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8/19/2019 2 Funciones.docx

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Veamos otro ejempo! "rasado tres unidades #acia a iz$uierda

%u &rafica es!

Funciones 'atemáticas! onceptos ásicos

#n matemática, una función (f) es una reación entre un con!untodado * llamado dominio" y otro con!unto de elementos llamadocodominio" de forma que a cada elemento x del dominio le

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corresponde un único elemento f'" del codominio los que forman elrecorrido, tambi(n llamado ran&o o ámito".

Ver! -eaciones . funciones

#n lengua!e cotidiano o más simple, diremos que las funciones

matemáticas equivalen al proceso l$gico común que se e'presa como )depende de*.

Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas,tales como: el costo de una llamada telef$nica que depende de suduraci$n, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso.

% modo de e!emplo, +cuál sería la regla que reaciona los números dela derecha con los de la izquierda en la siguiente lista:

- / -

0 / 1

2 / 3 1 / -4

Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.

La regla es entonces 5elevar al cuadrado5:

- / -

0 / 1

2 / 3

1 / -4 ' / '0.

&ara referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo generales la letra f de funci$n". #ntonces, f es la regla 5elevar al cuadrado elnúmero5.

6sualmente se emplean dos notaciones:

' / '0 o f(x) / x .

%sí, f2" significa aplicar la regla f a 2. %l hacerlo resulta 20 7 3.

#ntonces f2" 7 3. 8e igual modo f0" 7 1, f1" 7 -4, fa" 7 a0

, etc.9eamos algunos e!emplos que constituyen funciones matemáticas.

jempo 1

orrespondencia entre las personas que traba!an en una oficina y supeso e'presado en ;ilos

onjunto * onjunto

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on estos e!emplos vamos entendiendo la noci$n de funci$n: comovemos, todos y cada uno de los elementos del primer con!unto (*) están asociados a uno, y s$lo a uno, del segundo con!unto (). Fodos ycada uno significa que no puede quedar un elemento en * sin sucorrespondiente elemento en . % uno y s$lo a uno significa que a un

mismo elemento en * no le pueden corresponder dos elementosdistintos en .

%hora podemos enunciar una definici$n más formal:

6na funci$n f) es una regla que asigna a cada elemento x de uncon!unto * (dominio) e'actamente un elemento, llamado f(x), de uncon!unto (codominio).

Gtra definici$n equivalente es: sean * e dos con!untos. 6na funci$nde * en es una regla o un m(todo" que asigna un y s$lo uno"elemento en a cada elemento en *.

6sualmente H e I son con!untos de números.Jeneralizando, si se tiene una funci$n f , definida de un con!unto % en uncon!unto K, se anota

f ! 7 333334 (o, usando * por 7 e por f ! * 333334 ) of(x) / x

@ecordemos de nuevo que el primer con!unto % se conoce comodominio 8om" de la funci$n y K es el codominio o con!unto dellegada.

f(x) denota la ima&en de x ba!o f , mientras que x es la preima&en de

f(x).#n el e!emplo 0 anterior el número 2 es la ima&en del número A ba!o fpor su parte, - es la preima&en del número =.

#l ran&o @g" o recorrido @ec" o ámito %" es el con!unto de todoslos valores posibles de f(x) que se obtienen cuando x varía en todo eldominio de la funci$n.

jempo 5

Suponga que el con!unto % de salida" es % 7 M-, 0, 2N y que elcon!unto K de llegada" es K 7 MA, 1, 4, >, -A, -0N y que la relaci$n dedependencia o correspondencia entre % y K es 5asignar a cada elementosu cuádruplo5.

9amos a e'aminar si esta relaci$n es una funci$n de % en K ydeterminaremos dominio y recorrido.

Veamos!


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% los elementos -, 0 y 2 del con!unto % les corresponden,respectivamente, los elementos 1, > y -0 del con!unto K. omo a cadaelemento de % le corresponde un único elemento de I, la relaci$n dedependencia es una funci$n funci$n de % en K".

