2 Modelos de Optimización Matenegocios_unidad 2

Unidad 2Modelos de optimizacin

Objetivos

Alnalizarlaunidad,elalumno: Construirmodelosmatemticosdeoptimizacin. Resolverproblemasprcticosconelmtodogrfico.

Matemticas para negocios 45

2. Modelos de optimizacin

La investigacin de operaciones utiliza una metodologa sencilla para acercarse a la solucin de problemas que requieren de optimizacin. Tal metodologa puede expresarse como sigue:

Identicacindelproblemaquerequieredelainvestigacindeoperacionesy recopilacin de informacin.

Planteamiento del modelo matemtico. Solucin del problema matemtico y ajustes al mismo. Implementacin de la mejor solucin.

Los puntos de la metodologa pueden desarrollarse, tambin, respondiendo a algunas de las siguientes preguntas: la situacin o problemtica es un problema operacional?, es decir, si se puede resolver con la investigacin de operaciones; qu valores deben determinarse?, por ejemplo nivel de produccin, nmero de horas-hombre por contratar, etc., qu informacin se necesita para saber cmo se relacionan los valores por determinar?, es decir, la obtencin del modelo matemtico y cmo puede resolverse el modelo obtenido para encontrar la mejor solucin? Las respuestas a estas preguntas pueden orientar hacia el seguimiento de la metodologa de la investigacin de operaciones, y en este captulo estudiaremos principalmente la obtencin de modelos matemticos de problemas operacionales.

Uno de los modelos ms utilizado en la investigacin de operaciones es el Modelo de Programacin Lineal (PL), el cual tiene la caracterstica de que todas las expresiones que lo componen son lineales. El modelo de programacin lineal cuenta con una funcin objetivo, la cual se pretende optimizar, y una serie de expresiones matemticas que representan las restricciones que deben satisfacerse para que la solucin obtenida sea ptima y factible. Es decir, que la solucin del modelo matemtico sea la mejor posible y que pueda

46 Unidad 2 Modelos de optimizacin

implementarse en la realidad. El siguiente es un ejemplo de un modelo de programacin lineal:

0 15 12Max Z x x= + (A)

s. a

0 12 125x x+ (1)

0 13 65x x+ (2) CNN 0 1, 0x x (3)La ecuacin (A) es la funcin objetivo a maximizar en este caso, y las ecuaciones (1), (2) y (3) representan el conjunto de restricciones a satisfacer, cabe mencionar que la ecuacin (3) se conoce como Condicin de No Negatividad (CNN) y que el modelo se lee como la funcin objetivo Z sujeta a (s. a) el conjunto de restricciones dado.

2.1. Planteamiento del modelo

Un modelo es la representacin abstracta de un proceso en particular o de la realidadengeneral.Dependiendodelacomplejidadydelndeloquesedesearepresentar, se han desarrollado diferentes modelos como son los diagramas de ujo, que indican el orden y secuencia de una serie de actividades; losorganigramas, que indican la jerarqua e interrelaciones de una organizacin; o los modelos matemticos, que son representaciones de problemas o casos prcticos con nmeros y signos matemticos. Ejemplo de estos ltimos son las ecuaciones que representan la oferta y la demanda y la expresin matemtica de las utilidades o de los costos de produccin de una empresa.

Para comenzar el modelado se utilizan modelos sencillos, y a partir de stos se construyen otros ms complejos y con ms informacin; concluyendo el modelado hasta que el responsable del mismo considere que con ste se representa de manera satisfactoria el problema de estudio; es decir, que se tiene un modelo con validez.

A continuacin se presenta la forma en la que se construyen los modelos matemticos en la investigacin de operaciones.


2.1.1. Datos y variables de decisin

Laidenticacindeunproblema,procesoosituacinquepuedeoptimizarseconla investigacin de operaciones se basa en reconocer si el problema de estudio cuenta con variables controlables, que llamaremos variables de decisin. Unavariablecontrolableodedecisinesaquellaquesepuedemedirymodicaren su valor deliberadamente.

Para invertir cierto capital C en tres instrumentos financieros T1, T

2 y T

3. Se

requiere determinar la cantidad a invertir en cada uno de los instrumentos de modo que el rendimiento sea el mayor posible.

Los rendimientos que ofrecen los instrumentos T1, T

2 y T

3 son valores que no

pueden ser determinados por el inversionista, pero la cantidad de dinero a invertir en cada uno de ellos (que podemos denotar como c

1, c

2 y c

3 respectivamente)

si es una decisin de la persona que invierte, por lo tanto, c1, c

2 y c

3 son las

variables de decisin.

Lasvariablesdedecisinseidenticanconliteralesoetiquetasquefacilitensumanejo en los modelos matemticos; as, en el ejemplo anterior c

1 representa la

variable de decisin cantidad proveniente del capital C a invertir en el instrumento T

1, donde se observa que el uso de la etiqueta c

1 es ms fcil de manejar en una

ecuacin,quetodoelsignicadodelavariable.Las variables de decisin de un problema pueden obtenerse respondiendo algunas de las preguntas:

Quvaloresdebodeterminarpararesolverelproblema? Quvalorespuedocontrolarparamodicarlosresultadosdelproceso? Qusedeseacuanticar? Deculesvariablessedeseacalcularsuvalor?Analicemoselsiguienteplanteamientoparapoderdenirlavariablesdedecisindel problema.

Denicin 2.1.

Ejemplo 1


Una empresa comercializa dos tipos de viaje en globo aerosttico, uno llamado de lujo y el segundo llamado econmico a un precio de $3,000.00 y $2,000.00 respectivamente. Saben que en un da slo pueden vender a lo ms 6 viajes de cualquier tipo, debido a que tienen prohibido volar de noche por razones de seguridad. Cada viaje de lujo requiere de tres cilindros de gas y cada viaje econmico slo dos cilindros, la empresa cuenta con 12 cilindros de gas en total. Con esta informacin se desea conocer la combinacin ptima de viajes necesaria para maximizar los ingresos de la empresa.

De manera similar al primer ejemplo de la seccin, las variables de decisin pueden obtenerse respondiendo a la pregunta qu se desea cuanticar?, y larespuesta est en el planteamiento mismo como ...la combinacin ptima de viajes necesaria para maximizar los ingresos..., entonces se denen como variables dedecisin aquellas que indiquen la cantidad de viajes de cada tipo:

:x = Cantidad de viajes de lujo que se requiere vender.

:y = Cantidad de viajes econmicos que se requiere vender.

A partir de este punto, las expresiones de la funcin objetivo y las restricciones del problema en un modelo de P. L. deben escribirse en funcin de las variables dedecisindenidas.

2.1.2. Funcin objetivo y las restricciones

Todavezquesehandenidolasvariablesdedecisin,esmomentodeindicarlaforma en que estas variables y los datos se interrelacionan, obteniendo de esto la funcin objetivo y las restricciones del problema.

