2.1 Dis. Teorica 02 Parte

“UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZÁN”

B) DISTRIBUCIONES TEÓRICAS PARA CADA ESTACIÓNEl objetivo de esta segunda etapa es determinar la distribución teórica que mejor se ajuste a los valores de precipitación de cada una de las tres estaciones.

1.- DISTRIBUCION NORMAL O DE GAUSS Función de distribución estándar.

P ( z< zi )=

∫−∞

zi

e− z2

2 dz

√2π

Media de las precipitaciones.

p=∑ pi

n=28.544mm

Desviación estándar de las precipitaciones

s=√∑ ( pi−p )2

n−1=3.957

z= pi−ps

= pi−28.5443.957

Función de probabilidades observada.

P ( x )= mn+1

= m26

∆i = IP(X)-F (z) I

F (z): se obtienen de tablas para diferentes valores de z, veamos un ejemplo para

un valor de z=1.87 de la fila 28 que contiene la TABLA 11.2.1

“DISTRIBUCIÓN NORMAL ACUMULADO”

2.- DISTRIBUCION LOG- NORMAL DE 2 PARAMETROS

TEMA: DRENAJE URBANO


Función de distribución estándar

P ( z< zi )=

∫−∞

zi

e− z2

2 dz

√2π


p=∑ log ( pi)

n=1.452mm


s=√∑ ( log ( pi )−p )2

n−1=0.060

z=log ( pi)−p

s=

log ( pi)−1.4520.060

Función de probabilidades observada.

P ( x )= mn+1

= m26

F (z): al igual que el caso de una distribución normal se obtienen de tablas para

diferentes valores de z.

∆i = IP(X)-F (z) I

3.- DISTRIBUCION LOG- NORMAL DE 3 PARAMETROS



Función de distribución estándar

P ( z< zi )=

∫−∞

zi

e− z2

2 dz

√2π

z=y i−py

s y

Donde:Asumo: Po

y i=log ( pi−po)

po=p−e p y+0.5∗sy2

Media de las precipitaciones cuando Po ya se aproxima al valor anterior.

p=∑ pi

n=28.544mm

py=∑ y in

=0.337


sy=√∑ ( y i−p y )2

n−1=1.718

Función de probabilidades observada

P ( x )= mn+1

= m26

∆i = IP(X)-F (z) I

Nota: como se puede apreciar las ecuaciones de color naranja son implícitas, es por ello que debemos dar un valor inicial a po y hacer los cálculos, luego se obtiene un nuevo valor de po el cual comparamos con el inicial; si la diferencia es mínima se queda con ese valor y si no hay que seguir iterando, Para nuestro caso se ha determinado po=22.34999997400 (iterando varias veces)

F (z): se obtienen de tablas para diferentes valores de z.

4.- DISTRIBUCION GAMMA DE 2 PARAMETROS



Los valores G (y) se obtienen de la siguiente Tabla 01 para un valor de ϒ y de Yi (pertenece a la región de color rosado), si en caso que estos valores no coincidan con los de la tabla hay que interpolar.

Donde:

y i=piβ

= pi0.549

β= s2

p=0.549ϒ= p2

s2 =52.033

Media de las precipitaciones

p=∑ pi

n=28.544mm


s=√∑ ( pi−p )2

n−1=3.957


P ( x )= mn+1

= m26

∆i = IP(X)-G (y) I

5.- DISTRIBUCION GAMMA DE 3 PARAMETROS O PEARSON TIPO III

Donde:



y i=pi−poβ

β=cs∗s

2=0.848 po=p−2∗s

cs=10.068ϒ= 4

cs2 =21.800


p=∑ pi

n=28.544mm


s=√∑ ( pi−p )2

n−1=3.957

Coeficiente de sesgo

C s=n∑ (E1−E1 )3

(n−1 ) (n−2 )SE 13=0.428


P ( x )= mn+1

= m26

∆i = IP(X)-G (y) I

Siguiendo el mismo procedimiento para la distribución gamma de 2 parámetros se construye el siguen te cuadro.

6.- DISTRIBUCION LOG- PEARSON TIPO III

Se utiliza también la TABLA 01



Dónde:

y i=log( pi)−po

ββ=

cs∗s2

=0.004 po=p−2∗scs

=0.581ϒ= 4cs

2=213.019


p=∑ log(pi)

n=1.452


s=√∑ ( log(pi)−p )2

n−1=0.060

Coeficiente de sesgo

C s=n∑ ( log(pi)−p )3

(n−1 ) (n−2 )S3 =0.137


P ( x )= mn+1

= m26

∆i = IP(X)-G (y) I

Siguiendo el mismo procedimiento para la distribución gamma de 2 parámetros se construye el siguen te cuadro.

