2 Social Matri Us

MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS

- 1 -

MATRIUS.

Introducció a les matrius.

Tipus de matrius.

Operacions amb matrius.

Propietats de les operacions amb matrius.

Aplicacions de les matrius.

Exercicis.


- 2 -

INTRODUCCIÓ A LES MATRIUS. Inici

Què és una matriu?:

Una matriu és una taula de doble entrada, organitzada en forma de files i

columnes, que serveix per emmagatzemar dades. Per exemple:

1 2 34 5 67 8 9

A

Un element d’una matriu es representa com: ija on “i” és la fila i “j” la

columna on està col·locat aquest element.

A les matrius se les anomena amb una lletra amb majúscula (A, B, C, ... ):

ij ij ijA a B b C c

Una matriu la coneixem perquè coneixem els seus elements i el lloc on estan

situats dins la matriu.

En la matriu A que hem posat com exemple, els seus elements els podem

anomenar:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1 2 34 5 67 8 9

a a aa a aa a a

on el primer subíndex assenyala la fila i el segon subíndex la columna.

ACTIVITAT:

1) Donada la matriu 3 2 0

4 2 61 0 2

A

anomena els elements següents:

a) a23 = b) a12 = c) a22 = d) a13 =


- 3 -

L’ordre o dimensió d’una matriu: Inici

L’ordre o dimensió d’una matriu és el nombre de files i columnes que té:

. .( ) dim( )m n m nord A A m n

on m és el nombre de files i n el nombre de columnes.

Si una matriu té el mateix nombre de files que de columnes, per anomenar el

seu ordre podem dir el nombre repetit o un únic nombre:

. .( ) dim( )n n n nord A A n n n

Exemples:

1 2 3( ) 2 3

4 5 6A ord A

1 23 4

( ) 4 25 67 8

B ord B

1 2( ) 2 2 2

3 4c ord B

ACTIVITAT:

2) Escriu l’ordre o dimensió de les matrius següents:

1 1 10 1 21 1 0

A

1 3 12 1 2

B

1 20 15 0

C

1 2 0 1 31 1 2 3 20 0 2 1 5

D


- 4 -

Matrius iguals:

Dues matrius són iguals si: ij ijA B a b

que vol dir que han de tenir la mateixa dimensió i els elements col·locats en els

mateixos llocs.

Si 1 23 4

A

i 1 23 4

A B B

.

ACTIVITATS:

3) Donades les matrius 1 23 1

A

i 1 a

Bb c

què ha de passar amb

els coeficients a, b i c perquè les dues matrius siguin iguals?.

4) És possible que les matrius 5 20 1

A

i

53a

Bb

siguin iguals?.

Per què?

5) És possible que dues matrius de dimensió diferents siguin iguals?


- 5 -

Inici

Submatriu:

Una submatriu és una matriu dins d’una altra. És la matriu que resulta de

suprimir una o més files o/i columnes d’una determinada matriu:

Exemple:

Donada la matriu:

1 2 3 12 0 1 30 1 2 31 1 2 2

escriu la submatriu que resulta de suprimir

la quarta fila i la quarta columna.

1 2 3 12 0 1 30 1 2 31 1 2 2

1 2 32 0 10 1 2

ACTIVITAT:

6) Donada la matriu 1 2 34 5 67 8 9

A

escriu les submatrius que resulten de

suprimir:

a) La primera fila i la segona columna.

b) La tercera fila i la primera columna.

c) La primera columna.


- 6 -

TIPUS DE MATRIUS. Inici

Les matrius es poden classificar de moltes maneres diferents:

En funció del contingut:

o Numèriques: 1 23 4

A

o Alfanumèriques: a b c

Bd e f

En funció de la forma:

o Rectangulars: si el nombre de files és diferent al nombre de

columnes ( )m n . Exemple:

1 0 20 1 3

C

o Quadrades: si el nombre de files és igual al nombre de columnes

( )m n . Exemple:

1 12 1

D

o Triangulars: si 0ija i j o i j . Exemple:

1 2 3 1 0 00 4 5 2 4 00 0 6 3 3 6

E F

o Diagonals: si 0ija i j . Exemple:

1 0 0 1 0 00 4 0 0 3 00 0 6 0 0 1

G H


- 7 -

Inici

o Escalars: si 0

1...ij

ii

a i ja k i n k

. Exemple:

2 0 00 2 00 0 2

J

o Unitària o identitat: si 01 1...

ij

ii

a i ja i n

. Exemple:

1 0 00 1 00 0 1

I

o Nul·la: si 00 1...

ij

ii

a i ja i n

. Exemple:

0 0 00 0 00 0 0

O

o Fila: si només té una fila. Exemple:

1 2 3K

o Columna: si només té una columna. Exemple:

241

L


- 8 -

Inici

En funció d’algunes propietats:

o Oposada: la matriu A és l’oposada a la matriu B si A + B = O.

Això és el mateix que dir: ij ija b . Exemple:

1 22 3 1 2 1 2 0 0

2 3 2 3 0 01 22 3

MM N O

N

o Simètrica: la matriu A és una matriu simètrica si TA A . Això és

el mateix que dir: ij jia a . Exemple:

1 2 1 12 3 1 41 1 0 2

1 4 2 5

P

o Antisimètrica: la matriu A és una matriu antisimètrica si TA A . Això és el mateix que dir: 0ij ji iia a i a . Exemple:

0 2 12 0 31 3 0

Q

o Ortogonal: una matriu A és una matriu ortogonal si

. .T TA A I i A A I . Això és el mateix que dir 1 det( ) 1TA A i A . Exemple:

cos sinsin cos

R


- 9 -

ACTIVITATS: Inici

7) Classifica les matrius següents:

1 23 4

A

a b cB

d e f

1 0 20 1 3

C

1 12 1

D

1 2 30 4 50 0 6

E

1 0 02 4 03 3 6

F

1 0 00 4 00 0 6

G

1 0 00 3 00 0 1

H

1 0 00 1 00 0 1

I

1 2 3K

241

L

1 22 3

M

1 22 3

N

0 00 0

O

1 2 1 12 3 1 41 1 0 2

1 4 2 5

P

0 2 12 0 31 3 0

Q


- 10 -

OPERACIONS AMB MATRIUS. Inici

Suma:

Per a dues matrius Am.n i Bm,n s’anomena matriu suma algèbrica a la matriu

Cm,n, els elements de la qual són la suma dels elements corresponents a les

matrius Am.n i Bm,n. Simbòlicament tindrem:

nmnmijnmijijnmijnmijnmnm CcbabaBA ,,,,,,,

Dues matrius del mateix ordre s’anomenen conformes respecte a l’addició

algèbrica. Dues matrius de diferent ordre no es poden sumar.

Exemple:

Calcula la suma de les matrius: 2 1 31 0 2

A

i

5 2 23 1 2

B

.

