribucin bien puede ser una grfica, una tabla o una ecuacin que da la probabilidad de cada valor de la variable aleatoria y se considera como el resumen ms til de un experimento aleatorio.Toda distribucin de probabilidad debe satisfacer cada uno de los dos requisitos siguientes: P=10 P1Variable aleatoria X es continuas el nmero de valores que puede tomar estn contenidos en un intervalo (finito o infinito) de nmeros reales. Dichos valores pueden asociarse a mediaciones en una escala continua, de manera que no hay interrupciones.

La distribucin de probabilidad de una variable aleatoria continua Xest caracterizada por una funcin fque recibe el nombre de funcin de densidad de probabilidad. Esta funcin de densidad de probabilidad fpermite calcular el rea bajo la curva que representa la probabilidad de que la variable aleatoria continua X tome un valor entre el intervalo donde se define la funcin.Formalmente, la funcin de densidad de probabilidadfde una variable aleatoria continua, se define como tal si para cualquier intervalo de nmeros reales [a,b] se cumple que: 0Esperanza matemtica y varianza de una variable aleatoriaElvalor esperado(tambin llamadomediaoesperanza matemtica) de una variable aleatoria discretaXes una medida de posicin para la distribucin deX. Se simboliza cony se calcula al sumar el producto de cada valor deX con su probabilidad correspondiente.

DISTRIBUCIN BINOMIAL DefinicinEs una de las distribuciones de probabilidad ms tiles (control de calidad, produccin, investigacin). Tiene que ver con el experimento aleatorio que produce en cada ensayo o prueba uno de dos resultados posibles mutuamente excluyentes: ocurrencia de un criterio o caracterstica especfico (llamado xito) y no ocurrencia de ste (llamado fracaso). Los trminos o calificativos de "xito y fracaso" son solo etiquetas y su interpretacin puede no corresponder con el resultado positivo o negativo de un experimento en la realidad.En general, un experimento aleatorio que consiste de n ensayos repetidos tales que: Los ensayos son independientes Cada ensayo es de tipo Bernoulli. Esto es, tiene slo dos resultados posibles: "xito" o "fracaso". La probabilidad de xito de cada ensayo, denotada por p, permanece constante.

DISTRIBUCIN BINOMIAL NEGATIVA y GEOMTRICADefinicinEn la distribucin geomtrica, la variable aleatoria estaba definida como el nmero de ensayos Bernoulli necesarios para obtener el primer xito. Suponga ahora que se desea conocer el nmero de ensayos hasta obtener r xitos; en este caso la variable aleatoria es denominada binomial negativa.La distribucin binomial negativa o distribucin de Pascal es una generalizacin de la distribucin geomtrica donde la variable aleatoria X es el nmero de ensayos Bernoulli efectuados hasta que se tienen r xitos, con una probabilidad constante de xito p. Se dice entonces que X tiene una distribucin binomial negativa con parmetros p y r = 1, 2, 3,...Distribucin Hipergeomtrica.Supongamos que tenemos una poblacin de tamao N y de ella se selecciona una muestra de tamao n para verificar si cada elemento tiene o no una cierta caracterstica, esto se puede manejar en trminos de xito y de fracaso. Si el tamao de la muestra n es pequeo en comparacin con el tamao de la poblacin N ( n / N 5% ) podemos considerar los intentos como independientes y asumir que probabilidad de obtener un xito en un elemento es la misma en cada intento, por lo que podemos aplicar la distribucin binomial.

Sin embargo si el tamao de la muestra n es grande en comparacin con el tamao de la poblacin N entonces la probabilidad de obtener un xito en un intento se ve afectadaporlos resultados en intentos anteriores es decir que son dependientes. Cuando pasa esto el nmero x de xitos sigue lo que se conoce como una distribucin hipergeomtrica de probabilidad.Es importante remarcar que tanto la distribucin binomial como la distribucin hipergeomtrica persiguen un mismo objetivo (el nmero de xitos en una muestra que contiene n observaciones), la diferencia entre ellas es que la hipergeomtrica considera no solo a los elementos de la muestra, sino tambin a los elementos de la poblacin.

En resumen la distribucin hipergeomtrica es aquella en la que se considera la existencia de xitos y/o fracasos en una poblacin conocida, y de la cual se extrae una muestra sin remplazo donde tambin existen xitos o fracasos.

Su principal aplicacin es en el muestreo de aceptacin y control de calidad donde de un lote de artculos se toma una muestra y se analiza para decidir si se acepta o rechaza todo el lote.