Identicacin de la funcin objetivoLa funcin objetivo es una expresin matemtica que representa una cantidad, la cual tratamos de optimizar (maximizar o minimizar) como pueden ser los ingresos, las utilidades o los costos en una empresa.

Ejemplo 2


Como la investigacin de operaciones es una herramienta que permite tomar decisiones de tipo operativo, estas decisiones son tomadas con la premisa de maximizar las utilidades o minimizar los costos de la organizacin, los cuales dependen de los siguientes factores:

Costosdeproduccin. Preciodeventa. Volumendeventa.Por lo tanto, toda funcin objetivo deber estar conformada por este tipo de componentes. De no ser as, se sugiere validar la funcin objetivo con las variables y datos del problema.

La funcinobjetivo seobtiene, primero, identicando si se tratademaximizar ingresos o minimizar costos y, segundo, escribiendo la forma en la que los ingresos ocostossecuantican.Para el ejemplo 2 de los viajes en globo (del cual tenemos identificadas las variables de decisin) se trata de maximizar los ingresos de la empresa, ya que se indica combinacin ptima de viajes necesaria para maximizar los ingresos; la formaenlaquesecuanticanlosingresosesmultiplicandoelingreso que cada tipo de viaje genera por el nmero de viajes que se pueden comercializar. Esto es:



3000 2000Max Z x y= + ()

Identicacin de las restriccionesLas restricciones son una serie de expresiones matemticas que indican las relaciones entre las variables de decisin y las limitantes de la organizacin. Tales expresiones son desigualdades o igualdades lineales. Las limitantes de toda


organizacinpuedenclasicarsedemanerageneralenlimitantesfsicas,polticasde la organizacin y limitantes externas a la empresa. Ejemplos de limitantes son: disponibilidad de recursos humanos, materiales, tecnolgicos, y polticas como lasregulacionesociales,yexternoscomolademandadelosclientes.Elsiguienteesquema indica algunas limitantes de toda organizacin:

Las restricciones son las limitantes o condiciones que las variables de decisin deben satisfacer para constituir una solucin del modelo de programacin lineal.

Para el ejemplo 2 de los viajes en globo, tenemos las variables de decisin y la funcin objetivo, ecuacin (), y como se ha indicado es necesario expresar las restricciones en trminos de las variables de decisin:



3000 2000Max Z x y= + ()

Para plantear las limitantes o condiciones que las variables deben cumplir se debeextraerinformacindelplanteamiento,primeroidenticadolaslimitantesorecursos del mismo, en este caso se sabe que en un da slo se pueden vender a lo ms 6 viajes de cualquier tipo y la empresa cuenta con 12 cilindros de gas en total, lo cual indica claramente las limitantes de la poltica de ventas y la disponibilidad de los recursos materiales, y segundo, identificando la forma en la que se relacionan las variables de decisin con las limitantes.


Entonces, el nmero total de viajes que se puede vender debe ser menor o igual a 6 viajes:

6x y+ (1) Cantidad de viajes vendidos en un da.Y la cantidad de cilindros de gas que se utilizan en cada tipo de viaje (tres en los viajes de lujo y dos en los econmicos) debe ser menor a 12 cilindros que son con los que cuenta la compaa:

3 2 12x y+ (2) Cantidad de cilindros disponibles para los viajes.Adems de todas la restricciones del modelo, en todo modelo de programacin lineal se debe incluir la condicin de no negatividad que indica que todas las variables del modelo deben ser iguales o mayores a cero:

, 0x y (3) Condicin de no negatividad (CNN).Cabe mencionar que esta ltima restriccin no se utiliza como una ecuacin en s pero debe cumplirse, ya que no puede considerarse una solucin factible si una de las variables de decisin toma un valor negativo; por ejemplo, no se puede vender una cantidad negativa de viajes en globo.

Una vez que se han establecido todas las restricciones del modelo, se escriben juntas la funcin objetivo y las restricciones para formar el modelo de programacin lineal:

3000 2000Max Z x y= + () sujeto a

6x y+ (1) Cantidad de viajes vendidos en un da. 3 2 12x y+ (2) Cantidad de cilindros disponibles para los viajes. , 0x y (3) Condicin de no negatividad (CNN).Donde la ecuacin () es la funcin objetivo y las ecuaciones (1) a (3) son las restricciones del modelo de programacin lineal.

Se observa que aunque la construccin de modelos obedece a un planteamiento lgico de la informacin presentada, tambin es importante dejar claro que no existeunametodologaespeccaypuntualparaconstruirmodelos, locualesconsiderado por algunos autores como un arte, y que la misma construccin y complejidad del modelo dependen totalmente del problema a resolver. Asimismo,


debe considerarse que los modelos matemticos pueden tener n variables y m restricciones, y que dependiendo del nmero de variables con que cuenta el modelo se selecciona el mtodo de solucin adecuado.

2.2. Solucingrca

La solucin de un modelo de programacin lineal es el siguiente paso despus de obtener el modelo matemtico de un problema. Para seleccionar el mtodo de solucin se requiere considerar la cantidad de variables de decisin del modelo matemtico; cuando se tienen dos variables de decisin puede obtenerse la solucindemaneragrca;sinembargo,cuandosetienenmsdedosvariablesagracarsetornacomplejoyporestaraznsehandesarrolladootrosmtodosque se estudiarn ms adelante.

Elmtodogrcoparaencontrarlasolucindemodelosdeprogramacinlineales el siguiente:

SerequiereunmodeloPL. Segracanlasrestriccionescomodesigualdadesyseindicancadaunade

ellas. Sehalla la regin factible (regindeposiblessoluciones)ysesealaen la

grca. Segracalafuncinobjetivo. Sedesplazalafuncinobjetivohastaencontrarlasolucinptima.Aunque son pocos los ejemplos reales de dos dimensiones, stos sirven como antecedente para comprender mejor el mtodo analtico de solucin que se estudiar ms adelante, el cual se utiliza para resolver problemas de PL de n variables.

Por otra parte realizaremos un anlisis de sensibilidad, el cual consiste en estudiar elcomportamientodelasolucinptimadeunmodelocuandoloscoecientesdelafuncinobjetivoolascantidadeslimitantesdelasrestriccionessemodican.Se debe tener presente que existen problemas cuya solucin no existe o bien no es nica, lo cual se presenta continuamente en la realidad.


2.2.1. Grcaderectasydesigualdades

Parautilizarelmtodogrcoserequieregracarrectasydesigualdadesasociadasa la funcin objetivo y a cada restriccin respectivamente, y debido a esta razn revisaremos los siguientes apartados.