2 1 3 5 2 2 2 5 1 2 3 ( 2) 7 1 11 0 2 3 1 2 1 3 0 1 2 2 2 1 4

A B

ACTIVITAT:

8) Calcula la suma de les matrius: 1 23 45 6

A

i 1 2

1 02 1

B

.

9) Quina condició han de complir dues matrius perquè es puguin sumar?


- 11 -

Producte per un escalar:

Per una matriu ,m nA i un nombre real qualsevol k (anomenat escalar), es

defineix com a producte de k per ,m nA la matriu que resulta de multiplicar cada

element de ,m nA per k: , ,, , ,. . .m n ij ij ij m nm n m n m n

k A k a k a c C . Exemple:

2 1 3 2 1 3 4 2 62. 2.

1 0 2 1 0 2 2 0 4A A

Un cas particular de producte per un escalar és el càlcul de la matriu oposada

d’una matriu: ( 1). ( )ijA A a .

Exemple:

2 1 3 2 1 3 2 1 31 0 2 1 0 2 1 0 2

A A

ACTIVITATS:

10) Donada la matriu 1 23 21 1

A

calcula:

a) 2.A

b) 3.A

c) La matriu oposada.

11) Quines condicions ha de complir una matriu perquè es pugui multiplicar per un escalar?

12) Quines condicions ha de complir una matriu perquè tingui oposada?


- 12 -

Resta: Inici

Per a dues matrius Am.n i Bm,n s’anomena matriu resta algèbrica la matriu Cm,n

, els elements de la qual són la resta dels elements corresponents a les matrius

Am.n i Bm,n. Simbòlicament tindrem:

, , ,, , , ,m n m n ij ij ij ij ij m nm n m n m n m nA B a b a b c C

Això és el mateix que sumar-li l’oposat:

, , , , ,, , , ,( ) ( )m n m n m n m n ij ij ij ij ij m nm n m n m n m n

A B A B a b a b c C

Exemple:

Calcula la resta de les matrius: 2 1 31 0 2

A

i

5 2 23 1 2

B

2 1 3 5 2 2 2 5 1 2 3 ( 2) 3 3 51 0 2 3 1 2 1 3 0 1 2 2 4 1 0

A B

ACTIVITATS:

13) Calcula la resta de les matrius: 1 23 45 6

A

i 1 2

1 02 1

B

.

14) Quina condició han de complir dues matrius perquè es puguin restar?


- 13 -

Combinació lineal:

Una combinació lineal entre dues matrius A i B resulta de combinar l’operació interna (suma) amb l’operació externa (producte per un escalar):

1 , 2 , 1 2 1 2 ,, , , ,. . . . . .m n m n ij ij ij ij ij m nm n m n m n m n

k A k B k a k b k a k b c C

Exemple:

Donades les matrius 2 1 31 0 2

A

i

5 2 23 1 2

B

, calcula la combinació

lineal 2 3A B :

2 1 3 5 2 22 3 2 3

1 0 2 3 1 2

4 2 6 15 6 6 4 15 2 6 6 ( 6)2 0 4 9 3 6 2 9 0 3 4 6

11 8 1211 3 2

A B

ACTIVITATS:

15) Donades les matrius 1 22 31 2

A

i 2 10 11 1

B

, calcula la combinació

lineal 2 4A B .

16) Quines condicions han de complir dues matrius perquè els hi puguem

calcular una combinació lineal.


- 14 -

Transposada: Inici

Per a la matriu ,m nA s’anomena matriu transposada la matriu ,Tm nA que resulta

d’intercanviar les files per les columnes de manera ordenada:

si , ,m n ij m nA a , ,

Tm n ji n m

A a

Exemple:

Donada la matriu: 2 1 31 0 2

A

calcula la seva transposada.

2 12 1 3

1 01 0 2

3 2

TA A

ACTIVITATS:

17) Donada la matriu: 1 32 45 3

A

calcula la seva transposada.

18) Qualsevol matriu té transposada?


- 15 -

Producte:

La matriu producte ,m qP de dues matrius ,m nA i ,n qB és el resultat de les

sumes dels productes dels elements de les files de la primera matriu pels

elements de les columnes de la segona matriu. La condició que s’imposa

perquè es puguin multiplicar és que el nombre de columnes de la primera

matriu sigui igual al nombre de files de la segona matriu: , , ,.m n n q m qA B P

El elements de la matriu producte són: 1

.n

ij ik kjk

p a b

.

Exemple:

Calcula el producte de les matrius: 2 1 31 0 2

A

i

0 11 12 1

B

.

0 12 1 3 2.0 ( 1).1 3.2 2.1 ( 1).( 1) 3.1 5 6

. 1 11 0 2 ( 1).0 0.1 2.2 ( 1).1 0.( 1) 2.1 4 1

2 1A B

ACTIVITATS:

19) Calcula el producte de les matrius 1 23 1

0 1A

i 1 12 1

B

20) El producte de matrius, quines limitacions té?


- 16 -

Determinant: Inici

El determinant d’una matriu és una contracció de la matriu reduint-la al valor

numèric que resulta de sumar els resultats dels productes que contenen

sempre un element de cada fila i de cada columna amb totes les combinacions

possibles, tenint en compte els signes de les permutacions en l’ordre de les

files i columnes.

El determinant de A acostuma a ésser representat per det(A) i tancant la matriu

amb dues barres verticals:

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...det( )

...

n

n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

Com es pot veure, el determinant és una operació per a matrius quadrades.

INTERPRETACIÓ DEL RESULTAT D’UN DETERMINANT:

La interpretació del resultat del determinant d’una matriu:

Si det(A) = 0 les files i/o columnes són linealment dependents, hi

ha alguna combinació lineal entre files o entre columnes. Una matriu

amb determinat zero s’anomena matriu singular.

Si det(A) ≠ 0 les files i/o columnes són linealment independents, no

hi ha cap combinació lineal entre files ni entre columnes.

ACTIVITATS:

21) Com ha de ser una matriu perquè se li pugui calcular el determinant?

22) Quin significat té el resultat d’un determinant d’una matriu?


- 17 -

MÈTODES DE CÀLCUL DE DETERMINANTS: Inici

o Mètode de Sarrus

o Mètode de Gauss

o Mètode de Laplace


- 18 -

o Mètode de Sarrus pels determinants: determinant

És el mètode que aplica la definició de determinant:

Donada una matriu quadrada d'ordre n, A=(aij), el seu determinant és el resultat

de la suma dels n! termes 1 21 2( 1) ...

n

rk k nka a a .

Aquestes termes corresponen a les diferents maneres de fer el producte de n

elements de A, de manera que n'hi hagi un, i només un, de cada fila i de cada

columna. Els n! termes s'obtenen en fer totes les permutacions dels n

subíndexs de columna (1...,n) , mantenint fixos els índexs de fila; el nombre r

del terme 1 21 2( 1) ...

n

rk k nka a a és la signatura de la permutació (k1...kn).

