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NUCLEO CIRCULAR ACORAZADOPARA TRANSFORMADORES

MONOFASICOS:Autores: Víctor Luis Hurtado GonzalesVíctor Benigno Gutiérrez Carabantes

RESUMENEn la construcción y diseño de transformadores

una tarea permanente es mejorar la eficiencia;

atenuar las causas de envejecimiento, reducir las

pérdidas.

a)Para este fin de los núcleos tipo anillo, se dio

paso a los acorazados convencionales en los

cuales se mejora el circuito magnético

ofreciendo un camino más óptimo para el flujo

magnético.

b)Por otro lado se ha buscado siempre reducir el

llamado coeficiente de plenitud del hierro,

tendiendo a buscar modos de conseguir

concordancia entre la forma de la sección delnúcleo y las que adoptan las espiras de las

bobinas, por los que se paso a construir núcleos

con secciones escalonadas

c)Así mismo la concentración de calor se

produce principalmente en la pierna central del

núcleo sobre la cual se acomodan los

arrollamientos, con la consiguiente

imposibilidad de brindar refrigeración forzada

en estas áreas.

d)En la gran mayoría de núcleos para

transformadores no se encuentra una adecuada

concordancia entre la relación costo de cobre/ costo de hierro y la existente entre el peso de

cobre/peso de hierro, que se ve deformado al

asumirse formas de ventanas rectangulares, que

incrementan la longitud del circuito magnético.

Con el presente trabajo se busca encontrar una

solución a estos problemas planteados, en razón

de construir un nuevo modelo de núcleo al que

se le ha denominado “circular acorazado” el

mismo que tiene sección circular, circuito

magnético más corto, mejor camino para el flujo

magnético mejor comportamiento frente a las

tensiones dinámicas etc. y brinda la posibilidadde ofrecer refrigeración forzada sobre la pierna

central del mismo,.

Abarcando su aplicación a transformadores

monofásicos, esperándose en un futuro

desarrollar su aplicación para transformadores

trifásicos acorazados.

 INTRODUCCION 

Al plantear como solución a estos problemas el

uso de un nuevo modelo de núcleo, para poder

comparar sus resultados se deben establecer

condiciones de diseño semejantes entre un

transformador con núcleo acorazado

convencional y otro de iguales características de

núcleo circular acorazado.

Entonces debemos buscar un núcleo que

manteniendo esta correspondencia tenga la

menor cantidad de hierro, este criterio es valido

para los diferentes tipos de núcleo, por lo que

empezaremos por efectuar un estudio sobre la

longitud del circuito magnético.

Seguidamente se desarrollan los aspectos

concernientes al diseño de un transformador con

Núcleo circular acorazado que nos ocupa, para

finalmente efectuar la comparación de

resultados y presentar las conclusiones.

ANTECEDENTES1.1.-Los transformadores acorazados

 convencionales

Surgieron como respuesta a una mejor

recuperación del flujo magnético, frente al que

ofrecían los de tipo anillo. En éstos, la pierna

central (núcleo) es el doble que las dos laterales

(yugos), en razón de que por ella ha de circularel doble de flujo magnético, que es recogida a

través de la culata y los dos yugos, que

constituyen el circuito de retorno.

1.2.-Las máquinas sometidas a fuertes

 tensiones dinámicas

Las tensiones dinámicas se incrementan al paso

de mayores intensidades de corriente, como es el

caso de las maquinas de soldar, las plantas de

galvanostegia, influyendo en el envejecimiento

de los aislantes en razón de los

extrangulamientos que sobre la superficie del

núcleo se presentan en particular sobre lasaristas de los núcleos de sección cuadrada o

escalonada y sumadas a la mayor concentración

de calor en esta zona aceleran el envejecimiento

de los aislantes que separan al núcleo de las

bobinas como de los aislantes de los

conductores.

1.3.-Los flujos de dispersión

En la construcción y diseño de transformadores,

una tarea permanente ha sido reducir las

pérdidas de los llamados flujos de dispersión.

De ésta manera, para recuperar estos flujos de

los núcleos tipo anillo, se dio paso al desarrollode los núcleos acorazados convencionales; en

los cuales se mejora el circuito magnético

ofreciendo un camino más completo a las líneas

de fuerza y permiten la recuperación de una

buena parte de éstas líneas que en los de tipo

anillo se pierden, con el resultado de una mayor

eficiencia.

Si se construye un núcleo con la forma que

describen las líneas de fuerza electromagnética,

los flujos de dispersión que se pierden se podrán

recuperan.

Entonces, de lo que se trata, es de diseñar una

nueva forma de núcleo que permita recuperar

mayor cantidad de éstos flujos.

