LONGITUD DE ARCO EN FORMA PARAMÉTRICA TEMAS DE CÁLCULO VECTORIAL

LONGITUD DE ARCO EN FORMA PARAMÉTRICA

Si una curva suave C está dada por 𝑥 = 𝑓 𝑡 y 𝑦 = 𝑔 𝑡 y C no se corta a sí misma en elintervalo 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 (excepto quizá en los puntos terminales), entonces la longitud de arco deC en ese intervalo está dada por:

𝑆 = 𝑎

𝑏 𝑑𝑥

𝑑𝑡

2

+𝑑𝑦

𝑑𝑡

2

𝑑𝑡

𝑆 = 𝑎

𝑏

𝑓′ 𝑡 2 + 𝑔′ 𝑡 2𝑑𝑡

CÁLCULO LA LONGITUD DE ARCO

EJEMPLO: Hallar la longitud de arco mediante las ecuaciones paramétricas:

𝑥 = 5 cos 𝑡 − cos 5𝑡 𝑦 𝑦 = 5 𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 5𝑡 , (0,2𝜋)

SOLUCIÓN: Derivando la ecuación paramétrica “x”:

𝑥 = 5 cos 𝑡 − cos 5𝑡

𝑑𝑥

𝑑𝑡=𝑑

𝑑𝑡5 cos 𝑡 − cos 5𝑡 = 5

𝑑

𝑑𝑡cos 𝑡 −

𝑑

𝑑𝑡cos 5𝑡

𝑑𝑥

𝑑𝑡= −5 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 5𝑠𝑒𝑛 5𝑡

Derivando la ecuación paramétrica “y”:

𝑦 = 5 𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 5𝑡

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 5

𝑑

𝑑𝑡𝑠𝑒𝑛 𝑡 −

𝑑

𝑑𝑡𝑠𝑒𝑛 5𝑡

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 5 cos 𝑡 − 5 cos 5𝑡

Entonces los parámetros a utilizar en la fórmula de la longitud de arco:

𝑎 = 0 , 𝑏 = 2𝜋 ,𝑑𝑥

𝑑𝑡= −5 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 5𝑠𝑒𝑛 5𝑡 ,

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 5 cos 𝑡 − 5 cos 5𝑡

Sustituyendo:

𝑆 = 𝑎

𝑏 𝑑𝑥

𝑑𝑡

2

+𝑑𝑦

𝑑𝑡

2

𝑑𝑡

𝑆 = 0

2𝜋

−5 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 5𝑠𝑒𝑛 5𝑡 2 + 5 cos 𝑡 − 5 cos 5𝑡 2𝑑𝑡

𝑆 = 0

2𝜋

25 𝑠𝑒𝑛2𝑡 − 50 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑒𝑛5𝑡 + 25 𝑠𝑒𝑛25𝑡 + 25 cos2 𝑡 − 50 cos 𝑡 cos 5𝑡 + 25 cos2 5𝑡 𝑑𝑡

𝑆 = 0

2𝜋

25 + 25 − 50 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑒𝑛5𝑡 + 25 − 50 cos 𝑡 cos 5𝑡 𝑑𝑡

𝑆 = 5 0

2𝜋

2 − 2 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑒𝑛5𝑡 − 2 cos 𝑡 cos 5𝑡 𝑑𝑡

𝑆 = 5 0

2𝜋

2 − cos 𝑡 − 5𝑡 + cos 𝑡 + 5𝑡 − cos 𝑡 − 5𝑡 − cos 𝑡 + 5𝑡 𝑑𝑡

𝑆 = 5 0

2𝜋

2 − cos −4𝑡 + cos 6𝑡 − cos −4𝑡 − cos 6𝑡 𝑑𝑡

𝑆 = 5 0

2𝜋

2 − cos −4𝑡 − cos −4𝑡 𝑑𝑡

𝑆 = 5 0

2𝜋

2 − 2 cos −4𝑡 𝑑𝑡 = 5 0

2𝜋

2 − 2 cos 4𝑡 𝑑𝑡

𝑆 = 5 0

2𝜋

2 1 − cos 4𝑡 𝑑𝑡 = 5 0

2𝜋

2 2 𝑠𝑒𝑛22𝑡 𝑑𝑡

𝑆 = 5 0

2𝜋

4 𝑠𝑒𝑛22𝑡𝑑𝑡 = 10 0

2𝜋

𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑑𝑡

𝑆 = 40 0

𝜋2𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑑𝑡 =

40

2−cos 2𝑡 0

𝜋2

𝑆 = 20 −cos𝜋 + cos 0 = 20 1 + 1

∴ 𝑆 = 40𝑢

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS ECUACIONES PARAMÉTRICAS

𝑥 = 5 cos 𝑡 − cos 5𝑡

𝑦 = 5 𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 5𝑡

BIBLIOGRAFÍAS

Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.

Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo ce varias variables. Mexico: CENGAGE Learning.

R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW - HILL.