2-ESO

19◾ MATEMÁTICAS 2.° ESO ◾ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ◾

1 Números enterosPROGRAMACIÓN DE AULA

ObjETIvOS

• Reconocer la presencia de los números enteros en distintos contextos.

• Calcular el valor absoluto de un número entero.

• Ordenar números enteros.

• Realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números enteros.

• Calcular y operar con potencias de base entera.

• Hallar la raíz entera de un número natural.

• Realizar operaciones combinadas de números enteros con y sin paréntesis, respetando la jerarquía de las operaciones.

• Hallar todos los divisores de un número entero.

• Calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de varios números enteros.

CONTENIDOS

CONCEPTOS • Números enteros. Ordenación.

• Sumas y restas de números enteros. Operaciones combinadas.

• Multiplicación de números enteros. División exacta de números enteros.

• Potencias de exponente natural. Operaciones con potencias.

• Raíz cuadrada exacta de un número entero. Raíz cuadrada entera por defecto y por exceso de un número entero. Restos.

• Jerarquía de las operaciones.

• Divisibilidad en los números enteros.

PROCEDIMIENTOS, DESTREzaSy habIlIDaDES

• Representación y ordenación de números enteros.

• Cálculo del valor absoluto y del opuesto de un número entero.

• Suma y resta de números enteros.

• Multiplicación y división de números enteros, aplicando la regla de los signos.

• Utilización de las reglas de las operaciones con potencias.

• Cálculo de la raíz cuadrada entera y el resto de un número natural.

• Conocimiento y utilización de la jerarquía de las operaciones, los paréntesis y signos en el cálculo de operaciones combinadas con números enteros.

• Determinación de todos los divisores de un número entero.

• Cálculo del m.c.d. y del m.c.m. de dos números enteros mediante su descomposición en factores primos.

aCTITUDES • Valoración de la precisión y la utilidad del lenguaje numérico para representar, comunicar y resolver situaciones cotidianas.

• Respeto y valoración de las soluciones aportadas por otros compañeros.

• Utilización crítica y cuidadosa de la calculadora.

UNIDAD 1

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COMPETENCIAS QUE SE TRAbAjAN

• Interpretar críticamente información proveniente de diversos contextos que contiene distintos tipos de números; relacionarlos y utilizarlos, eligiendo la representación adecuada en cada caso.

• Reconocer y calcular el resultado de las operaciones básicas con números, decidiendo si es necesaria una respuesta exacta o aproximada, y aplicando el modo de cálculo más pertinente (mental, algoritmos de lápiz y papel o calculadora).

• Conocer, valorar y utilizar sistemáticamente conductas asociadas a la actividad matemática, tales como el orden, contraste, precisión y revisión sistemática, y crítica de los resultados.

CRITERIOS DE EvALUACIÓN

• Comparar números enteros y representarlos en la recta numérica.

• Obtener el valor absoluto y el opuesto de un número entero.

• Sumar y restar números enteros.

• Aplicar la regla de los signos en las multiplicaciones y divisiones de números enteros.

• Realizar operaciones combinadas, respetando la jerarquía de las operaciones.

• Efectuar divisiones exactas de números enteros.

ESQUEMA DE LA UNIDAD

• Calcular potencias de exponente natural.

• Utilizar, de manera adecuada, las reglas de las operaciones con potencias, respetando la jerarquía de las operaciones.

• Calcular la raíz cuadrada exacta y entera de un número entero.

• Hallar el m.c.d. y el m.c.m. de un conjunto de números enteros, mediante descomposición en producto de factores primos.

NÚMEROS ENTEROS

El conjunto Z de los números enteros está formado por:

• Los enteros positivos: +1, +2, +3, +4…

• El número 0.

• Los enteros negativos: -1, -2, -3, -4…

Operaciones

Suma

• Si los números tienen igual signo, se suman sus valores absolutos y se pone el mismo signo.

(+6) + (+7) = +13 (-6) + (-7) = -13

• Si los números tienen distinto signo, se restan sus valores absolutos (el menor del mayor) y se pone el signo del sumando de mayor valor absoluto.

(-7) + (+6) = -1 (-6) + (+7) = +1

Resta

• El opuesto de un entero es el mismo número cambiado de signo.

Op (+3) = -3 Op (-3) = +3

• Para restar dos números enteros se suma al primer sumando el opuesto del segundo.

(-5) - (-2) = (-5) + Op (-2) = -3

Multiplicación y división

Para multiplicar (o dividir) números enteros se multiplican (o dividen) sus valores absolutos.

El signo del resultado es +, si ambos tienen igual signo, y -, si tienen signos distintos.

(+2) ? (-3) = -6 (-4) ? (-2) = +8 (-12) : (+6) = -2 (+15) : (+3) = +5

UNIDAD 1

LECTURA INICIAL

El año cero

Dionisio el Exiguo fue un monje que nació a finales del siglo V y murió a mediados del siglo VI. De origen armenio, fue abad en un convento de Roma y destacó intelectualmente en su época, por lo que recibió el encargo, por parte del Papa, de unificar en el calendario la fecha de celebración de la Pascua en el mundo cristiano.

Al investigar y fijar las fechas de celebración de las fiestas de Pascua, que es la festividad más importante de la religión cristiana, no tomó como referencia la fecha de la fundación de Roma, sino la del nacimiento de Jesucristo, que él mismo dató en el año 754 a.u.c. (ab urbe condita) de la fundación de Roma. Esta fecha y el nacimiento de la era cristiana recibirían el apoyo definitivo por parte de Carlomagno, más de dos siglos después, al fechar los documentos oficiales contabilizando los años desde entonces.

En cuanto a la polémica surgida en torno al año cero, hay autores que afirman que no existe el año cero porque, en esa época, en Europa no se tenía conocimiento del cero. Ciertamente no se conocía el cero a nivel operativo (como elemento neutro para la suma), pero sí se tenía constancia de su significado, y así se recoge en escritos de la época con la palabra latina Nullae, que significa «nada».

Por tanto, lo que realmente no existía no es el cero, como acabamos de ver, sino los números negativos; de hecho, no se hablará de años antes de Cristo en el sentido de número negativo hasta el siglo XVII. Así, en el siglo V, el año anterior al año 1 d.C. no era el año -1, sino el año 753 a.u.c.

El criterio de la ordinalidad de las fechas es plausible en el sentido de que explica, no solo la inexistencia del año cero en la era cristiana, sino por qué los árabes tampoco tienen año cero, aunque en el siglo VIII ya operaban con el número cero, procedente de la India, y no sería extraño que lo conocieran a finales del siglo VII, cuando se instauró el calendario hegiriano (la Hégira tuvo lugar en el año 622 d.C.).

UNIDAD 1

22 ◾ MATEMÁTICAS 2.° ESO ◾ MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ◾

Grecia, ció

quienes ación eran

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TOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ◾ 21

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CURIOSIDADES MATEMáTICAS

Pares e impares

La paridad, es decir, el hecho de que un número sea par (divisible por 2) o impar, aparece en numerosos contextos de la vida cotidiana.

Uno de ellos es la numeración de las casas en las calles. En una acera están los números impares, y en la opuesta, los pares.

En la informática tiene también especial relevancia el concepto de paridad. Los ordenadores trabajan con información en el sistema binario, es decir, utilizan solo las cifras 1 y 0. A la hora de guardar la información en la memoria, y para asegurarse de que lo hacen correctamente, los ordenadores añaden a cada byte (grupo de 8 bits) el llamado bit de paridad, que permite comprobar si ese byte es correcto o no.

Si el ordenador usa un método de paridad par, añade un 1 al byte cuando este tiene un número impar de cifras 1. En otro caso, añade un 0. En el método de paridad impar funciona al revés: se añade un 1 al byte, si este tiene un número par de cifras 1, y un 0 en caso contrario. Observa los ejemplos:

Método de paridad par: 11100010 Bit añadido: 0 (hay 4 cifras 1) 10001111 Bit añadido: 1 (hay 5 cifras 1)

Método de paridad impar: 11100010 Bit añadido: 1 (hay 4 cifras 1) 10001111 Bit añadido: 0 (hay 5 cifras 1)

Otro contexto en el que aparece la noción de paridad es en los juegos. Así, por ejemplo, en la ruleta se puede apostar a que la bola caiga en Par o en Impar.

También existe un juego con monedas llamado «Par o impar». El número de jugadores en este juego suele ser de dos, cuatro o seis. Cada jugador coge un número de monedas. Por turno cada uno elige «par» o «impar», indicando la paridad del número total de monedas que ambos jugadores van a sacar. A una señal, los jugadores muestran las monedas que guardan en su mano y se anota un punto el jugador que haya acertado.

Tales de Mileto

Tales de Mileto fue uno de los siete sabios de además del primer matemático griego que ini el desarrollo de la Geometría.

Tuvo que soportar durante años las burlas de pensaban que sus horas de trabajo e investig inútiles. Pero un día decidió sacar rendimiento a sus conocimientos. Sus observaciones met por ejemplo, le sirvieron para saber que la sig cosecha de aceitunas sería muy abundante. A todas las prensas de aceitunas que había en M La cosecha fue excelente, y los agricultores t que pagarle por utilizar las prensas.


MATEMáTICAS CON ORDENADOROpenOffice. CALCes.openoffice.org

Calcula el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de los siguientes

números. a) 32, 24 y 16 b) 15, 10 y 30 c) 12 y 16 d) 21, 28, 63 y 35

1. Utilizamos para cada apartado una fila.Situamos el cursor en la celda siguiente a una de las filas con mayor cantidad de números.

3. Nos situamos en el primer número de la fila elegida y arrastramos hasta el último. Aceptamos y nos aparece el resultado.

2. Pulsamos y elegimos la categoría Matemáticas. En esta categoría marcamos la función M.C.M().

4. Nos situamos en la siguiente celda y repetimos los pasos anteriores pero eligiendo la función M.C.D().

5. Copiamos el rango y lo pegamos en las filas del resto de los apartados para obtener el m.c.m. y el m.c.d. en cada caso.

SUGERENCIAS PARA RESOLvER LAS ACTIvIDADES

1 Podemos utilizar la tabla construida en el ejemplo para resolver este ejercicio.

Como todos los apartados tienen la misma cantidad de números, reescribimos en cada celda los datos de cada uno de ellos. Automáticamente se recalculan los valores del máximo común divisor y mínimo común

múltiplo.


2 Utilizamos una columna para la multiplicación de los números y otra para la multiplicación del mínimo común múltiplo y del máximo común divisor. Al cambiar los números iniciales se puede observar la relación existente entre las dos columnas.

Para ver que pasa con tres y cuatro números el proceso es el mismo.

UNIDAD 1


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RSO

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L

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LA

PASO A PASO

OpenOffice. CALCes.openoffice.org

1 Escribimos los rótulos en las celdas E1 y F1.

En la fila 2 escribimos en las tres primeras celdas, A2, B2 y C2, los números del apartado a). Utilizamos las primeras celdas de las filas 3, 4 y 5 para los apartados b), c) y d).

Elegimos la fila con más números y nos situamos en la primera celda libre. En este caso la fila 5, y en la celda E5. Vamos a realizar primero el apartado d).

2

Utilizamos la función M.C.M (Número1; Número2; ...) para calcular el mínimo común múltiplo de los números.

Y pulsamos el botón Siguiente.

Nos situamos en la celda A5 y manteniendo pulsado el 3 botón izquierdo del ratón, arrastramos hasta la celda D5

para elegir el rango de datos.

Otra forma de realizar este proceso es situarnos en la casilla Número 1 y pulsar la celda A5. A continuación, en la casilla Número 2 y pulsar la celda B5, y así sucesivamente.

Pulsamos Aceptar y obtenemos en la celda E5 el mínimo común múltiplo de los números del apartado d).

4 Nos situamos en la celda F5 y seguimos las indicaciones del paso 3 utilizando la función M.C.D (Número1; Número2; ...) para calcular el máximo común divisor. Pulsamos Siguiente y elegimos el mismo rango que en el paso 3. Al pulsar de nuevo Aceptar obtenemos en la celda F5 el máximo común divisor de los números del apartado d).

5Para resolver el resto de apartados, como en el paso 1, elegimos la fila que tiene más números. Ahora podemos copiar las celdas E5 y F5 en el resto de filas.

El proceso es elegir el rango E5:F5 y copiarlo en el rango E2:F2 para el apartado a), en el rango E3:F3

ACTIVIDADES

MATEMáTICAS CON ORDENADOR Microsoft Office. EXCEL

Calcula el mínimo común múltiplo y el máximo comun divisor de los siguientes números.

a) 32, 24 y 16 b) 15, 10 y 30 c) 12 y 16 d) 21, 28, 63 y 35

1. Utilizamos para cada apartado una fila.Situamos el cursor en la celda siguiente a una de las filas.

2. Pulsamos y elegimos la categoría Matemáticas y trigonométricas. En esta categoría marcamos la función M.C.M().

3. Nos situamos en el primer número de la fila elegida y arrastramos hasta el último. Aceptamos y nos aparece el resultado.

4. Nos situamos en la siguiente celda y repetimos los pasos anteriores pero eligiendo la función M.C.D().

5. Repetimos el proceso en las filas del resto de los apartados para obtener el m.c.m. y el m.c.d. en cada caso.

PRACTICA

1. Calcula el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de los siguientes grupos de números.

a) 124, 126 y 128 c) 1 100, 260 y 833

b) 342, 624 y 400 d) 3 690, 8 430 y 1 990

INVESTIGA

2. Escribe dos números y multiplícalos. Después, calcula su mínimo común múltiplo y su máximo común divisor, y multiplícalostambién. ¿Qué observas? ¿Ocurre lo mismo con otros números? ¿Y con tres números? ¿Y con cuatro?

UNIDAD 1


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L

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LA

PASO A PASO

Microsoft Office. EXCEL

1 Escribimos los rótulos en las celdas E1 y F1.

En la fila 2 escribimos en las tres primeras celdas, A2, B2 y C2, los números del apartado a). Utilizamos las primeras celdas de las filas 3, 4 y 5 para los apartados b), c) y d).

Elegimos la fila con más números y nos situamos en la primera celda libre. En este caso la fila 5, y en la celda E5. Vamos a realizar primero el apartado d).

2

Utilizamos la función M.C.M (Número1; Número2; ...) para calcular el mínimo común múltiplo de los números.

Y pulsamos el botón Aceptar.

3 Nos situamos en la celda A5 y manteniendo pulsado el botón izquierdo del ratón, arrastramos hasta la celda D5 para elegir el rango de datos.

Otra forma de realizar este proceso es situarnos en la casilla Número 1 y pulsar la celda A5. A continuación, en la casilla Número 2 y pulsar la celda B5, y así sucesivamente.

Pulsamos Aceptar y obtenemos en la celda E5 el mínimo común múltiplo de los números del apartado d).

4Nos situamos en la celda F5 y seguimos las indicaciones del paso 3 utilizando la función M.C.D (Número1; Número2; ...) para calcular el máximo común divisor. Pulsamos Siguiente y elegimos el mismo rango que en el paso 3. Al pulsar de nuevo Aceptar obtenemos en la celda F5 el máximo común divisor de los números del apartado d).

5

Para resolver el resto de apartados, volvemos a utilizar las funciones =M.C.M() y =M.C.D() utilizando el rango A2:C2 para el apartado a), A3:C3 para el apartado b) y A4:B4 para el apartado c).