Unalnearectaesunobjetogeomtricoquehasidodenidopordiversosautoresconcaractersticasbiendenidas,lascualesutilizaremosparadibujarlas.La ecuacin general de una lnea recta es de la forma Ax + By + C = 0, donde A, B y C son nmeros reales. sta es una ecuacin de primer orden con dos incgnitas que tiene un grado de libertad, esto quiere decir que podemos dar un valor arbitrario a cualquiera de las incgnitas y despus despejar el valor de la otra variable, el cual queda determinado por el primer valor arbitrario que utilizamos. Otra forma de expresar la ecuacin de una recta es la forma ordinaria y mx b= + ; donde m representa la pendiente de la recta y b la ordenada al origen.

La pendiente m de una recta responde a la expresin 00

y ym

x x

= , y todos los puntos (x,y) que cumplan esta relacin pertenecen a la misma recta. Por otro lado, la ordenada al origen b indica la ordenada del punto de interseccin de la lnea recta con el eje y.

Grca de rectasPara gracar lneas rectas consideraremos que slo necesitamos obtener dospuntos de una misma recta; para obtener dichos puntos podemos utilizar dos caminos:

1. Partiendo de la ecuacin general Ax + By + C = 0 se da un valor arbitrario a una de las dos variables y se despeja o resuelve la ecuacin para la otra variable. Como se indica, puede sustituirse cualquier valor; sin embargo, se recomienda sustituir el valor de cero para las dos variables (no al mismo tiempo),yaqueesto facilita losclculosy laconstruccindeunagrcams precisa y con esto se determinan los puntos de interseccin de la recta con los ejes coordenados.


Obtenerlagrcadelaecuacin 2 6 6 0x y+ = .Comenzamos por sustituir arbitrariamente el valor de 0x = en la ecuacin general de la recta dada y resolver la expresin para y , con lo que se tiene:

( )2 0 6 0y+ = 0 6 0y+ = 6y =Esto nos indica un primer punto por donde pasar nuestra recta, el punto es ( )1 0,6P = .Ahora sustituimos el valor de 0y = en la ecuacin general de la recta dada y se resuelve la expresin para x , con lo que se tiene:

( )2 0 6 0x + = 2 6 0x = 2 6x =

62

x = 3x =Esto nos indica un segundo punto por donde pasar nuestra recta, el punto es

2 (3,0)P = .Losdospuntosrecinobtenidossegracansobreejescoordenadosyse unen mediante una lnea recta, la cual representa la recta de la ecuacin dada. La lnea recta que une los dos puntos puede prolongarse tanto como se requiera en cualquier sentido.

Figura2.1. Grcadeunalnearectaapartirdelaunindedospuntosconocidos.

Ejemplo 3


2. Partiendo de la ecuacin ordinaria y = mx + b , se da un valor arbitrario a una de las dos variables y se despeja o resuelve la ecuacin para la otra variable. Como en la primera forma, en realidad se est realizando la misma operacin; sin embargo, el lector puede hacer uso de la que ms fcil represente su manejo.

Obtenerlagrcadelaecuacin 1y x= + .Comenzamos por sustituir arbitrariamente el valor de 0x = en la ecuacin ordinaria de la recta dada y se resuelve la expresin para y , con lo que se tiene:

( )0 1y = + 0 1y = + 1y =Esto nos indica un primer punto por donde pasar la recta, el punto es ( )1 0,1P = .Ahora sustituimos el valor de 0y = en la ecuacin ordinaria de la recta dada y se resuelve la expresin para x , con lo que se tiene:

0 1x= + 1x =Esto nos indica un segundo punto por donde pasar la recta, el punto es ( )2 1,0P = . Losdospuntos recinobtenidos segracan sobre ejes coordenadosy seunenmediante una lnea recta.


Ejemplo 4


La lnea recta que une los dos puntos puede prolongarse tanto como se requiera en cualquier sentido, como ya se ha mencionado; sin embargo, para el estudio delasolucingrcademodelosdePL,lacondicindenonegatividad(CNN)limita la bsqueda de la solucin al primer cuadrante del plano cartesiano, por lo quelasgrcasobtenidasslosemuestranenelprimercuadrante.Ahoraeselturnodepresentarlaformaenquesegracanlasdesigualdades.Grca de desigualdadesToda desigualdad de dos variables tiene asociada una lnea recta, la cual se obtienegracandolarestriccinodesigualdadcomounaigualdad.

Considera la desigualdad 3 2 6x y+ , y la lnea recta asociada a sta 3 2 6x y+ = .Se sabe que una desigualdad lineal de una variable, as como una desigualdad lineal de dos variables, tiene por solucin una regin del plano cartesiano, por lo que para obtener dicha regin se emplea el siguiente procedimiento:

1. Gracarlaigualdadasociadaalarestriccin.Lalnearectaobtenidadivideel plano cartesiano en dos regiones.

2. Para seleccionar la regin que satisface la desigualdad, se toma un punto cualquiera del plano cartesiano. Este punto se sustituye en la desigualdad.

3. Si la desigualdad se cumple, entonces la regin donde tomamos el punto es la regin solucin. Si no satisface la desigualdad, entonces la regin solucin es la opuesta a donde tomamos el punto.

Ejemplo 5


Con la desigualdad 3 2 6x y+ sabemos que la lnea recta asociada a la igualdad es 3x + 2y = 6, de la cual obtenemos los puntos P

1 = (0,3) y P

2 = (2,0), con la

metodologamencionadaenlaseccindegrcaderectas,gracandoestosdospuntos sobre los ejes coordenados y uniendo los puntos con una lnea recta como se muestra en la Figura 2.3.


Para seleccionar la regin que satisface la desigualdad, se toma el punto ( )3,4 y se sustituye en la desigualdad 3 2 6x y+ , lo cual queda como: + 3(3) 2(4) 6 + 9 8 6 17 6 Como no se cumple la desigualdad, quiere decir que el punto escogido para la prueba no pertenece a la regin solucin de la desigualdad y, por lo tanto, debe tomarse la regin opuesta a donde pertenece el punto probado. Lo anterior se esquematiza en la Figura 2.4.

Figura2.4. Grcadeunadesigualdadyelpuntodeprueba(3,4).Lapartesombreadaindicalaregin

solucindeladesigualdadincluidalalnearecta.

Ejemplo 6


Es importante hacer notar la diferencia entre las desigualdades de la forma < y o > y , por ejemplo, si se tiene la desigualdad 5 3 0x y+ > la lnea recta asociada a la igualdad no es parte del conjunto solucin de esta desigualdad. En general se indica con los signos y para incluir la lnea recta en la regin solucin y con < o > para no incluirla.

Es comn encontrar restricciones o desigualdades del tipo L1: 4x o L2: 2y , por ejemplo, las cuales se representan tambin con lneas rectas horizontales y verticales respectivamente como se observa en la Figura 2.5.