8ominio 7 M-, 0, 2N @ecorrido 7 M1, >, -0N

Botar que e recorrido es un suconjunto del codominio K 7 MA, 8, 4,9, -A, 1N

%quí debemos recordar que toda funci$n es una reación, pero no todaslas relaciones son funciones. omo e!emplos de relaciones que sonfunciones y algunas que no lo son, veamos las siguientes:

Si tenemos los con!untos

% 7 M- 0 2 1N, K 7 M- 0 2 1 =N

&odemos establecer las relaciones

f 7 M - 0" 0 2" 2 1" 1 =" Ng 7 M - 0" - 2" 0 1" 2 =" 1 =" N

h 7 M - -" 0 0" 2 2" N:

#stá claro que f, g y h son relaciones de % en K, pero s$lo f es unafunci$n todos los elementos del con!unto % tiene su correspondienteelemento en b" g no es funci$n ya que - 0" y - 2" repiten unelemento del dominio el -". Fampoco h es una funci$n ya que 8omh"7 M- 0 2N O % falta el 1".

jempo 8

Sea H 7 MC1, C-, A, 1, 3N, I 7 MC1,C2, C0, C-, A, -, 0, 2, 1N yque la regla de correspondencia es 5 asignar a cada elemento de H elresultado de e'traer su raíz cuadrada5.

9amos a determinar si esta regla constituye funci$n de H en I.

Veamos!

% simple vista se aprecia que los números A, 1, 3 tienen imagen en I

", pero a los números C1 y C- no lescorresponden elementos en I. omo e'isten elementos de H que no se

corresponden con elementos de I, esta relaci$n no es funci$n de H en I.

6ominio . ran&o de una función

omo ya vimos, el dominio de una funci$n es el con!unto de valorespara los cuales la funci$n está definida es decir, son todos os 2aores$ue puede tomar a 2ariae independiente (a x).


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&or e!emplo la funci$n f(x) / 5x : ;x está definida para todo númeroreal x puede ser cualquier número real". %sí el dominio de esta funci$nes el con!unto de todos los números reales.

#n cambio, la funci$n tiene como dominiotodos los valores de ' para los cuales C-P ' P 0, porque aunque puedatomar cualquier valor real diferente de Q0, en su definici$n determina enqu( intervalo está comprendida.

Si el dominio no se específica, debe entenderse que el dominio incluye atodos los números reales para los cuales la funci$n tiene sentido.

#n el caso de la funci$n , el dominio de esta funci$n sontodos los números reales mayores o iguales a Q2, ya que ' D 2 debeser mayor o igual que cero para que e'ista la raíz cuadrada.

omo resumen, para determinar e dominio de una función,deemos considerar o si&uiente!

Si la funci$n tiene radicales de índice par, el dominio está conformadopor todos los números reales para los cuales la cantidad subradical seamayor o igual a cero.

Si la funci$n es un polinomio una funci$n de la forma f(x) / a0 +a1x + ax +


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"ipos de Función

@ecapitulemos sobre el tema Funciones:

Rntuitivamente, la palabra función se refiere a una correspondencia deun con!unto con otro. &or e!emplo: onsidera un con!unto deestudiantes (*) y un con!unto de edades (), en que a cada estudiantele corresponde un número que es su edad en aTos.

studiante (onjunto *)=ri&en

dad (onjunto )>ma&en f(x)

Uos( -3

?aría ->

?anuel 0-

Soledad ->

%lberto 0A

#n la tabla se observa que a cada estudiante le corresponde una edad. %ese tipo de asociaci$n se le llama función.

-ecordemos a definición!

#n matemática, una función (f) es una reación entre un con!untodado * llamado dominio" y otro con!unto de elementos llamadocodominio" de forma que a cada elemento x del dominio lecorresponde un único elemento f(x) del codominio los que forman elrecorrido, ran&o o ámito".

8e manera más simple: 6na función es una relaci$n entre dosmagnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera correspondeun único valor de la segunda.

#n el e!emplo anterior el dominio es MUos(, ?aría, ?anuel, Soledad,%lbertoN y el recorrido es M->, -3, 0A, 0-N.

La funci$n se puede ilustrar mediante un diagrama usando flechas paraindicar la forma en que se asocian los elementos de los dos con!untos.

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?ota! Si x es un elemento en el dominio de la funci$n, entonces elelemento en el recorrido que f asocia con x se denota simb$licamentef(x), y se llama la ima&en de x ba!o la funci$n f . #n el e!emploanterior fSoledad" 7 ->, f?anuel" 7 0-. Fambi(n se conoce la imagencomo el 2aor de a función f en x.

