20219571-Funciones-en-2-y-3-Variables.pdf

8/18/2019 20219571-Funciones-en-2-y-3-Variables.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/20219571-funciones-en-2-y-3-variablespdf 1/27

M.C. Óscar Ruiz ChávezApuntes de Cálculo III

1

FUNCIONES EN 2 O 3 VARIABLES

CÁLCULO DIFERENCIAL

el gradiente es normal a las curvas de nivel plano tangente y recta normal

Mt ro . Óscar Ru iz Chávez

Univers idad Autónom a de Ciudad Juárez




2

INDICE

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES _____________________ 3

FUNCIONES DE 2 VARIABLES _________________________________________ 4

Gráfica de funciones de 2 variables ___________________________________________ 5 Límites y Continuidad ______________________________________________________ 6

Derivadas parciales _______________________________________________________ 10

Diferencial total __________________________________________________________ 12

Regla de la cadena _______________________________________________________ 13

Derivación parcial implícita _________________________________________________ 16

DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE _______________________________ 17

Derivada direccional ______________________________________________________ 17

Gradiente _______________________________________________________________ 17 Derivada direccional y gradiente para funciones de tres variables ___________________ 18

PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA SUPERFICIE _______________ 19

EXTREMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES _______________________ 20

Puntos críticos ___________________________________________________________ 20

Criterio de las segundas derivadas parciales ___________________________________ 20

Aplicaciones de los extremos de funciones de dos variables _______________________ 21

Multiplicadores de Lagrange ________________________________________________ 23




3

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

En los cursos anteriores de Cálculo, hemos trabajado exclusivamente confunciones de una variable, de la forma ( ) y f x , con una variable dependiente y

(la salida o resultado de la función) y una variable independiente x (los valoresde entrada). Incluso, hemos definido funciones como ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k que, aunque su resultado sea un vector en el espacio, dependen de una solavariable t .

En la vida real existen muchas más problemas que dependen de susolución de dos o más variables. Por ejemplo, la presión que ejerce un fluidosobre las paredes del recipiente que lo contiene depende de la cantidad ytemperatura del fluido y del volumen del recipiente. La fuerza de atracción dedos cuerpos en el espacio depende de la masa de cada uno de ellos y de ladistancia entre ambos. El rendimiento real de una inversión depende del tipo y la

tasa de interés, del capital inicial, del plazo, incluso del porcentaje de inflación yde la fluctuación de la moneda en la que esté hecha la inversión.

Supongamos que queremos calcular el volumen de un recipiente enforma de cilindro circular recto. Por nuestros cursos de geometría sabemos queel volumen es igual al producto del área de la base y de la altura, esto es

Volumen área de la base altura

Conocemos la forma del recipiente mas no sus medidas, puede ser que labase sea grande y tenga poca altura (como un estuche para discos) o de base

pequeña y gran altura (como para guardar spaghetti) o cualquier combinación demedidas. Por lo pronto tenemos tres incógnitas, el volumen, el área de la base y

la altura. Para la base, un círculo, el área depende del radio 2 A r , y si

consideramos una variable h para la altura y otra variable V para el volumen,tenemos que

La variable V depende de los valores que tengan r y h ( es constante).

En otra palabras, el valor de V está en función de los valores de r y h

2,V f r h r h

2área de la base alturaV r h




4

V es la variable dependiente mientras que r y h son independientes.

La letra f representa la función o regla de correspondencia de la varia-ble dependiente con respecto a las variables independientes, la expresión 2r h es la representación algebraica de la función. Podemos construir una tabla de

valores o dibujar una gráfica para visualizar la función.

Valtura h

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

r

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00.5 0.0 0.39 0.79 1.18 1.57 1.96 2.361.0 0.0 1.57 3.14 4.71 6.28 7.85 9.421.5 0.0 3.53 7.07 10.60 14.14 17.67 21.212.0 0.0 6.28 12.57 18.85 25.13 31.42 37.702.5 0.0 9.82 19.63 29.45 39.27 49.09 58.90

3.0 0.0 14.14 28.27 42.41 56.55 70.69 84.82

Tabla de valores y gráfica de V =f (h,r ) = r 2h

FUNCIONES DE 2 VARIABLES

Definición:

Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales ( x,y). Si a cadapar en D le correponde un único número real ( , ) f x y entonces f es una función

de dos variables x e y. Al conjunto D se le denomina el dominio de f mientras

que el conjunto de valores ( , ) f x y es el recorrido de f .Por lo que podemos en la definición, f es una regla que relaciona las

variables independientes x e y con una variable dependiente, por ejemplo, z.El dominio D de f , es el conjunto de todos los pares ordenados ( , ) x y que hacenque tenga sentido dicha regla ( una región en el plano xy ). El recorrido es elconjunto de todos los valores que puede tomar la variable dependiente una vezaplicada la regla f a los puntos en D.

