201015_Termodinámica_Modulo 2

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 201015 – TERMODINÁMICA

1-

K373,ónvaporizaci2 J.K 8.108K 373

J 40292SS

Recordemos que las unidades de entropía son J.K-1 o Cal.K-1.

c. En este momento tenemos agua en estado de vapor a la temperatura de 373 K; es

necesario suministrar calor para elevar su temperatura hasta 473 K. Luego:

2

1

T

TP dT.CH

Como es una función de la temperatura, por la segunda condición del problema:

dT.T10x2.9T10x9.786.36H2

1

T

T

263

3

1

3

2

6

1

23

12 TTx3

10x2.9

T

TxLn10x9.7TTx86.36H

∆H = 3686 J - 0.0018 J + 165.4 J

∆H = 3851.4 J

A partir de la ecuación 6, el cálculo para la variación de entropía ∆S será:

2

1

2

1

T

T

263T

T

P373 ,1473 ,23

T

dT.T10x2.9T10x9.786.36

T

dT.CSSS

Ec. 6

∆S3 = S2, 473 K – S1, 373 K = 8.3 J.K-1

d. Finalmente, el último paso implica un aumento en la presión del vapor de agua, el cual

veníamos trabajando a 1 atmósfera; luego efectuamos un proceso para llevarlo a una

presión de 3 atmósferas, manteniendo la temperatura constante de 473 K. Este proceso


sólo puede hacerse mediante una compresión isotérmica, y de esta manera, variamos P y

V. Tomando la ecuación 11, se obtiene:

1

2v

1

2PP,V1P,V24

P

PLnC

V

VLnCSSS

1122

Por tomarse el vapor de agua como un gas ideal y como la temperatura se mantiene

constante: P1.V1 = P2.V2, y reemplazando en la ecuación anterior:

2

1V

2

1P

1

2V

2

1P4

P

PLn.C

P

PLnC

P

PLn.C

P

PLnCS

2

1Vp4

P

PLn.CCS

Aplicando la ecuación 7 de la segunda unidad:

Cp – Cv = n.R

Con lo que queda: ∆S4 = n.R.Ln P1/P2

1-11-

4 J.K 1.93

1Ln.mol.J.K 3.8 x mol 1S

La variación de entropía para este último paso es negativa, puesto que se ha realizado

una compresión isotérmica.

La variación total de entropía para el proceso será igual a la suma de las variaciones de

cada uno de los pasos:

∆Stotal = ∆S1 + ∆S2 + ∆S3 + ∆S4

∆Stotal = 23.5 J.K-1 + 108.0 J.K-1 + 8.3 J.K-1 - 9.1 J.K-1


∆Stotal = 130.7 J.K-1

Como conclusiones a este problema: un proceso tan simple como el calentamiento de

agua, puede implicar una serie de pasos que es necesario analizar, aislar y efectuar el

cálculo para cada paso; las trayectorias termodinámicas deben ser perfectamente

establecidas para poder escoger la ecuación adecuada y aplicarla correctamente al

cálculo de la variación de energía; hay que tener mucho cuidado con el calentamiento o

enfriamiento de sustancias, dado que pueden presentarse cambios de estado (también

llamados cambios de fase) en los cuales se presentan intercambios de energía; pero la

temperatura permanece constante; y toda variación de entalpía va correspondida por una

variación de entropía.

CÁLCULOS DE LA VARIACIÓN DE ENTROPÍA PARA PROCESOS IRREVERSIBLES

Después de analizar los cambios de entropía para procesos reversibles, nos dedicaremos

a realizar el mismo procedimiento para los irreversibles. Para ello debemos recordar que

los procesos que ocurren en la naturaleza son irreversibles y, en consecuencia,

pondremos una mayor atención en nuestro estudio para la comprensión y aplicación de

los cálculos para esta clase de procesos.

Para todos estos cálculos hay que tener en cuenta que la entropía es una función

termodinámica de estado: es decir, en el cálculo de su variación sólo hay que considerar

el estado inicial y final del proceso, sin que la trayectoria influya en ella.

Como punto de partida para realizar el cálculo, se tomará la trayectoria reversible entre

los estados inicial y final del proceso y a partir de ella calcular ∆S para el proceso

irreversible.

Lección 20: Entropía (continuación)

CALENTAMIENTO IRREVERSIBLE DE UN SISTEMA TERMODINÁMICO

Para el calentamiento irreversible se va a considerar que la temperatura del sistema es T

la temperatura del foco T1, la capacidad calorífica del sistema es c y su masa m.


Para facilitar el cálculo del flujo de calor tomamos T2 > T1 y la variación de calor se hace

en forma reversible. Hay que recordar que la variación reversible de una magnitud dada,

en este caso el calor, implica solamente el hecho de que el paso de calor sea en forma

infinitesimal para llevar nuestro sistema de una temperatura T1 a T2 y la condición para un

proceso irreversible es que la variación de entropía del universo (sistema + alrededores)

sea mayor que cero. Con estas dos aclaraciones ya podemos iniciar los cálculos:

2

1

2

1

T

T1

2T

T

Rsistema

T

TLn.c.m

T

dt.c.m

T

QS

Ec. 16

Como el cociente T2/T1 es mayor que uno, por la condición de T2 > T1 la variación de

entropía para el sistema es mayor que cero y, por consiguiente, positiva.

Para calcular la variación de entropía del universo se debe considerar el ∆S para el foco

térmico. Mientras que el sistema ganó calor, el foco térmico debió perderlo exactamente

en la misma cantidad para cumplir con la primera ley de la termodinámica. Como la

temperatura del foco térmico permanece constante, por su calidad de foco, tenemos:

1

12

2

focoT

TT.c.m

T

QS

La variación de entropía del universo será:

01T

T

T

TLnc.mSSS

2

1

1

2sistemafocouniverso

Ec. 17

Esta última expresión se comprueba fácilmente que es mayor que cero al reemplazar T1 y

T2 por valores cualesquiera. El proceso de calentamiento de un sistema nos deja varias

conclusiones: el sistema, o cuerpo que se calienta, aumenta entropía; el foco que pierde

calor disminuye su entropía; el conjunto sistema-foco, en el doble proceso calentamiento-

enfriamiento, aumenta entropía (∆Suniverso > 0); el cuerpo, sistema o foco que tenga una

temperatura mayor está obligado a ceder calor a aquel que tiene una temperatura menor.

Esta es la razón por la cual los cuerpos se calientan de una manera espontánea al

ponerlos en contacto con otro cuerpo a mayor temperatura.


EXPANSIÓN LIBRE DE UN GAS IDEAL

El experimento de Joule de la expansión de un gas contra el vacío, nos muestra también

el carácter de irreversibilidad de aquellos procesos en los cuales intervienen diferencias

de presiones. La expansión libre consiste en abrir la llave que separa los compartimientos

del gas y vacío y observar si el gas pasa hacia la parte que previamente se le ha hecho

vacío, figura 46.

FIGURA 46

Esquema del experimento de Joule para la expansión libre (contra vacío de un gas ideal

La experiencia nos muestra que sí, que el gas trata de llenar todos los espacios vacíos, y

que, además, el gas espontáneamente no vuelve a colocarse en el sitio original; es decir,

no retorna a las condiciones del comienzo del experimento. En consecuencia el volumen

ocupado por el gas V1 pasa a un volumen V2 en donde V2 > V1. La ley de la

termodinámica nos dice que para la expansión libre, W = 0, Q = 0 y ∆U = 0, la energía

interna del gas al final del proceso es la misma que al comienzo.

Si no hay cambio en ∆U y Q = 0, podría llegar a pensarse que ∆S es igual a cero; pero no

es así, los cálculos que se van a realizar así lo demuestran.

La expansión libre del gas se puede asemejar a la expansión cuasi-estática isotérmica de

un gas del volumen V1 al volumen V2. En esta expansión el gas absorbería una cierta

cantidad de calor Q equivalente al trabajo W, que realiza el sistema durante la expansión,

luego:

2

1

V

Vgas

T

dV.P

T

W

T

QS

Para un gas ideal: V

T.R.nP


Reemplazando:

0V

VLn.R.n

V

dV.R.ndV.

V.T

T.R.nS

2

1

2

1

V

V

V

V1

2gas

Ec. 18

Nuevamente, V2 > V1 y el valor de la ecuación 18 será mayor que cero. En consecuencia

la entropía del gas aumenta. Como conclusiones de este experimento: el gas tiende a

ocupar el mayor espacio posible, haciendo su distribución homogénea e todo el espacio;

sistemas que posean una mayor presión que sus alrededores tiende a expandirse hasta

que la presión interna sea igual a la externa; lo contrario también cierto, cuando la presión

interna es menor que la exterior, el sistema se comprime hasta igualar las presiones; la

expansión de un gas es un proceso irreversible, esto es, el gas por sí solo no va a ocupar

el volumen inicial que tenía y dejar el restante vacío; y en los casos que acabamos de

mencionar, la entropía del universo aumenta.

Cuando dos sistemas interactúan mecánicamente por diferencia de presiones, el sistema

que gana presión aumenta su entropía, mientras que el que disminuye su presión

disminuye su entropía; pero la nueva situación obtenida: dos sistemas con igualdad en su

presión dan un universo con mayor contenido entrópico.

MEZCLA DE DOS GASES IDEALES

El caso que se va a considerar aquí puede aplicarse a la mezcla de dos líquidos de

naturaleza diferente, o bien, a la mezcla de un sólido con un líquido. En estos procesos de

mezcla hay también una variación de entropía que puede ser calculada para cada uno de

los constituyentes en particular. Para el caso de la mezcla de dos gases ideales, es

mucho más sencillo y facilita enormemente el cálculo de ∆S. La mezcla de los dos gases

ideales está confinada en un cilindro en el cual existen dos membranas semipermeables

(M1, y M2) que permiten el paso selectivo de una u otra molécula de acuerdo con el tipo de

membrana, figura 47. Los gases están representados por esferas puntos.

FIGURA 47

Separación de una mezcla de dos gases utilizando membranas semipermeables


Los espacios A y B tienen el mismo volumen. Una de las membranas M1 se mueve

sincrónica y simultáneamente con la tapa T. El desplazamiento de la tapa y de la

membrana se hace lentamente, evitando fricciones. Al final cuando la tapa y la membrana

hayan llegado a su posición final, los gases se habrán ubicado cada uno en el espacio A o

en el B, según se lo permita la membrana semipermeable.

Todo el proceso se ha realizado a temperatura constante y en cada instante del

desplazamiento de la tapa y membrana las presiones están equilibradas y no es

necesario aplicar un trabajo para separar los gases, por consiguiente, W = 0 y Q = 0;

luego, para este caso particular la variación de entropía es ∆S = 0.

Cabe preguntarnos si es posible separar dos gases sin hacer ningún trabajo y sin variar la

entropía del universo, en un proceso reversible. ¿Qué objeto tiene colocar aquí este tipo

de experimento si estamos hablando de procesos irreversibles? Este experimento

muestra las ventajas de un experimento mental y las desventajas de la tecnología. El

experimento en su constitución es válido, sin embargo, hasta ahora no se ha podido

construir un material que logre separar átomos de dos gases, y por consiguiente este

experimento es ideal.

Lo más común es tener dos gases diferentes en los recintos A y B de un cilindro

separados por una pared. El volumen inicial de cada recinto es V1 y V2.

Si se quita la pared que los separa, ambos gases se mezclarán el uno con el otro y el

volumen ocupado por cada uno de ellos será V1 + V2. En este caso, parecido al anterior,


sí se produce un aumento de entropía que puede calcularse como el de un proceso de

expansión de cada uno de los gases que pasan de un volumen V2 a (V1 + V2) y el

segundo de ellos pasa de V1 a (V1 + V2) el otro gas. Estas expansiones de gases se

pueden asemejar al proceso mediante el cual un gas absorbe calor y realiza un trabajo de

expansión.

Para el gas 1, tendremos:

21

1

VV

V

111

T

dV.P

T

W

T

QS

La presión en todo momento de la mezcla se mantiene constante, puesto que la presión

total es igual a la suma de las presiones parciales. Por ser gas ideal:

1

21VV

V1

V

VVLn.R.ndV.

T.V

T.R.nS

21

1

Ec. 19

Para el gas 2, la expresión es la misma:

2

212

V

VVLn.R.nS

La variación total de entropía será:

0V

VVLn

V

VVLnR.nSSS

2

12

1

2121

El aumento de entropías se debe al aumento de volumen (V1 +V2) dentro del cual se

moverá el gas ideal. Obsérvese que la variación de entropía es independiente de la

naturaleza del gas; solamente debe existir la condición de que los dos gases mezclados

sean diferentes.

CÁLCULO DE ENTROPÍA EN PROCESOS IRREVERSIBLES


Como el cambio de entropía se define sólo para procesos reversibles, en caso de querer determinar el cambio de entropía en un proceso irreversible se debe acudir a establecer una secuencia de procesos reversibles que sean equivalentes al proceso reversible.

Por ejemplo considere un cambio de fase a condiciones que no sean las de equilibrio, digamos la fusión del hielo a la presión de una atmósfera pero una temperatura diferente a 0 ºC. Este es un proceso irreversible, no se puede determinar directamente el cambio de entropía, para ello es necesario considerar que este proceso se puede efectuar a través de tres procesos reversibles: proceso isobárico hasta que la temperatura del hielo sea de 0 ºC, el segundo es la fusión del hielo a 0 ºC y el tercero un proceso isobárico hasta alcanzar la temperatura original. Para cada uno de estos procesos reversibles es posible calcular el cambio de entropía. Entonces, debido a que la entropía es una propiedad termodinámica o una función de punto su cambio es independiente del proceso en sí ya que solo depende de los estados inicial y final. El cambio de entropía en un proceso irreversible será igual a la suma de los cambios de entropía de la secuencia de los procesos reversibles. Ver ejemplo 45.

Un proceso de mezcla de dos o más gases también es un proceso irreversible, para calcular el cambio de entropía se debe considerar como equivalente a dos procesos reversibles: el primero una expansión isotérmica de cada uno de los gases hasta ocupar el volumen final y el segundo por una mezcla adiabática en un arreglo que permita la reversibilidad del proceso, tal como se ilustra en la figura 87.

Figura 87: Proceso de mezcla de dos gases

El arreglo consiste en dos cilindros que tienen cada uno un volumen al volumen final de la mezcla gaseosa. Los cilindros están separados por medio de una pared fija permeable solamente al gas A y un émbolo móvil que contiene dos paredes, la de la izquierda impermeable y la de la derecha permeable solamente al gas B, el cual se desplaza muy lentamente, de tal manera que las condiciones de presión y temperatura se mantienen constante, el gas no realiza trabajo y no hay transferencia de calor. Si el émbolo se mueve hasta una posición intermedia se observa que se realiza una mezcla parcial de los gases.


Al llegar al estado final los gases se encuentran completamente mezclados. Si se invierte la dirección del movimiento del émbolo los gases se vuelven a separar.

Si VA representa el volumen inicial del gas A, VB el volumen del gas B y V el volumen cuando se mezclan los dos gases, entonces el cambio de entropía en el proceso irreversible será igual al cambio de entropía que experimenta cada gas durante la expansión mas el cambio de entropía durante la mezcla adiabática, pero como en un proceso adiabático reversible el cambio de entropía es cero se tiene que:

BA SSS

V

VRn

V

VRnS A

A

A

AA lnln

V

VRn

V

VRnS B

B

B

BB lnln

))lnln(

()lnln(n

xnxnnRxnxnRS BBAA

BBAA

)lnln( BBAAmezcla xnxxnRS Ecuación 197

La deducción que acabamos de realizar se puede generalizar para una mezcla de varios gases ideales o de líquidos que formen soluciones ideales y donde no se presentan interacciones entre sus componentes. Para estos casos se puede plantear la siguiente ecuación

iimezcla xxnRS ln Ecuación 198

Ejemplo 45

Calcule el cambio de entropía

durante la fusión de 250 de hielo a

una temperatura de 20 ºC.

Para el agua

KgcalcLp ./0,1

)(

KgcalcSp ./5,0

)(

gcalh fusión /7,79

Figura 88: Ilustración ejemplo 45


Análisis del problema

La fusión del hielo a 20 ºC es un proceso irreversible por lo tanto para poder calcular el

cambio de entropía se debe establecer una secuencia de procesos reversibles que

sean equivalentes a este proceso irreversible. Las siguientes transformaciones

expresan esta situación:

El cambio de entropía, S , en el proceso irreversible

)1,º20()1,º20( )(2)(2 atmCOHatmCOH LS

es igual a la suma de los cambios de entropía en los siguientes procesos

)1,º0()1,º20( )(2)(2 atmCOHatmCOH SS 1. Proceso isobárico reversible

)1,º0()1,º0( )(2)(2 atmCOHatmCOH LS 2. Fusión de hielo reversible

)1,º20()1,º0( )(2)(2 atmCOHatmCOH LS 3. Proceso isobárico reversible

321 SSSS

SOLUCIÓN DEL PROBLEMA

k

cal

Kg

calg

T

TmcS

fusión

Sp 84,8)293

273ln()

.5,0)(250()ln(

)(1

K

cal

K

gcalg

T

hmS

fusión

fusión0,73

273

)/7,79)(250(2

k

cal

Kg

calg

T

TmcS

fusiónLp 7,17)

273

293ln()

.0,1)(250()ln(

)(3

K

cal

K

cal

K

cal

K

calSSSS 86,817,170,7384,8321


Observe que la contribución más grade al cambio de entropía corresponde al cambio

de fase a condiciones de equilibrio

Ejemplo 46

En un recipiente de paredes adiabáticas

se colocan 50 g de hielo a una

atmósfera y 0 ºC con 120 g de agua

líquida a 30 ºC. Determinar el cambio

de entropía.

Para el agua

Cgcalc p º/0,1

gcalh fusión /7,79



Dado que el sistema es adiabático, cuando se ponen en contacto el hielo con el agua

líquida ocurre un proceso espontáneo o sea irreversible donde el hielo absorbe calor

del agua líquida y se funde trayendo como consecuencia un descenso en la

temperatura del agua líquida hasta que se alcanza el equilibrio térmico. Surge la

pregunta obvia ¿cuál es la temperatura final? La respuesta a esta pregunta depende

de las masas de hielo y agua líquida y de las temperaturas, por ejemplo, si se tiene

una pequeña cantidad de hielo y una cantidad mucho mayor de agua líquida a una

temperatura alta, el hielo se fundirá completamente y la temperatura del agua

descenderá ligeramente. Si se presenta la situación contraria la temperatura del agua

desciende hasta cero grados Celsius y no se alcanza a fundir todo el hielo. Entonces,

para determinar el estado final se debe realizar un balance energético entre el calor

que se requiere para fundir el hielo y el calor proporcionado por el agua al enfriarse

desde su temperatura inicial hasta la temperatura final.

También es necesario considerar que si bien el proceso global es irreversible, este se

puede considerar formado de dos procesos reversibles. El primero corresponde a la

fusión del hielo a 0 ºC y 1 atmósfera, el segundo es un proceso de transferencia de

calor a presión constante. Entonces el cambio de entropía global corresponde a la


suma de cambios de entropía en cada uno de estos procesos.


)( aguaequilibriopaguaagua TTcmQ

fusiónhielohielo hmQ

aguahielo QQ

)( aguaequilibriopaguafusiónhielo TTcmhm

pagua

fusiónhielo

aguaequilibriocm

hmTT

CCgcalg

gcalgCTequilibrio º2,3

).º/0,1)(120(

)/7,79)(50(º30

Como el sistema es adiabático la temperatura de equilibrio no puede ser menor de 0

ºC, por lo cual se concluye que no todo el hielo se funde y que el estado final

corresponde a una masa de hielo en equilibrio con agua líquida a 0 ºC.

Para determinar la cantidad de hielo fundido se despeja de la ecuación del balance

energético.

ggcal

CCgcalg

h

TTcmm

fusión

aguaequilibriopagua

hielo 2,45/7,79

)º300)(.º/0,1)(120()(

aguahielofusión SSS

K

cal

K

gcalg

T

hmS

fusión

fusiónfundidohielo

hielofusión 2,13273

)/7,79)(2,45(


K

cal

K

KKgcalg

T

TcmS

agua

equilibrio

paguaagua 5,12)303

273ln()./0,1)(120()ln(

K

cal

K

cal

K

calS 7,05,122,13

Ejemplo 47

Calcular el cambio de entropía

durante la mezcla isotérmica

de 56 g de etileno con 112 g de

nitrógeno.



