Gregorio Klimosky GuiUemo Boido

LAS DESVENTURA DEL CONOCIMIENTO

MATEMTICO Filosoia de la matemtiea:

una introduccin

G r e g o r i o K l i m x ) v s k : y

G i i i l l e r n i o B o i d )

' 1 I ? ) ; I V I . L i i i r l c i r i / i i c a :

una introduccin

Prlogo de Gladys Palau

editora

Imagen de tapa: el matemtico NikolaUvS Kratzer, quien fue astrnomo del rey Enrique VIII, retratado en 1528 por el maestro renacentista Hans Holbein el Joven (c. 1497-1543). Museo del I^)uvre. Foto: Focus.

aZ editora S.A. Paraguay 2351 (C1121ABK) Buenos Aires, Argentina. Telfonos: (011) 4961-4036 y lneas rotativas Fax: (011) 4961-0089 Correo electrnico: info@az-editora.com.ar

Libro de edicin argentina. Hecho el depsito de ley 11.723. Derechos reseivados.

ISBN 950-534-796-0 Klimovsky, Gregorio

Las desventuras del conocimiento matemtico / Gregorio Klimovsl

A la memoria de Julio Rey Pastor, cuyo magisterio permiti el desarrollo de la matemtica

moderna en la Argentina

Prlogo. (ladys Palali - 13 Asombro y coiiociiiiieiito. Gregorio Klimovsky - 17

vSobre la socializacin del conocimiento. Guillermo Boido - 19 .El porqu de este libro - 21.

Por qu la matemtica? (21), Por qu la fundamentacin de la matemtica? (25), Fuib damentacin y filosofa de la matemtica (27).

2. Las concepciones de a matemtica en el mundo antiguo . , 1: de Ahms a Platn 29.

Cuatro preguntas acerca de la matemtica (29), ll empiri,smo primitivo: Ahms y el pa-piro ^ hind (30), Tales de Mileto: la aparicin de la idealizacin lmite y la lgica (35), Pitgoras y el intuicionismo dualista (39), l problema de la inconmensurabilidad (43), l^ as concepciones matemticas de I^ latn (47).

3. Las eoneepeiones de la matemtica en el mundo antiguo 2: Aristteles y la axiomtica clsica - 55.

Introduccin a Aristteles (55), La nocin aristotlica de conocimiento (58), Caracteri-zacin de la ciencia segn Aristteles: el mtodo demostrativo (59), Comentarios a los supuestos aristotlicos acerca de la ciencia (64), liis limitaciones del mtodo demostra-tivo o mtodo axiomtico clsico (72).

4. La geometra de Euclides-Hilbert - 75. Ii)s Elementos de Euclides (75), Coda: sobre la historia de la matemtica (82), La re-formulacin de Hilbert de la geometra euclideana (83).

5. El surgimiento de las geometras no euelideanas - 89. liis aventuras del quinto postulado: de Euclides a Gauss (89), El apriorismo de Kant (96), Caractersticas de las geometras no euelideanas (101), Problemas filosficos plan-teados por las geometras no euelideanas (103).

6. Los sistemas axiomticos formales - 109. Los sistemas axiomticos formales y el ajedrez (109), Caracterizacin de los sistemas axiomticos formales (112), Cinco significados de la palabra "formal" (112), Sobre la l-gica presupuesta (115), El vocabulario y las cuasiproposiciones (118), Ii)s axiomas y los teoremas (119), Ix)S sistemas axiomticos desde un punto de vista filosfico (121), Los sistemas sintcticos y la matemtica axiomtica como lgica aplicada (122), Inter-pretaciones y modelos: acepcin semntica (124), Interpretaciones y modelos: acepcin sintctica (127), Una digresin: los modelos en las ciencias tcticas (128), Matemtica pura y matemtica aplicada (129), Matemtica, conocimiento y metaconocimiento (131).

LAS DISViCNTOKAS Dll. CONOCIMIICNTO MATIMATICO

7. La construccin de un sistema axiomtico - 13!). Un ejemplo sencillo de sistema axiomtico; SAl-O (i:'>5), Tiene SAI

NDlCli ClNIRAL

l ' I . te antinomias lgicas - 243. Il surgimiento de las antinomias lgicas (243), Dos paradojas y tres antinomias (244), Que hacer ante las antinomias l()gicas? (248).

15.//AS' intentos de resolucin de las antinomias 1: la teoria de los tipos y el neointuicionismo - 249.

La teora de los tipos de Russell (249), La teora simple de los tipos (250), La teora ra-mificada de los tipos (255), Dificultades de la teora de los tipos (256), El neointuicio-nismo matemtico (259), Dificultades del neointuicionismo (266).

16. Los intentos de resolucin de las antinomias 2: las teorias axiomticas de conjuntos - 269.

Las teoras axiomticas de conjuntos (269), Sobre la posicin iflniialista (274), Cuatro posiciones filosficas acerca de la matemtica (276), Metamatemtica y metalenguajes (277).

17. Los metateoremas de Godei y las limitaciones de la matemtica - 281.

I.3S metateoremas de Godei (1931) (281), lii irresolubilidad del problema de la consis-tencia (286), Consecuencias filosficas de los metateoremas de Godei (289), Sobre la consistencia de la matemtica y de la lgica: la situacin actual (291).

18. Filosofa y matemtica: una relacin compleja - 293. Objetos versus esquemas (293), La matemtica en auxilio de la filosofa: Aquiles y la tortuga (295), lii proyeccin del constructivismo matemtico en la filosofa (296), Pla-tn y el realismo matemtico (297), Qu clase de conocimiento proporciona la mate-mtica? (299), Matemtica y realidad (301), Trminos matemticos y trminos fcficos (302), Tiene sentido investigar en matemtica? (305).

Apndice. El lgebra de Boote como ampliacin del sistema SAFO - 307.

Bibliografa. 311.

Indice temtico y de nombres principales. 315.

Dos protagonistas centrales en la historia de la fundamentacin y la filosofa de la matemtica. A la izquierda, el alemn David Hilbert (1862-1943), cuyo nombre se vincula con el desarrollo de casi todas las ramas de la matemtica contempornea. A la derecha, el britnico Bertrand Arthur William I^ussell (1872-1970), filsofo, lgi-co, matemtico, educador y escritor, pacifista militante y defensor de los derechos humanos, considerado como uno de los pensadores ms influyentes y originales del siglo XX.

Lfl filosofia est escrita en este vasto libro que continuamente se abre ante nuestros ojos (me refiero al universo), el cual sin embargo no se puede en-tender si antes no se ha aprendido a entender su lengua y a conocer el alfa-beto en el que est escrito. Y est escrito en el lenguaje de las matemticas, siendo sus caracteres tringulos, crculos y otras figuras geomtricas, sin los cuales es humanamente imposible comprender una sola palabra; sin ellos, s-lo se conseguir vagar por un oscuro laberinto.

' ( A L I L E O G A L I L E I

Im matemtica es una ciencia en la que nunca se sabe de qu se haba, ni si lo que se dice es verdadero.

B E I ^ F R A N D RUSSELL

oy se acepta que la matemtica como ciencia se inicia con la primera demostracin geomtrica atribuida al filsofo griego Tales de Mileto y que, desde Pitgoras y Platn hasta bien entrado el siglo XX, en filso-

fos como Leibniz, Descartes, Frege, Russell, por citar solo algunos, la matem-tica y la filosofa han recorrido solidariamente juntas el camino de la construc-cin del conocimiento matemtico. Ilustraremos esta uniri con algunos ejem-plos. L'd matemtica griega creci dentro del paradigma lgico-filosfico que im-peraba en la Grecia clsica y que desde Parmnides atemporaliz el mundo: el ser es, el no ser no es. Tan fuerte fue la primaca del Ser que, ni aun desde ver-tientes tan dismiles como el idealismo de Platn o el realismo de Aristteles, se pudo ni siquiera entrever la existencia de alguna forma de negatividad, en particular la posibilidad de que existieran nmeros negativos y menos an, n-meros irracionales. Hasta Newton, en su Arithmetica Universalis, publicada en 1707, consider a los nmeros irracionales como meros smbolos, que no tenan existencia independiente de las magnitudes del continuo geomtrico. Paralela-mente, la verdad de los enunciados matemticos, especficamente los de la geo-metra euclidiana, se fundamentaba en la lgica deductiva creada por Aristteles en perfecta armona con la inmutabilidad del Ser. No es casual que, desapareci-do el aristotelismo escolstico, en pleno Renacimiento, la geometra analtica y el clculo infinitesimal hayan sido creados por Descartes y I^ibniz, eximios re-presentantes del racionalismo de la filosofa moderna. Tampoco es casual que, a fines del siglo XIX, se hayan instalado en el seno de la matemtica los pro-blemas relacionados con la fundamentacin del conocimiento matemtico y el ri-gor de sus demostraciones, y que, en ese contexto, mientras Cantor introduca un paraso poblado de infinitos conjuntos a su vez infinitos que, al decir de Hil-bert, los matemticos an hoy se resisten a abandonar, otros matemticos, co-mo Brouwer y Heyting, apelando a la intuicin, en contra de Frege y Russell, defendieran la primaca de los nmeros naturales y las pruebas constructivas frente a las demostraciones de la teora de conjuntos basadas en la lgica.

Sin embargo, teniendo en cuenta, por un lado, la intrincada relacin entre fi-losofia y matemtica que evidencia la historia y, por el otro, la complejidad de la matemtica actual y la multiplicidad de escuelas filosficas, no es tarea sen-cilla ni para los estudiosos de la filosofa acceder al conocimiento matemtico ni para los matemticos reflexionar filosficamente sobre sus objetos de estudio. Desde la dcada de los cincuenta, el lector experto en esta temtica dispone de

13

LAS DKSVENTURAS DIL CONOCIMIENI 'O MATIMATICO

excelentes compilaciones de trabajos de los principales filsofos de la matem-' tica y de una apreciable cantidad de importantes obras dedicadas especficamen^-te a la filosofa de la matemtica, con especial nfasis en la fundamentacicki de la misma, tales como Introduction to Mathematical Philosophy de Bertrand Rus-sell, The Foundations of Mathematics de Evert Beth, Introduction ta the Founda-tions of Mathematics de liaymond Wilder, entre otros, y cfue conforman riguro-sas y deleitantes exposiciones de lo que se ha dado en llamar hoy en da enfo-que fundacionalista de la filosofa de la matemtica. Por el contrario, las obras sobre el tema publicadas en castellano son muy pocas y tal vez demasiado ele-mentales. El presente libro aparece para llenar este enorme vaco y, simultnea-mente, para permitir a sus lectores introducirse plcidamente en los intersticios filosficos del conocimiento matemtico, no en vano llamado por Whitehead "la creacin ms original del espritu humano".

