Mecánica de Fractura Lineal Elástica

2-1

2. MECANICA DE FRACTURA LINEAL ELASTICA 2.1 Criterio de Griffith

La piedra angular sobre la cual descansa la mecánica de fractura lineal elástica (MFLE) (y en buena medida también la mecánica de fractura elasto – plástica), es el llamado Criterio de Griffith. Este criterio nos dice que en un cuerpo sometido a una condición arbitraria de carga, que se comporte de manera totalmente elástica y que contenga una fisura, la propagación de la fisura comenzará cuando la disminución de energía potencial elástica que experimente el cuerpo por unidad de espesor y por unidad de longitud de avance del vértice de la fisura, sea igual o mayor al incremento de energía superficial por unidad de espesor y por unidad de longitud de avance de la fisura que se producirá como consecuencia de la creación de las nuevas superficies debidas a dicha propagación.

Para encontrar una expresión matemática de este criterio,

consideraremos el caso de una placa de material de espesor unitario y dimensiones planares lo suficientemente grandes como para que puedan ser consideradas infinitas, sometida a una tensión σ remota uniforme y conteniendo una fisura pasante de longitud 2a, como se muestra esquemáticamente en la Fig. 2.1.

Para calcular la disminución de energía potencial elástica en el cuerpo

como consecuencia de la extensión de la fisura, comencemos calculando el trabajo necesario para producir un elemento de longitud dx de la fisura, como se muestra en la Fig. 2.2.

Fig. 2.1 Fisura pasante en placa infinita sometida a una tensión remota uniforme

Mecánica de Fractura Lineal Elástica

2-2

Si llamamos σyy a la tensión que actúa sobre la superficie del elemento dx de la fisura en la dirección vertical, el trabajo para la producción del elemento de fisura de altura y, será

Ahora bien, como asumimos comportamiento elástico del material, entre y

= 0 e y = y, la tensión σyy variará linealmente entre σyy = σ y σyy = 0 (este último valor es nulo ya que asumimos que sobre el elemento de superficie no actúa ninguna fuerza una vez alcanzada su posición de equilibrio) como se muestra en la Fig. 2.3.

Fig. 2.2 Fisura elíptica pasante

σσσσyy

y

σσσσ

Fig. 2. 3

σ σ= =� �0 0

y y

yy yydU dx dy dx dy (2. 1)

Mecánica de Fractura Lineal Elástica

2-3

De manera que la integral en la (2.1) estará dada por el área del triángulo de la Fig. 2.3, es decir

El trabajo necesario para producir toda la semifisura superior será entonces

y para la fisura completa resulta

A fin de eliminar b de esta expresión, tengamos en cuenta que es posible demostrar que b = 2σa/E, donde E es el módulo de Young del material, de manera que resulta

Ahora bien, como hemos asumido que el sistema es puramente elástico, el trabajo realizado para lograr la extensión de la fisura es idéntico a la disminución de energía potencial elástica en el cuerpo durante esta propagación, de manera que la reducción de energía potencial elástica por unidad de espesor y por unidad de longitud de fisura, resulta

De acuerdo con el criterio de Griffith, la fisura comenzará su propagación

cuando esta disminución de energía sea igual al incremento de energía requerido por la creación de las nuevas superficies de fisura, es decir cuando se cumple

σ=2

dx ydU

2 4a a

a a

y dx abU dU

σπσ− −

= = =� � (2. 2)

22ab

Uσπ=

2 2

2a

UE

σ π=

2 2 22 ( / 2 )(2 )

d U dU d a E ad a da da E

σ π σ π= = =

Mecánica de Fractura Lineal Elástica

2-4

donde γSup es la energía superficial por unidad de área de superficie o tensión superficial del material considerado (en el medio en que se encuentre), y 4aγSup representa entonces la energía superficial total de la fisura. La condición de propagación está dada entonces por

