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TRABAJO COLABORATIVO 2 ALGEBRA LINEAL

1. Utilice el mtodo de eliminacin de Gauss-Jordn, para encontrartodas las soluciones (si existen) de los siguientes sistemas

lineales:

Para ello buscaremos la matriz ampliada:

Ahora llevaremos esta matriz a su forma escalonada

En este caso la matriz A ya se encuentra en su forma escalonada

por filas

En este caso tenemos:

Al despejar z de la ultima ecuacin tenemos que z es igual a 1

sustituimos este valor en la ecuacin 2

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As conocidos la variable z=1 y Y=1 los sustituimos en la ecuacin

1 para tener el valor de x

Por tanto la solucin del sistema de ecuaciones es nica y

corresponde a: 1.2 Para ello buscaremos la matriz ampliada:

Ahora llevaremos esta matriz a su forma escalonada

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Ya la matriz esta reducida a su forma escalonada, por lo que el

mtodo finaliza all, el sistema resultante es:

Como podemos observar las variables z y w aun siguen presentes

en las ecuaciones esto implica que son variables libres,

encontraremos un vector que satisfaga las dos ecuaciones, para

ello requerimos darle valores arbitrarios a z y w, con ello

obtenemos los valores de x e y.

Despejamos x en la primera ecuacin:

Despejamos a hora y en la segunda ecuacin:

Recordemos que estamos buscando un vector quesatisfaga el sistema. Por tanto podemos escribirlo as:

.Escrito como vector fila seria:

Como podemos asignar para z y w todos los valores que

deseemos, se trata entonces de un sistema de infinitas soluciones.

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2. Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello lainversa (utilice el mtodo que prefiera para hallar A-1)

Para saber si el sistema tiene solucin por este mtodo debemos

calcular primero el determinante de la matriz de coeficientes si

este existe y es distinto de cero, la matriz posee inversa y la

solucin es nica.

||

|| || || Como el determinante es diferente de cero la matriz posee inversa

la hallaremos haciendo uso del mtodo de Gauss Jordn.

Usamos la matriz ampliada inicialmente.

[

]

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]

[

]

Como ya tenemos la matriz identidad al lado izquierdo de la matriz

ampliada la matriz del lado derecho es la matriz inversa

Para obtener la solucin del sistema consideramos la ecuacin Donde

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[

]

[

]

Esto quiere decir que la solucin del sistema de ecuaciones es: 3. Encuentre las ecuaciones simtricas y paramtricas de la recta

que:

3.1 contiene a los puntos

Para ello encontramos el vector generado por estos puntos: ( ) Por tanto el vector normal genera:

Con estas consideraciones podemos establecer las

ecuaciones paramtricas de la forma: En este caso los valores x1, y1, y z1 son los valores

correspondientes a las coordenadas del punto P

Ahora las ecuaciones simtricas estn definidas como:

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Entonces:

3.2 contiene a y es paralela a la recta

Como la recta es paralela a la ecuacin de recta dada

implica que el vector normal que las genera es el mismo por

ello de las ecuaciones simtricas de la recta dada podemos

determinar los valores a, b, c que son las componentes delvector normal o paralelo.

En otras palabras el vector de direccin de la recta solicitada

es paralelo al vector de direccin de la recta dada, por lo

tanto, la ecuacin solicitada es:

vale recordar que los valores que aparacen en el

denominador de las ecuaciones simtricas representan el

vertor normal a estas ecuaciones y como las recta a buscar

es paralela a la recta dada implica que el vector( )De lo anterior se puede deducir que

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Ahora las ecuaciones simtricas estn definidas como:

Entonces:

4. encuentre la ecuacin general del plano que:4.1 contiene a los puntos Encontraremos los vectores

Hallamos ahora el vector normal a estos vectores o vectorperpendicular.

Por tanto las coordenadas del vector normal son: La ecuacin del plano esta dada de la forma:

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Para este caso el punto P dar las coordenadas para la ecuacin

del plano

( )

Por tanto la ecuacin del plano es:

4.2 contiene al punto y tiene como vectornormal a Como ya tenemos el vector normal las coordenadas de dicho

vector normal son:

Como ya tenemos el punto P hallamos la ecuacin del plano

La ecuacin del plano esta dada de la forma:

( ) ( ) ( )

Por tanto la ecuacin del plano es:

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5. encuentre todos los puntos de interseccin de los planos: Para determinar los puntos de interseccin de los planos debemos

verificar si estos dos planos no son paralelos.

Vemos si son paralelos o no

Como dicho vector es diferente del vector cero los planos no son

paralelos esto indica que se cortan en al menos un punto. Estos

puntos se pueden encontrar al resolver el sistema de ecuaciones

dado por los planos.

Resolvemos por el mtodo de Gauss Jordn

En este caso ya termina el mtodo de reduccin de gauss

quedndonos el sistema:

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En este caso tenemos que z esta en ambas ecuaciones lo que

indica que esta es la variable libre por ello despejamos x e y en las

ecuaciones.

Si designamos a z=t nos queda:

Son las ecuaciones paramtricas que intersecan los dos planos y Supongamos t=1, entonces:

Por ello tenemos el punto

Como el sistema encontrado tiene infinitas soluciones este es uno

de los puntos de corte entre los dos planos.

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Verificaremos que dicho punto satisface las ecuaciones de los

planos.