Aquest mètode és aplicable fins a matrius d’ordre 3, ja que per ordres superiors

és molt complicat controlar les permutacions de files i columnes:

1) Ordre 1: 11 11a a

Exemples:

5 5 3 3

No s’ha de confondre el determinant amb el valor absolut.

2) Ordre 2: 11 1211 22 12 21

21 22

. .a a

a a a aa a

Exemple:

1 21.4 3.2 2

3 4


- 19 -

3) Ordre 3:

11 12 13

21 22 23 11 22 33 12 23 31 21 32 13 13 22 31 12 21 33 23 32 11

31 32 33

. . . . . . ( . . . . . . )a a aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a aa a a

Exemple:

1 2 34 5 6 1.5.9 2.6.7 4.8.3 (3.5.7 6.8.1 4.2.9) 07 8 9

ACTIVITATS:

23) Calcula els determinants següents pel mètode de Sarrus:

a) 7

b) 4

c) 1 21 2

d)

1 2 01 1 2

0 1 2


- 20 -

o Mètode de Gauss pels determinants: determinant

El mètode de Gauss pel càlcul de determinants aprofita la propietat 16 dels

determinants, que diu que el determinant d’una matriu triangular és el producte

dels elements de la diagonal. Per això, el primer que es fa és triangularitzar la

matriu (transformar-la en matriu triangular) aprofitant la propietat 10, que diu

que si a una fila o columna li sumem una combinació lineal de les altres, el

determinant no canvia.

Exemples:

1) Ordre 1:

No cal triangularitzar perquè és una matriu triangular.

5 5

2) Ordre 2:

2 2 1

1 2 1 21.( 2) 2

' 33 4 0 2F F F

3) Ordre 3:

2 2 1

3 3 1

3 3 2

1 2 3 1 2 34 5 6 ' 4 0 3 67 8 9 ' 7 0 6 12

1 2 30 3 6 1.( 3).0 0

' 2 0 0 0

F F FF F F

F F F

4) Ordre 4 i superiors:

Una vegada diagonalitzada la matriu, multipliquem els elements de la diagonal

principal.


- 21 -

ACTIVITATS:

24) Calcula els determinants següents pel mètode de Gauss:

a) 7

b) 4

c) 1 21 2

d)

1 2 01 1 2

0 1 2

e)

1 0 1 21 0 1 1

0 1 0 11 1 1 1


- 22 -

o Mètode de Laplace pels determinants: determinant

Un determinant pot ésser representat en termes dels elements i cofactors de

qualsevol fila o columna de la matriu, de la manera següent:

1 1

det( )n n

ij ij ij ijj i

A a A a A

On la primera suma és el desenvolupament per la i-èssima fila, i la segona

suma és el desenvolupament per la j-èssima columna.

Exemples:

1 2 32 3 1 3 1 2

4 5 6 7. 8. 9.5 6 4 6 4 5

7 8 97.(12 15) 8.(6 12) 9.(5 8)7.( 3) 8.( 6) 9.( 3)

21 48 27 48 48 0

Per aquest mètode és millor fixar aquella fila o columna que tingui més zeros, o

aquella fila o columna que tingui els nombres més grans.

ACTIVITATS:

25) Calcula els determinants següents pel mètode de Laplace:

a)

1 2 01 1 2

0 1 2

b)

1 0 1 21 0 1 1

0 1 0 11 1 1 1


- 23 -

Rang: Inici

El rang d’una matriu A, que s’escriu rang(A), és el nombre de files o columnes

(de les dos, el nombre més petit) linealment independents.

Per exemple, la matriu: 1 23 4

A

Té rang 2 perquè les seves files o columnes són linealment independents. Per

a demostrar-ho suposem que fos possible una combinació lineal entre les files:

1 1 2 2 0k F k F

1 2

1 1 2 2

1 21 2 1 2

1 2

1 2 3 4 0 0

1 2 3 4 0 0

1 3 01 3 2 4 0 0

2 4 0

k k

k k k k

k kk k k k

k k

1 21 2

1 21 2

2 2

1 1

2 6 01 3 0 .( 2)

2 4 02 4 0

/ 2 0 01 3(0) 0 0

k kk k

k kk k k k

k k

Quan obtenim a tots el coeficients zero, és el mateix que dir que no hi ha cap

combinació lineal. Per això el rang és 2.

Qualsevol matriu té rang, tant si és quadrada com si no.


- 24 -

MÈTODES DE CÀLCUL DEL RANG:

o Mètode de les combinacions lineals

o Mètode dels determinants

o Mètode de Gauss


- 25 -

o Mètode de les combinacions lineals pels rangs: rang

És el mètode que hem fet servir a l’exemple anterior. Si posem un segon

exemple del càlcul del rang però d’una matriu d’ordre 3 observem el següent:

1 1 00 1 12 1 1

A

Té rang 3 perquè les seves files o columnes són linealment independents. Per

a demostrar-ho suposem que fos possible una combinació lineal entre les files:

1 1 2 2 3 3 0k F k F k F

1 2 3

1 1 1 2 2 2 3 3 3

1 3

1 3 1 2 3 2 3 1 2 3

2 3

1 1 0 0 1 1 2 1 1 0 0 0

1 1 0 0 1 1 2 1 1 0 0 0

2 02 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0

1 1 0

k k k

k k k k k k k k k

k kk k k k k k k k k k

k k

1 3 1 3 1

1 2 3 3 3 3 3

2 3 2 3 2

2 0 2 01 1 1 0 ( 2 ) 0 0

1 1 0 0

k k k k kk k k k k k k

k k k k k

Que és el mateix que dir que no hi ha cap combinació lineal.

Per això el rang és 3.

ACTIVITATS:

26) Calcula el rang pel mètode de les combinacions lineals:

a) 1 11 1

A

b)

1 2 01 1 2

0 1 2B


- 26 -

o Mètode dels determinants pels rangs: rang

Ja hem comentat abans que la interpretació del resultat del determinant d’una

matriu A era que si el det(A) = 0 volia dir que les files i/o columnes eren

linealment dependents, i que hi havia alguna combinació lineal entre files o

columnes. En canvi, si el det(A) ≠ 0 volia dir que les files o/i les columnes eren

linealment independents, i que no hi havia cap combinació lineal entre files o

columnes.

Per tal de calcular el rang, ens hem d’assegurar de trobar el determinant

diferent de zero més gran possible. L’ordre o dimensió d’aquest determinant és

el rang de la matriu.

Si la matriu no és quadrada, cal agafar una submatriu quadrada, la més gran

possible de determinant diferent de zero.

