MÓDULO II: Fundamentos de la Lógica Difusa

Tema 2: Introducción a la Lógica Difusa

Tema 2: Introducción a la Lógica Difusa

1. Introducción: de los conjuntos clásicos a los conjuntos difusos

2. Conjuntos difusos

1. Definición2. Tipos de funciones de pertenencia3. Resumen

3. Relaciones difusas1. De las relaciones clásicas a las difusas2. Definición

4. Propiedades de los conjuntos difusos

5. Operaciones con conjuntos difusos

6. De las reglas difusas a las relaciones difusas

Índice

Tema 2: Introducción a la Lógica Difusa

Objetivos:

Comprender el conjunto de conjunto difuso, relación difusa y propiedades básicas asociadas: núcleo, soporte, alfa-corte, normalidad, convexidad y altura.

Comprender el significado de las funciones de pertenencia y cómo determinar el tipo de función de pertenencia en base al tipo de descripción difusa asociada.

Conocer y saber utilizar las operaciones teóricas sobre conjuntos difusos: complemento, intersección y unión, y propiedades básicas de las mismas.

Índice

1. Introducción: de los conjuntos clásicos a los conjuntos difusos

¿Por qué es útil la Lógica Difusa en control?

Muchos aspectos del diseño de un sistema de control presentan incertidumbre

Control de aparcado de un cocheControl de un ascensor que minimice el tiempo de esperaControl de un metroControl del frenado de un cocheControl de temperatura y grado de humedadCompensación de vibraciones en una cámara

Características comunes:Procesos complejos y dinámicosAlgunos se caracterizan fácilmente de forma lingüística

1. Introducción: de los conjuntos clásicos a los conjuntos difusos

1. Introducción: de los conjuntos clásicos a los conjuntos difusosSistemas verdadero / falso frente a sistemas graduales

Incertidumbre:- Con información completa- Por falta de incertidumbre- Por ambigüedad

Lógica Difusa (Zadeh, 1965)Fue diseñada para representar y razonar sobre

conocimiento expresado de forma lingüística o verbal

Conocimientos “vagos”, “borrosos”

1. Introducción: de los conjuntos clásicos a los conjuntos difusos

1. Introducción: de los conjuntos clásicos a los conjuntos difusosConjuntos clásicosX: Universo de discursoA: Un conjunto definido en ese universo de discurso

Formas de definir el conjunto A:

Enumerando elementosEspecificando una propiedadDefiniendo la función característica

1. Introducción: de los conjuntos clásicos a los conjuntos difusos

{ }1,0: →XSµ

1. Introducción: de los conjuntos clásicosa los conjuntos difusos

Ejemplo: Conjunto de números reales en el intervalo [0,10] comprendidos entre 5 y 8

A = [5,8], X = [0,10]

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤<≤≤<≤

=108,0

85,1

50,0

)(1

x

x

x

xA

1. Introducción: de los conjuntos clásicos a los conjuntos difusos

2. Conjuntos difusos2.1. Definición

Función característica Conjunto nítido

Función de pertenencia Conjunto difuso

Para cada elemento x, es el grado de pertenencia al conjunto difuso A

2. Conjuntos difusos2.1. Definición

{ }1,0: →XSµ

[ ]1,0: →XAµ

)(xAµ

2.1. DefiniciónEjemplo: Conjunto de gente joven

B = {gente joven} B = [0,20]

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤≤

≤≤−

≤≤

=

10030,0

3020,10

30200,1

)(

x

xx

x

xBµ

⇒

2.1. Definición

Ejemplos:

Conjunto de coches de fabricación española

Conjunto de números naturales cercanos a 6

Conjunto de personas mayores

Conjunto de números cercanos a cero

2. Conjuntos difusos2.1. Definición

2.2. Tipos de funciones de pertenencia

Funciones triangulares

2. Conjuntos difusos2.2. Tipos de funciones de pertenencia

a b c

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>

≤≤−−

≤≤−−

<

=

cx

cxbbc

xc

bxaab

axax

cbaxf

,1

,

,

,0

),,;(

2.2. Tipos de funciones de pertenencia

Funciones trapezoidales

2. Conjuntos difusos2.2. Tipos de funciones de pertenencia

a b c

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>≤≤

−−

≤≤

≤≤−−

<

=

dx

dxccd

xdcxb

bxaab

axax

cbaxf

,0

,

,1

,

,0

),,;(

d

2.2. Tipos de funciones de pertenenciaFunciones gaussianas

Otras: campana, S, Z, etc.

