EQUIPO 3

2.3 Método De La Energía

2.3 Método De La Energía.• En un sistema conservativo la energía total

es constante y la ecuación diferencial de movimiento puede establecerse también, utilizando el principio de conservación de la energía. Para las vibraciones libres de un sistema sin amortiguamiento, la energía es en parte cinética y en parte potencial. La energía cinética “T” es almacenada en la masa en virtud de su velocidad mientras que la energía potencial “U” es almacenada en forma de energía elástica de deformación o de trabajo realizado en un campo de fuerza tal como el gravitacional. Como la energía total se mantiene constante, su tasa de cambio es cero como se ilustra en las siguientes ecuaciones:

• Si nuestro interés se limita a la frecuencia natural del sistema, se le puede determinar mediante las siguientes consideraciones. Por el principio de conservación de la energía, podemos escribir:

• En donde 1 y 2 representan dos instancias de tiempo. Sea 1 el instante en que la masa esta pasando por su posición de equilibrio estatico y sea U1 = 0 el nivel de referencia para la energía potencial. Sea 2 el tiempo correspondiente al máximo desplazamiento de la masa. En esta posición, la velocidad de la masa es cero y, por lo tanto, T2 = 0.

• Tenemos entonces:

• Sin embargo, si el sistema esta experimentando un movimiento armonico, T1 y T2 son valores máximos y, por lo tanto,

•  • Que conduce de inmediato a la

frecuencia natural.

ejemplo

2.4 Masa Efectiva

2.4 Masa Efectiva

• la masa efectiva de una partícula es la masa que parece tener en un cristal según el modelo semiclásico de transporte.

• La masa efectiva, m*, se determina por la estructura de bandas y varía según el tipo de material. Depende de la curvatura de la superficie E-k.

• Es el medio que acumula energía cinética en el sistema. También se le denomina elemento de inercia.

• Las fuerzas de inercia vienen dadas de acuerdo a la segunda Ley de Newton como:

2.4 Masa Efectiva• El método de energía puede ser utilizado

para sistemas con masas concentradas o distribuidas siempre que el movimiento de cada punto del sistema sea conocido. En sistemas en los cuales las masas están unidad por conectores rígidos, palancas o engranajes, el movimiento de las diferentes masas pueden expresarse en términos del movimiento x de algún punto especifico y el sistema, es simplemente de un grupo de libertad puesto que solo una coordenada es necesaria. La enerjia cinetica pueden escribirse como

• • Por analogía para el movimiento de

rotación se•

• En donde m es la masa efectiva o una masa equivalente concentrada en un punto especifico. Si la rigidez en ese punto es también conocida, la frecuencia natural puede calcularse de la ecuación

• De esta manera es posible tener en cuenta masas previamente ignoradas y llegar así a un mejor estimado de la frecuencia fundamental.

EJEMPLO

2.5 amortiguamiento viscoso

• el amortiguamiento, se define como la capacidad de un sistema o cuerpo para disipar energía. También se define como la fuerza que se opone al movimiento de los cuerpos, en contacto con sólidos o fluidos, en función de su velocidad.

• Su representación matemática es la siguiente:• F = Cv• donde:• F= Fuerza de oposición al movimiento(N),• C= Amortiguamiento del sistema(N-s/m),• v= Velocidad del sistema(m/s)

• El amortiguamiento es un parámetro fundamental en el campo de las Vibraciones, al desarrollar modelos matemáticos para el estudio y análisis de vibración en sistemas mecánicos, como lo son: estructuras, motores, maquinaria rotativa, turbinas, automóviles, etc.

•

• Esto debido a que todo sistema mecánico disipa energía en forma de pérdidas, ya sea en baleros, rodamientos, , ejes, engranes, etc.

• Para el Control de Vibraciones, se utiliza el concepto de amortiguamiento, ya que sabiendo que este disipa energia del sistema, podremos controlar las amplitudes de vibración y la misma en el sistema. Tener un sistema mecánico y proporcionarle energía es provocar una vibración, que depende del tipo de energía suministrada

• a asimismo, existen diferentes mecanismos o tipos de amortiguamiento, según sea su naturaleza:

• Amortiguamiento fluido.- Se produce por la resistencia de un fluido al movimiento de un sólido, siendo este viscoso o turbulento.

• Amortiguamiento por histéresis.- Se ocasiona por la fricción interna molecular o histéresis, cuando se deforma un cuerpo sólido.

• Amortiguamiento por fricción seca.-Es causado por la fricción cinética entre superficies deslizantes secas  ( F = N ).

•   Con viscosidad, la fuerza es directamente proporcional, mientras que en la turbulenta la fuerza esproporcional al cuadrado de velocidad.

• En la amortiguación sera (o de Coulomb) la fuerza esconstante, el amortiguamiento solido es debido a las fuerzas internas.

• Amortiguamiento viscoso F a x• Amortiguamiento turbulento F a x2• Amortiguamiento seco F = cte• Amortiguamiento solido

• Uno de los amortiguadores mas presentes en sistemas vibratorios es el viscoso. En los resortes existe la contante elástica K que elimina la proporcionalidad de F a X. En los amortiguadores del tipo viscoso existe otra componente llamada coeficiente de amortiguamiento y generalmente se denota como C • e tal forma que la fuerza de un amortiguador Fd

queda determinada como .• Fd = cx (Ec. 2.12)• Donde las unidades para el sistema M.K.S son:• Fd = New x = m/s c = Nw – s• • v

• Ejemplo 2.5• El amortiguados mostrado en la figura tiene

una fuerza de 98 New a una velocidad de 0.01 m/s2 Calcule el coeficiente de amortiguamiento.

•  •  • Fd = cx• C = Fd = 98• X 0.01• C = 9800 Nw – s

• • La fuerza de amortiguamiento

viscoso es proporcional a la velocidad y si se toma en cuenta, la ecuación de movimiento para vibración libre queda como: