01/01/20141 Escolapio Laico Una nueva vocación en las Escuelas Pías.
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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CURSO DE NIVELACIÓN 2014 – 1S
SEGUNDA EVALUACIÓN DE MATEMÁTICAS PARA CIENCIAS, INGENIERÍAS Y EDUCACIÓN COMERCIAL
GUAYAQUIL, 08 DE SEPTIEMBRE DE 2014 HORARIO: 11H30 – 13H30
VERSIÓN 0 1) Dada la función de variable real f x( ) = log1 3 3− x , identifique la proposición VERDADERA.
a) dom f =!− −3{ }
b) rg f =!+
c) f es estrictamente creciente en el intervalo 3,+∞( ) . d) f es par. e) Los interceptos de f con el eje X son 2,0( ) y 4,0( ) . Solución: La gráfica de la función f se muestra a continuación. a) Para determinar el dominio de la función debe
cumplirse que 3− x > 0 . Por lo que, x ≠ 3 y se concluye que la proposición es falsa.
b) El rango de la función logarítmica es el conjunto de los número reales. La proposición es falsa.
c) En el intervalo especificado la función es estrictamente decreciente. La proposición es falsa.
d) La función no tiene simetría con el eje X. La proposición es falsa.
e) Los interceptos de la función se dan cuando se satisfacen la ecuación con valor absoluto 3− x =1 . La proposición es verdadera.
Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal e).
2) Sea f una función biyectiva de variable real tal que f x( ) =ex−2 −1, !!!x ≤ 2!!x − 2, !!!!!x > 2
#$%
, entonces la
regla de la correspondencia de su inversa es:
x
y
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-1
0
1
2
3
4
Elaborado por @gbaqueri Página 2 de 16
a) f −1 x( ) =ln x +1( )+ 2, !!!x ≤ 0!!!!!!!!x + 2, !!!!!!!!x > 0
#$%
&%
b) f −1 x( ) =ln x +1( )+ 2, !!! −1< x ≤ 0!!!!!!!!x + 2, !!!!!!!!!!!!!!!!x > 0
#$%
&%
c) f −1 x( ) =ln x +1( )+ 2, !!!x ≤ 2!!!!!!!!x + 2, !!!!!!!!x > 2
#$%
&%
d) f −1 x( ) =ln x −1( )− 2, !!! −1< x ≤ 0!!!!!!!!x − 2, !!!!!!!!!!!!!!!!x > 0
#$%
&%
e) f −1 x( ) =ln x −1( )+ 2, !!!x ≤ 2!!!!!!!!x − 2, !!!!!!!!x > 2
#$%
&%
Solución: Se analiza cada intervalo del dominio:
Cuando y = ex−2 −1 y x ≤ 2 , rg f = −1,0( ]
x = ey−2 −1 ey−2 = x +1
y− 2 = ln x +1( ) y = ln x +1( )+ 2
f −1 x( ) = ln x +1( )+ 2, −1< x ≤ 0
Cuando y = x − 2 y x > 2 , rg f = 0,+∞( )
x = y− 2 y = x + 2
f −1 x( ) = x + 2, x > 0
Se lo puede verificar gráficamente: Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal b).
x
y
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1
0
1
2
3
4
5
6
Identidad
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3) Un valor de k para que al dividir la función polinomial f x( ) = 2x3 − kx2 − 4kx − 4k entre la
función polinomial g x( ) = x − 2k , su residuo sea igual a −4k , es:
a) –1 b) –2/3 c) 1/3 d) 2/3 e) 3/2
Solución: Se aplica el TEOREMA DEL RESIDUO:
f 2k( ) = 2 2k( )3 − k 2k( )2 − 4k 2k( )− 4k = −4k ⇒ 16k3 − 4k3 −8k2 = 0 12k3 −8k2 = 0 ⇒ 4k2 3k − 2( ) = 0
k2 = 0( )∨ 3k − 2 = 0( )
k = 0( )∨ k = 23
"
#$
%
&'
Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal d).
4) Considerando las restricciones apropiadas, al simplificar la expresión trigonométrica:
tan x( )− sec x( )"# $%2
una expresión equivalente es:
a) 1+ sen x( )1− sen x( )
b) 1+ cos x( )1− cos x( )
c) 1− sen x( )1+ sen x( )
d) 1− cos x( )1+ cos x( )
e) 1
Solución:
=sen x( )cos x( )
−1
cos x( )
"
#$$
%
&''
2
=sen x( )−1cos x( )
"
#$$
%
&''
2
=1− sen x( )"# %&
2
cos2 x( )=1− sen x( )( ) 1− sen x( )( )
1− sen2 x( )
=1− sen x( )1+ sen x( )
Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal c).