Kásicamente, hay tres formas para e'presar una funci$n: mediante unataa de 2aores como el e!emplo anterior", mediante una expresióna&eraica o, como veremos luego, mediante una &ráfica.

"ipos de funciones

8ependiendo de ciertas características que tome la e'presi$n algebraicao notaci$n de la funci$n f en x, tendremos distintos tipos de funciones:

Función constante

6na funci$n de la forma f(x) / , donde es una constante, se conocecomo una función constante.

&or e!emplo, f(x) / 5, que corresponde al valor de ." donde el dominioes el con!unto de los números reales y el recorrido es M2N, por tanto . /5. La gráfica de aba!o muestra que es una recta horizontal.

Función inea

6na funci$n de la forma f(x) / mx + se conoce como una funcióninea, donde m representa la pendiente y representa el intercepto en.. La representaci$n gráfica de una funci$n lineal es una recta. Lasfunciones lineales son funciones polin$micas.

jempo!

f(x) / x − 1


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es una funci$n lineal con pendiente m / e intercepto en . en (0, −1).Su gráfica es una recta ascendente.

f(x) / x− 1

#n general, una funci$n lineal es de la forma

f x" 7 ax D, donde a

y sonconstantesla a es lomismo que

la m

anteriorcorresponde a la

pendiente".

Ver! @%A! 'atemáticas, @re&unta BC010

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&ara trazar la &ráfica de una función inea solo es necesario conocerdos de sus puntos.

La ecuaci$n matemática que representa a esta funci$n, como ya vimos,es f(x) / ax + , donde f(x) corresponde al valor de ., entonces

. / ax + 8onde )a* es la pendiente de la recta, y )b* es la ordenada al origen.

La pendiente indica la inclinaci$n de la recta, cuanto sube o ba!a ycuanto avanza o retrocede. #sto depende del signo que tenga.

#l valor de )a* siempre es una fracci$n si no tiene nada aba!o, esporque tiene un -", donde el numerador (p) me indica cuanto sube oba!a, y el denominador ($) indica cuanto avanzo o retrocedo.

%prendido esto, y según el signo de la fracci$n, la pendiente se marcade la siguiente forma

La ordenada a ori&en () es el valor donde la recta corta al eje ..

La recta siempre va a pasar por el punto A b"

-epresentación &ráfica de una función inea o función afín

&ara graficar una recta, alcanza con los datos que da la ecuaci$nmatemática de la funci$n, y se opera de la siguiente manera:

-. Se marca sobre el e!e . la ordenada al origen, el punto por donde larecta va a cortar dicho e!e.


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0. 8esde ese punto, subo o ba!o según sea el valor de )p* y avanzo oretrocedo según indique el valor de )q*. #n ese nuevo lugar, marco elsegundo punto de la recta.

2. Se podría seguir marcando puntos con la misma pendiente, pero con0 de ellos ya es suficiente como para poder graficar la recta.

1. Feniendo ya los dos puntos, con regla se traza la recta que pasa porlos mismos.

jempo!

Jraficar la siguiente funci$n:

La ordenada al origen 2" me indica que me debo parar sobre el e!e . enel 2.

8e ahí subo - y avanzo 0, como me lo indica la pendiente.

Fambi(n podemos graficar una funci$n dando valores a ' y obteniendodos puntos en las coordenadas.

jempo

Jraficar la funci$n dada por f(x) / x : 1

%oución


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jempo!

f(x) / x

representauna

parábolaque abre

hacia arribacon v(rticeen (0,0).

Ver! @%A! 'atemáticaD @re&unta 19C00E

Función raciona6na función raciona es el cociente de dos funciones polin$micas. %síes que $ es una funci$n racional si para todo x en el dominio, se tiene:

para los polinomios f(x) . &(x).

jempos!

?ota! #l dominio de una funci$n polin$mica son los números reales sinembargo, el dominio de una funci$n racional consiste de todos los



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números reales e'cepto los ceros del polinomio en el denominador yaque la divisi$n por cero no está definida".

Función de potencia

6na funci$n de potencia es toda funci$n de la forma f x" 7 xr, donde r

es cualquier número real.Las funciones f x" 7 x1V2 y #x" 7 =x2V0 son funciones de potencia

Ver, además Función raíz cuadrada

jercicios . ejempos con funciones en &enera!

xpresar mediante una fórmua a función $ue asocia a cadanHmero!

a) %u cuádrupo<

La funci$n es: f x" 7 1x.

