2 Geostatistics Course

Curso Geoestadistica

MODELAMIENTO GEOLOGICO

DE BLOQUES

1.5

Km

s.

ESTADISTICA GEOESTADISTICA

INDICE

CONCEPTOS BASICOS ESTIMACION (Compositos, Estacionaridad, Modelos)

ESTIMACIONES (NN, ID, Kriging)

CATEGORIZACION (Medidos, Indicados, Inferidos)

REPORTES (Validación, Curva Tonelaje-Ley, Gtcomp)


CONCEPTOS BASICOS ESTIMACION (Compositos,

Estacionario, Modelos)



REPORTES (Gtcomp, Curva Tonelaje-Ley)


Ley espacial

Esperanza matemática (Probabilidades)

o momento de primer orden

Momentos de segundo orden:

Varianza

Covarianza

Variograma

Correlograma

hxx

ji

ji

xzxzhN

h 2* ))()((2

1)(

)()( 00 xx mZE

22 )()()( xxx mZE

)()()()(

)()()()(),(

2121

221121

xxxx

xxxxxx

mmZZE

mZmZEC

)()(

),(),(

2

2

1

2

2121

xx

xxxx

C

PRINCIPIOS DE ESTIMACIÓN

• Controles e ingresos geológicos fundamentales (‘GEO’ en GEOestadística)

• Proporcionar estimados precisos e insesgados: globales y locales. Estimados para estudios de factibilidad confiables y para diversos requerimientos de planificación minera (a corto, mediano y largo plazo)

• Impacto directo sobre $$$$

TÉCNICAS DE ESTIMACIÓN

Compósitos

Un mismo conjunto de datos no debe contener muestras de

soporte distinto. Por ende, es necesario llevar las muestras a

compósitos de la misma longitud (generalmente, igual a la altura

del bloque de selección minera o a un sub-múltiplo de esta

altura).

Mientras más largo el compósito, menos dispersos y menos

erráticos los valores.

Estacionaridad (1)

La estacionaridad se refiere a una “homogeneidad” en el espacio

de las características de la variable en estudio: media, dispersión,

continuidad, etc. Implica que las propiedades estadísticas de los

datos son representativas del total del campo.

El considerar la hipótesis de estacionaridad facilita la elaboración

de modelos geoestadísticos, en especial en lo que se refiere al

análisis variográfico.

Estacionaridad (2)

En general, se tiende a considerar que la regionalización no tiene

un comportamiento estacionario, por la presencia de zonas de

altas leyes y otras de muy bajas leyes.

Ahora bien, el concepto de estacionaridad es una propiedad del

modelo geoestadístico, no de la variable regionalizada misma. Por

ende, es una decisión del usuario considerar si se cumple o no la

hipótesis de estacionaridad (ni verdadera ni falsa, pero juiciosa o

no).

Efecto proporcional

La dispersión de los valores es mayor en las zonas de altas leyes

que en las zonas de bajas leyes

este efecto es frecuente cuando el histograma de los datos

es asimétrico (por ejemplo, lognormal)

no es incompatible con la hipótesis de estacionaridad

planteada en el formalismo geoestadístico

se puede tomar en cuenta este efecto de dos maneras:

• meseta del variograma que varía en el espacio

• transformación logarítmica de los datos

Unidades geológicas

Se suele dividir el yacimiento en varias zonas o “unidades

geológicas” (UG), según la litología, la mineralización y/o la

alteración existente. También se puede incluir criterios

metalúrgicos en la definición de dichas unidades

verificar estadísticamente la pertinencia de la división;

si es necesario, agrupar varias unidades de propiedades

similares

modelar la extensión de las unidades geológicas en el

yacimiento: ¿modelo determinístico o probabilístico?

Variables categóricas

Codifican una propiedad del yacimiento (tipo de roca, unidad

geológica...) no confundir con una variable regionalizada

tradicional.

Valores atípicos

Es posible detectar valores “atípicos” por medio de varias

herramientas, en especial: histograma, nubes de correlación entre

variables, nubes direccionales...

Nunca se debe eliminar un valor “atípico” sin razón (falla en el

protocolo de medición, en la transcripción del dato, etc.). Además,

ningún test estadístico puede indicar si un valor es

“aberrante” o no.

Datos imprecisos (1)

Es frecuente que todo o parte de las mediciones contengan

imprecisiones, debido al protocolo de muestreo o de análisis

químico

las técnicas geoestadísticas permiten tomar en cuenta

estas imprecisiones, siempre que hayan sido previamente

cuantificadas

la evaluación de recursos pierde precisión en presencia de

errores de medición

es recomendable estudiar la calidad de las mediciones,

sobre todo si provienen de fuentes distintas.