Figura.2.5. GrcadedesigualdadesdeltipoL1: 4x oL2: 2y .Lasechasindicanlareginsolucin

decadadesigualdad.

2.2.2. Regin factible

La regin factible o regin de soluciones factibles es una regin del plano cartesiano donde se satisfacen todas las restricciones de un modelo de programacin lineal y, por tanto, en ella se encuentran las probables soluciones del modelo. Existen diferentes tipos de regin factible e incluso problemas que no tienen regin factible debido a las condiciones que las restricciones imponen.

En un solo sistema coordenado se graca el conjunto de restricciones (rectasllamadas fronteras y regiones) cuya interseccin ser la regin factible; es importante sealar la regin factible de cada modelo, por ejemplo, sombreando la regin, con una letra R o con el smbolo , como algunos autores lo aconsejan.


Encuentra la regin factible asociada al modelo de programacin lineal:

2 1Min Z x x= + ()

Sujeto a

15x (1)

23x (2)

1 2

33

5x x+ (3)

CNN 1 2, 0x x Las restricciones (1) y (2) son vertical y horizontal respectivamente, para la restriccin(3)seobtienendospuntosysegracanlastresdesigualdadesenunmismoplanocartesiano.Sinembargo,paraesteejemplosegracanporseparadoparaalnaljuntarlastresgrcas.Lagrcade 1 5x es:

La regin solucin est hacia la izquierda de la restriccin 1, ya que se requiere que los valores de 1x sean menores o iguales a cinco, se incluye la recta en la regin solucin debido a la igualdad.

Lagrcade 2 3x est dada por:

La regin solucin est hacia abajo de la recta representada por la restriccin 2, ya que se requiere que los valores de 2x sean menores o iguales a tres, se incluye la recta en la regin solucin debido a la igualdad.

Ejemplo 7


Para la restriccin 3, primero se obtienen dos puntos, como se present en la seccindegrcaderectasconlaecuacin 1 23 35 x x+ :Si 1 0x = , entonces ( ) 23 0 35 x+ = 20 3x+ = 2 3x =El primer punto es ( )1 0,3P = .Si 2 0x = , entonces ( )13 0 35 x + =

1

30 3

5x + =

15

33

x =

1 5x =El primer punto es ( )2 5,0P = .Los puntos ( )1 0,3P = y ( )2 5,0P = segracanenunplanocartesianoyseunencon una lnea recta, como se muestra a continuacin:

La ltima accin para encontrar la regin factible del modelo es empalmar las tres grcas en una sola y sealar la regin factible como la regin donde secumplen todas las restricciones, es decir, la regin donde se traslapan todas las regiones solucin de cada restriccin.


Observamos que la regin donde se cumplen todas las restricciones en este ejemploeselpolgonoqueseformaenlaparteinferiorizquierdadelagrca,porlotanto,lagrcadelareginfactibledelmodelodeprogramacinlineales la siguiente:

La regin factible del modelo de programacin lineal es el polgono sombreado delagrcaanterior.Cabemencionarque,comoentodagrca,esnecesarioindicar qu variable est en cada uno de los ejes de las abscisas y las ordenadas, ademsdeescribirlaescaladelagrca,yaqueenalgnmomentoserealizanlecturas de estos valores; por ltimo, se observa que todas las restricciones estn etiquetadas para su fcil identicacin y manejo en la grca de laregin factible.

El ejemplo anterior se desarroll gracando por separado cada una de lasrestricciones; sin embargo, como ya se ha mencionado, este proceso se puede llevaracaboenunasolagrcadesdeelprincipio.A continuacin se presentan los diferentes tipos de regiones factibles, as como los casos especiales cuando no existe solucin a un modelo de PL.

Regin factible acotada

La regin factible es acotada si la regin que se obtiene se encuentra dentro de un polgono irregular que contiene todos los puntos solucin del modelo, las lneas del polgono tambin pertenecen a la regin factible, ya que estamos trabajando con desigualdades donde la igualdad se incluye. Cabe mencionar que en este tipo de regin factible es posible generar polgonos tanto regulares como irregulares.


La regin factible que a continuacin se presenta es acotada.

Figura2.6. Reginfactibleacotada.

En la Figura 2.6. se observa cmo se forma un polgono irregular correspondiente a la regin factible de este ejemplo.

Regin factible no acotada

La regin factible es no acotada,cuandopuedeextenderseindenidamentehaciaalgn extremo del plano cartesiano.

La regin factible que a continuacin se presenta es no acotada.

Figura2.7. Reginfactiblenoacotada.

Comoenlosejemplosanteriores,lasechasenlaFigura2.7.indicanlareginsolucindecadadesigualdad.Enlamismaguraseobservaquenoseformaunpolgono para la regin o zona factible, a diferencia de esto la regin factible se extiendeindenidamentehacialaextremaderechadelplanocartesiano.

Ejemplo 8

Ejemplo 9


Regin no factible

Otro resultado importante en el mtodo grco se reere a las regiones no factibles, esto quiere decir que existen modelos PL que no tienen solucin debido a las condiciones y limitantes a las que estn sujetos, es decir, el problema no puede ser resuelto y, por lo tanto, no se puede obtener una regin factible asociada al modelo. Cuando un modelo tiene regin no factible, quiere decir que no existe una regin factible para el modelo en estudio.

La siguiente es una regin no factible. Es decir, no existe una regin factible donde se pueda buscar una solucin potencial al modelo matemtico al cual pertenecelagrca.

Figura2.8. Reginno factible.

De la Figura 2.8. se puede concluir que no existe una regin donde se cumplan todas lasrestriccionesgracadas, lomsqueencontramossonzonasdondesesatisfacen dos restricciones a la vez, sin embargo, para tener una regin factible, es estrictamente necesario generar una zona donde se satisfagan todas las restricciones del modelo; por lo tanto, esta regin es una regin no factible.

La importancia de la regin no factible radica en que este resultado nos lleva a concluir que el modelo no tiene solucin tal como est planteado; sin embargo, almodicarelmodeloohacermsexiblealgunadelasrestricciones,quizselmodelo pueda tener solucin. Ms adelante se presenta un estudio que permite identicarestosaspectos.

Ejemplo 10


2.2.3. Punto ptimo

Unavezquesehaobtenidolareginfactiblesistaexistedeunproblema,esmomentodelocalizarelpuntoptimoenlagrcageneradayparatalefectoesnecesariogracarlarectaasociadaalafuncinobjetivodelmodeloPL.Para gracar la funcin objetivo simplemente se toma un par ordenado quepertenezca a la regin factible y se sustituye en la funcin Z, despus se obtienen los puntos restantes de la recta por sustitucin.

Cuandosetienelagrcadelafuncinobjetivo,lalnearectaqueseobtuvosedesplaza de manera paralela a la recta original hasta alcanzar el ltimo punto de la regin factible sin salirse de la misma, considerando lo siguiente:

i) Para maximizar se desplaza hacia la derecha y arriba de la regin factible. ii) Para minimizar se desplaza hacia la izquierda y debajo de la regin factible.

