PROBABILIDADCONCEPTO.-ES UNA DISCIPLINA ABSTRACTA QUE SE USA COMO MODELO PARA HACER DEDUCCIONES RELATIVAS O EVENTOS QUE POSIBLEMENTE PUEDEN OCURRIR.GRACIAS A LA CUANTIFICACIÓN DE ESA INCERTIDUMBRE,NOS PROPORCIONA LA BASE PARA EL ESTUDIO DE LA INFERENCIA ESTADÍSTICA.EXPERIMENTO ALEATORIO (ϵ ).-ES UN EXPERIMENTO CUYO RESULTADO NO SE PUEDE PREDECIR CON EXACTITUD,PORQUE PRESENTA VARIAS POSIBILIDADES.EJEMPLOS:1. SEA EL EXPERIMENTO:”RESULTADO DEL EXAMEN PARCIAL EN EL CURSO DE ESTADÍSTICA DE

UN ESTUDIANTE”.RESULTADO:ANTES DEL EXAMEN ,NO SABEMOS SI EL ESTUDIANTE APROBARÁ O DESAPROBARÁ.LUEGO EL EXPERIMENTO ES ALEATORIO.

2. SEA EL EXPERIMENTO:”LANZAR UN DADO Y OBSERVAR LA PARTE SUPERIOR”.RESULTADO:NO SABEMOS EL RESULTADO EXACTO PUEDE SER 1,2,3,4,5,6.LUEGO EL RESULTADO ES EXPERIMENTO ALEATORIO.

EN GENERAL,TODOS LOS JUEGOS AL AZAR CONSTITUYEN EXPERIMENTOS ALEATORIOS:LOTERÍAS,BARAJAS,RIFAS,CARRERA DE CABALLOS,PELEA DE GALLOS,DADOS, BARAJAS,ETC.FENÓMENO DETERMINISTA.-CUANDO EL RESULTADO SE PUEDE PREDECIR CON EXACTITUD.EJEMPLO:

1. “SOLTAR UN LIBRO EN EL AIRE”RESULTADO:CAERA AL PISO POR LA LEY DE LA GRAVEDAD.NO ES UN EXPERIMENTO ALEATORIO.

2. “LANZAR UNA PELOTA EN UN TANQUE DE AGUA Y VER SI FLOTA O SE HUNDE”.RESULTADO:LA PELOTA FLOTARÁ.NO ES UN EXPERIMENTO ALEATORIO.

ESPACIO MUESTRAL (Ω ).-ES EL CONJUNTO DE TODOS LOS RESULTADOS POSIBLES DE UN EXPERIMENTO ALEATORIO.EJEMPLO:1.-SEA EL EXPERIMENTO:”RESULTADO DEL EXAMEN PARCIAL EN EL CURSO DE ESTADÍSTICA DE UN ESTUDIANTE”. Ω = APROBAR, DESAPROBAR 2.- SEA EL EXPERIMENTO:”LANZAR UN DADO Y OBSERVAR LA PARTE SUPERIOR”.

Ω = 1,2,3,4,5,6

3.-“LANZAMIENTO DE TRES MONEDAS” Ω=CCC ,CCS ,CSC ,CSS ,SCC ,SCS , SSC ,SSS SUCESO O EVENTO.-ES CADA RESULTADO DEL EXPERIMENTO ALEATORIO O UNA COMBINACION DE RESULTADOS.TAMBIÉN SE DICE QUE ES UN SUBCONJUNTO DEL ESPACIO MUESTRAL.LOS EVENTOS SON REPRESENTADOS POR LETRAS MAYÚSCULAS:A,B,C,D,…EJEMPLO:

1. SEA EL EXPERIMENTO ALEATORIO :”SELECCIÓN DE UN ALUMNO DE ACUERDO A SU RENDIMIENTO ACADÉMICO”.EL ESPACIO MUESTRAL SERÁ:Ω = SOBR ESALIENTE ,BUENO ,REGULAR ,MALO

