2011 - II : Clase Nº 01 Estadística Descriptiva I

Ing. José Manuel García Pantigozo

[email protected]

www.galeon.com/mejorando2011 - II

Objetivos de AprendizajeObjetivos de AprendizajeSaber que significa estadística.Conocer las aplicaciones de la

estadística.Explicar lo que significan estadística

descriptiva y estadística inferencial.Distinguir entre niveles de medición

nominal, ordinal, de intervalo y de razón.Organizar datos en una distribución de

frecuencias.

Objetivos de AprendizajeObjetivos de AprendizajeRepresentar la distribución de frecuencias

en un histograma, un polígono de frecuencias o en un polígono desde frecuencias acumuladas.

Desarrollar una representación de “tallo y hoja”

Representar datos utilizando líneas, de barras y de sectores (circulares).

¿Qué es la ¿Qué es la estadística?estadística?

¿Qué es la estadística?¿Qué es la estadística?ObjetivosQue deberían saber al terminar esta clase:

Que queremos significar por estadística

Que entendemos por estadística descriptiva e inferencial.

Que es una población y que una muestra.

Que es una variable, el dato y los datos

Cuando la información se refiere a un parámetro y cuando a una estadística

Distinguir cuando una variable es cualitativa y cuando cuantitativa.

Distinguir entre una variable discreta y continua.

Distinguir las distintas escalas de medición nominal, ordinal, de intervalo y de razón

¿Qué es la estadística?¿Qué es la estadística?Estadística es la ciencia de:

– Recolectar– Describir– Organizar– Interpretar

para transformarlos en información, para la toma mas eficiente de decisiones.

Datos

¿Cuántos peces hay en el lago?

12 peces

¿Qué es la estadística?¿Qué es la estadística?

¿Cuántos tipos o clases de peces diferentes hay?

4 clases diferentes


¿Cuántos

peces hay

para cada

clase? Clases Frecuencia

4

3

2

3

¿Q

ué

es la

est

adís

tica

?¿

Qu

é es

la e

stad

ísti

ca?

Clases Frecuencia

4

3

2

3

TotalTotal 12

¿Qué fracción respecto del total hay para

cada clase de pez?

F. relativa

4 / 12

3 / 12

2 / 12

3 / 12

= 0,33

= 0,25

= 0,16

= 0,25


44

33

22

Frecuencia

Clase de pecesClase de peces

Vamos a poner los mismos resultados en un gráfico de barras

3

4

33

22

33

Clases Frecuencia

33


¿Contamos…?¿Contamos…?

¿Quienes usan la estadística?¿Quienes usan la estadística?

• Organismos oficiales.• Diarios y revistas.• Políticos.• Deportes.• Marketing.• Control de calidad.• Ingenieros y administradores.• Investigadores científicos.• Médicos• etc.

Tipos de Tipos de EstadísticaEstadística

TIPOS DE ESTADÍSTICATIPOS DE ESTADÍSTICA• ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA:ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: Método de recolectar,

organizar, resumir, analizar e interpretar los datos. Ejemplo 1: Los datos del censo de población. Ejemplo 2: La cantidad de robos ocurridos el último mes

en el distrito de Los Olivos. Ejemplo 3: La cantidad de pacientes atendidos en el

Hospital Reblagiati el último año. Mencionamos algunos procedimientos:

Tablas de distribuciones de frecuencia Gráficos de distribución de frecuencias Diagramas de cajas Diagramas de tallos y hojas Estadísticos de posición Estadísticos de dispersión Estadísticos de asociación

• Estadística inferencial: Métodos usados para determinar algo acerca de la población, basado en una muestra.

• Población(1) es la colección, o conjunto, de individuos, objetos o eventos cuyas propiedades serán analizadas.

• Muestra es un subconjunto de la población de interés.• (1) Algunos autores utilizan Universo como sinónimo

La estadística inferencial comprende dos áreas importantes: Estimación puntual y por intervalos. Prueba de hipótesis estadística

Tipos de EstadísticaTipos de Estadística

Población y MuestraPoblación y MuestraPoblaciónPoblación

MuestraMuestra

Conceptos Conceptos EstadísticosEstadísticos

• Unidad de Análisis: es el objeto del cual se desea obtener información. Muchas veces nos referimos a las unidades de análisis con el nombre de elementos. En estadística, un elemento o unidad de análisis puede ser algo con existencia real, como un automóvil o una casa, o algo más abstracto como la temperatura o un intervalo de tiempo. Dada esta definición, puede redefinirse población como el conjunto de unidades de análisis.

Conceptos EstadísticosConceptos Estadísticos

• Parámetro: Valor numérico que resume todos los datos de una población completa. Se utilizan letras griegas para simbolizar un parámetro como ser µ y σ .

• Ejemplos: La calificación “promedio” del secundario en el momento de admisión de todos los estudiantes que han postulado a la UNMSM.

• Estadística: Valor numérico que resume los datos de una muestra. Se utilizan letras del alfabeto español para simbolizarlas como ser x y s .

• Ejemplo: La edad “promedio” registrada en una encuesta de 150 consumidores de “aeropuertos”.

Conceptos EstadísticosConceptos Estadísticos

• Ejemplo 1: Una encuesta desarrollada por IBOPE, en diciembre 2010, dice que el rating de radio en la Gran Lima esta encabezado por RPP con un 35.5% seguido por Capital con 9.18%

• Ejemplo 2: De acuerdo con una encuesta desarrollada por Ipsos-Apoyo sobre telefonía móvil en el 2010, el gasto mensual promedio por cliente es de S/. 55.30. a nivel nacional.