Como ejemplo, tomemos la función

2 2

( , ) 16 4 f x y x y ,

el dominio de f son todos los puntos del plano xy que cumplancon la condición 2 216 4 0 x y .

El dominio entonces, es el conjunto de todos los puntos de la

elipse2 2

14 16

x y ó de su interior. Dominio de f




5

El recorrido de f es el conjunto de los valores en el intervalo 0,4 .

La gráfica de la función son todos los puntos , , , x y f x y de la superficie

en el espacio2 2 2

14 16 16

x y z , sobre el plano

xy. ( para z de 0 a 4 )

elipsoide

Gráfica de funciones de 2 variables

La gráfica de la función de dos variables f son todos los puntos , , x y z

de una superficie en el espacio donde , z f x y .

Para esbozar la superficie nos es útil conocer el domino y el recorrido dela función, dibujar las trazas de la superficie en los planos coordenados (siexisten) y algunas curvas de nivel o líneas de contorno.

Tomando el ejemplo anterior 2 2( , ) 16 4 f x y x y , el dominio de f son

todos los puntos , x y de la elipse y dentro de ella. El recorrido son los valores

para z entre cero y cuatro. Las trazas en los planos coordenados:

Plano ecuacion traza

xy 2 20 16 4 x y

2 2

14 16

x y elipse

xz 216 4 z x 2 2

14 16

x z elipse

xy 216 z y 2 2 16 y z semicírculo

2 20 16 4 x y Las curvas de nivel

2 21 16 4 x y

2 22 16 4 x y

2 23 16 4 x y , etc.

-1 -0.5 0 0.5 1

-2

-1

0

1

2




6

Tambien podemos encontrar las coordenadas de algunos de los puntosde la superficie por medio de una tabla.

f(x,y) y

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0NA -2.0 NA 1.732 2.828 3.317 3.464 3.317 2.828 1.732

-1.5 NA 2.179 3.122 3.571 3.708 3.571 3.122 2.179 NA

-1.0 NA 2.449 3.317 3.742 3.873 3.742 3.317 2.449 NA

-0.5 NA 2.598 3.428 3.841 3.969 3.841 3.428 2.598 NA

x 0.0 0 2.646 3.464 3.873 4.000 3.873 3.464 2.646 0

0.5 NA 2.598 3.428 3.841 3.969 3.841 3.428 2.598 NA

1.0 NA 2.449 3.317 3.742 3.873 3.742 3.317 2.449 NA

1.5 NA 2.179 3.122 3.571 3.708 3.571 3.122 2.179 NA

2.0 NA 1.732 2.828 3.317 3.464 3.317 2.828 1.732 NA

Tabla de valores y gráfica de 2 2( , ) 16 4 f x y x y

En la tabla podemos observar que el máximo valor de la función seobtiene cuendo ambos x e y valen cero. 0,0 4.0 f . Esto lo comprobamos

viendo la gráfica. En los cuadros donde aparece la leyenda NA la función notiene ningún valor, esos puntos , x y no pertenecen al dominio de f .

Límites y Continuidad

Sea f una función de dos variables definida en un disco abierto centradoen 0 0, x y , excepto quizás en el punto 0 0, x y , y sea L un número real.

Entonces la función tiene un límite L en el punto 0 0, x y , escrito

0 0, ,

,lim x y x y

f x y L

,

si la diferencia , f x y L es tan pequeña como se quiera siempre que la

distancia entre el punto , x y y el punto 0 0, x y sea suficientemente pequeña,

pero no cero.




7

Ejemplo 1: Encuentre los siguientes limites

2

2, 1,2lim

x y

x y

x y

y

, 0,

cos

coslim

x y

x y

y x

Solución:

Al igual que los limites en las funciones de una variable, el primer paso essustituir las variables por los valores a los que tienden y evaluar. Si no quedaninguna inconsitencia o indefinicion, el limite existe y es igual al valor obtenido.

2 2

2 2, 1,2

1 2 1 1

1 2 3 3lim x y

x y

x y

y

, 0,

cos 0 cos 00

cos cos 0lim

x y

x y

y x

Ambos limites existen

Ejemplo 2: Sean las funciones 2

2 2,

x y f x y

x y

y 2 2

, xy

g x y x y

Ambas funciones están definidas para todos los puntos del plano xy, exceptopara el 0,0 . Calcule, si es que existe, el límite de cada función cuando

, 0,0 x y .

Solución:

El limite de la funcion 2 2,

xy f x y

x y

cuando , 0,0 x y

Sustituyendo:

2

2 2, 0,0

0

0lim x y

x y

x y

lo cual no nos dice mucho (resulta una indeterminación).