5) Al considerar los ángulos en el primer cuadrante, la expresión trigonométrica:
cos 2arctan x( )( )
en términos de x es:
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a) 1+ x2 b) 1− x2 c) 1+ x2
1− x2 d)
1− x2
1+ x2 e) 1+ x2
Solución: Sean el ángulo α = arctan x( ) . Se dibuja el siguiente triángulo y se aplica el teorema de
Pitágoras para calcular la longitud del lado faltante.
cos 2arctan x( )( ) = cos 2α( ) = cos2 α( )− sen2 α( )
cos 2α( ) = 1x2 +1
!
"#
$
%&
2
−xx2 +1
!
"#
$
%&
2
=1
x2 +1−
x2
x2 +1=1− x2
x2 +1
Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal d).
6) El valor de la expresión trigonométrica:
sen 5π6
!
"#
$
%&
'
()
*
+,
−1
cos 2π3
!
"#
$
%&
cos 7π4
!
"#
$
%&
'
()
*
+,
4
sen arcsen −1( )( )
es igual a:
a) − 3 b) 14 c) −
14 d) 4 e) –4
Solución:
=
12!
"#$
%&−1
−12
!
"#
$
%&
22
!
"#
$
%&
4
−1( )=2 −
12
!
"#
$
%&
14−1( )
= 4
Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal d).
7) Sea el conjunto referencial Re = 0,2π[ ] y el predicado p x( ) : sen x( )cos x( ) = 14, la suma de
los elementos del conjunto de verdad Ap x( ) es igual a:
a) 0 b) 11π12
c) 35π12
d) 35π2
e) 3π
1
x
α
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Solución:
sen x( )cos x( ) = 14
⇒ 2sen x( )cos x( ) = 12
⇒ sen 2x( ) = 12
2x = π6
"
#$
%
&'∨ 2x = 5π
6"
#$
%
&'∨ 2x = 13π
6"
#$
%
&'∨ 2x = 17π
6"
#$
%
&'
El conjunto de verdad del predicado es: Ap x( ) = π12, 5π12,13π12,17π12
!"#
$%&
La suma de los elementos de Ap x( ) es: π12
+5π12
+13π12
+17π12
= 3π .
Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal e).
8) Sea la matriz A = 1 10 0
!
"#
$
%& , entonces la matriz X = A+ A2 + A3 +…+ A10( )
T es igual a:
a) 10 010 0
!
"#
$
%& b) 10 10
0 0
!
"#
$
%& c) 10 0
0 10
!
"#
$
%& d) 0 10
10 0
!
"#
$
%& e) 0 10
0 10
!
"#
$
%&
Solución:
A = 1 10 0
!
"#
$
%&
A2 = 1 10 0
!
"#
$
%& 1 10 0
!
"#
$
%&= 1 1
0 0
!
"#
$
%& ⇒ A3 = A4 =!= A10 = A
Se#trata#de#una#matriz#periódica,#entonces: A+ A2 +....+ A10 =10A
XT =10 1 10 0
!
"#
$
%&
T
= 10 100 0
!
"#
$
%&
T
= 10 010 0
!
"#
$
%&
Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal a).
9) Dada la matriz A =
ln ek−1( ) 2 sen x( )0 k −1 cos x( )0 0 sen2 x( )+ cos2 x( )
"
#
$$$$$
%
&
'''''
. Si A es singular, el valor de k es
igual a: a) 1 b) −1 c) 0 d) −1,1{ } e) 0,1{ }
Elaborado por @gbaqueri Página 6 de 16
Solución:
La matriz seria: A =
k −1 2 sen x( )0 k −1 cos x( )0 0 1
"
#
$$$$
%
&
''''
Para que A sea singular: det A( ) = 0 ⇒ k −1( )2 = 0 ⇒ k =1 Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal a).
