2. Ensayos tridimensionales en gravas

Análisis de datos Ensayos tridimensionales en gravas

118

2. Ensayos tridimensionales en gravas Analizaremos los datos obtenidos por David Velasco (VELASCO[99]) sobre lecho de gravas. Se trata de dos perfiles obtenidos con un sensor Sontek tridimensional, con una configuración de 25 Hz de frecuencia 9 mm de volumen de control y 100 cm/s de rango de velocidades. Podemos ver en el capítulo 1 como de análisis de configuraciones que se trata de una configuración muy estable y con poco error. Debido a que el sensor es del tipo downlooking los perfiles no son completos ya que faltan los centímetros superiores del calado. Tenemos un calado de 16.07 cm., el perfil de velocidades medido únicamente incluye los 6.9 cm inferiores, es decir faltan 9 cm. esto es debido al modo de funcionamiento del instrumento de medida. Como consecuencia no podemos utilizar como comprobación el cálculo del caudal como integral de las velocidades.

2.1 Perfiles de velocidades en X Comprobaremos el ajuste de las velocidades a las predicciones de Von Karman (VONKARMAN[48]) según vimos en (2.6):

**

*

**

*

1 ln( )

( ) 1 ln

1 1( ) ln( ) ln

1( ) ln( )

U y Ak

y UU y A UU k

UU y y A U

k k

U y y B Uk

ν

ν

+ += +

× = + ×

= + + ×

= + ×

Si hacemos la conversión a una nueva variable y’ = ln(y) obtenemos:

*

*

( ) '

'( )

UU y y B

k

y UU y B

k

= × +

×= +


119

Es decir en escala logarítmica el perfil debería convertirse en una recta, sabemos que este modelo es únicamente válido para la parte inferior de los perfiles, pero como hemos dicho, se trata de perfiles a los que les falta los centímetros superiores debido a la configuración del sensor, es decir la modificación de Coles que habría que introducir para partes altas del perfil no es necesaria.

Ilustración 2.1 Velocidades Vx Q = 150 l/s


120

Ilustración 2.2 Perfil logarítmico de velocidades Vx Q = 150 l/s

En la última imagen podemos ver el perfil logarítmico de las velocidades, hay que destacar que se trata de un perfil logarítmico en base 10, de manera que barra que hacer una pequeña modificación de la formulación. El valor obtenido de y’ = ln(y) era:

*'( )

y UU y B

k×

= +

Ahora hacemos una nueva transformación para y’ = log10(y) y obtenemos:

*

10

'( )

log ( )y U

U y Bk e

×= +

×

Así que ahora hacemos una regresión lineal de nuestra gráfica y obtenemos el siguiente resultado:


121

Ilustración 2.3 Regresión lineal al perfil de velocidades Vx Q = 150 l/s

La pendiente es 0.01486 ahora para conocer el valor de k hacemos el siguiente cálculo:

*

10

0.01486log ( )

Uk

e×

=

Nos falta conocer el valor de la velocidad crítica U*, utilizamos su definición para calcularlo:

* 0.1607 0.0065 9.81 10.12 cmU Calado Pendiente gs

= × × = × × =

Con lo que podemos calcular la k dando un valor de 0.346, el valor calculado por Von Karman era de 0.4, existe cierta diferencia, pero podría aceptarse.

2.2 Perfiles de velocidad en Y, Z Analizamos tambien los perfiles de las velocidades medias obtenidas para las componentes Y, Z contrastando los resultados de estos con los previstos:


122

Ilustración 2.4 Velocidades Vy Vz Q = 150 l/s

En la descripción del funcionamiento de las ecuaciones de Reynolds para canales, considerábamos que las velocidades medias deberían ser cero para los ejes distintos de x, en este caso las velocidades en y si que oscilan entorno al cero, por lo que se podrían considerar nulas, con errores de ±5 cm/s. El caso de Vz es diferente, presentan un perfil parecido al logarítmico de las velocidades en x. Esto hace pensar que se pueda tratar de una proyección de estas, para justificar este desajuste ponderaremos dos posibilidades. Hipótesis 1ª Giro del sensor: Calculamos el cociente entre Vz/Vx.


123

Ilustración 2.5 Relación Vz / Vx para Q = 150 l/s

Podemos ver que excepto en un punto, en el resto la relación entre velocidades es constante, de manera que se puede considerar que el sensor estaba girado en el momento de la toma de datos. La posibilidad de este tipo de errores ya la habíamos considerado en el memento del montaje del experimento ya que el soporte no resultaba de fácil orientación. El valor del ángulo de inclinación es 3.57 grados, conociendo esta inclinación podemos recalcular las velocidades medias de x, el factor de corrección de estas sería:

1 1.001cos(3.57)

f = =

De manera que con esta corrección parece innecesario recalcular los datos. En el caso de tratarse de un factor mayor recalcularíamos las velocidades, corrigiéndose todos los valores turbulentos medidos. Consideremos los ejes en los que hemos medido llamándolos x’ y’ , y los ejes reales x y :


124

α

Y'

X'

X

Y

Ilustración 2.6 Sistema de ejes

Con este sistema de ejes podemos definir los siguientes cambios de velocidades:

' '