• Ejemplo 3: El INEI informó que la Encuesta Permanente de Hogares (EPH) del mes de diciembre de 2010 reporto la tasa mas baja de desempleo que ascendió al 14.3% a nivel nacional

Tipos de EstadísticaTipos de Estadística(ejemplos de estadística inferencial)

Tipos de Tipos de VariablesVariables

• Variable: Característica de interés sobre cada elemento individual de una poblacióno muestra.

• Dato: Valor de la variable asociada a un elemento de la población o muestra. Este valor puede ser un número, una palabra o un símbolo.

• Ejemplo: La familia González tiene “4” miembros, sus ingresos mensuales son de S/. 4 200.00, “2” son de sexo femenino y “2” masculino.

VariableVariable

Variable (cont.)Variable (cont.)• Datos: Conjunto de valores recolectados

para la variable de cada uno de los elementos que pertenecen a la población o muestra.

• Ejemplo1: El conjunto de 54 “cantidad de miembros” recolectados de 54 familias residentes en Pueblo Libre.Pueblo Libre.

• Ejemplo2: El conjunto de las “calificaciones” de los 43 estudiantes de estadística de la carrera de Ingeniería CivilIngeniería Civil.

• Cualitativa o de Atributos Clasifica o describe un elemento de la población. Los valores que puede asumir no constituyen un espacio métrico, por lo tanto las operaciones aritméticas, como sumar y obtener promedios, no son significativas.

• Ejemplos: género, nacionalidad, marcas de auto, grado de satisfacción con la UNMSM, etc..

1-7

Tipos de VariablesTipos de Variables

Tipos de Variables (cont.)Tipos de Variables (cont.)

• Cuantitativa o Numérica Cuantifica un elemento de la población. Los valores que puede asumir constituyen un espacio métrico, por lo tanto las operaciones aritméticas, como sumar y obtener promedios, son significativas.

• Ejemplos: cantidad de habitaciones, número de hijos, kilómetros recorridos, tiempo de vuelo, Ingreso, carne de aves consumidas, etc.

• Las variables cuantitativas se pueden clasificar a su vez en discretas o continuas.

• Cuantitativas Discretas: solo pueden asumir ciertos valores y normalmente hay huecos entre ellos. Son conteos normalmente.

• Ejemplo 1: cantidad de materias aprobadas.(1,2,3 ...)• Ejemplo 2: cantidad de hijos (1, 2, 3,4...)• Ejemplo 3: cantidad de multas (1, 2, 3,4...)

1-9


• Las variables cuantitativas se pueden clasificar a su vez en discretas o continuas.

• Cuantitativas Continuas:Cuantitativas Continuas: puede asumir cualquier valor dentro del rango de medición. Normalmente se miden magnitudes como ser longitud, superficie, volumen, peso, tiempo, dinero

• Ejemplo 1: Peso al nacer.• Ejemplo 2: Salario de un empleado• Ejemplo 3: Tiempo de viaje en bus entre Lima e Ica.

1-9


Escalas de MediciónEscalas de Medición

1-12

Escalas de MediciónEscalas de Medición• Las variables cualitativas se miden en

escala nominal o ordinal.

• Nominal: los elementos solo pueden ser clasificados en categorías pero no se da un orden o jerarquía

• Ejemplo 1: Barrio de residencia de los alumnos.

• Ejemplo 2: Color de ojos.

• Ejemplo 3: Lugar de donde procedencia de las flores.

• Ejemplo 4: Universidad de procedencia.

• Ejemplo 5: Enfermedad mas recurrente en el verano.

1-12

Escalas de MediciónEscalas de Medición• Las variables cualitativas se miden en

escala nominal o ordinal.

• Ordinal: los elementos son clasificados en categorías que tienen un orden o jerarquía, la diferencia entre valores no se pueden realizar o no son significativas.

• Ejemplo 1: Grado de satisfacción en el uso del Metropolitano.

• Ejemplo 2: Escala de acidez (pH) en los alimentos.

Escalas de MediciónEscalas de Medición• Las variables cuantitativas se miden en

escala de intervalo o razón.

• Intervalo: los elementos son clasificados en categorías que tienen un orden o jerarquía, la diferencia entre valores se pueden realizar y son significativas. La diferencia entre dos valores consecutivos es de tamaño constante y no existe el 0 absoluto.

• Ejemplo: Temperatura en grados centigrados.

Escalas de MediciónEscalas de Medición• Las variables cuantitativas se miden en

escala de intervalointervalo o o razónrazón..

• Razón:Razón: los elementos son clasificados en categorías que tienen un orden o jerarquía, la diferencia entre valores se pueden realizar y son significativas. Existe el 0 absoluto, es decir la ausencia de la variable medida.

• Ejemplo 1: Tiempo de viaje Lima - Huaraz.

• Ejemplo 2: Ingresos familiares.

Resumen de Tipos de variables y Resumen de Tipos de variables y Escalas de MediciónEscalas de Medición

Nominal

Ordinal

Escala de medición

Cualitativa o Atributo

Intervalo

Razón

Escala de medición

Discreta

Continua

Tipo de variable

Cuantitativa o Númerica

Variables

DESCRIPCION DE DATOS: DESCRIPCION DE DATOS: TABLAS Y GRAFICOSTABLAS Y GRAFICOS

• Se denomina muestra al subconjunto de ese universo y del cual se recopilarán los datos. Es necesario que esa muestra sea debidamente representativa.

• Por ejemplo, se quiere saber el número de hijos por matrimonio de una ciudad. Para este propósito, se elige una muestra representativa de 50 matrimonios de ella. Se obtienen los siguientes datos:

2 , 2 , 4 , 1 , 3 , 5 , 3 , 2 , 1 , 6 , 3 , 4 , 1 , 2 , 0 , 2 , 3 , 1 , 7 , 4 , 2, , 3 , 0 , 5 , 1 , 4 , 3 , 2 , 4 , 1 , 5 , 2 , 1 , 2 , 4 , 0 , 3 , 3 , 2 , 6 , 1 , 5 , 4 , 2 , 0 , 3 , 2 , 4 , 3 , 1 .