La mezcla de dos gases es un proceso irreversible, entonces el cambio de entropía se

puede calcular mediante las consideraciones de que los gases inicialmente se

expanden hasta ocupar el volumen final de la mezcla y luego se mezclan

adiabáticamente, con lo cual se obtiene la ecuación 198. Entonces solo hace falta

calcular el número de moles totales y la fracción molar de cada gas.


Pesos moleculares N2 = 28 g/mol C2H4 = 28 g/mol

molesg

molgnnitrógeno 4)

28

1)(112(


molesg

molgnetileno 2)

28

1)(56(

molesn 6

67,06

42Nx

y 33,0

6

242HCx

K

J

Kmol

JmolesSmezcla 60,3133,0ln33,067,0ln67,0)

.31,8)(6(

SIGNIFICADO Y USO DE LA FUNCIÓN TERMODINÁMICA ENTROPÍA

A esta altura del curso de termodinámica, se han presentando tres funciones

termodinámicas: energía interna, entalpía y entropía. Es conveniente detenernos y

comparar el significado y uso de cada una de estas tres funciones termodinámicas, para

que no se presenten confusiones cuando se tenga que escoger la función respectiva para

efectuar un cálculo termodinámico. La primera ley de la termodinámica nos dice

simplemente que el calor ganado por el sistema tiene que haberlo cedido, o bien otro

sistema o bien los alrededores. Lo contrario es también cierto: el calor ganado por los

alrededores es igual al calor perdido por el sistema.

Las dos funciones termodinámicas con las que trabaja el primer principio: energía interna

y entalpía corresponden al tipo de trayectoria utilizado para efectuar el intercambio de

calor; así, cuando el volumen se mantiene constante la función escogida es energía

interna; mientras que si la presión se mantiene constante deberemos trabajar con

entalpía. Ambas funciones se refieren a intercambios de calor, sistema-alrededores.

De otro lado, el experimento del equivalente mecánico del calor de Joule muestra cómo

se puede convertir el trabajo mecánico en calor dentro de nuestro sistema, y así, la

función energía interna, que nos mide la variación de la energía del mismo estará

compuesta por el calor y el trabajo. El hecho de que el trabajo pueda convertirse en calor,

plantea el interrogante de sí es posible o no convertir todo el calor recibido por el sistema

en trabajo. Aquí aparece entonces el segundo principio.


Lo primero que nos indica este principio, es la imposibilidad de trabajar con un solo foco

térmico. Siempre que hablemos de intercambios de calor debernos tener, como mínimo,

dos focos térmicos: uno frío y otro caliente y, en consecuencia, será necesario trabajar

con dos temperaturas. Esta situación nos obliga a que una parte del calor tomado por el

sistema del foco caliente sea cedida al foco frío y que la diferencia pueda ser convertida

en trabajo. Sólo así nuestro sistema podrá realizar un trabajo sobre los alrededores.

Esta relación entre el calor y la temperatura δQR/T la llamamos entropía y la podemos

calcular tanto para el foco caliente como para el foco frío. Ahora bien, el calor cedido al

foco frío y que no ha sido convertido en trabajo, constituye una energía no utilizable. En el

lenguaje común se habla de degradación de la energía para referirnos a este fenómeno.

Además de este aspecto de cuantificación de la energía disponible para realizar trabajo, la

segunda ley tiene una serie de preceptos que nos facilita la posibilidad de predecir cual

será la dirección que se debe seguir en un proceso termodinámico. Así, la entropía nos

obliga a que un cuerpo ceda calor a otro que tiene una menor temperatura hasta que

éstas se igualen; un sistema con presión mayor que otro, lo comprimirá hasta alcanzar un

equilibrio mecánico y, por último, la variación de entropía del universo para procesos

reversibles es nula, mientras que para los irreversibles será mayor que cero.

Procesos con variación de entropía negativa no se presentan en la naturaleza. Todo esto

nos hace pensar que la entropía del universo tiende hacia un máximo y que cuando se

alcance ese máximo la temperatura de todos los cuerpos será la misma y no habrá

diferencias de presión entre diferentes regiones del espacio; situación esta que no

permitirá realizar ningún trabajo y, por consiguiente, habremos llegado a la muerte

entrópica del universo.

AUTOEVALUACIÓN 17

1. ¿Existen procesos reales en la naturaleza para los cuales la variación de entropía sea

igual a cero?

2. La entropía es una función termodinámica, en consecuencia, ¿dependerá o no de las

propiedades termodinámicas?

3. ¿Cuál es la fórmula que relaciona los cambios de entropía en función de la temperatura

y del volumen para un gas ideal?


4. ¿Por qué en una expansión adiabática la entropía del sistema se mantiene constante?

5. Considere dos sistemas comunicados entre sí por una pared diatérmica entre sí. Si la

entropía obliga al intercambio de calor, de caliente a frío; ¿cómo puede mostrar con

ejemplos un intercambio de calor reversible y otro irreversible?

6 Calcule la variación de entropía de 100 g de mercurio sólido, temperatura de

-39°C, cuando se calientan hasta una temperatura de 100°C. El valor del calor de fusión

es de 3 Kcal.kg-1 y el calor específico promedio entre estas temperaturas es de 0.0335

cal.g-1.ºC-1.

7. El nitrógeno en condiciones normales tiene una densidad de 0.001251 g.cm -3.

Determine la variación de entropía al efectuar la compresión de 1 gr de nitrógeno hasta un

valor de 0.001751 g.cm-3 en un proceso isotérmico.

8. ¿Cuál es el factor de conversión entre las unidades de entropía expresadas en cal.g -

1.K-1 y BTU. Lbm-1.ºR-1.

9. Estudie la variación de entropía para el sistema formado por 1 kg de agua a 25°C y 2

kg de hielo a 0°C colocados dentro de un recipiente adiabático. Halle la variación de

entropía:

a) Para el agua que originalmente estaba a 25°C. b) Para el hielo. c) Para el conjunto agua-hielo, cuando se alcance el equilibrio térmico entre los dos

componentes. 10. Calcule la variación de entropía cuando 5 moles de nitrógeno se comprimen de 1 a

100 atmósferas y simultáneamente su temperatura sube de -20°C a 200°C. Asuma que el

nitrógeno se comporta como gas ideal.

11. Un kilogramo de agua a 0°C se pone en contacto con un foco térmico a 100°C.

¿Cuáles son las variaciones de entropía para el agua, el foco calorífico y el universo?

CAPITULO 5: CICLOS TERMODINAMICOS

Introducción

El estudio de los ciclos termodinámicos es muy interesante y de gran importancia

tecnológica ya que constituye el fundamento conceptual de muchas aplicaciones directas

en las diferentes disciplinas de la ingeniería. Por ejemplo para establecer parámetros para

el diseño de máquinas térmicas y evaluar su eficiencia, para analizar el proceso de


producción de energía en una central termoeléctrica, o para diseñar sistemas de

refrigeración entre otros.

Actualmente hay una problemática en el mundo entero y es el control de la contaminación

que a diario producen millones de automotores, turbinas de los aviones, maquinaria

industrial, de tal manera que mejorar la eficiencia de las máquinas térmicas sin

contaminar el medio ambiente representa un constante reto para la ingeniería.

Por otra parte, en la industria de los alimentos la refrigeración es un proceso muy

importante, ya que las bajas temperaturas inhiben el crecimiento microbiano y las

reacciones enzimáticas, causantes de la descomposición de la mayoría de productos

alimenticios. Surgen entonces varias preguntas, por ejemplo: ¿cómo producir frío?, ¿qué

elementos constituyen un sistema de refrigeración?, ¿qué características debe poseer un

material para que sea un buen refrigerante?

Es necesario precisar que todo proceso de refrigeración implica que exista un sistema que

retire calor de una región de baja temperatura y lo lleve a otra de mayor temperatura.

Como Ud. debe conocer, del estudio de la unidad anterior, este proceso no se realiza en

forma espontánea y para que ocurra se necesita que el sistema cumpla un ciclo donde se

realice trabajo sobre él y como resultado se verifique la transferencia de calor en el

sentido deseado. Al final de la unidad, se profundizará en el estudio de los ciclos de

refrigeración y las características de las sustancias utilizadas como refrigerantes.

Lección 21: La máquina de vapor. Ciclo de Rankine

En la segunda unidad de nuestro curso vimos cómo la máquina de vapor diseñada por

Thomas Newcomen y perfeccionada por James Watt, mostraba la relación que podría

existir entre trabajo y calor; y sirvió como idea base para que Joule proyectara el

experimento del equivalente mecánico del calor.

Dos siglos después del invento de Watt, existen todavía numerosas máquinas que

funcionan con el mismo principio termodinámico original y que nos muestran la utilidad y

vigencia de la máquina de vapor en nuestra sociedad. El ciclo termodinámico de esta

máquina fue estudiado por W.J. Rankine, un ingeniero escocés que en 1859 publicó su

libro Manual de la Máquina de Vapor y que le dio su nombre al ciclo termodinámico de la


máquina de vapor. El fundamento mecánico de esta máquina consiste en aprovechar la

energía que posee el vapor de agua para mover un pistón dentro de un cilindro y a la

utilización de dos elementos tan baratos como son el agua y el carbón.

La figura 57 nos muestra un esquema muy sencillo de la máquina de vapor. El agua se

lleva mediante una bomba hasta la caldera, en donde la presión y la temperatura que

alcance el vapor saturado dependerán de las condiciones de operación propias de la

máquina; así por ejemplo, a la presión de 10 atmósferas, la temperatura que alcanza el

vapor saturado es de 180 ºC y a 15 atmósferas es de 200 °C.

FIGURA 57

Esquema elemental de una máquina de vapor

La caldera o generador de vapor recibe el calor de la combustión del carbón y este

proceso continúa mientras la máquina está funcionando. El vapor así producido se

conduce hasta el pistón o émbolo de la máquina, el cual se mueve debido a la gran

presión que ejerce dicho vapor.

En las centrales termoeléctricas no existe el pistón, sino una turbina con una serie de

aspas o alabes (similares a una hélice), contra las cuales se estrella el vapor, produciendo

el movimiento de rotación del eje. En cualquiera de los dos casos anteriormente

mencionados, el vapor utilizado se lleva posteriormente al condensador, lugar en donde

cede calor para pasar al estado líquido a una presión menor que la atmosférica y a una

temperatura menor que la de ebullición. El condensador cederá su contenido calorífico al


foco frío y el agua condensada será llevada por la bomba, nuevamente, a la caldera para

la producción de vapor, cerrando de esta manera el ciclo.

Al llegar a este punto hay que hacer una aclaración. El vapor que se utiliza para mover el

pistón o la turbina debe ser un vapor con unas características tales que cuando haga la

expansión, en el pistón, no se vaya a producir agua en estado líquido, debido a la alta

corrosión que presenta este líquido a elevadas temperaturas. Para eliminar este problema

se sobrecalienta el vapor; es decir, pasamos de la isoterma de vapor saturado a una

isoterma mayor. Todas las máquinas que trabajan hoy en día, lo hacen con el ciclo de

vapor sobrecalentado.

La temperatura del vapor sobrecalentado tiene un límite, que viene dado por la resistencia

de los materiales utilizados a altas presiones; este límite supone una temperatura máxima

de 550 °C y una presión máxima de 100 atmósferas, con una tolerancia de 10% de la

humedad. Este límite se conoce con el nombre de límite metalúrgico.

El ciclo termodinámico que describe todas las variaciones de presión, volumen y

temperatura que sufre la máquina de vapor se llama ciclo Rankine, representado en la

figura 58, y será explicado a continuación. Recordemos que la línea punteada describe el

comportamiento de agua saturada con vapor a la izquierda del punto crítico (Cr) y del

vapor saturado con agua a la derecha de dicho punto crítico.

FIGURA 58

Diagrama termodinámico P-V para el ciclo de Rankine


El ciclo de Rankine es una descripción de una máquina ideal de vapor; por consiguiente,

el rendimiento calculado tiene un valor máximo comparado con las máquinas que se

construyen en la industria. Esto se debe a que para nuestro estudio no consideramos los

siguientes fenómenos:

a) Aceleraciones y turbulencias del vapor que alteran la presión del mismo. b) Rozamiento producido sobre las paredes del pistón y de la bomba de agua. c) Pérdidas de calor en la conducción del vapor y durante la expansión en el pistón. d) Transferencia de calor irreversible entre la combustión del carbón y la caldera, con

las consabidas pérdidas de calor por radiación.

Para comenzar el ciclo, no vamos a considerar la energía calórica para llevar el agua de

la temperatura ambiente hasta la temperatura de agua saturada de vapor a la presión P

representada en la figura 58 por el punto a.

Los procesos que componen el ciclo Rankine son los siguientes:

a) a → b. La bomba realiza una compresión adiabática del agua para llevarla de P2 a P1.

La variación de temperatura es muy pequeña y prácticamente sigue la isoterma T. b) b → c. El agua se calienta isobáricamente hasta llevarla a su temperatura de

ebullición, T1. El calor consumido en este proceso es muy pequeño. Basta comparar la capacidad calorífica de un gramo de agua a la temperatura de ebullición, con el calor de vaporización del mismo gramo de agua a dicha temperatura.

c) C → d. El agua que entra en la caldera se evapora isobáricamente llegando al punto

de vapor saturado. d) d → e. Este proceso hace que el calor absorbido por el vapor lo sobrecaliente y

pasemos de la isoterma T a T en una trayectoria isobárica. e) e → f. En este momento el vapor se introduce en el pistón y realiza la llamada carrera

de trabajo; por lo tanto, el vapor se expande adiabáticamente y el punto f representa la composición del vapor húmedo; esto es, vapor de agua y una pequeña proporción de agua en estado líquido.

f) f → a. El vapor húmedo se introduce en el condensador en contacto con el foco frío

cediéndole calor, para llevar todo el vapor a agua líquida, punto a, con lo cual se cierra el ciclo.

El agua que está a la temperatura T2, punto b, puede circular por las vecindades de la

caldera antes de entrar a la misma, para alcanzar la temperatura T1. El recalentamiento

del vapor T1 a T2 se logra haciéndolo recircular por un serpentín colocado dentro de la

caldera.

De esta forma, la zona donde se absorbe calor en una cantidad Q está dada por la

trayectoria b → c → d → e, todo a presión constante. Por consiguiente:

Q1 = He – Hb


De otra parte, el calor cedido, Q2, en el condensador al foco frío será también a presión

constante, trayectoria f → a, y:

Q2 = Hf – Ha

La definición de rendimiento, n, para la máquina térmica nos dice:

be

qfbe21

HH

HHHH

Q

QQ

Q

Wn

La entalpía del agua, Hb, no es fácilmente obtenible en las tablas; pero puede calcularse

teniendo en cuenta las condiciones propias del proceso, así el paso de a → b es

adiabático y Hb puede expresarse en función de Ha y de la compresión adiabática que

realiza la bomba:

Ahora bien, el volumen V prácticamente no sufre cambio, debido a que es un líquido y la

ecuación se transforma en:

Hb = Ha + V (P1 – P2)

El rendimiento queda expresado:

)PP.(VHH

)PP.(VHHn

21ae

21fe

Ec. 1

La ecuación 1, expresa el rendimiento de la máquina en función de las entalpías de vapor

sobrecalentado, He, del vapor húmedo a la temperatura T2; del foco frío, Hf; del agua

saturada a la temperatura T2, Ha, y del llamado término correspondiente a la bomba de

alimentación: V.(P1 – P2).

En la ecuación 1 del rendimiento para la máquina de vapor, aparece el término H f que se

refiere a la entalpía de la mezcla líquido-vapor que se ha producido durante la expansión

adiabática en el pistón de la máquina. El valor de Hf no se obtiene directamente de las


tablas de vapor, pero puede calcularse en función de la entalpía del vapor saturado en la

isoterma T2 y de las entropías de vapor sobrecalentado Se y del vapor saturado Sk.

El proceso de expansión adiabática de e → f es un proceso isentrópico, por consiguiente:

Sf = Se

En consecuencia:

Hf = Hk –T2.(Sk – Se) Ec. 2

En esta última ecuación la entalpía de la mezcla agua-líquida-vapor de agua (también se

le dice vapor húmedo) queda expresada en términos que sí aparecen en las tablas de

vapor.

El título del vapor o porcentaje de sequedad, se refiere a la cantidad de agua líquida que

acompaña al vapor de agua después de efectuar la expansión adiabática. Este puede

calcularse en función de las entropías involucradas sobre la línea de equilibrio líquido-

vapor en la isoterma T2. Si llamamos xf el título del vapor en el punto F, su valor es:

ak

aef

SS

SSx

Ec. 3

PROBLEMA RESUELTO

Calcule la entalpía y la entropía de 1 kg de vapor de agua con un título de 0.85 a una

presión de 5 atmósferas.

SOLUCIÓN

Este problema tiene como objeto ejercitar en la búsqueda y cálculo de las magnitudes

necesarias para hallar el rendimiento térmico de una máquina de vapor. Se dan los datos

y composición del vapor húmedo y se pide conocer la entalpía y entropía de dicho vapor.

El título del vapor se puede expresar en función de las entropías, ecuación 3; mientras


que la entalpía de vapor húmedo, Hf, se da en función de la entalpía de vapor saturado de

las entropías de vapor saturado, y del título del vapor.

SOLUCIÓN MATEMÁTICA

Datos del problema: m = 1 kg; P = 5 atm, Título = 0.85

Es necesario cambiar de unidades de presión de atmósferas a psia, luego:

P = 5 atm x 14.7 psia/atm = 73.5 psia

Con este valor de presión, los datos que aparecen en las tablas son los siguientes: la

presión más parecida a esta (73.5 psia) es la que aparece en la tabla de 73.25 psia. Es

bastante cercana a la nuestra, por tal razón podemos tomar directamente los datos que

en ella aparecen. Cuando el valor de nuestra presión difiere ostensiblemente, debe

hacerse una interpolación y calcular todos los datos que en ella aparecen; después de

esta consideración los valores son:

P = 73.5 psia; T = 306.0°F; Hagua = 275.9 Hvapor = 1181.4

Sagua = 0.4453 Svapor = 1 .6279

Las unidades de entalpía: BTU .lbm-1

Las unidades de entropía: BTU. 1bm-1.ºF-1

ak

aef

SS

SSx

Se = Sa +xf.(Sk – Sa)

Se = 0.4453 + 0.85. (1.6279 - 0.4453)

Se = 1.4505 BTU.lbm-1.ºF-1

La entalpía para el vapor húmedo, Hf, según la ecuación 2:


Hf = Hk –T2.(Sk –Se)

Hf = 1181.4 - 306.(1.6279 - 1.4505)

Hf = 1127.1 BTU.Ibm-1

Esta es la forma de buscar y calcular los datos en la tabla para después averiguar cuál el

rendimiento de la máquina de vapor.

MAQUINAS DE COMBUSTIÓN INTERNA

Las máquinas que transforman el calor en trabajo mecánico se diferencian en la forma y

lugar donde se genera el calor, para después ser convertido en movimiento. En el caso de

la máquina de vapor, el calor se produce en el exterior de la caldera (por la combustión de

madera, carbón, ACPM o cualquier otro combustible) y pasa al vapor debido a que la

pared de la caldera es diatérmica, de hierro generalmente. Este tipo de máquinas reciben

el nombre de máquinas de combustión externa.

Existe otro tipo de máquinas muy comunes entre nosotros, que utilizan un sistema

diferente. En ellas la combustión de los compuestos químicos se realiza dentro de la

cámara (cilindro más pistón) en donde se va a realizar la expansión de los gases y por

consiguiente el movimiento del pistón o émbolo. Este tipo de máquinas se llaman

máquinas de combustión interna y a ellas pertenecen los motores que más se utilizan en

la actualidad: el motor a gasolina o de cuatro tiempos y el motor Diesel.

Ejemplo 51

En una planta termoeléctrica que

trabaja mediante un ciclo ideal de

Rankine, el vapor llega a la turbina

a 3,5 MPa y 400 ºC y se condensa

a una presión de 100 kPa. Se

desea determinar la eficiencia de

este ciclo, ¿qué solución puede

ofrecer?