Tendremos que “acercarnos” al 0,0 tomando algun camino en el plano xy. Por

ejemplo, nos acercaremos sobre el eje x ( haciendo que 0 y y que 0 x )

2

2 2 2, 0,0 , 0,0 , 0,0 , 0,0

0 0,0 0 0

0lim lim lim lim

x y x y x y x y

x f x

x x

ahora, nos acercamos sobre el eje y ( haciendo que 0 y

y que 0 x

)

2

2 2 2, 0,0 , 0,0 , 0,0 , 0,0

0 00, 0 0

0lim lim lim lim

x y x y x y x y

y f y

y y

Existen solo esos dos caminos? Claro que no, cualquier recta en el plano quepase por el origen es un camino, o sea una recta con ecuación y mx .




8

2 2

22, 0,0 , 0,0 , 0,0

,lim lim lim x y x y x y

x mx x f x mx

x mx

2

mx

x

2 22

, 0,0

00

1 11lim

x y

mmx

m mm

para cualquier m Esto nos indica que, al acercarnos al 0,0 por todos

lados, la función tiende a cero. Por lo tanto, el límite

existe y es

2

2 2, 0,0

0lim x y

x y

x y

3 caminos para acercarnos al (0,0)

Vista superior y curvas de nivel de la superficie

2

2 2,

x y f x y

x y

Ahora tratemos de calcular el limite de 2 2, xy g x y

x y

cuando , 0,0 x y

Sustituyendo:

2 2

, 0,0

0

0lim

x y

xy

x y

(una indeterminación).

acercándonos sobre el eje x ( 0 y y 0 x )

2 2 2

, 0,0 , 0,0 , 0,0 , 0,0

0 0,0 0 0

0lim lim lim lim x y x y x y x y

x f x

x x

ahora sobre el eje y ( 0 y y 0 x )

2 2 2

, 0,0 , 0,0 , 0,0 , 0,0

0 00, 0 0

0lim lim lim lim x y x y x y x y

y f y

y y

Parece ser similar a la función anterior. Tomemos ahora la recta y mx .

2

22, 0,0 , 0,0 , 0,0


x mx m x f x mx

x mx

2 x

2 22, 0,0 1 11lim

x y

m m

m mm

xPor la recta x

Por la recta y

por la recta=x




9

Ya no resultó cero como en los límites anteriores.

Si los caminos para acercarse al origen son las rectas y x ó y x entoncesel límite quedaría:

2

22, 0 ,0 , 0 ,0 , 0 ,0


x x x f x x

x x

2

x , 0,0

1 1

2 22

lim x y

ó

2

22, 0,0 , 0,0 , 0,0


x x x f x x

x x

2 x , 0,0

1 1

2 22lim

x y

Al principio, cuando nos acercamos al origen por los ejes coordenados pareceque el limite si existe y que tiende a cero. Pero cuando tomamos otros caminosdentro del disco R nos damos cuenta que los valores del límite varían en el

intervalo 1 1,

2 2

Esto claramente nos indica que

2 2, 0,0lim

x y

xy

x y

no existe.

Vista superior e inferior y curvas de nivel de la superficie

2 2,

xy f x y

x y

Continuidad en una función de dos variables

Una funcion de dos variables , f x y es continua en un punto 0 0, x y de una

región abierta R del dominio de f , si existe el limite de f cuando tiende a 0 0, x y

y, además, el límite es igual a 0 0, f x y . O sea que

0 0

0 0, ,

, ,lim x y x y

f x y f x y

y es continua en una región abierta R si f es continua en cada uno de lospuntos de esa región.




10

Continuidad en una función de tres variables

Una funcion de tres variables , , f x y z es continua en un punto 0 0 0, , x y z de

una región abierta R del dominio de f , si existe el limite de f cuando tiende a 0 0 0

, , x y z y, además, el límite es igual a 0 0 0, , f x y z . O sea que

0 0 0

0 0 0, , , ,

, , , ,lim x y z x y z

f x y z f x y z

y es continua en una región abierta R si f es continua en cada uno de lospuntos de esa región.

Si f y g son funciones de dos variables continuas en 0 0, x y y k entonces

kf (múltiplo escalar), f g (suma/resta), fg (producto) y / , , 0o o

f g si g x y

(cociente) son funciones continuas en 0 0, x y . Las mismas reglas aplican para

funciones de tres variables continuas en el punto 0 0 0, , x y z .

Derivadas parciales

En la vida real, muchas cantidades son funciones de dos o más variables.Por ejemplo, la presión que ejerce un gas sobre las paredes del recipiente que locontiene dependen de la temperatura del gas y del tamaño del recipiente.

Sabemos, por los cursos de Física, que la presión dentro del recipientecrece si aumentamos la temperatura del gas y disminuye si incrementamos eltamaño del recipiente.

Ley de Gay Lussac: La presión del gas es directamente proporcional a su temperatura:•Si aumentamos la temperatura, aumentará la presión. •Si disminuimos la temperatura, disminuirá la presión.