RESUELVE LAS SIGU

a) Redondea a las ce rascacielos de la ta da uno de los casos

b) Redondea las altura metes ahora con ca

c) Trunca a las cente las alturas de todo la tabla. ¿Qué erro casos?

d) Halla la suma de la Después, obtén el suma redondeando

e) Calcula el error en vez de

redondear,

EN LA VIDA COTIDIANA...

Rascacielos

En este proyecto pretendemos que aprendas a:

• Conocer algunos de los rascacielos más altos del mundo y trabajar las aproximaciones.• Utilizar la divisibilidad y los números enteros en contextos reales.

1 Los diez rascacielos más altos del mundo

Desde los primeros tiempos de la historia, el ser hu- mano ha querido construir edificios tan altos que casi llegasen a tocar el cielo. Los rascacielos, como las de- más estructuras arquitectónicas, han tenido un largo período de evolución. Avances tecnológicos como la invención del primer elevador con freno de emergen- cia por Elisha Otis, hacia 1850, y el uso del acero en las estructuras de las construcciones, hicieron posible que los edificios se elevasen cada vez más.

En 1910, el edificio Metropolitan Life llegó a tener 50 pisos de altura, algo insólito hasta entonces. Dos décadas más tarde se levantaba el Empire State con sus 102 pisos.

La acción terrorista contra las Torres Gemelas, que en el momento del atentado ocupaban (con 411 metros de altura) el tercer puesto entre los edificios más altos del mundo, así como otros problemas asociados a estos edificios, han suscitado un movimiento de reflexión sobre su conveniencia.

Algunos de los rascacielos más altos del mundo son:

Nombre País Altura (m)

Torres Petronas Malasia 452

Torre Sears EE UU 436

Jim Mao Building China 421

Plaza Rakyat Malasia 382

Empire State Building EE UU 369

Tuntex & Chein Taiwan 347

Amoco EE UU 346

Centro John Hancock EE UU 343

Shung Hing Square China 325

Plaza CITIC China 322

IENTES ACTIVIDADES.

ntenas las alturas de todos los bla. ¿Qué error cometes en ca-?

s a las decenas. ¿Qué error co- da aproximación?

nas y, después, a las decenas s los rascacielos que muestrar cometes en cada uno de los

decenas.

s alturas de los diez rascacielos. error cometido al estimar esa a las centenas y a las decenas.

la estimación de la suma si, en truncas a las centenas y a las

La evolución de las concepciones arquitectónicas y la aplicación de soluciones tecnológicas han ido permi- tiendo levantar edificios cada vez más altos.

f) Estima cuántos rascacielos haría falta colocar, uno encima del otro, para conseguir 1 km de

altura. Redondea el divisor a las centenas.

2 Proyectos para el futuro

Ex sten en a actua dad proyectos para constru r ed - Este proyecto, en ef c os aún más a tos. Entre os que han ten do mayor españo es, pretende pub c dad y s gn f cac ón en os ú t mos años está e trucc ón, impulsand Proyecto Torre B ón ca, e aborado por Cervera & P oz distintas a las actual and Partners. Las novedosas técn

los principios de flextructuras biológicas, pacidad y uso de la económicas, medioa donde se construya.

La altura de la Torr300 plantas), tend

100 000 personas, desplazamiento verti

REALIZA LAS ACTI

a) ¿Cuántos metros la Torre Biónica? el dividendo.

b) ¿Cuántas copias mos apilar, una de la Torre Bión el resultado redo error cometido.

HAZ ESTAS A

a) En una ma ascensores desde la pl utilizaron e mayor de 4

b) Si colocáse pias de las hasta obte

¿cuántas co

c) Partiendo d edificios, su subir 70 y cada uno d

d) Supongam sea de 2 pi en subir de edificio? ¿Y

e) Hemos tar¿De qué pl edificios?

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LALas Torres Petronas,

que puedes ver en la fotografía inferior, tienen 88 pisos sobre el suelo, 5 pisos bajo tierra y cuentan con 76 ascensores, incluyen- do 29 de ellos de alta velocidad en cada torre. Cada uno de estos ascensores puede transportar a 26 personas. La Torre Sears, de Chicago, consta de 108 pisos sobre el suelo y 3 pisos bajo tierra, y tiene un total de 104 ascensores.

CTIVIDADES.

ñana, en las Torres Petronas, todos los de alta velocidad han subido llenos

anta baja. Halla cuántas personas los n total, si el número de personas fue5 000 y menor de 46 000.

mos, apiladas una encima de otra, co- Torres Petronas y de la Torre Sears,

ner dos edificios con la misma altura,pias de cada una necesitaríamos?

el piso más bajo de cada uno de los dos bimos 20 pisos, bajamos 23, volvemos a bajamos 48. ¿En qué piso estaremos en e los casos?

os que la velocidad de los ascensores sos por segundo. ¿Cuánto tardaríamos sde el piso 0 al piso más alto de cada en subir desde el piso más bajo?

dado 30 segundos en llegar al piso 12. anta hemos partido en cada uno de los

i l li i i i i l l i

li i i i i i l l i l i i l i

l que figuran muchos especialistas

l dar un salto cualitativo en la cons-i o el uso de técnicas totalmente

es.

icas, basadas en la imitación de ibilidad y adaptabilidad de las es- permitirían ajustar la altura, ca-

torre a las diferentes condiciones mbientales y sociales de la ciudad

e Biónica será de 1 228 m (con rá una capacidad máxima para y en ella habrá 368 ascensores de cal y horizontal.

VIDADES.

de altura tendría cada planta deHaz una estimación redondeando

de las Torres Petronas necesitaría- sobre otra, para alcanzar la altura ica? Calcula el resultado exacto y

ndeando a las centenas, y halla el

ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Buscar regularidades

Estrategia La estrategia de buscar regularidades consiste en tratar de averiguar,dados los primeros elementos de una secuencia, cuál es su regla de formación,y así poder hallar los siguientes elementos de la secuencia.

PRObLEMA RESUELTO

Un caminante encuentra en el desierto la serie de montones de piedras que se muestra en la figura. Tras observarlosun rato, se da cuenta de cómo se ha formado la secuencia.¿Sabrías deducir cuántas piedras tendría el siguiente montón?¿Y el siguiente a este?

Planteamiento y resolución

Comenzamos por hacer un listado del número de piedras de cada montón para intentar hallar algún patrón o regla de formación:

Montón 1.º 2.º 3.º 4.º 5.º 6.º

Piedras 1 1 2 3 5 8

Si observas la secuencia, te darás cuenta de que el número de piedras de cada montón es igual a la suma de las piedras de los dos montones anteriores a él:

2 = 1 + 1 3 = 1 + 2 5 = 2 + 3 8 = 3 + 5

Por tanto, el siguiente montón tendrá: 5 + 8 = 13 piedras y el siguiente a este tendrá: 8 + 13 = 21 piedras. Esta serie de números, donde cada uno es igual a la suma de los dos anteriores a él, se llama serie de Fibonacci, en honor a un matemático italiano del Renacimiento.

PRObLEMAS PROPUESTOS

1 En la figura aparecen los cuatro primeros 2 Los números del interior de los cuadrados números triangulares (aquellos que pueden se forman a partir de los que les rodean colocarse formando un triángulo). ¿Sabrías siguiendo la misma regla (solo se usandecir cuál es el quinto número triangular? las operaciones básicas). Completa el interior¿Y el sexto? ¿Y el décimo número triangular? del último cuadrado.