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1.4 Sobre el Coeficiente de Plenitud del Hierro

Otro problema ha sido, la reducción del

coeficiente de plenitud del hierro, que se

produce porque las secciones transversales de

los núcleos de modelos anteriores son de forma

cuadrada o escalonada, mientras que las espiras

de los arrollamientos tienden a formar

trayectorias circulares, produciendo espacios

perdidos entre el núcleo y los arrollamientos que

en definitiva se traducen en pérdidas e impiden

una mejor utilización del hierro, el problema

consiste en determinar la sección más

conveniente a efecto de que los espacios

perdidos sean mínimos, y que las espiras tengan

la mínima longitud

Propuestas para la solución de éste problema ha

sido la construcción de núcleos con secciones

escalonadas, con los que se busca rellenar los

espacios vacíos con porcionesFig 1-1 Diferentes formas de núcleos

escalonados

de núcleo, ofreciendo de éste modo, una sección

de núcleo, más cercana a la forma circular que

adoptan las espiras.La extrema dificultad en la construcción de éstos

núcleos y su consiguiente mayor costo han

limitado su uso a casos especiales.

¿Cómo construir un modelo de núcleo que

ofrezca una correspondencia entre la forma de la

sección del núcleo, y la que describen las

espiras?

Al responder ésta interrogante se ha buscado una

forma de núcleo cuya sección sea también

circular, como adoptan las espiras.

1.5.-Concentración del calor

En los núcleos acorazados convencionales laconcentración del calor se produce

principalmente en la pierna central, sobre la cual

se acomodan los arrollamientos, con la

consiguiente imposibilidad de brindar

refrigeración localizada sobre éstas áreas

¿Cómo brindar refrigeración localizada sobre

éste área?

Si construimos un núcleo de sección circular,

éste puede ser objeto del maquinado de un

taladro central por el cual se podrá acondicionar

un mecanismo de refrigeración forzada, que

estará en contacto directo con la parte máscrítica; que no es posible en los modelos

anteriores, por tanto, permitirá elevar el punto

crítico de funcionamiento, y elevar el ciclo de

trabajo de la máquina.

1.6.-Comportamiento de los aislamientos.-

1.6.1.-Sobre las tensiones dinámicas

En transformadores que trabajan a regímenes

cercanos al corto circuito, las tensiones

dinámicas son considerables, y se concentran

sobre el núcleo y si éste tiene secciones de

forma cuadrada o escalonada, se concentran en

las aristas y se traducen en el envejecimiento

prematuro de los aislantes en estos puntos, en

razón de los “extrangulamientos“ que se

producen, entre el aislante de los conductores

sobre los del núcleo, cada vez que se produce el

paso de intensidades de corriente alta.

1.6.2.-El comportamiento crítico de los

 aislamiento

Al construirse los devanados sobre una sección

cuadrada o escalonada se producen vérticesreproduciéndose el efecto de las puntas, por lo

que los aislantes encontraran en éstas puntas el

punto mas critico.

¿Cómo evitar el efecto de las puntas y conseguir

que los aislantes funcionen por encima de los

puntos críticos convencionales?

Al diseñar un núcleo de sección circular,

estaremos acomodando las espiras de manera

uniforme sin ocasionar puntas de este modo los

efectos de las tensiones dinámicas se verán

amenguadas, Así mismo no se reproducirán los

efectos de las puntas y lograremos que losaislantes de los conductores funcionen en

mejores condiciones.

1.7.- Ventajas del nuevo modelo

Con respecto a los núcleos convencionales, Se

espera alcanzar:

Reducción de flujos de dispersión, un

coeficiente de plenitud del hierro en su punto

más alto (1), mejorar la disipación natural del

calor, posibilidad de brindar refrigeración

forzada sobre el área crítica sobre el cual se

arrollan las espiras, lograr mejor

comportamiento de los aislantes.CRITERIOS GENERALES PARA ElDISEÑO DE TRANSFORMADORES

A continuación expondremos los criterios

generales de construcción valida a cualquier

modelo que ayudan a definir el propuesto.

 2.1.- Tipos de transformadores

En la construcción de transformadores se han

hecho uso de dos tipos, los de columnas o tipo

anillo y los acorazados.

Los de anillo se caracterizan porque en estos las

bobinas envuelven al núcleo, por lo que también

se les denomina transformadores de circuito

eléctrico envolvente.

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Los acorazados se caracterizan porque de

manera contraria al anterior los devanados se

encuentran cubiertos por el núcleo por lo que

también se les conoce como de circuito

magnético envolvente.

Por este motivo el modelo de núcleo propuesto

al ser de circuito magnético envolvente y por ser

de forma circular se le ha denominado circular

acorazado. Este modelo permite recuperar los

flujos de dispersión con mayor eficiencia

quedando como pérdidas de flujo más

importantes las de pequeñas turbulencias que se

producen al paso de los conductores de ingreso y

salida de los devanados primario y secundario.

