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LMDE Algebra

Ejercicios Logaritmos (1)

Definición

I. Previo.

1) ¿Qué valor de x es solución de la ecuación 322 =x ?. Respuesta. 5=x , ya que 3225 = .

Notar que, en la ecuación 322 =x la variable es el exponente.

2) ¿Qué valor de x satisface la ecuación 252 =x ?. Solución. Como 1624 = y 3225 = , luego el valor de x que satisface la ecuación 252 =x debe ser un número entre 4 y 5. Usando calculadora, se puede obtener un valor aproximado de x , completando tabla de valores:

x x2 x x2 4 16 4,61 ≈ 24,420 4,1 ≈ 17,148 4,62 ≈ 24,590 4,2 ≈ 18,379 4,63 ≈ 24,761 4,3 ≈ 19,699 4,64 ≈ 24,933 4,4 ≈ 21,112 4,65 ≈ 25,107 4,5 ≈ 22,627 Luego: x toma un valor 4,6 ≈ 24,251 entre 4,64 y 4,65 4,7 ≈ 25,992 Luego: x toma un valor entre 4,6 y 4,7

Por lo tanto x = 4,64……… Notar que 24,9332 64,4 ≈

Completando una nueva tabla, se encuentra que x toma un valor entre 4,643 y 4,644; es decir, una solución más aproximada es x = 4,643 ………., etc.

Notación. • Al número x tal que 252 =x se denota 25log2 y se lee “logaritmo de 25 en la base 2”.

Luego .....643,425log2 ≈ • Al número x tal que 322 =x se denota 32log2 y se lee “logaritmo de 32 en la base 2”.

Notar que .532log2 = II. Definición. El logaritmo de un número M en una base a , denotado Malog es el exponente al

que se debe elevar la base a para obtener M. Es decir Ma Ma =log . Nota: La base a es un número real positivo, distinto de 1. Luego:

xMa =)(log si y solo si Ma x =

Ejemplos 1) 532log2 = , ya que 3225 = 2) Como ,932 = luego 29log3 =

2

3) Como 41616 2/1 == , luego 21)4(log16 = .

4) Calcule 81log3 . Solución. Una manera de calcular 81log3 es como sigue: Sea x=81log3 . Luego,

813 =x . Como 4381= , luego 4=x . Por lo tanto .481log3 = 5) Calcular a) )8(log16 b) 90log3

Solución. a) Sea x=)8(log16 . Se debe encontrar x tal que 816 =x , equivalente a 34 22 =x .

Resolviendo la ecuación 34 =x se obtiene .43

=x Luego 43)8(log16 = .

b) Sea x=90log3 . Luego, se debe resolver 903 =x . Como 8134 = y ,24335 = luego x es un número entre 4 y 5, por lo tanto ,......4=x Como ejercicio, calcule un valor aproximado de x con dos decimales.

6) ¿Existe )8(log2 − ?. Justifique. Solución. Sea x=− )8(log2 . Luego, se debería resolver 82 −=x . ¿Existe un valor de x tal que 82 −=x ?.

7) ¿Existe 1log42 ?. Justifique su respuesta. Solución. Sea x=1log42 . Luego, se debería resolver 142 =x . Verifique que 0=x es solución de esta ecuación. Luego .01log42 =

8) ¿Existe 0log4 ?. Justifique. Solución. Sea x=0log4 . Luego, se debería resolver 04 =x . ¿Existe un valor de x tal que 04 =x ?.

9) Ejercicio. ¿Existe cada uno de los siguientes logaritmos?. Escriba una conclusión. a) )32(log2 − b) )64(log4 − c) )16(log 2/1 − d) )100log(−

III. Logaritmos en una base especial: base 10 , es decir 10=a .

El logaritmo de un número M en la base 10, usando la notación dada anteriormente quedaría M10log .

Sin embargo, el logaritmo de M en base 10, se denota usualmente )log(M , o simplemente ,log M sin escribir explícitamente la base 10.

Luego, cuando en una expresión con logaritmo no aparece anotada la base, significa que la base es 10. Así:

xM =log si y solo si Mx =10

Ejemplos 1) 2)100log( = , ya que .100102 = 2) Como ,1000103 = luego 31000log = . 3) Como 1,010 1 =− , luego 1)1,0log( −= .

Nota. Las calculadoras científicas tienen una tecla especial para calcular logaritmos en base 10. La tecla es log

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IV. Ejercicios

1) Calcule cada logaritmo, justificando su respuesta: a) 243log3 b) 125log5 c) 36log6 d) 7log49 e) 4log8

f) 27log9 g) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

31log3 h) ( )125,0log2 i) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

21log4

2) Calcule cada logaritmo, justificando su respuesta: a) )3(log 5

3 b) )9(log 43 c) )3(log 5

9 d) )27(log9 e) )27(log 49

f) )3(log 49/1 g) )4(log16 h) )81(log27 i) )3(log 4

9/1 i) )125(log25

3) Verifique cada afirmación, y escriba el exponente usando notación de logaritmo:

a) 218737 = b) 1024

14 5 =− c) 11230 = d) 00110000 2/1 = e) 84 5,1 =

4) Calcule cada expresión: a) 9log33 b) 32log22 c) 125log55 d) )1000log(10

5) Calcule cada logaritmo, ¿qué concluye? a) )1(log3 b) )1(log51 c) )1(log 7/1 d) )1(log123

6) Calcule cada logaritmo, justificando su respuesta: a) )10000log( b) 10log c) 001,0log

d) 1log e) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛10000

1log f) )3(log 49/1

g) )10log( 7 h) )1000(log 4100 i) )10(log 5

1,0

j) )10(log100 k) )1000(log100 l) )100(log 1,0

7) Use calculadora para estimar cada logaritmo. Compruebe, calculando una potencia:

a) )5log( b) 2log c) 25log d) 50log e) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

51log

f) )450log( g) )315log( h) )5,31log( i) )15,3log(

8) Para cada valor de DCM ⋅= , calcule )log(M , y verifique usando calculadora, que: DCDC loglog)log( +=⋅

a) 52 ⋅=M b) 4025 ⋅=M c) 725 ⋅=M d) 325123 ⋅=M e) 3755,45 ⋅=M f) 10000027,376 ⋅=M

9) Para cada valor de tCM = , calcule )log(M , y verifique usando calculadora, que:

CtC t log)log( ⋅= a) 52=M b) 1225=M c) 210−=M d) 1513=M e) 51,0=M f) 2/1625=M

10) Sean CBA ,, nos reales positivos tales que 102,3log =A , 237,103log =B , 108,23log −=C

calcular: a) )log( BA ⋅ b) )log( CA ⋅ c) )log( 5A d) )log( 10−C e) )log( 73 −⋅ BA f) )log( 32 CBA ⋅⋅ g) ( ) )log( 7CB ⋅ h) )log( 012 BA ⋅