Despus de responder a la pregunta sobre el porqu de este libro, los auto-res nos sumergen en los orgenes empricos de la matemtica y en los prime-ros filsofos de la matemtica, Pitgoras y Platn. Dada su importancia en la construccin del conocimiento matemtico occidental, el mtodo demostrativo de Aristteles, gnesis de la axiomtica moderna y la geometra de Euclides-HiL bert, son tratados en forma rigurosa y clara en captulos independientes. Tal co-mo era de esperar por la espedalizacin de sus autores, ste es un libro que en-sambla armnicamente los aspectos histricos con los conceptuales, lo cual se manifiesta claramente en el tratamiento que se hace del surgimiento de las geo-metras no euclidianas en el captulo 5. Luego se presentan tres captulos de ca-rcter sistemtico dedicados al anlisis de los sistemas axiomticos formales, sus propiedades y requisitos, las geometras no euclidianas como sistemas axiomti-cos y la teora de conjuntos como ltimo eslabn construido a partir de la lgi-ca clsica. En los captulos 11 y 12 se retoman aspectos histricos a fin de mos-trar el proceso constructivo de lo que se ha dado en llamar aritmetizacin de la matemtica y que se analiza en dos etapas. La primera abarca desde la geome-tra analtica de Descartes hasta los nmeros reales y la segunda se encarga de mostrar cmo llegar de los reales a los naturales y cmo stos se definen cons-tructivamente en la axiomtica de Peano. Y es precisamente en este aspecto donde el libro nos muestra la inteligente peculiaridad de no presentar las distin-tas escuelas de filosofa de la matemtica en forma independiente, tal como se las encuentra en la mayora de esta clase de textos sino que, por el contrario, las introduce en funcin de los problemas matemticos que las motivaron en for-ma esencial. As, el neointuicionismo se desarrolla a partir de las discusiones mantenidas entre los matemticos sobre la naturaleza de los nmeros naturales y el carcter de la prueba matemtica, y el logicismo, en tanto intento de redu-cir la matemtica a la lgica, se presenta en el contexto de las antinomias lgi-

14

PROLOCO

cas surgidas en la t(X)ra d(; conjuntos. A continuacin, se explicilan las distintas soliiciont's a las antinoroias y, dentro de esle marco, se analizan las propuestas axiomticas, el formidismo de Hilbert y los rnelat,eoremas de (rfidel y sus consci-cuencias filosficas. Como colofn, los autores dedican el ltimo captulo a refle-xionar acerca de problemticas an abiertas, tales como el tipo de conocimiento que proporciona la matemtica, la relacin entre matemtica y realidad, el rea-lismo matemtico, privilegiando un cierto tipo de constructivismo matemtico.

Cualquier lector avezado habr comprendido que ste es un libro en el que se ha optado por el enfoque lndacionalista de la filosofa de la matemtica y podra preguntarse si no se han construido en las ltimas dcadas del siglo XX otras perspectivas desde donde analizar esta disciplina. Por supuesto que las hay, pero, pese a que su temtica est presente en varios .captulos del libro, en particular en el ltimo, ellas no estn tratadas en forma sistemtica. La obra ms representativa de estos nuevos aportes, la mayora de ellos descendientes en alguna medida del programa sociologista de la ciencia, es la compilacin de Thomas Tymoczko titulada New Directions in the Fhilosophy of Mathematics, en cuya introduccin se expresa claramente la decisin de desafiar al "dogma" del reduccionismo fundaeionalista. La razn principal esgrimida consiste en denun-ciar que los filsofos clsicos de la matemtica no han tenido en cuenta las dis-tintas prcticas matemticas. Le., las pruebas informales, el desarrollo histrico, las comunicaciones entre matemticos va congresos o jornadas, las explicacio-nes computacionales, etc., esenciales al conocimiento matemtico. Sin embargo, el lector comprobar en su lectura de la compilacin mencionada que varios de los factores sealados como ausentes por la nueva filosofa de la matemtica, han sido contemplados por los autores de este libro en el desarrollo de los te-mas en los captulos no sistemticos y, en particular, en las reflexiones finales, tal como ya lo sealamos anteriormente.

Por nuestra parte, reconocemos que indagar en la prctica matemtica y los diversos tipos de razonamiento, herramientas e instrumentos inferenciales usa-dos por los matemticos agudiza el conocimiento de esta ciencia, y que recorrer los complicados vericuetos de su historia y su gnesis histrica y contextualiza-cin social constituye una aventura apasionante que completa el abordaje del co-nocimiento matemtico. Pero tambin creemos que profundizar en estas indaga-ciones, lejos de apartarnos de las preguntas tradicionales sobre la naturaleza de este conocimiento, ms bien nos muestran con difana claridad que toda la ac-tividad de los matemticos y los resultados obtenidos estn signados por la ne-cesidad de que ellos constituyan verdades universalmente justificadas. Ms an, entendemos que la problemtica filosfica acerca de la naturaleza del conoci-miento matemtico est en la base misma de la prctica matemtica que los nuevos filsofos proponen profundizar.

15

LAS DICSVENTUKAS DII, CONOCIMIINTO i v i A T i M A n c o

lri efecto, en los trabajos actuales sobre filosofa de la matemtica, se acen-' tiia especficamente el carcter no apodctico del conocimiento rnalerntico, o sea, la posibilidad del error matemtico, el cual, si se lo acepta, hace de la ma-temtica una ciencia casi emprica. En uno de los artculos de la compilacin ci-tada, se afirma que los matemticos se equivocan, y como ejemplo se citan los Proceedings of the American Mathematical Society de 1963, en donde apareci un artculo titulado "False lemmas in Herbrand" y en el cual los autores, adems de mostrar la falsedad de tales lemas, los reemplazan por otros que prueban co-mo correctos. Pero, a los efectos de mostrar la debilidad de esta argumentacin en contra de la fiabilidad del conocimiento matemtico, podramos preguntarnos ahora: si se abandona la pregunta sobre cmo se justifica el conocimiento ma-temtico y nos dedicamos a describir las distintas prcticas de los matemticos, cmo sabemos si los nuevos lemas que se proponen en lugar de los :falsos han devenido en correctos? Del hecho de que los matemticos cometan errores en su prctica de investigacin no se sigue vlidamente que la matemtica sea una ciencia casi emprica. Pero dudar de la fiabilidad del conocimiento matemtico implica dudar tambin de la deduccin como la ms segura herramienta del ra-zonamiento humano.

Conozco a los autores desde hace muchos aos. La lectura de varios temas de este libro me ha trado a la memoria las magistrales clases de Gregorio Kli-movsky all por los aos 70 sobre lgica y fundamentacin de la matemtica impartidas en la Universidad Nacional de La Plata, cuyas desgrabaciones he guardado sigilosamente, he reledo miles de veces y me han servido de gua rectora cada vez que he tenido que hablar sobre estos temas. En ciertos frag-mentos del libro he encontrado tambin comentarios u observaciones que me han remitido a los precisos, reflexivos e inteligentes aportes que seguramente habr realizado Guillermo Boido, valiossimo compaero de tareas intelectuales. En suma, hubiera querido disponer de este libro cuando era estudiante.

Gladys l'alau Profesora titular de lgica

Universidad de Buenos Aires Universidad Nacional de La Plata

1 6

A s o m b r e } y c o e o c i m i e n t o

(iregorio Klimovsky

ara Aristteles, una de las caractersticas de la actitud filosfica es el asombro. Puede que, por razones prcticas, se rena con frecuencia cono-cimiento que tendr utilidad instrumental. Pero cuando el conocimiento

se asocia con el asombro que produce el hecho de que la realidad sea como es, enorme, fantstica y emocionante, entonces el conocimiento origina en el inves-tigador una visin filosfica del universo. Debo confesar que en uno (o tal vez varios) perodos de mi vida lo descrito anteriormente es precisamente lo que me sucedi. Reiteradamente tuve la sensacin de estar ante maravillas, como cuando, por caso, supe que la galaxia en la que est situado el sistema solar, nuestra Galaxia, tiene unos cien mil aos luz de dimetro y que est constitui-da por cientos de miles de millones de estrellas, entre las cuales el Sol es real-mente un componente pequeo y aislado. Pero a su vez, enterarme de que en la parte del universo accesible para nuestros instrumentos astronmicos se cuentan varios cientos de miles de millones de galaxias resultaba ya demasiado para mi propia capacidad emocional. Todo ello me asombr pero adems, como advierte Aristteles, me asombr mi asombro, con lo cual estaba dando eviden-cias de un fuerte inters filosfico por este increble universo en el que existi-mos. Esto explica que gran parte de los esfuerzos en mis estudios y actividades acadmicas hayan avanzado en direccin epistemolgica, tratando de fundamen-tar cmo somos capaces los seres humanos de conocer tales cosas.

Posteriormente otra experiencia sorprendente vino a complicar mi vocacin fi-losfica y mi capacidad de asombro. Me encontr con la matemtica, o tal vez la matemtica me encontr a m, y con lo que a primera vista pareca un peculiar universo de entidades ntidas, perfectas y eternas (nmeros, figuras, ecuaciones, conjuntos). Me fascin tambin que el estudio de semejantes entidades estuvie-ra asociado a una metodologa para m sorprendente: postulados, demostraciones y teoremas. Creo que el impacto intelectual que ello me produjo fue todava ma-yor que el anterior y quizs por tal razn, desde entonces, qued subyugado por ese extrao misterio que es el saber matemtico. Uno de los motivos por el cual mi entusiasmo super al que me haban provocado ciencias como la fsica o la astronoma fue que stas mostraban la existencia de un universo muy grande, en tanto que entre las hazaas de la matemtica se contaba el haber introducido una suerte de "universo infinito", el cual, si bien en la concepcin "pura" de di-cha ciencia poda semejar un mero juego, resultaba indispensable, a travs de sus aplicaciones, para el desarrollo de otras ciencias y de la tecnologa.

1 7

LAS DESVINTJRAS DIL CONOCIMIINTO MATIMATICO

Corno respecto de las emociones filosficas y cientficas no padezco de nin-guna forma de egosmo, siempre he qu(;rido compartir mi asombro divulgando y discutiendo estos temas entre amigos, alumnos y tambin, en seminarios, en-tre mis colegas. Pero todo se complic a medida que fui percibiendo, como ad-vertir el lector de este libro, que haba en la matemtica y en su fundamenta-cin serias dificultades y que, al menos parcialmente, poda hablarse de una "crisis" de esta ciencia. Ello me llev a inquirir qu soluciones se haban pro-puesto para tales dificultades y entonces comprob que, incluso en la actuali-dad, aparecen constantemente nuevas opiniones y puntos de vista sobre la na-turaleza de la matemtica desde una perspectiva filosfica. Me pareci entonces que, por un lado, los estudiosos de la filosofa, y por otro, parte de los propios cultivadores y docentes de la disciplina, deban conocer las controversias princi-pales que a propsito del tema haban sido planteadas en el siglo pasado. Esto explica por qu dediqu tantos aos, en variadas universidades, y en diversas facultades de ciencias y de filosofa, al dictado de cursos y seminarios vincula-dos con la fundamentacin y la filosofa de la matemtica.

An ahora estos temas, ya algo tradicionales, me siguen preocupando, y es-to me llev, de comn acuerdo con mi colega Guillermo Boido, a la idea de que resultara til redactar un texto elemental en el que los problemas de esta esfe-ra del conocimiento se brindaran como informacin de inters no solamente pa-ra universitarios o acadmicos sino tambin para todos aquellos que conciben a la ciencia como una manifestacin medular de la cultura humana. Lo cual nos condujo a ambos a organizar un seminario, de carcter muy privado, en el que tratamos de rescatar ordenadamente esta temtica y exponer y valorar, en la medida de lo posible, algunas de las posiciones clsicas de la filosofa de la ma-temtica. De all surgi este texto, que recoge nuestras discusiones con la es-peranza de que el entusiasmo y el asombro ante esta aventura del pensamien-to, compartidos por ambos autores, pueda contagiarse a muchos lectores: do-centes, investigadores y estudiosos en general.

