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Flujo en RedesFlujo en Redes

Presentacin basada en cp 6 de:Luenberger and Ye. Linear and Nonlinear programming

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Modelo de la Red como Grafo Modelo de la Red como Grafo DirigidoDirigido

La red se representa mediante: Nodos, Vrtices:

Denotados n1, n2, ... Sea N el conjunto de nodos

Arcos, Enlaces, Aristas: Conexiones entre los nodos. Pueden ser dirigidos o no dirigidos. Se representan mediante pares (i,j) [ordenados si el

grafo es dirigido] . Sea E el conjunto de aristas.

Se representa el grafo con nodos N y aristas E como:G =

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EjemploEjemploEn este grafo: N = {1,2,3,4} E={ (1,2), (1,3),

(2,3), (3,4), (4,2) }12

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FlujosFlujos Un flujo lo definen

Un nodo origen: La fuente (source) Un node destino: El desage (sink) La tasa de transmisin: bps, paquetes/seg, etc.

Se representa el flujo a travs del link (i,j) por la variable xij0.

Si no existe arista entre i y j, se sobreentiende que xij=0.

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Principio de conservacinPrincipio de conservacin Para nodos distintos a la fuente y el destino, la

suma de flujos salientes de un nodo es igual a la suma de flujos entrantes (Asumiendo que no se descartan paquetes).

Considerando el nodo i

el primer trmino es el flujo total saliente y el segundo es el total de flujo entrante.

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Matrix de restriccionesMatrix de restricciones Todos los arcos incidentes tienen coeficiente -1 Todos los arcos salientes tienen coeficiente 1 Si se organizan, cada fila es un nodo (i) y cada

columna es una arista se obtiene la matrix de incidencia.

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EjemploEjemplo Para la red previamente ilustrada

i (1,3) (1,2) (2,3) (3,4) (4,2)1 1 12 -1 1 -13 -1 -1 14 -1 1

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Matrix de incidencia

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Caractersticas de ACaractersticas de A La matrix tiene como mximo rango (n-1). Observe

que la suma de las filas es cero: Una fila puede escribirse como una combinacin lineal de las otras. Sea A la matrix obtenida luego de eliminar una fila.

A tiene rango exactamente (n-1): Tomese un rbol de cubrimiento, y sea AT la submatrix

de A correspondiente a este rbol. Al aplicar el procedimiento de triangularizacin se

verifica que AT tiene rango (n-1), luego A es de rango (n-1).

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EjemploEjemplo Un rbol de cubrimiento es (1,3) - (3,4) - (4,2)

i (1,3) (1,2) (2,3) (3,4) (4,2)1 1 12 -1 1 -13 -1 -1 14 -1 1

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3 4i (1,3) (3,4) (4,2)1 1 0 0

3 -1 1 0

2 0 0 -1

Matriz Triangular correspondiente

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rboles de cubrimiento y Arboles de cubrimiento y A Todo rbol de cubrimiento es una base:

Corresponde a una matrix no singular A. El opuesto tambin es verdadero: Toda base

corresponde a un rbol de cubrimiento. Justificacin:

Suponer que no: Una base puede estar asociada a un ciclo. Ajustar los signos +/- si el ciclo cruza el arco en la direccin original, o en direccin opuesta. La suma de las columnas es cero, contradiciendo el hecho que la matrix tiene rango (n-1).

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EjemploEjemplo El ciclo (2,1) - (1,3) - (3,2) no es un rbol de

cubrimiento.

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3 4

i (1,3) -(1,2) -(2,3) (3,4) (4,2)1 1 -12 +1 -1 -13 -1 +1 14 -1 1

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EjemploEjemplo El camino (1,2) - (2,3) - (3,4) es un rbol de

cubrimiento, por lo tanto es una base.

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3 4

i (1,3) (1,2) (2,3) (3,4) (4,2)1 1 12 -1 1 -13 -1 -1 14 -1 1