7.- DISTRIBUCION GUMBEL

F (Y )=e−e−( pi−μ)

α




p=∑ pi

n=28.544mm


s=√∑ ( pi−p )2

n−1=3.957

μ=media−0.45∗desestándar=26.763

α=0.78∗des estándar=3.087

∆i = IP(X)-F (y)I

8.- DISTRIBUCION LOG - GUMBEL

F (Y )=e−e−( log ( pi)−μ )

α




p=∑ log(pi)

n=1.452


s=√∑ ( log(pi)−p )2

n−1=0.060

μ=media−0.45∗desestándar=1.425

α=0.78∗des estándar=0.046

∆i = IP(X)-F (y) I

ELEGIR LA DISTRIBUCION DE MEJOR AJUSTE PARA LA ESTACIÓN

VALORES CRÍTICOS DE ∆o DEL ESTADÍSTICO SMIRNOV – KOLMOGOROV PARA VARIOS TAMAÑOS MUESTRA (n) Y NIVELES DE SIGNIFICACION. (α)



TABLA N°02

Con un nivel de significancia α=0.05 y con n=25 dentramos al TABLA N° 02 y sacamos un valor critico de ∆o =0.27

Debe verificarse la siguiente expresion:

∆máx .<∆o

CRITERIOS PARA ELIGIR LA DISTRIBUCIÓN

A continuación se muestra las recomendaciones para las que fueron hechas las distribuciones teóricas.



1 DISTRIBUCION NORMALLa distribución normal es una distribución simétrica en forma de campana, también conocida como Campana de Gauss. Aunque muchas veces no se ajusta a los datos hidrológicos tiene amplia aplicación por ejemplo a los datos transformados que siguen la distribución normal.

2 DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL DE DOS PARÁMETROSSi los logaritmos Y de una variable aleatoria X se distribuyen normalmente se dice que X se distribuye normalmente.Esta distribución es muy usada para el cálculo de valores extremos por ejemplo Qmax, Qmínimos, Pmax, Pmínima (excelentes resultados en Antioquia). Tiene la ventaja que X>0 y que la transformación Log tiende a reducir la asimetría positiva ya que al sacar logaritmos se reducen en mayor proporción los datos mayores que los menores.

5 DISTRIBUCION GAMMA DE TRES PARÁMETROS O PEARSON TIPO 3Esta distribución ha sido una de las más utilizadas en hidrología. Como la mayoría de las variables hidrológicas son sesgadas, la función Gamma se utiliza para ajustar la distribución de frecuencia de variables tales como crecientes máximas anuales, Caudales mínimos, Volúmenes de flujo anuales y estacionales, valores de precipitaciones extremas y volúmenes de lluvia de corta duración. La función de distribución Gamma tiene dos o tres parámetros.

6 DISTRIBUCIÓN LOG GAMMA O LOGPEARSON DE 3 PARÁMETROSSi los logaritmos Y de una variable aleatoria X se ajustan a una distribución Pearson tipo III, se dice que la variable aleatoria X se ajusta a una distribución Log Pearson Tipo III. Esta distribución es ampliamente usada en el mundo para el análisis de frecuencia de Caudales máximos. Esta se trabaja igual que para la Pearson Tipo III pero con Xy y Sy

como la media y desviación estándar de los logaritmos de la variable original X.

7 DISTRIBUCION GUMBEL O EXTREMA TIPO IUna familia importante de distribuciones usadas en el análisis de frecuencia hidrológico es la distribución general de valores extremos, la cual ha sido ampliamente utilizada para representar el comportamiento de crecientes y sequías (máximos y mínimos).