  2.2.- Consideraciones en las pruebas de

 aisladores

Cuando se efectúan pruebas en los

aisladores,entre los criterios que se utilizan se

considera el que; todas las aristas y vérticesactivos son peligrosos, pero no pueden ser

evitados en los modelos de núcleos

convencionales, lo que motiva que se tenga que

efectuar las pruebas de ensayo de los aislantes

entre puntas, entre punta y placa y no entre

electrodos planos o esféricos

El evitarse la formación de vértices como es el

caso del núcleo circular acorazado, es evidente

que las condiciones de prueba pueden ser

efectuadas entre electrodos planos, o en todo

caso conductores en semejantes condiciones de

aislamiento estarán a un nivel superior deseguridad dieléctrica al funcionar en estas

condiciones, es decir en un medio sin la

formación de aristas, como será en el caso de los

transformadores con núcleo circular acorazado.

  2.3 Consideraciones sobre la longitud del 

 circuito magnéticoEn un núcleo acorazado convencional la práctica

recomienda que la relación entre el ancho de las

ventanas con la altura este comprendida entre

2,5 a 3,5 veces el ancho, pero es necesario

anotar que para obtener el punto económico más

optimo será aquel que permita equilibrar entre el

costo del cobre con la del hierro, y además aquel

que brinde la longitud de circuito magnético más

corta.

Pues, si el alto es mucho mayor que el

necesitaremos menor cantidad de cobre para

producir la misma cantidad de vueltas en torno a

una misma sección de núcleo, en razón de que

utilizaremos menos capas, pues éstas tienen un

perímetro más pequeño cuanto más cercanas al

núcleo estén y tanto mayor cuanto más grandes

sean las espiras ultimas pero requiere un mayor

volumen de hierro, al incrementarse la longitud

del circuito magnético manteniendo, la misma,

sección y por tanto aumentan en éste caso las

pérdidas en el hierro a la vez que incrementan sucosto y peso por este motivo. Por otro lado si

tuviéramos una ventana de ancho igual al alto

encontramos el punto optimo donde obtenemos

la menor cantidad de hierro para una misma

sección de núcleo, aún cuando se tenga un ligero

incremento en la cantidad de cobre. Finalmente

si el ancho fuese mayor que el alto de la

ventana se incrementaría innecesariamente la

cantidad de hierro con el consiguiente

incremento también innecesario de las pérdidas

en el hierro. y requerirá una cantidad de cobre

mayor que en los casos anteriores,En conclusión desde el punto de vista de la

longitud del circuito magnético y buscando

equilibrar las pérdidas entre el Cobre y el Hierro

el núcleo más conveniente es por la razón de

calidad y costo expuesta, el indicado en la Fig.2-

2, aun cuando en la práctica no es comúnencontrarlo.

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Así se puede apreciar en el cuadro comparativo

siguiente donde tenemos los pesos de cobre y

hierro para un modelo de 2000VA de la misma

sección transversal y diferente relación entre El

ancho y largo de la ventana para un mismo

arrea, manteniendo la misma relación de pesos

de cobre/hierro.

Para efectos del cálculo de las fórmulas en todo

el trabajo se usara la relación entre el alto y el

ancho igual a 1

 2.4Sobre la sección del núcleo

  2.4.1.- Estudio de la sección del núcleo y el 

  coeficiente de utilización del hierro para un

 núcleo de sección cuadrada.

La sección cuadrada del núcleo estará inscrita en

una circunferencia de diámetro D igual al

diagonal del cuadrado que forma la sección

transversal del núcleo. por tanto:

El área de la sección transversal del cuadrado es:Acuadrado = D2 x 0,5

Luego: el área de la circunferencia es:

Acircunferencia = π /4 x D2 

 2.4.2.- Factor de escalonamiento k g:

Al factor que multiplica a D2 se le denomina

factor de escalonamiento Kg Para el caso de

núcleos compuestos se tiene los siguientes

valores:

Kg Para: un escalón 0,5; dos escalones 0,6120;

tres escalones 0,6559; cuatro escalones 0,688;cinco escalones 0,7043 seis escalones 0,7559

Para un núcleo circular acorazado propuesto este

factor es = 0,7853.

 2.4.3.- Factor de empilamiento ke:

Este coeficiente depende del grosor de las

planchas y la calidad del aislamiento que se

utilice entre chapas así tenemos:

papel 0,9; esmalte 0,92; aislante químico

“carlita” Ke = 0,95

 2.4.4.- Factor global de uso del hierro k o 

Viene a ser el factor global de utilización delcuadrado circunscrito al núcleo y es el producto

de los dos anteriores. :

Ko = Kg x Ke 

y sus valores son:

Asumiendo un factor de empilamiento 0,93:

Valores de: Ko para: un escalon 0,465; dos

escalones 0,57; tres escalones 0,61 cuatro

escalones 0,64; cinco escalones 0,655; seis

escalones 0,703*(estos valores han sido

tomados de Juan Corrales Martín “Cálculo

industrial de Máquinas Eléctricas” T.II pg37)

Y para el caso del núcleo circular acorazado

propuesto éste factor es 0,73.

Entonces se puede escribir la sección del núcleo

para un transformador de sección cuadrada en

función del coeficiente global de utilización del

hierro:

SN = Ko x D2 

 2.4.5.- Coeficiente de plenitud de hierro

A la relación entre el área de la circunferenciacon el área neta del núcleo se le llama

coeficiente de plenitud de hierro y se designa

por fp.