CADA RESULTADO ES UN SUBCONJUNTO DEL ESPACIO MUESTRAL,POR LO TANTO CADA UNO DE ELLOS ES UN EVENTO.TENDREMOS:EVENTO A=SOBRESALIENTE EVENTO B=BUENOEVENTO C=REGULAREVENTO D=MALO 2.-SEA EL EXPERIMENTO ALEATORIO :”LANZAMIENTO DE UN DADO”

Ω = 1,2,3,4,5,6

SEA A EL EVENTO DE OBTENER UN NÚMERO IMPAR.A = 1,3,5

SEA B EL EVENTO DE OBTENER UN NÚMERO MENOR DE 5.B = 1,2,3,4

SEA C EL EVENTO DE OBTENER UN NÚMERO PRIMO.C = 2,3,5

EVENTO SEGURO.-ES EL EVENTO QUE DE TODAS MANERAS SUCEDERÁ.EJEMPLO:EN EL LANZAMIENTO DE UN DADO:EVENTO A OBTENER UN NÚMERO MENOR QUE 7A = 1,2,3,4,5,6 PUESTO QUE A= Ω ᴄ Ω

EVENTO IMPOSIBLE (φ ).-ES EL EVENTO QUE NO VA A OCURRIR.EJEMPLO:EN EL LANZAMIENTO DE UN DADO:EVENTO A OBTENER UN NÚMERO MAYOR QUE 7 A = φ EVENTO IMPOSIBLE.

EVENTO COMPLEMENTERIO (A ).-SIGNIFICA QUE EL EVENTO A NO OCURRE.EJEMPLO:SEA EL EVENTO A = ALUMNOS DELAUPAO ENTONCES EL COMPLEMENTO:A== ALUMNOSQUE NOSON DELAUPAO EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES .-CUANDO DOS O MÁS EVENTOS NO TIENEN OCURRENCIA CONJUNTA.ES DECIR: A∩B= φEJEMPLO:LANZAMIENTO DE DOS MONEDAS.Ω = CC ,CS ,SC ,SS A = CC ,S S A∩B= φ A y B SON MUTUAMENTE EXCLUYENTES. B = CS ,SC EVENTOS MUTUAMENTE EXHASTIVOS.-CUANDO DOS EVENTOS SON MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y ADEMAS SUCESOS COMPLEMENTARIOS.ES DECIR:

A∩B= φ A∪B=ΩEJEMPLO: “LANZAMIENTO DE UN DADO”Ω = 1,2,3,4,5,6A = 1,3,5 NÚMERO IMPAR B = 2,4,6 NÚMERO PAR

A∩B= φ A Y B SON MUTUAMENTE EXHAUSTIVOS.

A∪B=ΩEVENTOS INDEPENDIENTES.-SI DOS EVENTOS NO TIENEN NINGUNA RELACIÓN ENTRE SÍ;ES DECIR LA OCURRENCIA DE UNO DE ELLOS,NO INFLUYE EN LA OCURRENCIA DEL OTRO.EJEMPLO:SEAN LOS EVENTOS:A = JUAN APRUEBA ESTADÍSTICA.B = JUANA APRUEBA ESTADÍSTICA.A y B SON INDEPENDIENTES PORQUE LA OCURRENCIA DEL EVENTO A ESTE NO INFLUYE PARA QUE OCURRA EL EVENTO B.TIPOS DE PROBABILIDAD.EXISTEN TRES ENFOQUES PARA EL ESTUDIO DE PROBABILIDAD.