La ley de Boyle establece que la presión de un gas en un recipiente cerrado es inversamenteproporcional al volumen del recipiente, cuando la temperatura es constante

Ley de Charles: El volumen es directamente proporcional a la temperatura del gas

•Si la temperatura aumenta, el volumen del gas aumenta.•Si la temperatura del gas disminuye, el volumen disminuye.

Podemos, incluso, determinar el efecto que ejerce el cambio de alguna delas variables independientes manteniendo fijas las otras variables queintervienen en la función. Esto lo logramos mediante un procedimientodenominado derivación parcial.




11

Derivadas parciales de una función de dos variables

Sea , z f x y una función de las variables x e y continua en el punto 0 0, x y

1. Si incrementamos x de0

x a0 x x mientras mantenemos fija y en

0 y , la

razón de cambio de f con respecto a x es: 0 0 0 0, , f x x y f x y

x

.

Haciendo x tan pequeño como sea posible tendremos la derivada

parcial de f con respecto a x en cualquier punto , x y de su dominio

0

, ,, lim

x x

f x x y f x y f x y

x

2. Si incrementamos y de0

y a0

y y mientras mantenemos fija x en0 x , la

razón de cambio de f con respecto a y es: 0 0 0 0

, , f x y y f x y

x

.

Haciendo y tan pequeño como sea posible tendremos la derivada

parcial de f con respecto a y en cualquier punto , x y de su dominio

0

, ,, lim y

y

f x y y f x y f x y

x

Ejemplo: Encuentre el valor de las derivadas parciales de la función

, x

f x y y

en el punto 2,1,2 P

Solución:

Para derivar f con respecto a x, consideramos a y como una constante:

1 1,

x

d f x y x

y dx y : en 2,1,2 P : 2,1 1 x f

Para derivar f con respecto a y, consideramos a x como una constante:

2 2

1 1, y

d x f x y x x

dy y y y

: en 2,1,2 P : 2,1 2

y f

La función , x

f x y y

intersectada por los planos 2 x y 1 y




12

Diferencial total

En el curso de cálculo diferencial en funciones de una variable y f x ,

se vió que cuando x cambia de0 x a

0 x x entonces f cambia de la forma

siguiente

0 0 f y f x x f x y la diferencial de f queda como

0´( )df f x x

En una función de dos variables , z f x y , diferenciable en 0 0, x y ,

cuando nos movemos a un punto cercano 0 0, x x y y , el cambio en f es

0 0 0 0, , f z f x x y y f x y

y la diferencial de f queda como

0 0 0 0( , ) ( , ) x ydf f x y x f x y y

cuando x y y son muy pequeños podemos considerar que 0dx x x x y

0dy y y y lo cual nos permite tener una definición para la diferencial total

de f :

Definición: Para una función , z f x y diferenciable en 0 0, x y , si nos

movemos de 0 0, x y a un punto 0 0, x x y y cercano, el cambio en f se

conoce como la diferencial total de f y está dado por

0 0 0 0( , ) ( , )

x ydf dz f x y dx f x y dy

Ejemplo:

Se fabrica una lata de forma de un cilindro circularrecto con las siguientes medidas: radio de la base 5r cmy altura de la lata 15h cm. Una vez realizado el corte seobservó que las medidas tenían un error de 0.02dr y

0.08dh . Estimar el cambio absoluto y el error relativoen el volumen de la lata.

Solución: Para calcular el volumen de la lata usamos 2

,V f r h r h . Elcambio absoluto en V lo estimamos mediante

0 0 0 0, ,r hV dV V r h dr V r h dh

donde 2r

V rh y 2

hV r

h=15 cm

r= 5 cm




13

22

0 0 0

3 3

2 2 5 15 0.02 5 0.08

3 2 3.14

dV r h dr r dh

cm cm

Nota: dV es una estimación al cambio real V que lo obtenemos mediante

0 0 0 0

2 2 3

, , 5 0.02,15 0.08 5,15

5.02,14.92 5,15 5.02 14.92 5 15 0.989968

V f r r h h f r h f f

f f cm

El cambio total es el valor del error absoluto en el volúmen. (alrededor de3 cm3). Pero, ¿qué representan esos 3 cm3 comparados con el volúmen de lalata? Si comparamos el error absoluto con el volumen esperado entoncestendremos el error relativo .