Funciones descritas mediante polígonosGeneralizan cualquier otro tipo de representaciónNivel de aproximación ajustable

2. Conjuntos difusos2.2. Tipos de funciones de pertenencia

2.3. Conjuntos Difusos: ResumenAspectos importantes de los conjuntos difusos:

Representan propiedades difusas pero una vez definida la función de pertenencia, nada es difuso.

La representación de un conjunto difuso depende del concepto a representar y del contexto en el que se va a utilizar.

¿Cómo determinar las funciones de pertenencia?A través de conocimiento expertoA través de conjuntos de datos y procesos de aprendizaje

Se pueden utilizar distintas funciones de pertenencia para caracterizar la misma descripción.

2. Conjuntos difusos2.3. Conjuntos difusos: Resumen

3. Relaciones Difusas3.1. De las Relaciones Clásicas a las Difusas

Las relaciones determinan interacciones entre conjuntos y se especifican de igual forma que los conjuntos nítidos

Una relación (clásica) se puede considerar como un conjunto de tuplas que cumplen una determinada condición. Por ejemplo: La relación binaria “menor o igual”

Se pueden describir mediante funciones características

3. Relaciones Difusas3.1. De las Relaciones Clásicas a las Relaciones Difusas

{ }nmyBnAmquetalnmR ≤∈∈=≤ ,),(

⎩⎨⎧ ≤

=≤ casootroen

nmsinmf

,0

,1),(}1,0{:),( →×≤ NNnmf

3.2. DefiniciónUna relación difusa que relaciona dos conjuntos difusos A y B

(cada uno de ellos incluido en su universo de discurso U y V respectivamente) es un subconjunto difuso del producto cartesiano U*V, caracterizado:

Por una enumeración

O por su función de pertenencia

Caso contínuo

Caso discreto

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ×∈∈

=α

ααgradoenPcondiciónlacumpleyx

quetalVUyxyxR

),(

),(],1,0[),,/(

3. Relaciones Difusas3.2. Definición

∫= VU R vuvuR*

),/(),(µ

∑= VU R yxyxR*

),/(),(µ

3.3. Ejemplo de relación difusa

igualmenteaproximadaR =

}3,2,1{=U

)1,3/(3.0)3,1/(3.0

)2,3/(8.0)1,2/(8.0)3,2/(8.0)2,1/(8.0

)3,3/(1)2,2/(1)1,1/(1

++++

+++=R

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=−

==

2||3,0

1||8,0

1

),(

yx

yx

yx

yxRµ

10,80,33

0,810,82

0,30,811

X

321R

y

]1,0[: →×UUR

3. Relaciones Difusas3.3. Ejemplo de relación difusa

4. Propiedades de los Conjuntos DifusosSoporte: Es el conjunto de elementos cuyo grado de pertenencia es distinto de cero

Altura: Es el grado de pertenencia más grande de los elementos del conjunto

Núcleo: Es el conjunto de elementos cuyo grado de pertenencia es igual a 1

4. Propiedades de los Conjuntos Difusos

{ }XxxxASop A ∈>= ,0)()( µ

{ }XxxhhAAltura A ∈== ),(max)( µ

{ }1)(/)( =∈= xXxANúcleo Aµ

4. Propiedades de los Conjuntos DifusosConjunto Difuso Normal: Es un conjunto difuso cuya altura es igual a 1.

Conjunto Difuso Convexo: Intuitivamente es un conjunto difuso creciente, decreciente o con forma de campana

4. Propiedades de los Conjuntos Difusos

1)( =AAltura

))(),(min())1(( yxyx AAA µµλλµ ≥⋅−+⋅

[ ]1,0,, ∈∀∈∀ λXyx

4. Propiedades de los Conjuntos DifusosConjunto Difuso Normal: Es un conjunto difuso cuya altura es igual a 1.

Conjunto Difuso Convexo: Intuitivamente es un conjunto difuso creciente, decreciente o con forma de campanaConvexo No convexo