10) Dado el sistema de ecuaciones lineales:
x + y − z = 2x + 2y + z = 6
x + y + ζ 2 − 5( ) z = ζ
"
#$$
%$$
Para que este sistema sea INCONSISTENTE, el valor de ζ es igual a:
a) –2 b) 0 c) 1 d) 3 e) 4 Solución:
Se trabaja con la matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales (S. E. L.):
1 1 −1 21 2 1 61 1 ζ 2 − 5( ) ζ
"
#
$$$$
%
&
''''
1 1 −1 20 1 2 40 0 ζ 2 − 4( ) ζ − 2
"
#
$$$$
%
&
''''
1 1 −1 20 1 2 40 0 ζ − 2( ) ζ + 2( ) ζ − 2
"
#
$$$
%
&
'''
Se analiza la última fila del S. E. L. Con ζ = −2 , el S. E. L. es inconsistente. Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal a).
11) Sea el número complejo z = z1( )z2 , donde z1 = r1eiθ1 = x1 + iy1 , z2 = r2 = x2 . El argumento de z es igual a:
a) 𝜃! b) 𝜃! 𝐜) 𝜽𝟏𝒙𝟐 d) 𝜃!𝑥! e) 𝑎𝑟𝑐 tan
!!!!
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Solución:
Sea z = r1eiθ1( )
x2= r1
x2eiθ1x2 , entonces arg z( ) =θ1x2 . Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal c).
12) Sea ABC el triángulo mostrado en la figura adjunta. Si se conoce que: 𝐷𝐸 𝐴𝐶 , 𝐴𝐵 = 10𝑐𝑚,𝐴𝐶 = 5𝑐𝑚,𝐷𝐸 = 𝑥, 𝐴𝐷 = 𝑦, entonces es VERDAD que:
a) y = 2x b) y = 2x – 5 c) y = 2x + 10 d) y = 10 – x e) y = 10 – 2x
Solución: Por semejanza de los triángulos ABC y DBE :
ABAC
=DBDE
xyyx
xyxy
210102
102
10510
−=
−=
−=
−=
Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal e).
13) La longitud de la circunferencia mostrada, cuyo centro es O, mide 8π cm. Si el hexágono
inscrito es regular, el área del círculo sombreado en la figura adjunta, en cm2, es igual a:
a) π3
b) 2π3
c) 4π3
d) 2π e) 4π
A C
D E
B
O
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Solución: Para la circunferencia con centro en O y longitud de radio R se tiene:
L = 8π cm ⇒ 2πR = 8π ⇒ R = 8π2π
⇒ R = 4 cm
Para un hexágono inscrito, el lado L es congruente con el radio R de la circunferencia. El triángulo que se observa es equilátero (su longitud de lado también mide L) y está circunscrito al círculo sombredo.
Cuando se tiene un triángulo equilátero circunscrito, la longitud r del radio es r =12 3
L .
r = R2 3
Acírculo = πr2 = π
R2
12!
"#
$
%&= π
1612!
"#
$
%&=4π3cm2
Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal c).
14) Si las longitudes de los lados de un triángulo miden: 2cm , 6cm y 3 +1( )cm , entonces es
VERDAD que:
a) Uno de sus ángulos interiores mide 𝟕𝟓𝟎. b) El triángulo es rectángulo. c) Uno de sus ángulos interiores mide 30!. d) El triángulo es obtusángulo. e) Uno de sus ángulos interiores mide 80!.
Solución:
Se dibuja un triángulo ABC especificando los datos: Se utiliza la ley del coseno:
cos C( ) = a2 + b2 − c2
2ab=
3 +1( )2+ 22 − 6( )
2
2 3 +1( ) 2( )=3+ 2 3 +1+ 4− 6
4 3 +1( )=2+ 2 34 3 +1( )
=24=12
C = 60o
A C
B
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Luego se utiliza la ley del seno:
sen B( )2
=sen C( )6
⇒ sen B( ) =2sen 60o( )
6=
2 32
"
#$
%
&'
6=12
B = 45o
Se aplica el teorema de la suma de los ángulos internos de un triángulo:
A =180o − 60o + 45o( ) = 75o Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal a).
15) La medida del ángulo α, si se conoce que:
Ø m !ABC( ) = π3
Ø m !ABC( )−m !HBC( ) = π10
Ø BF || AC es: a) 42o b) 48o c) 55o d) 60o e) 77o
Solución: A partir de los datos proporcionados:
m !ABC( ) = 60o ∧m !ABC( )−m !HBC( ) =18o ∧m !HBF( ) = 90o
m !HBC( ) =m !ABC( )−18o = 60o −18o = 42o
m !HBC( )+m !CBF( ) = 90o
m !CBF( ) = 90o −m !HBC( ) = 90o − 42o = 48o
En el triángulo que contiene los vértices B y F se cumple:
α + 90o + 48o =180o
α =180o −138o = 42o
Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal a).
