Inters Compuesto

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2.1 DEFINICIN

Es el proceso mediante el cual el inters generado por un capital, en una unidad de tiempo, se

capitaliza; es decir, se adiciona al capital, el mismo que genera un nuevo inters en la

siguiente unidad de tiempo y as sucesivamente durante el horizonte temporal.

El inters compuesto es una sucesin de operaciones a inters simple, en la que el monto final

de una de ellas constituye el principal de la siguiente.

Al final del primer periodo de capitalizacin, el monto de una operacin a inters compuesto

coincide con el monto a inters simple; siempre y cuando sean iguales las tasas y los

principales respectivos.

2.2 FRMULAS

S = P + I ni1PS ]1) i1 [(PI n

Donde:

P: Principal, capital, valor actual o stock inicial de efectivo.

I : Inters, rdito, beneficio, utilidad, ganancia o renta.

n: Tiempo, horizonte temporal, plazo o nmero de periodos.

i : Tasa de inters compuesto o tasa efectiva de inters.

S: Monto, capital final, valor futuro o stock final de efectivo.

Observaciones

Para el buen uso de las frmulas, las unidades temporales del tiempo (n) deben expresarse de acuerdo a las unidades temporales de la tasa efectiva (i).

Dado que la tasa de inters compuesto o tasa efectiva de inters, puede referirse a diferentes plazos; se designar con las siguientes siglas:

Tasa Efectiva SIGLAS

Anual TEA

Semestral TES

Cuatrimestral TEC

Trimestral TET

Bimestral TEB

Mensual TEM

Quincenal TEQ

Diaria TED

En la frmula: niPS 1 el trmino ni1 es llamado Factor Simple de Capitalizacin Compuesto (FSC). Por lo tanto, la frmula anterior puede representarse

as:

S = P. FSC i; n

2

Inters Compuesto

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y se lee: El FSC a una tasa efectiva i de n periodos transforma una cantidad presente P en un valor futuro S .

El FSC es el monto compuesto que genera un capital de 1 unidad monetaria durante n periodos a una tasa i por periodo. Su funcin es llevar al futuro cualquier cantidad presente o traer al presente cualquier cantidad del pasado.

En la frmula: niSP 1 el trmino (1 + i)-n es llamado Factor Simple de Actualizacin Compuesto (FSA). Por lo tanto, la frmula anterior puede representarse

as:

P = S. FSA i; n

y se lee: El FSA a una tasa efectiva i de n periodos transforma una cantidad futura S en un valor presente P.

El FSA es el valor presente compuesto que genera un capital de 1 unidad monetaria,

ubicado temporalmente n periodos en el futuro y a una tasa peridica i. Su funcin es traer al presente cualquier cantidad futura o llevar al pasado cualquier cantidad presente.

2.3 DIFERENCIAS ENTRE EL INTERS SIMPLE Y EL INTERS COMPUESTO

Inters Simple Inters Compuesto

Al final de cada unidad de tiempo el inters

peridico es constante y no genera nuevos

intereses. Es decir, el incremento generado

en cada periodo siempre es la misma

cantidad.

Al final de cada unidad de tiempo el inters

peridico es variable (creciente) y genera

nuevos intereses, ya que pasa a formar parte

del capital para efecto de calcular los

intereses de los periodos posteriores. Es

decir, el inters peridico se capitaliza.

El horizonte temporal se aplica como un

factor.

El horizonte temporal se aplica como un

exponente.

El stock final o monto crece a lo largo del

tiempo en forma de progresin aritmtica y

est representado por una lnea recta.

El stock final de dinero crece a lo largo del

tiempo en forma de progresin geomtrica y

est representado por una lnea curva

cncava hacia arriba (exponencial).