Figura 105: Datos ejemplo 51



Como se ha insistido pueden presentarse diversas soluciones, por ejemplo calcular el

trabajo neto y relacionarlo con el calor suministrado; o bien calcular la eficiencia en

función de las entalpías. A su vez las entalpías pueden consultarse en tablas o utilizar el

software disponible. En este ejemplo se utilizará el software PROPAGUA que ya se ha

mencionado. En él los estados se especifican de la siguiente manera:

Estado 1 Presión 100 kPa equivalente a 1 bar y calidad del vapor o título = 0

Estado 2 Presión 3,5 MPa o 35 bar y entropía igual a la del estado 1

Estado 3 Presión 3,5 MPa o 35 bar y temperatura 400 ºC

Estado 4 Presión 100 kPa o 1 bar y entropía del estado 3.


Con los datos proporcionados por el software se construye la siguiente tabla:

Estado Título

x Presión

bar Temperatura

ºC Entalpía

kJ/kg Entropía kJ/kg k

Volumen dm3/kg

1 (a) 0 1,000 99,63 417,50 1,30270 1,0434

2 (b) L 35,000 99,87 421,04 1,30270 1,0418

3 (e) V 35,000 400,00 3.224,20 6,84430 84,4940

4 (f) 0,9149 1,000 99,63 2.483,24 6,84430 1.549,6434

Con los datos de entalpías se determina la eficiencia:

26,0)04,42120,224.3(

)50,41724,483.2()04,42120,224.3(

)(

)()(

be

afbe

hh

hhhh

Este resultado significa que la termoeléctrica convierte el 26% del calor suministrado en la

caldera en trabajo neto.


Lección 22: Motores de cuatro tiempos. Ciclo de Otto

El motor de cuatro tiempos fue desarrollado por N.A. Otto, un ingeniero alemán, que en el

último tercio del siglo pasado construyó la primera máquina con este tipo de motor.

Debido al éxito alcanzado, el ciclo termodinámico que describe su proceso se conoce con

el nombre de ciclo de Otto.

Los componentes del motor, también llamado de explosión, son un cilindro provisto de un

pistón o émbolo; una válvula de admisión que permite el paso de la mezcla formada por

gasolina más aire, procedente del carburador; un electrodo o bujía para el encendido de la

mezcla y una válvula de escape, por donde los gases, producto de la combustión, pueden

escapar al exterior.

El ciclo termodinámico y el diagrama de entropía se muestran en la figura 59. Loss pasos

que componen el proceso de un motor de cuatro tiempos de combustión son:

1. Admisión (0 → 1). La válvula de admisión se abre y el pistón en su carrera impelente

admite la mezcla gasolina-aire proveniente del carburador. Los gases entran debido la

presión atmosférica.

FIGURA 59

Diagramas para el ciclo de Otto: a) P vs V y b) T vs S

2. Compresión adiabática (1 → 2). La válvula de admisión se cierra y el pistón comprime

los gases.


3. Ignición: se produce un aumento de la presión y temperatura (2 → 3). La corriente

eléctrica ha pasado por la bujía y produce una chispa que inicia la combustión de la

mezcla ocasionando un aumento de la presión y la temperatura, a volumen constante.

4. Expansión (3 → 4). Los gases producidos por la combustión mueven e pistón,

produciendo lo que se llama la carrera de trabajo.

5. Disminución de la temperatura y presión a volumen constante (4 → 1). En el momento

que el pistón llega al final de su carrera de trabajo se abre la válvula de escape y los

gases que tienen una alta presión y temperatura, salen hacia el exterior a presión

atmosférica.

6. Expulsión de los gases (1 → 0). La inercia que posee el pistón hace que éste, en la

carrera de regreso a la posición original 0, expulse al exterior los gases que aun

quedaban dentro del cilindro. El ciclo queda completo al regresar al punto 0.

Los seis procesos que acabamos de describir se realizan en cuatro carreras del pistón,

por lo cual se llama de cuatro tiempos. Este motor se ve mejorado por la implementación

de volantes de peso considerable que hacen posibles los movimientos del pistón cuando

no se realiza la carrera de trabajo; el uso de árboles de leva que abren o cierran las

válvulas de admisión y escape sincronizadamente con el pistón y la refrigeración con

agua de las paredes del cilindro, etc.

El cálculo de la eficiencia térmica del ciclo de Otto se realiza teniendo en cuenta las

siguientes suposiciones: el gas formado durante la combustión se comporta como un gas

ideal de masa constante cuyas capacidades caloríficas a presión y volumen constantes,

Cp y Cv respectivamente, no cambian durante el proceso y la combustión se asemeja a

un proceso de transmisión de calor al gas ideal para producir la expansión del mismo.

El cálculo de la eficiencia se realiza como sigue: el calor se absorbe durante 2 → 3 y su

valor Q1 por ser a volumen constante:

Q1 = U3 – U2 = Cv.(T3 –T2)

De igual manera, de 4 → 1 es el momento durante el cual el sistema cede calor a los

alrededores:

Q2 = U4 – U1 = Cv.(T4 – T1)


El rendimiento térmico viene dado por la ecuación de Carnot:

23

14

1

1

1

21

TT

TT1

Q

Q1

Q

QQ

De otro lado, los procesos 1 → 2 y 3 → 4 siguen una trayectoria adiabática, por lo que:

1

22

1

11 V.TV.T y 1

33

1

44 V.TV.T

En donde: V1 = V4 y V2 = V3. Por consiguiente:

32

41

2

1

2

3

1

4

2

3

1

4

TT

TT

T

T ;

T

T- 1

T

T1 ;

T

T

T

T

La última ecuación reemplazada en el cálculo de rendimiento:

1

C

1

1

2

2

1

r

11

V

V1

T

T1

Ec. 4

El cociente rc = V1/V2 recibe los nombres de relación de compresión o grado de

compresión de la mezcla. Este cociente es un parámetro muy usado para caracterizar la

potencia de un automóvil, juntamente con la capacidad del motor. A medida que la

máquina tiene un motor de mayor capacidad y mayor relación de compresión, tiene más

potencia.

Obsérvese que para el ciclo de Otto el rendimiento no se expresa como una función de

las temperaturas superior e inferior de los focos caloríficos, como se hace en el ciclo de

Carnot.

El rendimiento del ciclo de Otto es casi la mitad respecto al del ciclo de Carnot y pudiera

pensarse que a medida que aumentamos la relación de compresión aumentamos el

rendimiento. Teóricamente esto es aceptable, pero existe una limitante tecnológica: al

llegar a un cierto valor de la relación de compresión la mezcla hace autoexplosión, antes

de que salte la chispa y el proceso de combustión no puede controlarse.


PROBLEMA RESUELTO

Un motor de cuatro tiempos posee una relación de compresión de 7. Si el aire se admite a

una presión de 1 atm y a una temperatura de 25°C y alcanza una temperatura máxima de

1200 °C, calcúlese: 1) la presión máxima que alcanza el aire en el ciclo y 2) el calor

absorbido. Los datos para el aire son: y = 1.4 y Cv = 0.172 cal.g-1.K-1.

SOLUCIÓN

Los cálculos que deben realizarse para saber la presión y la temperatura, deben

corresponder a trayectorias adiabáticas para un gas ideal.


1122 V.PV.P

Luego:

atm 25.157.14 x atm 1V

VPP 1.4

2

112

1

22

1

11 VTVT

Luego:

1

2

112

V

VTT

T2 = 298 K x 70.4 = 649 K


El aumento de presión y temperatura, se realiza a volumen constante, paso 2 → 3:

atm 61.34K 649

K2731200 x atm 25.15

T

T.PP

2

323

El calor absorbido por el aire será:

Q1 = Cv.(T3 – T2) = 0.172 cal.g-1.K-1 x (1473- 649) K =

Q1 = 141.73 cal.g-1 = 592.4 KJ.kg-1

Ejemplo 48

Se desea determinar los valores máximos de presión y

temperatura que alcanzaría el aire en un ciclo ideal de

Otto donde la relación de compresión es de 8; el aire

inicialmente se encuentra a 20 ºC y 110 kPa y durante el

proceso isocórico recibe 15.600 kJ/kmol en forma de

calor. Determine también la eficiencia del ciclo y el

diagrama Ts.

Figura 94: Diagrama Pv para el

ciclo de Otto


La máxima presión y la mayor temperatura se alcanzan en el estado 3, al culminar el

proceso isocórico de adición de calor, las cuales se determinan en función de las

condiciones del estado 2 y éstas a su vez mediante las condiciones iniciales.

Consideremos como sistema el aire con un comportamiento de gas ideal, del cual se

conocen presión y temperatura del estado 1, entonces utilizando las tablas de

propiedades termodinámicas o el software de propiedades de los gases se determinan

las otras propiedades como volumen específico o volumen molar, energía interna,

entalpía y entropía.

Recuerde que dos propiedades definen el estado de un sistema gaseoso. El proceso

entre 1 y 2 es isentrópico, por lo tanto la entropía del estado 2 será igual a la entropía del


estado 1. El volumen del estado 2, dada las condiciones del problema será igual a 1/8

del volumen inicial; con estos datos se pueden calcular las propiedades restantes. El

proceso entre 2 y 3 es isocórico, el volumen se mantiene constante y la energía interna

aumenta en virtud del calor adicionado.

Con los datos de energía interna y volumen es posible determinar la presión y la

temperatura del estado 3, con lo cual se da respuesta al primer interrogante.

La eficiencia se determina o bien en función de las temperaturas o en función de los

volúmenes y teniendo en cuenta la relación entre las capacidades caloríficas molares a

presión y a volumen constante que para el aire vale 1,4; como ya se ha calculado, en el

ejemplo 26.


Para resolver este problema se utilizará el software PROGASES del Departamento de

Química Física y Termodinámica Aplicada de la Universidad de Córdoba de España el

cual está disponible en Internet (ver bibliografía). El software permite determinar los

valores de las propiedades de diferentes gases para un estado determinado conociendo

el valor de dos de ellas.

Para el estado 1 P1 = 110 kPa = 1,10 bar T1 = 293 K

Con estos datos se obtienen los siguientes valores para el estado 1:

Estado Presión

kPa Temperatura

K Volumen m3/kmol

Energía interna kJ/kmol

Entropía kJ/kmolK

1 110 293 22,1463 6.084,4 196,64

Para el estado 2 kmolmV

V /7683,28

1463,22

8

312

Como el proceso entre 1 y 2 es isentrópico kmolKkJSS /64,19612

Por tanto


Estado Presión

kPa Temperatura

K Volumen m3/kmol


Entropía kJ/kmolK

2 1.977 658,32 2,7683 13.963 196,64

Para el estado 3 kmolmVV /7683,2 323 (proceso isocórico)

kmolkJQUU /29563600.15963.1323

Por lo que

Estado Presión

kPa Temperatura

K Volumen m3/kmol


Entropía kJ/kmolK

3 3.882 1.292,42 2,7683 29.563 213,05

La eficiencia se calcula mediante cualquiera de las ecuaciones derivadas anteriormente.

56,0811 )4,11()1(r

o también en función de las temperaturas 32.658

29311

2

1

T

T

0,56

Para realizar el diagrama Ts se deben conocer también la temperatura 4.

¿Cómo se podrían determinar las propiedades del estado 4?

El proceso de 3 a 4 es isentrópico, entonces, teniendo en cuenta esta condición y que el

volumen del estado 4 es igual al del estado 1, se determinan todas las otras propiedades

del punto 4:

Estado Presión

kPa Temperatura

K Volumen m3/kmol


Entropía kJ/kmolK

4 238 632,9 22,1463 13.387,8 213,05

Con los valores anteriores de temperatura y entropía se construye el diagrama de

temperatura contra entropía (Ts) como se muestra en la figura 95.


Figura 95: Diagrama Ts para el ciclo de Otto

Se invita al estudiante a que explore otros resultados cambiando las condiciones iniciales

del problema y formulándose otros interrogantes.

Lección 23: Motores de ignición por compresión. Ciclo Diesel

En la sección pasada vimos cómo el factor limitante del motor de cuatro tiempos era el

valor de la relación de compresión, necesario para evitar la autoignición de la mezcla.

Podríamos obviar este problema comprimiendo solamente aire y en el momento de su

máxima compresión inyectar el combustible para que suceda la combustión y el pistón

realice la carrera de trabajo.

Este es el fundamento del motor de combustión o ignición por compresión, perfeccionado

por R. Diesel, a finales del siglo pasado; cuyo nombre fue dado al ciclo termodinámico

que describe el proceso que sigue esta clase de motor. Por supuesto, el motor Diesel no

tiene carburador y la inyección del combustible se realiza por una bomba de inyección.

FIGURA 60

Diagramas para el ciclo Diesel: a) P vs Ty b) T vs S


Los diferentes pasos que contiene el ciclo Diesel son los siguientes:

1. Admisión (0 → 1). El aire pasa al cilindro a medida que el pistón se va retirando. La

presión con la cual entra el aire es la presión atmosférica.

2. Compresión adiabática (1 → 2). Al llegar al extremo 1 la válvula de admisión se cierra y

el pistón inicia el regreso y la compresión adiabática del aire. La presión dentro del cilindro

puede ser de 40 a 50 atmósferas y la temperatura del orden de 600 °C.

3. Inyección del combustible e ignición de la mezcla (2 → 3). La presión de inyección de la

bomba es de unas 70 atmósferas, lo cual, junto con el comienzo de la combustión, hace

una expansión a presión constante.

4. Expansión adiabática (3 → 4). La expansión isobárica anterior solamente representa

una décima parte del volumen del cilindro. Las nueve décimas partes restantes

corresponden a la expansión adiabática. El paso anterior y éste conforman la llamada

carrera de trabajo del pistón.

5. Disminución de temperatura y presión a volumen constante (4 → 1). Al llegar el pistón

al final de la carrera de trabajo se abre la válvula de escape y debido a la alta presión y

temperatura que tienen los gases, estos escapan al exterior a volumen constante.

6. Expulsión de los gases (1 → 0). El pistón de regreso de la carrera de trabajo, con la

válvula de escape abierta, saca los gases producto de la combustión y regresa el sistema

al punto inicial 0.

Las consideraciones que se hicieron para el ciclo de Otto referentes al tipo de gas,

deslizamientos sin fricción, etc., son las mismas que se aplican al ciclo Diesel.

El cálculo de la eficiencia de un ciclo Diesel es como sigue: la trayectoria 2 → 3 es el

momento en el cual el motor toma calor, luego:


Q1 = Cp.(T3 –T2)

y de 4 → 1, donde cede calor:

Q2 = Cv.(T4 – T1)

En consecuencia el rendimiento será:

23

14

1

2

1

21 .11TT

TT

C

C

Q

Q

Q

QQ

p

v

1.

1

1

.1

2

3

1

4

2

1

T

T

T

T

T

T

Las relaciones existentes en los puntos extremos del diagrama del ciclo Diesel son:

1

22

1

11 VTVT

1

33

1

44 VTVT

V1 = V4

Durante la trayectoria 2 → 3 a presión constante:

0

2

3

2

3 rV

V

T

T

El cociente V3/V2 = r0 se llama relación de combustión.

Tomando las ecuaciones anteriores puede llegarse a la fórmula para el cálculo de

eficiencia:


1

1

.1

123

2

3

2

1

VV

V

V

T

T

1r

1r.

r

11

0

1

0

1

C Ec. 5

Donde rC = V1/V2 relación de compresión.

La última ecuación nos muestra que el rendimiento térmico del ciclo Diesel aumenta con

la relación de compresión rC, y con el coeficiente del gas utilizado y disminuye cuando

aumenta r0.

PROBLEMA RESUELTO

La relación de compresión de un motor Diesel rC es igual a 15 y el calor suministrado Q1

es de 275 kcal.kg-1. El aire penetra al motor a la presión de 1 atm y 25 °C de temperatura;

sabiendo que = 1.4 y que Cp = 0.241 cal.g-1.K-1. Calcúlese la temperatura y la presión

máxima del ciclo.

SOLUCIÓN

Los cálculos que debemos hacer se refieren a los procesos 1 → 2 para averiguar la

presión máxima y de 2 → 3 sabremos la temperatura máxima alcanzada. Por tanto

nuestros procesos serán: a) adiabático y b) isobárico.


En la trayectoria adiabática:


atm 31.4415 x atm 1r.PV

VPP 1.4

C1

2

112

K 3.88015 x 298r.TV

VTT 0.41

C1

1

2

112

En la trayectoria isobárica:

Q1 = Cp (T3 – T2)

Por consiguiente:

2

p

13 T

C

QT

K 2.021 K 3.880KKcal.Kg 0.241

Kcal.Kg 275T

1-

-1

3

Ql

T = + T

Gp

275 kcal.kg

T = + 880.3K = 2.021 K

Ejemplo 49

Determine el trabajo producido y la

eficiencia en un ciclo Diesel de aire

estándar que efectúa las siguientes

etapas:

1. Compresión isentrópica desde 100


kPa y 290 K hasta 900 kPa 2. Adición de 34.760 kJ/kmol de calor a

presión constante 3. Expansión adiabática hasta alcanzar

el volumen inicial 4. Enfriamiento isocórico hasta llegar al

estado inicial. Capacidades caloríficas molares a las

temperaturas promedio de operación:

kmolK

kJpC aire 08,33

kmolK

kJvC aire 64,23

Figura 97: Diagrama Pv ciclo Diesel


El trabajo en el ciclo es igual a la suma algebraica del trabajo en cada una de las etapas.

Entonces para cada proceso en particular se deben determinar las condiciones de

temperaturas que permitan calcular el trabajo. Para resolver este problema existen varias

alternativas: primero utilizar los valores promedio de las capacidades caloríficas de aire,

supuestas constantes en el intervalo de temperaturas, otra forma sería el de utilizar las

tablas de propiedades termodinámicas del aire o bien utilizar el software para análisis de

ciclos termodinámicos. En este ejemplo utilizaremos las capacidades caloríficas y el

software PROGASES que ya se ha mencionado.


Condiciones iniciales kPP 1001

KT 2901

Para calcular la temperatura del punto dos recuerde que la relación entre presión y

temperatura se establece mediante la ecuación:

KkPa

kPaK

P

PTT 543

900

100290

4,1

4,11)

1(

2

112

Donde representa la relación entre las capacidades caloríficas que para el aire es de

1.4.


La temperatura del estado 3 se determina teniendo en cuenta que se trata de un proceso

isobárico y en este tipo de procesos el cambio de entalpía es igual al calor intercambiado

por tanto:

kJTTpCnHQ 760.34)( 23

Al despejar la temperatura 3

KKkmolKkJmol

kJT

pCn

QT 594.1543

)/08,33)(1(

760.3423

Para determinar las condiciones del estado 4 se deben considerar simultáneamente el

proceso adiabático o isentrópico entre 3 y 4 y el proceso isocórico entre 4 y 1.

Para el proceso adiabático

4,1

4,11

4

1

4

334

900)594.1(

P

kPaK

P

PTT

de donde se

obtiene la ecuación:286,0

4 3,228 PT .

Para el proceso isocórico hay una relación directa entre presión y temperatura de tal

manera que

444

1

414 9,2

100)290( PT

kPa

PK

P

PTT

Al resolver las dos ecuaciones simultáneas kPaP 4524 y

KT 13104

Trabajo en el proceso adiabático entre 1 y 2.

kJKkmolKkJmolTTvCnW 981.5)290543)(/64,23)(1()( 1221

Trabajo en el proceso isobárico entre 2 y 3

kJkmolKkJmolTTnRW 734.8)543594.1)(/31,8)(1()( 2332


Trabajo en el proceso adiabático entre 3 y 4

kJKkmolKkJmolTTvCnW 714.6)594.1310.1)(/64,23)(1()( 3443

Para el proceso isocórico entre 4 y 1 el trabajo es cero.

Con los datos encontrados se calcula el trabajo producido por el ciclo

kJkJWWWWWciclo 467.9)714.6734.8981.5(14433221

La eficiencia se calcula fácilmente de la relación entre el trabajo producido y el calor

suministrado

27,0/760.34

/467.9

kmolkJ

kmolkJe

Al utilizar el software PROGASES se obtienen resultados algo diferentes debido a la

consideración realizada para resolver el problema de que las capacidades caloríficas son

constantes. El software realiza las integraciones correspondientes al presentase

variación de las capacidades caloríficas al cambiar la temperatura.