Area de la sección del núcleo

fp = ---------------------------------------

Area de la circunferencia circunscrita

Este factor adquiere los siguientes valores para

los diferentes tipos de núcleos escalonados:

Para un escalón 0,6366; dos escalones 0,7792;

tres escalones 0,8351; cuatro escalones 0,8759;

cinco escalones 0,8967; seis escalones 0,9624;

Para el Núcleo circular acorazado es de 1,000.  2.5 Determinación de la constante de diseño

  para el transformador de núcleo acorazado

 convencional 

Para determinar el transformador para una

determinada potencia que resulte más

económica partiremos del criterio de construir

una variedad de transformadores de diferentes

dimensiones para una misma potencia con

distintas secciones de núcleo, por tanto

diferentes volúmenes de hierro y cobre, se debe

entonces hacer una evaluación de éstos

volúmenes para compararlos y determinar el que

sea más económico para la potencia diseñada.

Para este efecto se parte por hacer una

evaluación de los volúmenes de hierro en un

transformador acorazado convencional.

Fig2-5 Partes de un núcleo acorazado

convencional.

Como se puede apreciar en el diagrama de

volúmenes de hierro, fig. 2-5 y de las

características más usuales de los

transformadores acorazados convencionales se

determina el volumen de hierro :Si a los valores de cobre total a emplear, lo

mismo que a los valores de hierro total

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obtenidos los referimos a peso de cobre y peso

de hierro por un lado.

Y si también hacemos lo propio con los precios

del material a emplearse en el núcleo, podemos

determinar la relación comparar de tal modo que

encontremos el transformador que nos brinde un

optimo rendimiento al menor precio.

  2.6.- Consideraciones para determinar el 

 nucleo ideal 

Con respecto al hierro.-

Al incrementarse las dimensiones del núcleo, se

incrementará necesariamente el costo de hierro,

lo que elevará su costo por lo que se tomará una

ventana de forma cuadrada.

Para la comparación de costos solo se

considerará los incrementos de precio con

relación al incremento de hierro y cobre que se

producirá al variar la sección del núcleo, para

una misma potencia.  2.6.2 Con respecto al cobre.-

Para una determinada potencia la sección del

cobre permanecerá constante, pues ésta depende

de la corriente que debe soportar y de la

densidad de corriente asumida, mientras que al

incrementarse la sección del núcleo se requerirá

un menor número de espiras, así también el

costo del cobre esmaltado a utilizar es en

definitiva un valor variable que se incrementa

por los procesos de estirado que requiere, donde

las secciones más pequeñas tienen un costo

mayor, el punto de equilibrio económico serápropio para una determinada potencia, eso

significa que las constantes de diseño planteadas

para un transformador, de una determinada

potencia no corresponden, necesariamente, a

otro de potencia distinta.

Por ello en el presente trabajo para la

determinación del transformador ideal se plantea

una variedad importante de transformadores

para una misma potencia con valores semejantes

en cuanto a densidades de flujo magnético,

frecuencia eléctrica, y densidad de corriente,

pero con diferentes secciones de núcleo con lasque se efectúa la comparación de cantidad de

hierro y cobre total requeridas para cada una, de

entre las cuales se efectúa la selección de aquella

en la cual la relación del costo del hierro

respecto del cobre sea igual a la relación inversa

del peso del hierro respecto al cobre.

 2.7.0- Determinación de la constante de diseño

  para un transformador acorazado

 convencional.

 2.7.1.- Consideraciones generales.-

De las consideraciones planteadas en los puntos

anteriores: Que la sección del conductor para un

transformador de una determinada potencia

permanecerá constante a lo largo de todo el

cálculo, Que se pueden construir una gran

variedad de transformadores para una misma

potencia con diferentes secciones de núcleo,

que desde el punto de vista de la menor longitud

de circuito magnético y del menor volumen de

hierro para una determinada sección, el núcleo

ideal será aquel que tenga ventanas de forma

cuadrada, que el número de espiras necesarias

para cada uno de estos transformadores variará

de acuerdo a la sección del núcleo. Por tanto, al

permanecer constante en todos estos

transformadores la sección del cobre, el

volumen de cobre variará en razón del número

de espiras necesario en cada caso, y de la

longitud promedio que para cada uno de ellos

adopten las mismas. Determinando los

Volúmenes tanto de hierro como de cobre, se

puede determinar el peso de los mismos, Como

el costo del cobre varía en función a lasdimensiones de su sección, mientras que las del

hierro son virtualmente las mismas, se puede

determinar una razón entre el costo (por peso)

tanto del hierro frente a la del cobre, la misma

que será válida solo para la potencia trabajada,

entonces determinando una razón semejante

entre los pesos tanto de hierro como de cobre, se

puede determinar el núcleo acorazado

convencional ideal para una determinada

potencia, la misma que será aquel que

corresponda su razón de peso de hierro /peso de

cobre, con la razón inversa de costo dehierro/costo de cobre.