4. Propiedades de los Conjuntos Difusos

1)( =AAltura

))(),(min())1(( yxyx AAA µµλλµ ≥⋅−+⋅

[ ]1,0,, ∈∀∈∀ λXyx

5. Operaciones con Conjuntos DifusosExtienden las operaciones con conjuntos clásicos

Igualdad

Inclusión

Unión

Intersección

5. Operaciones con Conjuntos Difusos

XxxxBA BA ∈∀=⇔= )()( µµ

XxxxBA BA ∈∀≤⇔⊆ )()( µµ

)}(),(max{)( xxx BABA µµµ =U

)}(),(min{)( xxx BABA µµµ =I

5. Operaciones con Conjuntos Difusos

Complemento

Alfa-corte

Existen generalizaciones de estas operaciones, ya que tanto las funciones de pertenencia de los conjuntos difusos como sus operaciones dependen del contexto.

T-normas

T-conormas

5. Operaciones con Conjuntos Difusos

)(1)( xx AAµµ −=

},)({ XxxxA A ∈>= αµα

5. Operaciones con Conjuntos DifusosT-norma: Generaliza el concepto de intersección

Conmutativa T(a,b) = T(b,a)

Asociativa T(a,T(b,c)) = T(T(a,b),c)

Monotonía T(a,b)>=T(c,d), si a>=c y b>=d

Condiciones frontera T(a,1) = a

5. Operaciones con Conjuntos Difusos

]1,0[]1,0[]1,0[: →×T

)](),([)( xxTx BABA µµµ =I

5. Operaciones con Conjuntos Difusos

Ejemplos de t-normas:

Intersección estándar: T(a,b) = min (a,b)

Producto algebraico: T(a,b) = a · b

Diferencia acotada: T(a,b) = max (0, a+b-1)

Intersección drástica: T(a,b) = a, si b=1

= b, si a=1= 0, e.o.c.

5. Operaciones con Conjuntos Difusos

5. Operaciones con Conjuntos DifusosT-conorma: Generaliza el concepto de unión

Conmutativa: S(a,b) = S(b,a)

Asociativa: S(a,S(b,c)) = S(S(a,b),c)

Monotonía: S(a,b)>=S(c,d), si a>=c y b>=d

Condiciones frontera: S(a,0) = a

5. Operaciones con Conjuntos Difusos

]1,0[]1,0[]1,0[: →×S

)](),([)( xxSx BABA µµµ =U

5. Operaciones con Conjuntos Difusos

Ejemplos de t-conormas:

Unión estándar S(a,b) = max(a,b)

Suma algebraica S(a,b) = a+b-a·b

Suma acotada S(a,b) = min (1, a+b)

Unión drástica S(a,b) = a, si b=0

= b, si a=0= 1, e.o.c.

5. Operaciones con Conjuntos Difusos

5. Operaciones con Conjuntos DifusosComplemento difuso:

C(0) = 1, C(1)=0Si a<=b, C(a)>=C(b)C(C(a))=a

Sugeno

5. Operaciones con Conjuntos Difusos

]1,0[]1,0[: →C

)]([)( xCx AAµµ =

),1(,1

1)( ∞−∈

⋅+−

= λλλ a

aaC

6. De las reglas difusas a las relaciones difusas

La regla difusa de la forma

SI X es A y Y es B ENTONCES Z es C

nos indica una dependencia del conjunto difuso de salida C respecto a los conjuntos difusos A y B

Por tanto, esta dependencia la podemos representar mediante una relación difusa

(se ha considerado la t-norma mínimo como operador de conjunción e implicación)

∫ ××=

WVU CBA zyxzyxR ),,/())(),(),(min( µµµ

6. De las reglas difusas a las relaciones difusas

Bibliografía

Básica:[kli95] G. Klir y B. Yuan. Fuzzy Sets and Fuzzy Logic. Theoryand Applications. Prentice Hall PTR, 1995.[wan97] L.X. Wang. A Course in Fuzzy Systems and Control. Prentice-Hall, 1997.

Complementaria:[zad65] L.A. Zadeh. Fuzzy Sets. Information Control 8 (1965), págs. 338-353.

Bibliografía