Es importante recordar que los desplazamientos siempre se realizan de forma paralelaalagrcadelarectadelafuncinobjetivo.Una forma de realizar los desplazamientos abarca los siguientes pasos:

1. Alinear una escuadra sobre la funcin objetivo. 2. Apoyar el otro lado recto de la escuadra sobre una regla o escuadra. 3. Desplazar la primera escuadra hacia la izquierda o derecha, segn

corresponda, de la regin factible hasta el ltimo punto de la misma.

El punto localizado por este mtodo se le conoce como punto ptimo del modelo y representa los valores de la variables de decisin del problema, lo cual quiere decir que con este punto podemos interpretar la solucin de un modelo.

Delejemplo8recuperamoslareginfactiblegeneradaparagracarlafuncinobjetivo del modelo PL sobre la regin factible.


Resolver el modelo:

2 1Min Z x x= + ()

Sujeto a

15x (1)

23x (2)

1 2

33

5x x+ (3)

CNN 1 2, 0x x Donde la regin factible se muestra en la Figura 2.9.

Figura2.9. Reginfactibleacotada.

Paragracarlafuncinobjetivosetomaelpunto(0,1),porejemplo,yaqueestdentro de la regin factible, y se sustituye en 2 1Z x x= + :

( )0,1 0 1Z = + ( )0,1 1Z =Y con este resultado se buscan todos los puntos de la recta 2 1 1x x+ = para gracarlasobrelareginfactible.(Figura2.10.)

Figura2.10. Grcadelafuncinobjetivosobrelareginfactibleacotada.

Como el objetivo de este ejemplo es minimizar, tendremos que desplazar la funcin objetivo de manera paralela hacia la izquierda de la regin factible

Ejemplo 11


hasta alcanzar el ltimo punto de la misma con la funcin, como se muestra en la Figura 2.11.

Figura2.11. Desplazamientodelafuncinobjetivosobrelareginfactibleconescuadras.

El ltimo punto que se toca de la regin factible con este desplazamiento es (0,0). Entonces, el punto ptimo del modelo es (0,0), lo cual quiere decir que el valor de las variables de decisin son 1 0x = y 2 0x = ; con un valor mnimo de 0.Z = El resultado de este modelo es de tipo didctico; sin embargo, se resolvern modelos con resultados diferentes.

Una forma analtica de encontrar el punto ptimo de un modelo PL de dos variables proviene de aplicar un teorema (el cual no se demuestra en este texto) que asegura que la solucin ptima de un problema (al maximizar o minimizar la funcin objetivo) se encuentra en uno de los vrtices de la regin factible.

Conbaseenloanterior,loquedebehacerseesidenticarlospuntosdetodoslosvrtices de la regin factible y evaluarlos en la funcin objetivo. Si el propsito es maximizar, se selecciona el punto con resultado mximo en la funcin objetivo; en caso de minimizar se escoge el punto cuyo valor en la funcin objetivo sea mnimo. Este mtodo es ms preciso por ser analtico, sin embargo, es indispensable obtener la regin factible y despus estudiar el comportamiento de los vrtices en la funcin objetivo en lugar de los desplazamientos. De cualquier forma es indispensable sealar el punto ptimo en la regin factible, como se muestra en la Figura 2.12.

Figura2.12. LafuncinobjetivodesplazadasobreelpuntoptimodeunmodeloPL.


Existen algunos casos especiales en cuanto a las posibles soluciones de modelos de programacin lineal, por ejemplo, cuando la funcin objetivo es paralela a unadelasfronterasdelareginfactiblesetieneunainnidaddesoluciones,yaque toda la frontera contiene soluciones al modelo PL.

Para concluir con la solucin grca de modelos de programacin lineal sedeben interpretar los resultados obtenidos para la implantacin de la solucin. Paramostrartodoelprocesorelacionadoconelmtodogrco,retomaremoselejemplo 2 y su desarrollo completo.

Una empresa comercializa dos tipos de viaje en globo aerosttico, uno llamado de lujo y el segundo llamado econmico a un precio de $3,000.00 y $2,000.00 respectivamente. Saben que en un da slo pueden vender a lo ms 6 viajes de cualquier tipo, debido a que tienen prohibido volar de noche por razones de seguridad. Cada viaje de lujo requiere de tres cilindros de gas y cada viaje econmico slo dos cilindros; la empresa cuenta con 12 cilindros de gas en total. Con esta informacin se desea conocer la combinacin ptima de viajes necesaria para maximizar los ingresos de la empresa.

Sedenenlasvariablesdedecisin:



Se establece el modelo PL:

3000 2000Max Z x y= + () Sujeto a

6x y+ (1) Cantidad de viajes vendidos en un da. 3 2 12x y+ (2) Cantidad de cilindros disponibles para los viajes. , 0x y (3) Condicin de no negatividad (CNN).

Ejemplo 12


La regin factible asociada a este modelo con la funcin objetivo desplazada hacia la derecha de la regin se ve como:

En este caso la funcin objetivo es paralela a una de las fronteras que contiene un punto ptimo, es decir, se tienen infinidad de soluciones; sin embargo, debe notarse que el problema de la comercializacin de globos obedece a que las variables de solucin tengan un valor entero, ya que no se puede vender una fraccin de viaje, porlotantosepuedenidenticartrespuntossolucinparaesteproblemaqueson(0,6), (2,3) y (4,0); es decir, se requiere vender slo seis viajes econmicos, o dos viajes de lujo y tres econmicos, o slo cuatro viajes de lujo para tener un ingreso mximo de $12,000.00Z = para los tres casos; por lo que la implantacin de la solucin puede ser cualquiera de las tres presentadas.

2.2.4. Anlisisgrcodesensibilidad

Debido a que los sistemas con los que se trabaja son dinmicos y no estticos, es necesario realizar un anlisis de sensibilidad para conocer cmo se afecta la solucinaunmodelocuandosemodicanloscoecientesdelafuncinobjetivoo las cantidades limitantes del modelo.

Cambio en los coecientes de la funcin objetivoLoscoecientesdelafuncinobjetivorepresentanlautilidadocostounitariodecadauno de los bienes o servicios, y por esta razn un cambio en alguno de estos datos representarunamodicacinalafuncinobjetivo,paralocualseconsideraquelasolucin se mantendr en el mismo vrtice mientras la pendiente m de la recta asociada a la funcin objetivo sea tal que

i jR Rm m m ; siendo

iRm y

jRm las pendientes de

las fronteras de la regin factible cuya interseccin forma el vrtice solucin. Como se muestra en la Figura 2.13. donde las curvas punteadas indican el cambio que la pendientedelafuncinobjetivopuedetenersinmodicarlasolucindelproblema.