Los estados que aparecen en negrilla se toman como referencia para determinar

mediante el software las otras propiedades con los cuales se construye la siguiente

tabla:

Estados Presión

kPa Temperatura

K Entalpía kJ/kmol

Entropía kJ/kmolK

Volumen m3/kmol

1 100 290 8.433,3 197,133 24,1115

2 900 540,11 15.825.9 197,133 4,9896

3 900 1.589,22 50.682,9 232,364 14,6814

4 468 1353.45 42.594,3 232,364 24,1115

El software también proporciona el trabajo en cada una de las transformaciones

kmolkJW /6,267.521

kmolkJW /7,722.832


kmolkJW /2,067.643

014W

kmolkJWciclo /3,522.9

27,0/769.34

/3,522.9

kmolkJ

kmolkJ

En este problema tiene oportunidad de repasar muchos de los conceptos estudiados en los

capítulos anteriores. Si tiene dificultades consulte a su tutor.

Lección 24: Ciclo de Brayton

Los motores de las turbinas de gas utilizadas en plantas generadoras de corriente eléctrica o en la propulsión de aeronaves funcionan mediante el ciclo de Brayton, el cual como en los ciclos estudiados anteriormente, también consta de cuatro etapas internamente reversibles:

1. Compresión adiabática de 1 a 2

2. Adición de calor a presión constante de 2 a 3

3. Expansión adiabática de 3 a 4

4. Liberación de calor a presión constante de 4 a 1

La figura 98 muestra los diagramas Pv y Ts para el ciclo Brayton en ellos el área inscrita dentro de las trayectorias de cada proceso representa en el diagrama Pv el trabajo desarrollado y en el diagrama Ts el calor intercambiado durante el ciclo.

Figura 98: Diagramas Pv y Ts para el ciclo de Brayton

En la práctica este ciclo se cumple cuando se considera como sistema el aire estándar que llega a un compresor y en forma adiabática se comprime, es decir se realiza trabajo sobre él, luego pasa a un quemador donde se introduce el combustible y a presión constante ocurre la reacción de combustión con la cual se introduce calor al sistema, el aire y los gases de combustión salen a gran presión y alta temperatura y pasan a través


de una turbina, realizando un proceso de expansión adiabática hasta que la presión se iguala a la presión atmosférica, generando en este proceso el trabajo útil. El ciclo se completa liberando calor a presión constante hasta alcanzar las condiciones del estado inicial. Los gases en estos dispositivos salen a la atmósfera no se recirculan por lo que el ciclo es abierto.

La figura 99 ilustra muestra los componentes de una maquina que trabaja mediante el ciclo de Brayton:

Figura 99: Máquina que trabaja mediante el ciclo de Brayton

La eficiencia en un ciclo de Brayton, como en los ciclos anteriores, se determina en función de las relaciones de presiones y la relación de calores específicos bajo las suposiciones de que el fluido de trabajo es aire estándar.

)(

)(1

)(

)(11

23

14

23

14

TT

TT

TTCn

TTCn

Q

Q

p

p

c

f

Ecuación 228

si se factoriza T1 y T2 en 228 se llega a la siguiente expresión

)1(

)1(

1

2

3

2

1

41

T

TT

T

TT

Ecuación 229

Dado que los procesos 1-2 y 3-4 son adiabáticos se establecen las siguientes relaciones entre la temperatura y la presión

)1

(

1

2

1

2

P

P

T

T

Ecuación 230

)1

(

4

3

4

3

P

P

T

T

Ecuación 231

Considerando que los procesos 2-3 y 4-1 son isobáricos, P2 = P3 y P4 = P1 por lo tanto si

se remplazan convenientemente estos valores de presiones en 228 o en 229 se concluye que para el ciclo de Brayton existe la siguiente entre las temperaturas


4

3

1

2

T

T

T

T

o también 2

3

1

4

T

T

T

T

Ecuación 232

Al simplificar los paréntesis en la expresión de la eficiencia y remplazar la relación de temperaturas según la ecuación 230 se obtiene

)1

(

1

2

1

22

1 11

111

P

PT

TT

T

Ecuación 233

La relación 1

2

P

P

se conoce como relación de presiones y se representa por rp por lo que finalmente la eficiencia del ciclo de Brayton se expresa como

/)1(

11

pr Ecuación 234

Ejemplo 50

Determine el trabajo y el calor en cada proceso,

la relación de presiones y la eficiencia para un

ciclo de Brayton donde el aire entra al compresor

a 95 kPa y 300 K, sale de él a una presión de 750

kPa y entra a la turbina a 1.000 K.

Figura 100: Datos del ejemplo 50


Existen varias alternativas para resolver este problema, en este caso utilizaremos el

software para determinar las propiedades en cada estado y el trabajo y el calor

involucrados. Los estados se especifican teniendo en cuenta los datos del problema y las

condiciones de entropía constante en los procesos de 1 a 2 y de 3 a 4; así como también

de presión constante en los procesos de 2 a 3 y de 4 a 1.



Con los datos proporcionados por el software y las condiciones del problema se

construye la tabla siguiente. En ella los datos en negrilla se toman como referencia para

calcular las otras propiedades.

Estado Presión

kPa Temperatura

K Entalpía kJ/kmol

Entropía kJ/kmolK

Volumen m3/kmol

1 95 300 8.725,5 198,55 26,2557

2 750 538 15.772,8 198,55 5,9680

3 750 1.000 30.399,7 218,048 11,0857

4 95 581 17.066,8 218,048 50,8585

Figura 101: Diagrama Pv para el ciclo de Brayton del ejemplo 50

Proceso Trabajo kJ/kmol

Calor kJ/kmol

1-2 Isentrópico -5.020,9 0

2-3 Isobárico 3.838,3 14.626,9

3-4 Isentrópico 9.774,3 0

4-1 Isobárico -2.337,3 -8.341,2

kmolkJkmolkJWneto /4,254.6/)3,337.23,774.93,838.39,020.5

Relación de presiones =

895,795

750

P

P

1

2

kPa

kPa

Eficiencia

45,089,7

11

11

4,1/)14,1(/)1(

pr


Lo invitamos a que explore otras formas para solucionar este tipo de problemas, discuta con sus

compañeros la validez de ellas y a compartirlas con su tutor.

Lección 25: Máquinas frigoríficas

Los motores que acabamos de estudiar, tanto de combustión interna como de combustión

externa, utilizan el combustible para producir y mantener un foco caliente, del cual extraen

calor y mediante la compresión de un gas, producen trabajo y pasan el calor no utilizado a

un foco frío. Este es en resumen el funcionamiento de un motor térmico.

El caso de una máquina refrigerante podríamos decir que es todo lo contrario del motor

térmico. La máquina refrigerante o frigorífica utiliza una fuente de energía externa,

generalmente corriente eléctrica como en el caso de una nevera o refrigerador común,

para quitar calor de una fuente fría (enfriar) y dárselo a una fuente caliente. En la vida real

la fuente fría tiene una temperatura inferior a la del medio ambiente (interior de la nevera)

y la fuente caliente es el aire que rodea la máquina y que sirve como disipador de calor.

Los dos procedimientos más conocidos para efectuar la refrigeración son: compresión

(ciclo de vapor) y absorción. Entre estos dos el más extendido es el de compresión, que

estudiaremos a continuación.

El refrigerador por compresión consta de cuatro partes fundamentales, figura 61:

compresor, condensador, válvula de estrangulamiento y evaporador.

FIGURA 61

Esquema de un refrigerador por compresión


Las etapas que componen el ciclo de refrigeración son:

1. Compresión adiabática de P2 a P1 (1 → 2). El vapor saturado y seco se comprime

adiabáticamente mediante el compresor.

2. Enfriamiento del vapor sobrecalentado (2 → 3). El vapor sobrecalentado por la

compresión adiabática pasa al condensador, donde cede una cantidad de calor Q1 y el

gas se convierte en una mezcla.

3. Expansión irreversible del líquido (3 → 4). La expansión de la mezcla líquido más vapor

a través de la válvula de estrangulamiento enfría aun más el líquido, en el caso de una

nevera lo lleva casi a 0 °C y queda listo para pasar al evaporador.

4. Evaporación del líquido (4 → 1). La mezcla del líquido con muy poco vapor entra al

evaporador (interior de la nevera o del refrigerador), en donde absorbe calor para

evaporarse y producir vapor regresando así al punto inicial del ciclo.

Como particularidades del ciclo de refrigeración hay que recordar varias cosas. El ciclo, tal

y como se ha explicado anteriormente, corresponde a un ciclo de Carnot inverso: figura

62a, en donde se muestran principalmente las zonas de condensación y evaporación en

donde cede y absorbe calor, respectivamente. Pero la compresión adiabática produce un

vapor sobrecalentado, proceso isentrópico, que se muestra en el pico de la derecha de la

figura 62b.

FIGURA 62

Diagrama para el refrigerador: a) de Carnot y b) real mostrando la región del vapor

recalentado


De otra parte, la expansión del líquido en la válvula de estrangulamiento no es un proceso

isentrópico, sino isentálpico, similar al efecto Joule-Kelvin que se estudió previamente; lo

cual se muestra por la línea punteada que aparece en la figura 62, literales a y b.

La eficiencia del refrigerador de Carnot se define por el cociente entre la cantidad de calor

extraída Q2 y el trabajo suministrado en valor absoluto, para no tener problemas de

signos. Nos queda:

21

2

21

22

TT

T

QQ

Q

W

Q

Ec. 6

Generalmente T2 > (T1 – T2), el rendimiento puede ser mayor que uno. Para evitar el

problema de un rendimiento mayor que uno, la η de refrigeración se le da el nombre de

efecto frigorífico o coeficiente de amplificación frigorífica.

Para el caso del frigorífico que no cumple con el ciclo de Carnot, más bien se comporta

algo parecido a un ciclo de Rankine inverso, la eficiencia puede ser calculada de otra

manera.

La eficiencia queda definida por:

21

2

QQ

Q


Dado que el paso (4’ → 1) es un proceso isobárico:

Q2 = H1’ –H4’

Como el paso (1’ → 2 → 3) es también isobárico:

Q1 = H1’’ –H3

'4'1'3''1

'4'1

HHHH

HH

Pero para el proceso isentálpico: H3 = H4’

'1''1

'1

'1''1

'4'1

HH

'3HH

HH

HH

De esta manera podemos calcular la eficiencia de un refrigerador no ideal (no del tipo de

Carnot) de una manera similar a los cálculos que hicimos para la máquina de Rankine,

con base en temperaturas, presiones, entalpías y entropías de vapor saturado, vapor

sobre calentado, líquido saturado y títulos de vapor húmedo.

Para el caso del título recordemos que viene dado por la fórmula:

4''1

4'4

HH

HHX

La eficiencia o factor de amplificación de un refrigerador calculada por el ciclo de Carnot

es siempre mayor, que para un ciclo no ideal.

En general, los refrigeradores comerciales tienen una capacidad para producir

temperaturas bajas, determinada empíricamente (experimentalmente); pero en cualquiera

de los casos no puede ser mayor que la calculada teóricamente, con la cual esta sección


se convierte en un punto de referencia para comparar la calidad de una máquina

comercial.

PROBLEMA RESUELTO

Un refrigerador sigue un ciclo ideal en el cual consume una potencia de 100 W. La

temperatura exterior (foco caliente) es de 45°C. ¿Cuánto tiempo gastará en congelar 4 kg

de agua introducidos al refrigerador a la temperatura ambiente?

SOLUCIÓN

Generalmente los motores eléctricos que accionan el compresor, vienen caracterizados

por un consumo de energía expresado por: caballos de fuerza, HP; caballos de vapor CV;

watios, W; etc. En nuestro caso particular de W (watios) recordemos que se refiere al

producto de la intensidad de corriente (amperios, A) por el voltaje (voltios, V), necesarios

para hacer mover el motor del compresor. La potencia de un motor es el cociente entre el

trabajo y el tiempo (P = W/t).

De otro lado, el agua está a la temperatura de 45°C y hay que llevarla a hielo a 0°C. Esto

deberá hacerse en dos fases: la primera bajar la temperatura del agua de 45°C a 0°C y la

segunda, pasar de agua líquida a 0°C a agua sólida a 0°C. Las dos fases requieren que

quitemos calor, teniendo en cuenta que el proceso se lleva a cabo a presión constante:

Cp = 1 cal.g-1.K-1 y el calor de fusión es de 80 cal.g-1.

El factor de amplificación viene dado por las temperaturas del foco o fuente caliente: T =

45°C y la del foco frío: T = 0°C; podemos calcular el trabajo neto (W = P x t) necesario

para producir los 4 kg de hielo.


Cantidad de calor Q2 que debemos quitar:

Q2 = 4000g x 1 cal.g-1K-1 x (318 -273) K + 4000g x 80 cal.g-1


Q2 = 180000 cal + 320000 cal = 500 kcal

El coeficiente de amplificación frigorífica:

21

22

TT

T

W

Q

Pero W = P x t; entonces:

s 44.3 W100K x 273

KJ.Kcal 4.184 x Cº 45 x Kcal 500

P.T

TT.Qt

1-

2

212

CICLO INVERSO DE CARNOT

El ciclo inverso de Carnot, mencionado ya en el capítulo 9, es el ciclo ideal estándar para

los refrigeradores o bombas de calor. Este ciclo consta de cuatro procesos reversibles:

5. Compresión adiabática o isentrópica de 1 a 2

6. Compresión isotérmica de 2 a 3

7. Expansión adiabática o isentrópica de 3 a 4

8. Expansión isotérmica de 4 a 1

Los anteriores procesos se muestran en los diagramas Pv y Ts de la figura 106.

El ciclo inverso de Carnot solo tiene importancia teórica ya que en la práctica es difícil

realizar tales procesos pero su coeficiente de operación sirve como referencia para

comparar el rendimiento de otros ciclos.

En el diagrama Ts, los procesos adiabáticos corresponden a líneas rectas de entropía

constante, limitadas por las líneas isotermas. El área encerrada entre estas líneas representa el calor intercambiado durante el ciclo.


Figura 106: Ciclo inverso de Carnot

CICLO IDEAL DE REFRIGERACIÓN POR COMPRESIÓN DE VAPOR

La refrigeración por compresión de vapor se fundamenta en el principio de que toda sustancia líquida requiere necesariamente que se le suministre calor para que pueda evaporarse, si no se da esta condición no se presenta el cambio de fase. Dentro de la gran cantidad de sustancias líquidas hay algunas que pasan más fácilmente a la fase de vapor que otras. Por ejemplo si Ud. deja caer sobre una superficie plana, a temperatura ambiente, unas cuantas gotas de agua, acetona o alcohol etílico, ¿cuál cree que se va a evaporar más rápidamente? A igual temperatura, la presión de vapor de la acetona es mayor que la del alcohol etílico y la de éste, a su vez, es mayor que la del agua, por lo tanto, la acetona se vaporiza primero. Esta característica es muy importante considerar cuando haya que elegir un buen refrigerante.

La capacidad de refrigeración de una sustancia se puede comprobar mediante una experiencia muy sencilla, se humedece un algodón con uno de los líquidos como los ya mencionados, se coloca junto al bulbo de un termómetro y se registran las temperaturas, es de esperarse que la temperatura más baja se presente en aquel líquido que tenga el menor punto de ebullición y el más alto calor de evaporación. Otras características que debe poseer un buen refrigerante son las de no ser tóxico, corrosivo o inflamable de ser químicamente estable y por su puesto de fácil acceso y económico.

Históricamente y desde que comenzó a finales del siglo XIX la refrigeración mecánica, se han empleado numerosas sustancias como refrigerantes tales como el éter etílico, el dióxido de azufre, hidrocarburos de bajo peso molecular, pero rápidamente fueron sustituidos debido a su inflamabilidad o a su alto grado de corrosión. El amoniaco también se utilizó ampliamente como refrigerante en los primeros refrigeradores domésticos pero en la actualidad, pese que es una sustancia tóxica, todavía se emplea en gran medida para refrigeración a nivel industrial.

En los refrigeradores comerciales y cuartos fríos se utilizan todavía algunos de los refrigerantes desarrollados a partir de la tercera década del siglo XX, conocidos como clorofluoronarbonos (CFC), el principal de ellos es el diclorodifluorometano, también conocido como freón 12 o simplemente refrigerante 12. Los investigadores han


desarrollado muchos compuestos de esta familia como los R-11, R-14, R22, R134, R218 entre otros, para brindar los refrigerantes apropiados a las condiciones particulares de refrigeración. Estos compuestos si bien tienen excelentes propiedades refrigerantes, tienen el inconveniente de que ocasionan el deterioro de la capa de ozono y favorecen el efecto invernadero, por esta razón en muchos países se están restringiendo sus aplicaciones.

Los científicos trabajan en la consecución de otras sustancias que no tengan este problema como los CFC no halogenados completamente y entre los cuales se propone el uso del metilcloroformo.

El ciclo termodinámico de refrigeración por compresión de vapor que realiza el refrigerante consta de cuatro procesos:

1. Compresión adiabática en el compresor (1 a 2).

2. Eliminación de calor a presión constante en el condensador (2 a 3).

3. Estrangulamiento a entalpía constante mediante un tubo capilar o una válvula de expansión (3 a 4).

4. Absorción de calor a presión constante en el evaporador (4 a 1).

Es importante comprender y analizar los cambios que se dan en el refrigerante en cada uno de estos procesos para ello, este ciclo se representan en diagramas Ts y Ph como los de la figura 107. Observe detenidamente estos diagramas. Ubique en ellos el punto 1, observará que se encuentra sobre líneas que representan vapor saturado. Al aumentar la presión en forma reversible y adiabática la entropía se mantiene constante y hay un aumento de temperatura; entonces por acción del compresor, el refrigerante cambia de vapor saturado a vapor sobrecalentado (punto 2 del diagrama). En este estado el refrigerante entra al condensador; en él se llevan a cabo dos procesos reversibles: el primero corresponde a un enfriamiento a presión constante hasta que de vapor sobrecalentado se transforma a vapor saturado (punto a) y el segundo corresponde a la transformación hasta líquido saturado (punto 3).

Figura 107: Diagramas Ts y Ph del ciclo de refrigeración por compresión de vapor

El siguiente es un proceso especial ya que se trata de una expansión irreversible donde la entalpía se mantiene constante, como consecuencia disminuyen tanto la presión como la temperatura, se produce una vaporización parcial y aumentan el volumen específico y la


entropía; el estado final de este proceso corresponde a una mezcla de líquido y vapor de baja calidad (punto 4). Finalmente a presión y temperatura constantes ocurre el último proceso que corresponde al cambio de fase de líquido a vapor saturado para de esa forma completar el ciclo termodinámico.

Es conveniente resaltar que en el proceso entre 4 y 1 el refrigerante al evaporarse retira calor del medio circundante y en el proceso entre 2 y 3 al enfriarse y posteriormente condensarse cede calor al exterior y en el proceso entre 1 y 2 se efectúa trabajo sobre el refrigerante. Estos intercambios de energía son importantes para determinar el rendimiento o coeficiente de operación.

Mediante este ciclo funcionan los refrigeradores domésticos, sistemas de aire acondicionado, bombas de calor y muchos de los sistemas de refrigeración industrial. En la figura 108 se muestran los componentes de un refrigerador doméstico. Los números corresponden a los estados por los que pasa sucesivamente el refrigerante en cada ciclo.

La parrilla posterior tiene un diseño que facilita la radiación e intercambio de calor. En refrigeradores pequeños el proceso de estrangulamiento o expansión isoentálpica donde el líquido es forzado a pasar de una región de alta presión a una región de más baja presión se realiza mediante un simple tubo capilar, es más económico y no presenta problemas de mantenimiento, en sistemas industriales se utilizan válvulas de expansión.

El interior de la nevera y el congelador se encuentran aislados del medio exterior mediante aislantes térmico como poliuretano y lana de vidrio, de tal manera que la absorción de calor del interior provoca la disminución de la temperatura.

El compresor es accionado por un motor eléctrico el cual se encuentra conectado a un sistema de termostato que permite ponerse en marcha cuando la temperatura alcanza un valor superior al límite deseado o apagarse si la temperatura baja de un determinado valor. En promedio las temperaturas que se manejan son de 5 ºC en el espacio de refrigeración y -10 ºC en el congelador.

La eficiencia para los ciclos de refrigeración se expresa como coeficiente de operación y constituye la relación entre el calor retirado del espacio refrigerado QF y el trabajo suministrado por el compresor W.

12

41

hh

hh

W

QCOP

f

Ecuación 240


Figura 108: Componentes de un refrigerador

Ejemplo 52

Al compresor de un refrigerador entra, a

razón de 0,06 kg/s, diclorodifluorometano,

conocido como refrigerante 12, en estado de

vapor saturado a 120 kPa y sale a 780 kPa.