1 8

la socializacin del rtiilleriTio Boido

itado de memoria, deca linstein que era preferible que la humanidad de-sapareciera por una decisin errnea de la sociedad en su conjunto y no

/ por la de un grupo de especialistas. El conocimiento generado por cient-ficos y tecnlogos debe ser compartido con la mayor cantidad posible de secto-res sociales. vSlo as ser factible crear un espacio de reflexin crtica para el anlisis colectivo y multidisciplinario de las dimensiones polticas, culturales y ticosociales de la ciencia y de sus aplicaciones. Ellas no pueden ser patrimonio exclusivo de quienes las producen ni tampoco de los redcidos mbitos polticos y econmicos que hoy deciden la utilizacin de tales conocimientos exclusiva-mente en trminos de sus propios intereses y en detrimento de las necesidades de la gran mayora de la poblacin. Por ello es imprescindible concebir una nue-va educacin que permita niveles adecuados de comprensin, por parte de los no especialistas, de los contenidos, mtodos y alcances de los desarrollos cien-tficos y tecnolgicos. Este libro, en la medida de lo posible, pretende contribuir a esa finalidad a propsito de los problemas de la fundamentacin y la filosofa de la que alguna vez ha sido llamada la "reina de las ciencias", la matemtica. Como el lector comprobar, a la vez que ella presta, en calidad de ciencia apli-cada, innumerables servicios a otras ciencias, naturales y sociales, y tambin a la prctica tecnolgica, su majestad no est libre de amenazas filosficas.

Bien sabemos que existen cientficos para quienes su inters radica exclusi-vamente en investigar en su mbito especfico, en el dominio interno de su co-munidad profesional, y a quienes la docencia y la divulgacin del conocimiento les resulta un desagradable compromiso: la vida es breve y la investigacin de-manda tiempo. Ante su obra, el pblico no especializado se enfrenta a lo que Pierre Thuillier llamaba la "vidriera de la ciencia": para muchos, slo se la pue-de contemplar, y son muy pocos quienes la pueden comprender. Afortunadamen-te, en la comunidad cientfica argentina hubo y hay excepciones: entre otras, la de Gregorio Klimovsky. En ejercicio de un magisterio de innumerables matices, en ctedras, clases, conferencias, escritos (muchos de ellos de corte acadmico pero otros accesibles a un vasto pblico), proyectos educativos y cientficos, e in-cluso en el terreno de los derechos humanos, ha comprometido su credo huma-nista con un protagonismo social orientado a extender sin lmites su concepcin de una cultura sin fronteras, viva y democrtica, que en modo alguno puede prescindir de la ciencia. La redaccin de este libro, que tal maestro de la cultu-ra argentina ha tenido la deferencia de compartir conmigo, ha significado para m una de las experiencias ms enriquecedoras de las que tenga memoria.

19

Reconocimiento

Los autores expresan su agradecimiento a los miembros del equipo de produc-cin de aZ editora que han participado en la edicin de este libro, en particu-lar a Linda Alcazaba, Heber Cardoso y Alberto Onna, por la eficacia, la solicitud y el afecto que han puesto de manifiesto a la hora de realizar su compleja tarea.

El porqu de este

Por qu la matemtica?

izs sea pertinente preguntarse, cuando se inicia la redaccin de un li-^ j j hro de esta naturaleza, cul es el inters que podra despertar el tema,

. decir, el ocuparse del estudio de la fundamentacin y de la filosofa de la matemtica!. Si se tratase de un libro de biologa, comprenderamos que estamos estudiando el importante problema de la vida y tambin el de sus apli-caciones a la medicina, cuestin que tiene una trascendencia social innegable. Lo mismo ocurrira ante un libro de sociologa, porque comprender la sociedad es comprender mucho de aquello que, de una manera muy pronunciada, nos afecta en la vida cotidiana, personal y comunitaria. Con la matemtica suele ocu-rrir, por el contrario, que se piensa en ella como algo muy abstracto y alejado de la realidad, y que slo de manera incidental tiene aplicaciones tiles en la vi-da diaria, como cuando pensamos en la aritmtica elemental necesaria para rea-lizar cmputos vinculados, por caso, con transacciones comerciales o bancarias. Es verdad que mbitos importantes de la matemtica se estudian ms bien por su belleza y por la curiosidad intelectual que despiertan antes que por la posi-bilidad de que se las emplee para satisfacer requerimientos concretos de utiliza-cin prctica. Sin embargo, hemos de comprobar en este libro que la matem-tica, a travs de sus aplicaciones, sirve para resolver problemas en una amplia gama de cuestiones que ataen a otras disciplinas, cientficas y tecnolgicas.

Hay que recordar aqu una afirmacin de Galileo que parece reflejar con exactitud cul es la importancia de la matemtica para el conocimiento cientfico en general: el lenguaje para comprender la realidad es el lenguaje matemtico. El libro de la naturaleza, nos dice el gran fsico italiano, est escrito en caracte-res matemticos; sin ellos "es humanamente imposible comprender una sola pa-labra y slo se conseguir vagar por un oscuro laberinto". A propsito de cien-cias como la fsica, la qumica, parte de la biologa, la economa o la sociologa,

1 virtud de la unidad metodolgica actual de esta disciplina, nos referiremos a ella como "matemtica", en singular. Pero no es incorrecto emplear "matemticas" con relacin a sus distintas ramas: la geometra euclideana, la teora de los nmeros, las lgebras abstractas, la topologa, etctera.

2 1

E L PORQU 1) IBKO

las llamadas ciencias fctica&^-, no podran entenderse las leyes y correlaciones que existen en la realidad natural y social (y en rigor ni siquiera podran ser es-tablecidas) si no se dispusiera de formulismos matemticos para expresarlas. En este sentido, la matemtica es la llave que abre las puertas de la realidad. Por otra parte, aunque se adopte una actitud favorable hacia la matemtica, hay mu-chos malentendidos a propsito de ella, en particular cuando se la piensa como una suerte de "ciencia de la cantidad", aplicada a la aritmtica y al lgebra, o bien como el estudio de extensiones y figuras espaciales, cuando se manifiesta como geometra. Este modo de concebir la matemtica remite de inmediato a pensar en algoritmos numricos, frmulas, ecuaciones, propiedades de figuras y teoremas que, a su vez, en muchos casos, evocan estudios pronunciadamente enojosos para quienes no tienen vocacin por la disciplina.

Pero esta caracterizacin de la matemtica no es correcta. Tal como hoy se la concibe, la matemtica pone su atencin en lo que llamamos estructuras, o sea, conjuntos de elementos relacionados de determinada manera, y el estudio del matemtico remite al de las propiedades que tienen tales conjuntos. Sin em-bargo, no puede decirse simplemente que la matemtica estudia estructuras, ya que, por ejemplo, el fsico tambin lo hace. Cul es la diferencia? El fsico quie-re conocer cules son las estructuras reales, es decir, cules son los conjuntos y relaciones que caracterizan a las familias de entidades existentes a las cuales dirige su atencin; el matemtico ms bien estudia, como tambin lo hace el l-gico, estructuras posibles, es decir, aquellas que no son contradictorias. Por lo cual podramos, quizs temerariamente, caracterizar a la matemtica como el es-tudio de todas las estructuras posibles y de sus propiedades: el matemtico cons-truye algo as como un gigantesco anaquel o armario en el que estn almacena-das todas las estructuras que podamos concebir, una curiosa forma, si se quie-re, de crear ciencia ficcin.

Hablar de estructuras matemticas, por supuesto, pone el centro de grave-dad ms en aspectos lgicos que en aspectos cuantitativos. Sin embargo, esta-ramos engaando al lector si no reconociramos que gran parte de las estruc-turas que pueden servir a los fsicos, bilogos o economistas son estructuras numricas y entre ellas se encuentran las ms exitosas, tiles y complicadas que la matemtica puede ofrecer. Pero no nos atreveramos, como s han hecho otros epistemlogos, a caracterizar la matemtica fundamentalmente como una ciencia de la manipulacin del nmero, de la cantidad o de los algoritmos nu-mricos. La matemtica que hemos caracterizado como estructuralista posee, en la actualidad, por su desarroo en el siglo XX, captulos muy importantes en los cuales el nmero no es lo esencial y no aparecen las cantidades. A modo de

2 Esta denominacin proviene de la circunstancia de que, como se dice frecuentemente, ellas se ocupan de hechos, y de all la denominacin de "fcticas". Ser la matemtica tambin una ciencia tctica? Aclarar este punto ser uno de los tema centrales de nuestro libro.

22

! J P O K Q U I LA M A T I M T I C A ?

ejemplo, podramos citar la topologa, una forma de geometra en que la canti-dad no desempea prcticameiie papel tsencial alguno, o bien el lgebra abs-tracta, una de las disciplinas desarrolladas a lo largo del siglo pasado, que no es una disciplina numrica sino que estudia todas las estructuras posibles don-de es permisible- la nocin de algoritmo.

Imaginar tales estructuras y analizar sus propiedades pone en juego nuestra capacidad racional, aunque cabe preguntarse si esta actividad ser similar a un juego o a un deporte, o bien pretender satisfacer las necesidades reales de otras ciencias. Ambas respuestas son posibles, pero en el segundo caso podra-mos concebir una visita del fsico o del economista al museo de la matemtica para examinar las all presentes estructuras posibles y decidir si alguna de ellas le resulta de utilidad para su tarea especfica. El fsico podra descubrir, por ejemplo, que las partculas elementales que estudia se vinculan de un modo se-mejante al que describe esta o aquella estructura matemtica. Adoptados por el fsico, los caracteres de un lenguaje matemtico se convierten en pginas del li-bro de la naturaleza. En cierto modo, podramos pensar en el matemtico como adelantndose a los cientficos que estudian la realidad, natural o social, y ello les es conveniente a stos porque, cuando adoptan determinada estructura pa-ra sus propios fines, hacen lo propio con todo el estudio que de ella ha hecho previamente el matemtico: sus propiedades o su vinculacin con estructuras afines.

No puede desdearse una importante motivacin intelectual y esttica que muchas veces se halla presente en el estudio de la matemtica, acerca de lo cual el matemtico alemn Cari Gustav Jacobi, a principios del siglo XIX, ante la pregunta de por qu se consagraba a dicha disciplina, respondi: por el ho-nor del espritu humano. Cierto es que Jacobi polemizaba en ese momento con otro gran matemtico, el francs Joseph Fourier, para quien la matemtica de-ba ser una herramienta al servicio de la explicacin de los fenmenos natura-les e incluso de la "utilidad pblica", pero la respuesta de Jacobi es perfecta-mente legtima. Se trata, quizs, de una cuestin de "temperamento matemti-co". As como el ser humano se dedica a la plstica, a la poesa o a la msica, que no pueden ser evaluadas en trminos de "utilidad" sino de criterios estti-cos, quien tenga vocacin por la matemtica puede encontrar en ella un grado tal de belleza que no es fcilmente superable por otras aventuras de la expre-sin humana. La capacidad creativa del matemtico para imaginar estructuras tiene muchas analogas con la construccin de estructuras pictricas, poticas o musicales por parte de los artistas, por lo cual en este punto hay mucho ms en comn entre cientficos y artistas de lo que habitualmente se cree. Concebi-da la matemtica de este modo, es sugestiva la afirmacin de Jorge Luis Bor-ges: "La imaginacin y la matemtiea no se contraponen; se complementan co-mo la cerradura y la llave" y que, "como la msica, [la matemtica] puede pres-cindir del universo".