 2.7.2.- Determinación del núcleo ideal para un

 transformador de 2000 va de núcleo acorazado

 convencional .

Para construir una tabla que luego permita

efectuar la selección de la más económica, se

empezará por asumir para los cálculos los

valores siguientes:

Para un modelo de: P = 2000 VA, f 60c/s, ß 1

Tesla, δ = 3 x 106 A/m2,V1 220 Voltios, Scu1 

Sección Cu primario, Kcu 1,5.Con estos valores, y para secciones de núcleo

comprendidas entre 0,00419904 (a=0,648) y

0,00429025 (a=0655) m2.

tendremos una tabla de valores para distintos

núcleos entre los que se podrá seleccionar el más

económico, para la potencia que se está

trabajando de 2000 VA, ver anexo 1

  2.7.3.- La relación costo de hierro / costo de

 cobre.

En el mercado podemos encontrar los precios

para el cobre y para las placas de hierro al silicio

de grano no orientado siguientes: .Cu de

sección igual a 3.31 mm2, igual a 3.31x10-6 m2:

Nº12 AWG) 5.185185 dólares americanos el

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Kg. Hierro al silicio al 3% de grano no orientado

2.222222 dólares el Kg.

Entonces el transformador ideal será aquel cuya

relación de peso de Hierro/Peso de Cobre

corresponda a la relación inversa de costo de

Hierro/costo de cobre.

Esta relación es :

5.1851

--------- = 2,3333

2.222

  2.7.4.- Determinación de la constante de

 diseño.

Seleccionando de la tabla aquel que corresponde

a la indicada se pasa a determinar una constante

de diseño que posteriormente nos permita

reconstruir este núcleo ideal.

Entonces de la relación:

p x 1.5

a2 = ----------------------------4,44 x f x ß x K0 x δ x b2 

Remplazando valores y del transformador

seleccionado en la tabla reemplazamos el valor

de “b2” determinamos:

a2 = (2.122305 x10-6

) x (p)

Donde al valor: = 2.122305 x10

-6

le podemosllamar Kd, pues con él podremos reconstruir los

valores para un núcleo acorazado convencional,

a partir de la potencia nominal, y a2 = Sección

bruta del núcleo. Este valor adquirirá diferentes

valores, propios para cada potencia y

condiciones en que se efectúa el diseño.

ESTUDIO DEL NUCLEO DE SECCION

CIRCULAR ACORAZADO

El transformador con núcleo circular acorazado

El núcleo circular acorazado que proponemos

tiene una sección circular y un circuito

magnético de retorno formado por un anillocilíndrico que envuelve a las bobinas por lo que

es un núcleo de circuito magnético envolvente

es decir acorazado. Los criterios para el núcleo

circular acorazado, son semejantes a los

tomados para el acorazado convencional

 3.1..-Seccion transversal del núcleo.-

La sección transversal corresponde al de la

circunferencia de diámetro D y su sección es:

Acircunferencia =π /4 x D

2

  3.2.- Factor de escalonamiento k g:

Como ya se determino es de:

Kg = 0,7853975.

 3.3.- Factor global de utilizacion del hierro k o 

Para el núcleo circular acorazado corresponde:

Ko = Kg x Ke 

Asumiendo un factor de empilamiento 0,93:

Ko = 0,73

 3.4.- Coeficiente de plenitud del hierro

Para el caso del Núcleo circular acorazado que

se propone este factor es:fp = 1,000

  3.5- Calculo del espesor de la pared circular

externa dr.

Determinada la sección transversal del núcleo

circular acorazado se requiere determinar el

espesor de la capa o pared externa de núcleo que

constituyen el circuito magnético de retorno.Para esto empezaremos por hacer una

comparación entre las proporciones que se

presentan en un núcleo acorazado convencional

a este respecto:

Comparando las proporciones que se mantiene

entre un núcleo tipo anillo y uno acorazado.

Fig. 3-1 relación entre el núcleo y el circuito de

retorno en núcleos de distinto tipo

Del gráfico se puede apreciar que la sección

transversal del núcleo se reparte en el caso del

transformador acorazado entre las dos piernas

laterales (yugos) que posee para cerrar el

circuito magnético, la sección transversal de

estos yugos son a/2 (la mitad de la sección

Fig 3-1

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transversal) de tal modo que la sección total de

retorno es igual a la sección del núcleo,

haciendo la misma analogía para el

transformador circular acorazado tendremos lo

siguiente:

Fig 3-2 gráfico de un núcleo acorazado circular

Como se puede apreciar para recuperar con las

mismas características el flujo magnético

tendremos también que mantener el área de la

sección transversal del núcleo circular acorazado

igual al área correspondiente al espesor de las

paredes externas

Para efectos comparativos plantearemos

condiciones semejantes al anterior, es decir deun núcleo cuya ventana sea cuadrada.