Criterios o propiedades que la caracterizan. 1. La poblacin N del conjunto de unidades o elementos es de orden finito, de los cuales una parte: k "son xitos", y otra parte son "fracasos". 2. Cada elemento puede ser caracterizado como xito o fracaso. 3. Se obtiene una muestra aleatoria de n elementos todos a la vez (sin reemplazamiento) y no de forma independiente. No son pruebas repetidas. 4. El tamao de la muestra aleatoria n es grande relativamente en comparacin con el tamao de la poblacin. Generalmente 5. Se busca la probabilidad de x= nmero de xitos a partir de los k resultados o elementos y (n-x) fracasos a partir de los N-k elementos as clasificados, al obtener una muestra aleatoria de tamao n. Supongamos un lote de N productos de los cuales: Obtenemos muestra de n productos, todos a la vez. Interesa entonces la probabilidad de sacar x productos defectuosos (xito), o sea: p(x).Podemos hacer el siguiente raciocinio: Si en una poblacin de N elementos se tienen k xitos, la probabilidad de que en una muestra aleatoria de n elementos seleccionados sin reemplazo se tengan x xitos est dada por: con xk

N = nmero de elementos en la poblacin n = nmero de elementos en la muestra k = nmero de xitos en la poblacin x = nmero de xitos en la muestra es el nmero de maneras en que se puede tomar una muestra n de la poblacin N es el nmero de formas en que se toman x xitos del total r xitos que hay en la poblacin es el nmero de maneras en que se puede tomar n-x fracasos del total N-r de la poblacin

La media (esperanza) y desviacin estndar de la distribucin hipergeomtrica estn dadas por:Media Desviacin estndar Varianza

Distribucin Poisson.Sea X una variable aleatoria que representa el nmero de eventos aleatorios independientes que ocurren con igual rapidez en un intervalo de medida. Se tiene entonces que la funcin de probabilidad de esta variable, se expresa por: X=0,1,2,..;o en cualquier otro punto o valor.Donde es parmetro de tendencia central de la distribucin y representa el nmero promedio o cantidad esperada de ocurrencias (xitos) del evento aleatorio por unidad de medida o por muestra; e=2.71828 y x=Nmero de ocurrencias especficas para el cual se desea conocer la probabilidad respectiva. Segn sea el valor de , se define toda una familia de probabilidades de Poison. La probabilidad de que una variable aleatoria de Poison X sea menor o igual a un valor de x se halla por la funcin de distribucin acumulativa, planteada entonces como:

Los resultados de las probabilidades individuales para valores de X sern ms pequeos conforme la variable aleatoria toma valores cada vez ms grandes.Los resultados de las probabilidades individuales para valores de X sern ms pequeos conforme la variable aleatoria toma valores cada vez ms grandesLa distribucin de Poisson tiene la particularidad de que la media y la varianza son igualesE(x)= var(x)=Distribucin uniforme discreta.

Describe el comportamiento de una variable discreta que puede tomar n valores distintos con la misma probabilidad cada uno de ellos. Un caso particular de esta distribucin, ocurre cuando los valores son enteros consecutivos. Esta distribucin asigna igual probabilidad a todos los valores enteros entre el lmite inferior y el lmite superior que definen el recorrido de la variable.

Distribucin uniforme continua.

Una variable aleatoria se dice que sigue una distribucin uniforme continua en un intervalo real (a,b), y se representa por (a,b), si su funcin de densidad es constante en dicho intervalo y nula fuera de l; es decir:

Distribucin Normal. La distribucin normal es de suma importancia en estadstica por tres razones principales: Numerosas variables continuas de fenmenos aleatorios tienden a comportarse probabilsticamente mediante sta. Es el lmite al que convergen tanto variables aleatorias continas como discretas. Proporciona la base de la inferencia estadstica clsica debido a su relacin con el teorema del lmite central.

CUADRO SINOPTICODISTRIBUCION CHI CUADRADOEs una distribucin de probabilidadcontinua con un parmetrokque representa losgrados de libertadde la variable aleatoria.Es la nica variable aleatoriaContinua cuya tasa de fallos es constanteDISTRIBUCIONEXPONENCIAL.La distribucin normal es la ms extendida en estadstica y muchos tests estadsticos estn basados en una supuesta "normalidad".

La distribucin normal es de suma importancia en estadstica por tres razones principales.

DISTRIBUCION NORMALDescribe el comportamiento de una variable discreta que puede tomar n valores distintos con la misma probabilidad cada uno de ellos

DISTRIBUCION UNIFORME DISCRETA

y su funcin de distribucin la funcin escalonada.

Se dice que sigue una distribucin uniforme continua en un intervalo real (a,b), y se representa por (a,b), si su funcin de densidad es constante en dicho intervalo y nula fuera de l.

DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA X=0,1,2,..;o en cualquier otro punto o valor.

Expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un determinado nmero de eventos durante cierto perodo de tiempo. DISTRIBUCION DE POISSONDISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA con xk

f(x,p,r)= x-1Cr-1 qx-r .pr x=r,r+1,r+r+2+....Caractersticas:1. Tendencia Central2. Variacin3. AsimetraEn ella se considera la existencia de xitos y/o fracasos en una poblacin conocida, y de la cual se extrae una muestra sin remplazo donde tambin existen xitos o fracasos.La variable aleatoria estaba definida como el nmero de ensayos Bernoulli necesarios para obtener el primer xitoLos ensayos son independientes. Cada ensayo es de tipo Bernoulli. Esto, tiene slo dos resultados posibles: "xito" o "fracaso. La probabilidad de xito de cada ensayo, denotada por p, permanece constante.DISTRIBUCION BINOMIALNEGATIVADISTRIBUCION BINOMIALLavarianzade una variable aleatoria es una medida de la dispersin de la distribucin de probabilidad de sta.Est caracterizada por la Variable f

Puede asumir un nmero infinito devalores dentro de un determinado rango.

VALOR ESPERADO Y VARIANZAVARIABLEALEATORIACONTINUA

Est dada por F= S el nmero de valor que puede tomar es finito.VARIABLE ALEATORIA DISCRETAVARIABLES ALEATORIAS YDISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

La funcin generadora es:

EJERCICIOS

EJERCICIO 1

Suponga que un comerciante de joyera antigua est interesado en comprar una gargantilla de oro para la cual las probabilidades de poder venderla con una ganancia de $ 250, $ 100, al costo, o bien con una prdida de $150 son: respectivamente: 0.22, 0.36, 0.28, 0.14. Cul es la ganancia esperada del comerciante?

DESARROLLO

Respuesta: La ganancia es de $ 70

EJERCICIO 2Suponga que la probabilidad de que una persona dada crea un rumor acerca de las transgresiones de cierta actriz famosa es de 0,8. Cul es la probabilidad de que:

DESARROLLOa.- la sexta persona en escuchar este rumor sea la cuarta en creerlo?n = 6 p = 0.8X = 4 q = 1- p = 1- 0.8 = 0.2

=

= 0.24576

= 24.576%

Respuesta: La probabilidad de que la sexta persona en escuchar el rumor sea la cuarta en creerlo es de 0.24576 es decir de 24.576%

b.- La tercera persona en escuchar este rumor sea la segunda en creerlo?X n = 2 x = 3 = () ( p = 0.8 q = 0.2 = = 0.3072 = 30.72%

Respuesta: la probabilidad de que la tercera persona en enterarse, sea la segunda en creer es del 0.3072, es decir de 30.72%

EJERCICIO 3.Una empresa ha encontrado que la duracin de sus llamadas telefnicas tienen una distribucin normal con media tres minutos y desviacin estndar de 1,8 minutos. a.- En qu proporcin las llamadas tendran una duracin de ms de dos minutos pero menos de tres y medio minutos. b.- Si una secretaria va a realizar una llamada cual es la probabilidad de que la llamada dure ms de cinco minutos.DESARROLLOa.- En qu proporcin las llamadas tendran una duracin de ms de dos minutos pero menos de tres y medio minutos?M= 3= 1.8Tabla de distribucin normal.Z = P() X = Z X= 3.5 Tabla de distribucin normalValor para: 0.27 y 0.28 en 0.2777 en 0.55 y 056 en 0.5555Tabla normal

Tabla normal Tabla normal Tabla normal Valores para 0.2777 Y 0.5555, 0.2771Tabla normal para 0.27 es 0.6064 y para 0.28 es 0.6103Valor para 0.2777= 0.6064 + 0.7777 = 0.6094tabla normal para 0.55 y 0.56 Valor para 0.5555 = 0.7088 + 0.5555 * = 0.7107 = 0.6094- 0.2893 Respuesta = 0,3201

b.- probabilidad de que una llamada dure ms de cinco minutos. ? tabla normal, valores para 1.11 y 1.12Valor tabla (1.11) = 0.8665Valor tabla Por lo tanto el valor 1.1111

= 0.8667 Respuesta: la probabilidad de que una llamada dure ms de cinco minutos es de 0.1333

EJERCICIO 4Un piloto privado desea asegurar su avin por 50.000 dlares. La compaa de seguros estima que puede ocurrir una prdida total con probabilidad de 0.002, una prdida de 50% con una probabilidad de 0.01 y una de 25% con una probabilidad de 0.1. Si se ignoran todas las otras prdidas parciales, que prima debe cargar cada ao la compaa de seguros para obtener una utilidad media de US $5000.

DESARROLLO

La probabilidad de que no exista prdida es:

1 (0.002 + 0.01 + 0.1) = 0.088

La utilidad media es:

La compaa debe cargar una prima de 7432.43 dlares.