) An nHmero unidades ma.or<

La funci$n es: f x" 7 x + 0.

c) %u mitad menos 1<

La funci$n es: f x) / xI − 1.

d) cuadrado de nHmero $ue es una unidad menor<

La funci$n es: f x" 7 x − 1)

Veamos a&unos otros ejempos de funciones!-" #l volumen de un gas está determinado por la presi$n a temperaturaconstante", esta relaci$n viene dada por la ley de Koyle?ariotte:

donde 2 representa el volumen del gas en litros, p es la presi$n enatm$sferas y c es una constante de proporcionalidad.

Se observa que al variar la presi$n a la que está sometido el gas varía elvolumen es decir, los valores del volumen dependen de los valores de la

presi$n del gas y para cada valor de la presi$n e'iste un único valor delvolumen.

0" #l área % del círculo depende de la longitud de su radio r y está dadapor la f$rmula:

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Funcion_raiz_cuadrada.htmlhttp://www.profesorenlinea.cl/matematica/Funcion_raiz_cuadrada.html


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Si se conoce el valor del radio se puede conocer el valor del área delcírculo.

2" 8ada la funci$n f(x) / ;x +

#ncontrar el valor de la funci$n para cuando x / .&ara calcular la imagen de un elemento ba!o la funci$n f , se reemplazadicho elemento en el lugar de la variable, así para x /

f() / ;() +

f() /

por lo tanto cuando x / , se tiene que f() / .

An proema resueto

#l precio de arrendar un auto es de -= d$lares más A,0A de d$lar por;il$metro recorrido.

a" Wallar la f$rmula que e'presa el costo del arriendo en funci$n delnúmero de los ;il$metros recorridos.

b" +uánto hay que pagar si se han recorrido =A ;il$metros

c" Si han cobrado =2 d$lares +cuántos ;il$metros se han recorrido

Veamos!

a" Si llamamos x al número de ;ms recorridos, la f$rmula de la funci$n

es f (x) / 1; + 0,x.b" x / =A entonces

f =A" 7 -= D A,0 X =A 7 0=

Way que pagar 0= d$lares.

c" f x" 7 =2 entonces

-= D A,0x / =2 entonces x / -3A

Se han recorrido -3A ;m.

J&era de funciones%uma, resta, mutipicación . di2isión de funciones

Sean f y & dos funciones cualesquiera.

Se define como


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jempos!

%uma de funciones

Sean las funciones

-esta de funciones

@roducto de funciones

Sean las funciones

6i2isión de funciones

Sean las funciones

B$tese que hemos factorizado por ' C -"

jempo para practicar!


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Sean f'" 7 2'2 D E y g'" 7 '0 Q -. Wallar la suma, diferencia,producto y cociente de las funciones.

Función cuadrática

6na función cuadrática es aquella que puede escribirse como unaecuaci$n de la forma:

f(x) / ax + x + c

donde a, y c llamados tGrminos" son números reales cualesquiera ya es distinto de cero puede ser mayor o menor que cero, pero no igualque cero". #l valor de y de c sí puede ser cero.

#n la ecuaci$n cuadrática cada uno de sus t(rminos tiene un nombre.%sí,

ax es el t(rmino cuadrático

x es el t(rmino inea

c es el t(rmino independiente

uando estudiamos la ecuación de se&undo &rado o cuadrática vimos que si la ecuaci$n tiene todos los t(rminos se dice que es unecuación competa, si a la ecuaci$n le falta el t(rmino

lineal o el independiente se dice que la ecuaci$n esincompeta.

-epresentación &ráfica de una función cuadrática

Si pudi(semos representar en una gráfica 5todos5 lospuntos Kx,f(x)L de una función cuadrática,obtendríamos siempre una curva llamada paráoa.

omo contrapartida, diremos que una paráoa es arepresentación &ráfica de una función cuadrática.

8icha parábola tendrá algunas características o

elementos bien definidos dependiendo de los valores dela ecuaci$n que la generan.

#stas características o elementos son:

Grientaci$n o concavidad ramas o brazos"

&untos de corte con el e!e de abscisas raíces"

&unto de corte con el e!e de ordenadas

@aráoade

puente,una

funcióncuadrática


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#!e de simetría

9(rtice

=rientación o conca2idad

6na primera característica es la orientación o conca2idad de la

parábola. Wablamos de paráoa cónca2a si sus ramas o brazos seorientan hacia arriba y hablamos de paráoa con2exa si sus ramas obrazos se orientan hacia aba!o.