Si bien la (2.3) describe adecuadamente la condición de propagación de

fisuras en materiales perfectamente frágiles, tales como el vidrio, cuando la propagación de la fisura está acompañada de trabajo plástico durante el avance del vértice, resulta necesario modificar la ecuación anterior para tener en cuenta el sumidero de energía que este trabajo plástico representa. De modo que se llama γPlást. al trabajo plástico realizado durante la propagación del vértice de la fisura por unidad de área y por unidad de espesor, la (2.3) se modifica como

Es habitual en Mecánica de Fractura designar a la disminución de

energía potencial elástica por unidad de longitud de extensión de fisura y por unidad de espesor como Fuerza Impulsora y denotarla con la letra G. Asimismo, el trabajo necesario para propagar el vértice de la fisura por unidad de longitud y por unidad de espesor, se suele denominar Resistencia a la Propagación (o simplemente Resistencia) y denotarlo con la letra R. De manera que haciendo la identificación

la condición de propagación resulta

(4 ) (2 )2

(2 )Sup Sup

Sup

d a d ad a da

γ γγ= =

2

2 Supa

Eσ π γ= (2. 3)

2

2( )Sup Plásta

Eσ π γ γ= + (2. 4)

2( )Sup Plást

dUG

daRγ γ

=

+ =

Mecánica de Fractura Lineal Elástica

2-5

Es necesario destacar que si bien la (2.5) tiene validez completamente

general, la (2.4) es estrictamente válida para el caso de un fisura pasante en una placa de dimensiones planares suficientemente grandes como para ser considerada infinita. De lo contrario, la expresión hallada para G = dU/da no será en general válida. De todos modos, en cuerpos fisurados sometidos a una tensión remota uniforme σ, se encuentra que la forma general de la fuerza impulsora G, es siempre

donde a es la longitud de fisura, y b, W, .... etc, longitudes características del cuerpo (por ejemplo la longitud del ligamento no fisurado) e Y(a/W, b/W,....) una función que depende exclusivamente de la geometría del cuerpo fisurado incluyendo por supuesto la forma de la propia fisura. 2.2 Modos de solicitación. Criterio de Irwin de la Intensidad

de Tensiones. Tenacidad a la fractura. Existen tres formas básicas en las que un cuerpo fisurado puede ser

solicitado para provocar un avance de la fisura. Estos modos son los indicados en la Fig. 2.1 a continuación.

De manera que el análisis de la placa fisurada hecho hasta aquí se refiere al Modo I de solicitación.

G R= (2. 5)

22( , ,.....)

a b aG Y

W W Eσ π= (2. 6)

Fig. 2.4 Modos de solicitación de una fisura

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2-6

Irwin resolvió el problema del campo elástico de tensiones y de deformaciones en el vértice de una fisura. La solución de Irwin es:

Las expresiones de los desplazamientos para el estado plano de deformaciones son

donde M es el Módulo de Corte definido por M = E/2(1 + υ), siendo υ el Módulo de Poisson del material. El factor KI que aparece en todas las ecuaciones, es el denominado Factor de Intensidad de Tensiones y su forma explícita depende la geometría particular del cuerpo fisurado y de la configuración de las cargas aplicadas. En particular, para el caso de fisura pasante en placa infinita, adopta la forma

(2. 7)

1/ 2

1/ 2

1/ 2

zz

3(1 ...)

(2 ) 2 2 23

(1 ...)(2 ) 2 2 2

3...

(2 ) 2 2 20 para estado plano de tensiones

( ) para estado plano de deformaciones

Ixx

Iyy

Ixy

zz

xx yy

KCos Sen Sen

rK

Cos Sen Senr

KCos Sen Cos

r

θ θ θσπ

θ θ θσπ

θ θ θσπ

σσ ν σ σ

= − +

= + +

= +

== +

1/ 2 2

1/ 2 2

( ) (1 2 ) ...2 2 2

( ) (2 2 ) ...2 2 2

Ix

Iy

K ru Cos Sen

MK r

u Sen CosM

θ θνπ

θ θνπ

= − + +

= − + +(2. 8)

Mecánica de Fractura Lineal Elástica

2-7

Es importante destacar que las (2.7) y (2.8) son sólo válidas en un entorno del vértice de la fisura, es decir cuando se cumple que r/a << 1, y por lo tanto no describen el campo de tensiones remoto que es simplemente σyy = σ.