1. PROBABILIDAD CLÁSICA.2. PROBABILIDAD DE FRECUENCIA RELATIVA DE LA OCURRENCIA.3. PROBABILIDAD SUBJETIVA.1. PROBABILIDAD CLÁSICA.-LLAMADA TAMBIÉN PROBABILIDAD A PRIORI

DEBIDO A QUE ES POSIBLE CONOCER EL RESULTADO CON ANTERIORIDAD,ES DECIR,SIN LLEVAR A CABO EL EXPERIMENTO Y SÓLO BASADO EN UN RAZONAMIENTO LÓGICO.SE CALCULA ASÍ:

P(A)=CASOS FAVORABLESDEOCURRENCIA DELEVENTO A

TOTALDECASOS POSIBLES =n(A)n(Ω)

EJEMPLO:HALLAR LA PROBABILIDAD DE OBTENER EL NÚMERO 5 EN EL LANZAMIENTO DE UN DADO:SOLUCIÓN:Ω = 1,2,3,4,5,6SEA EL EVENTO : A = OBTENER EL NÚMERO 5.ENTONCES:

P(A)=CASOS FAVORABLESDEOCURRENCIA DELEVENTO A

TOTALDECASOS POSIBLES =16

P(A)=0.17 = 17%EJEMPLO.-EN EL CURSO DE ESTADÍSTICA HAY 50ALUMNOS DE LOS CUALES 15 SU SITUACIÓN ES COMPLICADA.SI SE TOMA UN ALUMNO AL AZAR.¿CUAL ES LA PROBABILIDAD QUE SEA UN ESTUDIANTE CUYA STUACIÓN ES COMPLICADA?.SOLUCIÓN:

Ω =50 ALUMNOS DE ESTADÍSTICA A = ALUMNOS EN SITUACIÓN COMPLICADA.CASOS POSIBLES = 50CASOS FAVORABLES = 15

P(A)=n(A)n(Ω)

=1550

=0.30 =30%

2. PROBABILIDAD DE FRECUENCIA RELATIVA DE LA OCURRENCIA.-SE BASA EN LA REPETICIÓN DE LA OCURRENCIA DE UN EVENTO,AL REALIZAR UNA GRAN CANTIDAD DE PRUEBAS O EXPERIMENTOS.ES DECIR:

P(A)=NÚMERO DEVECESQUEOCURRIÓ ELEVENTO A

NÚMEROTOTALDEVECESQUE SEREPITIÓ ELEXPERIMENTO

TAMBIÉN SE LE LLAMA PROBABILIDAD EMPÍRICA O A POSTERIORI,DEBIDO A QUE SE OBTIENE EL RESULTADO DESPUÉS DE LLEVAR A CABO EL EXPERIMENTO UN GRAN NÚMERO DE VECES.ES LA ESTIMACIÓN DE LA PROBABILIDAD QUE OCURRA EL EVENTO A.EJEMPLO:EN VIRU SE TOMO UNA MUESTRA EN 5 FÁBRICAS QUE TRABAJAN 4000 PERSONAS,SE ENCONTRO QUE SE ACCIDENTARÓN 200 TRABAJADORES EL AÑO PASADO.HALLAR LA PROBABILIDAD DE UN ACCIDENTE DE TRABAJO EN UNA FÁBRICA DETERMINADA.SOLUCIÓN:n = 4000,NÚMERO DE VECES QUE SE REPITE EL EXPERIMENTO.A =UN ACCIDENTE DE TRABAJO EN UNA FÁBRICA DETERMINADA.N(A)=200

P(A)= 2004000

= 0.05 =5%

3. PROBABILIDAD SUBJETIVA.-ES LA PROBABILIDAD ASIGNADA BAJO UN CRITERIO PERSONAL ;BASADO EN CUALQUIER TIPO DE EVIDENCIA DISPONIBLE.SE ASIGNA A EVENTOS QUE PUEDEN SUCEDER UNA VEZ O MUY POCAS VECES.

EJEMPLO: LA PROBABILIDAD DE QUE SE ENCUENTRE UNA MEDICAMENTO QUE CURE EL SIDA EN

LOS PRÓXIMOS 2 AÑOS. LA PROBABILIDAD DE QUE EL HOMBRE LLEGUE HABITAR MARTE EN LOS PRÓXIMOS 30

AÑOS.DEFINICIÓN AXIOMÁTICA.