• El número total de datos se representa con la letra n. En nuestro ejemplo n = 50.

1-9

MUESTRAMUESTRA

• La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un valor (xi) en los datos obtenidos.

• En nuestro ejemplo, la frecuencia absoluta indica el número de familias que tienen esa cantidad de hijos:

1-91-9

FRECUENCIA ABSOLUTA (fFRECUENCIA ABSOLUTA (fii))TABLA

x i f i

0 4

1 9

2 12

3 10

4 8

5 4

6 2

7 1

FRECUENCIA ABSOLUTA (fFRECUENCIA ABSOLUTA (fii))GRAFICOSGRAFICOS

• La frecuencia absoluta acumulada indica cuantos elementos de la lista de datos son menores o iguales a un valor dado. Es la suma de las frecuencias absolutas desde la primera fila hasta la fila elegida.

• Por ejemplo, sabemos que hay 25 matrimonios de la muestra que tienen a lo más 2 hijos:

FRECUENCIA ABSOLUTAFRECUENCIA ABSOLUTAACUMULADA (FACUMULADA (Fii))


x x ii f f ii F F

ii

0 0 4 4 4 4

1 1 9 9 13 13

2 2 12 12 25 25

3 3 10 10 35 35

4 4 8 8 43 43

5 5 4 4 47 47

6 6 2 2 49 49

7 7 1 1 50 50

TABLATABLA

1-9

FRECUENCIA ABSOLUTAACUMULADA (Fi)

GRAFICA

1-9


GRAFICAGRAFICA

• La frecuencia relativa es el cuociente entre la frecuencia absoluta (fi) y el número total de datos (n). En nuestro ejemplo n = 50:

1-9

FRECUENCIA RELATIVA (hFRECUENCIA RELATIVA (hii))

x i f i F i h i H i 0 4 4 0,08 0,08 1 9 13 0,18 0,26 2 12 25 0,24 0,50 3 10 35 0,20 0,70 4 8 43 0,16 0,86 5 4 47 0,08 0,94 6 2 49 0,04 0,98 7 1 50 0,02 1,00

TABLATABLA

1-9

FRECUENCIA RELATIVA (hFRECUENCIA RELATIVA (hii))GRAFICAGRAFICA

FRECUENCIA RELATIVA (hFRECUENCIA RELATIVA (hii))GRAFICAGRAFICA

• La frecuencia relativa acumulada es el cuociente entre la frecuencia absoluta acumulada (Fi) y el número total de datos (n). En nuestro ejemplo, n = 50:

1-9 FRECUENCIA RELATIVAFRECUENCIA RELATIVAACUMULADA (HACUMULADA (Hii))

x x ii f f ii F F

ii h h ii H H

ii 0 0 4 4 4 4 0,08 0,08 0,08 0,08 1 1 9 9 13 13 0,18 0,18 0,26 0,26 2 2 12 12 25 25 0,24 0,24 0,50 0,50 3 3 10 10 35 35 0,20 0,20 0,70 0,70 4 4 8 8 43 43 0,16 0,16 0,86 0,86 5 5 4 4 47 47 0,08 0,08 0,94 0,94 6 6 2 2 49 49 0,04 0,04 0,98 0,98 7 7 1 1 50 50 0,02 0,02 1,00 1,00

TABLATABLA

1-9 FRECUENCIA RELATIVAFRECUENCIA RELATIVAACUMULADA (HACUMULADA (Hii))

GRAFICAGRAFICA

• La frecuencia porcentual es la frecuencia relativa (hi) expresada en forma porcentual. En otras palabras, es la frecuencia relativa (hi) multiplicada por 100.

• En nuestro ejemplo

1-9

FRECUENCIA PORCENTUAL (fFRECUENCIA PORCENTUAL (fi i %)%)

TABLATABLA

x i f i F i h i H i f i % 0 4 4 0,08 0,08 8 % 1 9 13 0,18 0,26 18 % 2 12 25 0,24 0,50 24 % 3 10 35 0,20 0,70 20 % 4 8 43 0,16 0,86 16 % 5 4 47 0,08 0,94 8 % 6 2 49 0,04 0,98 4 % 7 1 50 0,02 1,00 2 %

1-9

FRECUENCIA PORCENTUAL (fi %)%)GRAFICAGRAFICA

• La frecuencia porcentual acumulada es la frecuencia relativa acumulada (Hi) multiplicada por 100. En nuestro ejemplo:

1-9

FRECUENCIA PORCENTUAL ACUMULADO (Fi %)%)

TABLATABLAx i f i F i h i H i f i % F i % 0 4 4 0,08 0,08 8 % 8 % 1 9 13 0,18 0,26 18 % 26 % 2 12 25 0,24 0,50 24 % 50 % 3 10 35 0,20 0,70 20 % 70 % 4 8 43 0,16 0,86 16 % 86 % 5 4 47 0,08 0,94 8 % 94 % 6 2 49 0,04 0,98 4 % 98 % 7 1 50 0,02 1,00 2 % 100 %

1-9 FRECUENCIA PORCENTUAL ACUMULADO (Fi %)%)

GRAFICAGRAFICA

Diagrama de PuntosDiagrama de Puntos

Diagrama de PuntosDiagrama de Puntos(herramienta útil para pocos datos)(herramienta útil para pocos datos)

Ejemplo: Datos de resistencia a la tensión de muestras de mortero:

Portland (Kg/cmPortland (Kg/cm22) con polímero agregado:) con polímero agregado:16.85 16.40 17.21 16.35 16.52 17.04 16.96 17.15 16.59 16.57