Es ilustrativo calcular ahora el trabajo necesario para producir un incremento unitario de longitud de fisura y por unidad de espesor empleando las tensiones y desplazamientos locales en el vértice en lugar de las tensiones remotas como se ha hecho anteriormente. Para ello consideremos la situación ilustrada en la Fig. 2.5 donde se muestra el vértice de la fisura antes y después de una propagación ∆a.

El trabajo realizado por unidad de longitud de extensión de fisura y por

unidad de espesor, que es igual a la fuerza impulsora G, está entonces dado por

donde según las (2.7) y (2.8), es

1/( ) aIK aσ π= (2. 9)

'0

0

22

a r x r x a xyy yuG dx

aθ θ π

σ∆ = = =∆ −= ==

∆ � (2. 10)

1/ 20 (2 )

Ir xyy

Kxθ

σπ=

==

Fig. 2.5 Extensión de fisura elíptica

Mecánica de Fractura Lineal Elástica

2-8

y

Introduciendo estas expresiones en (2.10), resulta

Teniendo en cuenta la (2.9), vemos que la (2.11) resulta idéntica al valor ya obtenido para la fuerza impulsora G = dU/da = σ2πa/E, excepto por el factor 1/(1 - ν)2. Esta pequeña discrepancia se debe a que en el análisis realizado en base a las tensiones remotas, se ha considerado el caso de tensión plana, mientras que la (2.11) fue obtenida para una situación de deformación plana. De todos modos, la diferencia es pequeña dado que para la mayoría de los materiales metálicos es 1/(1 - ν)2 ≅ 1. En cualquier caso sin embargo, podemos escribir en general

La (2.12) nos permite expresar ahora el Criterio de Griffith en términos

del factor de intensidad de tensiones KI diciendo que la fisura se propagará cuando el factor de intensidad de tensiones en su vértice alcance un valor crítico

donde KIC es un parámetro que depende del material y GC constituye la fuerza impulsora crítica también dependiente del material. De este modo, la condición para la extensión de la fisura se alcanza cuando se cumple que

1/ 2 1/ 2'

2( ) (2 2 ) (1 )( ) (2 2 )

2 2I I

r x a xy

K Ka x a xu

M Eθ πν ν ν

π π= =∆ −=

∆ − ∆ −= − = + −

1/ 21/ 2

0

2 2 2 21/ 2

0

21(1 )( ) (2 2 )

(2 ) 2

(1 ) (1 )2( )

aI I

aI I

K K a xG dx

a x E

K Ka xdx

a E x E

ν νπ π

ν νπ

∆

∆

∆ −= + − =∆

− −∆ −= =∆

�

�(2. 11)

2

2

en tensión plana donde '

' /(1 ) en deformación planaI

EKG E

E E ν�

= = �−�

(2. 12)

'IC CK G E= (2.13)

Mecánica de Fractura Lineal Elástica

2-9

La (2.14) es muy útil porque no depende de la expresión particular que

adopte el factor de intensidad de tensiones, que en general tomará la forma

siendo Y(a/W, b/W,....) como ya se ha visto, una función que depende exclusivamente de la geometría del cuerpo fisurado incluyendo la forma de la propia fisura. 2.3 Límite de validez de la MFLE. Corrección de Irwin por

plasticidad.

Las Ecs. (2.7) indican que las tensiones locales en las adyacencias del vértice de una fisura se hacen infinitamente grandes cuando nos acercamos al vértice de aquella. Esta singularidad en el campo de tensiones se debe al hecho de haber considerado en la derivación de las (2.7) un material elástico ideal. Ningún material real tolera tensiones por encima de un dado valor produciéndose entonces la rotura o la deformación plástica del mismo. En particular, si ignoramos por simplicidad el estado triaxial, podemos estimar que el material en el vértice de la fisura entrará en fluencia cuando se cumpla

donde σY es la tensión de fluencia uniaxial del material.