SEA Ω UN ESPACIO MUESTRAL Y A CUALQUIER SUCESO DE Ω;ES DECIR A ES UN SUBCONJUNTO

DE Ω.DIREMOS QUE P ES UNA FUNCIÓN DE PROBABILIDAD EN EL ESPACIO MUESTRAL Ω SI SATISFACE LOS SIGUIENTES AXIOMAS.

1. P(A) ES UN NÚMERO REAL 0≤ P(A)≤12. P(A)=0 ENTONCES A= φ ES UN EVENTO IMPOSIBLE.3. P(A)=1 ENTONCESP( A) = 1 ES UN EVENTO SEGURO.

4. P∑i=1

n

A i = ∑i=1

n

P ¿¿¿ ) SIEMPRE QUE Ai ∩ A j=Φ PARA TODO i≠ j

ES DECIR:P(A1∪A2∪ A3∪…..∪ An) = P(A1)+P(A2)+…..+P(An)EJEMPLO:SI SE LANZA UN DADO,CALCULAR LA PROBABILIDAD DE QUE SALGA UN NÚMERO PAR O IMPAR.SOLUCIÓN:

Ω = 1,2,3,4,5,6DEFINIMOS LOS SUCESOS:A=CAIGAUN NÚMEROPAR =2,4,6 B =CAIGAUN NÚMERO IMPAR = 1 ,3 ,5 A∪B=CAIGAPARO IMPAR COMO A y B SON SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES.P(A∪B) = P(A) + P(B)

P(A∪B) = 36

+36

= 66

= 1

AXIOMAS DE PROBABILIDADa) LA PROBABILIDAD DE UN EVENTO CUALQUIERA, ES SIEMPRE POSITIVA:

ES DECIR: P(A) ≥0b) LA PROBABILIDAD DE UN EVENTO SEGURO O CIERTO,ES LA PROBABILIDAD DEL ESPACIO

MUESTRAL,QUE EQUIVALE A LA UNIDAD.ES DECIR: P(Ω ) = 1CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS

a) LA PROBABILIDAD DE UNEVENTO,TOMA VALORES ENTRE CERO Y UNO.ES DECIR: 0≤ P ( A )≤1

b) LA PROBABILIDAD DE UN EVENTO NULO O IMPOSIBLE,ES CERO.ES DECIR: P(φ)=0

c) LOS EVENTOS A y A SON MUTUAMENTE EXCLUYENTES, Y SE DEBE CUMPLIR:P(A ∪ A ) = P(A) + P(A ¿ = 1

d) P(∑i=1

n

A i) = ∑i=1

n

P ¿¿¿ )

SIEMPRE QUE Ai ∩ A j=Φ PARA TODO i≠ j

ES DECIR:P(A1∪A2∪ A3∪…..∪ An) = P(A1)+P(A2)+…..+P(An)EJEMPLO:SI SE LANZA UN DADO,CALCULAR LA PROBABILIDADDE OBTENER UN NÚMERO PAR O IMPAR.SOLUCIÓN:Ω =1,2,3,4,5,6 DEFINIMOS LOS SUCESOS:A=SALGAUN NÚMERO PAR =2,4,6 B=SALGAUN N Ú MEROℑ PAR =1 ,3 ,5 P(A∪ B) =P(A) + P(B)

P(A∪ B) =36

+ 36

=1

TEOREMA DEL COMPLEMENTO

SI AᴄΩ P(A) = 1 - P(A ¿ Ó P(A ¿= 1 – P(A)DEMOSTRACIÓN:AUA = Ω PERO A∩ A = φ SON MUTUAMENTE EXCLUYENTESP(AUA) = P(Ω) P(A) + P(A) = 1 P(A) = 1 – P(A)TEOREMA DE LA ADICIÓN.-SI LOS EVENTOS NO SON MUTUAMENTE EXCLUYENTES,LA

PROBABILIDAD DE OCURRENCIA DE A O DE B ES:

P(A∪ B) =P(A) + P(B) –P(A ∩B)DONDE:P(A∪ B) =PROBABILIDAD QUE EL EVENTO A O EVENTO B OCURRA.P(A ∩B) = PROBABILIDAD DE QUE OCURRAN SIMULTÁNEAMENTE LOS DOS EVENTOS A y B.