Datos imprecisos (2)

Ejemplo: comparación de las mediciones procedentes de dos

campañas de sondaje distintas

Aquí se puede agrupar las mediciones de ambas campañas

Los modelos probabilísticos (1)

¿Por qué recurrir a modelos probabilísticos?

Gran complejidad de las variables regionalizadas, en especial en

las ciencias de la tierra

una descripción determinística es inconcebible


Límites de la estadística clásica

Se considera las observaciones como resultados (realizaciones)

independientes de una misma variable aleatoria.


La independencia entre valores impide una previsión precisa de un

valor no muestreado.

la interpretación clásica carece de realismo


El modelo geoestadístico

Se considera “interacciones” entre las observaciones, de modo de

tomar en cuenta sus dependencias espaciales.

Se podrá estimar el valor en un sitio no muestreado gracias a su

interacción con los sitios circundantes.


La interpretación geoestadística es satisfactoria, puesto que las

variables regionalizadas presentan dos aspectos complementarios

La interacción entre dos valores ( resorte) se cuantifica por una

herramienta estadística llamada variograma.

• un aspecto “aleatorio” causante de las irregularidades locales

• un aspecto estructural que refleja las características globales

del fenómeno (continuidad, anisotropía, etc.)

CONCEPTOS BASICOS ESTIMACION (Compositos, Estacionario, Modelos)





Puede ser: POLIGONAL o NN

PROMEDIO

INVERSE DISTANCES

KRIGEAGE,

EN GENERAL:

ni

ii zZ,1

* *

1) MEDIA ARITMETICA:Se basa en lo siguiente

“para estimar la ley media de un conjunto se

promedian las leyes de los datos que están dentro

del conjunto”

Su fórmula general:

zz

Ns

j

2) Polígonos o Nearest Neighbor (NN):El método

se basa en “asignar a cada punto del espacio la

ley del dato más próximo.Para estimar una zona

se ponderan las leyes de los datos por el área de

influencia sj”

Su fórmula es la siguiente:

zs z

ss

j j

Polígonos:

La ley del punto

corresponde a la de la

muestra más cercana

Inverso de la distancia

D

z(x)

d

)(

1

)(

1

1

)(

)(x

x x

xn

p

n

p

d

d

z

z

3) INVERSO DE LA DISTANCIA:Se basa en “asignar mayor

peso a las muestras cercanas y menor peso a las

muestras alejadas a s”

Se consigue al ponderar las leyes

Su fórmula es:

}

1 1{

n

in

j jd

id

iz

z

POLIGONO

PROMEDIO

ID

KRIGEAGE

1

ni

1

ni i

ii

d

d

,1

1

1

3,1

Ejemplo

KRIGING SIMPLE

El kriging minimiza esta varianza de estimación para obtener

los ponderadores. Derivando e igualando a cero, se obtiene el

sistema de kriging simple:

Y por lo tanto:

)(

)(

)()(

)()(

0

011

1

111

xx

xx

xxxx

xxxx

nnnnn

n

C

C

CC

CC

n

KS CC1

00

2 )()()(

xx0x

mZZnn

11

0

* 1)()(

xx

ni

ii zZ,1

* *

KRIGING SIMPLE

Hay tres ecuaciones para determinar los tres ponderadores:

En notación matricial

Recordar que C(h) = C(0) - (h)

)3,0(C)3,3(C)2,3(C)1,3(C

)2,0(C)3,2(C)2,2(C)1,2(C

)1,0(C)3,1(C)2,1(C)1,1(C

321

321

321

)3,0(C

)2,0(C

)1,0(C

)3,3(C)2,3(C)1,3(C

)3,2(C)2,2(C)1,2(C

)3,1(C)2,1(C)1,1(C

3

2

1

1,2

2,3

0,3

0,2 0,1

1,3

Geology – Modeling / 1 july 2009

KRIGING ORDINARIO

En la mayoría de los casos la media es desconocida

Kriging Ordinario: estimador lineal que no considera la media

conocida

Requiere imponer la condición de insesgo:

Los ponderadores se encuentran planteando:

n

uZuZ1

0 )()(*

1

)]([)]([)]()([

1

0

1

00

*

n

m

n

m

m

uZEuZEuZuZE

1n

1

1..