Determine la temperatura a la entrada y

salida del compresor, temperatura a la salida

del condensador, cantidad de calor por

segundo retirado del congelador, la potencia

de entrada del compresor y el coeficiente de

operación.

Figura 109: Diagrama Ph con datos del

ejemplo 52

ANÁLISIS DEL PROBLEMA

Las propiedades termodinámicas del refrigerante influyen en el coeficiente de operación del refrigerador debido ya que éste depende de los valores de la entalpía del refrigerante en cada estado del ciclo.


Para solucionar este tipo de problemas se deben conocer las propiedades

termodinámicas del refrigerante, esto se consigue a partir de las tablas en manuales

de refrigeración o mediante software. Utilizaremos en este caso tablas que aparecen

en el apéndice de este módulo las cuales se construyeron a partir del software

desarrollado por el National Institute of Standards and Technology NIST.

Como se conoce que el estado 1 corresponde a vapor saturado, se determinan a

partir de la presión y calidad igual a 1, la temperatura de saturación, la entalpía y la

entropía del vapor saturado. Dado que el proceso entre 1 y 2 es isentrópico se toma

como referencia el valor de la entropía del estado 1 y a la presión del estado 2 que es

conocida se determinan la temperatura y la entalpía. Como el proceso entre 2 y 3 se

realiza a presión constante, con esta presión se determina la entalpía de líquido

saturado y la temperatura de saturación. El valor de entalpía del estado 3 es el mismo

del estado 4 ya que el proceso entre 3 y 4 es isoentálpico. Con el valor de las

entalpías se realizan los cálculos correspondientes para dar respuesta al problema.


Estado Título

x Presión

kPa Temperatura

ºC Entalpía


1 1 120 -25,66 176,5 0,7146

2 V 780 44,93 209,6 0,7146

3 0 780 31,85 66,3 0,2453

4 0.3278 120 -25,66 66,3 0,2693

Temperatura a la entrada del compresor -25,7 ºC

Temperatura a la salida del compresor 44,9 ºC

Temperatura a la salida del condensador 31,9 ºC

Calor retirado del congelador:

skJkgkJskghhmQF /61,6)/)(3,665,176)(/06,0()( 41

Potencia del compresor

kWskghhmW 99,1)5,1766,209)(/06,0()( 12

.


32,3)5,1766,209(

)3,665,176(

12

41

hh

hhCOP

Dos refrigerantes tienen presiones de vapor similares a iguales

temperatura pero el refrigerante A, tiene un valor de hfg mayor que el

del refrigerante B. ¿Cuál considera Ud. que presente un mayor

coeficiente de operación? Justifique su respuesta.

CAPÍTULO 6: APLICACIONES DE LA TERMODINÁMICA

INTRODUCCIÓN

En los siguientes capítulos vamos a estudiar el análisis dimensional y las aplicaciones de

la termodinámica a procesos de flujo continuo y transitorio.

Lección 26: Análisis dimensional

SISTEMA DE UNIDADES

El sistema que vamos a utilizar es el llamado Sistema Internacional de Unidades,

abreviadamente SI, adoptado en 1960 por la Conferencia de Pesas y Medidas, para el

uso en Ciencia y Tecnología. Los diferentes nombres de unidades, símbolos y

equivalencias se dan en las tablas que aparecen a continuación.

Tabla 1: Nombres y símbolos de la base de unidades SI

CANTIDAD NOMBRE SIMBOLO

Longitud Masa Tiempo Corriente eléctrica Temperatura termodinámica Cantidad de sustancia

metro kilogramo segundo amperio kelvin mol

m kg s A K

mol


TABLA 3: Unidades derivadas del sistema SI que tienen nombres y símbolos

especiales

CANTIDAD NOMBRE SIMBOLO DEFINICION DE LA UNIDAD Frecuencia Energía Fuerza Potencia Presión Carga eléctrica Diferencia de potencial eléctrico Resistencia eléctrica Conductancia eléctrica Capacitancia eléctrica Flujo magnético Inductancia Densidad de flujo magnético

hertz joule newton watt pascal coulombio voltio ohmio siemens faradio weber henry tesla

Hz J N W Pa C V Ω S F

Wb H T

s-1

m

2.kg.s

2

m.kg.s-2

= J.m-1

m

2.kg.s

-3 = J.s

-1

m-1

.kg.s-2

= J.m-3

s.A m

2.kg.s

-3.A

-1 = J.s

-1.A

-1

m2.kg.s

-3..A

-2 = V.A

-1

m2.kg

-1. s

3.A

2

m2.kg

-1. s

4.A

2 =C.V

-1

m2.kg. s

-2.A

-1 = V.s

m2.kg.s

-2.A

-2 =V.s.A

-1

kg.s-2

.A-1

= V.m2.s

TABLA 4: Prefijos del sistema SI

SUBMULTIPLO PREFIJO SIMBOLO MULTIPLO PREFIJO SIMBOLO

10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18

deci centi mili

micro nano pico

femto atto

d c m μ n p f a

10 102 103 106 109 1012

deca hecto kilo

mega giga tera

da h k M G T

TABLA 5: Fracciones y múltiplos decimales que tienen nombre especial en el

sistema SI

CANTIDAD FISICA NOMBRE DE LA UNIDAD

SIMBOLO DE LA UNIDAD DEFINICION DE LA UNIDAD

Longitud Longitud

Área Fuerza Presión Energía

Viscosidad cinemática Viscosidad

Angstrom micrón

barn dina bar

ergio stockes poise

Å μ b

dyn bar erg St P

10-10 10-6m

10-28m2 10-5N

105N.m2 10-7J

10-4m2.s-1 10-1kg.m-1.s-1


TABLA 6

Unidades no pertenecientes al sistema SI

CANTIDAD FISICA NOMBRE DE LA UNIDAD

SIMBOLO DE LA UNIDAD

DEFINICION DE LA UNIDAD

Longitud Masa Fuerza Presión Presión Presión Energía Energía Energía Energía Masa Momento dipolar elec. Carga por mol

pulgada libra(avoir dupois) kilogramo-fuerza atmósfera torr milímetro de Hg unidad térmica británica kilowatt-hora caloría termo-química electrón voltio unidad de masa atómica unificada Debye Faraday

in lb kgf atm torr mmHg BTU kWh cal eV u D F

2.54 x 10-2m 0.45359237 kg 9.80665 N 101325 N.m-2 (101325/760)N.m-2 13.5951x980.665x10-

2Nm2 1 055.056J 3.6 x 106J 4.184 J 1.6022 x 10-19 J 1.66041 x 10-27 kg 3.33564 x 10-30A.m.s 9.648 x 10 C moI-1

TABLA 7

Valores de la constante de los gases R, en la ecuación P.V =n.R.T, expresado en

función de las unidades de producto R.V

ENERGIA = P.V n’ TEMPERATURA R

ergio caloría joulio

atm-litro mm Hg-litro kgf/cm2 litro mm Hg – ft3

atm-ft BTU

hp hr kw hr

atm - ft3 mm Hg – ft3

in.Hg-ft3 lbf/in. - ft3 lbf/ft2 - ft3

g g g g g g lb lb lb lb lb lb lb lb lb lb

K K K K K K K K °R °R °R °R °R °R °R °R

8.314x l07 1.987 8.314

0.08205 62.36

0.08478 998.9 1.314 1.986

7.805 x 10-4 5.819x 10-4

0. 7302 555.0 21.85 10.73 1.545

n’ es el número de motes expresados en gramos mol (gr mol) o en libras mol (lb mol).


PROBLEMA RESUELTO

La capacidad calorífica de un gas viene dada por la ecuación

Cp = 3.38 + 18.04 x 10-3T, siendo T la temperatura en grados Kelvin y las unidades de la

capacidad calorífica en calorías/mol.K. Exprese el valor de Cp en función de la

temperatura en:

1) Grados Celsius o centígrados

2) Grados Fahrenheit y

3) Grados Rankine

SOLUCIÓN

La capacidad calorífica de un cuerpo es la cantidad de calor que puede absorber un

cuerpo para subir en un grado su temperatura. En este problema dicha capacidad es una

función de la temperatura. Es así como su valor va a depender de la temperatura que

tenga el cuerpo.

Aquí la capacidad calorífica está expresada en grados Kelvin y se debe hacer su

equivalencia a grados Celsius, Fahrenheit y Rankine respectivamente.

Paso 1:

Equivalencia de la escala Celsius y Kelvin:

K = °C + 273.16, luego Cp = 3.38 + 18.04 x 10-3(°C + 273.16)

Cp = 8.30 + 18.04 x 10-3 ºC

Paso 2:

Equivalencia de la escala Celsius y Fahrenheit:

32Cº5

9Fº

, o lo que es igual: 32Fº

9

5Cº


Luego: 32Fº

9

510x04.1830.8C 5

p

Fº10x02.1098.7C 3

p

Paso 3:

Equivalencia de la escala Fahrenheit y de la escala Rankine: ºR = ºF + 459.67

Luego: ºF = ºR – 459.67

Cp = 7.98 + 10.02 x 10-3 (ºR – 459.67)

Cp = 3.37 + 10.02 x 10-3R

De esta manera quedaron expresadas las capacidades caloríficas en grados Celsius,

Fahrenheit y Rankine.

PROBLEMA RESUELTO

Calcule la Unidad Térmica Británica (BTU) en su equivalencia de calorías por grado

Celsius. La BTU se define como la cantidad de calor necesario para elevar la temperatura

en un grado Fahrenheit de una libra inglesa de agua (454 grs). La cantidad de calor

necesario para elevar la temperatura en un grado Celsius de un gramo de agua se llama

una caloría.

SOLUCIÓN

Una libra inglesa equivale a 454 gramos.

Paso 1:


Si nosotros quisiéramos elevar 454 gramos de agua en un grado Celsius, tendríamos que

suministrar:

Cantidad de calor = 454 lb

g

.1C.ºg

cal

= 454 C.ºlb

cal

Paso 2:

Del gráfico de equivalencias de escalas vemos que el intervalo entre 32°F y 212°F (180°F)

equivalen al intervalo entre 0°C y 100°C (100°C).

Por consiguiente, 180°F = 100°C o lo que es igual: Fº

5

9Cº

Reemplazando este valor en la cantidad de calor, tenemos:

Cantidad de calor F.ºlb

cal252

Fº59.lb

cal454

Es decir 1.0 BTU = 252 cal.

El Análisis Dimensional

El sistema de unidades y el análisis dimensional son temas que, en general, no forman

parte de un curso de termodinámica; puesto que se da por entendido que la magnitud va

siempre acompañada por el género o tipo de unidad que la determina.

Así nosotros cuando hablamos de longitud necesariamente nos referimos a cualquiera de

los sistemas de unidades que usualmente se utilizan, como son: el sistema métrico

decimal (unidad = metro) y el sistema sajón de longitud (unidad = pulgada).

Esta observación parece simple, pero la experiencia muestra que muchas veces en la

resolución de un problema en donde intervienen diversas unidades, como es el caso de la

termodinámica, el estudiante tiende a fijar su atención en las operaciones algebraicas que


se realizan con los valores numéricos y no considera el tipo de unidad que está usando;

en consecuencia, se produce el caso paradójico de que habiendo resuelto el problema

conceptual perfectamente y, por supuesto, el algebraico, el estudiante obtiene una

respuesta que no concuerda con la presentada en el solucionario.

Análisis dimensional es el proceso que se ocupa de establecer que las unidades

empleadas para resolver las ecuaciones sean las mismas, con el objeto de hacer las

debidas simplificaciones de dichas unidades.

De acuerdo con la definición anterior, el resultado de efectuar la simplificación consistiría

en expresar la respuesta en un solo tipo de unidades de masa, tiempo, espacio, etc. En

este caso hablamos que las magnitudes empleadas que poseían el mismo tipo de

unidades, tenían consistencia dimensional o que eran dimensionalmente consistentes.

Esta situación es particularmente interesante en termodinámica en donde el resultado

puede expresarse en unidades científicas o en unidades técnicas.

El estudiante deberá desarrollar especial atención y práctica al respecto, resolviendo

problemas, ejercitándose en pasar del sistema métrico al sistema sajón y viceversa.

AUTOEVALUACIÓN 7

Como ejercicio general exprese los resultados de los problemas 6, 7 y 8, de la

autoevaluación 5 en unidades tales como: calorías, kg.m, kwt y BTU.

En caso de que las tablas de equivalencias dadas en el capítulo 6 sean insuficientes,

consulte otros manuales en donde puede encontrar otras tablas de equivalencia.

AUTOEVALUACIÓN 8

1. ¿Cuáles son los métodos de estudio en Termodinámica? ¿Cuál es el método que

vamos a seguir en este curso y diga por qué lo vamos a seguir?

2. ¿Por qué es útil definir el Sistema Termodinámico que deseamos estudiar?


3. Cuando queremos aislar térmicamente un sistema, ¿qué tipo de pared debemos

colocarle?

4. ¿Cómo se llaman las características del sistema que varían con el contenido de

energía del mismo?

5. ¿Qué condiciones se deben cumplir para que un proceso sea reversible?

6. ¿La mayoría de los procesos que se presentan en la naturaleza son reversibles o

irreversibles?

7. ¿Para cuantificar una propiedad termodinámica se debe tener el sistema en estado de

equilibrio o en estado de no-equilibrio?

8. ¿Puede un sistema variar su temperatura entre los estados inicial y final y llevar al

mismo tiempo una trayectoria isotérmica?

9. ¿Por qué se puede afirmar que el coeficiente de compresibilidad de un gas es una

ecuación de estado para un proceso a temperatura constante?

10. ¿Qué nombre reciben las propiedades termodinámicas que son función de la masa

del sistema?

11. ¿Cuáles son los criterios que se deben seguir para establecer los llamados puntos

fijos o estándar en la calibración de un termómetro?

12. En el termómetro llamado de volumen constante, ¿cuál es la propiedad termométrica?

Puede consultar cualquiera de los textos que aparecen en la bibliografía general para

resolver esta pregunta.

13. ¿Cuáles son las formas de energía que usted conoce en la vida práctica?

14. ¿Cuáles son las propiedades termodinámicas que están asociadas a cada una de las

formas de energía que mencionó en la respuesta a la pregunta anterior?

15. ¿Cómo puede saber usted si una pila eléctrica común puede dar energía?

Lección 27: Aplicación de las leyes de la termodinámica a procesos de flujo continuo

Conservación de Masa y Volumen de Control


Un volumen de control es un volumen en el espacio el cual nos interesa para un análisis y

que su tamaño y forma son totalmente arbitrarios y están delimitados de la manera que

mejor convenga para el análisis por efectuar.

También que se llama superficie de control a la que rodea al volumen de control, que

puede quedar fija, moverse o expandirse, además de ser siempre una superficie cerrada.

Sin embargo, la superficie debe ser definida en relación con un sistema coordenado y,

para algunos análisis, a veces es conveniente considerar el sistema coordenado girando o

en movimiento y describir la superficie de control relativa al sistema.

El calor y el trabajo, así como la masa, pueden cruzar la superficie de control; además, la

masa en el volumen de control y sus propiedades asociadas pueden cambiar con relación

al tiempo. La figura 69 muestra el diagrama de un volumen de control con transmisión de

calor a sus alrededores, trabajo en la flecha, acumulación de masa dentro del volumen le

control y límite móvil.

FIGURA 69

Diagrama de un volumen de control que muestra transmisión y acumulación de masa y

calor


Ahora se va a analizar la aplicación de la ley de conservación de la masa sobre el

volumen de control.

Primero que todo, hay que tener en cuenta la masa que fluye hacia adentro y hacia afuera

del volumen de control y la diferencia entre la masa que entra y la que sale da el

incremento neto de masa dentro de dicho volumen. Considerando un volumen de control

en un instante cualquiera, t, y haciendo que durante un intervalo de tiempo δt entre al

volumen de control la masa δm i y que salga de él la masa δme, tal como se muestra en la

figura 70. Por otra parte, llamaremos δmt a la masa dentro del volumen de control en el

instante t y δmt + δ a la masa dentro del volumen de control en el instante t + δt. Entonces,

al aplicar el principio de la conservación de la masa, se puede escribir: m t + δmi = mt + δt +

δme.

FIGURA 70

Diagrama esquemático de un volumen de control para analizar como puede aplicarse la

ecuación de continuidad a un volumen de control

También se puede considerar la situación desde el punto de vista del cambio de masa en

el volumen de control y el flujo neto de masa que cruza la superficie de control. Al aplicar


la ley de conservación de masa, tendremos que el aumento de masa dentro del volumen

de control en el intervalo dt será igual al flujo neto de masa dentro de dicho volumen

durante el intervalo dt. Es decir, se puede escribir:

(δmi - δme) = mt + δt + mt

Reorganizando:

(mt + δt – mt) + (δme – δmi) = 0 Ec. 3

Por otra parte, en el análisis termodinámico de muchos problemas es conveniente

expresar la ley de la conservación de masa como una ecuación de rapidez en el cambio

para un volumen de control. Ello implica considerar el flujo de masa instantáneo que cruza

la superficie de control y la rapidez del cambio de masa dentro del volumen de control.

Para escribir dicha ecuación, podemos considerar la ecuación 3 como punto de partida

para expresar el promedio de flujo de masa que cruza la superficie de control durante el

intervalo δt y el promedio de rapidez en el cambio de la masa existente en el interior del

volumen de control durante δt; lo cual se logra dividiéndola por δt:

0t

mm

t

mm iettt

Ec. 4

Ahora se va a desarrollar una ecuación que dé el valor instantáneo de la rapidez en el

cambio para cada término de la ecuación 4.

Primero se considera el segundo término de dicha ecuación. En la figura 71 se muestra

un elemento de la superficie de control, δAe, ocurriendo a través de ella un flujo hacia

afuera. La rapidez del flujo que sale cruzando δAe es δme.

Ser hace notar que m” se emplea para designar la rapidez del flujo de masa que cruza

una superficie de control y, para el caso, δ significa que es la rapidez de flujo sólo en un

elemento δAe de dicha superficie. La rapidez del flujo de salida a través de toda la

superficie de control puede encontrarse integrando sobre el área completa; o sea,

podemos escribir:

A

''

e

''

e mm


Análogamente, para el flujo de entrada podemos escribir:

A

''

i

''

i mm

La rapidez de flujo puede expresarse también en términos de velocidad y densidad, de

acuerdo con la relación:

Δmºe = δVnδAe

Donde, como se muestra en la figura 71 Vn es la componente normal de Vr, velocidad

relativa al área δAe en la dirección α relativa a la salida normal a δAe y ρ es la densidad de

la masa que en ese punto cruza la superficie de control.

FIGURA 77

Área en una superficie de control a través de la cual hay un flujo de masa hacia fuera

De la figura 71, podemos notar también que:

Vn = Vr cos α


Si el flujo es hacia adentro, la expresión también es válida, sólo que el cos α es negativo.

Por tanto, el flujo neto hacia afuera que cruza el volumen de control completo puede

escribirse como una integral de superficie para la ecuación:

(δm1e)neto = ρVr cosα dA

Integrando

dA.cos.Vm rneto

'

e

Consideremos ahora el intervalo de tiempo δt. Para ello, podemos designar:

promedioAr dA.cos.V.

Éste es el promedio de rapidez de flujo que cruza la superficie de control durante dicho

intervalo de tiempo.

Se puede concluir que (δme – δmi), la masa neta que fluye a través de la superficie de

control durante δt está dada por:

tdA.cos.V.mmpromedioA

rie

Que también puede escribirse como:

promedioAr

ie dA.cos.V.t

mm

Consideremos ahora el primer término de la ecuación 4. Allí, (m t + δt - mt), que representa

el cambio de masa del volumen de control durante δt. Se puede escribir como una integral

de volumen, si se considera un elemento de volumen, dV, dentro del volumen de control,

en donde la densidad es ρ, e integrando sobre el volumen de control. Es decir, en un

instante dado, la masa en el volumen de control es VdV

, y por lo tanto:


Vttt dVmm

Ahora, si consideramos el intervalo de tiempo δt se puede escribir:

V

ttt dVtt

mm

Ec. 6

Sustituyendo las ecuaciones 5 y 6 en la ecuación 4 se obtiene:

0dA.cos.V.dVt promedio

r

Ec. 7

Cuando δt → 0, en el límite, la rapidez instantánea del cambio de masa dentro del

volumen de control y la rapidez instantánea del flujo de masa a través de la superficie de

control serán:

VV0t

ttt

0tdV

dt

ddV

tlím

t

mmlím

Ar

promedioAr

0t

ie

0tdA.cos.V.dA.cos.Vlím

t

mmlím

Sustituyendo estas dos expresiones en la ecuación 7, tendremos que la ecuación de

rapidez para la ley de la conservación de masa, relativa a un volumen de control y

llamada comúnmente ecuación de continuidad, es:

V Ar 0dA.cos.dVdV

dt

d

Ec. 8

Se debe notar que Vr es relativa a la superficie de control en el área dA. Se asumirá

siempre que el volumen de control es fijo con relación a un sistema coordenado, lo que es

razonable; por lo cual, si la superficie de control no se mueve con relación al sistema

coordenado, Vr = V donde V es la velocidad del fluido relativa a dicho marco coordenado.