A ∩B A ∩B = φ

NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES MUTUAMENTE EXCLUYENTES

GENERALIZANDO PARA 3 SUCESOS:

P(AUBUC) = P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩ B∩ C).

EJEMPLO:DE 100 PACIENTES EXAMINADOS,20 PADECÍAN DE ARTRITIS,32 PADECÍAN DE GASTRITIS Y 8 TENÍAN AMBOS MALES.HALLAR LA PROBABILIDAD DE SELECCIONAR UN PACIENTE QUE PADEZCA DE ARTRITIS O GASTRITIS.SOLUCIÓN:SEAN LOS EVENTOS :A = NÚMERO DE PACIENTES QUE SUFREN ARTRITIS =20B = NÚMERO DE PACIENTES QUE SUFREN GASTRITIS = 32A∩B =NÚMERO DE PACIENTES QUE SUFREN AMBAS ENFERMEDADES =8ENTONCES:P(A∪ B) =P(A) + P(B) –P(A ∩B)

P(A∪ B) =20100 +

32100 -

8100 =

44100 = 0.44 = 44%

EJEMPLO:EN LA UPAO EL 60% DE ESTUDIANTES SON COSTEÑOS,EL 15% ESTUDIAN INGENIERÍA,EL 3%ESTUDIAN INGENIERÍA Y SON COSTEÑOS.SI SE SELECCIONA AL AZAR UN ESTUDIANTE.a) CUAL ES LA PROBABILIDAD QUE NO SEA COSTEÑO.b) CUAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE SEA COSTEÑO O PERTENESCA A INGENIERÍA?c) NO SEA COSTEÑO NI ESTUDIANTE DE INGENIERÍA.

A B A B

SOLUCIÓN:P(C) =0.60 P(I) =0.15 P(C∩I ) =0.03

a) P(C ) =1 – P( C )= 1-0.60=0.40b) P(C U I) = P(C ) + p(I ) - P(C∩I )=0.60+0.15-0.03=0.72c) P(C ∩I )= 1- P(C U I) =1 – 0.72 =0.28

PROBABILIDAD CONDICIONALDEFINICIÓN.-SEA A y B DOS SUCESOS DE UN MISMO ESPACIO MUESTRAL Ω DONDE P(A)¿0 , ENTONCES LA PROBABILIDAD CONDICIONAL DEL SUCESO A SABIENDO QUE EL SUCESO B HA SUCEDIDO Y SE DENOTAPOR P(A/B) ES:

P(A/B ) = P (A ∩B)P(B) ;P(B)¿0

PROPIEDADES:a) P(A/B)≥0b) P(Ω/B) = 1c) P(AUB/C) = P(A/C)+P(B/C) SI A∩B=∅

EJEMPLO:EN UNA LAVANDERÍA SE TIENE 40 CAMISAS BLANCAS NUEVAS Y 60 USADAS,TAMBIEN SE TIENE 30 CAMISAS ROJAS NUEVAS Y 50 USADAS.SE EXTRAE UNA CAMISA AL AZAR ;HALLAR:a) LA PROBABILIDAD QUE SEA BLANCA DADO QUE ES NUEVA.b) LA PROBABILIDAD QUE SEA NUEVA DADO QUE SEA BLANCA.