2.4 REPRESENTACIN GRFICA

Para un capital P= $. 1000 y una tasa i = 10%. 0 1 ao n

SIMBOLOGA:

S1 : Monto Simple

S2 : Monto Compuesto

INTERPRETACIN

S1 > S2 : Menor a un ao

S1 = S2 : En un ao

S1 < S2 : Mayor a un ao

S S2 S1

1 100

1 000

Recta

Exponencial

Inters Compuesto

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2.5 TASAS EFECTIVAS

PROBLEMAS DE APLICACIN I

1) Cuando Pal naci, su abuelo hizo un depsito inicial de $. 3 000 en una cuenta bancaria; con la finalidad de que su nieto pueda solventar sus estudios universitarios al cumplir

18 aos. Cunto recibir Pal suponiendo que el Banco paga una tasa a inters

compuesto del 1,5% trimestral? Rpta. $. 8 763,47

2) Cul ser el capital que depositado a una TES del 3% durante un periodo de 2 aos, origina un monto de $. 1125,51 ? Rpta. $. 1 000

3) Un negocio pide un prstamo de S/. 10 000 a una TEA del 10%, durante 12 cuatrimestres. Hallar el inters compuesto de este prstamo. Rpta. S/. 4 641

4) Un capital de S/. 1 000, depositado en una cuenta de ahorros durante 8 quincenas, ha generado un inters compuesto de S/.420. A qu TEM se impuso? Rpta. TEM 9,16%

5) Durante cuntos meses se debe imponer un capital de $ 100, a una tasa efectiva diaria de 2%, para que se convierta en $ 328,10? Rpta. 2 meses

6) Se ha suscrito un contrato de crdito por S/. 80 000 para cancelarlo dentro de 120 das, a una tasa efectiva mensual de 5%. Al vencimiento del plazo, la tasa efectiva mensual se

mantuvo vigente durante los primeros 46 das, luego cambi a una TET de 12,5% durante

10 das y finalmente cambi a una TEQ de 2% durante los ltimos 64 das. Cul es el

monto a cancelar al vencimiento del crdito? Rpta. S/. 95 051,27

7) Calcule el monto de una cuenta de ahorros sujeta a una TEA de 12% que se mantuvo durante todo el horizonte temporal. La operacin se inici el 2 de abril y se cancel el

30 del mismo mes; en ese plazo se produjeron los siguientes movimientos:

Fecha Operacin Importe

02/04 Depsito S/. 10 000

10/04 Depsito S/. 2 000

16/04 Retiro S/. 1 000

20/04 Depsito S/. 5 000

30/04 Cancelacin

Rpta. S/. 16 112,51

2.6 TASAS NOMINALES CON PERIODOS DE CAPITALIZACIN

Hasta aqu, en nuestro estudio del inters compuesto, hemos trabajado con una tasa efectiva

i, que se aplicaba peridicamente al capital o al monto, sin ninguna modificacin o proceso previo; solamente tenamos en cuenta que se trataba del inters compuesto y nos fijbamos en

que el tiempo n deba aplicarse como un exponente expresado en las mismas unidades temporales de la tasa i. Pero no siempre nos darn listo el valor de la tasa efectiva i, para procesar de inmediato en las frmulas que ya conocemos; podra ocurrir que nos diesen una

tasa anual de 48% con la condicin que los intereses deben capitalizarse cada mes, cada

bimestre, cada trimestre o cada da.

Debido a estas complicaciones, en el inters compuesto algunas tasas sern aparentes (tasas

nominales); las cuales antes de aplicarlos al capital o monto habr que procesarlas y

modificarlas para obtener las tasas efectivas. En el inters compuesto al capital o monto se

le aplicar siempre la tasa efectiva!

Inters Compuesto

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PROBLEMAS DE APLICACIN II

1) Calcular el monto a pagar dentro de 4 meses por un prstamo bancario de S/. 8 000 a una TNA del 36% capitalizable mensualmente. Rpta. S/. 9 004,07

2) Un capital de 15 300 soles se deposit el 22 de mayo con una TNC del 9% capitalizable diariamente. Hallar el inters compuesto que se obtiene hasta el 14 de agosto.