Una de las características de mayor interés de la termodinámica es su gran aplicabilidad

en el diseño de muchos equipos, instrumentos y dispositivos donde se intercambia

energía.

A continuación se analizarán diferentes casos de procesos termodinámicos con aplicación

práctica y se desarrollarán ejemplos que ilustran los cálculos pertinentes. Se empezará

por describir las condiciones termodinámicas de operación, bajo el régimen de flujo

estable, de los equipos utilizados con más frecuencia en la industria química,

farmacéutica y de alimentos, como es el caso de intercambiadores de calor, bombas y

compresores, válvulas de estrangulamiento, toberas y difusores dispositivos de mezcla y

flujo de fluidos.

Intercambiadores de calor

Los intercambiadores de calor son equipos que permiten realizar la transferencia de calor

entre dos fluidos sin que haya mezcla entre ellos. Esta operación se realiza a nivel

industrial con el objeto de adecuar las propiedades termodinámicas de uno de los fluidos

a las exigencias del proceso en particular.

Estos equipos son muy utilizados industrialmente y los hay de diferentes clases, tamaños

y diseños dependiendo de cada necesidad, pero la forma más simple y generalizada de

un intercambiador de calor es el arreglo formado por dos tubos concéntricos de diferente

diámetro, de tal manera que uno de los fluidos circula por el tubo interior y por el espacio

anular entre las dos tuberías, el otro, como se indica en la figura 116. En ella la línea

segmentada exterior representa el volumen de control referido a todo el intercambiador

mientras que la línea segmentada interior representa volumen de control referido a uno de

los fluidos. Observe que en el primer caso no hay transferencia de calor, en el segundo

uno de los fluidos cede calor al otro. La elección del volumen de control apropiado

depende de las variables que se conozcan y de las incógnitas que se requieran

determinar.


Figura 2: Intercambiador de calor

Otros ejemplos de equipos donde se presenta transferencia de calor son los

evaporadores, condensadores, calderas, serpentines, radiadores. Los cambios de

velocidad y de altura en estos equipos generalmente son insignificantes por lo que no se

presentarán cambios apreciables de energía cinética y de energía potencial y tampoco se

realiza trabajo. Por lo tanto, si el volumen de control corresponde a uno de los fluidos, la

ecuación 260, resultado de la aplicación de la primera ley de la termodinámica bajo estas

condiciones, se expresa como:

hq Ecuación 1

Lo cual significa que el calor por unidad de masa cedido o ganado por uno de los fluidos

es igual al cambio de su entalpía específica.

Generalmente los intercambiadores de calor se encuentran bien aislados para evitar las

pérdidas de energía hacia el exterior, si se elije el volumen de control para todo el

intercambiador justo por debajo del aislamiento, entonces el calor será igual a cero lo cual

significa que el cambio global de entalpía debe ser igual a cero y por lo tanto la suma de

las entalpías de las corrientes que entran al intercambiador serán iguales a la suma de las

entalpías de la corrientes que salen de él. Por lo tanto se establece que:

2211.... hmhmhmhm BABA Ecuación 2

Al factorizar se llega a que


)()( 1221.. hhmhhm BA Ecuación 3

Esta ecuación permite determinar la relación de flujos másicos si se conocen las entalpías

o determinar entalpías de entrada o salida si son conocidos los flujos másicos y algunos

valores de temperatura.

Ejemplo 1

Por el tubo interior de un intercambiador de

calor experimental entra agua a razón de 10

kg/minuto a 100 kPa y 12 ºC y sale a 30 ºC. Por

el tubo exterior en contracorriente entra agua

caliente a 300 kPa y 70ºC. Si las caídas de

presión son despreciables, determine el flujo

másico de agua caliente y el calor retirado por

minuto si el agua caliente sale a 20 ºC.


ANÁLISIS DEL PROBLEMA:

Se puede considerar que el sistema es de flujo estable, no hay cambio de energía cinética

y energía potencial, tampoco hay trabajo ni transferencia de calor del intercambiador a los

alrededores por lo tanto es válido utilizar la ecuación 265. Las entalpías se determinan de

las tablas o directamente del software PROPAGUA que ya se ha utilizado. Otra alternativa

de solución a este problema es la de considerar que el calor específico del agua líquida

no cambia con la presión y a partir de este dato y las temperaturas se calculan los

cambios de entalpía.

SOLUCIÓN DEL PROBLEMA:

Datos de entalpías del agua líquida a las diferentes presiones y temperaturas obtenidas

del software PROPAGUA.

TEMPERATURA ºC

PRESIÓN kPa

ENTALPÍA kJ/kg

12 100 50,49

30 100 125,8

70 300 293,2

20 300 84,10


La ecuación 265 aplicada a este caso particular se convierte en:

)()( 1221..

afafafacacac hhmhhm

min/60,3)10,842,293(

)49,508,125min)(/10(

)(

)(

21

12.. kg

kg

hh

hhmm

acac

afafaf

ac

min/76,752/)10,842,293min)(/60,3()( 21..

kJkgkJkghhmQ acacac

¿Cómo varía la temperatura de salida del agua caliente, en el intercambiador de problema

anterior, si se aumenta el flujo másico de este fluido?

Le invitamos a que resuelva el problema utilizando el calor específico de agua líquida.

¿Qué concluye?

Bombas, compresores, turbinas y ventiladores

Estos equipos de amplio uso en la industria tienen en común que su proceso

termodinámico involucra trabajo de eje ya sea que se realice trabajo sobre el sistema

elegido como en el caso de bombas, compresores o ventiladores o bien que el sistema

realice trabajo como en las turbinas.

En estos casos el cambio de energía potencial generalmente es muy pequeño y con

frecuencia se omite en los cálculos. Bajo estas condiciones, ep = 0.

Las velocidades involucradas en bombas, compresores o ventiladores son generalmente

muy bajas y no producen un cambio significativo en la energía cinética, con excepción de

las turbinas donde se manejan velocidades mucho más altas, sin embargo en estos casos

el cambio de entalpía es mucho mayor y de ordinario también se desprecia este término.

Por lo tanto ec = 0.

Los procesos en estos dispositivos generalmente son tan rápidos que no dan lugar a que

se presente una transferencia de calor apreciable a menos que se haga en forma


intencionada como en el caso de un compresor con sistema de refrigeración incluido; si

éste no es el caso, de ordinario se desprecia la transferencia de calor. Por tanto 0.Q .

Teniendo en cuenta las anteriores restricciones, la ecuación 260 se reduce a:

hw Ecuación 4

Ejemplo 2 Una turbina de una planta termoeléctrica se alimenta con

6 kg/s de vapor de agua, a una presión de 25 bares, una

temperatura de 420 ºC y un una velocidad de 110 m/s, si

luego de la expansión, el vapor sale con una calidad del

90% a una presión de 0,75 bares y con una velocidad de

170 m/s, determine la potencia que suministra la turbina

si se conoce que la transferencia de calor a los

alrededores es de 20 kJ/kg,.



Para determinar la potencia que suministra la turbina se elige como volumen de control el

espacio en el interior de la turbina y se considera que el proceso es de flujo estable en tal

caso tiene aplicación la ecuación 260, de ella se despeja el trabajo por unidad de masa.

El cambio de energía potencial es despreciable. El cambio de energía cinética se

determina fácilmente ya que se conocen los valores velocidad de salida y de entrada del

fluido al volumen de control. El vapor entra a la turbina como vapor sobrecalentado ya que

a 25 bares la temperatura de saturación es de 224 ºC y el vapor se encuentra a 420 ºC,

entonces la entalpía se determina de las tablas de vapor sobrecalentado o utilizando el

software de propiedades del agua. La entalpía del vapor a la salida se determina teniendo

en cuenta la presión de 0,75 bares la calidad del vapor.


Determinación del cambio de entalpía durante el proceso. Las entalpías halladas usando

el software “PROPAGUA” se presentan en la siguiente tabla:

ESTADO PRESIÓN

kPa TEMPERATURA

ºC ENTALPÍA

kJ/kg

Recuerde que el signo indica la dirección en la cual se efectúa el trabajo. Si la

entalpía del sistema disminuye el trabajo será positivo, lo cual implica, que el

sistema realiza trabajo; por el contrario si se presenta un aumento de entalpía, el

trabajo será negativo, lo que significa que se realiza un trabajo sobre el sistema.


Vapor 25 420 3.285

x = 0,90 0,75 92 2.435

kgkJkgkjhhh /850/)285.3435.2()( 12

Determinación del cambio de energía cinética

kgkJJkJkgkgsmVV

ec /4,82

)1000/)(/)(/)(110170(

2

222221

22

Despejando el trabajo de la ecuación 260 se tiene:

)( heeqw pc

kgkJkgkJkgkJkgkJw /6,821)/850(/4,8/20

Observe que el calor es negativo porque sale del sistema.

Finalmente la potencia que genera la turbina se calcula multiplicando el flujo másico por el

trabajo realizado por unidad de masa.

kWkgkJskgwmPotencia 930.4)/6,821)(/6(.

Ejemplo 3 Desde el fondo de un depósito de agua donde la

temperatura es de 15 ºC y la presión de 150 kPa, se

desea extraer agua utilizando para ello una bomba, y

llevarla a razón de 100 kg/minuto, hacia un tanque que se

encuentra a una altura de 8 metros por encima de la base

del depósito, mediante una tubería de 2,67 cm de

diámetro interior; la presión en el punto de descarga es

de 350 kPa. Si se consideran despreciables la pérdida de

energía debida a la fricción en el interior de la tubería y la

transferencia de calor con el medio exterior, ¿cuál debe


ser la potencia de la bomba?

Figura 5: Datos ejemplo 2-3


Se define como volumen de control el espacio que ocupa el fluido en el interior de las

tuberías y la bomba. Cuando la bomba se encuentra en funcionamiento el proceso se

modela como un proceso de flujo estable, ya que las propiedades en cada punto son

constantes con el tiempo. Para determinar la potencia de la bomba, se requiere conocer el

cambio de energía cinética, el cambio de energía potencial y el cambio de entalpía ya que

las pérdidas de calor son despreciables. Para calcular el cambio de energía cinética se

debe calcular previamente la velocidad en el punto de descarga y considerar que la

velocidad en el fondo del depósito es muy pequeña de tal manera que se asume como

cero. El cambio de entalpía se determina de las tablas de propiedades del agua o del

software de propiedades del agua ya que se conocen las condiciones iniciales de presión

y temperatura si se supone un proceso isentrópico, entonces con el valor de la entropía y

el de la presión se obtiene la entalpía en el punto de descarga.


Con las consideraciones realizadas, la primera ley de la termodinámica para este proceso

se reduce a: )( heew pc

Para calcular la velocidad en el punto de descarga primero es necesario calcular el área

de la sección transversal en ese punto:

24

2

222

2 106,5000.10

1

2

67,2mx

cm

mcmRA

smmxmkg

skg

A

mV /98,2

)106,5)(/000.1(

)60min/1min)(/100(243

22

2

.

Cambio de energía cinética


kgJsmsmVV

ec /44,4)/44,4(2

0)/98,2(

2

22

221

22

Cambio de energía potencial

kgJmsmzzgep /4,78)08)(/8,9()( 212

Para determinar el cambio de entalpía se utiliza el software PROPAGUA de donde se

obtienen los siguientes datos:

Estado Presión

kPa Temperatura

ºC Entalpía


1 150 15 63,06 0,22429

2 350 15 63,27 0,22429

Cambio de entalpía:

kgJkgkJkgkJhhh /210/21,0/)06,6327,63(12

Trabajo por unidad de masa

kgJkgJw /8,292/)2104,7844,4(

El signo negativo indica que la bomba realiza trabajo sobre el sistema

La potencia de la bomba es:

WkgJskgwmW 488)/84,82)(60/100(..

Dispositivos de estrangulamiento

En general a cualquier medio que ocasione un descenso considerable en la presión de un

fluido que se pasa a través de él, se le conoce como dispositivo de estrangulamiento,

puede ser una válvula, un capilar o un tabique poroso. Cuando se somete a un fluido a


cruzar a través de una sección de área reducida para así disminuir su presión, ocurren

cambios que tienen muchas aplicaciones prácticas, principalmente en la refrigeración,

debido a que de ordinario un descenso en la presión implica una disminución de la

temperatura.

Si el flujo se mantiene constante con el tiempo, el proceso será de flujo estable. En este

caso son despreciables los cambios de energía cinética y de energía potencial ya que las

velocidades de entrada y de salida al volumen de control definido, no cambian en forma

significativa, igual sucede con la diferencia en altura de estos puntos. Tampoco se

presenta trabajo y como el proceso es rápido o intencionalmente se aísla el sistema, la

transferencia de calor es despreciable. Situación ilustrada en la figura 120, donde la línea

segmentada representa el volumen de control elegido. Para tal proceso la ecuación 260

se reduce a:

1212 0)(0 hhhhh Ecuación 5

Lo cual significa que las entalpías de entrada y salida al volumen de control son iguales,

por eso y bajo esta consideración a un proceso de estrangulamiento se le conoce como

proceso isentálpico.

A la variación de la presión de un gas con respecto a la temperatura, a entalpía constante,

se le denomina coeficiente Joule Thomson, el cual se representa con la letra , y define

mediante la siguiente expresión matemática:

HP

T Ecuación 6

El coeficiente Joule Thomson de un gas puede ser positivo o negativo, dependiendo de

los valores de presión y temperatura. Generalmente a presión y temperatura bajas, es

positivo, lo cual significa que si disminuye la presión, la temperatura también disminuye. A

presión y temperatura elevadas este coeficiente tiene signo negativo, lo cual implicaría

que en un proceso de estrangulamiento bajo estas condiciones la temperatura

aumentaría.


Figura 6: Proceso de estrangulamiento

Ejemplo 4 A la válvula de estrangulamiento de un sistema de

refrigeración, llega refrigerante 12, en estado de

líquido saturado, a una presión de 850 kPa. Luego

de pasar por la válvula la presión se reduce hasta

150 kPa. Determine la temperatura y la calidad del

refrigerante a salida de la válvula.



Como ya se estudió, el proceso de estrangulamiento implica que la entalpía a la entrada

de la válvula sea igual a la entalpía a la salida; por lo tanto, con la presión de entrada se

calcula el valor de la entalpía de líquido saturado, con este valor y las entalpías de líquido

saturado y de vapor saturado a la salida, las cuales a su vez, se determinan con el valor

de la presión a la salida, se calcula la calidad del vapor. La temperatura corresponde a la

temperatura de saturación a esa presión, ya que el refrigerante se encuentra como una

mezcla de líquido y vapor.


El valor de la entalpía para líquido saturado del R-12 a 850 kPa, según las

correspondientes tablas de propiedades termodinámicas, es 69,6 kJ/kg.

A 150 kPa hf = 17,5 kJ/kg y hg = 179,1 kJ/kg

Por lo tanto 32,05,171,179

5,176,69

fg

f

hh

hhx

La temperatura de salida es de -20 ºC que es la correspondiente a la temperatura de


saturación según las tablas.

Toberas y difusores

Las toberas son dispositivos que permiten aumentar en forma considerable la velocidad

del fluido al reducir gradualmente la presión; los difusores al contrario, experimentan un

aumento de la presión al disminuir la velocidad. El diseño de toberas y difusores depende

de la velocidad del fluido, para flujos subsónicos, es decir, con menor velocidad que la del

sonido, las toberas se diseñan en forma convergente, de tal manera el área de la sección

transversal se reduce gradualmente en la dirección del flujo, mientras que los difusores se

diseñan en forma divergente, el área de la sección transversal aumenta en la dirección del

flujo.

Un comportamiento contrario se presenta cuando el flujo es supersónico. La figura 122

ilustra este comportamiento. Las toberas se utilizan principalmente en los motores de

propulsión a chorro para aumentar la velocidad de salida de los gases de combustión y

proporcionar por tanto un mayor empuje.

Las toberas, conocidas como también boquillas, se utilizan para inyectar un fluido a un

determinado proceso, por ejemplo un combustible a un motor, también se utilizan para

proporcionar una mayor velocidad de descarga en mangueras ya sea con fines

domésticos, industriales o para sofocar incendios.

Las toberas también son utilizadas en sistemas de aire comprimido para producir chorros

de alta velocidad que se requieren para accionar finos instrumentos odontológicos o

simples pistolas para pintar.

Figura 8: Formas generales de toberas y difusores según tipo de flujo


En estos dispositivos generalmente no se presentan cambios en la energía potencial, no

hay trabajo y no es significativa la transferencia de calor, por lo tanto la ecuación 260,

para estos casos se expresa como:

hec Ecuación 7

Remplazando los valores de las propiedades a la entrada y salida del volumen de control

se obtiene:

)( 1212 hhee cc

ordenando las propiedades para cada punto:

1122 hehe cc Ecuación 8

De donde se concluye que la energía de un fluido por unidad de masa es constante como

corresponde a un proceso de flujo estable. A continuación encontrará un problema de

ejemplo que ilustra esta situación.

Cámaras de mezcla

Con frecuencia dos corrientes de fluidos de igual naturaleza se mezclan para que

adquieran una determinada temperatura, al dispositivo que permite realizar esta

operación, se le conoce como cámara de mezcla el cual, no necesariamente es un

recipiente especial, por ejemplo una simple T de una tubería puede servir como medio

para mezclar dos fluidos, como sucede en la regadera de un baño. La figura 124

representa una cámara de mezcla.

Figura 9: Cámara de mezcla


En estos casos son despreciables los cambios de energía potencial, energía cinética, no

se realiza trabajo y tampoco hay transferencia de calor hacia el exterior, en consecuencia,

de la aplicación de las leyes de conservación de la masa se establece que:

...321 mmm Ecuación 9

y de la ley de conservación de energía se establece otra relación:

332211... hmhmhm Ecuación 10


Ejemplo 5 Por una tobera circula 2,0 kg/s de vapor de agua, el

cual entra a 350 ºC y 1.700 kPa, y sale a con una

velocidad de 270 m/s a 1.300 kPa. Si el área de la

sección transversal a la entrada es de 0,0186 m2 y se

consideran despreciables las pérdidas de calor, ¿con

qué velocidad entra el vapor? ¿Con qué temperatura

sale? ¿Cuál será el área de la sección transversal a

la salida?



Al conocer el flujo másico y el área de la sección transversal, solo se requiere determinar

la densidad del fluido para hallar la velocidad de entrada.

Por otra parte la entalpía inicial se halla de las tablas de propiedades de vapor

sobrecalentado con los datos de presión y temperatura. De la ecuación 270 se despeja el

valor de la entalpía a la salida y con este dato y la correspondiente presión se encuentra

la temperatura.

El área se halla determinando primero la densidad del fluido al salir y se utilizan los datos

del el flujo másico y la velocidad de salida del vapor.


De las tablas de propiedades del vapor sobrecalentado o del software correspondiente se

obtiene el valor del volumen específico el cual es igual al recíproco de la densidad:

PRESIÓN kPa

TEMPERATURA ºC

VOLUMEN ESPECÍFICO m3/kg

DENSIDAD kg/m3

ENTALPÍA kJ/kg

1.700 350 0,16396 6,0990 3.144,7

smmmkg

skg

A

mV /63,17

)0186,0)(/099,6(

/223

11

1

.