' '

cos sin

sin cos

x x y

y x y

V V V

V V V

α α

α α

= × − ×

= × + ×

Las tensiones de Reynolds se obtienen directamente del cálculo de la covarianza, con este cambio de coordenadas que hemos definido podemos estudiar el efecto que tendría en el cálculo de la covarianza:


125

( ) ( )' ' ' '

' ' ' ' ' ' ' '

2' ' ' ' ' '

1 1cov cos sin sin cos

1 os sin cos cos sin sin sin cos

1 os sin cos cos sin sin sin cos

xy x y x y x yN N

x x x y y x y yN

x y x x y y

V V V V V VN N

c V V V V V V V VN

c V V V V V VN

α α α α

α α α α α α α α

α α α α α α α α

= × = × − × × × + × =

= × × × + × × × − × × × − × × × =

= × × + × × × − × × × − × ×

∑ ∑

∑

( ) ( )

( ) ( )

2

2 2' ' ' '

2 2' y' ' '

1 os sin cos cos sin sin

cov os sin Var Var cos sin cov

N

x y x yN

xy x x y

c V V V VN

c

α α α α α α

α α α α

=

= × × − + × − × × × =

= × × − + − ×

∑

∑

Podemos ver que el hecho de girar el sensor altera todos los cálculos turbulentos que realizamos, pero para nuestro caso, si aplicamos la formula anterior obtenemos:

( )' y' ' 'cov 0.06225 Var Var 0.9922 covxy x x y= × − + × Ahora con este resultado podemos reajustar las tensiones de Reynolds, que son equivalentes al cálculo de menos la covarianza multiplicada por la densidad del fluido.


126

Ilustración 2.7 Tensiones de Reynolds X-Z corregidas Q =150 l/s

Como vimos en el capitulo sobre ecuaciones de Reynolds en canales, las tensiones de Reynolds XZ debían ser iguales a las tensiones totales, que se podían calcular en función de la coordenada vertical y como:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

(1 ) ( )

( )1

xz

xz

xz

xz

TTotales y y Sf g h y Sf

TTotales TReynolds

g h y Sf Cov y

g h y Sf Cov y

y g h Sf Cov yh

Cov yyh g h Sf

γ ρ

ρ ρ

= × × = × × − ×

=

× × − × = − ×

× − × = −

− × × × = −

−− =

× ×


127

( )( )116.07 981 16.07 0.0065

xzCov yy cm

h Calado

g Gravedad

Sf Pendiente Motriz

Peso Especificoγ

−− =

× ×

=

=

=

=

A partir de aquí podemos ver que la tensión de Reynolds adimensionalizada con la tensión de fondo debería dar una función lineal que varía de 0 en la superficie a 1 en el fondo.

( )102.47 1 ( )16.07 xzy cm Cov y − × − =

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

2

4

6

8

10

12

14

16

Cal

ado

(cm

.)

Tensiones de Reynolds originalesTensiones de Reynolds corregidas

Tensiones de Reynolds adimensionalizadas con la tens ión de fondo

Valor Teórico

Ilustración 2.8 Tensión de Reynolds teórica Q = 150 l/s

Podemos ver que da un comportamiento parecido al previsto cuando corregimos las tensiones por el efecto del giro. El hecho de que el valor obtenido sea diferente que el previsto, se puede deber a varios factores, entre ellos podría estar el calado que fuese menor o mayor que el medido, o la pendiente que fuese algo diferente de 0.0065, todo ello redundaría en que la curva adimensional se desplazase sobre la teórica.


128

Hipótesis 2ª Corrientes Secundarias Para justificar el valor de las velocidades medias no nulas podemos suponer la existencia de corrientes secundarias (CS), debidas en general al efecto de la pared sobre el flujo, estas corrientes generan flujos que no cumplen las hipótesis de simplificación de las ecuaciones de Reynolds, apareciendo nuevos términos anteriormente nulos. El esquema general de estas corrientes en canales de sección rectangular es el siguiente (NEZU[93]):

Seccion transversal al canal

Ilustración 2.9 Sección transversal de un canal con corrientes secundarias

Podemos ver que las lineas de corriente formas dos grandes vórtices simétricos, que en el centro del canal originan unas corrientes verticales de signo positivo. Las corrientes secundarias aparecen cuando el efecto pared no es despreciable, cuando se trata de canales no lo suficientemente anchos. Nuestras medidas están tomadas en la sección central del canal, para este punto se obtiene la siguiente distribución de velocidades verticales en función de la cota y (IKEDA[81]):

2*

62 1 cos 1bAV y y

U h hkπ

π = − +

Donde h es calado k la constante de Von Karman y Ab es la variación en las tensiones de fondo medidas. Podemos ver que según este modelo las velocidades verticales en el centro del canal deberían seguir una distribución de la forma:


129

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

V / (U* · Ab)

y / h

Distribucion vertical de velocidades verticales

Ilustración 2.10 Distribución de velocidades verticales en un canal con corrientes secundarias

La distribución que habíamos medido en las velocidades verticales era solo de la mitad del calado y era creciente como en esta gráfica, pero parecía responder más a una distribución logarítmica que a una como la representada en la gráfica. Podemos comparar las tensiones de Reynolds previstas con presencia de corrientes secundarias y las medidas. Para ello recurrimos a la distribución de tensiones dada por KNIGHT[81] donde se relaciona la tensión total ( tτ ) debido al peso de la columna de agua y la tensión de fondo ( bτ ), siendo la diferencia entre ambas absorbida por las paredes verticales ( sτ ).