De manera que en una primera aproximación, el perfil de las tensiones σYY asumiendo un material elasto-plástico ideal, será el indicado en la Fig. 2.6 donde se ha indicado una zona plástica en el vértice de la fisura.

La extensión rP de la zona plástica surge inmediatamente si tenemos en cuenta que debe cumplirse que

de manera que resulta

I ICK K= (2.14)

1/ 2( / , / , ...) ( )IK Y a W b W aσ π= (2.15)

yy Yσ σ=

1/ 20 (2 )p

Ir x ryy y

p

Krθ

σ σπ= =

== =

Mecánica de Fractura Lineal Elástica

2-10

Si se tiene en cuenta la triaxialidad del estado de tensiones, es necesario aplicar algún criterio apropiado de fluencia tal como el de Von Mises o el de Tresca. En tal caso, es posible demostrar que resulta

Dado que sobre las superficies laterales de la pieza las tensiones normales son nulas, en el material adyacente al vértice de la fisura cercano a las superficies tendremos siempre un estado plano de tensiones debido a la influencia de estas superficies libres, mientras que en la región alejada de las superficies existirá un estado triaxial, por lo que la zona plástica adoptará en general una forma como la indicada esquemáticamente en la Fig. 2.7.

21

2I

py

Kr

π σ� �

= � �� �

(2.16)

21

6I

py

Kr

π σ� �

= � �� �

(2.17)

Fig. 2.6 Zona plástica en vértice de fisura

Fig. 2.7 Forma de la zona plástica en el vértice de fisura

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2-11

Dado que la existencia de la zona plástica en el vértice de la fisura pone un límite a la validez de la hipótesis de comportamiento elástico ideal, los resultados hasta aquí obtenidos exigen para su validez que se cumpla que el tamaño de zona plástica rp sea pequeño comparado con las dimensiones características del cuerpo fisurado en consideración. Esta condición de conoce como de fluencia en pequeña escala, y se alcanza cuando se cumple

Experimentalmente se ha determinado que la fractotenacidad medida se hace independiente del espesor cuando se cumple aproximadamente que

Se reserva en general la notación KIC al valor de fractotenacidad cuando este se hace independiente del espesor, como se indica en la Fig. 2.8 para el caso de un acero de SAE 4340, con σy = 1850 MPa. La independencia de KIC del espesor nos indica que se ha alcanzado la condición de fluencia en pequeña escala y el estado plano de deformaciones en el vértice de la fisura. Si tenemos en cuenta la (2.17) y (2.19), surge inmediatamente que para asegurar la condición de fluencia en pequeña escala (deformación plana) debe cumplirse que

Fig. 2.8 Variación de la fractotenacidad en función del espesor

, , , , ...pr B W a W a<< − (2.18)

1( , , , ,...)

50pr B W a W a≅ − (2.19)

Mecánica de Fractura Lineal Elástica

2-12

George Irwin demostró que una fisura real con una zona plástica pequeña en su vértice, puede ser reemplazada por un fisura ficticia sin zona plástica, pero de longitud igual a la longitud de la fisura real más el tamaño de la zona plástica, de manera que

donde a* es la longitud de fisura corregida por plasticidad. De manera que el factor de intensidad de tensiones corregido por plasticidad, resulta

Dado que rp es a su vez una función de KI, teniendo en cuenta las (2.21) y (2.22), surge que en esta última KI está dado en forma implícita. La (2..21) expresa lo que se conoce como corrección de Irwin por plasticidad. Es sin embargo importante destacar que esta corrección es válida únicamente mientras se mantenga una condición de fluencia en pequeña escala.

2

, , , ,... 2.5 IC

y

KB W a W a

σ� �

− ≥ � �� �

(2.20)

*Pa a r= + (2.21)

* * 1/ 2( / , / , ...) ( )IK Y a W b W aσ π= (2.22)