De la ecuación 272 1

21

1212 )22

()( hVV

heeh cc

kgkJkgkJsm

kgkJsmh /4,108.3/7,144.3)

/000.1

)/)(/)(

2

270

2

63,17(

22

222

2

Para este valor de entalpía y 1.300 kPa las propiedades del vapor son:


Ejemplo 6 En un proceso se requiere un suministro de 2,5

kg/s de agua a una temperatura de 40 ºC. Para

suplir esta necesidad, se aprovecha el agua

procedente de un condensador la cual sale a 60

ºC y se conduce mediante una tubería conectada

a una unión en T donde se mezcla con agua

procedente de un tanque de almacenamiento a 15

ºC. Si se consideran despreciables las pérdidas

de calor y la mezcla se efectúa a 140 kPa,

determine el caudal de agua fría y de agua

caliente que se requiere para el proceso.



El problema plantea dos incógnitas, los flujos másicos de las dos corrientes. En

consecuencia se deben formular dos ecuaciones que relacionen a estas variables. Las

ecuaciones 271 y 272 permiten calcular la relación en la cual se deben mezclar dos

corrientes de un fluido a diferentes temperaturas para obtener una corriente a una

temperatura intermedia que corresponde al caso de interés. Las entalpías se hallan con la

presión y temperaturas de las tablas de propiedades del agua líquida o del software

disponible.


Datos obtenidos del software PROPAGUA:

ESTADO PRESIÓN TEMPERATURA ENTALPÍA

PRESIÓN kPa

TEMPERATURA ºC


DENSIDAD kg/m3

ENTALPÍA kJ/kg

1.300 329,4 0,20822 4,8026 3.108,4

Área de la sección transversal de salida

2

3

22

2 001542,0/63,17)/270)(/8026,4(

/2.msm

smmkg

skg

V

mA


kPa ºC kJ/kg

Entrada 1 140 60 251.20

Entrada 2 140 15 63,06

Salida 140 40 167,60

skgmm /5,2..21

332211... hmhmhm

)/60,167)(/5,2()/06,63()/20,251( ..21 kgkJskgkgkJmkgkJm

Resolviendo este sistema de ecuaciones:

skgm /11,1.1 skgm /39,1.

2

Flujo en tuberías

El transporte de fluidos a través de tuberías o ductos constituye un gran campo de estudio

y aplicación de la ingeniería. Cuando un fluido se encuentra fluyendo de tal manera que

sus propiedades son constantes con el tiempo, el proceso se considera como de flujo

estable. El volumen de control se elige seleccionando un determinado tramo de tubería,

de tal manera que las fronteras coincidan con las paredes interiores de la tubería que se

quiere estudiar.

En algunos casos la conducción del fluido puede requerir de tuberías de diferente

diámetro, con lo cual se producen cambios apreciables en la velocidad; también puede

necesitarse que el fluido llegue hasta alturas apreciables por lo cual son necesarios de

considerar los cambios en la energía potencial. Durante la conducción los tubos pueden

estar aislados o permitir el intercambio de calor entre el fluido y el medio exterior.

Además un sistema de flujo de fluidos puede incluir una bomba o un compresor que

realizan trabajo sobre el fluido o incluso pueden presentase otras formas de trabajo tales

como trabajo eléctrico o trabajo de eje. Si se consideran todas estas circunstancias en

principio no se puede despreciar ninguno de los términos de la ecuación 260.

Para el caso particular de flujo de fluidos incompresibles:


Pvuh y Tcu p

Sustituyendo en la ecuación 260 se obtiene la siguiente ecuación general aplicable a

fluidos incompresibles:

PvTceewq ppc Ecuación 11

Si el sistema que se estudia es adiabático, isotérmico e incompresible y además no se

incluye una bomba, los términos de calor, trabajo y el cambio de temperatura son cero, de

tal manera que

pvee pc0 Ecuación 12

o también

)(2

)( 12

2

1

2

2

12 zzgVV

PPv Ecuación 13

Esta última educación se conoce como ecuación de Bernoulli la cual se estudia con

mayor detenimiento en la mecánica de fluidos.

Ejemplo 7 Un sistema de calefacción sencillo, utiliza aire

que circula por un ducto a razón 1,5 m3/s, el

cual se calienta al pasar por una resistencia

eléctrica de 9,0 kW. Si la transferencia de calor

del aire al medio exterior a través del ducto es

de 160 J/s y el aire, antes de pasar por la

resistencia, se encuentra a 14 ºC y 75 kPa

determine la temperatura con la cual sale el

aire.



El volumen de control se establece para el tramo del ducto alrededor de la sección de

calentamiento. El proceso se considera de flujo estable donde no hay cambios de energía

cinética ni de energía potencial, en consecuencia el intercambio de energía debido a la

interacción de calor y trabajo es igual al cambio de entalpía. Con este dato se puede

calcular la entalpía a la salida y con este dato y la presión determinar el valor de la

temperatura. La entalpía a la entrada se determina mediante los correspondientes valores


de la presión y la temperatura.

Otra alternativa de solución del problema es determinar la capacidad calorífica del aire y

calcular el cambio de temperatura a partir del cambio de entalpía.


El volumen molar del gas a las condiciones de entrada es igual a 31,8161 m3/kmol y la

entalpía molar es de 8.345,6 kJ/kmol (Datos obtenidos del software PROGASES).

skmolkmolm

smnmolarFlujo /0471,0

/8161,31

/5,13

3.

kmolkJskmol

skJskJ

n

WQH /7,187

/0471,0

)/0,9(/160,0...

kmolkJkmolkJHHH /3.533.8/)6,345.87,187(12

Para este valor de la entalpía y la presión de 75 kPa corresponde una temperatura de

293.4 k equivalente a 20.4 ºC. (Dato obtenido de PROGASES)

Segunda alternativa: capacidad calorífica molar del aire a las condiciones de entrada

29,08 kJ/kmol K.

KkmolKkJ

kmolkJ

C

HT

p

45,6/08,29

/7,187

KTTT 45,29345,628712

Lección 28: Aplicaciones de la termodinámica a procesos de flujo estable

En un volumen de control con flujo estable, la masa se mantiene constante con el tiempo,

de tal manera que la cantidad de materia que entra al sistema en un intervalo de tiempo

dado, debe ser igual a la cantidad de materia que sale del sistema. El volumen de control

puede tener una o varias secciones de entrada y así mismo una o varias secciones de


salida. Para este caso general, el principio de conservación de la masa se expresa

mediante la siguiente ecuación:

..ji mm Ecuación 254

Donde el subíndice i representa cualquiera de las corrientes de entrada y el subíndice j

representa cualquiera de las corrientes de salida.

Si en la ecuación anterior los flujos másicos se remplazan por sus equivalencias en

función de densidad, velocidad y área se llega a la siguiente ecuación general:

jjjiii AVAV Ecuación 255

Si el volumen de control posee solo una entrada y una salida, como en muchos de los

dispositivos utilizados industrialmente, la ecuación anterior se expresa en forma más

sencilla como:

222111 AVAV Ecuación 256

Donde el subíndice 1 significa el punto a la entrada del sistema y el subíndice 2 el punto

de salida.

La ecuación 256 se conoce generalmente como la ecuación de continuidad y permite

calcular la velocidad para un determinado diámetro de la tubería o el diámetro de una

tubería para alcanzar una determinada velocidad si se conoce el flujo másico.

Observe que entre la velocidad promedio del fluido y el área de la sección

transversal existe una relación inversamente proporcional, es decir si se reduce

el área aumenta la velocidad y al contrario si se aumenta el área la velocidad

disminuye. Esta relación la puede comprobar fácilmente al reducir o aumentar

la abertura de una boquilla de una manguera conectada a una línea de agua.


Intercambiadores de calor

Los intercambiadores de calor son equipos que permiten realizar la transferencia de calor

entre dos fluidos sin que haya mezcla entre ellos. Esta operación se realiza a nivel

industrial con el objeto de adecuar las propiedades termodinámicas de uno de los fluidos

a las exigencias del proceso en particular.

Estos equipos son muy utilizados industrialmente y los hay de diferentes clases, tamaños

y diseños dependiendo de cada necesidad, pero la forma más simple y generalizada de

un intercambiador de calor es el arreglo formado por dos tubos concéntricos de diferente

diámetro, de tal manera que uno de los fluidos circula por el tubo interior y por el espacio

anular entre las dos tuberías, el otro, como se indica en la figura 116.

En ella la línea segmentada exterior representa el volumen de control referido a todo el

intercambiador mientras que la línea segmentada interior representa volumen de control

referido a uno de los fluidos. Observe que en el primer caso no hay transferencia de calor,

en el segundo uno de los fluidos cede calor al otro. La elección del volumen de control

apropiado depende de las variables que se conozcan y de las incógnitas que se requieran

determinar.

Figura 116: Intercambiador de calor


Otros ejemplos de equipos donde se presenta transferencia de calor son los

evaporadores, condensadores, calderas, serpentines, radiadores. Los cambios de

velocidad y de altura en estos equipos generalmente son insignificantes por lo que no se

presentarán cambios apreciables de energía cinética y de energía potencial y tampoco se

realiza trabajo. Por lo tanto, si el volumen de control corresponde a uno de los fluidos, la

ecuación 260, resultado de la aplicación de la primera ley de la termodinámica bajo estas

condiciones, se expresa como:

hq Ecuación 265

Lo cual significa que el calor por unidad de masa cedido o ganado por uno de los fluidos

es igual al cambio de su entalpía específica.

Generalmente los intercambiadores de calor se encuentran bien aislados para evitar las

pérdidas de energía hacia el exterior, si se elije el volumen de control para todo el

intercambiador justo por debajo del aislamiento, entonces el calor será igual a cero lo cual

significa que el cambio global de entalpía debe ser igual a cero y por lo tanto la suma de

las entalpías de las corrientes que entran al intercambiador serán iguales a la suma de las

entalpías de la corrientes que salen de él. Por lo tanto se establece que:

2211

.... hmhmhmhm BABA Ecuación 266

Al factorizar se llega a que:

)()( 1221.. hhmhhm BA Ecuación 267

Esta ecuación permite determinar la relación de flujos másicos si se conocen las entalpías

o determinar entalpías de entrada o salida si son conocidos los flujos másicos y algunos

valores de temperatura.

Ejemplo 53

Por el tubo interior de un intercambiador de

calor experimental entra agua a razón de 10

kg/minuto a 100 kPa y 12 ºC y sale a 30 ºC. Por

el tubo exterior en contracorriente entra agua

caliente a 300 kPa y 70ºC. Si las caídas de

presión son despreciables, determine el flujo

másico de agua caliente y el calor retirado por


minuto si el agua caliente sale a 20 ºC.



Se puede considerar que el sistema es de flujo estable, no hay cambio de energía cinética

y energía potencial, tampoco hay trabajo ni transferencia de calor del intercambiador a los

alrededores por lo tanto es válido utilizar la ecuación 265. Las entalpías se determinan de

las tablas o directamente del software PROPAGUA que ya se ha utilizado. Otra alternativa

de solución a este problema es la de considerar que el calor específico del agua líquida

no cambia con la presión y a partir de este dato y las temperaturas se calculan los

cambios de entalpía.


Datos de entalpías del agua líquida a las diferentes presiones y temperaturas obtenidas

del software PROPAGUA.

TEMPERATURA ºC

PRESIÓN kPa

ENTALPÍA kJ/kg

12 100 50,49

30 100 125,8

70 300 293,2

20 300 84,10

La ecuación 265 aplicada a este caso particular se convierte en:

)()( 1221..

afafafacacac hhmhhm

min/60,3)10,842,293(

)49,508,125min)(/10(

)(

)(

21

12.. kg

kg

hh

hhmm

acac

afafaf

ac

min/76,752/)10,842,293min)(/60,3()( 21..

kJkgkJkghhmQ acacac


¿Cómo varía la temperatura de salida del agua caliente, en el intercambiador de problema

anterior, si se aumenta el flujo másico de este fluido?

Le invitamos a que resuelva el problema utilizando el calor específico de agua líquida.

¿Qué concluye?

Lección 29: Aplicación de las leyes de la termodinámica a procesos de flujo estable (Continuación)

Bombas, compresores, turbinas y ventiladores

Estos equipos de amplio uso en la industria tienen en común que su proceso

termodinámico involucra trabajo de eje ya sea que se realice trabajo sobre el sistema

elegido como en el caso de bombas, compresores o ventiladores o bien que el sistema

realice trabajo como en las turbinas.

En estos casos el cambio de energía potencial generalmente es muy pequeño y con

frecuencia se omite en los cálculos. Bajo estas condiciones, ep = 0.

Las velocidades involucradas en bombas, compresores o ventiladores son generalmente

muy bajas y no producen un cambio significativo en la energía cinética, con excepción de

las turbinas donde se manejan velocidades mucho más altas, sin embargo en estos casos

el cambio de entalpía es mucho mayor y de ordinario también se desprecia este término.

Por lo tanto ec = 0.

Los procesos en estos dispositivos generalmente son tan rápidos que no dan lugar a que

se presente una transferencia de calor apreciable a menos que se haga en forma

intencionada como en el caso de un compresor con sistema de refrigeración incluido; si

éste no es el caso, de ordinario se desprecia la transferencia de calor. Por tanto 0.Q .

Teniendo en cuenta las anteriores restricciones, la ecuación 260 se reduce a:

hw Ecuación 268


Ejemplo 54

Una turbina de una planta termoeléctrica se alimenta con

6 kg/s de vapor de agua, a una presión de 25 bares, una

temperatura de 420 ºC y un una velocidad de 110 m/s, si

luego de la expansión, el vapor sale con una calidad del

90% a una presión de 0,75 bares y con una velocidad de

170 m/s, determine la potencia que suministra la turbina

si se conoce que la transferencia de calor a los

alrededores es de 20 kJ/kg.



Para determinar la potencia que suministra la turbina se elige como volumen de control el

espacio en el interior de la turbina y se considera que el proceso es de flujo estable en tal

caso tiene aplicación la ecuación 260, de ella se despeja el trabajo por unidad de masa.

El cambio de energía potencial es despreciable. El cambio de energía cinética se

determina fácilmente ya que se conocen los valores velocidad de salida y de entrada del

fluido al volumen de control. El vapor entra a la turbina como vapor sobrecalentado ya que

a 25 bares la temperatura de saturación es de 224 ºC y el vapor se encuentra a 420 ºC,

entonces la entalpía se determina de las tablas de vapor sobrecalentado o utilizando el

software de propiedades del agua. La entalpía del vapor a la salida se determina teniendo

en cuenta la presión de 0,75 bares la calidad del vapor.


Determinación del cambio de entalpía durante el proceso. Las entalpías halladas usando

el software “PROPAGUA” se presentan en la siguiente tabla:

ESTADO PRESIÓN

kPa TEMPERATURA

ºC ENTALPÍA

kJ/kg

Vapor 25 420 3285

x = 0.90 03.75 92 2435

Recuerde que el signo indica la dirección en la cual se efectúa el trabajo. Si la

entalpía del sistema disminuye el trabajo será positivo, lo cual implica, que el

sistema realiza trabajo; por el contrario si se presenta un aumento de entalpía, el

trabajo será negativo, lo que significa que se realiza un trabajo sobre el sistema.


kgkJkgkjhhh /850/)32852435()( 12

Determinación del cambio de energía cinética

kgkJJkJkgkgsmVV

ec /4,82

)1000/)(/)(/)(110170(

2

222221

22

Despejando el trabajo de la ecuación 260 se tiene:

)( heeqw pc

kgkJkgkJkgkJkgkJw /6,821)/850(/4,8/20

Observe que el calor es negativo porque sale del sistema.

Finalmente la potencia que genera la turbina se calcula multiplicando el flujo másico por el

trabajo realizado por unidad de masa.

kWkgkJskgwmPotencia 930.4)/6,821)(/6(.

Ejemplo 55

Desde el fondo de un depósito de agua donde la

temperatura es de 15 ºC y la presión de 150 kPa, se

desea extraer agua utilizando para ello una bomba, y

llevarla a razón de 100 kg/minuto, hacia un tanque

que se encuentra a una altura de 8 metros por

encima de la base del depósito, mediante una

tubería de 2,67 cm de diámetro interior; la presión en

el punto de descarga es de 350 kPa. Si se

consideran despreciables la pérdida de energía

debida a la fricción en el interior de la tubería y la

transferencia de calor con el medio exterior, ¿cuál

debe ser la potencia de la bomba?

Figura 119: Datos ejemplo 2-3



Se define como volumen de control el espacio que ocupa el fluido en el interior de las

tuberías y la bomba. Cuando la bomba se encuentra en funcionamiento el proceso se

modela como un proceso de flujo estable, ya que las propiedades en cada punto son

constantes con el tiempo. Para determinar la potencia de la bomba, se requiere conocer el

cambio de energía cinética, el cambio de energía potencial y el cambio de entalpía ya que

las pérdidas de calor son despreciables. Para calcular el cambio de energía cinética se

debe calcular previamente la velocidad en el punto de descarga y considerar que la

velocidad en el fondo del depósito es muy pequeña de tal manera que se asume como

cero. El cambio de entalpía se determina de las tablas de propiedades del agua o del

software de propiedades del agua ya que se conocen las condiciones iniciales de presión

y temperatura si se supone un proceso isentrópico, entonces con el valor de la entropía y

el de la presión se obtiene la entalpía en el punto de descarga.


Con las consideraciones realizadas, la primera ley de la termodinámica para este proceso

se reduce a: )( heew pc

Para calcular la velocidad en el punto de descarga primero es necesario calcular el área

de la sección transversal en ese punto:

24

2

222

2 106,5000.10

1

2

67,2mx

cm

mcmRA

smmxmkg

skg

A

mV /98,2

)106,5)(/000.1(

)60min/1min)(/100(243

22

2

.

Cambio de energía cinética

kgJsmsmVV

ec /44,4)/44,4(2

0)/98,2(

2

22

221

22

Cambio de energía potencial

kgJmsmzzgep /4,78)08)(/8,9()( 212


Para determinar el cambio de entalpía se utiliza el software PROPAGUA de donde se

obtienen los siguientes datos:

Estado Presión

kPa Temperatura

ºC Entalpía


1 150 15 63,06 0,22429

2 350 15 63,27 0,22429

Cambio de entalpía:

kgJkgkJkgkJhhh /210/21,0/)06,6327,63(12

Trabajo por unidad de masa

kgJkgJw /8,292/)2104,7844,4(

El signo negativo indica que la bomba realiza trabajo sobre el sistema

Potencia de la bomba

WkgJskgwmW 488)/84,82)(60/100(..

Dispositivos de estrangulamiento

En general a cualquier medio que ocasione un descenso considerable en la presión de un

fluido que se pasa a través de él, se le conoce como dispositivo de estrangulamiento,

puede ser una válvula, un capilar o un tabique poroso. Cuando se somete a un fluido a

cruzar a través de una sección de área reducida para así disminuir su presión, ocurren

cambios que tienen muchas aplicaciones prácticas, principalmente en la refrigeración,

debido a que de ordinario un descenso en la presión implica una disminución de la

temperatura. Si el flujo se mantiene constante con el tiempo, el proceso será de flujo

estable.

En este caso son despreciables los cambios de energía cinética y de energía potencial ya

que las velocidades de entrada y de salida al volumen de control definido, no cambian en

forma significativa, igual sucede con la diferencia en altura de estos puntos. Tampoco se

presenta trabajo y como el proceso es rápido o intencionalmente se aísla el sistema, la


transferencia de calor es despreciable. Situación ilustrada en la figura 120, donde la línea

segmentada representa el volumen de control elegido. Para tal proceso la ecuación 260

se reduce a:

1212 0)(0 hhhhh Ecuación 269

Lo cual significa que las entalpías de entrada y salida al volumen de control son iguales,

por eso y bajo esta consideración a un proceso de estrangulamiento se le conoce como

proceso isentálpico.

A la variación de la presión de un gas con respecto a la temperatura, a entalpía constante,

se le denomina coeficiente Joule Thomson, el cual se representa con la letra , y define

mediante la siguiente expresión matemática:

HP

T

Ecuación 270

El coeficiente Joule Thomson de un gas puede ser positivo o negativo, dependiendo de

los valores de presión y temperatura. Generalmente a presión y temperatura bajas, es

positivo, lo cual significa que si disminuye la presión, la temperatura también disminuye. A

presión y temperatura elevadas este coeficiente tiene signo negativo, lo cual implicaría

que en un proceso de estrangulamiento bajo estas condiciones la temperatura

aumentaría.

Figura 120: Proceso de estrangulamiento

Ejemplo 56


A la válvula de estrangulamiento de un sistema de

refrigeración, llega refrigerante 12, en estado de

líquido saturado, a una presión de 850 kPa. Luego

de pasar por la válvula la presión se reduce hasta

150 kPa. Determine la temperatura y la calidad del

refrigerante a salida de la válvula.