Error relativo

0 0

0.002667 0.26667%

, 375

dV

f r h

En funciones de tres variables , ,w f x y z direnciables en 0 0 0, , x y z , la

diferencial total de f es

0 0 0 0 0 0 0 0 0( , , ) ( , , ) ( , , )

x y z df dw f x y z dx f x y z dy f x y z dz

Regla de la cadena

En una función de una variable y f x con derivada dydx

, si x g t es

diferenciable en t entonces y se convierte en una función de t y su derivadaqueda como

(regla de la cadena)dy dy dx

dt dx dt

En funciones de dos variables , z f x y , la regla de la cadena tiene dos

formas. La primera es cuando las dos variables de z son, a su vez, funciones

de una misma variable independiente t . ( ) x g t y ( ) y h t lo cual hace a z unafunción de t con derivada

, (́ ) , (́ ) + x y

dz z dx z dy f x y g t f x y h t

dt x dt y dt

y x tdy/dx dx/dt

y

t

dz/dxdx/dt

x

z

dz/dydy/dt




14

Ejemplo:

Sea 2 2 z x y , donde cos x t y t y e . Calcule

dz

dt

Solución:

Las derivadas parciales de z son:

2 2

z x

x x y

y

2 2

z y

y x y

,

mientras que las derivadas de x e y con respecto a t quedan:

sendx

t dt

, t dye

dt

Por la regla de la cadena, la derivada de z con respecto a t :

2 2 2 2

2 2

+ sen

sen

t

t

dz z dx z dy x yt e

dt x dt y dt x y x y

x t ye

x y

sustituyendo x e y:

2

2 2 2 2

sen cos sen

cos

t t

t

dz x t ye t t e

dt x y t e

Tambien podemos primero sustituir y despues derivar:

2 2 2 2cos

t z x y t e

1 2

2 2 22

2 2

1 cos sencos 2cos sen 2

2 cos

t t t

t

dz t t et e t t e

dt t e

La segunda forma de la regla de la cadena es cuando las variables intermediasson funciones de dos ( o mas ) variables independientes.




15

Sea , z f x y , donde x e y son funciones de las variables independien-

tes s y t . ( , ) x g s t y ( , ) y h s t . Las derivadas parciales de z con respecto a s yt , por la regla de la cadena, estan dadas por:

, ( , ) , ( , ) + x s y s

z z x z y

f x y g s t f x y h s t s x s y s

y

, ( , ) , ( , ) + x t y t

z z x z y f x y g s t f x y h s t

t x t y t

Regla de la cadena: dos variables independientes

y

s

dz/dx dx/dsx

z

dz/dy dy/ds

y

t

dz/dxdx/dt

x

z

dz/dydy/dt

Ejemplo:

Hallar z

s

y

z

s

mediante la regla de la cadena para 2 2 z x y , cos x s t ,

sen y s t y evaluarlas para 2,4

s t

.

Solucion:

Calculamos las derivadas parciales de z, x e y:

2 , 2 ,

cos , sen ,

sen , cos ,

z z x y

x y

x xt s t

s t

y yt s t

s t

aplicando la regla de la cadena:

+ 2 cos 2 sen 2 cos sen z z x z y

x t y t x t y t s x s y s

y

+ 2 sen 2 cos 2 sen cos z z x z y

x s t y s t s x t y t t x t y t




16

evaluamos para 2,4

s t

2 22cos 2 2, 2sen 2 2

4 2 4 2 x y

2 22 cos sen 2 2 cos 2 sen 2 2 2 04 4 2 2

z x t y t s

2 sen cos 2 2 2 sen 2 cos4 4

2 2 4 2 2 8

2 2

z s x t y t

t

Otra manera de obtener las derivadas parciales es sustituyendo lasvariables intermedias x e y de z por sus equivalentes en s y t y derivar z .

2 22 2 2 2 2cos sen cos sen z x y s t s t s t t ,

2 22 cos sen 2 cos 2 , z

s t t s t s

2 22cos sen 2sen cos 2 sen 2 z

s t t t t s t t

para 2,4

s t

2 cos 2 2 2 cos 02

z s t

s

,

222 sen 2 2 2 sen 82

z s t

t

Derivación parcial implícita

Una aplicación de la regla de la cadena es la de encontrar la derivada deuna función dada en forma implícita.

Por ejemplo, sea la ecuación 2 2 1 x y , existe una relación entre lasvariables que intervienen en ella. Esta relación nos indica en forma implícita que

y f x , de manera que y es derivable con respecto a x tal que ' dy

y dx .