2 3

El , PORQU DE E S r c LIBRO

Desde luego, hay que reconocer que la matemtica es imporlant fambin |)or otras razones. Se trata de sus aplicaciones, ya que en mbitos tales como la economa o la ingeniera, en cuestiones donde realmente la ciencia aplic;ada requiere de un lenguaje numrico especial, o bien para formular leyes natura les, la matemtica es un instrumento indispensable para poder solucionar pro-blemas cientficos y prcticos. Pero ambas perspectivas sobre la matemtica son igualmente vlidas. Ello nos recuerda que el matemtico, historiador de la ma-temtica y escritor de ciencia ficcin E;ric Temple Bell (1883-1960), luego de ce-lebrar la belleza de la disciplina, destacando que ella reinaba por su exactitud y por el rigor de su desarrollo sobre todas las dems ciencias, tuvo que recono-cer que era tambin un insti-umento al servicio de muchos otros campos cient-ficos y tecnolgicos, por lo cual escribi un libro titulado La matemtica, reina y sirvienta de las ciencias. Lo cual refuerza nuestra afirmacin de que debemos concebir a la matemtica, legtimamente, desde ambos puntos d( vista.

A propsito de ello, debemos agregar lo siguiente: los matemticos imaginan a veces ciertas estructuras que en principio no parecen tener ninguna aplicacin al estudio de la realidad, pero luego, sbitamente, resulta que no es as. Un ejemplo impresionante, que analizaremos en este libro, es el de las geometras no euclideanasS. Fueron desarrolladas en el siglo XIX de un modo un tanto es-peculativo, en una poca en que se consideraba que la "verdadera" geometra, la que describe las propiedades del espacio fsico, era la tradicional y venerable geometra de Euclides, que aun hoy, convenientemente adaptada, forma parte de los manuales escolares. Pero a principios del siglo XX, a partir de las inves-tigaciones de Albert Einstein y de otros fsicos, se descubri que, para la fsica actual, al menos para la cosmologa y tambin para la fsica de partculas, poda ser mucho ms til y apropiada la utilizacin de geometras no euclideanas: pa-ra la relatividad general einsteniana, por caso, el universo no es euclideano. Des-de luego, ello no signific abandonar la vieja geometra de Euclides para la des-cripcin de las propiedades del espacio fsico en el mbito de los fenmenos co-tidianos, es decir, para el mundo del "nivel medio humano" (alejado a la vez del macro y del microcosmos) en el que se desarrollan disciplinas tcnicas como la ingeniera, la agrimensura y la arquitectura.

Resumiendo estas consideraciones, podramos decir que quienes desean com-prender la naturaleza y la sociedad, pero tambin saber cmo se puede actuar sobre ellas, para modificaras, no puede prescindir de la matemtica. Por lo cual, tanto desde un punto de vista filosfico, cognoscitivo y lgico pero tambin es-ttico y tecnolgico, la discusin sobre esas extraas entidades llamadas estruc-

3 Pese a que la Iteal Academia Espaola acepta como grafa correcta "euclidiana", tal como aparece en el prlogo de la Dra. Palau, los autores han decidido emplear la palabra "eucli-deana" porque, a su juicio, expresa mejor la atribucin de esta geometra al clebre geme-tra Euclides.

2 4

P O R QUl 1.A FU^DAMlNTAaON DIC LA MATEMATICA?

turas y en general los resultados dc la matemtica como ciencia abstracta y apli-cada, es asunto que la civilizacin contempornea no pu(;de desechar. Aunque ri

E L I'ORQUK I)I ESTI IJBRO

de historia de la ciencia, y esto ltimo para comprender cmo se han construi-do a lo largo del tiempo las estructuras que finalmente han venido a constituir la matemtica actual.

En el pasado, la matemtica se ha presentado muchas vec

FTJNDAMI'NTACI^N y HLOSOI-A K LA MATEMLICA

Fundamentacin y filosofa de la matemtica

Hemos hablado de la fundamentacin de la matemtica, pero el ttulo de es-te libro remite a su fosofa. Cuando los matemticos se vieron obligados a fun-damentar su, disciplina, hicieron su irrupcin las cuestiones filosficas inheren-tes a la naturaleza de la misma y en particular a las caractersticas del conoci-miento que ofrece. Dicho de otro modo, fundamentar la matemtica pone en evidencia la consideracin de importantes problemas fosficos a propsito de ella. Y como ha ocurrido habitualmente en la historia de la filosofa, las respues-tas que se han ofrecido son divergentes. Por ello tendremos que analizar las di-versas controversias suscitadas en torno de la nocin de "conocimiento matem-tico". En qu consiste? Acerca de qu trata? Cmo se puede acceder a l? Cmo se lo puede justificar? De qu manera se lo puede ampliar? Preguntas que, como se advierte, son estrictamente filosficas. PerO' si los- problemas filo-sficos de la matemtica emergen a partir de la necesidad de su fundamenta-cin, debemos ofrecer a la vez nociones de fundamentacin y de filosofa de la disciplina. No las abordaremos de manera sistemtica y con pretensiones de completitud. Confiamos en que el lector, con la asistencia de la bibliografa que ofrecemos en las pginas finales de este libro, adquiera la suficiente motivacin como para ingresar con profundidad en los mltiples, complejos y fascinantes universos filosficos que convoca la matemtica, una de las creaciones ms ele-vadas que puede ofrecer la historia de la civilizacin.

2 7

l f h IM."' "aa/fUthiHllMild"!! A*

.1

il ( i l l

Cilf; Ayi)iiii('';ri il Pilosis )! )

Cuatro preguntas acerca de la matemtica

(I omo punto de partida para comenzar nuestras reflexiones acerca de la matemtica, adoptaremos como referencia cuatro preguntas medulares ^ acerca de ella. Las preguntas se refieren a cuestiones estrechamente vin-

culadas las unas con las otras, pero a la vez remiten a problemas que son abor-dados de manera distinta por las diferentes escuelas o tendencias que nos ofre-ce la fundamentacin y la filosofa de la matemtica.

(1) De qu hablan las proposiciones de la matemtica? Se trata, como se ad-vierte, de una pregunta de carcter ontolgico, pues remite a la cuestin de cu-les son los objetos o entidades que estudia la disciplina"'.

(2) Por qu creer en las proposiciones de la matemtica? Esta pregunta se vincula con el problema de cmo fundamentar el conocimiento matemtico, es decir, de cul es la fuente de las verdades matemticas, y por tanto es de ca-rcter epistemolgico.

(3) Cmo se investiga en matemtica? Aqu nos preguntamos acerca de la estrategia que emplean los matemticos para lograr nuevos conocimientos a par-tir de otros ya obtenidos, y la pregunta, entonces, se refiere a un aspecto meto-

(4) Cul es la relacin entre la matemtica y la realidad? Estamos ahora en presencia de una pregunta de la mayor importancia filosfica, pero que atae, adems, al problema de la vinculacin de los conocimientos matemticos con necesidades y objetivos de orden prctico.

Como comprobaremos ms adelante, ser un tanto asombroso advertir la di-versidad de opiniones en materia de respuestas. Una de ellas afirmar, por caso, que los objetos de la matemtica no son distintos de los objetos de la ciencia

1 ontologia remite a las entidades, objetos y hectios que estructuran la realidad, y debe di-ferenciarse de la semitica, que se refiere a los signos y expresiones con que nos referimos a aqullos.

29

CoNcii'cioNiS DK lA MAriMA'ncA; Ol A H M S A PLATN

fctica y que, por tanto, la fuente de la creencia en la verdad de las proposicio-nes matemticas no difiere de la que nos permite garantizar la verdad de las proposiciones de la fsica, la ciumica o la biologa. ln el extremo opuesto, por el contrario, se nos dir que exist-; una separacin drstica entre los objetos matemticos y aqullos de los que se ocupa la ciencia fctica, y en particular que hablar acerca de "verdades matemticas" y "verdades fcticas" es referirse a nociones completamente diferenciadas. En este segundo caso, se nos presen-tar la dificultad de distinguir entre ambos tipos de ciencia, asunto del que, co-mo ya sealamos, nos ocuparemos en su momento.

Trataremos de caracterizar ahora algunas de las respuestas que se han pro-puesto, con el correr de los siglos, a las cuatro preguntas que nos hemos formu-lado, para decidir cules son sus alcances y sus limitaciones. Ello nos obliga a re-mitirnos a la historia de la matemtica, en la cual podemos distinguir una serie de etapas que, a propsito de nuestros objetivos, consideramos a continuacin.

El empirismo primitivo: Ahms y el papiro Rliind

No es sencillo responder la pregunta acerca de dnde y cundo se origina-ron las primeras manifestaciones de la matemtica, pero s podemos afirmar que, anteriormente al surgimiento de la cultura griega, los pueblos rnesopotmi-cos (que habitaron sucesivamente la frtil regin comprendida entre los ros Eu-frates y Tigris) y los del valle del Nilo, los egipcios, disponan ya de importan-tes conocimientos acerca de la disciplina. Las primeras referencias escritas, en ambas civilizaciones, datan del tercer milenio a.C. Quizs sea oportuno sealar que a las culturas mesopotmicas se las llama genricamente "babilnicas", lo cual es incorrecto pues el Imperio Babilnico propiamente dicho no se estable-ci hasta el siglo XVIII a.C. a partir de una civilizacin anterior, la de los suma-rios, y que a partir del siglo XIII a.C. la regin fue sucesivamente dominada por asirlos, caldeos y persas. Destaquemos adems que culturas tan antiguas como las de la Mesopotamia y de Egipto surgieron en China y la India, cuyo conoci-miento matemtico tambin fue significativo, pero su desarrollo cientfico fue in-dependiente y no infiuy sobre el de mesopotmicos y egipcios. Muchos siglos despus, algunas ideas matemticas provenientes de las culturas china e india fueron heredadas por los rabes, cuyo imperio se conform en el siglo VII d.C., a travs de los cuales dichos conocimientos llegaron luego a la Europa medieval.