Exemples:

1) Calcula el rang de la matriu 1 1 00 1 12 1 1

A

1 1 01 1 1 0 1 0

0 1 1 1. 0. 2.1 1 1 1 1 1

2 1 11.( 2) 0 2.( 1) 4 0

Com que el determinant és diferent de zero el rang és 3.


- 27 -

2) Calcula el rang de la matriu 1 2 34 5 67 8 9

B

1 2 32 3 1 3 1 2

4 5 6 7. 8. 9.5 6 4 6 4 5

7 8 97.(12 15) 8.(6 12) 9.(5 8)7.( 3) 8.( 6) 9.( 3)

21 48 27 48 48 0 ( ) 3

1 21.5 4.2 3 0 ( ) 2

4 5

rang B

rang B

ACTIVITATS:

27) Calcula el rang pel mètode del determinant:

a) 1 11 1

A

b)

1 2 01 1 2

0 1 2B


- 28 -

o Mètode de Gauss pels rangs: rang

Amb el mètode de Gauss, primer triangularitzem la matriu amb la propietat 10

dels determinants i el rang de la matriu, que és el nombre de files o columnes

(el més petit dels dos) amb algun element diferent de zero.

Exemple:

2 2 1

3 3 1 3 3 2

1 2 3 1 2 3 1 2 34 5 6 ' 4 0 3 6 0 3 67 8 9 ' 7 0 6 12 ' 2 0 0 0

F F FF F F F F F

El rang és 2 perquè té dues files amb algun element diferent de zero.

ACTIVITATS:

28) Calcula el rang pel mètode Gauss:

a) 1 11 1

A

b)

1 2 01 1 2

0 1 2B


- 29 -

Menor complementari: Inici

El menor complementari Mij d’un element aij d’una matriu A és el valor del

determinant de la submatriu que resulta de suprimir la fila “i” i la columna “j”.

Exemple:

Donada la matriu: 0 2 12 0 31 3 0

Q

, calcula el menor complementari de

l’element a23.

El menor complementari de l’element a23 = 3, que podem representar per 23M ,

és el determinant que resulta de suprimir la segona fila i la tercera columna:

23

0 2 10 2

2 0 3 0.( 3) ( 1).( 2) 21 3

1 3 0Q M

ACTIVITATS:

29) Donada la matriu:

1 2 01 1 2

0 1 2

, calcula els menors complementaris

següents:

a) 23M

b) 21M

c) 33M


- 30 -

Adjunt: Inici

L’adjunt Aij d’un element aij d’una matriu A és el seu menor complementari

afectat pel signe:

( 1)i jij ijA M

Exemple:

Donada la matriu: 0 2 12 0 31 3 0

Q

, Calcula l’adjunt d’element a23.

L’adjunt de l’element a23 , que podem representar per 23A és:

2 3 523 23

0 2 10 2

2 0 3 ( 1) ( 1) ( 2) 21 3

1 3 0Q A M

Una manera ràpida de determinar el signe (el canvi o no de signe) és

mitjançant la matriu de signes:

ACTIVITATS:

30) Calcula els adjunts de la matriu:

1 2 01 1 2

0 1 2

:

a) 23A b) 21A c) 33A


- 31 -

Matriu adjunta: Inici

La matriu adjunta d’una matriu és la matriu que resulta de substituir tots i cada

un dels seus elements pel seu corresponent adjunt:

( ) ijAd A A

Exemple:

Calcula la matriu adjunta de la matriu:

0 2 12 0 31 3 0

Q

La matriu adjunta resulta ser:

0 3 2 3 2 03 0 1 0 1 3

9 3 62 1 0 1 0 2

( ) 3 1 23 0 1 0 1 3

6 2 42 1 0 1 0 2

0 3 2 3 2 0

Ad Q

ACTIVITATS:

31) Calcula la matriu adjunta de la matriu:

1 2 01 1 2

0 1 2


- 32 -

Matriu inversa: Inici

La matriu A-1 és la matriu inversa de la matriu A si:

A-1.A = I

A. A-1 = I

On I és la matriu d’identitat.

Exemple:

La matriu 1 21 1

B

és la matriu inversa de la matriu 1 2

1 1A

, ja que:

B . A = I

1 2 1 2 1.( 1) 2.1 1.2 2.( 1) 1 0.

1 1 1 1 1.( 1) 1.1 1.2 1.( 1) 0 1

A . B = I

1 2 1 2 ( 1).1 2.1 1.2 2.1 1 0.

1 1 1 1 1.1 ( 1).1 1.2 ( 1).1 0 1

ACTIVITAT:

32) Demostra que de les matrius 1 23 4

A

i 2 1

3 12 2

B

una és la

inversa de l’altra.


- 33 -

Inici

MÈTODES DE CÀLCUL DE LA MATRIU INVERSA:

o Mètode de la definició

o Mètode dels determinants

o Mètode de Gauss


- 34 -

o Mètode de la definició de matriu inversa: inversa

Donada la matriu: 1 23 4

A

La seva matriu inversa serà una matriu del tipus: 1 a b

Ac d

Si imposem la condició de matriu inversa: 1.A A I

1

22 1 1 2 11 2 1 0 2 0 3. 3 13 4 0 1 3 4 0 2 2 2

3 4 1 12

aa c b

a b b dAcc d a c

b d d

Aquest mètode no és aconsellable perquè amb una matriu d’ordre 2 ja s’ha de

resoldre un sistema de quatre equacions amb quatre incògnites. Si fos una

matriu d’ordre 3, seria un sistema de nou equacions amb nou incògnites.

ACTIVITAT:

33) Calcula la matriu inversa de la matriu 1 1

2 1A

pel mètode de la

definició.


- 35 -

o Mètode dels determinants: inversa

És la matriu adjunta transposada dividida pel determinant de la matriu:

1 1 TA AdA

Per això, diem que una matriu té inversa si és quadrada i a més a més el seu

determinant és diferent de zero.

Exemple:

Calcula la matriu inversa de la matriu 1 23 4

A

.

1 4 3 4 3 4 21 1 11 2 2 1 2 1 3 12 23 4

4 2 2 12 2

3 13 12 22 2

T T

A

ACTIVITAT:


2 1A

pel mètode del

determinant.


- 36 -

o Mètode de Gauss: inversa

Per a calcular la matriu inversa d’una matriu aplicant el mètode de Gauss

confeccionem una matriu ampliada (A|I), diagonalitzem la matriu A i la

normalitzem fins a transformar-la en una matriu identitat. Tot el que fem amb

les files de la matriu A també ho fem amb la matriu identitat, la qual hem

col·locat al costat. Després de tot aquest procés, allà on hi teníem la matriu

identitat hi tenim la matriu inversa:

1A I I A

Exemple:

Calcula la matriu inversa de la matriu 1 23 4

A

2 2 1

1 1 2

122

1 2 1 0 1 2 1 0' 3

3 4 0 1 0 2 3 1

1 0 2 1'

0 2 3 1

2 1 2 11 0' 3 1 3 10 12

2 2 2 2

F F F

F F F

FF A

ACTIVITAT:


2 1A

pel mètode de

Gauss.