Figura2.13. Rangodemovimientodelapendientemdelafuncinobjetivosincambiarlasolucin.

En la Figura 2.13. se observa que si la pendiente de la funcin objetivo cambia ms que la diferencia

2 1R Rm m , se tendr una solucin diferente como se ve en

la Figura 2.14. para el mismo ejemplo.

Figura2.14. Cambiodelapendientemdelafuncinobjetivoqueocasionasemodiquelasolucin.

AlcompararlasFiguras2.13.y2.14.puedeidenticarselamismareginfactibleenambasguras,peroconladiferenciaenelvalordelapendientedelafuncinobjetivo, lo que provoca que la solucin al modelo haya cambiado del vrtice central al vrtice inferior de la misma regin factible.

PorloanteriorseconcluyequelasolucindeunmodelodePLpuedemodicarsesiloscambiosrealizadosenloscoecientesdelafuncinobjetivoafectanelvalordelapendientedelarectaasociadaaestafuncin,detalformaquesemodiqueel valor de la pendiente a otro valor diferente y que este cambio sobrepase el rango que las pendientes del vrtice solucin le permiten.

Cambio en las cantidades limitantes

Cuando cambia alguna de las cantidades limitantes, la regin factible cambia su tamao, por lo que el vrtice solucin puede cambiar. Al realizar el anlisis debemos cuidar que el cambio que se haga no provoque una regin no factible.


Para mostrar el efecto de un cambio en las cantidades limitantes del modelo se presenta el siguiente ejemplo.

Sea el modelo:

75 45Max Z x y= + ()

Sujeto a

6 4 24x y+ (1)

3 4 18x y+

(2)

CNN , 0x y (3)La regin factible asociada a este modelo es:

Entonces, si se aplica un cambio en una de las restricciones, por ejemplo el cambio de 6 4 24x y+ a 6 4 30x y+

Se genera un aumento en la regin factible y, como cambian los vrtices, tambin semodicalaregin,locualseindicaconlapartesombreadadelaguracuyafrontera es la restriccin 2R . De manera general se puede decir que pequeos incrementos en las cantidades limitantes de las restricciones generan pequeos aumentos en la regin factible y viceversa con los decrementos.

Ejemplo 13


2.3. Desigualdades lineales: Casos de inversin y distribucin

Como una aplicacin del modelo de programacin lineal se encuentran los casos de inversin y distribucin, los cuales generalmente estn sujetos a mltiples restricciones que dependen de diversos contextos, desde reservas de capital hasta cantidad de orgenes y destinos de un problema de distribucin.

El problema de un caso de inversin puede ser la seleccin ptima de los instrumentos nancieros que conforman un portafolio de inversiones dondelas restricciones quizs estn asociadas al riesgo de cada instrumento, a la tasa de rendimientos o al plazo de que cada uno maneje. Otro problema til en losnegociospuedeser la seleccindediferentes fuentesdenanciamiento,ya que generalmente los negocios requieren buscar recursos de varias fuentes y por esta razn la toma de decisiones debe apoyarse en informacin cuantitativa proveniente de la solucin de modelos matemticos. Las variables de decisin seran la cantidad de unidades que deben ser nanciadas por cada opcin denanciaciny lanalidadesmaximizar los ingresosominimizar lospagosdelnanciamiento.

Para realizar una inversin se puede seleccionar entre cinco instrumentos diferentes clasicados con nivel de riesgo 1, 2 y 3, donde 1 es el nivel msbajo y 3 el ms alto. El nivel de riesgo de cada instrumento se muestra en la siguiente tabla:

Instrumento Nivel de riesgo Costo unitario Rendimiento

A 1 2 5%

B 2 7 8%

C 2 3 6%

D 3 10 12%

E 3 14 15%

La empresa tiene una poltica de no manejar riesgos combinados de ms de siete unidades, es decir, que la suma del nivel de riesgo de todos los tipos de instrumentos adquiridos sea mayor a este riesgo combinado. Adems, consideran que el capital mximo disponible es de $126,472.00.

Ejemplo 14


Para este caso de inversin es claro que las limitantes son el riesgo combinado de 7 unidades y el capital disponible de $126,472.00 y estas limitantes generarn dos desigualdades de la forma: expresin del riesgo combinado 7 y expresin del costo total inversin 126,472 .Enesteejemplosloseespecicalarelacindeloscasosdeinversin y las desigualdades lineales, el modelo completo se obtendr ms adelante.

Otro problema til y prctico es el relacionado con la distribucin de productos, ya que toda actividad comercial est relacionada con el transporte de materia prima, insumosdeocina,distribucindeproductos,transportededesechosdeprocesose incluso transporte de personal. En este caso, las variables de decisin seran la cantidad de productos a distribuir de cada origen a cada uno de los diferentes destinos, con el propsito de minimizar los costos de transporte de toda la operacin.

Una distribuidora de cartuchos para impresora que da servicio a domicilio tiene dosocinasytresclientesubicadosendiferentespuntosdelaciudad.Loscostosunitarios de transporte se muestran en la siguiente tabla:

Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3

Ocina1 4 3 8Ocina2 2 5 5

Encadaocinatienen10y20cartuchosdeimpresorarespectivamenteycadacliente requiere al menos 7 cartuchos. Con esta informacin se desea conocer la combinacin ptima de envos para tener un costo de distribucin mnimo.

Para este planteamiento se observa que las desigualdades asociadas a las restricciones del modelo pueden plantearse como 21 nmero de cartuchos enviados 30, que en realidad son dos desigualdades.

En general, los problemas de inversin y distribucin se relacionan con las desigualdades de manera tal que se generan las restricciones de un modelo, es decir, cada una de las condiciones que un problema debe cumplir.

De manera prctica, los modelos que representan casos de inversin y distribucin cuentan con ms de dos variables, por lo que ms adelante se resuelven ejemplos de este tipo de problemas.

Ejemplo 15


2.4. Aplicaciones de la optimizacin en la toma de decisiones en los negocios

En esta seccin se muestra cmo la optimizacin puede aportar informacin vlidayconableparasustentarunatomadedecisin;esimportanteremarcarque,andecuentas,elgerenteoadministradoresquientomarladecisin;sinembargo, si se fundamenta esta decisin en resultados cuantitativos se estar en posicin de generar mejores resultados en un negocio.

Al manejar el trmino negociopodramospensarendiferentesdeniciones,yparaevitarconfusionessepresentalasiguientedenicin:Se entiende por negocio: cualquier ocupacin, quehacer o trabajo que sea lucrativo o de inters.

De acuerdo con lo anterior: cualquier planteamiento referido a alguna actividad de produccin, transformacin, distribucin o en general que se apegue a la denicindenegocioseconsideracomotal;dentrodeestasactividadestambinse tienen negocios particularmente especcos, como los casos de inversin ydistribucin.