3 1

-2 5 4 9 1 -9

-3 2

1 3 6 10 6 7 4 8 -4

OBJETIVO 1

COMPRENDER El SIGNIFICaDO DE lOS NÚMEROS POSITIVOS y NEGaTIVOS

AD

APT

AC

IÓN

CU

RR

ICU

LA

R

INTRODUCCIÓN

La representación numérica en la recta de los números enteros nos introduce en el estudio de su ordenación y comparación, el concepto de valor absoluto y la existencia de los signos + o - que les preceden.

Utilizando conceptos ya adquiridos como: añadir, tener, sobre, más que; reducir, menos que, deber, bajo, junto con las reglas de los signos y el uso de los paréntesis, realizaremos operaciones básicas con los números enteros.

El concepto de múltiplo y divisor común de dos números, ligado a su relación de divisibilidad, requiere el dominio de las operaciones básicas de multiplicación y división de números naturales.

RESUMEN DE LA UNIDAD

• Los números enteros son los números naturales precedidos de los signos + y -, y el número 0. El mayor de dos números naturales se sitúa siempre más a la derecha en la recta numérica.

• Los múltiplos de un número contienen al número una cantidad exacta de veces. Los divisores de un número son aquellos que caben exactamente en él una serie de veces.

• Descomponer un número en factores primos permite expresar dicho número como producto de distintos números primos elevados a exponentes.

• El máximo común divisor (m.c.d.) de dos números es el mayor de los divisores comunes de ambos.

• El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos números es el menor de los múltiplos comunes de ambos.

ObjETIvOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS

1. Comprender el significado

de los números positivos y negativos.

• Números enteros negativos y positivos.

• Recta numérica: representación, orden y comparación de números enteros.

• Valor absoluto. Opuesto de un número.

• Reconocimiento de números enteros.

• Ordenación y comparación de los números enteros.

• Cálculo del valor absoluto.

2. Realizar operaciones aritméticas con números enteros.

• Suma y resta de números enteros.

• Operaciones combinadas.

• Multiplicación y división de números enteros. Regla de los signos.

• Realización de operaciones de suma, resta, multiplicación y división de números enteros.

• Uso correcto de paréntesis y signos.

3. Realizar operaciones con potencias.

• Producto y cociente de potencias con la misma base.

• Potencias de exponentes cero y uno.

• Potencia de una potencia.

• Desarrollo inicial de operaciones con potencias.

• Aplicación de las técnicas de cálculo para hallar potencias.

4. Identificar los múltiplos

y los divisores de un número.

• Múltiplos y divisores de un número.

• Relación de divisibilidad.

• Obtención de los múltiplos y divisores de un número.

• Relación entre múltiplo y divisor.

5. Descomponer en factores primos. Calcular el m.c.d. y el m.c.m.

• Números primos y compuestos.

• Descomposición en factores primos.

• Múltiplos y divisores comunes: el m.c.d y el m.c.m.

• Identificación de números primos y compuestos.

• Producto de factores primos.

• Cálculo del m.c.d. y el m.c.m. Resolución de problemas.

NOMBRE: CURSO: FECHA:

NÚMEROS NEGATIvOS

• En nuestra vida diaria observamos, leemos y decimos expresiones del siguiente tipo.

EXPRESIONES COMUNESSE ESCRIbE

MATEMÁTICAMENTESE LEE

Hemos dejado el coche en el segundo sótano. -2 Menos dos

El submarino está a cien metros bajo la superficie del mar. -100 Menos cien

Hace una temperatura de cuatro grados bajo cero. -4 Menos cuatro

Tu cuenta está en números rojos: debes 120 €. -120 Menos ciento veinte

-2, -100, -4, -120 son números negativos.

• Expresan cantidades, situaciones o medidas cuyo valor es menor que cero.

• Les precede el signo menos (-).

• Se asocian a expresiones del tipo: menos que, deber, bajo, disminuir, restar, me he gastado...

1 Completa la siguiente tabla:



La cueva está a cincuenta y cinco metros de profundidad.

La sección de juguetes está en el tercer sótano.

La temperatura fue de un grado bajo cero.

La estación de metro se encuentra a cuarenta y cinco metros por debajo del suelo.

He perdido 2 €.

2 Escribe situaciones que representen los siguientes números negativos.

a) -2 �� b) -5 �� c) -10 �� d) -150 ��


AD

APT

AC

IÓN

CU

RR

ICU

LA

R

NÚMEROS POSITIvOS

• Por otro lado, también observamos, leemos y decimos expresiones como:



La ropa vaquera está en la tercera planta. +3 Más tres

La gaviota está volando a cincuenta metros sobre el nivel del mar. +50 Más cincuenta

¡Qué calor! Estamos a treinta grados sobre cero. +30 Más treinta

Tengo en el banco 195 €. +195Más ciento noventa

y cinco

+3, +50, +30, +195 son números positivos.

• Expresan cantidades, situaciones o medidas cuyo valor es mayor que cero.

• Les precede el signo más (+).

• Se asocian a expresiones del tipo: más que, tengo, sobre, aumentar, añadir, sumar…




Estamos a treinta y dos grados sobre cero.

El avión vuela a mil quinientos metros sobre el nivel del mar.

El monte tiene una altura de ochocientos metros.

La cometa es capaz de volar a ochenta metros.

Me encontré en el suelo un billete de 5 €.

Te espero en la planta baja.

Los números positivos, negativos y el cero forman el conjunto de los números enteros, conjunto representado por la letra Z.

• Positivos: +1, +2, +3, +4, +5, +6…

• Negativos: -1, -2, -3, -4, -5, -6…

• Cero: 0


4 Un termómetro ha marcado las siguientes temperaturas en grados centígrados durante siete días.Exprésalas con números enteros.

LUNES MARTES MIÉRCOLES jUEvES vIERNES SÁbADO DOMINGO

Dos sobre cero

Cinco sobre cero

Cero gradosTres

bajo ceroDos

sobre ceroUno

bajo ceroCinco

bajo cero

REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS. ORDEN EN LA RECTA NUMÉRICA

Los números enteros se representan en una recta de esta manera:

1.º Dibujamos una recta y señalamos el cero, 0.

2.º Dividimos la recta en segmentos iguales (unidades), a la derecha y la izquierda del cero.

3.º A la derecha colocamos los números enteros positivos, y a la izquierda colocamos los números enteros negativos.

Observa que están ordenados:

… -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 …

Números enteros negativos F Números enteros positivos F

5 Representa en una recta los siguientes números enteros: +8, -9, +5, 0, -1, +6, -7, +11, -6.

6 Dados los números enteros: -7, +8, +3, -10, +6, +4, -2:

a) Represéntalos en la recta numérica.

b) ¿Cuál está más alejado del cero? ¿Y cuál está más cerca del cero?

c) Escribe, para cada uno de ellos, otro número situado a igual distancia del cero que él.

COMPARACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

En la recta numérica se pueden representar los números enteros ordenados, para compararlos hay que te-ner en cuenta:

1.º Un número entero positivo es mayor que cualquier número entero negativo.

2.º Entre varios números enteros, siempre es mayor el que está situado más a la derecha sobre la recta.

3.º Para comparar utilizamos los símbolos mayor que (>) y menor que (<).

… -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 …

Números enteros negativos F Números enteros positivos F

… -7 < -6 < -5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < +1 < +2 < +3 < +4 < +5 < +6 < +7…

… +7 > +6 > +5 > +4 > +3 > +2 > +1 > 0 > -1 > -2 > -3 > -4 > -5 > -6 > -7…

AD

APT

AC

IÓN

CU

RR

ICU

LA

R

7 Ordena.

DE MENOR A MAYOR (<) DE MAYOR A MENOR (>)

-8, -16, +5, -2, +13, +3, -4, -9, +9, 0, +18, -10

+11, -2, +8, 0, -1, +5, -6, +3, -3, +7, -4, -9, +17

8 Escribe el signo que corresponda entre cada par de números enteros: < o >.

a) +5 -2 c) -1 0 e) +11 +15 g) -7 -4

b) 0 +8 d) -4 +1 f) +10 -9 h) +5 -11

vALOR AbSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO

• El valor absoluto de un número entero es la distancia, en unidades, que le separa del cero en la recta numérica.