- 37 -

ACTIVITATS: Inici

Donades les matrius: 1 23 4

A

1 2

1 0B

1 1 01 0 11 1 1

C

36) Calcula:

a. A + B =

b. A – B =

c. – A =

d. 2A - 3B =

e. CT =

f. rang(A) =

g. rang (b) =

h. rang (c) =

i. det (A) =

j. det (B) =

k. det (C) =

l. M22 de la matriu A

m. Ad21 de la matriu C

n. A-1 =

o. B-1 =

p. C-1 =

37) Quines condicions han de tenir les matrius perquè:

q. Es puguin sumar.

r. Es puguin restar.

s. Es puguin multiplicar.

t. Tinguin transposada.

u. Tinguin adjunta.

v. Tinguin inversa.


- 38 -

Propietats de les operacions amb matrius: Inici

SUMA o ADDICIÓ (operació interna)

Definició: nmnmijnmijijnmijnmijnmnm CcbabaBA ,,,,,,,

Dues matrius del mateix ordre s’anomenen conformes respecte a l’addició

algèbrica. Dues matrius de diferent ordre no es poden sumar.

PROPIETATS:

1) ASSOCIATIVA: nmnmnmnmnmnm CBACBA ,,,,,, )()(

2) COMMUTATIVA: nmnmnmnm ABBA ,,,,

3) EXISTÈNCIA DE MATRIU NEUTRA O ZERO: , , ,0m n m n m nA A

Om,n és una matriu amb tots els elements 0

4) EXISTÈNCIA DE MATRIU OPOSADA: , , ,( )m n m n m nA A O

,m nA s’obté canviant de signe tots els elements de la matriu ,m nA

Per complir les propietats anteriors diem que ,( ; )m nM és un GRUP ABELIÀ o

COMMUTATIU.

Es defineix la DIFERÈNCIA de matrius com: , , , ,( )m n m n m n m nA B A B , la suma

de la matriu oposada.


- 39 -

Inici

PRODUCTE PER UN ESCALAR (operació externa)

Definició: , ,, , ,. . .m n ij ij ij m nm n m n m n

k A k a k a c C

PROPIETATS:

1) , , ,( '). . '.m n m n m nk k A k A k A

2) , ,.( '. ) ( . ').m n m nk k A k k A

3) , , , ,.( ) . .m n m n m n m nk A B k A k B

4) , ,1. m n m nA A

El conjunt de les matrius de nombres reals d’un mateix ordre, per a l’operació

interna addició i l’operació externa producte per un escalar real, és un ESPAI VECTORIAL sobre el cos R.

MATRIU TRANSPOSADA:

Per a la matriu ,m nA s’anomena matriu transposada la matriu ,Tm nA ,que resulta

d’intercanviar les files per les columnes de manera ordenada:

si , ,m n ij m nA a , ,

Tm n ji m n

A a

PROPIETATS:

1) ( )T TA A

2) ( )T T TA B A B

3) ( . ) .T Tk A k A

4) MATRIU SIMÈTRICA: TA A

5) MATRIU ANTISIMÈTRICA: TA A


- 40 -

Inici

MULTIPLICACIÓ DE MATRIUS:

La matriu producte ,m qP de dues matrius ,m nA i ,n qB és el resultat de les sumes

dels productes dels elements de les files de la primera matriu pels elements de

les columnes de la segona matriu. La condició que s’imposa perquè es puguin

multiplicar és que el nombre de columnes de la primera matriu sigui igual al

nombre de files de la segona matriu: , , ,.m n n q m qA B P

El elements de la matriu producte són: 1

.n

ij ik kjk

p a b

PROPIETATS:

1) ASSOCIATIVA: A.(B.C)=(A.B).C

2) DISTRIBUTIVA: A.(B+C)=A.B+A.C

(A+B).C=A.C+B.C

3) MATRIU UNITAT: A.I=A

I.A=A

4) NO COMMUTATIVA: en general A.B B.A

5) ( . ) .T T TA B B A

6) A.B=O no implica necessàriament que A=0 o B=0

7) A.B=A.C no implica necessàriament que B=C.


- 41 -

Inici

PROPIETATS DELS DETERMINANTS:

1) El determinant de la matriu zero és zero:

0 00

0 0

2) Si tots els elements d’una fila (o d’una columna) d’una matriu són zero, el determinant de la matriu és zero:

1 0 0 00 0

2 0 2 5

3) Si multipliquem per un nombre real k tots els elements d’una fila (o d’una columna) , el determinant queda multiplicat per k:

1 2 2.1 2.2 2 42 4

3 4 3 4 3 4

4) Si multipliquem una matriu per un nombre real k, el seu determinant queda multiplicat per kn:

. .nn nk A k A

1 2 2 42 8

3 4 6 8

5) El determinant d’una matriu A i el de la seva matriu transposada AT són

iguals.

1 2 1 32 2

3 4 2 4


- 42 -

Inici

6) Si s’intercanvien entre sí dues files (o columnes) el determinant canvia

de signe.

1 2 2 12 2

3 4 4 3

7) Si una matriu té dues files (o columnes) iguals, el determinant és igual

a zero.

1 20

1 2

8) Si en una matriu hi ha dues files (o dues columnes) proporcionals, el

determinant és zero.

1 20

2 4

9) Si una matriu té una fila (o una columna) combinació lineal d’altres

files (o columnes), el determinant és zero.

3 1 2

0 2 12 0 3 02 2 4

F F F

10) El determinant d’una matriu no canvia si es suma a una fila (o

columna) una combinació lineal d’altres files (o columnes).

3 3 1 2

0 2 1 0 2 12 0 3 0 ' 2 2 0 3 02 2 4 4 2 5

F F F F


- 43 -

Inici

11) En general: n n n nA B A B

1 2 1 22

3 4 3 4 1 2 2 12 14 12

3 4 4 32 2 2 214

4 3 4 3

1 2 2 2 3 0 3 021

3 4 4 3 7 7 7 7

A

B

A B

12) El determinant d’un producte és el producte de determinants:

. .n n n nA B A B

1 2 1 22

3 4 3 4 1 2 2 2. 2.14 28

3 4 4 32 2 2 214

4 3 4 3

1 2 2 2 10 4 10 4. 60 88 28

3 4 4 3 22 6 22 6

A

B

A B


- 44 -

Inici

13) Si dos determinants tenen iguals, respectivament, totes les files

menys una (totes les columnes menys una), la seva suma és un altre

determinant amb les mateixes files iguals, menys la fila desigual que té

per elements la suma ordenada de les dues files (o columnes).

1 2 3 1 2 3 1 2 32 4 3 5 1 3 2 3 1 4 5 3

2 1 0 2 1 0 2 1 0

14) El determinant de la matriu unitat és 1.