Consideremos la expresión 2 2 1 x y como un caso particular de una

función de dos variables de la forma , 0 z F x y y aplicamos la regla de la

cadena para obtener z

x

:




17

, , 0 x y

z dx dy F x y F x y

x dx dx

de donde obtenemos

,

,

x

y

F x ydy

dx F x y

Para 2 2 1 x y , 2 2, 1 0 F x y x y

La derivada de y con respecto a x:

, 2, 2

x

y

F x ydy x xdx F x y y y

La derivada de x con respecto a y:

, 2

, 2

y

x

F x ydx y y

dy F x y x x

En una ecuación donde intervienen tres o más variables, cada una de lasvariables dependen de las demás de manera que podemos encontrar lasderivadas parciales implícitas utilizando el mismo criterio. Por ejemplo, sitenemos una ecuación de las variables x, y y z como 2c o s xz x y e y z yqueremos obtener las derivadas parciales de z con respecto a x e y:

Primero pensamos en el caso paticular , , 0 F x y z o sea

2, , cos 0 xz F x y z x y e y z

Las derivadas parciales de z con respecto a x e y:

2 2

, , cos cos

, ,

xz xz x

xz xz

z

F x y z z y ze y ze

x F x y z xe y xe y

2 2

, , sen 2 sen 2

, ,

y

xz xz

z

F x y z z x y yz x y yz

y F x y z xe y xe y

DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE

Derivada direccional

La derivada direccional de la función f en dirección del vector unitario ˆ ˆu ai bj es

, , , ,u x y D f x y af x y bf x y u f x y

Gradiente

Propiedades del gradiente

Sea f diferenciable en el punto , x y .

1. Si , 0 f x y , entonces , 0u D f x y para toda u




18

2. La dirección de máximo crecimiento de f viene dada por , f x y . El valor

máximo de ,u D f x y es , f x y .

3. La dirección de mínimo crecimiento de f viene dada por , f x y . El

valor mínimo de ,u D f x y es , f x y .

El gradiente es normal a las curvas de nivel

Si f es diferenciable en 0 0, x y y , 0 f x y , entonces , f x y es normal a la

curva de nivel de f que pasa por 0 0, x y .

Derivada direccional y gradiente para funciones de tres variables

Sea f una función continua y derivable de las variables x, y y z , y sea un vector

unitario ˆˆ ˆu ai bj ck .

La derivada direccional de f en dirección del vector unitario u está dada por

, , , , , , , , , ,u x y z D f x y z af x y z bf x y z cf x y z u f x y z

El gradiente de f se define como

ˆˆ ˆ, , , , , , , , x y z f x y z f x y z i f x y z j f x y z k

1. Si , , 0 f x y z , entonces , , 0u D f x y z para toda u

2. La dirección de máximo crecimiento de f viene dada por , , f x y z . El

valor máximo de ,u D f x y es , , f x y z .

3. La dirección de mínimo crecimiento de f viene dada por , , f x y z . El

valor mínimo de ,u D f x y es , , f x y z .

El gradiente es normal a las superficies de nivel

Si f es diferenciable en 0 0 0, , x y z y , , 0 f x y z , entonces , , f x y z es

normal a la superficie de nivel de f que pasa por 0 0 0, , x y z .




19

PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA SUPERFICIE

Sea una superficie definida mediante una función de la forma , z f x y . Esta

superficie podemos considerarla como la superficie de nivel de una función F de tres variables, tal que , , , 0 F x y z f x y z . Como sabemos, el

gradiente de la función F es normal a todas sus superficies de nivel. El plano quepasa por un punto 0 0 0, , P x y z de la superficie S dada por , , 0 F x y z y que es

normal al vector 0 0 0, , 0 f x y z se denomina plano tangente a S en P y su

ecuación es

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, , , , , , 0 x y z F x y z x x F x y z y y F x y z z z

La recta que pasa por el punto 0 0 0, , P x y z de la superficie S dada por

, , 0 F x y z con la dirección del vector 0 0 0, , 0 f x y z se denomina rectanormal a S en P y sus ecuaciones parametricas son:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, , ; , , ; , , x y z x x F x y z t y y F x y z t z z F x y z t

el gradiente es normal a las curvas de nivel plano tangente y recta normal




20

EXTREMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIAB LES

Teorema del valor extremo

Sea f una función continua de dos variables x e y, definida en una región

cerraday acotada R del plano xy. 1. Existe al menos un punto en R donde f alcanza un valor mínimo (absoluto)2. Existe al menos un punto en R donde f alcanza un valor máximo

(absoluto)

Puntos críticos

Sea f definida en una región abierta R que contiene a 0 0, x y . El punto 0 0, x y es

un punto crítico de f si ocurre alguna de estas circunstancias

1. 0 0 0 0, , 0 x y f x y f x y

2. si alguna de 0 0 0 0, ó , x y f x y f x y no existe.

Un extremo relativo es un punto crítico de f .

Criterio de las segundas derivadas parcialesSea f una función continua con segundas derivadas parciales continuas en unaregión abierta que contiene al punto 0 0, x y , en el cual 0 0 0 0, , 0 x y f x y f x y .

Para buscar los extremos relativos de f se realiza el siguiente cálculo

20 0 0 0 0 0, , , xx yy xyd f x y f x y f x y

1. Si 0d y 0 0, 0 xx f x y , entonces f tiene un mínimo relativo en 0 0, x y .

2. Si 0d y 0 0, 0 xx f x y , entonces f tiene un máximo relativo en

0 0, x y .