• En la práctica se escribe entre dos barras qu y resulta el mismo número sin su signo:Valor absoluto de -5 se escribe q-5u y es 5. Valor absoluto de +5 se escribe q+5u y es 5.

• Los números enteros +5 y -5 están a la misma distancia del cero: 5 unidades.

Observa que: q+5u = 5u q-5u = 5

-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5

• Se dice que +5 y -5 son números opuestos y se escribe así: Op (+5) = -5 Op (-5) = +5

• Dos números opuestos tienen el mismo valor absoluto.


vALOR AbSOLUTO RESULTADO SE LEE

q+10u 10 El valor absoluto de +10 es 10.

q-8u

7

q-9u

El valor absoluto de -15 es 15.

10 Para cada número entero, halla su número opuesto y represéntalos en una recta numérica.

a) -3 b) +9 c) -12 d) +8

UNIDAD 1

3

3


Para sumar dos números enteros del mismo signo, se suman sus valores absolutos y al resultado se le pone el signo de los sumandos.

EjEMPLO

(+3) + (+2 ) " q+3u = 3 q+2u = 2

3 (+3) + (+2) = +53 + 2 = 5

+2

(+3) + (+2) = +5

… -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 …

(-4) + (-1 ) " q-4u = 4 q-1u = 1 3 (-4) + (-1) = -54 + 1 = 5

Para sumar dos números enteros de distinto signo, se restan sus valores absolutos y al resultado se le pone el signo del sumando con mayor valor absoluto.

EjEMPLO

(+5) + (-1 ) " q+5u = 5 q-1u = 1

(+5) + (-1) = +45 - 1 = 4

-1

(+5) + (-1) = +4

… -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 …

(-6) + (+5 ) " q-6u = 6 q+5u = 5

(-6) + (+5) = -16 - 5 = 1

1 Realiza y representa en la recta numérica las siguientes sumas.

a) (-3) + (-1) b) (+4) + (+4) c) (+5) + (-2) d) (-2) + (-5) e) (+4) + (-4)

Para restar dos números enteros se suma al primero el opuesto del segundo. Se aplica a continuación la regla de la suma de números enteros.

EjEMPLO

(+5) - (+2) = (+5) + (-2) = +3

Op (+2) = -2 q+5u = 5 3 5 - 2 =

3

q-2u = 2

UNIDAD 1EjEMPLO

(-6) - (-1) = (-6) + (+1) = -5

Op (-1) = +1 q-6u = 6 3 6 - 1 = 5q+1u = 1

AD

APT

AC

IÓN

CU

RR

ICU

LA

R

OPERACIONES COMbINADAS DE SUMAS Y RESTAS DE NÚMEROS ENTEROS

Los números enteros pueden combinarse mediante sumas y restas. Hay que tener en cuenta una serie de reglas:

• Cuando el primer sumando es positivo se escribe sin signo.

• Al eliminar los paréntesis, el signo que le precede afecta a todos los números:

– El signo + mantiene los signos de todos los números: +(-7 + 2 - 1 + 8) = -7 + 2 - 1 + 8

– El signo - cambia los signos de todos los números: -(-7 + 2 - 1 + 8) = +7 - 2 + 1 - 8

Podemos operar de dos formas:

• Sumar por separado los enteros positivos, los enteros negativos y hallar la resta entre ambos.

• Realizar las operaciones en el orden en que aparecen.

EjEMPLO

Haz estas operaciones.

a) (+7) + (+2) = 7 + 2 = 9

b) (-4) + (-1) = -4 - 1 = -5

c) Primera forma: +(-5 + 3 - 2 + 7) = -5 + 3 - 2 + 7 = -7 + 10 = +3

Segunda forma: +(-5 + 3 - 2 + 7) = -5 + 3 - 2 + 7 = -2 - 2 + 7 = -4 + 7 = +3

d) Primera forma: -(-5 + 3 - 2 + 7) = +5 - 3 + 2 - 7 = 7 - 10 = -3

Segunda forma: -(-5 + 3 - 2 + 7) = +5 - 3 + 2 - 7 = +2 + 2 - 7 = + 4 - 7 = -3

2 Realiza las siguientes operaciones, utilizando las reglas anteriores.

Ejemplo: (+11) + (-2) = 11 - 2 = 9

a) (+7) + (+1) = d) (+10) - (+2) =

b) (-15) + (-4) = e) (-11) - (-10) =

c) (+9) - (-5) = f) (-7) + (+1) =

3 Haz las operaciones.

a) 7 - 5 = d) -3 + 8 =

b) 11 - 4 + 5 = e) -1 + 8 + 9 =

c) -9 - 7 = f) -10 + 3 + 7 =

4 Calcula.

a) 5 - 7 + 19 - 20 + 4 - 3 + 10 =

b) -(8 + 9 - 11) =

c) 9 - 11 + 13 + 2 - 4 - 5 + 9 =

d) -(20 + 17) - 16 + 7 - 15 + 3 =

UNIDAD 1

5 Calcula el resultado de las siguientes operaciones combinadas.

a) 8 - (4 - 7) =

b) -4 - (5 - 7) - (4 + 5) =

c) -(-1 - 2 - 3) - (5 - 5 + 4 + 6 + 8) =

d) (-1 + 2 - 9) - (5 - 5) - 4 + 5 =

e) (-1 - 9) - (5 - 4 + 6 + 8) - (8 - 7) =

f) -4 - (4 + 5) - (8 - 9) + 1 + 6 =

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Para multiplicar dos números enteros se siguen estos pasos:

1.º M

ultiplicamos sus valores absolutos (en la práctica, los números entre sí).

2.º A l resultado le colocamos el signo + si ambos números son de igual signo, y el signo - si son de signos diferentes.

EjEMPLO

(+5) ? (-3) "

(-5) ? (+3) "

(-5) ? (-3) "

(+5) ? (+3) "

1.º 5 ? 3 = 15

2.º -15, ya que son de distinto signo 3 (+5) ? (-3) = -15

1.º 5 ? 3 = 15

2.º -15, ya que son de distinto signo 3 (-5) ? (+3) = -15

1.º 5 ? 3 = 15

2.º +15, ya que son de igual signo 3 (-5) ? (-3) = +15

1.º 5 ? 3 = 152.º +15, ya que son de igual signo

3 (+5) ? (+3) = +15

DIvISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Para dividir dos números enteros se siguen estos pasos:

1.º D ividimos sus valores absolutos (en la práctica, los números entre sí y siempre que la división sea exacta).

2.º A l resultado le colocamos el signo + si ambos números son de igual signo, y el signo - si son de signos diferentes.

EjEMPLO

(+20) : (-4) "

(-20) : (+4) "

1.º 20 : 4 = 5

2.º -5, ya que son de distinto signo 3 (+20) : (-4) = -5

1.º 20 : 4 = 52.º -5, ya que son de distinto signo

3 (-20) : (+4) = -5

(-20) : (-4) "1.º 20 : 4 = 52.º +5, ya que son de igual signo

3 (-20) : (-4) = +5

(+20) : (+4) "1.º 20 : 4 = 5

2.º +5, ya que son de igual signo 3 (+20) : (+4) = +5


AD

APT

AC

IÓN

CU

RR

ICU

LA

R

En las operaciones de multiplicación y división de números enteros, se utiliza la regla de los signos.