La matemtica surgi para la resolucin de problemas prcticos, cotidianos, y en particular astronmicos, pues era necesario realizar observaciones astron-micas detalladas, por razones de culto, para elaborar calendarios, para orientar-se en el mar o para predecir eventos de inters agrcola. Tambin la adminis-tracin de las cosechas, la organizacin de las tareas pblicas o la recaudacin de impuestos requeran de ciertos conocimientos aritmticos y geomtricos. En

3 0

I lMi'iRisMO P R I I | m v ( ) : AHMI'S Y EL PAPIRO R U I N

una tablilla de barro surneria fechada aproximadamente hacia el ao 2600 a.C., encontramos ya la solucin de un problema geomtrico relativam,ente complejo: calcular la longitud de la cuerda de un arco de una circunferencia conociendo su permetro y la distancia entre el punto medio de la cuerda y la circunferen-cia. Durante el reinado del gran rey y legislador babilnico Hammurabi (1790-1750 a.C.) fueron redactados documentos aritmticos y geomtricos que mani-fiestan un conocimiento notable, aunque meramente emprico, de la resolucin de problemas matemticos: por ejemplo, el clculo de la superficie de un cuadri-ltero cualquiera. IJ:)S babilonios emplearon, por otra parte, un complejo sistema de numeracin decimal-sexagesimal heredado de los sumerios. La expresin de nmeros naturales y fracciones en notacin posicional (de base 60) fue uno de los logros ms trascendentes de la matemtica sumerio-babilnica, pues simpli-fica enormemente los clculos aritmticos. (El lector puede comprobarlo si com-para nuestro sistema posicional de base 10 con el sistema de numeracin que empleaban los romanos y que an hoy se utiliza, por ejemplo, en antiguos relo-jes.) Posteriormente, los babilonios desarrollaron tcnicas que les permitieron hallar las races positivas de cualquier ecuacin de segundo grado e incluso, en casos particulares, de tercer grado, amn de la suma de progresiones aritmti-cas y geomtricas. En una tablilla se lee: "Un rea, que consiste en la suma de las reas de dos cuadrados, es igual a 1000. El lado de uno de los cuadrados equivale a restar 10 de los 2 / 3 del lado del otro. Cul es el lado de dicho cua-drado?" La respuesta, 30, proviene de hallar la raz positiva de una ecuacin de segundo grado2. En cuanto al hoy llamado "teorema de Pitgoras", era conoci-do en su total generalidad, es decir, aplicable a cualquier tringulo rectngulo.

En el caso de los egipcios, sus conocimientos matemticos, aunque inferio-res a los de sumerios y babilonios, se pueden apreciar en la aplicacin de los mismos a las construccin de las grandes pirmides caractersticas de su civili-zacin (la de Keops, que involucra en especial el uso de tales conocimientos, fue construida hacia 2800 a.C.). Pudieron resolver problemas relat ivamente complicados, como el clculo del volumen de la pirmide truncada. Sin embar-go, su sistema de numeracin no les permiti ir ms all de la suma y la dupli-cacin, a partir de lo cual lograban multiplicar y dividir. La expresin de las frac-ciones y su manipulacin era sumamente engorrosa en particular porque, con la excepcin de 2/3, slo aceptaron fracciones de numerador uno (de la forma 1/n) y as, por ejemplo, la fraccin 2 /7 deba ser expresada como 1/4 -r 1/28. De este modo, fueron capaces de resolver problemas que involucran fracciones y algunos otros problemas algebraicos, incluyendo la resolucin de ecuaciones

2 Algunos de estos problemas se formulaban empleando sumas o restas de longitudes y reas, lo cual, en trminos concretos, no son posibles de realizar. Ello ha llevado a pensar a algu-nos historiadores actuales que el propsito de tales interrogantes era meramente ldicro y que entre los babilonios existira ya un atisbo del nmero como entidad abstracta.

3 1

CONCICCIONIS Dl LA IVlATliMATICA: DE AHMIS A PLAT()N

de primer grado. I,a incgnita era llamada aha, y por ello al lgebra egipcia se la suele llamar "lgebra aha". En geometra hcillaron las frmulas para calcular el rea de tringulos, rectngulos y trapecios, y el volumen de paraleleppedos rectos, cilindros y pirmides, siempre referidos concretamen;, por caso, a terre-nos o receptculos para almacenar granos. Por otj-a parte, si bien no conocan el teorema de Pitgoras, saban que un tringulo cuyos lados se hallan en la re-lacin 3 : 4 : 5 es rectngulo, conocimiento que empleaban en la prctica (por medio de nudos intercalados en una cuerda) para obtener ngulos rectos.

Es oportuno tener en cuenta que Egipto atraves perodos histricos muy dis-tintos. Fue, en particular, un centro comercial en el que se intercambiaban mer-caderas con pueblos vecinos y, adems, como no parece haber existido moneda entre ellos y estas operaciones se realizaban por trueque, cada transaccin con-formaba un problema prctico de medicin de volmenes, pesos y otras cantida-des. Por tanto, la matemtica no constitua un mero lujo filosfico planteado por la natural curiosidad humana sino un instrumento necesario para realizar tales operaciones comerciales. No debemos olvidar, adems, que el Nilo, en su creci-da e inundacin anual, borraba todas las huellas de lmites entre terrenos y obli-gaba a los propietarios a contratar agrimensores, una profesin que deba ser flo-reciente, por lo cual, tambin aqu los problemas prcticos de mediciones de fi-guras geomtricas o de clculo de reas se transformaban en exigencia y preo-cupacin principal en ciertas pocas del ao. A ello atribuye Herdoto, el gran historiador griego del siglo V a.C., el origen de la geometra entre los egipcios:

[El faran] Sesostris dividi las tierras de Egipto entre sus habitantes [...]. Si el ro se llevaba una parte de la porcin asignada a un hombre, el rey envia-ba a otras personas para examinar y determinar, por medio de una medicin, la extensin exacta de la prdida [...]. A partir de esta prctica, creo yo, es como se lleg al conocimiento de la geometra en Egipto en primer lugar, de donde pas ms tarde a Grecia^.

Para nuestros propsitos, sin entrar en los detalles del aporte egipcio a la matemtica, es importante analizar los contenidos del papiro Rhind, un docu-mento del siglo XVII a.C. descubierto en 1858 cuyo autor fue un escriba egip-cio, Ahms o Ahmose, quien lo redact a partir de un documento anteror. Nos encontramos aqu con el nombre propio ms antiguo que registra la histora de la matemtica. En este documento, as como tambin en el llamado papiro de Mosc, de una antigedad dos siglos mayor, encontramos en total 110 proble-mas de matemtica. En ellos no se pretende probar nada; constituyen ms bien compendios de resultados para ser utilizados en la prctica cuando era necesa-

3 Citado por Boyer, C. B., Historia de la matemtica. Alianza, Madrid, 1986, p. 29.

3 2

EMI'IRISMC) PRIMITIVO: AHMICS Y I

CONClPCIONI'S DI LA MA'l'lMA'nCA: Dl AUMlS A I'LAT()N

de una prctica antigua y continua en materia de construcciones, de topografa, de agrimensura y de otras actividades similares. Si hubiramos preguntado a Ahms cules son las razones por las cuales hay que creer en las proposicio-nes de la matemtica, es decir, cules son las fuentes del conocimiento que pro-porciona, hubiera respondido: la observacin y la induccin. Habra, en sntesis, que observar aspectos concretos de objetos concretos y luego generalizarlos mediante el uso continuo de la observacin.

La tercera pregunta, acerca de cmo se investiga para obtener nuevos cono-cimientos matemticos, sera respondida por Ahms en concordancia con lo an-terior, es decir: el investigador tendr que realizar nuevas observaciones y ge-neralizar lo que ha observado. Y en cuanto a nuestra cuarta pregunta, el escri-ba probablemente se sorprendera ante ella; dira que el estudio de la matem-tica es el de ciertos aspectos de la realidad, pues todo lo que se a:firma en la disciplina es relativo a los objetos concretos y a lo que queremos hacer con ellos. Podemos suponer, adems, que las respuestas de Ahms a estas cuatro preguntas que nos hemos formulado, en aquella poca, seguramente hubiesen sido contestadas de manera anloga por los matemticos smenos, babilnicos, caldeos y probablemente tambin persas.

Por todo ello, esta matemtica de los antiguos egipcios (y la de otros pue-blos que existieron antes de la aparicin de la cultura griega) no adverta en los objetos matemticos nada especial, puesto que stos eran concebidos como de naturaleza emprica. Como hemos de comprobar luego, la posicin de Aristte-les no habr de ser muy diferente, si bien indicaremos, a propsito de este gran filsofo, una importante discrepancia acerca de las razones por la cual de-bemos creer que una proposicin matemtica es verdadera. En sntesis, para el empirismo primitivo, (1) los objetos matemticos son de naturaleza concreta y emprica; y (2) las razones por las cuales se puede creer en la verdad o false-dad de las afirmaciones matemticas son tambin de naturaleza emprica, admi-tindose la validez de la induccin. La matemtica parece haber comenzado as. Y agreguemos, sin justificacin por el momento, que en ciertos aspectos aque-lla concepcin empirista an tiene cierta vigencia. Lo que queremos destacar, en este punto, es que no hay en esta matemtica prehelnica nada similar a lo que hoy llamaramos una teora, es decir un conjunto de enunciados coherentes y sistematizados acerca de ciertas entidades. Este pensamiento terico ser ca-racterstico de toda la tradicin que posteriormente habr de dominar la esce-na, desde un punto de vista filosfico y epistemolgico, en cuanto a la naturale-za de la matemtica y de la ciencia en general.

3 4

LAIJS DI M I L L T O : IDKAIJZACION IJIVIRRI Y LOCICA

Tales de Mileto: la aparicin de la idealizacin lmite y la lgica

Hacia irijs (Jcl siglo Vil a.C o coniicnzos (Jt;l VI a.C., habr ck- ocurrir un cambio revolucionario en la conc(;pcin de la ci(;n(,;ia. Surgen, en

CONCII'CIONIS DV lA MA'nMnCA; Dli AHMIS A l'lA'rC)N

ciencia griega, que se (Jesplaz luego l iada el sur de Italia. I,a matemtica do-sempefi, en los orgenes de esta nueva ciencia, un lapel primordial. As nos lo dice el historiador Dirk .Struik:

Ix)s estudios de matemtica de la (irccia temprana tuvieron un objetivo prin-cipal: el conocimiento del lugar del hombre en el universo de acuerdo con un esquema racional. La matemtica ayud a hallar orden en el caos, orde-nar las ideas en secuencias lgicas, hallar principios fiindamentales. Ella fue la ms racional de todas las ciencias, y si bien no quedan dudas de que los mercaderes estaban familiarizidos, a travs de sus viajes, con la matemtica oriental, pronto los griegos descubrieron que los orientales haban dejado de lado la racionalizacin. I\)r qu el tringulo issceles tiene dos ngulos igua-les? Lor qu el rea de un tringulo es igual a la mitad de la de un rectn-gulo de igual base y altura? listas cuestiones fueron fornutladas naturalmen-te tambin por quienes investigaban asuntos similares conceriiicntes a la cos-mologa, la biologa y la fsica"^.

El jonio Tales de Mileto (c. 625 - c. 546 a.C.), mercader, filsofo y matemti-co, amn de incesante viajero, fue uno de los eslabones ms importantes para la transmisin del conocimiento de los babilonios y egipcios a la cultura griega. Fue considerado el ms notable de los llamados "siete sabios de Grecia" y era, quizs, de origen fenicio. Deiriostr, aunque no sabemos muy bien cmo, algu-nos resultados bsicos de la geometra que posteriormente se reelaboraron de manera sistemtica. A manera de ejemplo, podemos citar los siguientes: (a) el dimetro divide al crculo en dos partes iguales; (b) si dos rectas se cortan, los ngulos opuestos por el vrtice son iguales; (c) el ngulo inscripto en una se-micircunferencia es recto (una propiedad til para la navegacin). Se cree, aun-que la narracin puede ser legendaria, que durante un viaje a Egipto calcul la altura de una pirmide comparando la sombra de algunos de sus elementos con la sombra de una vara de longitud conocida. De ser as. Tales habra conocido la semejanza de tringulos y, probablemente, al menos en casos particulares co-mo ste, tambin el clebre teorema que se le atribuye: "Si tres o ms parale-las son cortadas por dos transversales, la razn de los segmentos determinados en una de ellas es igual a la razn de los segmentos correspondientes de la otra". Pero ello no puede ser afirmado con certeza. No disponemos de ningn escrito de Tales y ni siquiera sabemos si los redact o no. La precariedad de los testimonios fidedignos disponibles no nos permite evaluar con precisin las contribuciones de esta suerte de "fundador de la geometra griega", pero su fi-gura, un tanto legendaria, simboliza la aparicin de la ciencia y la filosofa mo-dernas en el marco de esta singular cultura.