Si se denomina por Ao al área de la sección de

la pared externa que cierra el circuito magnético,

donde r = radio de la sección del núcleo, b=

ancho de la ventana, dr = al espesor del anillo

que cierra el circuito magnético. manteniendo

las proporciones del núcleo acorazado se puede

hacer la comparación:

A0 = Sn

Toda vez que permitirá también mantener la

correspondencia de material magnético entre lasección transversal del núcleo y las que requiera

para el retorno de las correspondientes líneas de

fuerza

Como Sn = πr2 

y:

A0 = Acex - Acint 

Donde Acex es el área de la circunferencia

externa = πrx2, y rx = r+b+dr donde “b” es el

ancho de la ventana, y. Acint es el área de la

circunferencia interna = π(r+b)2 . 

A0 = Acext - Acint 

Reemplazando y simplificando:

Entonces se tiene:

πr2 = πrx2 - π(r+b)2 

donde:

rx= (r2 + (r+b)2 )1/2 

y como:

rx= r + b + dr

dr = (r2

+ (r+b)2

)1/2

- r - bIgual al espesor de la pared externa.

 3.6.- Calculo de r

Como:

Sbnc = πr2 

r = ( Sbnc/ π)0.5

  3.7- Calculo del volumen de hierro de un

 nucleo circular acorazado.

Utilizando el mismo criterio anterior de

construir una variedad de transformadores de

diferentes dimensiones para una misma potencia

se desarrollará entonces una evaluación de los

volúmenes de hierro para luego poder hacer la

comparación y determinar el que sea más

económico para la potencia determinada.

Partiendo por hacer una evaluación de los

volúmenes de hierro en un transformador

circular acorazado. Por lo que se planteará un

esquema que permita evaluar éstos volúmenes.

Fig 3-3 Volúmenes de hierro del núcleo circular

acorazado

Como se puede apreciar en el diagrama de

volúmenes de hierro de un núcleo circular

acorazado se tiene que: V1 Es el volumen dehierro consecuencia de la sección circular del

núcleo (Sección bruta del núcleo) multiplicada

r= radiode la

seccióndelnúcleo.rx= radiototaldr=espesor

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por la altura “b” de la ventana que alojará a las

bobinas y sus respectivos aislamientos, la

porción de circuito magnético que une la pierna

central con las laterales, que en este caso

envuelven a las bobinas tiene un área igual al

radio rx elevada al cuadrado por la constante pi,

el volumen del anillo cilíndrico que forma elcircuito magnético de retorno de las líneas de

fuerza, ofrecerá una sección transversal igual a

la sección transversal del núcleo.

 3.8.- Determinación del volumen de hierro

Con estas consideraciones se puede apreciar

que:

V1 = π x r2 x b

V2 = π x rx2 x dr 

Donde dr = rx - r - b

V3 = Va - Vb 

donde

Va = π x rx2 x (b)

Vb = π x (r+b)2 x (b)

entonces:

V3 = πb (rx2 - (r+b)2 )

Del esquema de volúmenes de hierro en un

núcleo circular acorazado podemos apreciar que

el volumen total de hierro es:

Vt = V1 + 2 V2 + V3 

Reemplazando y simplificando tenemos:

Vt = π(2rx3 - (rx2+b2)(2r+b))

Volumen total de hierro para un núcleo circular

acorazado.

 3.9.- Cálculo del peso del hierro.

Para determinar el peso del hierro a utilizar, se

procederá a multiplicar el Volumen total de

hierro por el peso específico en este caso del

hierro al Silicio al 3,5% de 0,025 - 0,4 mm de

espesor, laminado en frío que se utilizará.

Para el presente caso se tiene:

Hierro al Silicio al 3% laminado en frío 7870

Kg/m3.  3.10.- Calculo de la longitud promedio del 

 circuito magnético.-

Fig 3-4 longitud promedio del circuito 

Como se trata de un núcleo circular acorazado la

longitud promedio del circuito magnético

(Lmm) es la que corresponde a la de un lado,

como se muestra en la figura :

magnético del núcleo circular acorazado

Esta longitud promedio será entonces:

Lmm = 2( b + r

x

 /2 + r) + 2( r

x

 /2 + b +r

x

 /2 )

Lmm = 4b + 3rx + 2r.

  3.11.- Consideraciones sobre el volumen de

 cobre

Como en todo transformador ideal la potencia

primaria es igual a la potencia en el secundario y

las ventanas deben alojar a las espiras de ambos

bobinados considerando una misma densidad de

corriente tanto se tiene:

que: N1 Scu1 = N2 Scu2 

Donde Scu1 y Scu2 dependen de I1 e I2, se

puede considerar que los volúmenes de cobrepara ambos bobinados son iguales

Como la ventana debe alojar a ambos bobinados

se puede considerar:

Aventana = Av = 2 N Scu Kcu 

Donde Kcu es una constante que nos da la

proporcionalidad para alojar a los dos bobinados

más los correspondientes aislamientos.

Asumiendo un valor para Kcu de 1,5.

