23 Apéndice.23.1 Guía de lectura de la primera parte.

El objetivo de este libro es llegar de forma axiomática hasta el plano euclídeo tradicional y toda la teoría de la proporción de la geometría clásica. Para llegar a esta cumbre estableceremos un "campo base" en el plano de Hilbert (Temas 1 a 3). Desde este campo base tendremos que escoger entre dos rutas: La convencional y moderna, que es dotar a nuestras rectas de las propiedades de mediante el "Axioma de Dedekind" (Tema 4) y armarnos con las poderosísimas herramientas de la "medida": Longitud de segmentos, amplitud de ángulos y medida de áreas (Tema 5)... o no hacerlo, siguiendo el camino de Hilbert en el Grundlagen, una ruta que siguiendo con la metáfora de la cima, es como pretender escalar el Himalaya sin bombonas de oxígeno.

Plano incidentalPuntos y rectas

(Tema 1)

Plano ordenadoPlano incidental + Orden

(Tema 2)

Plano de HilbertPlano ordenado + Congruencia

(Tema 3)

Plano NeutralPlano de Hilbert + Axioma Dedekind + Medida de segmentos, ángulos y áreas

(Temas 4 y 5)

Plano euclídeoPlano neutral + PUP

(Tema 6)

Plano hiperbólicoPlano neutral + ∞ rectas paralelas

(Tema 21)

Plano AfínPlano de Hilbert + PUP

(Temas 18 y 19)

Plano No ArquimedianoPlano Afín + No Postulado de Arquímedes

(Apartado 16.7.5)

Teoría de la proporción

(Temas 7 a 15)

Grundlagen de HilbertPlano de Hilbert + Cuerpo de segmentos. + Figuras tijeras-equivalentes.

23.2 Tabla Cronológica de la Grecia Clásica.Año Historia General Matemáticas

650

600

550

500

450

400

350

300

250

200

150

Inicio del apogeo de Atenas (650 aprox.)

Primeras monedas (600 aprox.)

Guerras Persas (500-480)

Batalla de Las Termópilas (480)

Edad de Oro de Atenas (460-429)

Pericles (450-430)Construcción del El Partenón (447-432)Sócrates (470-399)

Guerras del Peloponeso (432-402)

Platón (428-348)

Aristóteles (384-322)

Dominación macedónica (346-323)

Alejandro Magno (353-326)

Fundación de la ciudad de Alejandría (332)

Época Helenística (323-30)

Tales de Mileto (624-546)

Pitágoras (570 - 495)

Eudoxo (408-355)

“Edad de Oro”de la matemáticaGriega

Euclides (320-280)

"Los Elementos"

Arquímedes (287-212)

Apolonio (262-190)

23.3 Cronología de los matemáticos griegos.

(Se han añadido, en negrita, algunos personajes históricos no matemáticos)