Se cuenta con un capital de $1,125,000.00 disponible para invertir en bienes races y en instrumentos de inversin. El rendimiento de los bienes races es de 4% mientras que para los instrumentos de inversin es de 12%. La institucin que manejar la inversin requiere que para invertir en bienes races se tenga un importe mnimo de $500,000.00 y para los instrumentos de inversin un importe mximo de $750,000.00, debido a las reglas de sociedades de inversin.

Como responsable de tomar la decisin en este negocio, tienes que indicar la combinacin ptima de cantidad a invertir en los bienes races y en los instrumentos de inversin para maximizar las utilidades por concepto de rendimientos de inversin.

Pararesolverestecasodeinversinutilizaremoselmtodogrco.

Denicin 2.4.1.

Ejemplo 16


Sedenenlasvariablesdedecisincomo:

x = Cantidad a invertir en bienes races.

y = Cantidad a invertir en instrumentos de inversin.

Por lo tanto, el modelo de programacin lineal asociado al caso de inversin es:

0.04 0.12Max Z x y= + () Funcin de la utilidad de los rendimientos. Sujeto a

1125000x y+ (1) Restriccin del capital disponible. 500000x (2) Restriccin del importe mnimo de inversin en bienes races.

750000y (3) Restriccin del importe mximo de inversin en instrumentos. CNN , 0x y (4)Es importante notar que en la funcin objetivo se utilizaron los valores en decimales correspondientes a los porcentajes dados como rendimientos. Como regla general no se utilizan porcentajes en ninguna ecuacin.

La regin factible del modelo matemtico del caso de inversin se obtiene gracandolasrestriccionesdelmodelo.Lospuntosparagracarlarestriccionesson:

1125000x y+ (1) Si 0x = , entonces 0 1125000y+ ; 1125000y = , lo cual genera el punto ( )0,1125000 . Si 0y = , entonces 0 1125000x + ; 1125000x = , lo cual genera el punto ( )1125000,0 . 500000x (2) Esta ecuacin representa una recta vertical en 500000.x = 750000y (3) Esta ecuacin representa una recta horizontal en 750000.y =


Entonces,lagrcadelareginfactible(R)es:

EnlagrcasehanidenticadolosvrticesdelareginfactibleconlasletrasA,B y C para un mejor manejo de la informacin. Las coordenadas de los vrtices AyCse leyerondirectamentede lagrca.Paraobtener lascoordenadasdelvrtice B, como en el punto donde se cruzan las rectas, las restricciones tienen las mismas coordenadas, se igualaron las ecuaciones de las restricciones R1 y R2 y se resolvi el sistema de ecuaciones.

1125000x y+ = (1)

500000x = (2)Para resolver este sistema, nicamente se sustituye el valor de x en la ecuacin (2) y se obtiene el valor de y, con estos dos valores se generan las coordenadas del vrtice B (500000, 625000).

En este ejemplo evaluaremos los vrtices de la regin factible en la funcin objetivo, para posteriormente elegir el punto que genere el valor mximo en la funcin objetivo como solucin al problema.

Los vrtices de la regin factible y su evolucin en la funcin objetivo pueden expresarse como sigue:

x=500000

y=750000

x + y =1125000

A (500000, 0); evaluado en ( )(500000,0) 0.04(500000) .12 0 20000Z = + = B (500000, 625000); evaluado en ( )(500000,625000) 0.04(500000) .12 625000 95000Z = + = C (1125000,0); evaluado en ( )(1125000,0) 0.04(1125000) .12 0 45000Z = + =


Con el vrtice B se obtiene el mayor valor de la funcin objetivo Z, por lo que se indica, en la regin factible, este vrtice como el punto ptimo del problema.

La conclusin de este problema consiste en interpretar la solucin obtenida y sta puede ser de la forma:

Se debe invertir $500,000.00 en bienes races y $625,000.00 en instrumentos de inversin, para obtener una utilidad mxima por concepto de rendimientos de $95,000.00.

Otro caso importante en los negocios ser cuando se deba decidir entre diferentes fuentesdenanciamiento,porestoen la siguiente seccin seproponenvariosejercicios para su solucin.


Ejercicios

Con el n de practicar todos los pasos del mtodo grco, se han propuestolos siguientes ejercicios, desde los pasos bsicos del mtodo para gracardesigualdades hasta la completa aplicacin del mtodo e interpretacin de los resultados. Grcaderectasydesigualdades

1. Obtnlagrcadelassiguientesrectas: a) La recta que pasa por los puntos (3,4) y (2,1). b) La recta que pasa por los puntos (0,5) y (7,0). c) Culeslagrcadelaecuacin 1 26 10 12x x = ? d)Enelprimercuadrantedelplanocartesianogracalarecta 1 22 6 18x x+ = . e) Culeslagrcade3 10 30x y+ > ? f) EnelcuadranteIdelplanocartesianogracaladesigualdad21 7 21x y+ .Regin factible

1. GracalareginfactibleasociadaacadaunodelossiguientesmodelosPL: a) 5 3Max Z x y= + Sujeto a

2 18y 2 3 12x y+ , 0x y b) 5 3Max Z x y= + Sujeto a

2 18y 2 3 12x y+ , 0x y c) 16 10Max Z x y= + Sujeto a

5 2 6x y+ 3 4 16x y+ 2 1x , 0x y


d) 1 220 16Min Z x x= + Sujeto a

1 22 9x x+ 1 22 4 8x x+ 1 2, 0x x e) 1 29 6Min Z x x= + Sujeto a

2 6x 1 22 4 18x x+ 1 3x 1 2, 0x x Mtodogrco

1. ResuelvelossiguientesmodelosPLconelmtodogrco. a) 5 3Max Z x y= + Sujeto a

2 10y 2 3 18x y+ , 0x y b) 5 3Max Z x y= + Sujeto a

2 4y 2 2 24x y+ 5 100x y+ , 0x y c) 8 5Max Z x y= + Sujeto a

2 5 6x y+ 4 3 16x y+ 2 3x , 0x y


d) 1 215 12Min Z x x= + Sujeto a

1 22 6x x+ 1 22 4 8x x+ 1 2, 0x x e) 1 210 6Min Z x x= + Sujeto a

2 5x 1 22 4 18x x+ 1 3x 1 2, 0x x 2. Una empresa arma y vende dos clases de autos, uno de lujo y otro estndar; cada

auto requiere un proceso diferente de fabricacin. El auto de lujo requiere 20 horas de armado, 2 horas en equipamiento y produce una utilidad de $100,000.00. El auto estndar requiere de 10 horas de armado, 1 hora en equipamiento y produce una utilidad de $65,000.00. Se dispone de 1,000 horas para armado y 400 para equipamiento. Se ha pronosticado que la demanda para el modelo estndar es a lo ms de 100 autos. Cul es el nivel ptimo de produccin?