130

( )2

/2 0.01exp( 3.23log( 3) 6.146)· ( )

/1

tanh( )( ) tanh( )

2

1 0.2 log

s s

t

b b

t

b

s

SF EA g I h

BF SFA g I h

E

kk

τ τ ρα β

τ α

τ τ ρτ

πβ ββ πβ

β

= = = − + +

= = = −

−= −

= −

/

b

s

B hB Ancho del canalA Area eficazI Pendiente motrizh Calado

Densidadg Gravedadk Rugosidad de fondok Rugosidad de pared

α

ρ

=========

Para nuestro caso la rugosidad absoluta en el fondo era de 2 cm y en la pared de 2 mm, la relación entre el ancho y el calado era de:

16.07 / 100 = 0.1607 Con estos datos y aplicando la formula, la tensión absorbida por las paredes debe ser aproximadamente un 21% de las tensiones totales con lo que nuestras tensiones corregidas de fondo son las siguientes:


131

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

2

4

6

8

10

12

14

16

Tao / Tao*

y (c

m)

Tensiones de fondo y Tensiones de Reynolds

Tensiones deReynolds

Valor tensiones totales

Valor de tensiones de fondo

Ilustración 2.11 Tensiones de Reynolds Q = 150 l/s

Podemos apreciar una gran coincidencia de valores, por lo que la hipótesis del efecto pared parece confirmarse, a pesar de que el perfil de velocidades verticales no presenta una coincidencia suficiente con los valores previstos en el efecto pared, sin embargo si que conserva gran coincidencia con el perfil de las velocidades en X por lo que podría tratarse efectivamente de un giro.

2.3 Energía cinética turbulenta y Disipación viscosa Las siguientes gráficas son de la energía cinética turbulenta, k, de la que podemos extraer una primera aproximación de cual es la disipación viscosa ε de este perfil. La fórmula que las relaciona es la que vimos en el capitulo 5 del estado del arte:

3 / 2

k kL

ε = ×

El coeficiente k depende del número de Reynolds local, que se puede definir como:

'L

v LRν×

=

Donde v’ es la media de las velocidades turbulentas, L, es una longitud local característica, que podemos tomar como la escala integral y ν es la viscosidad


132

cinemática. Para valores de este número mayores de 100, la k vale aproximadamente 1. En nuestro caso los valores siempre superan ampliamente este umbral. Primero vamos a representar la energía cinética turbulenta del perfil, esta se presenta adimensionalizada con la velocidad de corte U* al cuadrado.

Ilustración 2.12 Energía cinética turbulenta

La curva teórica es la prevista en las funciones de intensidad turbulenta propuestas en el capítulo 5 del estado del arte. Podemos ver que los puntos 1 y 2 se alejan del perfil propuesto, estos puntos y su validez fueron discutidos en el capítulo 1 del análisis de datos, en el que se estudiaban diversas propuestas de configuración del sensor de toma de datos. En este capítulo se realizaba la hipótesis de que por problemas de configuración era posible que estos puntos fuesen incorrectos. En función de esta energía turbulenta calculamos la disipación viscosa ε . Para ello necesitamos la longitud característica Lx, esta en principio la tomaremos como la escala integral, que fácilmente calculable a partir de la función de autocorrelación, tal como vimos en el capítulo 5 del estado del arte.


133

Ilustración 2.13 Escala integral Q = 150 l/s

Ahora utilizando la escala integral como escala de longitud calculamos la disipación viscosa en base a la siguiente fórmula:

3 / 2

k kL

ε = ×


134

Ilustración 2.14 Disipación viscosa calculada con las escalas integrales Q = 150 l/s

La ecuación de transporte nos relaciona la producción turbulenta con la disipación viscosa:

G = ε Por otra parte la producción turbulenta G, se define como:

xx z

UG u u

z∂

= ×∂

De la ecuación de Von Karman sabemos que el gradiente de las velocidades se relaciona con las tensiones de Reynolds:

22 2x

x z

x zx

Uk z u u

z

u uUz k z

∂ × × = ∂

∂=

∂ ×

Por otra parte si suponemos que las tensiones de Reynolds son equivalentes a las tensiones totales podemos escribir:


135

( )

32

32

3322

( )

( )( )

x zx

x x zx z

c

c

u uUz k z

U u uG u u

z k z

g Sf y zG

k z

y zg SfGk z

∂=

∂ ×

∂= × =

∂ ×

× × −=

×

−×= ×

Donde g es la gravedad Sf es la pendiente motriz, k es la constante de Von Karman. Podemos comparar esta función del calado con la disipación viscosa:

Ilustración 2.15 Producción turbulenta y disipación viscosa (escala integral) Q = 150 l/s

No se trata de un ajuste bueno, por otra parte podemos comparar los valores obtenidos de la disipación con la potencia suministrada por el canal, esta la podemos calcular como:


136

2

3

Potencia Q Sf gUnidad de volumen B Calado

Potencia Q Sf gUnidad de volumen B Calado

Potencia Q Sf g mUnidad de masa B Calado s

Q Sf gB Calado

ρ

ρ

ε

× ×= ×

×

× ×=

× ×

× ×= =

×

× ×=

×

Como podemos ver el calculo es dimensionalmente correcto, así que calculamos el elemento de la izquierda:

2

3

2

3

0.150 0.0065 9.81 0.05951 0.1607

595.76

Q Sf g mB Calado s

cms

× × × ×= =

× ×

Este valor debería ser igual a la media de las disipaciones viscosas a lo largo del perfil, este valor es de 223.52 cm2/s3. Es la mitad del valor esperado por la potencia del canal. El error puede ser debido a la elección errónea de la escala integral como escala de longitud. Podemos probar con otra escala de longitud característica de la turbulencia, la longitud de mezcla. Su valor es de k x z, donde k es la constante de Von Karman (0.4) y z es el calado. Con esta nueva formulación encontramos que la nueva escala L vale:


137

Ilustración 2.16 Longitud de mezcla de Von Karman Q = 150 l/s

La nueva disipación viscosa vale:

Ilustración 2.17 Disipación viscosa calculada con longitud de mezcla Q = 150 l/s


138

Ilustración 2.18 Disipación viscosa (longitud de mezcla) y producción turbulenta Q = 150 l/s

A pesar de haber una discrepancia, es un resultado con un parecido cualitativo. Si realizamos la media de la nueva disipación obtenemos 2300 cm2/s3 por lo tanto esta vez es mayor que la potencia suministrada por el canal. Por tanto esta escala de longitudes es demasiado pequeña. La escala adecuada para la longitud es una intermedia entre la integral y la longitud de mezcla de Von Karman. En principio la escala integral debería ser más adecuada, en nuestro caso es posible que el cálculo de esta posea ciertos errores. La escala integral se obtiene integrando la función de autocorrelación, podemos graficar las funciones de autocorrelación de los diferentes puntos de nuestros perfil.


139

Ilustración 2.19 Funciones de autocorrelación Q = 150 l/s

Estas funciones se obtienen partiendo de la serie de datos de velocidades y calculando la correlación con ellos mismos desfasados un cierto tiempo. El problema reside en que nuestro desfase mínimo es que corresponde a un periodo de toma de datos, siendo este demasiado grande y por ello obteniendo una función de autocorrelación cuya forma se separa de la teórica que vimos en el capítulo 5 del estado del arte, y de la que consecuentemente obtenemos una escala integral equivocada.

2.4 Espectros de energía y disipación viscosa Otro de los parámetros de mayor interés en el estudio de la turbulencia es el espectro de energía del flujo. Recordemos que trabajamos con el espectro de la energía asociada a la velocidad en el eje x. A partir de este y usando la formulación propuesta por Kolmogorov es posible calcular también la disipación viscosa. Para ello debemos hacer una serie de consideraciones:


140

22

( )

( ) ( )

Fz k VNumero deonda k FzV

Espectro deenergia E k Espectro deWelch coeficiente de sesgo

E k Ew k

ππ

α

× ×= → =

= ×

= ×

Donde k, V, Fz son el número de onda, velocidad media del flujo y frecuencia respectivamente. El espectro de energía con el que trabajamos es el de Welch, ya introducido con anterioridad. Este da unos valores en los que las magnitudes relativas entre energías son correctas pero las absolutas deben ser corregidas mediante un coeficiente dependiente de la función peso utilizada. En nuestro caso los segmentos estaban formados por series de 256 datos ponderadas con un peso de Hanning (OPPENHEIM[89]) que es del tipo:

De manera que el coeficiente α es perfectamente conocido. Se puede definir como:

2

2

( )( )

norma wsuma w

α =ur

ur

Donde w es el vector peso. A partir de estas consideraciones y usando kolmogorov se puede realizar el siguiente desarrollo:

( )

( ) ( )

2 53 32 5

3 3

2 53 3

2 5 253 3 3

3

23

( ) ( )( ) 1.5

( ) 1.5

1.5( )

1.5 1.5log ( ) log log log

5 1.5log ( ) log log3

E k Ew kEw k k

E k k

kEw k

kEw k k

Ew k k

αα ε

ε

εα

ε εα α

εα

−

−

−

−−

= × × = × ×= × ×

× ×→ =

× × × = = +

− × = +


141

Podemos ver el logaritmo del espectro de Welch debe dar una recta de pendiente –5/3, ahora debemos hacer una pequeña modificación para que el espectro este en función de la frecuencia en lugar del número de onda, ya que los datos que tenemos de espectro lo relacionan con las frecuencias:

( ) ( )2 23 325 1.5 5 1.5log ( ( ) ) log ( ) log log log

3 3

2

FzEw k Fz k FzV

FzkV

πε εα α

π

×− × − × = + = +

×=

↑

( ) ( )

( ) ( )

23

2 53 3

25 5 1.5log ( ) log log log3 3

25 1.5log ( ) log log3

Ew Fz FzV

Ew Fz FzV

π εα

πεα

−

− − × = + +

− × = + ×

De manera que el espectro de energía en función de la frecuencia debe ser una recta de pendiente –5/3 (-1.6666) mas una constante que es función de la disipación viscosa, así si realizamos una regresión del espectro y obtenemos los coeficientes de estos es posible extraer la disipación viscosa.