Rpta. S/. 994,53

3) Cunto debe invertirse hoy para acumular 15 000 u.m dentro de 120 das, en una institucin de crdito que remunera las inversiones con una TNA de 12% capitalizable

trimestralmente? Rpta. 14 420,32 u.m

4) Una inversin efectuada en la bolsa de valores, produjo un inters de S/. 1 300 durante 47 das impuesto a una TND de 0,25% con capitalizacin bimestral. Cul fue el importe

original de la inversin? Rpta. S/. 11 236,15

5) Un capital de 25 000 u.m impuesto a una TNT de 4,5% capitalizable mensualmente produce un monto de 25 299,56 u.m Durante cuntos das estuvo impuesto dicho capital?

Rpta. 24 das

6) Una cuenta de ahorros se abre con un depsito inicial de 2 000 u.m. A los cuatro meses se deposita un importe de 800 u.m y dos meses despus se cancela la cuenta. Si la TNS de 9%

con capitalizacin bimestral estuvo vigente durante los cinco primeros meses y luego, en el

ltimo mes, cambi a una TNT de 6% con capitalizacin mensual; entonces cul es el

monto acumulado que se recibe al cancelar la cuenta? Rpta. 3024,61 u.m

2.7 ECUACIONES DE VALOR EQUIVALENTE A INTERS COMPUESTO

En el inters compuesto, dos capitales ubicados en diferentes momentos de un horizonte

temporal son equivalentes, si a una fecha determinada (inclusive fuera del horizonte temporal)

sus respectivos valores, calculados con una misma tasa de inters, son iguales.

Por ejemplo; considerando una tasa efectiva mensual del 5%, las cantidades de $.840 y

$.926,1 ubicados al final del mes 1 y final del mes 3 son equivalentes, tal como se demuestra

a continuacin:

$. 840 $. 882 $. 926,1 S=$972,405

0 1 2 3

P=$800

P=$800

S=$972,405

4 meses

Inters Compuesto

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Explicacin:

a) Equivalencia financiera descontando los flujos (Momento 0)

Para $. 840:

800$.800005,01

8401

P

Para $. 926,1:

800$.80005,01

1,9263

P

b) Equivalencia financiera capitalizando los flujos (Momento 4)

Para $. 840: 405,972$.405,97205,01840 3 S

Para $. 926,1: 405,972$.405,97205,011,926 1 S

c) Equivalencia financiera capitalizando uno y descontando el otro (Momento 2).

Para $. 840: 882$.88205,01840 1 S

Para $. 926,1:

882$.88205,01

1,9261

P

Conclusin:

Aplicando una misma tasa a inters compuesto, se tiene que:

Si dos capitales son equivalentes en una determinada fecha focal, tambin lo sern en cualquier otra fecha.

Si dos capitales no son equivalentes en una determinada fecha focal, no lo sern en cualquier otra fecha.

PROBLEMAS DE APLICACIN III

1) Una persona debe $. 2 000 para pagar en 6 meses a una TEB de 10%. Si el deudor paga $. 800 al final del segundo mes, entonces Cul ser la cantidad necesaria para cancelar la

deuda en la fecha de vencimiento? Rpta. $. 1 694

2) Una deuda de S/. 8 000 impuesta a una TNM de 0,5% capitalizable anualmente vence en un ao; el deudor paga S/. 2 600 en 5 meses y cuatro meses ms tarde S/. 4 200. Hallar la

cantidad necesaria para cancelar la deuda en la fecha de vencimiento. Rpta. S/. 1 528,48

3) En la negociacin sostenida por la empresa UNISA con el sectorista de crdito del Banco de Fomento, se aprob un contrato para sustituir las deudas de la empresa: S/. 6 000 y

S/. 11 000 con vencimiento dentro de 2 y 9 meses, respectivamente; por un nico pago con

vencimiento a cinco meses a una tasa anual del 48% con capitalizacin mensual. Cul

ser el importe del pago que deber realizar UNISA en esa fecha? Rpta. S/. 16 152,03

4) Jos recibi un prstamo de S/. 3 750 por el cual deber pagar 20% de inters mensual, capitalizable mensualmente, durante medio semestre; pero, el segundo mes Jos decide

amortizar la deuda abonando N soles, de tal manera que en el tercer mes cancela la deuda pagando 2N soles. Calcular N. Rpta. S/. 2 025