SOLUCIÓN:SEA LOS EVENTOS:N =CAMISAS NUEVAS U=CAMISASUSADAS B =CAMISAS BLANCAS R =CAMISAS ROJAS

a) P(B/N) = P (B∩N )P(N ) =

4018070180

=47

b) P(N/B ) = P (N ∩B)P (B) =

40180100180

= 410 =25

EJEMPLO:EN UNA BARAJA DE NAIPES DE 52 CARTAS,SE EXTRAE UNA CARTA AL AZAR Y RESULTA SER MAYOR O IGUAL QUE 10 ¿CUAL ES LA PROBABILIDAD QUE SEA UNA REYNA ?SOLUCIÓN:SEA LOS EVENTOS:A = OBTENCIÓN DE UNA REYNA.B.-OBTENCIÓN DE UNA CARTA ≥10

CAMISAS B R

TOTAL

N 40 30 70U 60 50 110TOTAL 100 80 180

P(A/B ) = P ( A∩B )P (B ) =

4522052

= 15

EJEMPLO:SI LANZAMOS DOS MONEDAS Y DEFINIMOS LOS SUCESOS:A:OBTENER EXACTAMENTE UN SELLO.B:OBTENER AL MENOS UN SELLO.HALLAR P(A/B).

SOLUCIÓN:

P(A/B ) = P (A ∩B)P(B)

Ω = CC ,CS ,SC ,S S A = CS ,SC B = CS ,SC ,SS P(B) =3/4A∩B =CS ,SC P (A ∩B ) =2/4

P(A/B ) = P (A ∩B)P(B) =2/43/4 =2/3

EJEMPLO:

1Sean A y B dos sucesos a leator ios con p(A) = 1/2 , p(B) = 1/3 , p(A

B)= 1/4 . Determinar :

a)

b)

c)

d)

e)

SOLUCIÓN:

a)

b)

c)

d)

e) P(B/ A )

P(B/ A )=P (A∩B)P ¿¿

= 1−P(A∪B)1−P(A)

=1− 712

1−12

= 56

EJEMPLO:SE LANZAN DOS DADOS,SABIENDO QUE LA SUMA DE LOS DOS NÚMEROS ES 6,CALCULAR LA PROBABILIDAD DE QUE EL PRIMER NÚMERO SEA PAR.SOLUCÓN:

SABEMOS QUE: P(A/B ) = P (A ∩B)P(B)

ENTONCES DEFINIMOS:Ω=(1,1 ) , (1,2 ) , (1,3 ) ,……. , (6,5 ) ,(6,6) ,36 PARESB=la sumade los dosnúmeros es seis B=(1 ,5 ) , (5 ,1 ) , (2,4 ) .4 ,2¿,(3 ,3)

A=QUE ELPRIMER N Ú MEROSEA PAR

A=(2 ,1 ) , (2 ,2 ) ,.. (2 ,6 ) , (4 ,1 ) (4 ,2 ) , .. (4 ,6 ) , (6 ,1 ) , (6 ,2 )…. ,(6 ,6)A ∩ B =(2 ,4 ) ,(4 ,2)LUEGO:

P(B)=536

P(A ∩ B) = 236

ENTONCES:

P(A/B ) = P (A ∩B)P(B) =

236536

=25

REGLA GENERAL DE MULTIPLICACIÓNSI PARTIMOS DE LA DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD CONDICIONAL:

P(A/B ) = P (A ∩B)P(B)

DESPEJAMOS:

P(A∩B) = P(A/B)P(B) P(A∩B) = P(B/A)P(A) QUE ES EQUIVALENTE.EJEMPLO:SE SACAN DOS CARTAS SIN SUSTITUCIÓN DE UNA BARAJA DE 52 CARTAS¿Cuál ES LA PROBABILIDAD DE QUE AMBOS SEAN ASES?SOLUCIÓN:SEAN LOS EVENTOS:A = LA PRIMERACARTA SEA AS B= LA SEGUNDA CARTA SEA AS