4 Struik, D. J., A Concise History of Mathematics, New York, Dover, 1967, pp. 38-39.

T A U S DI Miijri|): IDIAUZACKN liivirn-; Y LO(;;ICA

Sin embargo, el haber expresado tales enunciados pierde importancia frente a las cusliones epistemolgicas rju af)ar\; Tales. n algn sentido Tales es toda lemolgic,as dc los (Egipcios, pC;ro aqu recer fue el primero que aadi a los i per io !o .n'iiih ca que si tomarnos volmenes cada vez ms pequeos en t;odas sus posibles di-mensiones, ancho, largo y altura, las :figuras tienden, no a "la nada", sino a algo especialmente pequeo: el punto geomtrico. Se tiene la impresin de que Tales acepta que el Icnguajc de la geometra, el que utilizamos habitualmente cuando formulamos proposiciones geomtricas, est conformado por nociones que muy bien podemos denominar nociones lmite: las que resultan de las entidades con-cretas a medida que stas tiendcn a hacerse ms limitadas en tamao y al mis-mo tiempo ms perfectas en su (;sencia. De ser as, ste sera el primer momen-to histrico en el que se piensa que cuando se habla de "la realidad" no sola-mente se tienen en cuenta sus elementos y propiedades observables, sino tam-bin aquellas nociones lmi;es, que hoy incluiramos entre las entidades tericas, que son las no observables'^ Por otra parte, al parecer con seguridad, Tales fue el primero en sealar la necesidad de organizar los enunciados matemticos de-rivndolos unos de otros, paso a paso, en secuencias de razonamientos; dicho de otro modo, introdujo la exigencia de emplear procedimientos lgicos para obte-ner ciertas conclusiones a partir de afirmaciones previamente formuladas.

Cmo respondera Tales nuestras cuatro preguntas? Los objetos de los que se ocupa la matemtica seran, por una parte, objetos empricos, observables, pero por otra, con igual status de realidad, entidades lmite no observables. En cuanto a las liientes del conocimiento, sin duda Tales se halla todava en una actitud empirista. lista afirmacin puede parecer sorprendente, ya que emplea trminos tericos cuando introduce nociones lmite. Sin embargo, advirtase que, para "tender al lmite", se necesitan datos sobre las propiedades de las en-tidades que aparecen en dicho proceso. l a s mencionadas propiedades deben obtenerse por observacin, de manera que parece inevitable reconocer que es necesaria una metodologa empirista para constituir el proceso de obtencin del lmite. Pero Tales incorpora adems una novedad muy importante, que despus ser llevada a su punto culminante por Aristteles. Porque, como ya sealamos, no cree que el mtodo para llegar a formalizar el conocimiento geomtrico sea nicamente la observacin junto con la induccin, sino que tambin perte-nece a l la deduccin lgica, que permite obtener nuevas verdades a partir de verdades ya aceptadas. Esta exigencia de sistematizacin jerrquica de las ver-dades matemticas es un punto crucial en la historia de la ciencia, porque se

5 Adlierimos a este punto a propsito de Tales con cierta reserva, pues algunos historiadores atribuyen a Pitgoras el haber introducido estas entidades no observables.

3 7

CONCIPCIONIS Dl LA MA'HMA'nCA: DI AlIMIS A PLA'ITN

halla en el origen de una concepcin mc-tdica del conocimiento cientfico, que despus de Tales utilizar medularrnente pr

PRRGOR^S Y LL INTUICIONISMO DUALISTA

Pitgoras y el intuicionismo dualista

Tales fue el primero de los llairiados "filsofos jnicos", que incluye a Ana-xirnandro y Ariaxmenes, quienes vivieron en el siglo 'VI a.C. I-'cro la obra ma-temtica de estos carece de trascendencia. A fines de dicho siglo, .los ejrcitos del poderoso imperio persa, ante la debilidad de las aisladas ciudades-estado griegas, invadieron y conquistaron las ciudades jnicas del Asia Menor y luego la regin de Tracia, al norte del Miar Egeo. De all que Pitgoras (c. 582 - c. 500 a.C.), nacido en Samos, luego de viajar durante aos por lgipto y la Mesopotamia (al menos as lo afirma la tradicin), se estableci en el mbito menos convulsiona-do de Crotona, en el sur de Italia, donde fund una escuela de orientacin ms-tica, comunitaria y un tanto monstica, con un fuerte sesgo de carcter moral, cuyos miembros tenan el status de iniciados sometidos al juramento de no di-vulgar sus descubrimientos. Pero, al igual que en el caso de Tales, no dispone-mos de ninguna obra escrita de Pitgoras, y slo conocemos su obra por refe-rencias de discpulos o escritores posteriores, laudatorias o desaprobatorias. Hoy sabemos, adems, que muchos de los descubrimientos que antiguamente se atribuan al maestro fueron en realidad realizados por sus alumnos y conti-nuadores. Por ello ciertos historiadores prefieren hablar de la "escuela pitagri-ca" en lugar de referirse a su fundador. La cosmologa pitagrica, por caso, fue en realidad concebida por Filolao, un pitagrico del siglo V a.C.

En Pitgoras se encuentra, de pronto, una completa originalidad. Bertrand Russell afirma con ingenio que este filsofo fue algo as como una suerte de composicin del pensamiento de Albert Einstein con el de Mary Baker Eddy, la fundadora de la Christian Science, basada en la vida de Jesucristo. (Para Rus-sell, obviamente, esta ltima doctrina era mera supersticin.) De hecho, los m-ritos de Pitgoras en el desarrollo de la ciencia son sumamente importantes, y por ello podemos encontrar en Los sonmbulos, de Arthur Koestler, la rotunda afirmacin de que el gran concierto de la ciencia se inici con una indicacin de un primer director que desat todo el proceso y que fue precisamente Pit-goras, punto de vista que no compartimos. Ello no impide reconocer la relevan-cia de la obra de Pitgoras y su escuela, en particular porque a ella estn vin-culadas la confianza en la razn y la tradicin racionalista en la ciencia. En es-te sentido, Pitgoras seria algo as como el primer racionalista de la historia de la filosofa de la matemtica e incluso de la filosofia por entero.

Detengmonos por un momento en el significado del pensamiento de este fi-lsofo, del cual hay en la actualidad una suerte de reivindicacin sobre su im-portancia en la historia de la ciencia, haciendo abstraccin de sus aspectos eso-tricos y msticos. Para Pitgoras y su escuela, los objetos matemticos no son empricos, es decir, no se hallan en la realidad concreta ni son percibibles por los sentidos, sino que tienen una existencia de carcter sui generis. A Pitgoras se le atribuye la frase "los nmeros constituyen la esencia del mundo", si bien

39

CONCIPCIONIS Ul- LA MATEMATICA: DE AHMIS A PLAJ'ON

110 est claro lo que se quiere decir con ello: significa que el mundo se puede explicar con el auxilio de los nmeros o que los nmeros constituyen los ladri-llos ltimos con los que est edificado el universo? r\)sp()niendo nuestra opinin al respecto, lo cierto es que para Pitgoras tanto los nmeros como las figuras geomtricas son entidades de carcter no emprico, o bien, como se dira en tr-minos modernos, constituyen una ontologia a pleno derecho "paralela" a la em-prica propiamente dicha. Esta es una novedad que importa sealar, porque el surgimiento del pensamiento pitagrico es el primer momento en la historia de la ciencia en que se piensa sistemticamente que el conocimiento no se agota con el conocimiento de lo emprico: la realidad emprica, concreta, percibida por nuestros sentidos, es solamente una parte de toda la realidad. De tal modo, Pi-tgoras da respuesta a la primera pregunta que nos habamos formulado: hay una realidad no emprica y a ella pertenecen los nmeros y otros objetos mate-mticos como las figuras de la geometra. Dicho de otra manera, si llamamos "primer mundo" al de los objetos y hechos empricos, habra adems un "se-gundo mundo" que lo trasciende, no emprico, poblado en particular por las en-tidades matemticas. Obsrvese que la introduccin de estas entidades por Pi-tgoras no se relaciona con tendencias al lmite, como suceda con Tales; en realidad, las nuevas entidades aparecen por su propio derecho, aparicin respal-dada por consideraciones enteramente racionales.

Con respecto a la segunda pregunta, comienza con Pitgoras una larga tra-dicin segn la cual slo podemos conocer tales objetos del segundo mundo por medio de una metodologa no emprica: ella justificara la verdad de los enunciados matemticos. Para el conocimiento de los objetos empricos dispone-mos de los rganos de los sentidos; por el contrario, en lo que se refiere a los objetos matemticos, el conocimiento de stos provendra de la intuicin de aquellos objetos abstractos o formales del segundo mundo, en cuyo caso sera la mente la encargada de obtenerlo. Este intuicionismo dualista es caractersti-co del pensamiento pitagrico. Aqu la palabra "intuicin" se refiere a una clase de conocimiento inmediato obtenido por va sensorial o bien racional (en este ltimo caso se suele hablar de inteleccin). Es muy curioso que Pitgoras, a pe-sar de que est diciendo algo totalmente diferente de lo que afirmaban los pri-mitivos egipcios, sostiene una posicin similar en otro respecto. Porque seala que de todas maneras la matemtica habla acerca de cierto tipo de objetos, aun-que pertenezcan al segundo mundo, y lo que nosotros sabernos no es ms que el fruto de "ver", con la mente, lo que ocurre con eUos. No se trata, pues, de generalizar inductivamente o recurrir a la razn demostrativa. sta es una posi-cin que encontramos en los filsofos denominados intuicionistas, antiguos y modernos, por caso en la escuela del gran filsofo alemn Immanuel Kant. Cuando tenemos una certera intuicin para las afirmaciones de la matemtica, se nos dice, la demostracin lgica no es esencial sino subsidiaria. La demos-tracin, para los intuicionistas, es un instrumento que no ayuda a "captar" intui-

4 0

PlTCofAS Y lL IN'flJICIONfiMO DUALISTA

liva y directamente lo epe existe o lo que ocurre. I..a va de los sentidos puede decirnos cmo acontecen las cosas (;n el mbito de lo emprico, pero slo una intuicin dirccta y singular de la figura geomtrica "crc,ulo" o la figura geom-trica "cuadrado" nos permite "ver" sus propiedades. Aqu no hay nada similar a la idea de generalizacin y ni siquiera a la de justificacin por medio de una de-mostracin lgica. Este es probablemente uno de los aspectos ms criticados del pitagorismo en la historia de la filosofa de la matemtica, al menos para quienes pertenecen a otras tradiciones que luego hemos de caracterizar.