Fecha Nombre en castellano Nombre en inglésc. 624 AC – c. 546 AC Tales de Mileto Thales of Miletusc. 585 AC – c. 528 AC Anaximandro Anaximenes of Miletusc. 570 AC – c. 495 AC Pitágoras Pythagorasc. 490 AC – c. 420 AC Oenopide Oenopides of Chios 480 AC – 411 AC Antifón Antiphon the Sophistc. 470 AC – c. 399 AC Sócrates Socrates 465 AC – 398 AC Theodorus of Cyrenec. 460 AC – c. 370 AC Demócrito Democritusc. 427 AC – c. 347 AC Platón Platoc. 417 AC – 369 AC Teeteto Theaetetus 408 AC – 355 AC Eudoxo de Cnido Eudoxus of Cnidusc. 400 AC – c. 350 AC Thymaridasc. 390 AC − c. 320 AC Dinostratus 384 AC – 322 AC Aristóteles Aristotle 380 AC − 320 AC Menecmo Menaechmusc. 370 AC – c. 300 AC Arsiteo el Viejo Aristaeus the Elderc. 370 AC – c. 300 AC Callippusc. 360 AC – c. 290 AC Autólico Autolycus of Pitane 356 AC – 323 AC Alejandro Magno Alexander the Greatc. 340 AC – c. 285 AC Polyaenus of Lampsacusc. 320 AC – c. 280 AC Euclides Euclidc. 287 AC – c. 212 AC Arquímedes Archimedesc. 280 AC – c. 220 AC Conon of Samosc. 276 AC – c. 194 AC Eratóstenes Eratosthenesc. 262 AC – c. 190 AC Apolonio de Perga Apollonius of Pergac. 190 AC – c. 120 AC Hipparchusc. 160 AC – c. 100 AC Theodosius of Bithyniac. 150 AC Perseus (geometer) Siglo I (DC) Geminusc. 60 – c. 120 Nicómaco Nicomachusc. 70 – c. 135 Theon of Smyrnac. 70 – c. 140 Menelao Menelaus of Alexandriac. 100 – c. 170 Ptolomeo Ptolemyc. 200/214 – c. 284/298 Diofanto Diophantusc. 290 – c. 350 Papo Pappus of Alexandria 304 – 285/7 Tolomeoc. 335 – c. 405 Teón de Alejandría Theon of Alexandriac. 350 – 415 Hypatia of Alexandria 412 – 485 Proclo Proclusc. 420 – c. 480 Domninus of Larissac. 480 – c. 540 Eutocius

Fuente: Wikipedia.

23.4 Tabla cronológica de los matemáticos del siglo XIX.

23.5 Foto de familia de las rectas y puntos notables del triángulo.

Alturas de un triángulo.

Las alturas son las rectas que pasan por un vértice y son perpendiculares al lado contrario.

En un plano euclídeo, las alturas se encuentran en un único punto llamado ortocentro.

Bisectrices de un triángulo.

Las bisectrices de un triángulo son las rectas que biseccionan los ángulos correspondientes a los tres vértices, es decir, dividen los ángulos en dos iguales.

En un plano euclídeo, las bisectrices se encuentran en un único punto llamado incentro.

Medianas de un triángulo.

Las medianas son las rectas que pasan por cada vértice y el punto medio del lado opuesto.

En un plano euclídeo, las medianas se encuentran en un punto único llamado baricentro.

Mediatrices de un triángulo.

Las mediatrices son las rectas que son perpendiculares a cada lado y pasan por su punto medio.

En un plano euclídeo, las mediatrices se encuentran en un único punto llamado circuncentro.

23.6 Foto de familia de los cuadriláteros.

23.7 Notaciones utilizadas en este libro.

Puntos

Recta que pasa por los puntos A y B

Semirrecta de extremo A

Segmento de extremos A y B

Dos segmentos congruentes

Tres puntos alineados, con B entre A y C.

Ángulo no orientado de lados y

Dos ángulos congruentes

Triángulo (no orientado) de vértices A, B y C

Ángulos internos asociados a los vértices del triángulo

Dos triángulos congruentes

Dos triángulos semejantes

Circunferencia circunscrita al triángulo

Circunferencia de diámetro

Radio de la circunferencia circunscrita o circunradio.

Radio de la circunferencia inscrita o inradio.

Área (sin signo) del triángulo

Semiperímetro de un triángulo

Semiárea de un triángulo

H, O, I , G Ortocentro, circuncentro, incentro y baricentro de un triángulo.

Los conjuntos numéricos fundamentales

23.8 Notaciones asociadas a objetos orientados y magnitudes.

Valor absoluto de un número real, módulo de un número complejo.