1 0 01 0

1 0 1 0 10 1

0 0 1

15) El determinant de la matriu escalar és kn

3

2 0 00 2 0 2.2.2 2 80 0 2

16) El determinant d’una matriu diagonal és el producte dels elements de

la diagonal principal.

1 0 00 2 0 1.2.3 60 0 3


- 45 -

Inici

17) El determinant d’una matriu triangular és el producte dels elements de

la diagonal principal.

1 3 20 2 1 1.( 2).3 60 0 3

18) Si 1 1

n nA a Aa

1

1 2 1 22

3 4 3 4

2 1 2 13 113 1 3 1 2 2

2 2 2 2

A

A


- 46 -

Inici

MATRIU ORTOGONAL:

Una matriu és ortogonal si: ..

T

T

A A IA A I

CONSEQÜÈNCIES:

1) 1TA A

2) det 1A

Demostració:

per definició

2

.det( . ) det

det .det 1det .det 1

(det ) 1

det 1 1

T

T

T

A A IA A I

A AA A

A

A

a) MATRIU ORTOGONAL PRÒPIA: si det 1A

b) MATRIU ORTOGONAL IMPRÒPIA: si det 1A

3) Si considerem que les columnes d’una matriu quadrada són vectors (vectors

columna), si és ortogonal, aquests vectors són unitaris i perpendiculars

entre sí.


- 47 -

Inici

ACTIVITATS:

38) Donades les matrius:

1 23 0

A

1 02 1

B

1 12 2

C

a. Comprova la propietat associativa de la suma.

b. Comprova la propietat no commutativa del producte.

c. Comprova les propietats distributives.

d. Comprova la transposada del producte.

39) Si sabem que det( ) 3a b

Ac d

, aplicant les propietats dels determinants,

calcula:

a. det(A-1) =

b. 2 2a bc d

c. 2 23 3

a bc d

d. det(AT) =

e. 2 3 2 3a c b d

c d


- 48 -

Aplicacions de les Matrius. Inici

Equacions matricials.

Representació de sistemes d’equacions lineals.

Matrius transformació.

Exercicis.


- 49 -

Equacions matricials. aplicacions

Una equació matricial és una equació que té com a incògnita alguna matriu,

que normalment anomenem X .

Per exemple: . .A X B C D

Com es pot veure en aquesta equació, la matriu X és la matriu incògnita, i

les altres són matrius conegudes.

Per a resoldre una equació matricial apliquem l’àlgebra de matrius, que és la

mateixa que l’àlgebra dels nombres; però cal tenir cura amb els productes de

matrius, ja que la divisió no existeix, sinó que cal fer servir la matriu inversa,

tenint en compte el costat pel qual multiplica la matriu.

Per resoldre l’equació matricial que hem posat com exemple, pas a pas:

1 1

1

1

1 1 1

1 1

1 1

. .

. .

. .. . . ( )

. . .( ). .( ). . .( ).. .( ).

.( ).

A X B C DA X B C C D CA X B D CA A X B A D CI X B A D CX B A D CX B B A D C BX I A D C BX A D C B


- 50 -

ACTIVITATS:

40) Donades les matrius:

1 23 0

A

1 02 1

B

1 12 2

C

Resol les equacions matricials següents, aïllant primer la matriu incògnita X

i fent els càlculs amb calculadora:

f. A+B.X = C

g. A.X – 2C = B

h. A.B.X = C

i. X.C.B = A

j. A.X – C = B.X


- 51 -

aplicacions

Representació de sistemes d’equacions lineals.

Les matrius, i més concretament les equacions matricials, poden servir per

representar sistemes d’equacions lineals:

Per exemple:

3 2 4 5 3 2 4 52 0 1 1 2 0

2 2 2 1 1 2

x y z xx y z y

x y z z

En general:

11 1 12 2 1 1 11 12 1 1 1

21 1 22 2 2 2 21 22 2 2 2

1 21 1 2 2

... ...

... ...

......

n n n

n n n

m m mn n mm m mn n m

a x a x a x b a a a x ba x a x a x b a a a x b

a a a x ba x a x a x b

que es pot escriure sempre com: .A X B .

Aquesta equació matricial sempre es resol de la mateixa manera:

1 1

1

1

.. . .

. ..

A X BA A X A BI X A BX A B


- 52 -

ACTIVITATS: aplicacions

41) Expressa en forma matricial els sistemes d’equacions lineals següents:

a) x + y = 1 b) x - y = 2 c) x - y = 0 x + y = 2 2x -2y = 4 -2y =-1 d) x + y - z = 1 e) x -2y +3z = 1 f) x + y +3z = 10 x - y = 0 2x + y -4z = 2 x -2y -2z = 5 2y = 2 3x +4y - z =-3 2x + z = 5 g) 2x + y - z = 1 h) 2x - y + z = 4 i) 2x - y = 1 x -2y + z = 0 x - z = 1 x + y = 0 3x +2y = 5 x + y = 3 j) x - y - z = 0 k) x - y + z = 0 l) 8x + y +4z = 9 x + y + z = 1 x + z = 1 5x -2y +4z = 6 x -2y =-1 x + y = 1


- 53 -

aplicacions TRANSFORMACIONS LINEALS DEL PLA (Matrius transformació)

Les transformacions lineals del pla són unes aplicacions lineals dels punts del

pla 2R sobre ells mateixos 2R .

Un punt es transforma en un altre punt: 2 2:

( , ) ( , ) ( ', ')f R Rx y f x y x y

Aquesta aplicació lineal és del tipus: ' . .' . .

x a x b y ey c x d y f

Que es pot escriure en forma matricial:

''

1 0 0 1 1

x a b e xy c d f y

On

(x’,y’): és el punt transformat.

(x,y): és el punt inicial.

0 0 1

a b eM c d f

: És la matriu transformació lineal,

és la matriu associada a l’aplicació lineal .

Aquesta matriu transformació lineal la podem descompassar com a producte de

dues altres matrius:

1 0 00 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1

a b e e a bc d f f c d

M = M2 . M1


- 54 -

aplicacions

Tota transformació lineal M resulta ser la composició d’una matriu

transformació M1 (rotació, projecció, simetria, ...), seguida d’una matriu translació M2. Recorda que per la composició de funcions, primer actua la

funció de més cap a la dreta:

''

1 0 0 1 1

x a b e xy c d f y

→

' 1 0 0' 0 1 0

1 0 0 1 0 0 1 1

x e a b xy f c d y

MATRIUS TRANSFORMACIÓ M1:

1

00

0 0 1

a bM c d

MATRIU TRANSLACIÓ M2:

2

1 00 10 0 1

eM f


- 55 -

MATRIU TRANSLACIÓ M2: aplicacions

Ja saps que els vectors serveixen per localitzar o traslladar punts, per això no

ens ha d’estranyar que la matriu translació estigui formada per una matriu

identitat i un vector translació:

MATRIU IDENTITAT

VECTOR TRANSLACIÓ

Quan aquesta matriu l’apliquem sobre un punt qualsevol A(x,y):

1 0 '0 1 '0 0 1 1 1

e x xf y y

obtenim un altre punt A’(x’,y’)

Aquesta transformació equival a: ''

x x ey y f

que es pot escriure vectorialment com: (x’,y’) = (x,y)+(e,f)

que equival a: 'A A v

2

1 00 10 0 1

eM f

A(x,y)

A’(x’,y’)

( , )v e f

e

f


- 56 -

EXEMPLE: aplicacions

Donat el quadrat de vèrtexs A(0,0), B(2,0), C(2,2) i D(0,2), calcula la

translació segons el vector (2,1)v .