RESUMEN DE LOS VALORES MAXIMOS (∆máx.) DE LAS 08 DISTRIBUCIONES TEORICAS PARA LA ESTACION PUERTO INCA

DISTRIBUCION NORMAL∆máx. 0.07

80.27 Pasa



DISTRIBUCION LOG-NORMAL DE 2 PARAMETROS∆máx. 0.13

30.27 Pasa


10.27 No pasa

DISTRIBUCION GAMMA DE 2 PARAMETROS∆máx. 2.00

80.27 No pasa

DISTRIBUCION GAMMA DE 3 PARAMETROS O PEARSON TIPO III

∆máx. 0.211

0.27 Pasa

DISTRIBUCION LOG- PEARSON TIPO III∆máx. 0.88

30.27 No pasa

DISTRIBUCION GUMBEL∆máx. 0.10

30.27 Pasa

DISTRIBUCION LOG-GUMBEL∆máx. 0.17

00.27 Pasa

RESUMEN DE LOS VALORES MAXIMOS (∆máx.) DE LAS 08 DISTRIBUCIONES TEORICAS PARA LA ESTACION PUERTO BERMUDES



DISTRIBUCION NORMAL∆máx. 0.15

0 0.27 Pasa


60.27 Pasa


60.27 Pasa

DISTRIBUCION GAMMA DE 2 PARAMETROS∆máx. 2.00

80.27 No pasa

DISTRIBUCION GAMMA DE 3 PARAMETROS O PEARSON TIPO III

∆máx. 0.211

0.27 Pasa

DISTRIBUCION LOG- PEARSON TIPO III∆máx. 0.88

30.27 No pasa

DISTRIBUCION GUMBEL∆máx. 0.17

20.27 Pasa

DISTRIBUCION LOG-GUMBEL∆máx. 0.21

10.27 Pasa



RESUMEN DE LOS VALORES MAXIMOS (∆máx.) DE LAS 08 DISTRIBUCIONES TEORICAS PARA LA ESTACION OXAPAMPA

DISTRIBUCION NORMAL∆máx

.0.156 0.27 Pasa

DISTRIBUCION LOG-NORMAL DE 2 PARAMETROS∆máx

.0.166 0.27 Pasa

DISTRIBUCION LOG-NORMAL DE 3 PARAMETROS∆máx

.0.279 0.27 No pasa

DISTRIBUCION GAMMA DE 2 PARAMETROS∆máx

.2.008 0.27 No pasa

DISTRIBUCION GAMMA DE 3 PARAMETROS O PEARSON TIPO III∆máx

.0.211 0.27 Pasa

DISTRIBUCION LOG- PEARSON TIPO III∆máx

.0.883 0.27 No pasa

DISTRIBUCION GUMBEL ∆máx 0.211 0.27 Pasa



.

DISTRIBUCION LOG-GUMBEL∆máx

.0.221 0.27 Pasa

Veamos cómo se calcula la precipitación de diseño a partir de la distribución teórica de mayor ajuste para un periodo de retorno de 5 años, análogamente se realiza para el resto de los t.

Media 2.995Des estándar 0.045 ∆máx. 0.1662

2.995 0.045

PARA UN PERIODO DE RETORNO (t)T = 100 Años

0.99

z = 2.30

1256.29 mm

PRECIPITACIÓN DE DISEÑO PARA PERIODOS DE RETORNO

PERIODOS DE RETORNO DE VALORES ESTANDAR

Media 2.995 ESTACION

5 Años 10 Años 20 Años 50 Años 100 Años

Des estándar 0.045 Puerto Inca

389.42 mm

429.87 mm

474.52 mm

523.81 mm

564.11 mm

TABLA 01PERIODOS DE RETORNO DE

VALORES ESTANDARMedia 2.77 ESTACION 5 Años 10 Años 20 Años 50 Años 100


p=∑ log(pi)

n S¿√∑ ( log (pi )−p )2

n−1

P (P≤Pd )=1−1T

=F(z )

pd=10p+z∗s

Tabla A


0 Años

Des estándar 0.190 Estación Puerto Bermudes

835.12 mm

994.97 mm

1185.41 mm

1412.31 mm

1610.55 mm

TABLA 02PERIODOS DE RETORNO DE

VALORES ESTANDAR

Media 2.995 ESTACION

5 Años 10 Años 20 Años 50 Años 100 Años

Des estándar 0.045 Estación Oxapampa

1073.83 mm

1119.72 mm

1167.57 mm

1217.47 mm

1256.29 mm

C) PRECIPITACIONES DE DISEÑO EN EL CENTRO GEOMETRICO DEL PROYECTO



El objetivo de esta etapa es determinar las precipitaciones de diseño en el centro geométrico de la zona Urbana CIUDAD CONSTITUCION para periodos de retorno 5, 10, 20, 50 Y 100 años usando la ecuación cartesiana de un plano generado por los puntos de las tres estaciones y usando los valores de la TABLA 01, TABLA02 y TABLA 03.


USANDO LA ECUACION CARTESIANA DEL PLANO

Ax+By+Cz-(Ax1+By1+Cz1) = 0


RESUMEN

RESUMENPERIODO PRESIPITACION

5 Años 633.606241 mm10 Años 714.969793 mm20 Años 809.105276 mm50 Años 918.223762 mm

100 Años 1011.449673 mm

TABLA 04


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