MULTIPLICACIÓN DIvISIÓN

(+) ? (+) = +

(-) ? (-) = +

(+) ? (-) = -

(-) ? (+) = -

(+) : (+) = +

(-) : (-) = +

(+) : (-) = -

(-) : (+) = -

6 Realiza las siguientes operaciones.

a) (+7) ? (+2) = d) (-5) ? (+8) =

b) (+12) ? (-3) = e) (-1) ? (-1) =

c) (-10) ? (+10) = f) (+5) ? (+20) =

7 Efectúa las divisiones.

a) (+16) : (+2) =

b) (-8) : (-1) =

c) (-25) : (+5) =

d) (-100) : (+10) =

e) (+12) : (-3) =

f) (+45) : (+9) =

8 Calcula las siguientes operaciones, aplicando la regla de los signos.

a) (+12) ? (-3) = e) (-9) : (-3) = i) (+10) ? (+4) =

b) (-20) : (-10) = f) (-100) : (+25) = j) (-9) ? (+8) =

c) (+6) ? (-6) = g) (-1) ? (-18) = k) (+35) : (+5) =

d) (+80) : (-8) = h) (-77) : (-11) = l) (-12) ? (+5) =

9 Completa los huecos con los números enteros correspondientes.

a) (+9) ? �� = -36 d) (-7) ? �� = +21 g) �� ? (-8) = -40

b) �� ? (+10) = -100 e) (-30) ? �� = +30 h) (+6) ? �� = 0

c) (+3) ? �� = -15 f) (-8) ? �� = +16 i) �� ? (-5) = +25

10 Completa los huecos con los números enteros correspondientes.

a) (+42) : �� = -7 d) (-8) : �� = +1 g) �� : (-9) = +6

b) (-20) : �� = -20 e) �� : (-6) = +5 h) (+9) : �� = -9

c) (+12) : �� = -4 f) (-64) : �� = +8 i) (-8) : �� = -2

UNIDAD 1



PRODUCTO DE POTENCIAS DE LA MISMA bASE

Para multiplicar potencias de la misma base se deja la misma base y se suman los exponentes.

EjEMPLO

22 ? 23 = 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 = 25 En la práctica: 22 ? 23 = 22+3 = 25

1 Expresa con una sola potencia.

a) 22 ? 24 ? 23 = 22+4+3 = c) 52 ? 53 = e) 64 ? 6 ? 63 ? 62 =

b) (-4)4 ? (-4)4 = d) (-5)5 ? (-5)2 = f) (-10)3 ? (-10)3 ? (-10)4 =

2 Expresa como producto de factores las siguientes potencias.

POTENCIA N.º DE FACTORES PRODUCTO DE POTENCIAS DE LA MISMA bASE

55 2 52 ? 53

(-6)6 4

29 5

(-10)6 3

49 4

Todo número se puede expresar como potencia de exponente 1.

EjEMPLO

2 = 21 (-3) = (-3)1 10 = 101 16 = 161 (-20) = (-20)1

3 Coloca los exponentes que faltan de modo que se cumpla la igualdad.(Puede haber varias soluciones en cada caso.)

a) 22 ? 2.... ? 2.... = 26 d) 5.... ? 5.... = 55 g) (-2)4 ? (-2).... ? (-2).... = (-2)8

b) 42 ? 4.... ? 4.... ? 4.... = 47 e) (-7).... ? (-7).... = (-7)5 h) 106 ? 10.... ? 10.... = 109

c) 3.... ? 3.... ? 3.... = 35 f) 10.... ? 10.... = 105 i) 6.... ? 6.... ? 6.... = 66

COCIENTE DE POTENCIAS DE LA MISMA bASE

Para dividir potencias de la misma base se deja la misma base y se restan los exponentes.

EjEMPLO

25 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 2 ? 2 23 25

= = = = 2 = 2 En la práctica: = 25-3 = 22

23 2 ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 ?

1 23 ? 2 ? 2 1 ? 2 2

23


AD

APT

AC

IÓN

CU

RR

ICU

LA

R

3


36 44 55

a) = 332

6-2 = 34 c) 43

= e) 53

=

b) (- 4) 6

(- 4) 2= d)

(- 7) 3

(- 7)= f)

(- 6) 8=

(- 6) 6

POTENCIA DE EXPONENTE CERO

Una potencia de exponente cero vale siempre uno.

23 2 ? 2 ? 2 8= = = 1

23 2 ? 2 ? 2 82

= 23-3 = 20

23

4 20 = 1

5 Coloca los exponentes que faltan, de modo que se cumpla la igualdad.(Puede haber varias soluciones en cada caso.)

a) 2��

2��= 2�� = 25 c)

3....

3....= 3.... = 33 e)

4....

4....= ......... = 42

b) 10....

10....= .......... = 104 d)

(- 5) ....

(- 5) ....= .......... = 52 f)

6....

6....= ......... = 1

POTENCIA DE UNA POTENCIA

Para elevar una potencia a otra se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes.

EjEMPLO

[(2)3]2 = 23 ? 23 = 23+3 = 26 En la práctica: [(2)3]2 = (2)3?2 = 26

[(-3)4]3 = (-3)4 ? (-3)4 ? (-3)4 = (-3)4+4+4 = (-3)12 En la práctica: [(-3)4]3 = (-3)4?3 = (-3)12


a) [(4)5]2 = (4)5 ? 2 = 4.... d) [(5)2]4 =

b) [(-3)3]3 = e) [(6)0]2 =

c) [(-8)2]3 = f) [(10)3]4 =

7 Coloca los exponentes que faltan, de modo que se cumpla la igualdad.(Puede haber varias soluciones en cada caso.)

a) [2....].... = 28 c) [3....].... = 310 e) [(-5)....].... = (-5)6

b) [6....].... = 612 d) [4....].... = 1 f) [10....].... = 102

UNIDAD 1

3 Realiza todas las divisiones posibles del número 12 entre números menores e igual que él.NOMBRE: CURSO: FECHA:

Los múltiplos de un número son aquellos números que se obtienen multiplicando dicho número por 1, 2, 3, 4, 5, ..., es decir, por los números naturales.

# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ...

5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 ...

Múltiplos de 5 F 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, ...

EjEMPLO

En una tienda las rosquillas se venden en paquetes de 3 unidades. ¿Cuántas puedo comprar si me llevo varios paquetes?

3 ? 1 = 3 rosquillas 3 ? 2 = 6 rosquillas 3 ? 3 = 9 rosquillas3 ? 4 = 12 rosquillas 3 ? 5 = 15 rosquillas 3 ? 6 = 18 rosquillas

• Podemos comprar 3, 6, 9, 12, 15, 18… rosquillas.

• 3, 6, 9, 12, 15, 18... son múltiplos de 3.

• Los múltiplos de un número contienen a este una cantidad exacta de veces: 1, 2, 3, 4, 5, 6... paquetes de 3 unidades.

1 Lucas va al supermercado y observa que los pañuelos se venden en paquetes de 3 unidades, los yogures en grupos de 4 unidades y las pelotas de tenis en botes de 5 unidades.¿Cuántas unidades de cada artículo podríamos comprar?

2 Escribe los números que sean:

a) Múltiplos de 5 y menores que 51.

b) Múltiplos de 25 y menores que 105.

c) Múltiplos de 30 y que estén comprendidos entre 50 y 280.

d) Múltiplos de 1 000 y que estén comprendidos entre 990 y 10 100.

Los divisores de un número son aquellos números enteros que caben en él una cantidad exacta de veces.

Para hallarlos: 1.º Realizamos todas las divisiones posibles (entre números menores e igual que él) tomando el número como dividendo.

2.º Buscamos las divisiones que sean exactas (resto = 0).

Calculamos los divisores de 8.

8 1 8 2

0 8 0 48 3 8 4 8 5

2 2 0 2 3 1

8 6 8 7 8 8

2 1 1 1 0 1

• 1, 2, 4 y 8 ... son divisores de 8. Dividen exactamente a 8.