α
A
B
C H
F
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16) Si ABCD es un rectángulo, P y R son los puntos medios de sus respectivos lados, entonces el área de la superficie del triángulo DPR, en cm2, es igual a:
a) 54 b) 68 c) 72 d) 78 e) 96
Solución: El área de la región sombreada es:
Asombreada = AABCD − ARBP − APCD − AARD = 24( ) 8( )−12( ) 4( )2
−4( ) 24( )2
−12( ) 8( )2
Asombreada =192− 24− 48− 48 = 72 cm2
Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal c).
17) Para un prisma recto pentagonal regular cuya altura mide 15cm, y cuya base tiene 8cm de
arista y apotema de 5.5cm, el área de su superficie total, en cm2, es igual a:
a) 410 b) 600 c) 820 d) 1000 e) 1640
Solución: Un prisma recto pentagonal tienes dos pentágonos como bases y cinco rectángulos como caras laterales.
ATotal = 2ABase + 5ALateral = 2Perímetro× Apotema
2"
#$
%
&'+ 5ARectángulo
ATotal = 5 8( )×5.5( )+ 5 8×15( ) = 220+ 600 = 820 cm2
Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal c).
18) Al rotar la región del plano cartesiano limitada por
y = −2xy = −2x = −1
"
#$
%$
, alrededor del eje x = −1 , se
genera un sólido de revolución cuyo volumen, en u3, es igual a:
a) 4π3
b) 8π3
c) 16π3
d) 32π3
e) 8π
A B
C D
P
R
24cm
8cm
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Solución: La región que se forma es un triángulo. Al rotarlo alrededor del eje especificado se forma un cono. r = 2 ∧ h = 4
Vc =πr2h3
=π 2( )2 4( )
3=16π3
u3
Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal c).
19) Sean los vectores en !3 : v1!"= 1,2,3( ) y v2
!"!= −1,0, 2( ) , entonces los valores de a para que los
vectores v1!"+ av2!"!
( ) y v1!"− av2!"!
( ) sean ortogonales son:
a) ±145
b) ±53 c) ±
145
d) ±35 e) ±
53
Solución: Para que sean ortogonales, su producto punto es cero:
v1!"+ av2!"!
( )• v1!"− av2!"!
( ) = 0v1!"•v1!"− a2 v2
!"!•v2!"!
( ) = 0v1!" 2
− a2 v2!"! 2
= 0
1+ 4+ 9( )− a2 1+ 0+ 4( ) = 014− a2 5( ) = 014 = a2 5( )
a2 = 145
a = ± 145
Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal c).
20) Para el triángulo sustentado por los vectores en !3 : v1!"= 1,2,−1( ) y v2
!"!= 2,−1,0( ) , el área de
su superficie, en u2, es igual a:
a) 302
b) 30 c) 52
d) 6 52
e) 6 5
x
y
-3 -2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Elaborado por @gbaqueri Página 12 de 16
Solución: El área de la superficie del triángulo, sustentado por vectores en el espacio, viene dada por la siguiente expresión matemática:
Atriángulo =V1!"×V2!"!
2
V1!"×V2!"!=
i j k1 2 −12 −1 0
= −i− 2 j − 5k
Atriangulo =V1!"×V2!"!
2=1+ 4+ 252
=302
u2
Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal a).
21) Se tienen dos rectas paralelas L1 : 2x −3y+ 4 = 0 y L2 , el vector normal de la segunda recta
es n2!"!= a,b( ) y el punto P 2, 4( ) pertenece a ella. La distancia entre las dos rectas, en
unidades, es igual a:
a) 2 a+ b( ) b) a2 + b2
c) 4 1313
d) 4 2
e) 13 Solución: Si P pertenece a la segunda recta, solamente se debe calcular la distancia de ese punto a la primera recta.
d P,L1( ) =2x0 −3y0 + 4
2( )2 + −3( )2⇒ d P,L1( ) =
2 2( )−3 4( )+ 413
=413
=4 1313
u
Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal c).