)(2)()()()(*min

1

1 11

00

n

n nn

as

uuCCuuCuZuZVar

0

KRIGING ORDINARIO

O en términos de variograma:

y

1

)(

)(

011

1)()(

1)()(

0

011

1

111

xx

xx

xxxx

xxxx

nnnnn

n

n

ZZ1

0 )()(*

xx

n

KO

1

00

2 )()( xxx

INTRODUCCIÓN Códigos internacionales sugieren que la clasificación de

recursos y reservas incluya la cuantificación de incertidumbre.

Objetivo del trabajo:

Revisar los criterios utilizados comúnmente en la categorización.

Analizar y discutir las consecuencias de utilizar ciertos criterios geoestadísticos a través de un caso práctico.

CÓDIGOS INTERNACIONALES

Objetivo:

Definir el grado de confianza en la estimación de la cantidad y

calidad del recurso.

Códigos disponibles:• Circular 531 USGS (1980)• CIM Guidelines (1996)• JORC Code (1999)• SAMREC Code (2000)• NI 43-101 – CSA (2001)• Código Chileno (2003)

Técnicas subjetivas:

• Grado de continuidad geológica de la mineralización (juicio del experto),

• Cantidad de información disponible y su configuración geométrica y

• Grado de continuidad espacial de las leyes.


Recurso Mineral:

• Interés económico intrínseco

• Características definidas vía conocimientos geológicos

Medidos

Indicados

Inferidos Confianza

G

eoló

gic

a


Recurso Mineral:

• Interés económico intrínseco

• Características definidas vía conocimientos geológicos

Medidos

Indicados

Inferidos Confianza

G

eoló

gic

a

Reserva Minera:

• Económicamente explotable

• Incluye dilución y pérdidas por factores de extracción, metalúrgicos, económicos, de mercados, legales, ambientales, sociales y gubernamentales

Probadas

Probables

Confianza

Fin

anci

era

CUANTIFICACIÓN DE INCERTIDUMBRE

Criterios geológicos:

• Continuidad geológica del depósito




Criterios geométricos:

• Disposición espacial de los datos

• Densidad de sondajes y radios de búsqueda







Criterios geoestadísticos:

• Continuidad espacial de las leyes anisotropía

• Abundancia y redundancia de los datos







Criterios geoestadísticos:

• Continuidad espacial de las leyes anisotropía y efecto

pepa

• Abundancia y redundancia de los datos

CATEGORIZACIÓN DE RECURSOS Y RESERVAS

Estudio Exploratorio de Datos

• Corroborar interpretación geológica

• Verificar continuidad en geología y leyes





Análisis de Continuidad Espacial

• Existencia de efecto proporcional

• Validez de hipótesis para transformación Gaussiana





Análisis de Continuidad Espacial

• Existencia de efecto proporcional

• Validez de hipótesis para transformación

Estimación y Simulación • Medida del error

DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES

Subjetividad de metodologías de clasificación es un problema

JORC ha impuesto la necesidad de cuantificar la incertidumbre en la estimación

Técnicas geoestadísticas pueden usarse, pero debe cuidarse que la metodología no perjudique o favorezca el proyecto

Varianza de kriging y varianza relativa de simulación son criterios similares

Estandarización de la categorización es difícil producto de la diversidad en la geología y configuraciones de muestreo

Resulta importante definir estándares y facilitar la transición de los criterios actualmente utilizados a otros reconocidos por los códigos

CATEGORIZACIÓN DE RECURSOS/RESERVAS

Recursos medidos: aquellos cuya ley está

en el intervalo definido por +/-15% del

valor estimado, 80% del tiempo, para una

producción mensual.

Recursos indicados: aquellos cuya ley está

en el intervalo definido por +/-15% del

valor estimado, 80% del tiempo, para una

producción trimestral.

Recursos inferidos: todos los otros bloques

razonablemente estimados.

Reservas Probadas

Reservas Probables

La Quinua Sur Drill Hole Spacing Study

Metal for 80 x 80 Pattern

-20.00%

-15.00%

-10.00%

-5.00%

0.00%

5.00%

10.00%

15.00%

20.00%

Models

Dif

fere

nce f

rom

Sim

ula

tio

n

Year1 Year2 +/-15%

LA Quinua Sur Drill Hole Spacing Study

Metal for 100 x 100 Pattern

-20.00%

-15.00%

-10.00%

-5.00%

0.00%

5.00%

10.00%

15.00%

20.00%

Models

Dif

fere

nce f

rom

Sim

ula

tio

n

Year1 Year2 +/-15%

LQ_Sur ET




REPORTES (Curva Tonelaje-Ley, Validaciones, Gtcomp)


Geology – Modeling / 1 july 2009

CURVA TONELAJE-LEY

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