• 3, 5, 6 y 7 no son divisores de 8. No lo dividen exactamente (resto ! 0).


AD

APT

AC

IÓN

CU

RR

ICU

LA

R

4 Completa la tabla con los datos del ejercicio anterior:

DIVISORES DE 12

NO DIVISORES DE 12

Cualquier número tiene al menos dos divisores: él mismo y la unidad.

5 Tacha aquellos números que no sean:

a) Divisores de 2 = {1, 2, 3}

b) Divisores de 9 = {1, 2, 3, 4, 6, 9}

c) Divisores de 11 = {1, 3, 7, 9, 11}

d) Divisores de 25 = {1, 3, 5, 10, 15, 20, 25, 30}

e) Divisores de 48 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 16, 20, 24, 30, 45, 48}

f) Divisores de 100 = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 40, 50, 60, 75, 90, 100}

6 Rellena los huecos con los divisores correspondientes.

36 1 36 36 36 36 36 36 36 36

06 36 16 18 06 12 0 9 0 6 0 4 0 3 0 2 0 10 0 0

7 Completa: Los divisores de 36 son ��

Múltiplo y divisor son dos conceptos estrechamente ligados. En una división exacta entre dos números existe una relación especial llamada divisibilidad.

49 7

0 7• 49 es múltiplo de 7. • El número mayor es múltiplo del menor.

• 7 es divisor de 49. • El número menor es divisor del mayor.

De igual forma:

64 4

24 160

• 64 es múltiplo de 4.

• 4 es divisor de 64.

35 5

0 7• 35 es múltiplo de 5.

• 5 es divisor de 35.

8 Completa los huecos con la palabra adecuada: múltiplo o divisor.

a) 25 es �� de 5 c) 16 es �� de 8

b) 60 es �� de 120 d) 11 es �� de 33

UNIDAD 1

3 Descompón los siguientes números en factores primos y exprésalos como productoNOMBRE: CURSO: FECHA:

• Número primo: es aquel número que solo tiene dos divisores, él mismo y la unidad.

• Número compuesto: es aquel número que tiene más de dos divisores.

Divisores de 5 = 1 y 5 5 es un número primo.

Divisores de 8 = 1, 2, 4 y 8 8 es un número compuesto.

1 En la siguiente serie de números, tacha los que son compuestos:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

• Los que quedan sin tachar son números ��• Solo tienen �� divisores, que son ��

2 En la siguiente serie de números, tacha los que son compuestos:

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

• Los que quedan tachados son números ��• Tienen más de �� divisores.

DESCOMPONER UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS

• Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

• Todo número compuesto se puede expresar como producto de otros que sean primos, y expresar sus divisores mediante la combinación de esos números, que llamamos factores primos.

• Para realizar la descomposición seguimos estos pasos:

1.º Intentamos dividir el número entre 2, tantas veces como se pueda.

2.º Luego intentamos también dividir el número restante entre 3, tantas veces como se pueda.

3.º Seguimos probando a dividir el número restante entre 5, 7, 11... tantas veces como se pueda, hasta obtener como cociente 1.

4.º Expresamos el número como producto de potencias de factores primos.

EjEMPLO

Realiza la descomposición en producto de factores primos del número 60.

En la práctica se hace así:

Línea que actúa como «ventana» de división

60 2

30 2

15 3F

5 5

1

y se escribe: 60 = 2 ? 2 ? 3 ? 5

Expresado con potencias quedaría:

60 = 22 ? 3 ? 5

Esta es la expresión de 60 como producto de factores primos.

AD

APT

AC

IÓN

CU

RR

ICU

LA

R

de ellos: 24, 30, 45 y 60.

24 2 30 2 45 3 60 212 2 6 2 3 3 1

24 = 2 ? 2 ? 2 ? 3

24 = 23 ? 3

4 Descompón los siguientes números en factores primos y exprésalos como producto de ellos: 25, 33, 75 y 100.

DIvISORES COMUNES A vARIOS NÚMEROS. MÁXIMO COMÚN DIvISOR (m.c.d.)

Luis tiene 12 trenes de plástico y Pedro 18 aviones. Quieren hacer grupos con el mismo númerode vehículos en cada uno de ellos. ¿Cuál será el grupo más grande y que tenga igual número de ambos juguetes?

• Calculamos los divisores de ambos números:

– Divisores de 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Juan puede hacer grupos iguales de 1, 2, 3, 4, 6 y 12 trenes.

– Divisores de 18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18} Pedro puede hacer grupos iguales de 1, 2, 3, 6, 9 y 18 aviones.

• 1, 2, 3 y 6 son divisores comunes de 12 y 18.

• 6 es el divisor mayor (máximo) de 12 y 18 y es común a ambos números.

• 6 es el máximo común divisor de 12 y 18 y se expresa así: m.c.d. (12, 18) = 6

El grupo más grande y con el mismo número de juguetes de los dos tipos estará formado por 6 trenes y 6 aviones.

5 Halla los divisores comunes de estos números.

a) 20 y 25 b) 16 y 24 c) 8 y 12 d) 8, 10 y 12

UNIDAD 1

9 Queremos embalar 40 latas de refresco de cola y 100 latas de refresco de limón en cajas6 Calcula el m.c.d. de los números de cada apartado del ejercicio anterior.

MÉTODO PARA EL CÁLCULO DEL MÁXIMO COMÚN DIvISOR

Hasta ahora el proceso empleado para calcular el m.c.d. es adecuado para números sencillos. Vamos a estudiar un método más general. Seguiremos estos pasos:

1.º Descomponemos los números en factores primos.

2.º Expresamos los números como producto de factores primos.

3.º Escogemos en ambos números los factores que sean comunes y que tengan el menor exponente.

4.º El producto de esos factores es el máximo común divisor.

EjEMPLO

Calcula el m.c.d. de 24 y 36.

1.º 24 2 36 2 2.º 24 = 2 ? 2 ? 2 ? 3 = 23 ? 3 3.º Factores comunes: 2 y 3

12 2 6 2

18 2 9 3

36 = 2 ? 2 ? 3 ? 3 = 22 ? 32 Con menor exponente: 22 y 31

3 3 3 3 1 1

4.º m.c.d. (24, 36) = 22 ? 3 = 4 ? 3 = 12

7 Calcula el m.c.d. de los números:

a) 6 y 15 b) 15 y 20 c) 10 y 35 d) 25 y 50


NÚMEROSDESCOMPOSICIÓN

EN FACTORES PRIMOS

PRODUCTO DE FACTORES COMUNES CON MENOR

EXPONENTEm.c.d.

60 y 4022 ? 3 ? 5

23 ? 522 ? 5 20

18 y 30

52

22 ? 52

AD

Ap

TAC

IÓn

Cu

rr

ICu

lAr

de igual tamaño, lo más grandes posible y sin mezclarlas. ¿Cuántas latas pondremos en cada caja?

MúlTIplOS COMunES A vArIOS núMErOS. MínIMO COMún MúlTIplO (m.c.m.)

Ana va a nadar al polideportivo cada 3 días y Eva cada 4. ¿Cada cuánto tiempo coincidirán en el polideportivo?

• Ana va los días 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27...

• Eva va los días 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32...

• 12, 24 ... son los múltiplos comunes de 3 y 4.

F Son los múltiplos de 3.

F Son los múltiplos de 4.

• 12 es el múltiplo menor (mínimo) de 3 y 4 y es común a ambos números.

• 12 es el mínimo común múltiplo de 3 y 4 y se expresa así: m.c.m. (3, 4) = 12

Ana y Eva coincidirán en el polideportivo cada 12 días.