( ) ( ) ( )2 53 3

32 5 5 23 3 3

25 1.5log ( ) log log log3

53

2 21.5 10log1.5

D

Ew Fz C Fz D FzV

C

DV V

πεα

π πε αεα

−

−

− × = × + = + ×

−=

× × = × → = ×

Ahora con estos datos podemos ver si existe ajuste entre estos modelos previstos y los datos tomados. Debe mencionarse que esta aproximación por una recta solamente es valida en lo que se conoce como rango inercial, que es una parte del espectro en la que la turbulencia aparece como completamente desarrollada produciéndose una


142

transmisión de energía de unos vórtices de mayor tamaño a otros, formando lo que se conoce como cascada de energía. En primer lugar observamos todos los espectros de energía en una misma gráfica para comprobar un comportamiento parecido para todas las alturas de medición.

10-2 10-1 100 101 102101

102

103

104

Frecuencia Hz

cm2 /

(s2 ·

Hz)

1.021.481.972.652.963.373.944.374.835.295.75 6.3

Espectros de energía para las diferentes alturas (en cm.) dentro del perfil Q = 150

Ilustración 2.20 Funciones de densidad espectral de potencia Q =1 50 l/s

Ahora analizamos los diferentes perfiles y hacemos una tabla de las diferentes regresione, con la pendiente y el término independiente:

Altura cm. Pendiente T. independiente

0.75 -0.8138 2.4559 1.02 -1.5695 3.1334 1.48 -1.6493 3.2324 1.97 -1.3902 3.005 2.65 -1.351 3.056 2.96 -1.1723 2.866 3.37 -1.6051 3.124 3.94 -1.5566 3.2252 4.37 -1.5366 3.1887 4.83 -1.3276 2.9713 5.29 -1.3456 2.8594 5.75 -1.411 2.9418 6.3 -0.97753 2.7773

A partir de los datos del término independiente y aplicando:


143

35 23210

1.5

D

Vπαε

× = ×

Podemos obtener un nuevo valor para la disipación viscosa, para ello debe tenerse en cuenta que esta disipación será la asociada al eje sobre el cual hemos calculado la función de densidad espectral, por ello debemos aplicar una corrección a este valor. En general podemos decir que la disipación será la misma en todos los ejes, de manera que habría multiplicar este valor por 3. De hecho en KUNDU[90] se habla de un factor de 55 / 18 (3.05), aunque sabemos que esto sobreestima el valor final debido a fenómenos de aliasing entre números de onda adyacentes (LUMLEY[65]).

Teniendo en cuenta estos elementos el resultado final es:

0 100 200 300 400 500 6000

1

2

3

4

5

6

7

cm2 / s3

cm.

Q=125l.

Perfil de las disipaciones extraidas del espectro de energías

Ilustración 2.21 Disipación viscosa extraida de los espectros Q = 125 l/s

Con una media de 169.34 cm2 / s3 que está alejada del valor previsto por el cálculo de la potencia del canal (803.5).


144

2.5 Mapas de velocidades turbulentas y tensiones de Reynolds. Las velocidades turbulentas obtenidas se pueden representar en cuadrantes, de manera que podemos observar la distribución de puntos tratando de buscar patrones en las formas de comportamiento. En ejemplo de esta cuadricula sería el siguiente:

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50Nube de puntos de las velocidades primadas

Vprimas x

Vpr

imas

y

+ +

+ - - -

- +

Ilustración 2.22 Puntos Vx’ Vy’ para y = 4.37 cm Q = 150 l/s

En esta figura podemos ver una distribución de velocidades Vx’, Vy’, en ella no se observa ningún patrón de comportamiento, no existe una correlación aparente entre las velocidades en el eje X del canal (longitudinal) y el eje Y (transversal horizontal).

Ahora estudiemos la relación de esta gráfica con la covarianza / tensión de Reynolds de los datos:

1covij i jN

Tensiones Reynolds ij u uN

ρ ρ= − × = − × × ×∑

Podemos ver que en última instancia se trata de un sumatorio del producto de las velocidades. El signo de este producto depende del cuadrante en el que nos encontremos, de manera que sumatorio lo podemos dividir en cuatro partes:


145

0 0 1

0 0 21 1

0 0 3

0 0 4

eri j i j

oi j i j

i jN er

i j i j

oi j i j

u u u u cuadrante

u u u u cuadrante

u uN N

u u u u cuadrante

u u u u cuadrante

× > > × > <× × = × × < < × < >

∑

∑∑

∑

∑

De estos cuadrantes el 1 y el 3 dan valores positivos y el 2 y el 4 negativos. En distribuciones que tienen tensiones de Reynolds diferentes de 0 la suma total de estos cuadrantes no es nula, y la distribución de puntos en ella tampoco, podemos ver un ejemplo:

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50Balance de la covarianza = -52

Vprimas x

Vpr

imas

z

Ilustración 2.23 Nube de puntos Vx' Vz' para y = 4.37 Q = 150 l/s

En esta grafica presentamos las velocidades turbulentas ene el eje X (longitudinal) y el eje Z (transversal vertical). En contraste con la grafica anterior en ésta podemos apreciar una correlación marcada entre los datos de manera que definen un eje preponderante. Para calcular esta correlación utilizamos el siguiente estadístico:


146

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2k k

2 2 2k k

1 1 1U U -U U - U

1 1 1V V -V V -V V

1cov( )( )

UN N N

VN N N

iN

U V U V

Var U u VarN N N

Var v VarN N N

u vuv Ncor uv

σ

σ

σ σ σ σ

= = = =

= = = =

× ×= =

× ×

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑

De la correlación extraeremos la fidelidad de los datos a la alineación, ahora analizamos la dirección del eje en el que se alinean, consideremos una regresión lineal de las velocidades u, v se tratara de una recta que debe pasar por el punto (0,0) ya que la media de todos los puntos es cero por ser velocidades turbulentas de media cero. Así si realizamos la regresión lineal por el método de los mínimos cuadrados el valor de la pendiente es el siguiente.