La matriu translació és: 2

1 0 20 1 10 0 1

M

, que si l’apliquem a cada un dels

vèrtexs del quadrat resulta:

2

1 0 2 0 2(0,0) ( ) 0 1 1 0 1 ´(2,1)

0 0 1 1 1A M A A

2

1 0 2 2 4(2,0) ( ) 0 1 1 0 1 ´(4,1)

0 0 1 1 1B M B B

2

1 0 2 2 4(2, 2) ( ) 0 1 1 2 3 ´(4,3)

0 0 1 1 1C M B C

2

1 0 2 0 2(0,2) ( ) 0 1 1 2 3 (́2,3)

0 0 1 1 1D M D D


- 57 -

TIPUS DE MATRIUS TRANSFORMACIÓ M1: aplicacions

1) MATRIU ROTACIÓ: R (respecte a l’origen de coordenades):

cos sinsin cos

R

Representa una rotació,

respecte a l’origen de coordenades d’un angle θ, en

sentit antihorari si l’angle és

positiu, i en sentit horari si l’angle

és negatiu,.

EXEMPLE:

Donat el quadrat de vèrtexs A(0,0), B(2,0), C(2,2) i D(0,2), calcula la seva

transformació amb un gir de 30º respecte a l’origen.

La matriu transformació és: 30

3 1cos30 sin 30 2 2sin 30 cos30 1 3

2 2

R

que si l’apliquem a cada vèrtex del quadrat resulta:

30

cos30 sin 30 0(0,0)

sin 30 cos30 0

3 13 1 .0 .00 02 22 2 ' (0,0)0 01 3 1 3.0 .0

2 2 2 2

A R A

A

A(x,y)

A’(x’,y’)

α


- 58 -

30

cos30 sin 30 2(2,0)

sin 30 cos30 0

3 13 1 .2 .02 32 22 2 ' (1,7;1)0 11 3 1 3.2 .0

2 2 2 2

B R B

B

30

cos30 sin 30 2(2,2)

sin 30 cos30 2

3 13 1 .2 .22 3 12 22 2 ' (0,7;2,7)21 3 1 31 3.2 .2

2 2 2 2

C R C

C

30

cos 30 sin 30 0(0, 2)

sin 30 cos30 2

3 13 1 .0 .2 10 2 22 2 ' ( 1;1,7)2 31 3 1 3.0 .2

2 2 2 2

D R D

D


- 59 -

2) MATRIU DILATACIÓ: D aplicacions

00k

Dk

k>0

' 0 ..

' 0 .x k x k x x

ky k y k y y

EXEMPLE:

Donat el quadrat de vèrtexs A(0,0), B(2,0), C(2,2) i D(0,2), calcula la dilatació de constant 3.

La matriu dilatació és: 3 00 3

D

si l’apliquem a cada un dels vèrtexs del quadrat resulta:

3 0 0 0( ) '(0,0)

0 3 0 0D A A

3 0 2 6( ) '(6,0)

0 3 0 0D B B

3 0 2 6( ) '(6,6)

0 3 2 6D C C

3 0 0 0( ) '(0,6)

0 3 2 6D D D


- 60 -

3) MATRIU AMPLIACIÓ (distorsió): A aplicacions

1

2

00d

Ad

1 1

2 2

0 .'0 .'d d xx x

d d yy y

EXEMPLE:

Donat el quadrat de vèrtexs A(0,0), B(2,0), C(2,2) i D(0,2), calcula

l’ampliació de coeficients 2 i 3.

La matriu ampliació és: 2 00 3

A


3 0 0 0( ) '(0, 0)

0 2 0 0A A A

3 0 2 6( ) '(6,0)

0 2 0 0A B B

3 0 2 6( ) '(6, 4)

0 2 2 4A C C

3 0 0 0( ) '(0,4)

0 2 2 4A D D


- 61 -

4) MATRIU “CISELLA” : C aplicacions

1

10 1

kC

' 1' 0 1

x k x x kyy y y

2

1 01

Ck

' 1 0' 1

x x xy k y kx y

EXEMPLE:

Donat el quadrat de vèrtexs A(0,0), B(2,0), C(2,2) i D(0,2), calcula la

transformació “cisella” amb k=2.

La matriu “cisella” és: 1

1 20 1

C


1 2 0 0( ) '(0,0)

0 1 0 0C A A

1 2 2 2( ) '(2,0)

0 1 0 0C B B

1 2 2 6( ) '(6, 2)

0 1 2 2C C C

1 2 0 4( ) '(4,2)

0 1 2 2C D D


- 62 -

5) MATRIUS PROJECCIÓ: P aplicacions

a) PROJECCIÓ SOBRE L’EIX “X”: Px

1 00 0xP

' 1 0' 0 0 0

x x xy y

EXEMPLE:

Calcula la projecció del punt A(2,3) sobre l’eix d’abscisses.

1 0 1 0 2 2( ) ' (2,0)

0 0 0 0 3 0x xP P A A

b) PROJECCIÓ SOBRE L’EIX “Y”: Py

0 00 1yP

' 0 0 0' 0 1

x xy y y

EXEMPLE:

Calcula la projecció del punt A(2,3) sobre l’eix d’ordenades.

0 0 0 0 2 0( ) ' (0,3)

0 1 0 1 3 3y yP P A A

A(x,y)

A’(x’,0)

A(x,y) A’(0,y’)


- 63 -

aplicacions

c) PROJECCIÓ SOBRE LA RECTA Y=X:

1 01 0y xP

' 1 0' 1 0

x x xy y x

0 10 1x yP

' 0 1' 0 1

x x yy y y

EXEMPLE:

Calcula la projecció del punt A(2,3) sobre la recta y=x.

1 0 1 0 2 2( ) ' (2,2)

1 0 1 0 3 2y x y xP P A A

0 1 0 1 2 3( ) ' (3,3)

0 1 0 1 3 3x y x yP P A A

A(x,y) A’(y,y)

A(x,y)

A’(x,x)


- 64 -

6) MATRIUS SIMETRIES: S aplicacions

a) SIMETRIA EIX “Y”: Sy

1 00 1yS

' 1 0' 0 1

x x xy y y

EXEMPLE:

Calcula el simètric del punt A(2,3) respecte a l’eix d’ordenades.