A la tercera de nuestras preguntas, o sea, cmo proceder para ampliar nues-tro conocimiento matemtico, Pitgoras dira que ello se logra desarrollando nuestras facultades intelectuales, especialmente la de intuicin, y tambin, aun-que en ciertos casos y en mucha menor medida, nuestra capacidad lgica. Fi-nalmente, a propsito de la pregunta acerca de cmo se vincula la matemtica, que se ocupa del segundo mundo, con la realidad concreta, que se refiere al primer mundo, Pitgoras parece entender algo muy importante: piensa en una suerte de isomorfismo o correspondencia entre las propiedades aproximadas de las cosas que percibimos a nuestro alrededor y las propiedades estructurales ri-gurosas de los objetos matemticos. Por consiguiente, parece haber sido el pri-mero que entrevi un mtodo modelstico como los que hoy empleamos en fsi-ca. Ante determinado problema acerca del mundo fsico, podemos pasar por iso-morfismo a la estructura matemtica correspondiente, aprovechar los algoritmos y mtodos matemticos para resolver nuestro problema en el mbito matemti-co y, una vez resuelto, volver atrs para encontrar cmo se refleja la solucin matemtica en una solucin fsica. La respuesta de Pitgoras, entonces, es que la utilidad y relacin que tiene la matemtica con el mundo real se debe al iso-morfismo aproximado y parcial que hay entre el mundo concreto y el mundo de las entidades matemticas. Esta idea es muy significativa porque la metodo-loga que resulta de ella se refleja, entre otras cosas, en los procedimientos de medicin tal como los practican, por ejemt^lo, los fsicos. Qu hace el fsico al medir? Pasa de una estructura concreta (una vara, un terreno) a entidades ma-temticas (longitudes, superficies) expresadas por nmeros, las medidas que co-rresponden a las cantidades concretas; luego puede trabajar con dichas medidas mediante algoritmos y clculos, tratando por ejemplo de hallar relaciones entre ellas o resolver un problema; finalmente, vuelve atrs: las soluciones matemti-cas se transforman en soluciones de su problema fisico. Y aqu radicara el gran valor utilitario de la matemtica como instrumento para producir conocimiento acerca de la naturaleza o la sociedad.

Lo que interesa en Pitgoras es su idea de que ciertas propiedades de los objetos concretos del primer mundo dependen de las propiedades de los obje-tos no empricos del segundo. Por ejemplo, se afirma que Pitgoras (o algn miembro de su escuela) comprob empricamente que hay una correlacin en-tre el tono o altura del sonido que se puede extraer de una cuerda vibrante y

4 1

CONCIPCIONIS DI LA MATEMATICA: DI AlIMIS A P L A n ) N

la longitud de vSta, lo cual moslTara que las propiedades matemticas de las longitudes podran ptrmitirnos conocer propiedades fsicas de los sonidos. Los sonidos armoniosos (consonantes) se producen cuando las longitudes de las cuerdas se hallan en relacin de nmeros enteros y pequeos, y as la razn 2/1 origina la octava, la razn 3/2 la quinta y la razn 4 /3 la cuarta. Por con-siguiente, Pitgoras introduce en ciencia por primera vez la nocin de que un modelo matemtico puede ayudarnos a comprender aspectos vinculados con el comportamiento de la naturaleza, y ste sera, como ya sealamos, el punto en el que comenzara la aplicacin sistemtica de la matemtica a la obtencin de conocimiento acerca del mundo natural. No cabe la menor duda, salvando los aspectos un tanto msticos que impregnan esta tesis, que cada vez que adverti-mos la intromisin de un lenguaje matemtico para estudiar problemas concre-tos nos hallamos en la tradicin pitagrica. La influencia histrica de sta en cuanto a la cuestin de cul es la relacin entre matemtica y realidad no pue-de por tanto ser soslayada.

No podemos detenernos en los logros especficos de la escuela pitagrica en materia de aritmtica y geometra, que fueron muchos, pero debemos aclarar que no hay demasiada informacin acerca de cmo los pitagricos llegaron al enunciado del clebre "teorema de Pitgoras": "el cuadrado construido sobre la hipotenusa de un tringulo rectngulo, es, en cuanto a reas, la suma de las reas de los cuadrados construidos sobre los catetos". Se halla en tela de juicio si se lo obtuvo por una deduccin a partir de conocimientos anteriores o fue en realidad inferido por la observacin de ciertas figuras que permitan evidenciar lo que afirma el teorema. Todava hoy, en la geometra elemental, el teorema se suele "demostrar" por igualdad de reas de figuras que se componen y descom-ponen como rompecabezas: con las piezas del mismo se arma un cuadrado que representa el cuadrado de la hipotenusa de un tringulo rectngulo y luego las mismas piezas dan lugar a dos cuadrados cuyos lados son los catetos. Por otra parte, algunos historiadores creen que quizs el enunciado no haya sido origi-nal de la escuela pitagrica (ya hemos sealado que era conocido por los babi-lonios), lo cual nos recuerda la irona del matemtico alemn Flix Klein, del si-glo XIX, cuando afirmaba que "si un teorema lleva el nombre de un matemti-co, es seguro que ese matemtico no es su descubridor".

En lo que atae a los propsitos de este libro, insistimos, a manera de sn-tesis, en que Pitgoras debe ser destacado: primero, por haber dado contesta-ciones totalmente diversas a las que daban los egipcios en cuanto a la naturale-za de los objetos matemticos, y en segundo lugar, por haber ofrecido una nue-va forma de justificar las verdades geomtricas, a travs de un cierto tipo de in-tuicin. Difiere de Tales en el sentido de que el razonamiento no ocupa un lu-gar primordial para el acceso a la verdad. E importa tambin su notable concep-cin "modelstica", segn la cual existe una correspondencia o isomorfismo que vincula las entidades matemticas del segundo mundo con las del primero, de

4 2

PrTG(llVS Y EL INTUlCIONf.SMO DUALISTA

modo tal que el cooocimiento de propiedades ruiraricas o geomtricas permiti-r, (;ri principio, acceder al de las propiedades de la realidad concreta. Ello no significa que la conoceremos nicamente por medio de la rnalem.tca; ser ne-cesario adaiis estudiar la naturaleza de ese isomorfismo, sus alcances y sus li-mitaciones. Y finalmente, si liemos de creer a ciertos historiadores, Pitgoras importa tambin por haber provocado por primera vez la irrupcin en la ciencia de los trminos tericos.

El problema de la inconmensurabilidad

En el pensamiento de Pitgoras, sealbamos, hallamos claramente ese as-pecto un tanto extrao del conocimiento no solamente matemtico sino tambin cientfico en general, que es el empleo de los trminos tericos. La intuicin que nos permite la mente ofrece, segn los pitagricos, la" nocin de espacio ex-tenso. Pitgoras crea que los puntos, las ms pequeas y reducidas componen-tes del espacio fsico, deban tener extensin, por lo cual todo segmento no se-ra ms que un nmero finito de puntos en hilera y el espacio fsico un conglo-merado de tales puntos extensos. Los puntos, tanto concretos como entendidos formando parte del segundo mundo, son para Pitgoras algo anlogo a lo que para nosotros son los cuerpos: tienen la propiedad de extensin, es decir, son una suerte de "tomos" ltimos que ocupan lugar en el espacio.

Que los puntos sean extensos le viene como anillo al dedo a Pitgoras, por-que la conclusin que deriva inmediatamente de all es que, dados dos segmen-tos cualesquiera, deben ser conmensurables. Aclaremos lo que ello significa. Si un segmento se divide en un cierto nmero n de partes iguales, cada una de ellas es llamada parte alcuota del segmento dado, y ste puede ser considera-do como la acumulacin o suma de n partes alcuotas. Si se toma la longitud de una parte alcuota como unidad de medicin de la longitud del segmento, se dir que n es la medida de dicha longitud. Cuando se afirma que la longitud de un segmento es igual a 15 cm, se quiere decir: (a) que se ha tomado como uni-dad de medicin la longitud llamada centmetro] (b) que un segmento que mi-de 1 cm es parte alcuota del segmento, pues cabe exactamente quince veces en l; y por tanto, (c) que la medida de la longitud del segmento con respecto a la unidad llamada "centmetro" es el nmero 15. La conmensurabilidad de dos segmentos supone que es posible encontrar alguna unidad de medida comn para ambos, es decir, tal que el "segmento unidad" sea, a la vez, parte alcuota de uno y otro, aunque el nmero que expresa la medida, en cada caso, no sea el mismo. La medida de la longitud de un segmento con respecto a la unidad podra ser m, y la medida de la longitud del otro con respecto a la misma uni-dad ser n: por ejemplo, si se emplea el centmetro como unidad de medicin, un segmento podra medir 15 cm y el otro 8 cm, ponindose en evidencia que

4 3

C o N c i P a o N i S DI [A MAri MncA: DI A n M f s A I'[,a:ix)n

la longitud del "centmetro" es par(:e alcuota comn a ambos. Pitgoras piensa que, si se consideran dos segmentos cualesquiera, se encontrar finalmente una unidad mnima de medida comn, que s(;ria en definitiva la longitud del punto extenso.

Esta hubiese sido una bellsima teora, pero result un estrepitoso fracaso. Y fracas, paradjicamente, en virtud del teorema de Pitgoras. vSi consideramos un cuadrado tal que la medida de la longitud del lado sea igual a uno, del teo-rema de Pitgoras inferirnos que la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos ser + = 2. (Vase la figura.) Entonces, puesto que 2 es el cua-drado de la medida de la longitud de la hipotenusa (diagonal del cuadrado), s-ta tendr una longitud cuya medida debera ser un nmero cuyo cuadrado sea igual a 2. Pero los pitagricos demostraron que ninguna fraccin o quebrado cumple esa propiedad. La diagonal del cuadrado y su lado son, pues, segmentos inconmensurables.

La demostracin pitagrica es sencilla y la exponemos a continuacin em-pleando el mtodo de reduccin al absurdo, que consiste en este caso en supo-ner que tal fraccin existe y mostrar que ello conduce a una contradiccin. De existir la fraccin, tendr la forma m/n, donde m y n son nmeros naturales. Admitamos que ella es irreducible, o sea que no hay divisores comunes distin-tos del nmero 1 entre el numerador y el denominador. Esto significa que si la fi-accin fuera, por caso, 28/20, la reduciramos a 7/5, igual a la anterior. Enton-ces tendramos que el cuadrado de m/n, es decir (m/n)'^ = mVn'\ debera ser igual a 2. Por tanto, mVn'-' = 2 y entonces OT^ = 2 M-, lo cual significa que m'^ tiene que ser un nmero par. Pero entonces, a su vez, m tambin debe ser par (por resultar imposible que el cuadrado de un nmero impar sea par), y por consiguiente m tendr la forma m = 2q, de donde m'^ = Aq'^. Haciendo el reem-plazo correspondiente se obtiene = Aq'^ , y simplificando, 2 = lo cual sig-nifica que es tambin par y por consiguiente tambin lo ser n (por la mis-ma razn anterior). Entonces tendr la forma n = 2f. Pero ello es absurdo, porque se ha concluido que la fraccin m/n es idntica a 2q/2r, en contra de la suposicin inicial de que esta fraccin ya estaba reducida y que no hay fac-tores comunes al numerador y al denominador. La contradiccin consiste en que m/n debe ser, a la vez, irreducible y reducible. Por consiguiente, no exis-

4 4

LL L'RLL.LIMA DI LA INCONMINSURALIUDAD

(,. ningn quebrado o fraccin m/n cuyo cuadrado sertrand l^usseU.