2

2

1 ( m ) Minimizamos el error 0m

2 ( m ) ( ) 0 ( m ) 0m

( m ) 0 0 cov( ) m U

cov( )mU

N

N N

N

ErrorError v uN

E v u u v u uN

vu u uv Var

uvVar

∂= − × =

∂

∂= × − × × − = → − × × =

∂

− × = → = − ×

=

∑

∑ ∑

∑

Así que existe una relación entre la recta de regresión de las velocidades y el valor de la covarianza / tensión de Reynolds, así que podemos comparar la pendiente de una distribución sin tensiones y otra con tensiones:


147

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50Pendiente de la regresion m =-0.0050989

Vprimas x

Vpr

imas

yPuntos veloc idaesValores mediosRecta regres ion

Ilustración 2.24 Nube de puntos Vx' Vy' y = 4.37 Q = 150 l/s

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50Pendiente de la regresion m =-0.26839

Vprimas x

Vpr

imas

z

Puntos velocidaesValores mediosRecta regresion

Ilustración 2.25 Nube de puntos Vx’ Vz’ para y = 4.37 Q = 150 l/s


148

Podemos ver que el primer caso tiene unas tensiones de Reynolds nulas o casi nulas, por lo que la pendiente de la regresión tiene un valor casi nulo. En el segundo caso se ve claramente una orientación bien definida de la distribución delos puntos. Esta orientación en unan dirección concreta de la cuadrícula se suele analizar como la correlación, podemos encontrar la relación entre la correlación y pendiente de la regresión.

cov( )( ) cov( )( )

cov( )mcov( )m U

U

m( )

U VU V U

V

V

U

uvcor uv uvcor uv

uvuv

VarVar

cor uv

σ σσ σ σ

σ

σσ

= × × = = =

=

Hallamos de esta manera la relación entre la regresión y la correlación. La primera nos da la dirección de la orientación, y la segunda la fidelidad a esta dirección. Las desviaciones estándar son las medias cuadráticas de las velocidades turbulentas, y estas tiene una relación entre ellas constante (NEZU[93]), que en el caso de perfiles no rugosos algunos autores cuantifican en 0.72 para el caso de w/u. En general este coeficiente presenta una gran dependencia con respecto a la rugosidad. En la siguiente tabla se resumen los parámetros analizados para este perfil:


149

Tabla 2.1 Resultados estadísticos del análisis de datos del perfil Q =150 l/s

Altura cm. v / u w / u Correlacion X-Y Correlación X-Z u v w Regresión X-Y Regresión X-Z Regresión Y-Z Covarianza X-Y Covarianza X-Z Covarianza Y-Z0.75 0.92 0.40 0.06 0.47 10.66 9.84 4.27 -0.06 -0.19 0.09 -6.32 -21.22 8.73

1.02 0.75 0.43 0.05 0.63 13.79 10.37 5.89 0.04 -0.27 0.00 6.76 -51.03 0.20 1.48 0.69 0.42 0.03 0.64 14.62 10.02 6.13 0.02 -0.27 -0.01 3.95 -57.13 -1.14 1.97 0.69 0.42 0.01 0.64 15.34 10.55 6.46 -0.01 -0.27 0.00 -1.44 -63.41 0.36 2.65 0.64 0.41 0.02 0.62 15.62 9.98 6.40 -0.02 -0.25 -0.01 -3.86 -61.83 -0.74 2.96 0.70 0.41 0.04 0.57 14.86 10.47 6.03 -0.03 -0.23 0.01 -5.85 -50.98 1.14 3.37 0.63 0.41 0.07 0.59 14.80 9.29 6.02 -0.05 -0.24 0.04 -10.29 -52.85 3.04 3.94 0.68 0.41 0.03 0.58 15.91 10.74 6.48 -0.02 -0.24 0.02 -5.02 -60.31 2.44 4.37 0.65 0.41 0.02 0.54 15.37 10.06 6.29 -0.01 -0.22 0.02 -3.17 -52.54 1.86 4.83 0.65 0.41 0.03 0.55 14.97 9.80 6.15 -0.02 -0.23 0.01 -4.92 -50.37 1.01 5.29 0.64 0.40 0.03 0.52 14.85 9.52 5.94 -0.02 -0.21 0.00 -4.43 -46.23 -0.19 5.75 0.64 0.40 0.02 0.53 14.76 9.40 5.94 0.01 -0.22 -0.01 2.44 -46.47 -0.59 6.3 0.74 0.38 0.13 0.48 14.89 11.02 5.72 0.10 -0.19 -0.04 20.79 -40.81 -4.69 6.9 0.74 0.26 0.00 0.47 24.89 18.36 6.37 -0.04 -0.07 0.02 -2.17 -75.11 0.50


151

Podemos observar en la tabla que efectivamente la relación entre la medias cuadráticas de las velocidades turbulentas se mantiene constante alo largo de todo el perfil, sin embargo su valor para el caso X-W es 0.41, muy diferente del 0.72 previsto en la teoría. En cuanto a los valores de la correlación de X-Z siguen un perfil que se puede considerar lineal, en la primera gráfica observamos su valor en función de la altura;

0.46 0.48 0.5 0.52 0.54 0.56 0.58 0.6 0.62 0.64 0.660

1

2

3

4

5

6

7

Correlacion

Altu

ra (c

m.)