P(A∩B)= P(A)P(B/A) = 452 351 = 122652

EJEMPLO:SE SACAN DOS CARTAS SIN REPOSICIÓN EN UNA BARAJA DE 52 CARTAS.¿CUAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE AMBAS SEAN ESPADAS?SOLUCIÓN:EN LAS 52 CARTAS 13 SON ESPADAS. PRIMERA SELECCIÓN:SE EXTRAE UNA ESPADAB = EXTRAERUN ESPADA EN LA PRIMERASELECCI Ó N

A = EXTRAERUN ESPADA EN LASEGUNDA SELECCI Ó N

NOS PIDEN QUE OCURRAN AMBOS EVENTOS,LUEGO:

P(A∩B) = P(A/B)P(B)P(B) =

1352

P(A/B) =PQUEOCURRA A SABIENDOQUEOCURRIOB = 1251

ENTONCES: P(A ∩B ¿= 13521251

=117

INDEPENDENCIA DE SUCESOSSEAN A y B DOS SUCESOS DE UN ESPACIO MUESTRAL Ω ,SE DICE QUE ESTOS DOS SUCESOS SON INDEPENDIENTES SI SATISFACE CUALQUIERA DE LAS SIGUIENTES IGUALDADES:P(A/B) = P(A)P(A/B) = P(B) ENTONCES P(A∩B ¿ = P(A).P(B)GENERALIZANDO PARA VARIOS EVENTOS INDEPENDIENTES A1,A2,..,An.P(A1∩ A2∩A 3∩… ..∩ An ¿=P(A1)P (A 2)… ..P (An)EJEMPLO:SE SACAN DOS CARTAS CON REPOSICIÓN DE UNA BARAJA DE 52 CARTAS¿Cuál ES LA PROBABILIDAD DE QUE AMBOS SEAN TREBOL?SOLUCIÓN:A=LA PRIMERA SEATREBOL B=LA SEGUNDA SEATREBOL P(A)=13/52 P(B)=13/52

P(A∩B ¿=P(A) . P(B)=1352

1352

=1/16

EJEMPLO:HALLAR LA PROBABILIDAD DE OBTENER DOS CARAS SI SE LANZA SUCESIVAMENTE DOS VECES UNA MONEDA.SOUCIÓN:A=EN ELPRIMER LANZAMIENTO APAREZCACARA P(A)=1/2B=EN ELSEGUN DOLANZAMIENTO APAREZCACARA P(B)=1/2

P(A∩B ¿=P(A) . P(B)=12

12

= ¼

EJEMPLO:EN UNA URBANIZACIÓN LA PROBABILIDAD DE QUE UNA PERSONA SEA MAYOR DE 18 AÑOS DE EDAD ES DE 45%,LA PROBABILIDAD DE QUE UNA PERSONA CONSUMA CARNE ES DE 15% Y LA PROBABILIDAD DE QUE CONSUMA CARNE,DADO QUE ES MAYOR DE 18 AÑOS DE EDAD ES DE 15%.SI SELECCIONAMOS UNA PERSONA AL AZAR DE ESTA URBANIZACIÓN .¿CUAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE CONSUMA CARNE Y TENGA MÁS DE 18 AÑOS DE EDAD?SOLUCIÓN:EVENTOS:A =PERSONASMAYORES DE18 AÑOS P(A) = 0.45B=CONSUMODECARNE p(B) = 0.15B/A =CONSUMO DE CARNE DADO QUE LA PERSONA ES MAYOR DE 18 AÑOS.P(B/A) = 0.15

OBSERVAMOS QUE:P(B/A) = P(B)=0.15SIGNIFICA QUE A y B SON IMDEPENDIENTES.ES DECIR EL CONSUMO DE CARNE DE UNA PERSONA,NO DEPENDE DE LA EDAD.LUEGO:P(A∩B ¿ = P(A).P(B) =(0.45)(0.15)=0.0675=6.75%LA PROBABILIDAD QUE UNA PERSONA CONSUMA CARNE Y TENGA MÁS DE 18 AÑOS DE EDAD,ES DE 6.75%.TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTALSEA Ω UN ESPACIO MUESTRAL PARTICIONADO EN A1,A2,…..An CON LA PROPIEDAD:Ai∩ A j=𝜱 PARA TODO i≠ j¿ i=1¿n A i =Ω ;P(Ai)¿0SEA B UN SUCESO CUALESQUIERA EN EL ESPACIO MUESTRAL Ω.ENTONCES:

P(B)=∑i=1

n

P ¿¿)P(B/Ai)

DEMOSTRACIÓN: Ω

B A1∩B A2∩B … … …. An∩B

A1 A2 … … .. AnCOMO B ES UN SUCESO DEFINIDO EN EL ESPACIO Ω Y SEA:A1,A2,…..,An UNA PARTICIÓN DE Ω ENTONCES:B=(B∩ A1¿∪(B∩A 2)∪…….∪(B∩ An)DONDE: (B∩ A1¿ ;(B∩A 2);…….;(B∩ An) SON MUTUAMENTE EXCLUYENTES.ENTONCES:P(B)=P(B∩ A1¿+P(B∩A 2)+…….+(B∩An)POR EL TEOREMA DEL PRODUCTO TENEMOS:P(B)=P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)+….+P(An)P(B/An)POR LO TANTO:

P(B)=∑i=1

n

P ¿¿)P(B/Ai)

EJEMPLO:TRES MÁQUINAS PRODUCEN UN MISMO ARTÍCULO.LAS MÁQUINAS A,B y C FABRICAN EL 35%,25% Y 40% DE LA PRODUCIÓN TOTAL,RESPECTIVAMENTE.DE SU PRODUCCIÓN EL 5,4 Y 2%RESPECTIVAMENTE SON DEFECTUOSOS.SE ESCOGE UN ARTÍCULO AL AZAR.CALCULAR LA PROBABILIDAD DE QUE SEA DEFECTUOSO.SOLUCIÓN:A1=PRODUCCIÓN DE LAMÁQUINA A A2=PRODUCCIÓN DE LAMÁQUINA B A3=PRODUCCIÓN DE LAMÁQUINAC D = ART Í CULODEFECTUOSO

0.35 A1 P(D/A1)=0.05

0.25 A2 P(D/A2) =0.04

0.40 A3 P(D/A3)=0.02

POR EL TEOREMA DE PROBABILIDAD TOTAL.P(D)=P(A1)P(D/A1)+P(A2)P(D/A2)+P(A3)P(D/A3)TENEMOS:P(A1)=0.35 P(D/A1)=0.05P(A2)=0.25 P(D/A2)=0.04P(A3)=0.40 P(D/A3)=0.02REEMPLAZANDO:P(D)=(0.35)(0.05)+(0.25)(0.04)+(0.40)(0.02) =0.0355TEOREMA DE BAYESSI LOS EVENTOS A1;A2;……;An FORMAN UNA PARTICIÓN DEL ESPACIO MUESTRAL Ω y B UN EVENTO CUALQUIERA DE Ω , ENTONCES:

P(Ai/B) =P ( Ai ) P( B

A i)

∑i=1

n

P(Ai¿)P ( BA i

)¿

ESTE TEOREMA RESULTA COMO UNA CONSECUENCIA LÓGICA DEL TEOREMA DE PROBABILIDAD TOTAL.ES DECIR:

P(Ai/B)= P (A i∩B)P (B) TEOREMA DELAMULTIPLICACIÓN

TEOREMADELA PROBABILIDADTOTAL

EJEMPLO:TOMANDO EL EJEMPLO ANTERIOR ¿CALCULAR LA PROBABILIDAD QUE EL ARTÍCULO DEFECTUOSO PROVENGA DE LA MÁQUINA A ?SOLUCIÓN:

P(A/D)=

P ( A ) P( DA

)

P ( A )P( DA )+P (B )P (DB )+P (C )P (DC

) =

(0 .35)(0 .05)(0 .35 ) (0 .05 )+(0 .25 ) (0 .04 )+(0 .40)(0 .02)

=0.4930