3. Se desea vender dos clases de acciones de una empresa de manera telefnica y con apoyo de computadoras. Las acciones son de dos tipos, A y B; cada accin tipo A producir una ganancia de $8.00, mientras que una de tipo B generar una ganancia de $3.00. Para vender una accin tipo A se necesitan 2 minutos por telfono y 1 minuto en la computadora. La accin tipo B requiere un minuto en el telfono y 3 minutos en la computadora. Hay dos horas disponibles en el telfono y cuatro horas de computadora. Suponiendo que todas las llamadas que se realizan concluyen con una venta y que a lo ms se pueden vender 150 acciones tipo B, determine la combinacin ptima de acciones vendidas que maximicen la utilidad.

4. Una agencia nanciera maneja $30 millones para nanciamiento depequeas y medianas empresas. Conocen que la tasa anual de recuperacin para las pequeas empresas es de 8% y de 10% para las medianas. El comit tcnicodictaminque lacantidad totaldenanciamientoa lasmedianasempresasdebeseralmenosdetresveceslacantidadtotaldenanciamientosde pequeas empresas. Cul es el modelo de programacin lineal que indica la cantidad invertida en cada tipodenanciamientoque la agencia deberealizar para obtener el mximo monto de recuperacin?


5. Resuelveconelmtodogrcoelsiguientemodelo:

min 1 212 27Z x x= + ()

Sujeto a:

1 230x x+ (1)

1 220x x+ (2)

1 2, 0x x CNN

Autoevaluacin

1. Es un modelo de uso comn en la investigacin de operacin:

a) Modelo de programacin lineal. b) Modelo a escala. c) Modelo representativo. d) Modelo cuadrtico.

2. De cuntas variables son los problemas que se pueden resolver con el mtodo grfico?

a) 2 y 3 variables. b) Ms de 2 variables. c) 2 variables. d) 3 variables.

3. Cul es la solucin de una desigualdad lineal?

a) Un punto fuera del plano cartesiano. b) Una regin del plano cartesiano. c) Los puntos de una lnea recta. d) El origen.

4. Es la zona donde se satisfacen todas las restricciones de un modelo PL.

a) Regin solucin de una desigualdad. b) Zona de convergencia. c) Zona no factible. d) Regin factible.


5. Si la regin factible de un problema de maximizacin es no acotada:

a) No hay solucin. b) La solucin es ptima pero no factible. c) La solucin es factible pero no ptima. d)Hayinnidaddesoluciones. 6. Cuando se tiene un polgono como regin factible se dice que la regin es:

a) No factible. b) Inexistente. c) No acotada. d) Acotada.

7. El punto ptimo de un modelo de programacin lineal de minimizacin es aquel que:

a) Evaluado en la funcin objetivo genera el valor mnimo posible. b) Evaluado en todas las restricciones es mnimo. c) Evaluado en la funcin objetivo genera el valor mximo posible. d) Evaluado en la condicin de no negatividad es mnimo.

8. Son las variables con las que se expresan la funcin objetivo y las restricciones de un modelo de PL.

a) Variables aleatorias. b) Variables de decisin. c) Variables no controlables. d) Variables discretas.

9. Un modelo PL tiene como una de sus caractersticas que todas las ecuaciones que los componen son de orden:

a) Lineal. b) Exponencial. c) Cuadrtico. d) Cero.


Respuestas a los ejercicios

Grcaderectasydesigualdades

1. Obtnlagrcadelassiguientesrectas: a)

b)

c)

d)

e) La regin sombreada es la regin solucin y no incluye la recta, ya que es una desigualdad estrictamente mayor que (>).


f) La regin sombreada es la regin solucin y s incluye la recta, ya que es una desigualdad ( ).

Regin factible

1. GracalareginfactibleasociadaacadaunodelossiguientesmodelosPL: a)

b) Es una regin factible no acotada.

c)

d)Esunareginfactiblenoacotadaqueseextiendeindenidamentehaciala derecha del plano.


e)

Mtodogrco

1. ResuelvelossiguientesmodelosPLconelmtodogrco. a) El punto ptimo es (9,0) con Z

max = 45.

b) El punto ptimo es B( )10,2 con Zmax = 56 . c) El punto ptimo es D( )4,0 con Zmax = 32 . d) El punto ptimo es ( )0,2 con Zmin = 24. e) El punto ptimo es B( )3,3 con Zmin = 48. 2. :x = Cantidad de autos de lujo a armar y vender.

:y = Cantidad de autos estndar a armar y vender.

max 100000 65000Z x y= + () Sujeto a:

20 10 1000x y+ (1) Restriccin de las horas disponibles para armado. 2 400x y+ (2) Restriccin de las horas disponibles para equipamiento.

100y (3) Restriccin de la demanda mxima de autos tipo estndar.

, 0x y CNN.

Delagrcadelareginfactibleseobtienequeelpuntoptimoeselvrtice

B(0,100) con max 6500000Z = , lo cual quiere decir que se deben armar y


vender 100 autos estndar, ninguno de lujo, para tener una utilidad mxima de $6,500,000.00

3. :x = Cantidad de acciones tipo A para vender.

:y = Cantidad de acciones tipo B para vender.

max 8 3Z x y= + () Sujeto a:

2 120x y+ (1) Restriccin de las horas disponibles para hablar por telfono.

3 240x y+ (2) Restriccin de las horas disponibles de cmputo. 150y (3) Restriccin de la venta mxima de acciones tipo B.

, 0x y CNN.

DelagrcadelareginfactibleseobtienequeelpuntoptimoeselvrticeD(80,0) con max 640Z = , lo cual quiere decir que se deben vender 80 acciones tipo A y ninguna accin tipo B, al menos para las condiciones que se tienen.

4. 1 :x = Cantidad invertida en pequeas empresas.

2 :x = Cantidad invertida en medianas empresas.

max 1 20.08 0.1Z x x= + () Sujeto a:

1 2 30 000 000x x+ (1) Restriccin del capital para financiamiento. 2 13x x (2) Restriccin propuesta por el comit tcnico. 1 2, 0x x CNN.


El punto ptimo es el vrtice B(22.5,7.5) con max 2.55Z = , pero como la escala delagrcaestenmilloneslainterpretacines: Se deben invertir $22,500,000.00 en medianas empresas y $7,500,000.00 en

pequeas empresas para obtener un monto mximo de recuperacin de $2,550,000.00.

5. Como no existe una regin factible para el modelo, entonces el problema no tiene solucin.

Respuestas a la autoevaluacin

1. a) 2. c) 3. b) 4. d) 5. d) 6. d) 7. a) 8. b) 9. a)

2 Modelos de Optimización Matenegocios_unidad 2

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