EJERCICIO 5Segn los registros universitarios fracasa el 5% de los alumnos de cierto curso. Cul es la probabilidad de que de 6 estudiantes seleccionados al azar, menos de 3 hayan fracasado?

DESARROLLO

P(x2.22))=0.5-(1-0.98679)=0.5-0.013121=0.48679Probabilidad de obtener un panecillo con peso entre 80g y 100g es de 0.48679

EJERCICIO 10

Un jugador tiene tres oportunidades de lanzar una moneda para que aparezca una cara, el juego termina en el momento en que cae una cara o despus de tres intentos, lo que suceda primero. Si en el primero, segundo o tercer lanzamiento aparece cara el jugador recibe $20000, $40000 o $80000 respectivamente, si no cae cara en ninguno de los tres pierde $200000. Si X representa la ganancia del jugador:a.- Encuentre la funcin de probabilidad f(x)b.- Encuentre el valor esperado E(x), la varianza V(x) y la desviacin estndar S(x)

DESARROLLO

a.- Encuentre la funcin de probabilidad f(x)La probabilidad de que aparezca una cara es 1/2, la probabilidad de que aparezca dos caras seguidas es (1/2)(1/2) = (1/4), la probabilidad de que aparezcan tres caras seguidas es (1/2)(1/2)(1/2) = 1/8, que es la misma probabilidad de que no aparezca una sola cara, por tanto la distribucin de probabilidad es:

b.- Encuentre el valor esperado E(x), la varianza V(x) y la desviacin estndar S(x)

El valor esperado est definido por:

La Varianza est definida por:

La Desviacin Estndar Est Definida por:

EJERCICIO 116.- El propietario de una farmacia local sabe que en promedio, llegan a su farmacia 100 personas cada hora.a.- encuentre la probabilidad de que en un periodo dado de 3 minutos nadie entre a la farmaciab.- Encuentre la probabilidad de que en un periodo dado de 3 minutos entren ms de 5 personas a la farmacia

DESARROLLO

=100 personas/hora

1 hora --> 100 personas

60 minutos --> 100 personas --> 5/3 personas por minutos

3 minutos --> 5/3 *3 = 5 personas

=5

en este caso,

a.- encuentre la probabilidad de que en un periodo dado de 3 minutos nadie entre a la farmacia

b.- Encuentre la probabilidad de que en un periodo dado de 3 minutos entren ms de 5 personas a la farmacia

donde

Sumando

Por tanto

EJERCICIO 12Se ha determinado que para varones normales en una cierta poblacin normalmente distribuida, la temperatura media es de 37C y desviacin estndar de 0,5C. Si se consideran 1000 de estas personas Cuntas se puede esperar que tengan una temperatura comprendida entre 37C y 37,6C?

DESARROLLO

Estandarizamos:

Hallamos la probabilidad de z y z, buscando en la tabla de distribucin normal (de 0 a z) o usando las funciones estadsticas de Excel (de - a z):

En este caso,

As, la probabilidad de que una persona tenga una temperatura entre 37C y 37,6C es del 38,49%. Para saber a cuntas personas de la muestra corresponde este porcentaje, simplemente calculamos una regla de 3:

RESPUESTA: Se puede esperar que aproximadamente 385 personas tengan la temperatura comprendida en el rango propuesto.

ESTUDIO DE CASO

Por medio de las suposiciones de Seligman, calcule la probabilidad de que la estatura de un solo varn adulto chino escogido al azar sea menor o igual a 154 cm.

Respuesta

M= 167.8 cms= 6.8 cms

X= Variacin con 1.54 cms de estatura o menos.Se tiene distribucin normal estndar.

Tomamos la tabla de distribucin normal estndar.

Para X= 154 cms

Tabla para Z= -2,02

Respuesta: La estatura de un solo varn adulto chino escogido al azar sea menor o igual a 154 cm, es del 2%.

Los resultados de la pregunta 1, concuerdan con las probabilidades de Seligman?

Respuesta

Los resultados parecen concordar con las suposiciones de Seligman, debido a que el porcentaje obtenido es del 2%, en comparacin del 2,5 % supuesto por l.

Comente acerca de la validez de las suposiciones de Seligman Hay algn error bsico en su razonamiento?

Respuesta

El error bsico que podemos detectar en el razonamiento de Seligman es el hecho de que no se considera ninguna variable adems de la altura y esto podra inclinar las conclusiones de estudio.

Con base en los resultados anteriores, argumente si considera o no que Deng Xiaping tomo en cuenta la estatura al elegir a su sucesor.

Respuesta

Se puede concluir que no es suficiente para generar la conclusin de que Deng Xiaping tom la decisin obedeciendo nicamente a criterios de la estatura, ya que, es importante conocer las dems caractersticas, no solo fsicas de los candidatos.