10 Halla los 3 primeros múltiplos comunes de estos números.

a) 5 y 10 c) 4 y 6

b) 9 y 12 d) 8 y 20

11 Calcula el m.c.m. de los números de cada apartado del ejercicio anterior.

MÉTODO PARA EL CÁLCULO DEL MíNIMO COMÚN MÚLTIPLO

Hasta ahora el proceso empleado para calcular el m.c.m. es adecuado para números sencillos. Vamos a estudiar un método más general. Seguimos estos pasos:

1.º Descomponemos los números en factores primos.

2.º Expresamos los números como producto de factores primos.

3.º Escogemos en ambos números los factores que sean comunes y no comunes y que tengan el mayor exponente.

4.º El producto de esos factores es el mínimo común múltiplo.

EjEMPLO

Calcula el m.c.m. de 12 y 60.

1.º 12 2 60 2

6 2 30 2

3 3 15 3

1 5 5

1

2.º 12 = 2 ? 2 ? 3 = 22 ? 3 3.º Factores comunes: 2 y 3

60 = 2 ? 2 ? 3 ? 5 = Factores no comunes: 5

= 22 ? 3 ? 5 Con mayor exponente: 22 ? 3 ? 5

4.º m.c.m. (12, 60) = 22 ? 3 ? 5 = 4 ? 3 ? 5 = 60

12 Calcula el m.c.m. de los números.

a) 15 y 20 b) 8 y 12 c) 10 y 30 d) 9 y 15


NÚMEROSDESCOMPOSICIÓN

EN FACTORES PRIMOS

PRODUCTO DE FACTORES PRIMOS COMUNES Y NO COMUNES CON

MAYOR EXPONENTEm.c.m.

60 y 4022 ? 3 ? 5

23 ? 523 ? 3 ? 5 120

18 y 30

22 ? 3 ? 5

23 ? 52

14 Dos aviones de una línea aérea salen siempre del mismo aeropuerto. Uno lo hace cada 10 días y el otro cada 12. Si han salido hoy, ¿cuándo volverán a coincidir en el aeropuerto?

UNIDAD 1

PR

OP

UE

STA

S D

E E

vA

LU

AC

IÓN

CONOCIMIENTOS PREvIOS

Esta unidad enlaza directamente con el curso anterior; por tanto, los contenidos y los procedimientos estudiados son fundamentales, sobre todo los conceptos de múltiplo, divisor y número primo, dado que el cálculo del m.c.d. y el m.c.m. se vuelve a repasar. Respecto a los números enteros, los conceptos básicos son la interpretación, la representación y la ordenación de estos números, ya que las operaciones se revisan de nuevo.

• Conceptos de múltiplo y divisor.

• Concepto de número primo. Conjunto de divisores de un número. Conjunto de múltiplos de un número.

• Criterios de divisibilidad por 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 y 10n.

• Lectura, interpretación y representación de números enteros.

• Operaciones sencillas con números enteros.

SUGERENCIAS SObRE LAS EvALUACIONES Y SU CORRECCIÓN

EvALUACIÓN INICIAL

Se trata de una serie de actividades respecto a los conocimientos que ya deberían poseer los alumnos. En función de las deficiencias que se perciban en los alumnos, se tendrían que proponer ejercicios de refuerzo: cálculo de múltiplos y divisores, criterios de divisibilidad, interpretación y representación de números enteros.

EvALUACIÓN DE LA UNIDAD

Los ejercicios 1 y 2 son de cálculo del m.c.d. y el m.c.m. Los ejercicios restantes trabajan la manipulación de los números enteros: valor absoluto, orden en la recta y operaciones. Hay que tener cuidado con las operaciones entre paréntesis y corchetes, siendo necesario revisar el orden jerárquico de las operaciones hasta que este sea asimilado por los alumnos. También requiere especial atención la regla de los signos, que suele provocar muchos errores.

EvALUACIÓN INICIAL

1 Aplica los criterios de divisibilidad y comprueba cuáles de los siguientes números son múltiplos de 2, 3, 5 y 11.

2 3 5 11

16 760

12 852

112 574

48 762

2 Calcula todos los divisores de los números 72 y 150.

D (72) =

D (150) =

3 Descompón los números 84 y 120 en factores primos y escribe sus divisores comunes.

84 120

Divisores comunes de 84 y 120 "

4 Calcula múltiplos comunes de los números 12 y 18.

5 Desde la planta cuarta de un edificio hemos subido tres plantas en ascensor y luego hemos bajado ocho. ¿En qué planta nos encontramos?

6 Representa en la siguiente recta los números enteros: -4, +3, -1, +1

0

7 Escribe el símbolo < o >, según corresponda.

a) -5 +4 b) +3 +5 c) +3 -4 d) -5 -4

UNIDAD 1

PR

OP

UE

STA

S D

E E

vA

LU

AC

IÓN

EvALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES

1 Aplica los criterios de divisibilidad y comprueba cuáles de los siguientes números son múltiplos de 2, 3, 5 y 11.

2 3 5 11

16 760 Sí No Sí No

12 852 Sí Sí No No

112 574 Sí No No Sí

48 762 Sí Sí No No

2 Calcula todos los divisores de los números 72 y 150.

D (72) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}

D (150) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150}

3 Descompón los números 84 y 120 en factores primos y escribe sus divisores comunes.

84 2 120 2 84 = 2 2 ? 3 ? 742 2 60 2 D(84) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84}21 3 30 27 7 15 3 120 = 2 3 ? 3 ? 51 5 5 D(120) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24,

30, 1 40, 60, 120}

Divisores comunes de 84 y 120 " {1, 2, 3, 4, 6, 12}

4 Calcula múltiplos comunes de los números 12 y 18.

M(12) = {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 108, ...}M(18) = {18, 36, 54, 72, 90, 108, ...}

2 " M(12, 18) = {36, 72, 108, ...}

5 Desde la planta cuarta de un edificio hemos subido tres plantas en ascensor y luego hemos bajado ocho. ¿En qué planta nos encontramos?

+4 $+3

+7

$-8

-1, es decir, nos encontramos en la planta -1.

6 Representa en la siguiente recta los números enteros: -4, +3, -1, +1

24 21 0 11 13

7 Escribe el símbolo < o >, según corresponda.

UNIDAD 1

a) -5 < +4 b) +3 < +5 c) +3 > -4 d) -5 < -4

ERES CAPAZ DE... EvALUACIÓN DE LA UNIDAD

Calcular el m.c.d. y el m.c.m. de dos números.

1 Encuentra el m.c.d. y el m.c.m. de los siguientes números: 42 y 315.Comprueba que el producto de ambos números es igual que el producto del m.c.d. por el m.c.m.

2 Dos ciclistas dan vueltas en un velódromo. El primero da una vuelta cada108 segundos, y el segundo, cada 72 segundos. Si mantienen el mismo ritmo, calcula al cabo de cuánto tiempo vuelven a coincidir y cuántas vueltas ha dado cada uno en ese momento.

Calcular el valor absoluto de un número entero.

Ordenar un conjunto de números enteros.


a b c qau a ? qb + cu qau ? qb + cu

-2 4 3

-4 -3 6

4 Ordena, de mayor a menor, los siguientes números enteros y represéntalos sobre la recta: -2, 3, -1, 2, 0 y -3.

0

Realizar operaciones combinadas de sumas

y restas de números enteros con y sin paréntesis.

5 Haz las siguientes operaciones.

a) 3 - 15 - 6 + 12 - 5 - 4 =

b) -2 - (-5) + (3 - 2) - (2 - 4) =

c) 8 - (5 - 3 - 6) + (4 + 3) =

RELACIóN DE CAPACIDADES ACTIVIDADES

• Enumerar e identificar elementos ....................................................................................................... 4

• Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ............................................................ 3, 7

• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos, relaciones, etc. .................................................... 4

• Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes .......................................................................................... 1

• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ........................................................................................... 1, 2, 3, 5, 7, 8, 9

2-ESO

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