Longitud sin signo del segmento AB

Longitud con signo del segmento AB

Razón sin signo entre dos segmentos

Razón con signo entre dos segmentos

Ángulo no orientado de lados y

Ángulo orientado de lados y

Amplitud angular sin signo del ángulo

Amplitud angular con signo del ángulo orientado

Triángulo no orientado de vértices A, B y C

Triángulo orientado de vértices A, B y CPositivo si se realiza en el sentido antihorarioNegativo si se realiza en el sentido horario

Área (sin signo) del triángulo

Área con signo del triángulo orientado

(toma el signo del triángulo )

23.9 Foto de familia de las operaciones en IR2 y IR3.

En IR2 En IR3 En IRn

Det

erm

inan

te

(hip

ervo

lum

en)

También llamado "producto mixto":

Producto Escalar Producto Vectorial

Sin

coor

dena

s Mediante y un vector normal

En IR

2En

C (ver 20.8)

En IR

3A

lgun

as

prop

ieda

des

23.10 Foto de familia de radios, centros y áreas.

Dado un triángulo , definimos:I incentror inradioO circuncentro R circunradios semiperímetro:

área del triángulo

Relación entre área y alturas

(5.3.1)

Fórmula de Heron

(10.4.11)

Área mediante trigonometría

(9.2.1)

Relación entre inradio y semiperímetro

(11.4.8)

El teorema extendido del seno

(11.6.4)

Relación entre circunradio y área del triángulo

(11.6.5)

Relación entre inradio y circunradio

(11.13.1)

Fórmula de Euler para triángulos

(11.13.2)

23.11 Algunas citas literarias.

Otras veces toca preguntar al chico, para tormento del padre.“Papá, ¿Por qué no tienen barba las mujeres?” A punto estuvo Carrascal de responder: “Porque las tienen los hombres; para diferenciarse en la cara”, pero se calló.-Mira, hijo, en un triángulo que tenga dos ángulos desiguales, a mayor ángulo se opone mayor lado...-Sí, ya lo veo, papá.-No basta que lo veas, hay que demostrártelo.-¡Pero si lo veo...!-No importa; ¿de qué sirve que veamos las cosas si no nos las demuestran?

Miguel de Unamuno, Amor y pedagogía (1901)

[...]Luego, la confusión abrumadora de los primeros estudios serios, de las matemáticas sublimes, de tanta abstrusidad como tenían que meterse en la divina chola para los exámenes. Ahora que Gabriel reflexionaba acerca de tales estudios y mentalmente pasaba lista a sus compañeros de academia, maravillábase pensando que de aquella hueste nutrida desde sus tiernos años con tanta trigonometría rectilínea, tanta álgebra y tanta geometría del espacio, no había salido ningún portentoso geómetra, ningún autor de obras profundas y serias, ni siquiera ningún estratégico consumado, y al contrario, por regla general, apenas se encontraba compañero suyo que al terminar la carrera se distinguiese por algún concepto, o rebasase del nivel de las inteligencias medianas. Mucho caviló sobre el caso don Gabriel, y vino a dar en que la balumba algebraica, el cálculo, las geometrías y trigonometrías se las aprendían los más de memoria y carretilla, a fuerza de machacar, para vomitarlas de corrido en los exámenes; que los alumnos salían a la pizarra como sale el prestidigitador al tablado, a hacer un juego de cubiletes en que no toma parte el entendimiento; y que esta material gimnasia de la memoria sin el desarrollo armonioso y correlativo de la razón, antes que provechosa era funesta, matando en germen las facultades naturales y apabullando la masa encefálica que venía a quedarse como un higo paso.[...]

La madre naturaleza, Emilia Pardo Bazán (1887)

23.12 Bibliografía.

Descarga la versión más actualizada de este libro en www.toomates.net/biblioteca/GeometriaAxiomatica.pdf

Practica con mi colección de problemas de geometría:http://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasGeometria.pdf

[Hilbert] David Hilbert, Grundlagen der Geometrie, 14. Auage, B.G.Teubner, Stuttgart,Leibzig, 1999. Versión en inglés: David Hilbert, Foundations of Geometry, 2nd English edition, Open Court, LaSalle, 1971.

"Coordenadas Baricéntricas" (Francisco J. García Capitán)

"Geometría métrica y proyectiva en el plano con coordenadas baricéntricas. Algunos tópicos" (Angel Montesdeoca)

La primera parte de este libro sigue el desarrollo de los documentos “pdf” del profesor Wayne Aitken que se encuentran en su página web personal:

http://public.csusm.edu/aitken_html/m410/