Correlación X-Z para el perfil Q = 125 l/s

Ilustración 2.26 Correlación Vx-Vz del perfil Q = 150 l/s

Pero debemos recordar que se trata de una parte del perfil, así que si representamos la altura total del perfil:


152

0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 60

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

C o rre la c ió n

Altu

ra (c

m.)

C o rre la c ió n X-Z p a ra e l p e rfi l d e g ra va s Q = 1 5 0 l / s

C o rre la c io n e s

Ilustración 2.27 Correlación Vx Vz para el caldo completo del perfil Q = 150 l/s

Vemos que efectivamente aparenta un comportamiento lineal, sin embargo no parece converger hacia el cero en la parte superior del perfil, donde sabemos que las tensiones de Reynolds son cero, por lo que la correlación debe valer cero, por este motivo la función no debe ser lineal. De igual manera realizamos una gráfica en la que representamos el angulo de regresión en el campo de velocidades X-Z, ya que este es el unico plano en el que aparecen tensiones, siendo los otros isótropos.

0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4 0 .5 0 .60

1

2

3

4

5

6

7

m (P e n d ie n te re g re s ió n )

Altu

ra (c

m)

P e n d ie n te d e la re c ta d e re g re s ió n d e l c a m p o d e ve lo c id a d e s X-Z Q = 1 5 0 l/ s

Ilustración 2.28 Pendientes de la recta de regresión Vx Vz para el perfil Q = 150 l/s y = 1.5 cm


153

Podemos ver que el ángulo de la regresión parece decrecer linealmente poco a poco a pesar de que en ningún caso se hará cero para la parte superior del perfil. Podemos comprobar la relación entre la pendiente de la recta de regresión y la correlación de las velocidades, como habíamos hallado en la formula enunciada anteriormente:

m( )

V

Ucor uvσσ

=

La relación entre pendiente de la regresión y el valor de la regresión debe dar un valor constante.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80

1

2

3

4

5

6

7

m / Correlación

Altu

ra (c

m)

Relacion entre la pendiente de la recta de regresión y la correlación Q = 150 L/s

Ilustración 2.29 Relación pendiente-correlación (m / Corr) Q = 150 l/s y = 1.5 cm

El valor es bastante constante, una conclusión interesante es el hecho de que al incrementarse las tensiones de Reynolds dentro del campo de velocidades turbulentas se produce un doble fenómeno, por una parte se alinean las velocidades entorno a una recta y por otra parte la pendiente de esta recta se incrementa. Ahora podemos analizar los cuadrantes de los diagramas de distribución de velocidades para cada punto. Podemos ver el valor de la covarianza para cada uno de los cuadrantes, recordando que el valor total es la suma de los cuatro cuadrantes.


154

-40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 100

1

2

3

4

5

6

7

Covarianza cm2 / s2

Altu

ra (c

m.)

1 + +2 + -3 - -4 - +

Valor de la covarianza de cada uno de los cuadrantes

Ilustración 2.30 Covarianza de los datos Vx Vz incluidos en cada uno de los cuadrantes y = 1.5 cm

Se aprecia claramente el efecto que las tensiones de Reynolds producen en el cuadrante de velocidades, a la vista de las distribuciones presentes de velocidades turbulentas podemos trazar las trayectorias que siguen las partículas presentes en el fluido, para ello supondremos que viajamos solidariamente con el fluido, a su velocidad media, así como la hipótesis de Taylor de la Turbulencia Congelada.


155

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20Trayectorias Z-Y (Sección transversal) Q = 150 l/s y = 1.5 cm

Y (cm)

Z (c

m)

Ilustración 2.31 Trayectorias Z-Y de las velocidades medidas para y = 1.5 cm Q = 150 l/s

En las primeras gráficas de este apartado hemos visto la diferente distribución de puntos que aparecía en el diagrama de velocidades turbulentas en función de si en ese punto había tensiones de Reynolds o no. Ahora se observa un fenómeno parecido, en la figura anterior vemos las velocidades Z-Y, sabemos que en este plano no aparecen tensiones de Reynolds, con lo que no hay un patrón definido en las trayectorias de las partículas, que siguen rutas caóticas. En la siguiente figura veremos el plano Z-X en el que si que aparecen tensiones de Reynolds y se observa la repercusión en las trayectorias de las partículas, en las que se ve un eje definido en las pseudo-elipses definidas por las trayectorias. En la tercera figura vemos una representación tridimensional de las trayectorias, apreciándose ese eje definido para el plano X-Z.