Portland (Kg/cmPortland (Kg/cm22) sin modificar:) sin modificar:17.50 17.63 18.25 18.00 17.86 17.75 18.22 17.90 17.96 18.15

Para el Ejemplo:Para el Ejemplo:

16.0 16.0 16.5 16.5 17.0 17.0 17.5 17.5 18.0 18.0 18.5 18.5

* * ** * * * * * ** * ** * * * * * * + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + +

* = Mortero modificado* = Mortero modificado

+ = Mortero sin modificar+ = Mortero sin modificar

Diagrama de PuntosDiagrama de Puntos

Diagrama de Diagrama de Tallo y HojasTallo y Hojas

(Stem-and-Leaf Diagram) (Stem-and-Leaf Diagram)

El diagrama "tallo y hojas" (Stem-and-Leaf Diagram) permite obtener simultáneamente una distribución de frecuencias de la variable y su representación gráfica. Para construirlo basta separar en cada dato el último dígito de la derecha (que constituye la hoja) del bloque de cifras restantes (que formará el tallo). Esta representación de los datos es semejante a la de un histograma pero además de ser fáciles de elaborar, presentan más información que estos.

Ejemplos: Ejemplos: Horarios de trenesEdad de un grupo de personasComparar dos distribucionesResistencia de tensión.

Diagrama de tallo y hojasDiagrama de tallo y hojas

Ejemplo 01: Ejemplo 01: Tenemos un horario de trenes confeccionado a partir de un díptico de la línea Ciudad A – Ciudad B. Originalmente el horario ocupa una tabla de 10 filas y 9 columnas más una columna "viuda" "viuda" con el tren de las 22:38. Un total de 91 campos con formato hh.mm cada uno, 455caracteres.

Ejemplos de diagrama de tallo y hojasEjemplos de diagrama de tallo y hojas

5.03 7.32 9.02 11.07 13.32 15.07 16.50 18.32 20.07 22.386.02 7.37 9.07 11.32 13.37 15.20 17.02 18.37 20.206.18 7.50 9.24 11.37 13.50 15.32 17.07 18.50 20.326.37 8.02 9.32 12.02 14.02 15.37 17.20 19.02 20.37 6.48 8.05 9.37 12.07 14.07 15.50 17.32 19.07 20.506.55 8.20 10.02 12.32 14.20 16.02 17.37 19.20 21.027.02 8.24 10.07 12.37 14.32 16.07 17.50 19.32 21.077.07 8.32 10.32 13.02 14.37 16.20 18.02 19.37 21.207.20 8.37 10.37 13.07 14.50 16.32 18.07 19.50 21.32 7.25 8.51 11.02 13.20 15.02 16.37 18.20 20.02 21.37

Ejemplo 01: (continuación) Ejemplo 01: (continuación) En el diagrama Stem & Leaf se representa la horahora a la izquierda de la barra de separación | y los minutosminutos a la derecha. La frecuencia de los trenes se deduce fácilmente de la longitud de las filas y es, además, muy fácil ver en que minutos de cada hora pasan típicamente los mismos.

05 | 03 06 | 02 18 37 48 55 07 | 02 07 20 25 32 37 50 08 | 02 05 20 24 32 37 51 09 | 02 07 24 32 37 10 | 02 07 32 37 11 | 02 07 32 37 12 | 02 07 32 37 13 | 02 07 20 32 37 50 14 | 02 07 20 32 37 50 15 | 02 07 20 32 37 5016 | 02 07 20 32 37 50 17 | 02 07 20 32 37 50 18 | 02 07 20 32 37 50 19 | 02 07 20 32 37 50 20 | 02 07 20 32 37 50 21 | 02 07 20 32 37 22 | 38

05 | 03 06 | 02 18 37 48 55 07 | 02 07 20 25 32 37 50 08 | 02 05 20 24 32 37 51 09 | 02 07 24 32 37 10 11 12 | 02 07 32 37 13 14 15 16 17 18 19 20 | 02 07 20 32 37 50 21 | 02 07 20 32 37 22 | 38

Ejemplo 01:(continuación) Ejemplo 01:(continuación) AAlgunas horas se repite exacta-lgunas horas se repite exacta-mente el horario, entonces mente el horario, entonces se puede reducir más el tamaño del gráfico, sin perder informaciónsin perder información y ganar mas claridad.

Al final tenemos 59 campos de 2 dígitos, 118 caracteres más los separadores, es decir 4 veces menos dígitos que con el original, menos espacio y más claridad. Una disposición apropiada de datos puede ser doblemente informativa y la gráfica puede contribuir mas a la percepción de patrones y a la comprensión de la naturaleza de los fenómenos.

Ejemplo 02: Ejemplo 02: Supongamos la siguiente distribución de frecuencias:


36 25 37 24 39 20 36 45 31 3139 24 29 23 41 40 33 24 34 40

que representan la edad de un colectivo de N = 20 personas y que vamos a representar mediante un diagrama de Tallos y Hojas. Comenzamos seleccionando los tallos que en nuestro caso son las cifras de decenas, es decir 3, 2, 4, que reordenadas son 2, 3 y 4. A continuación efectuamos un recuento y vamos «añadiendo» cada hoja a su tallo

Ejemplo 02: (continuación) Ejemplo 02: (continuación) Por último reordenamos las hojas y hemos terminado el diagrama

Ejemplo 03: Ejemplo 03: Podemos comparar, mediante estos diagramas, dos distribuciones. Supongamos una segunda distribución


De ella podemos elaborar sus diagrama de Tallos y Hojas y compararla con la anterior.