#sta distinta orientaci$n está definida por el valor el signo" que tenga elt(rmino cuadrático (a ax):

%i a 4 0 (positi2o) a paráoa es cónca2a o con puntas #aciaarria, como en f(x) / x − 5x − ;

%i a 0 (ne&ati2o) a paráoa es con2exa o con puntas #aciaaajo, como en f(x) / −5x + x + 5


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7demás, cuanto ma.or sea MaM (e 2aor asouto de a), máscerrada es a paráoa<

@untos de corte en e eje de as ascisas (-aíces o souciones)(eje de as *)

Gtra característica o elemento fundamental para graficar una funci$ncuadrática la da el valor o los valores que adquiera x, los cuales debencalcularse.

%hora, para calcular las raíces soluciones" de cualquier funci$ncuadrática calculamos

f (x) / 0.

#sto significa que las raíces soluciones" de una funci$n cuadrática sonaquellos 2aores de x para los cuales la e'presi$n vale A es decir, los2aores de x taes $ue . / 0 que es lo mismo que f(x) / 0.

#ntonces hacemos

axN + x +c / 0

omo la ecuaci$n axN + x +c / 0 posee un t(rmino de segundogrado, otro de primer grado y un t(rmino constante, no podemos aplicarlas propiedades de las ecuaciones, entonces, para resolverla usamos laf$rmula:

#ntonces, las raíces o soluciones de la ecuaci$n cuadrática nos indicanlos puntos de intersecci$n de la parábola con el eje de as *(ascisas).

@especto a esta intersecci$n, se pueden dar tres casos:

Yue corte al e!e H en dos puntos distintos

Yue corte al e!e H en un solo punto es tangente al e!e '"

Yue no corte al e!e H

#sta característica se puede determinar analizando el discriminante, yavisto en las ecuaciones cuadráticas.

Ver! cuaciones de se&undo &rado o cuadráticas

Ver! @%A! 'atemáticaD

@re&unta 58C010

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_Seg_grado.html#discriminantehttp://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_Seg_grado.htmlhttp://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_Seg_grado.htmlhttp://www.profesorenlinea.cl/PSU/Matematica/Preguntas/Pregunta%2034_2010.htmlhttp://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_Seg_grado.html#discriminantehttp://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_Seg_grado.htmlhttp://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_Seg_grado.htmlhttp://www.profesorenlinea.cl/PSU/Matematica/Preguntas/Pregunta%2034_2010.html


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@re&unta 19C00E

@unto de corte en e eje de as ordenadas (eje de as )

#n el e!e de ordenadas I" la primera coordenada es cero, por lo que elpunto de corte en el e!e de las ordenadas lo marca el valor de c (0, c).

9eamos:

@epresentar la funci$n f(x) / xN − 8x + 5

#l e!e de las ordenadas I" está cortado en +5

@epresentar la funci$n f(x) / xN − 8x − 5

#l e!e de las ordenadas I" está cortado en −5



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Gbservar que la parábola siempre cortará al e!e de las ordenadas I",pero como ya vimos más arriba al e!e de abscisas H" puede que no locorte, lo corte en dos puntos o solamente en uno.

je de simetría o simetríaGtra característica o elemento de la parábola es su eje de simetría.

#l eje de simetría de una parábola es una recta vertical que dividesim(tricamente a la curva es decir, intuitivamente la separa en dospartes congruentes. Se puede imaginar como un espe!o que refle!a lamitad de la parábola.

Su ecuaci$n está dada por:

8onde x1 y x son las raíces de la ecuaci$n de segundo grado en x,asociada a la parábola.

8e aquí podemos establecer la ecuación de eje de simetría de laparábola:

VGrtice


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omo podemos ver en gráfico precedente, el 2Grtice de la parábola esel punto de corte o punto de intersecci$n" del e!e de simetría con laparábola y tiene como coordenadas

La abscisa de este punto corresponde al valor del e!e de simetríay la ordenada corresponde al valor má'imo o mínimo de la funci$n,

según sea la orientaci$n de la parábola recuerde eldiscriminante"

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