Como ya se estudió, el proceso de estrangulamiento implica que la entalpía a la entrada

de la válvula sea igual a la entalpía a la salida; por lo tanto, con la presión de entrada se

calcula el valor de la entalpía de líquido saturado, con este valor y las entalpías de líquido

saturado y de vapor saturado a la salida, las cuales a su vez, se determinan con el valor

de la presión a la salida, se calcula la calidad del vapor. La temperatura corresponde a la

temperatura de saturación a esa presión, ya que el refrigerante se encuentra como una

mezcla de líquido y vapor.


El valor de la entalpía para líquido saturado del R-12 a 850 kPa, según las

correspondientes tablas de propiedades termodinámicas, es 69,6 kJ/kg.

A 150 kPa hf = 17,5 kJ/kg y hg = 179,1 kJ/kg

Por lo tanto:

32,05,171,179

5,176,69

fg

f

hh

hhx

La temperatura de salida es de -20 ºC que es la correspondiente a la temperatura de

saturación según las tablas.

Cámaras de mezcla

Con frecuencia dos corrientes de fluidos de igual naturaleza se mezclan para que

adquieran una determinada temperatura, al dispositivo que permite realizar esta


operación, se le conoce como cámara de mezcla el cual, no necesariamente es un

recipiente especial, por ejemplo una simple T de una tubería puede servir como medio

para mezclar dos fluidos, como sucede en la regadera de un baño. La figura 124

representa una cámara de mezcla.

Figura 123: Cámara de mezcla

En estos casos son despreciables los cambios de energía potencial, energía cinética, no

se realiza trabajo y tampoco hay transferencia de calor hacia el exterior, en consecuencia,

de la aplicación de las leyes de conservación de la masa se establece que:

...321 mmm Ecuación 273

y de la ley de conservación de energía se establece otra relación:

332211... hmhmhm Ecuación 274

Ejemplo 57

Por una tobera circula 2,0 kg/s de vapor de agua, el

cual entra a 350 ºC y 1.700 kPa, y sale a con una

velocidad de 270 m/s a 1.300 kPa. Si el área de la

sección transversal a la entrada es de 0,0186 m2 y se

consideran despreciables las pérdidas de calor, ¿con

qué velocidad entra el vapor? ¿Con qué temperatura

sale? ¿Cuál será el área de la sección transversal a

la salida?



Al conocer el flujo másico y el área de la sección transversal, solo se requiere determinar

la densidad del fluido para hallar la velocidad de entrada.

Por otra parte la entalpía inicial se halla de las tablas de propiedades de vapor

sobrecalentado con los datos de presión y temperatura. De la ecuación 270 se despeja el

valor de la entalpía a la salida y con este dato y la correspondiente presión se encuentra

la temperatura.


El área se halla determinando primero la densidad del fluido al salir y se utilizan los datos

del el flujo másico y la velocidad de salida del vapor.


De las tablas de propiedades del vapor sobrecalentado o del software correspondiente se

obtiene el valor del volumen específico el cual es igual al recíproco de la densidad:

PRESIÓN kPa

TEMPERATURA ºC


DENSIDAD kg/m3

ENTALPÍA kJ/kg

1.700 350 0,16396 6,0990 3.144,7

smmmkg

skg

A

mV /63,17

)0186,0)(/099,6(

/223

11

1

.

De la ecuación 272 1

21

1212 )22

()( hVV

heeh cc

kgkJkgkJsm

kgkJsmh /4,108.3/7,144.3)

/000.1

)/)(/)(

2

270

2

63,17(

22

222

2

Para este valor de entalpía y 1.300 kPa las propiedades del vapor son:

PRESIÓN kPa

TEMPERATURA ºC


DENSIDAD kg/m3

ENTALPÍA kJ/kg

1.300 329,4 0,20822 4,8026 3.108,4

Área de la sección transversal de salida

2

3

22

2 001542,0/63,17)/270)(/8026,4(

/2.msm

smmkg

skg

V

mA

Ejemplo 58

En un proceso se requiere un suministro de 2,5 kg/s de

agua a una temperatura de 40 ºC. Para suplir esta

necesidad, se aprovecha el agua procedente de un

condensador la cual sale a 60 ºC y se conduce

mediante una tubería conectada a una unión en T

donde se mezcla con agua procedente de un tanque de

almacenamiento a 15 ºC. Si se consideran

despreciables las pérdidas de calor y la mezcla se


efectúa a 140 kPa, determine el caudal de agua fría y de

agua caliente que se requiere para el proceso.

Figura 125: Ilustración ejemplo

58


El problema plantea dos incógnitas, los flujos másicos de las dos corrientes. En

consecuencia se deben formular dos ecuaciones que relacionen a estas variables. Las

ecuaciones 271 y 272 permiten calcular la relación en la cual se deben mezclar dos

corrientes de un fluido a diferentes temperaturas para obtener una corriente a una

temperatura intermedia que corresponde al caso de interés. Las entalpías se hallan con la

presión y temperaturas de las tablas de propiedades del agua líquida o del software

disponible.


Datos obtenidos del software PROPAGUA

ESTADO PRESIÓN

kPa TEMPERATURA

ºC ENTALPÍA

kJ/kg

Entrada 1 140 60 251.20

Entrada 2 140 15 63,06

Salida 140 40 167,60

skgmm /5,2..21

332211... hmhmhm

)/60,167)(/5,2()/06,63()/20,251( ..21 kgkJskgkgkJmkgkJm

Resolviendo este sistema de ecuaciones:

skgm /11,1.1

skgm /39,1.2

Flujo en tuberías


El transporte de fluidos a través de tuberías o ductos constituye un gran campo de estudio

y aplicación de la ingeniería. Cuando un fluido se encuentra fluyendo de tal manera que

sus propiedades son constantes con el tiempo, el proceso se considera como de flujo

estable. El volumen de control se elige seleccionando un determinado tramo de tubería,

de tal manera que las fronteras coincidan con las paredes interiores de la tubería que se

quiere estudiar.

En algunos casos la conducción del fluido puede requerir de tuberías de diferente

diámetro, con lo cual se producen cambios apreciables en la velocidad; también puede

necesitarse que el fluido llegue hasta alturas apreciables por lo cual son necesarios de

considerar los cambios en la energía potencial. Durante la conducción los tubos pueden

estar aislados o permitir el intercambio de calor entre el fluido y el medio exterior.

Además un sistema de flujo de fluidos puede incluir una bomba o un compresor que

realizan trabajo sobre el fluido o incluso pueden presentase otras formas de trabajo tales

como trabajo eléctrico o trabajo de eje. Si se consideran todas estas circunstancias en

principio no se puede despreciar ninguno de los términos de la ecuación 260.

Para el caso particular de flujo de fluidos incompresibles:

Pvuh y Tcu p

Sustituyendo en la ecuación 260 se obtiene la siguiente ecuación general aplicable a

fluidos incompresibles:

PvTceewq ppc Ecuación 275

Si el sistema que se estudia es adiabático, isotérmico e incompresible y además no se

incluye una bomba, los términos de calor, trabajo y el cambio de temperatura son cero, de

tal manera que

pvee pc0 Ecuación 276

o también


)(2

)( 12

2

1

2

2

12 zzgVV

PPv Ecuación 277

Esta última educación se conoce como ecuación de Bernoulli la cual se estudia con

mayor detenimiento en la mecánica de fluidos.

Ejemplo 59

Un sistema de calefacción sencillo, utiliza aire

que circula por un ducto a razón 1,5 m3/s, el

cual se calienta al pasar por una resistencia

eléctrica de 9,0 kW. Si la transferencia de calor

del aire al medio exterior a través del ducto es

de 160 J/s y el aire, antes de pasar por la

resistencia, se encuentra a 14 ºC y 75 kPa

determine la temperatura con la cual sale el

aire.



El volumen de control se establece para el tramo del ducto alrededor de la sección de

calentamiento. El proceso se considera de flujo estable donde no hay cambios de energía

cinética ni de energía potencial, en consecuencia el intercambio de energía debido a la

interacción de calor y trabajo es igual al cambio de entalpía. Con este dato se puede

calcular la entalpía a la salida y con este dato y la presión determinar el valor de la

temperatura. La entalpía a la entrada se determina mediante los correspondientes valores

de la presión y la temperatura.

Otra alternativa de solución del problema es determinar la capacidad calorífica del aire y

calcular el cambio de temperatura a partir del cambio de entalpía.


El volumen molar del gas a las condiciones de entrada es igual a 31,8161 m3/kmol y la

entalpía molar es de 8.345,6 kJ/kmol (Datos obtenidos del software PROGASES).

skmolkmolm

smnmolarFlujo /0471,0

/8161,31

/5,13

3.


kmolkJskmol

skJskJ

n

WQH /7,187

/0471,0

)/0,9(/160,0...

kmolkJkmolkJHHH /3.533.8/)6,345.87,187(12

Para este valor de la entalpía y la presión de 75 kPa corresponde una temperatura de

293.4 k equivalente a 20.4 ºC. (Dato obtenido de PROGASES)

Segunda alternativa: capacidad calorífica molar del aire a las condiciones de entrada

29,08 kJ/kmol K

KkmolKkJ

kmolkJ

C

HT

p

45,6/08,29

/7,187

KTTT 45,29345,628712

Lección 30: Aplicación de las leyes de la termodinámica a procesos de flujo transitorio

Procesos de Flujo Transitorio

En un proceso de flujo transitorio al contrario del proceso de flujo estable se presentan

cambios en las propiedades del sistema con el tiempo. Para analizar estos procesos

piense en un tanque de almacenamiento de combustible líquido conectado a tuberías de

alimentación y descarga mediante sus respectivas válvulas, como se ilustra en la figura

127.


Figura 127: Ejemplo de flujo transitorio

Suponga que al comenzar el día está lleno hasta la mitad de su capacidad, luego se retira

una determinada cantidad y el nivel del líquido baja, enseguida se carga y en

consecuencia el nivel sube, esta situación se puede repetir varia veces. Por lo tanto las

propiedades del volumen de control elegido, en este caso el líquido que permanece en el

tanque en un determinado tiempo, representado en la gráfica por la línea segmentada,

cambian cuando se llena o se descarga. Este es un ejemplo de flujo transitorio o no

estable.

El intercambio de materia y energía del volumen de control con el medio exterior o

alrededores se evalúa teniendo como referencia un determinado intervalo de tiempo.

Observe la diferencia con el proceso de flujo estable donde se consideraba que masa y

energía fluían desde o hacia el volumen de control indefinidamente en el tiempo.

PROCESO DE FLUJO UNIFORME

Un proceso de flujo uniforme se caracteriza por que las propiedades del volumen de

control, en un instante determinado, son iguales en todas partes, aunque cambian con el

tiempo, lo hacen en forma uniforme. Las propiedades de las corrientes de entrada o salida

pueden ser diferentes entre sí, pero sus correspondientes valores deben ser constantes

con respecto a la sección transversal de una entrada o salida.

Si se presentan cambios, los valores se promedian y se los considera constantes durante

el proceso. Bajo estas condiciones las ecuaciones 285 a 288 se realizan sin mayores

dificultades y la ecuación 278 aplicada a este tipo de procesos se expresa en la siguiente

forma:

jjiiVC mmWQE )( Ecuación 291

o también como:

)½()½(22

jjjjiiiiVC gzVhmgzVhmWQE Ecuación 292

Se presentan otras considerables simplificaciones cuando se consideran situaciones

donde no hay corrientes de salida o corrientes de entrada o cuando los cambios de


energía cinética o potencial son despreciables. Algunas de estas situaciones se analizan

en las siguientes aplicaciones.

Llenado de recipientes rígidos

Un problema común que se presenta en plantas industriales el cual se puede manejar

bajo el modelo de proceso de flujo uniforme, es el del llenado o carga de un tanque o

cilindro con un fluido que proviene de una línea de alimentación presurizada. Por ejemplo

el llenado de cilindros con gas propano, dióxido de carbono, oxígeno o nitrógeno, figura

128. El recipiente rígido puede estar inicialmente vacío o contener una determinada masa

antes de comenzar el proceso.

Figura 128: Volumen de control elegido para llenado de un recipiente

Generalmente en estos casos se presenta una sola corriente de entrada y no hay

corrientes de salida, tampoco se realiza trabajo y la transferencia de calor de ordinario se

considera despreciable. Si la velocidad del fluido en la línea de flujo es baja y no hay

elevación apreciable, las energías cinética y potencial en la línea de entrada y en el

volumen de control son despreciables. Bajo estas consideraciones la ecuación 290 se

transforma en:

iiVC hmE Ecuación 293

Pero a su vez )( 1122 umumUE VCVC ya que en el volumen de control elegido la

energía cinética y la energía potencial son despreciables, por lo tanto

iihmumum )( 1122 Ecuación 294

Donde los subíndices 2 y 1 representan en estado final y el estado inicial del volumen de

control y el subíndice i a la corriente de entrada.


Si inicialmente el recipiente se encuentra vacío, entonces m1 = 0, por tanto

ii hmum 22 Ecuación 295

y teniendo en cuenta que necesariamente m2 = mi , ya que la masa que la masa del

volumen de control en el estado 2, es igual a la masa que entra, se concluye que la

ecuación de la primera ley de la termodinámica para este caso especial se reduce a:

ihu2 Ecuación 296

Es decir la energía interna final del volumen de control es igual a la entalpía del fluido en

la corriente de entrada. Esta relación permite resolver muchos problemas de orden

práctico, como se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 60

Calcular la temperatura y la masa en el interior de

un tanque de 0,15 m3 que inicialmente se

encuentra vacío y se llena con dióxido de carbono

a 900 kPa y 350 K.



El problema se puede resolver con el modelo de flujo uniforme, donde no hay trabajo, ni

intercambio de calor; las energías, cinética y potencial no son significativas; solo hay una

entrada de masa y no hay corrientes de salida. Para tal caso la entalpía del fluido a las

condiciones de la corriente de entrada es igual a la energía interna del fluido al llenarse

hasta alcanzar la presión de la corriente de entrada.

Recuerde que con dos propiedades intensivas se establece el estado de un sistema,

entonces con los valores de presión y temperatura se determina la entalpía, la cual será

igual a la energía interna del fluido contenido en el tanque al final del proceso. Con este

valor de la energía interna y la presión se determinan las propiedades del estado final. El

software PROGASES permite calcular estas propiedades. Finalmente la masa del fluido


se calcula conociendo el volumen molar a las condiciones del estado final.


Estado Presión

kPa Temperatura

K Energía interna

kJ/kmol Entalpía kJ/kmol

Volumen molar m3/kmol

Corriente de entrada

9,0 350 8.947,3 11.407,3 3,2333

Estado final 9,0 440 11.407,3 15.068,8 4,0683

La temperatura final es de 440 K

Masa de CO2 = kgkmol

kg

m

kmolm 62,1)

1

44)(

0683,4

1)(15,0(

3

3

Descarga de recipientes rígidos

Cuando se abre la válvula de un cilindro que contiene un gas o vapor a presión elevada,

el fluido sale del recipiente, generando una disminución en su presión, este proceso

puede ser considerado de estado uniforme si la descarga se realiza lentamente de tal

manera que las propiedades en toda la extensión del volumen de control seleccionado,

figura 130, sean iguales en un instante determinado.

Figura 130: Volumen de control elegido para descarga de un recipiente

Entre el proceso de descarga y el proceso de llenado existe una diferencia notoria y es la

de que las propiedades de la corriente de salida cambian con el tiempo, debido a la

disminución continua de masa del volumen de control. El llenado se realiza manteniendo

constantes las propiedades de la corriente de entrada. Esta condición implica que los

balances de masa y de energía para el proceso de descarga se deben establecer para


elementos diferenciales de masa que cruzan la superficie de control y luego realizar las

integraciones correspondientes en un determinado intervalo.

En consecuencia, si se considera que mj corresponde al diferencial de masa que cruza

la superficie de control y dm es la variación de la masa del volumen de control, la ley de

conservación de la materia, para este proceso, establece que mj = -dm.

Por otra parte, al aplicar la primera ley de la termodinámica, considerando, que no hay

trabajo, ni transferencia de calor y que las energías cinéticas y potenciales en el volumen

de control y en la corriente de salida son despreciables, la ecuación 290, en términos

diferenciales, se reduce a la siguiente expresión:

mjhdU jVC Ecuación 297

ya que en cada instante las propiedades del fluido que en la corriente de salida son las

mismas que las del interior del volumen de control, la ecuación 295 se transforma en:

hdmmud )( Ecuación 298

Al diferenciar el término de la izquierda se obtiene hdmudmmdu , pero pvuh ,

entonces pvdmudmudmmdu ; de donde se obtiene la siguiente relación

pv

du

m

dm

Ecuación 299

Por otro lado, si se considera la definición de volumen específico

vdmmdvdVmvV

y que el volumen de control es constante, resulta que 0vdmmdv equivalente a la

siguiente relación:

v

dv

m

dm

Ecuación 300


Finalmente combinando las ecuaciones 297 y 298 se llega a que v

dv

pv

du , igual a

0pdvdu Ecuación 301

Esta relación de propiedades intensivas implica que el proceso que se realiza debe ser de

entropía constante. Esta afirmación se demuestra si se aplica la primera ley a la masa

total del fluido, considerándola como si se tratara de un sistema cerrado, entonces la

ecuación en términos diferenciales y por unidad de masa establece que duwq

,

ecuación 89; si se remplaza los términos de calor y trabajo en función de las propiedades

intensivas relacionadas, se tiene que dupdvTds

, la cual se puede escribir como

Tdspdvdu Ecuación 302

La ecuación 302 relaciona las propiedades intensivas del fluido en un instante

determinado; si se compara con la ecuación 301, se deduce que 0ds , es decir entropía

constante.

Ejemplo 61

Un tanque de 0,60 m3, diseñado para contener, aire

comprimido de se encuentra a una presión manométrica de

350 kPa y 305 K. Si se abre la válvula y se permite que el

gas salga hasta que la presión en el interior se reduzca a

90 kPa. Determine la temperatura final del proceso si se

considera despreciable la transferencia de calor y la masa

de aire permanece en el tanque. La presión atmosférica es

de 80 kPa.

Figura 131: Tanque ejemplo

61


Para el análisis energético se elige como volumen de control el aire en el interior del

tanque. La presión en el interior del volumen de control disminuye de 500 a 90 kPa como

consecuencia de flujo de materia hacia el exterior. Si este proceso se realiza de tal

manera que las propiedades del fluido en cualquier instante son las mismas, entonces el

proceso es de descarga bajo estado uniforme.

En estas condiciones y dado que no hay transferencia de calor el proceso será adiabático

e internamente reversible, por lo tanto la entropía debe mantenerse constante durante

este proceso. Esta condición permite calcular la temperatura final, para lo cual es


necesario considerar al aire como gas ideal, lo cual se justifica, dado que el rango de

presiones que se manejan no son grandes. Para determinar la masa que queda en el

tanque, se debe calcular el volumen específico del estado inicial y el volumen específico

al final del proceso.


Un proceso adiabático de expansión o compresión de un gas ideal cumple con la relación

dada por la ecuación 132, 1122 VPVP , y por supuesto con la ecuación de estado

nRTPV , la cual se puede escribir como 222 nRTVP , o también 111 nRTVP , según el

estado al que se refiera; combinando apropiadamente estas ecuaciones se obtiene la

relación 1

1

12

1

2 TPTP , de donde:

KkPa

kPaK

P

PTT 234

170

430)305(

4,1

4,111

2

112

Volumen específico del estado inicial:

kgmkPakmolkg

KkmolKkJ

MP

RTv /2500,0

)350)(/96,28(

)305)(/31,8( 3

1

11

Recuerde que M representa el peso molecular del aire.

Recuerde que la presión absoluta es igual a la suma de la presión atmosférica más la

presión manométrica, entonces:

kgmkPa

kPakgm

P

Pvv /4850,0

170

430)/2500,0( 3

4,1

1

3

1

2

112

Masa que permanece en el tanque kgkgm

m

v

Vm 24,1

/4850,0

6,03

3

2

22

Masa inicial kgkgm

m

v

Vm 40,2

/25,0

6,03

3

1

11


Masa que sale kgkgmmm j 0,1)24,14,2(21


ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD


FUENTES DOCUMENTALES DE LA UNIDAD 2

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