35 38 32 28 30 29 27 19 48 4039 24 24 34 26 41 29 48 28 22

105 221 183 186 121 181 180 143 97 154 153 174 105 221 183 186 121 181 180 143 97 154 153 174 120 168 167 141 245 228 174 199 181 158 176 110 120 168 167 141 245 228 174 199 181 158 176 110 163 131 154 115 160 208 158 133 207 180 190 193163 131 154 115 160 208 158 133 207 180 190 193

194 133 156 123 134 178 76 167 184 135 229 146194 133 156 123 134 178 76 167 184 135 229 146

218 157 101 171 165 172 158 169 199 151 142 163 218 157 101 171 165 172 158 169 199 151 142 163 145 171 148 158 160 175 149 87 160 237 150 135 145 171 148 158 160 175 149 87 160 237 150 135 196 201 200 176 150 170 118 149196 201 200 176 150 170 118 149

Ejemplo 04: Ejemplo 04: Hacer un diagrama de tallo y hojas de la tensión de 80 muestras de aleación aluminio-litio.


Diagrama de Tallo y HojaDiagrama de Tallo y HojaTalloTallo HojaHoja Frecuencia Frecuencia

77 | 66 1 1

88 | 77 1 1

99 | 77 1 1

1010 | 5 15 1 2 2

1111 | 5 8 05 8 0 3 3

1212 | 1 0 31 0 3 3 3

1313 | 4 1 3 5 3 54 1 3 5 3 5 6 6

1414 | 2 9 5 8 3 1 6 92 9 5 8 3 1 6 9 8 8

1515 | 4 7 1 3 4 0 8 8 6 8 0 84 7 1 3 4 0 8 8 6 8 0 8 12 12

1616 | 3 0 7 3 0 5 0 8 7 93 0 7 3 0 5 0 8 7 9 10 10

1717 | 8 5 4 4 1 6 2 1 0 68 5 4 4 1 6 2 1 0 6 10 10

1818 | 0 3 6 1 4 1 00 3 6 1 4 1 0 7 7

1919 | 9 6 0 9 3 49 6 0 9 3 4 6 6

2020 | 7 1 0 87 1 0 8 4 4

2121 | 88 1 1

2222 | 1 8 91 8 9 3 3

2323 | 77 1 1

2424 | 55 1 1

ORGANIZACION Y PRESENTACION ORGANIZACION Y PRESENTACION DE DATOS UNIDIMENSIONALESDE DATOS UNIDIMENSIONALES

• Frecuencia Absoluta (fi)

Es el número de veces que se presenta un valor o categoría de una variable. Se representa por fi.

f1 + f2 + f3 + …………….……fk = n

b) Frecuencia Absoluta Acumulada (Fi)

Es el número de datos igual o inferior (“menor o igual que”) al valor considerado de la variable o la suma de las frecuiencias absolutas menor o igual que el valor considerado de la variable. Es decir:

F1 = f1

F2 = f1 + f2

-----------------------------Fk = f1 + f2 + ……….+ fk

ORGANIZACION Y PRESENTACION ORGANIZACION Y PRESENTACION DE DATOS UNIDIMENSIONALESDE DATOS UNIDIMENSIONALES

c) Frecuencia Relativa (hi)

Es igual a la frecuencia absoluta sobre el numero de observaciones.

h1 =f1/n

b) Frecuencia Relativa Acumulada (Hi)

Es el resultado de cada frecuencia absoluta acumulada dividida entre el numero total de observaciones.

H1 = F1/n

H2 = F2/n

-----------------------------

Hk = Fk/n

1-9

DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS PARA VARIABLES CUANTITATIVAPARA VARIABLES CUANTITATIVA

1. Identificar el tipo de variable cuantitativo discreto o continuo.

• Determinar el mayor (Xmax) y el menor (Xmin).

• Calcular R donde R = Xmax – Xmin.

• Si la variable es cuantitativa discreta– El rango es pequeño, entonces trabajar con

los valores originales ordenados de las variables.

– Si el rango es grande entonces trabajar con los datos ordenados agrupados en intervalo de clase (ver Sturges).

1-9

DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS PARA VARIABLES CUANTITATIVPARA VARIABLES CUANTITATIVAA

1.Si la variable es cuantitativa continua:– Determinar el numero de intervalos (entre 5 y 20).– Utilizar la regla de Sturge: m = 1 + 3,322log n – Si por ejemplo n = 50 (n≥10)(n≥10)– m = 1 + 3,322 log(50) = 6,6439 (*)(*)– Se redondea a m = 7 intervalos de clase.– Intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la

derecha.– El menor del intervalo izquierdo =X`min =(Xmin) –

menor unidad/2.

– Marca de clase= (xmax 1er intervalo - X`min )/2(*) Se redondea al entero mas próximo, pero por

costumbre se escoge el siguiente entero mayor .

Distribución de FrecuenciasDistribución de Frecuenciaspara Datos Cualitativospara Datos Cualitativos

Nº Nº hijos Nº Nº hijos Nº Nº hijos Nº Nº hijos Nº Nº hijos

1 1 7 1 13 2 19 1 25 2

2 1 8 0 14 1 20 4 26 2

3 0 9 5 15 5 21 1 27 1

4 2 10 2 16 4 22 2 28 1

5 2 11 1 17 5 23 1 29 2

6 2 12 2 18 2 24 4 30 1

Distribución de Frecuenciasx fi hi Fi Hi hi% Hi%

0 2 0.067 2 0.067

6.67 6.667

1 11 0.367 13 0.433

36.67 43.333

2 11 0.367 24 0.800

36.67 80.000

3 3 0.100 27 0.900

10.00 90.000

4 3 0.100 30 1.000

10.00 100.000

Total 30 100

1279,51285,01280,01273,01284,01280,51275,51278,01279,51275,01267,01272,01282,01276,01269,51266,01273,51285,51275,51283,51285,01273,0