1 0 1 0 2 2( ) ' ( 2,3)

0 1 0 1 3 3y yS S A A

b) SIMETRIA EIX “X”: Sx

1 00 1xS

' 1 0' 0 1

x x xy y y

EXEMPLE:

Calcula el simètric del punt A(2,3) respecte a l’eix d’abscisses.

1 0 1 0 2 2( ) ' (2, 3)

0 1 0 1 3 3x xS S A A

A(x,y)

A’(x’,-y)

A(x,y) A’(-x,y’)


- 65 -

c) SIMETRIA RECTA y = x: Sy = x aplicacions

0 11 0y xS

' 0 1' 1 0

x x yy y x

EXEMPLE:

Calcula el simètric del punt A(2,3) respecte a la recta y=x.

0 1 0 1 2 3( ) ' (3, 2)

1 0 1 0 3 2y x y xS S A A

d) SIMETRIA RECTA y = - x: Sy = -x

0 11 0y xS

' 0 1' 1 0

x x yy y x

EXEMPLE:

Calcula el simètric del punt A(2,3) respecte a la recta y=-x.

0 1 0 1 2 3( ) ' ( 3, 2)

1 0 1 0 3 2y x y xS S A A

A(x,y)

A’(y,x)

A(x,y)

A’(-y,-x)


- 66 -

e) SIMETRIA RECTA y = (tag θ) x aplicacions

( ).

cos(2 ) sin(2 )sin(2 ) cos(2 )y tag xS

' cos(2 ) sin(2 )' sin(2 ) cos(2 )

x xy y

EXEMPLE:

Calcula el simètric del punt A(2,3) respecte a la recta 3.y x .

( ).

3.

3.

3. tan 3 60ºcos(2 ) sin(2 )sin(2 ) cos(2 )

cos(2.60) sin(2.60) cos(120) sin(120)sin(2.60) cos(2.60) sin(120) cos(120)

1 32 23 1

2 2

1 32 2( )3 1

2 2

y tag x

y x

y x

y x m

S

S

S A

2 3 32 2 3 3 2 3 32 ' ( , )3 2 22 3 3

2

A

A(x,y)

A’(x’,y’)


- 67 -

ACTIVITATS:

42) Donat el rectangle de vèrtexs A(0,0), B(3,0), C(3,4) i D(0,4), calcula:

a) La translació segons el vector (1, 2)v

.

b) La seva transformació amb un gir de 60º respecte a l’origen.

c) La dilatació de constant -2.

d) L’ampliació de coeficients -1 i 2.

e) La transformació “cisella” amb k=3.

43) Calcula la projecció del punt A(3,-2)

a) Sobre l’eix d’abscisses.

b) Sobre l’eix d’ordenades.

c) Sobre la recta y=x.

44) Calcula el simètric del punt A(3,-2)

a) Respecte de l’eix d’ordenades.

b) Respecte de l’eix d’abscisses.

c) Respecte de la recta y=x.

d) Respecte de la recta y=-x.

e) Respecte de la recta 1 .3

y x .


- 68 -

EXERCICIS DE MATRIUS: aplicacions

1.- Donades les matrius A

1 21 3

B

0 12 3

Calculeu:

a)A + B b) 3A - 2B c) A.B d) B.A

2.- Donades les matrius

130212121

132013121

BA

Calculeu: a)A + 2B b) A.B c) B.A d) BT.AT e) (A.B)T

3.- Amb les matrius de l’exercici anterior determineu a) (A.B).A b) A.(B.A)

4.- Suposem la matriu A

1 20 1

. Calcula:

a) A.A=A2 b) A.A.A=A3 c) A4 d) An

5.- Quin valor ha de tenir a per tal que a 0 00 0 00 0 0

3 2 71 2 45 1 9

9 6 210 0 00 0 0

6.- Calcula aplicant la definició de matriu inversa les inverses de les matrius

següents, sempre que sigui possible:

a) 1 10 1

b)

1 23 4

c)

3 43 4

7.- Donades les matrius A B

2 1 01 0 2

2 4 1

0 2 00 1 21 3 2

Calculeu A.B

8.- Donat el sistema d’equacions 2 3 2

32 0

x yx y zy z

, escriviu-lo en forma

matricial.

9.- Donada la igualtat entre matrius 2 23 1

44

xy , escriviu el sistema

d’equacions corresponent.


- 69 -

10.- Multiplica les matrius 2 2 10 1 32 1 1

abc

aplicacions

11.- Calculeu el valor dels determinants següents:

a) 2 3 7 45 2 8 5

/ // /

b) a a

a a

2

2 1 c)

x xx x

12 3

12.- Resoleu les equacions:

a) x x

x

1 2 3

20 b)

x xx x

1 32 1

12

13.- Donades les matrius A

1 21 3

B

0 12 3

determineu la matriu X

que satisfà la igualtat 3X-2A=4B.

14.- Donada la matriu11 3 02 1 22 4 3

determina el menor complementari de

l’element a23 .

15.- Calcula el valor del determinant

1 2 3 12 0 2 41 1 3 2

3 2 3 4

16.- Calcula el valor del determinant

1 1 1 11 2 3 41 3 6 101 4 10 20

17.- Calcula les matrius inverses (si existeixen) de

a) A

1 21 3

b) B

1 02 4

c) C

1 20 0

18.- Determina les matrius inverses de:2 2 12 1 00 1 2

3 1 22 1 32 2 0


- 70 -

19.- Quin valor ha de tenir a per tal que la matriu X no tingui inversa?

Xa

1 22 1 47 1 0

aplicacions

20.- A B C

1 23 5

2 10 4

2 11 2

Determina la matriu X que compleixi la igualtat AX=B+C.

21.- La mateixa pregunta en la igualtat AXB=C.

22.- La mateixa pregunta en la igualtat ABX =CA.

23.- Calcula el rang de les matrius:

3 23 2

3 23 2

1 2 02 3 4


1 2 1 31 3 1 52 2 3 1

1 3 0 30 3 1 50 0 3 1


4 2 11 1 32 3 5

2 2 40 1 30 0 50 0 0

26.- a 3 22 1 42 1 0

Quin valor ha de tenir a per tal que la matriu tingui de rang 2?

I de rang 3?


- 71 -

27.- Determina els rangs de les matrius 1 2 6 01 2 5 12 2 2 2

1 2 0 21 3 1 50 2 3 10 1 2 5

.

28.- Quin valor ha de tenir K perquè el rang de la matriu sigui 21 5 3 62 10 6 K

.

2 Social Matri Us

Documents

Transcript of 2 Social Matri Us