Elaborado por @gbaqueri Página 13 de 16
22) La ecuación de la hipérbola cuyos VÉRTICES y FOCOS son respectivamente los FOCOS y VÉRTICES de la elipse: 16x2 + 25y2 + 96x − 200y+144 = 0 es:
a) x +3( )2
16−y− 4( )2
25=1
b) x +3( )2
9−y− 4( )2
25=1
c) x +3( )2
9−y− 4( )2
16=1
d) x +3( )2
16−y− 4( )2
9=1
e) x +3( )2
25−y− 4( )2
16=1
Solución: Para la elipse: 16 x2 + 6x + 9( )+ 25 y2 −8y+16( ) = −144+144+ 40016 x +3( )2 + 25 y− 4( )2 = 400
x +3( )2
25+y− 4( )2
16=1
a2 = 25,b2 =16 ⇒ c2 = 9
Para la hipérbola:
a2 = 9,c2 = 25 ⇒ b2 =16
x +3( )2
9−y− 4( )2
16=1
Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal b).
23) Sean los conjuntos referenciales Rex = Rey =! y el predicado p x, y( ) :y2 = 4x4x −3y = 4
"#$
, la
suma de las abscisas y de las ordenadas de todos los elementos del conjunto de verdad Ap x, y( ) es igual a:
Elaborado por @gbaqueri Página 14 de 16
a) −25
b) −294
c) −52
d) 52
e) 294
Solución: Se despeja la variable x de la primera ecuación:
x = y2
4
Se reemplaza en la segunda ecuación: 4x −3y = 4
4 y2
4"
#$
%
&'−3y = 4
y2 −3y− 4 = 0y− 4( ) y+1( ) = 0y− 4 = 0( )∨ y+1= 0( )y = 4( )∨ y = −1( )
Si y = 4 , entonces x = 42
4= 4 .
Si y = −1 , entonces x =−1( )2
4=14.
Se verifican los valores:
p 4, 4( ) :42 = 4 4( )4 4( )−3 4( ) = 4
"#$
%$⇒ p 4, 4( ) ≡1
p 14,−1
"
#$
%
&' :
−1( )2 = 4 14"
#$%
&'
4 14"
#$%
&'−3 −1( ) = 4
(
)**
+**
⇒ p 14,−1
"
#$
%
&' ≡1
Elaborado por @gbaqueri Página 15 de 16
Entonces, Ap x, y( ) = 4, 4( ), 14,−1
"
#$
%
&'
()*
+,-.
La suma de las abscisas y las ordenadas es: 4+ 4+ 14−1
"
#$
%
&'=294
También se lo puede hacer en forma gráfica: Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal e).
24) Para el siguiente conjunto de datos:
5 3 4 6 5 5 2 8 6 5 4 8 3 4 5 4 8 2 5 4
La media aritmética, la mediana y la moda son respectivamente:
a) 𝑥 = 4.7, 𝑥 = 5, 𝑀𝑜 = 4 b) 𝑥 = 4.8, 𝑥 = 5, 𝑀𝑜 = 4 c) 𝑥 = 4.7, 𝑥 = 5, 𝑀𝑜 = 5 d) 𝒙 = 𝟒.𝟖, 𝒙 = 𝟓, 𝑴𝒐 = 𝟓 e) 𝑥 = 4.4, 𝑥 = 4, 𝑀𝑜 = 5
Solución: Se ordenan los 20 datos:
2 2 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 6 6 8 8 8 La media aritmética es:
x = 2+ 2+3+3+ 4+ 4+ 4+ 4+ 4+ 5+ 5+ 5+ 5+ 5+ 5+ 6+ 6+8+8+8
20=9620
= 4.8
x
y
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-4
-2
0
2
4
Elaborado por @gbaqueri Página 16 de 16
La mediana es la semisuma de los elementos centrales que están ordenados:
𝑥 = 5 La moda es el dato que más se repite, en este caso es el 5 Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal d).
25) Si se lanzan dos dados, la probabilidad de obtener 2 números primos consecutivos, en sus caras
superiores, es igual a:
a) 118
b) 19 c)
112
d) 29
e) 16
Solución: Los números primos en un dado son 2, 3 y 5. Si son primos consecutivos, entonces se tienen los siguiente pares ordenados: (2, 3), (3, 2), (3, 5) y (5, 3). El espacio muestral para este evento tiene 36 pares ordenados posibles.
P A( ) = Número'de'casos''favorables'Número'de'casos'totales'
P A( ) = 436
=19
Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal b).