Luego se podrán construir una gran variedad de

transformadores de diferentes secciones de

núcleo y por tanto de diferente número deespiras para una determinada potencia.

Por esta razón, para esta misma potencia el

volumen de cobre en cada uno de estos

transformadores será diferente y variará en razón

de la longitud del circuito magnético y el

número de espiras, como se ha podido apreciar

que el menor circuito magnético se tiene para

una ventana cuadrada, se asume en todos los

cálculos una ventana cuadrada

  3.12.- Consideraciones sobre el volumen de

 cobre

En el presente caso las espiras envolverán alnúcleo de sección circular pues ambas son de la

misma forma.

3.13.- Determinación de la longitud promedio de

las espiras:

Considerando el caso de bobinas superpuestas

formarán bobinas de distinta longitud, para

determinar la longitud promedio tomaremos la

longitud L1 de la bobina más pequeña y L2 que

corresponde a la bobina mayor

Entonces

L1 = D x π 

y la longitud de la espira mayor será:

L2 = π (D + 2b)

La longitud promedio será entonces:

5/9/2018 204 Nucleo Circular Acorazado Ok - slidepdf.com

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Lm = (L1 + L2)/2

Obteniendo:

Lm = π (D + b)

donde: D es el diámetro bruto del núcleo.

 3.14.- Determinación de la sección del cobre:

Para poder determinar la sección del conductor

se selecciona el bobinado al que se referirá, y lapotencia nominal para la cual se diseña el

transformador.

También se debe asumir la densidad de corriente

δ a la que trabajarán los bobinados del

transformador.

Como: I = PN /V

Entonces la sección del cobre será:

I

Scu = ----

δ 

3.15.- Determinación del numero de espiras:

De la relación:

E = 4,44 x f x N x SN x ß

Tomando como referencia una de las bobinas y

asumiendo según las características del material

empleado en el núcleo un determinado valor de

ß, y al conocerse el valor de la frecuencia

eléctrica de trabajo se puede determinar los

valores de N para diferentes valores de SN.

En este caso SN será la sección neta o útil del

núcleo.

 3.16.- Determinación del volumen de cobre:

De las consideraciones indicadas, el volumen de

cobre total es:

Vcu.t = 2 x N x Scu x Lm 

 3.17.- Determinación del peso del cobre:

Para determinar el peso del cobre se procederá

de manera análoga a la determinación del peso

del hierro, multiplicando el Volumen total del

cobre por el peso específico del cobre.

Para el presente caso se tiene:

Cobre electrolítico 99 % puro 8960 Kg/m3

  3.18.- Determinación del núcleo circular

  acorazado mas optimo para la potencia de diseño

Para determinar el núcleo circular acorazado

más optimo para la potencia de diseño de 2000

VA planteada se realizará el cálculo de una serie

de transformadores de núcleo circular

acorazado de diferentes secciones de núcleo para

la misma potencia, manteniendo en lo posible

las características del caso anterior, entre los

cuales se podrá hacer la selección del más

óptimo.

  3.18.1.- Determinación del núcleo circular

 acorazado para 2000 va.Para construir una tabla que luego permita

efectuar la selección de la más económica, se

asumirá los valores mismos valores del modelo

acorazado convencional siguientes: P = 2000

VA, f = 60 c/s, ß = 1 Tesla, δ = 3 x 106 A/m2,

V1 = 220 Voltios, Scu1 = Sección Cu primario,

Kcu = 1,5

Reemplazando estos valores en las fórmulas

anteriores, y para secciones de núcleocomprendidas entre 0,005595 (D= 0.084403m) y

0,005822 (D=0,086095m) m2.

Tendremos la tabla de valores para distintos

núcleos entre los que se podrá seleccionar el más

económico, para la potencia que se está

trabajando de 2000 VA, ver anexo 2.

 3.18.2 determinación de la constante de diseño

Para determinar la constante de diseño y

reconstruir el transformador optimo y

determinada la relación de costo de hierro / 

costo de cobre.A) La relación costo de hierro / costo de cobre.

Como se ha determinado esta relación es:

2,3333

B) Determinación de la constante de diseño.

Seleccionando de la tabla aquel que corresponde

a la indicada se pasa a determinar la constante

de diseño.

Entonces de la relación:

P1 = U1 x I1 

donde:

U1 = La tensión nominal en el primario

I1 = La intensidad nominal en el primario

Como también se tiene que la Intensidad es igual

al producto de la densidad de corriente δ en

Amp/m2 por la sección del conductor, primario

donde, Scu1 en m2 

Reemplazando se tiene:

P = 4,44 x f x ß x Sn x δ x (N x Scu)

P = 2,22 x f x ß x Sn x δ x (2 x N x Scu)

Como:

Sn = K0

x D2 y b2 = Av

= 2 x N x Scu

x Kcu

 

tendremos:

P x Kcu 

D2 = ------------------------------

2,22 x f x ß x K0 x δ x b2 

Del transformador seleccionado en la tabla

reemplazamos el valor de “b2” y determinamos:

D = (3.6085105 x10-6 )0.5 x (p)0.5 

D = (1.899608 x10-3 ) x (p)0.5 

Donde a : 1.899608 x10-3 le podemos llamar

Kd, pues con él podremos reconstruir los valorespara un núcleo circular acorazado, a partir de la

potencia nominal, y D2 = Diámetro de la

Sección bruta del núcleo.