3. Si 0d , entonces f tiene un punto de silla en 0 0 0 0, , , x y f x y .

4. Si 0d , el criterio no da ninguna conclusión.




21

Aplicaciones de los extremos de funciones de dos variables

Ejemplo 1: Una caja de forma de paralelepípedo rectángulo se encuentrarecargada a los planos coordenados en el primer octante. Calcular las medidas

de la caja para tener un volumen máximo si unode los extremos de la caja toca al plano conecuación 3 2 18 x y z .

Solución:

La caja está recargada en el punto 18 3, ,

2

x y x y

Volumen de la caja = 2 218 3 3 1, 9

2 2 2

x yV x y xyz xy xy x y xy

Volumen mínimo/máximo: cuando

, , 0 x y

V x y V x y

21 1, 9 3 9 3 0

2 2 x

V x y y xy y y x y

ecuación 1

23 3, 9 9 0

2 2 yV x y x x xy x x y

ecuación 2

Las soluciones para el sistema de dos ecuaciones es:

0 x y la cual nos daría un volumen cero (mínimo)

2, 6 x y donde 18 3 2 618 33

2 2

x y z

, el volumen de la caja es

3, 2 6 3 36V x y xyz u (máximo).

Las medidas de la caja para que el volumen sea máximo son 2, 6, 3 x y z

z

y

x

Plano3x+y+2z=0




22

1

1

r(t)

Vo

100'

1000'

angulo

Ejemplo 2: Se dispara un proyectil desde un cañón situado en el punto A paraimpactar a un blanco situado en B a una distancia horizontal de 1000 pies y auna altura de 100 pies con respecto al cañón. Calcular la mínima velocidad y elángulo de elevación del proyectil para alcanzar el blanco. ( despreciar laresistencia del aire )

Solución:

La trayectoria del proyectil está determinada por la función vectorial2

0 0

1ˆ ˆ( ) cos sin

2r t V t i V t gt j

de donde la primera componente nos indica la posición horizontal o alcance delproyectil mientras que la segunda componente la altura en cierto instante t.

La posición del proyectil al tiempo del impacto con el blanco es (1000,100), loque significa que

a.0 cos 1000V t

b. 2

0

1sin 100

2V t gt

Despejando t de la primera ecuación y sustituyendo en la segunda tenemos que

0

1000

cost

V y

2

0

0 0

1000 1 1000sin 100

cos 2 cosV g

V V

6

2 2

0

1000sin 1 1032 100

cos 2 cosV

6

2 2

0

sin 16*101000 100

cos cosV

2 44

0

2 2 2 2

0 0

10 sin cos 16*10sin 16*1010 1 1

cos cos cos

V

V V

2 4 2 2 2 2 4

0 0 010 sin cos 16*10 cos 10sin cos cos 16*10 0V V V

usando identidades de ángulo doble: 2 4

0

15sin 2 cos 2 1 16*10 0

2V

Esta última ecuación nos presenta una función implícita de 2 variables

0( , ) 0 F V , como queremos encontrar la mínima velocidad del proyectil




23

entonces derivamos la función con respecto a . Nota:

0

0 00

0

( , )0 sí ( , ) 0

( , )V

dV F V F V

d F V

2

0 0( , ) 0 10cos 2 sin 2 0 F V V

lo cual es cierto sí2

0 0

10cos 2 sin 2 0

V

la primera igualdad no es posible, por lo tanto resolvemos la segunda.

1sin210cos 2 sin 2 0 sin 2 10cos 2 10 tan 2 10 2 tan 10

cos2

2 84.2984 95.7106 47.8553 ( al ángulo negativo le sumamos 180grados ).Sustituyendo el valor del ángulo en

0( , ) 0 F V

obtenemos

2 4

0

15sin 95.7106 cos 95.7106 1 16*10 0

2V

4 42

0 0

16*10 16*10

1 15sin 95.7106 cos 95.7106 1 5sin 95.7106 cos 95.7106 1

2 2

V V

0 188.0415 /V pies seg

Multiplicadores de Lagrange

Dada una función de varias variables, sabemos que presenta un punto críticocuando su gradiente es nulo. Para identificar de qué punto crítico se trata,debemos usar el criterio de la segunda derivada. Éste establece que dada unafunción f ( x ; y ) que presenta un punto crítico en ( x 0; y 0), podemos calcular elsiguiente discriminante:

22

2

2

2

2

2

22

2

2

2

y x

f

y

f

x

f

y

f

x y

f

y x

f

x

f

D

Si D > 0 y2

2

x

f

> 0, se tiene un mínimo local en ( x 0; y 0). Si D > 0 y

2

2

x

f

< 0, se

tiene un máximo local en ( x 0; y 0). Si D < 0, se tiene un punto silla en ( x 0; y 0).Finalmente, si D = 0 el criterio de la segunda derivada no decide la naturalezadel punto crítico en ( x 0; y 0).