1278,01273,01280,01277,51286,01280,01281,01275,01278,51279,51273,51275,01276,51271,51284,51276,01268,51272,51284,51286,01271,01265,5

1283,01282,51272,51275,51275,01282,01271,01280,51266,01282,51284,51276,01279,01281,01276,01287,51273,51272,51279,51279,01276,01281,5

1273,01271,51275,51277,01278,01283,51274,51279,01287,51276,01279,51268,01269,01285,51268,01272,51266,51278,01267,01271,01275,51277,0

1280,51269,01284,01287,01275,51280,01280,51278,01275,51280,01274,51285,01282,01276,51268,51275,51269,01271,51280,51287,01276,51272,0

Distribución de FrecuenciasDistribución de Frecuenciaspara Datos Cuantitativospara Datos Cuantitativos

INTERVALOS M.C. fi Fi hi Hi

[1265.45 - 1268.25 ) 1266.85 8 8 0.07 0.07

[1268.25 - 1271.05 ) 1269.65 9 17 0.08 0.15

[1271.05 - 1273.85 ) 1272.45 16 33 0.15 0.30

[1273.65 - 1276.65 ) 1275.25 23 56 0.21 0.51

[1276.65 - 1279.45 ) 1278.05 12 68 0.11 0.62

[1279.45 - 1282.25 ) 1280.85 21 89 0.19 0.81

[1282.25 - 1285.05 ) 1283.65 13 102 0.12 0.93

[1285.05 - 1287.85 ] 1286.45 8 110 0.07 1.00

110 1.00

Distribución de FrecuenciasDistribución de Frecuencias

1-9

PROBLEMAPROBLEMA

• Problema Nº 01 : El Departamento de Control de Calidad de ALBATROS S.A. esta llevando a cabo un seguimiento a un lote de piezas mecanizadas en su taller de metalmecánica, para esto ha tomado una muestra aleatoria y se necesita obtener el siguiente análisis estadístico descriptivo:

– Tabla de Frecuencias. – Histogramas.– Polígonos de Frecuencia.– Ojivas.

1279,51285,01280,01273,01284,01280,51275,51278,01279,51275,01267,01272,01282,01276,01269,51266,01273,51285,51275,51283,51285,01273,0

1278,01273,01280,01277,51286,01280,01281,01275,01278,51279,51273,51275,01276,51271,51284,51276,01268,51272,51284,51286,01271,01265,5

1283,01282,51272,51275,51275,01282,01271,01280,51266,01282,51284,51276,01279,01281,01276,01287,51273,51272,51279,51279,01276,01281,5

1273,01271,51275,51277,01278,01283,51274,51279,01287,51276,01279,51268,01269,01285,51268,01272,51266,51278,01267,01271,01275,51277,0

1280,51269,01284,01287,01275,51280,01280,51278,01275,51280,01274,51285,01282,01276,51268,51275,51269,01271,51280,51287,01276,51272,0

1-9


• Se identificó que la variable es cuantitativa continua.

• Se tiene que (Xmax) = 1287.5 y (Xmin)= 1265.5• R =(Xmax) - (Xmin)= 1287.5 – 1265.5 = 22• Como el rango es grande entonces trabajamos

con los datos ordenados agrupados en intervalo de clase (ver Sturges). Si la variable es cuantitativa continua:

– Determinar el numero de intervalos– Utilizar la regla de Sturge: m = 1 + 3,322log n – Si n = 110– m = 1 + 3,322log(110) = 7.78

1-9


• Se redondea a m = 8 intervalos de clase.

• Intervalo cerrado por la izq. y abierto por la der.

• El menor del 1er intervalo izquierdo =X`min

=(Xmin) – menor unidad/2.

• X`min = 1265.5 – 0.1/2 = 1265.45

• Amplitud de Clase= a = R/m = 22/8 = 2.75 = 2.8

• Marca de clase= MC=(xmax 1er intervalo + X`min )/2

• MC1 = (1268.25 + 1265.45)/2 = 1266.85

• Y se empieza la tabla


[1265.45 - 1268.25 ) 1266.85 8 8 0.07 0.07

[1268.25 - 1271.05 ) 1269.65 9 17 0.08 0.15

[1271.05 - 1273.85 ) 1272.45 16 33 0.15 0.30

[1273.65 - 1276.65 ) 1275.25 23 56 0.21 0.51

[1276.65 - 1279.45 ) 1278.05 12 68 0.11 0.62

[1279.45 - 1282.25 ) 1280.85 21 89 0.19 0.81

[1282.25 - 1285.05 ) 1283.65 13 102 0.12 0.93

[1285.05 - 1287.85 ] 1286.45 8 110 0.07 1.00

110 1.00

1-9

PROBLEMAPROBLEMA Problema Nº 02: Problema Nº 02: Los salarios quincenales, en

dóolares, recopilados en una muestra de 45 empleados son:

63 82 36 49 56 64 59 35 78

43 51 70 57 62 43 68 62 26

64 72 52 51 62 60 71 61 55

59 60 67 57 67 61 67 51 81

50 64 76 44 73 56 62 53 60

Describa la variable y desarrolle la distribución de frecuencia de los datos.

1-9


• Se identificó que la variable es cuantitativa discreta es X = “Salarios quincenales de empleados”.

• Se tiene que (Xmax) = 82 y (Xmin)= 26• R =(Xmax) - (Xmin)= 82 – 26 = 56• El número aproximado de intervalos de clase

es por la Regla de Sturges. – m = 1 + 3,322 log(45) m = 1 + 3,322 log(45) – m = 6,4556m = 6,4556– Elegimos 7 intervalos (se puede elegir

cualquier otro número cercano a 7).

DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS PARA VARIABLES CUANTITATIVAPARA VARIABLES CUANTITATIVA• Amplitud de Clase= a = R/m = 56/7 = 8


Intervalo de salarios ($)

Conteo de Empleados

Frecuencias

Absoluta Relativa Porcentaje

[26,34[ / 1 0,022 2,2%

[34,42[ // 2 0,044 4,4%

[42,50[ //// 4 0,089 8,9%

[50,58[ ////////// 10 0,222 22,2%

[58,66[ //////////////// 16 0,356 35,6%

[66,74[ //////// 8 0,178 17,8%

[74,82] //// 4 0,089 8,9%

Total 45 1 100,0%

PROBLEMAS PROBLEMAS PROPUESTOSPROPUESTOS

1-9

PROBLEMA PROPUESTO Problema Nº 01: Problema Nº 01: Elaborar la Tabla de Distribución

de Frecuencias. Dibujar el Histograma y Polígono de Frecuencia. ¿Que concluye Ud. después de todo eso?.

1,671,72

1,81

1,721,74

1,83

1,841,88

1,921,751,841,8

61,73

1,841,87

1,83

1,811,77

1,731,751,781,7

71,67

1,831,83

1,72

1,711,85

1,841,931,821,6

91,70

1,811,66

1,76

1,751,80

1,791,841,861,8

01,77

1,801,76

1,88

1,751,79

1,871,791,771,6

71,74

1,751,78

1,77

1,741,73

1,831,761,831,7

71,75

1,771,77

1,84

1,831,79

1,821,761,761,7

61,79

1,881,66

1,80

1,721,75

1,791,77

1-9


• Se identificó que la variable es cuantitativa continua.

• Se tiene que (Xmax) = 1,93 y (Xmin)= 1,66• R =(Xmax) - (Xmin)= 0.27• Como el rango es grande entonces trabajamos

con los datos ordenados agrupados en intervalo de clase (ver Sturges). Si la variable es cuantitativa continua:

– Determinar el numero de intervalos– Utilizar la regla de Sturge: m = 1 + 3,322log n – Si n = 80– m = 1 + 3,322log(80) = 7,322

1-9




• El menor del 1er intervalo izquierdo =X`min =(Xmin) – menor unidad/2.

• X`min = 1,66 – 0.01/2 = 1,655

• Amplitud de Clase= a = R/m = 0,27/8 = 0,034374

• Y se redondea: a = 0,034



[1,655 – 1,689 ) 1,672

[1,689 – 1,723 ) 1,706

[1,723 – 1,757 ) 1,740

[1,757 – 1,791 ) 1,774

[1,791 – 1,825 ) 1,808

[1,825 – 1,859 ) 1,842

[1,859 – 1,893 ) 1,876

[1,893 – 1,927] 1,910


[1,655 – 1,690 ) 1,673

[1,690 – 1,725 ) 1,708

[1,725 – 1,760 ) 1,743

[1,760 – 1,795 ) 1,778

[1,795 – 1,830 ) 1,813

[1,830 – 1,865 ) 1,848

[1,865 – 1,900 ) 1,883

[1,900 – 1,935] 1,918

Ajustamos la amplitud: a = 0,035

Y se empieza la tabla

1-9

DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS PARA VARIABLES CUANTITATIVAPARA VARIABLES CUANTITATIVA• m = 1 + 3,322log(80) = 7,322



• El menor del 1er intervalo izquierdo =X`min

=(Xmin) – menor unidad/2.

• X`min = 1,66 – 0.01/2 = 1,655

• Amplitud de Clase= a = R/m = 0,27/7 = 0,03857

• Y se redondea: a = 0,039

• Y se empieza la tabla:


[1,655 – 1,694 ) 1,675

[1,694 – 1,733 ) 1,714

[1,733 – 1,772 ) 1,753

[1,772 – 1,811 ) 1,792

[1,811 – 1,850 ) 1,831

[1,850 – 1,889 ) 1,870

[1,889 – 1,928 ) 1,909

[1,928 – 1,967] 1,948

1-9

2do METODO PARA CALCULAR EL 2do METODO PARA CALCULAR EL NUMERO DE INTERVALOSNUMERO DE INTERVALOS

• Se usan intervalos impares.

• El intervalo de celda (i) y la cantidad (h) se relacionan con la formula: h =R/i

• Dado que tanto h como i se desconocen, se utiliza el método ensayo y error método ensayo y error para encontrar que intervalo satisface las recomendaciones dadas.

• Como h como i no se conocen, entonces se usara un método de tanteo:

• Suponer que intervalo = i => h=R/i = Nº de Clases

1-9

2do METODO PARA CALCULAR EL 2do METODO PARA CALCULAR EL NUMERO DE INTERVALOSNUMERO DE INTERVALOS

• Suponer que:Suponer que:• i = 0,033 => h = 0,27/0,033 = 8.182 = 8 clases• i = 0,034 => h = 0,27/0,034 = 7,941 = 8 clases• i = 0,035 => h = 0,27/0,035 = 7,714 = 8 clasesi = 0,035 => h = 0,27/0,035 = 7,714 = 8 clases• i = 0,036 => h = 0,27/0,036 = 7,500 = 8 clases• i = 0,037 => h = 0,27/0,037 = 7,297 = 7 clases• i = 0,038 => h = 0,27/0,038 = 6,923 = 7 clases• i = 0,039 => h = 0,27/0,039 = 6,750 = 7 clases• “La cantidad de celdas, clases o grupos en una distribución de frecuencias dependerá en gran parte

del juicio del analista. Este juicio se basa en el número de observaciones, y puede requerir tanteos (“prueba y error”) para determinar la cantidad óptima de clases. En general , la cantidad de clases debe ser entre 5 y 20. Una regla general seria la siguiente: use de 5 a 9 celdas cuando la cantidad de observaciones sea inferior a 100” (“Control de Calidad” – Besterfield, pag. 51)

1-9

3er METODO PARA CALCULAR EL 3er METODO PARA CALCULAR EL NUMERO DE INTERVALOSNUMERO DE INTERVALOS

• Se usa la Tabla K.