4 5

CONCIPCIONKS Die LA MATIMATICA: DI AHMIS A PLAT()N.

A T

Il veloz Aquiles persigue a una tortuga partiendo de A, pero acepta que el animal parta de T en el mismo instante, de modo que en ese momento ambos corredo-res se hallan entre s a una distancia AT. En estas condiciones, alcanzar Aqui-les a la tortuga? Zenn tratar de demostrarnos que no. Se puede exponer el ar-gumento por reduccin al absurdo, suponiendo que efectivamente Aquiles alcanza a la tortuga en un punto P y as llegar a una contradiccin. Cuando Aquiles reco-rre AP, la tortuga recorre, en el mismo tiempo, la distancia TP. Dado que AP es mayor que TP, hay ms puntos extensos en AP que en TP, pero el intervalo de tiempo que transcurre durante la carrera consta de un determinado nmero de puntos temporales extensos. Y puesto que a cada uno de ellos le corresponde un punto geomtrico donde se halla Aquiles y otro punto geomtrico donde se halla la tortuga, debe resultar que el nmero de puntos de AP y el nmero de puntos de TP ha de ser el mismo, lo cual entra en contradiccin con la afirmacin de que AP es mayor que TP. El todo resulta ser igual a la parte. Por consiguiente, Aquiles nunca alcanzar a la tortuga.

Desde luego, Zenn saba perfectamente que, como hecho emprico, Aquiles finalmente alcanzar a la tortuga, pero su crtica est destinada a mostrar que los puntos y los instantes no pueden ser discretos o extensos (es decir, separa-dos drsticamente los unos de los otros), o bien, como diramos hoy, que el es-pacio y el tiempo son infinitamente divisibles, en contra de la opinin pitagri-ca. La falacia que implica su notable argumento no pudo ser desenmascarada hasta el siglo XIX, con el desarrollo de nuevas concepciones de la matemtica sobre los conjuntos infinitos, para los cuales es admisible que el todo sea igual a la parte, y tambin con la introduccin de la nocin de lmite de una sucesin infinita. De all que Bertrand Russell afirme:

En CvSte mundo caprichoso, nada es ms caprichoso que la fama postuma. Una de las victimas ms notables de la falta de sentido de la posteridad es Zenn de Elea. A pesar de haber inventado cuatro argumentos todos extraor-dinariamente sutiles y profundos, la estupidez de los filsofos posteriores pro-clam que Zenn no era sino un juglar ingenioso, y que sus argumentos no eran sino sofismas. Despus de dos milenios de constantes refutaciones, es-tos sofismas fueron enunciados nuevamente y sentaron las bases de un rena-cimiento matemtico.

8 Citado por Geymonat, L, El pensamiento cientfico, Buenos Aires, Eudeba, 1961, p. 13.

4 6

L L I ' R ( 5 I ? I J M A D l L A I N C O N M I N S R A I S I L I D A D f

Quizs no sea inoportuno sealar aqu que Kant, en el siglo XVIIl, se vio lle-vado inadvertidamente a com(;tej- una falacia similar a la anterior, la llamada fa-lacia de divisin, que consiste (n trasladar las propiedades del lodo a sus par-tes. Kilo es incorrecto, ("iert.os conjuntos son colecciones, pero de-; aqu no po-dernos concluir que los objetos coleccionados, a su vez, tambin lo sean. Una biblioteca es una coleccin de libros, pero no lo es cada libro por separado. Kant comete la falacia al afirmar que, dado que el espacio fsico tiene extensin, sus constituyentes ltimos, los puntos, tambin deben tenerla. Un Zenn del si-glo XVIII podra haberle aplicado a la conclusin kantiana, con total pertinencia, sus clebres argumentos destinados a refutar las opiniones pitagricas.

Las concepciones matemticas de Platn

Pese a una sublevacin jnica a comienzos del siglo V a.C., los ejrcitos per-sas prosiguieron avanzando hacia el oeste, pero encontraron la firme resistencia de los griegos en el transcurso de las llamadas guerras mdicas. En 479 a.C., los invasores persas fueron expulsados definitivamente, y Atenas, cuya participa-cin en la guerra haba sido decisiva, se convirti en el estado ms importante de Cirecia y su flota naval en la ms poderosa del Mar Egeo. Hacia 430 a.C. ha-ba extendido su influencia y dominio hasta tal punto de que ejerca el control sobre las otras ciudades-estado de la regin. El perodo de preponderancia ate-niense durante buena parte del siglo V a.C. es denominado la 'Edad de Oro" de Grecia y a dicho siglo se lo conoce como "Siglo de Pericles", en homenaje al brillante poltico bajo cuyo gobierno, ejercido durante treinta aos, la ciudad lle-g a convertirse en el epicentro de la cultura europea. All se estableci una for-ma de democracia directa, que desde luego no involucraba la igualdad de todos los individuos, ya que no se reconocan derechos cvicos y polticos, entre otros, a esclavos, extranjeros y mujeres, es decir, a la gran mayora de la poblacin. Pericles hizo construir el Partenn y otros clebres edificios, al igual que mura-llas para proteger a la ciudad y la ruta hacia el puerto del Pireo, en el mar Egeo. Atenas se convirti en un esplndido mbito de creacin literaria, artsti-ca y cientfica, que vio florecer a filsofos como Anaxgoras y Scrates, histo-riadores como Tucdides y Herdoto, escultores como Fidias, arquitectos y ur-banistas como Hipodamos, autores de comedias como Aristfanes y dramatur-gos como Esquilo, Sfocles y Eurpides.

Pero el proyecto poltico de Pericles encontr un fuerte obstculo en las pre-tensiones de Esparta, alrededor de la cual se cre en 550 a.C. una liga de ciu-dades del Peloponeso destinada a derrocar la supremaca ateniense. Ello deriv en la llamada guerra del Peloponeso, sostenida entre dos grandes confederacio-nes, la ateniense y la espartana. Iniciada en 431 a.C., la guerra finaliz en 404 a.C. con la victoria de Esparta, cuyos gobernantes pusieron fin a la democracia en Atenas y establecieron gobiernos aristocrticos en toda Grecia. En 403 a.C.,

4 7

CONCIPCIONIS DI LA MATEMATICA: DI AlIMIS A P L A n ) N

los atenienses se sublevaron y restauraron su independencia, a la vez cjue otras ciudades griegas se rebelaban contra el dominio espartano. Las luchas por la hegemona en Crecia se extendieron hasta mediados del siglo IV a.C.

En este complejo contexto histrico vivi I-'latn (c.428 - c.347 a.C.). lYove-niente de una familia aristocrtica de Atenas, fue discpulo y amigo de Scrates y acept en principio su filosofa. Sin embargo, ella tiene un fuerte sesgo de ca-rcter tico, y por consiguiente resulta un tanto asombroso que de tal maestro haya surgido un entusiasta de la matemtica del calibre de Platn. Si bien en su juventud ste tuvo ambiciones polticas, nunca pudo concretarlas pues en modo alguno simpatizaba con la democracia ateniense, y por ello al promediar su vida se dedic enteramente a la filosofa. A la muerte de Scrates, durante; la guerra del Peloponeso, Platn abandon Atenas por algn tiempo y realiz) viajes por Megara, Egipto y el sur de Italia, donde conoci al pitagrico Arqui-tas de Tarento. Este encuentro parece haber sido el origen de la gran influen-cia que el pensamiento de Pitgoras ejerci sobre Platn. En el ao 387 a.C. fund en Atenas la Academia, institucin a menudo considerada como una suer-te de primera universidad europea. All prosigui enseando y realizando sus estudios filosficos, interrumpidos por dos breves excursiones a Sicilia, hasta su muerte a los ochenta aos. (Es interesante sealar que la Academia, a diferen-cia de otras instituciones similares del mundo antiguo, perdur hasta 529 d.C., ao en que el emperador cristiano Justiniano orden que fuese disuelta por con-siderarla un bastin del paganismo.) Los escritos de Platn, redactados en for-ma de dilogos, convirtieron a su autor en una de las figuras ms gravitantes de la historia de la filosofa occidental.

Nos hallamos ahora en presencia de un pensador de especial trascendencia y genio, cuyos ecos se hacen sentir con intensidad incluso en la actualidad. Pe-ro en cuanto a concepciones acerca de la matemtica, las suyas no difieren mu-cho de las de Pitgoras, y lo que hemos afirmado acerca del modo en que los pitagricos hubiesen contestado nuestras cuatro preguntas se le podra aplicar. Sin embargo, es necesario aadir aqu que la matemtica tuvo una particular in-fluencia en el pensamiento metafisico y ontolgico de Platn, y vale la pena re-cordarlo porque de alguna manera ello influy en la metodologa del conoci-miento cientfico en general.

En cuanto al problema de los objetos matemticos. Platn acepta la tesis pi-tagrica de que ms aU de un primer mundo, el de las entidades concretas, hay un segundo mundo, poblado en particular por las entidades formales de la matemtica. (Aclararemos luego esta aplicacin de la palabra "formal" a los ha-bitantes del segundo mundo.) Pero adems hay en el segundo mundo otro tipo de entidades formales constituidas por las cualidades y tambin, como diriamos hoy, por las relaciones y otras entidades consideradas por la lgica. El segundo mundo de Platn est poblado sin duda por entidades matemticas, pero est tambin habitado por los universales, o sea las cualidades, las propiedades, en-tendidas como objetos formales especiales, de los cuales tambin, por isomorfis-

4 8

CONCll'CIONlS MATIMTICAS IM- Pl.,A'l'()N

> .] participacin, como Flalri lo dice, permitiran comprender lo que ocu-'' ' " ' las entidades concretas del primer mundo. Nuestro filsofo eme que as

' ' i s o n r o r f i s m o establece la relacin entre el mundo formal y el mrmdo " ' vto tambin es cierto que el mundo concreto participa de las propiedades i' " l u n i v e r s a l e s , que no son otra cosa que las ideas o formas, llamadas a ve-

-,encias, en un sentido general, que encontramos en el segundo mundo: por fliciri razn hemos llamado formales a estas entidades. Tal concepcin de carc-ter '.renerai se inspira claramente en la matemtica. Las :formas matemticas son "lo que tienen en comn" muchos objetos concretos que, por ejemplo, siendo en ilffunos casos platos, en otros ruedas, en otros tocones de un rbol cortado, son todos circulares. Aqu, cada objeto presenta un aspecto circular, pero la forma o idea comn a todos ellos es la "circularidad", habitante del segundo mundo for-mal En igual sentido, tambin "blancura" es una forma o idea: lo que hay de .-omn en muchos objetos distintos del primer mundo pero todos ellos blancos.

La diferencia entre Platn y los empiristas primitivos como Ahms (y los empiristas de la filosofa en general) es que, adems de los objetos azules del primer mundo, existira el "universal azul", que no est presente en una entidad concreta, una flor azul, sino que habita en el segundo mundo: la or participa del universal azul. Si esto es as, la con