24

Cuando se desea obtener los extremos absolutos de una función en una ciertaregión del dominio, se deben seguir los siguientes pasos:

1. Hallar los puntos críticos de la función en el dominio y calcular su valor enellos.

2. Hallar los valores extremos de la función sobre la frontera del dominio.3. Determinar los valores máximo y mínimo de entre todos los hallados en losdos puntos anteriores.

Hallar extremos restringidos significa determinar los extremos de una función f ( x ;y ) sujetos a una restricción g ( x ; y ) = 0. Para ello debe plantearse la ecuaciónvectorial:

f = g

El valor se conoce como multiplicador de Lagrange y es un auxiliar para

determinar los valores de las variables del dominio que satisfacen la ecuaciónvectorial y la restricción. Si existen varias restricciones, se plantean variosmultiplicadores.

Ejemplo 1: (puntos críticos)

Hallar y clasificar los puntos críticos de:

124);( 23 y xy x y x f

Solución:

Tenemos:

044

);( );0;0(004304334

34

213422

y x y x f

P P x x x x y x f

y

x

Ahora

máximounes);(08);(comoyextremo;unes);(016);(

silla puntounes)0;0(016)0;0(

162444

46);(

4);(

4);(

6);(

34

34

34

34

34

34

34

34

xx

xy

yy

xx

f D

D

x x y x D

y x f

y x f

x y x f




25

Ejemplo 2: (valores extremos)Hallar el valor mínimo y máximo de la función 2, 4 f x y x y x y en el

triángulo limitado por las rectas x = 0; y = 0; x + y = 6.

Solución:

a) Puntos críticos. Primero debemos encontrar los puntos críticos de la funciónque se encuentran en el dominio dado, que es el triángulo de extremos (0,0),(6,0), (0,6). Planteamos:

0)24(0)1()4(0

0)238(0)1()4(20

0222

2

y x x y x y x x y

f

y x xy y x y x xy x

f

f

vemos que todos los puntos con x = 0 son críticos. Si x 0, tenemos lassiguientes posibilidades para que ambas derivadas parciales sean nulas:

1

2

0; 4 2 0 4 (4,0)

8 3 2 0; 4 2 0 (2,1)

y x y x P

x y x y P

El primero de estos puntos pertenece a la frontera; por lo tanto loconsideraremos cuando analicemos ésta. En cuanto al segundo punto, tenemosf (2,1) = 4.

b) Análisis de la frontera. La frontera se compone de tres tramos rectos. En x = 0

y y = 0 la función asume el valor 0. En x + y = 6 podemos escribir:

3222 212)64)(6()4(66 x x x x x x y x y x x y y x ,

donde x va variando de 0 a 6. Para determinar en qué punto del segmento derecta x + y = 6 se produce un máximo o mínimo de esta función (en los extremosdel segmento asume el valor 0), podemos derivarla:

24600624212 232 y x y x x x x xdx

d

De los dos puntos obtenidos, (0,6) es uno de los extremos del segmento, dondela función vale 0, mientras que (4,2) está dentro del segmento oblicuo.

c) Evaluación de la función en los puntos obtenidos. Evaluando se tiene:

f (segmento x = 0) = 0




26

f (segmento y = 0) = 0

f (4,2) = -64 mínimo absolutof (2,1) = 4 máximo absoluto

Ejemplo 3: (Multiplicadores de Lagrange) La ecuación 2 x 4 + 3y 4 = 32 representa el borde de la pantalla de un

monitor. Si el campo eléctrico viene dado por la función

22

1);(

y x y x f

,

hallar los valores máximo y mínimo de éste sobre el borde de la pantalla.

Solución:

Sea 4 4, 2 3 g x y x y . Tenemos:

3si ( , ) (0,0)3/ 2

2 23

2 23 33

3

3/ 22 2

8

0

12

x y

x x

x y x x f g y x x

y y y y

x y

Para obtener este resultado dividimos ambas ecuaciones abarcadas por la llave,por lo cual debemos considerar aparte el caso en que y = 0, para el cual dichadivisión no sería posible. Analizando todos los casos posibles tenemos:

445

192410964

3104

34444

32 32232 y x x x x y x x y

Con estos valores tenemos f ( x ,y ) 0.44.



Los otros dos casos son:

4 32 324 43 3

4 3242

0 3 32 (0, ) 0.55

0 2 32 2 ( 2,0) 0.5

x y y f

y x x f

Comparando los tres valores obtenidos, el mínimo valor será 0.44 y el máximovalor será 0.55.

20219571-Funciones-en-2-y-3-Variables.pdf

Documents

Transcript of 20219571-Funciones-en-2-y-3-Variables.pdf