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Este valor adquirirá diferentes valores, propios

para cada potencia y condiciones en que se

efectúa el diseño.

  3.19.- Acondicionamiento de refrigeración

 forzada.

En los núcleos convencionales el área más

crítica, ha sido la pierna central sobre la que se

acomodan las bobinas, pues al estar envueltas

por las bobinas, no tienen oportunidad de

contacto con el medio ambiente. El núcleo

circular acorazado permite brindar refrigeración

forzada esta área. En este caso se puede

proceder a efectuar un taladro central, para

acondicionar mecanismos de refrigeración

forzada como la circulación de agua, en este

caso se debe tener en cuenta para efectos de

cálculos de los parámetros pertinentes, las

nuevas dimensiones que mantengan la misma

sección del núcleo.El núcleo circular acorazado al brindarnos esta

posibilidad, permitirá elevar la densidad de

corriente a la que funcionan los transformadores.

 3.20.- Detalles constructivos.

En su construcción se deberá tener en cuenta que

la disposición de las laminas estén en

concordancia con la orientación de las líneas de

fuerza electromagnética.

Así mismo en el corte de las chapas se debe

buscar evitar la generación de desperdicios que

incrementen su costo.

EVALUACIÓN DE RESULTADOS 4.1. Longitud del circuito magnético.

Tomando en ambos casos, formas cuadradas de

ventanas, con longitudes de circuito magnético

lo más cortas posible.

Para el núcleo acorazado convencional es:

Lmm = 0,3373167 mts.

Y para el caso del núcleo circular acorazado:

Lmm = 0,26833 mts.

Obteniéndose una longitud de circuito

magnético 20,4561121 % menor en el caso del

núcleo circular acorazado.

 4.2.- Peso del hierro.-.Al multiplicarse el volumen de hierro por el

peso específico del material empleado se

obtuvo:

Wfe = 10,18 Kg. en el caso del acorazado

convencional y

Wfe = 7,66944 Kg en el caso del circular

acorazado

Que equivale al 75,333831 % del primer caso.

Obteniéndose un ahorro del 24,6662 % de

ahorro en hierro en el caso del núcleo circular

acorazado.

 4.3.- Peso del cobre.-

Al multiplicarse el volumen de cobre por su

peso específico se obtuvo:

Wcu = 4,3633 Kg. en el caso del acorazado

convencional y

Wcu = 3,28034 Kg en el caso del circular

acorazado

Que equivale al 75,1802534778 % del primero.

Obteniéndose un ahorro del 24,8197465222 %

de ahorro en cobre en núcleo circular acorazado

 4.4.- Pérdidas por corrientes de foucaultEn el núcleo acorazado convencional se

obtuvo:

Nw = 2.0381276 vatios.

Mientras que en el acorazado convencional

correspondió: 1,54 vatios

La última cifra corresponde al 75,5596% del

primero, por tanto se obtuvo un 24,4404 %

menos de pérdidas por este motivo en el núcleo

circular acorazado.

CONCLUSIONES

1 Se ha determinado que en el diseño detransformadores el circuito magnético más corto

se obtiene cuando las ventanas son cuadradas.

2.Efectuadas las comparaciones en un modelo

de 2000 VA se ha determinado un ahorro de

1.082928 Kg. De cobre en el transformador de

núcleo circular acorazado lo que significa un

ahorro de 24,819 % frente a uno acorazado

convencional.

3. De manera análoga en el mismo modelo se ha

determinado un ahorro de 2, 510297 Kg. De

hierro en núcleo circular acorazado, que

significa un ahorro del 24,659752%4. El coeficiente de utilización del hierro ha sido

incrementado de 0,465 que corresponde a un

núcleo de sección cuadrada a 0,73 en (el

máximo a alcanzar) el caso del circular

acorazado.

5. El coeficiente de plenitud del hierro en el

núcleo circular acorazado alcanza el valor

máximo posible de obtener igual a la unidad.

6. Al poseer el núcleo circular acorazado mayor

área de núcleo expuesta al medio ambiente tiene

mayor facilidad de refrigeración natural.

7. En el núcleo circular acorazado es posibleacondicionar refrigeración forzada en el núcleo

donde se acomodan las espiras que no es posible

en los convencionales.

8. En el núcleo circular acorazado, las espiras

mantienen correspondencia con la forma circular

de las espiras, por tanto no se forman puntas

mejorando las condiciones de funcionamiento de

los aislantes.

9. Al no tener aristas en el transformador con

núcleo circular acorazado encuentra una

distribución equitativa a lo largo de toda la

superficie del núcleo de las tensiones dinámicas

reduciéndose sus efectos perjudiciales.