• La 1era tabla nos da una guía respecto al numero de clases según el numero de datos.

• Luego se encuentra su proporcionalidad para conocer cual escoger

N KNúmero de datos Número de clases

Menos de 50 5 a 750 a 100 6 a 10

100 a 250 7 a 12mas de 250 10 a 20

DATOS CLASES50 663 775 887 9

100 10

• “Estrategias experimentales para el mejoramiento de la Calidad en la Industria” – John Lawson et al, Grupo Editorial Iberoamérica, pág. 54

1-9

4to METODO PARA CALCULAR EL 4to METODO PARA CALCULAR EL NUMERO DE INTERVALOSNUMERO DE INTERVALOS

• Se aplica la formula: K =

• ”Estadística Aplicada I: Técnicas para la Investigación”, por José Fernández Chavesta y Juan Fernández Chavesta, Editorial San Marcos, pág. 36

K = raíz cuadrada de 80 = 8,94

1-9

5to METODO PARA CALCULAR EL 5to METODO PARA CALCULAR EL NUMERO DE INTERVALOSNUMERO DE INTERVALOS

1 + 3,322 log n R

i =

1+3,322 log (80)

0,27i =

i = 0,037

• “Estrategias experimentales para el mejoramiento de la Calidad en la Industria” – John Lawson et al, Grupo Editorial Iberoamérica, pág. 54


[1,655 – 1,692 ) 1,674

[1,692 – 1,729 ) 1,711

[1,729 – 1,766 ) 1,748

[1,766 – 1,803 ) 1,785

[1,803 – 1,840 ) 1,822

[1,840 – 1,877 ) 1,859

[1,877 – 1,914 ) 1,896

[1,914 – 1,951] 1,933

1-9

PROBLEMA PROPUESTO Problema Nº 02: Problema Nº 02: Elaborar la Tabla de Distribución

de Frecuencias. Dibujar el Histograma y Polígono de Frecuencia. ¿Que concluye Ud. después de todo eso?.

1,72 1,81 1,72 1,74 1,83 1,84 1,88 1,92 1,75 1,84

1,86 1,73 1,84 1,87 1,83 1,81 1,77 1,73 1,75 1,78

1,77 1,67 1,83 1,83 1,72 1,71 1,85 1,93 1,82 1,69

1,7 1,81 1,66 1,76 1,75 1,80 1,79 1,84 1,86 1,80

1,77 1,80 1,67 1,78 1,77 1,74 1,73 1,83 1,76 1,83

1,76 1,88 1,75 1,79 1,87 1,79 1,77 1,67 1,74 1,75

1,77 1,75 1,77 1,77 1,84 1,83 1,79 1,82 1,76 1,76

1,76 1,79 1,88 1,66 1,80 1,72 1,75 1,79 1,77 1,84

1-9

PROBLEMA PROPUESTO Problema Nº 03: Problema Nº 03: Tenemos los datos de un laboratorio

respecto a una variable medida. Elaborar la Tabla de Distribución de Frecuencias. Dibujar el Histograma y Polígono de Frecuencia. ¿Que concluye Ud. después de todo eso?.

1.6 1.7 1.4 1.5 1.9 1.7 1.8 1.6 1.5 1.8 1.6 2.01.5 1.7 1.7 1.8 1.6 1.4 1.7 1.4 1.9 1.7 1.8 1.61.6 1.8 1.8 1.9 1.7 1.3 1.7 1.3 2.0 1.6 1.4 1.81.6 1.9 1.7 2.0 1.6 1.4 1.8 1.4 1.7 1.7 1.5 1.51.4 2.5 1.6 1.8 1.7 1.5 1.9 1.6 1.7 1.7 1.4 1.81.3 1.6 1.5 1.7 1.5 1.6 1.5 1.8 1.6 1.6 1.5 1.31.6 1.5 1.4 1.5 1.7 1.6 1.5 2.0 1.7 1.6 1.7 1.91.7 1.3 1.5 1.4 1.8 1.7 1.4 1.4 1.6 1.6 1.5 1.31.8 1.4 1.7 1.5 1.9 1.7 1.3 1.5 1.8 1.7 1.7 1.61.9 1.6 1.6 1.3 1.8 1.8 1.8 1.6 1.7 1.4 1.5 1.81.7 1.3 1.7 1.4 1.5 1.5 1.9 1.7 1.7 1.3 1.6 1.51.6 1.9 1.7 1.7 1.5 1.9 1.5 1.8 1.6 1.6 1.9 1.7

1-9

PROBLEMA PROPUESTO Problema Nº 04: Problema Nº 04: Tenemos las resistencias de la

tensión de 80 muestras de aleación Aluminio-Litio. Elaborar la Tabla de Distribución de Frecuencias. Dibujar el Histograma y Polígono de Frecuencia. ¿Que concluye Ud. después de todo eso?.

105 221 183 186 121 181 180 143 97 154 153 174 120 168 167 141 245 228 174 199 181 158 176 110 163 131 154 115 160 208 158 133 207 180 190 193 194 133 156 123 134 178 76 167 184 135 229 146 218 157 101 171 165 172 158 169 199 151 142 163 145 171 148 158 160 175 149 87 160 237 150 135 196 201 200 176 150 170 118 149

2011 - II : Clase Nº 01 Estadística Descriptiva I

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