156

-60 -40 -20 0 20 40 60-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20Trayectorias X-Z (Seccion longitudinal) Q = 150 l/s y = 1.5 cm

X (cm)

Z (c

m)

Dirección flujo

-60 -40 -20 0 20 40 60 -60

-40

-20

0

20

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Dirección flujo

X (cm)

Y (cm)

Z (cm)

Trayectorias 3D para Q = 150 l/s y = 1.5 cm

Ilustración 2.32 Trayectorias de las velocidades medidas para y = 1.5 cm Q = 150 l/s


157

Esta anisotropía del campo de velocidades turbulentas se acentúa en función del valor de las tensiones de Reynolds, siendo máxima para los campos de velocidades U-W y para los puntos inferiores del perfil, ya que son los de mayor valor de tensiones.

2.6 Influencia del tamaño de vórtice en las tensiones de Reynolds Hemos visto que las tensiones de Reynolds aparecen cuando tenemos anisotropía en el campo de velocidades, están asociadas a una cierta correlación en las velocidades además de a un cierto ángulo de giro en el campo Sabemos que el fenómeno de la turbulencia esta asociado a unas ciertas escalas. Podemos estudiar que escalas tienen mayor influencia en las tensiones. Vimos en el capitulo 4 que las frecuencias que aparecen en el espectro de nuestros datos responden al tamaño de los flujos turbulentos presentes en el fluido, por ello si realizamos un filtrado de la señal en base a las frecuencias estamos realizando un filtrado en función del tamaño. Descompondremos nuestra señal en cuatro rangos de frecuencias, por el límite de Nyquist la frecuencia máxima que se puede medir es de 12.5 Hz entonces descompondremos esta frecuencia en 4 partes y analizaremos sus campos de velocidades por separado. Para realizar la separación por frecuencias utilizamos un filtro de Butterworth, ya que permite configuraciones low-pass high-pass y band-pass, el filtrado lo imponemos de orden 10, es decir abrupto. El algoritmo trabaja recursivamente en un filtro de respuesta a impulso infinito o no recursivamente en respuesta a impulso finito. Como siempre para que los resultados sean ilustrativos hemos de utilizar datos en los que aparezcan unas tensiones de Reynolds significativas. Para ello utilizaremos la serie de datos obtenida con 150 l/s a 1.5 cm del fondo del canal.


158

-50 0 50

-30

-20

-10

0

10

20

30

Ux cm/s

Uz

cm/s

0Hz-3.125Hz

-50 0 50

-30

-20

-10

0

10

20

30

Ux cm/s

Uz

cm/s

3.125Hz-6.25Hz

-50 0 50

-30

-20

-10

0

10

20

30

Ux cm/s

Uz

cm/s

6.25Hz-9.375Hz

-50 0 50

-30

-20

-10

0

10

20

30

Ux cm/s

Uz

cm/s

9.375Hz-12.5Hz

Mapas de velocidades turbulentas en función de la frecuencia Q = 150 l/s y = 1.5 cm

Ilustración 2.33 Nube de puntos Vx' Vz' en función del rabgo de frecuencias y = 1.5 cm Q = 150 l/s

Podemos apreciar varios fenómenos, por una parte la anisotropía pertenece fundamentalmente a las frecuencia bajas, perdiéndose la deformación en los vórtices más pequeños. Además podemos ver que las mayores amplitudes pertenecen también a las escalas más grandes. Por otra parte el eje pequeño de las pseudo-elipses que forman las nubes sufre menores cambios en su tamaño.


159

-30 -20 -10 0 10 20 30-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

Ux cm/s

Uz

cm/s

9.375Hz-12.5Hz6.25Hz-9.375Hz3.125Hz-6.25Hz0Hz-3.125Hz

Nube de puntos del mapa de velocidades

Ilustración 2.34 Nube de puntos Vx’ Vz’ y = 1.5 cm Q = 150 l/s

En esta imagen de los puntos asociados a la frecuencia a la que pertenecen podemos ver que el núcleo lo forman las mayores frecuencias y el exterior los puntos pertenecientes a mayores escalas. En la siguiente gráfica analizamos la correlación que presentas estas nubes en función de su frecuencia. Como era previsible en las frecuencias menores se observa un alineamiento mayor en el campo de velocidades.


160

Inf. Inf. Med. Med. Sup Sup-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

Correlaciones Ux-Uz de menor frecuencia a mayor frecuencia Q = 150 l/s y = 1.5

Rango de Frecuencias Ilustración 2.35 Valor de las correlaciones Vx Vz en función de las frecuencias y = 1.5 cm Q = 150

l/s

Sabemos que las tensiones de Reynolds dependen tanto de la alineación del campo como de su amplitud, por tanto el siguiente elemento a analizar es la amplitud de las nubes de puntos en función de su frecuencia.

Ux Uy Uz0

2

4

6

8

10

12

Desviac iones de Ux Uy Uz (m edia cuadratica de las veloc idades turbulentas Q = 150 l/s y = 1.5 cm

cm /

s

0Hz -3.125Hz3.125Hz-6.25Hz6.25Hz-9.375Hz9.375Hz-12.5Hz

Ilustración 2.36 Desviación estándar en función de las frecuencias y = 1.5 cm Q = 150 l/s


161

Las mayores amplitudes corresponden a las frecuencias menores, si las tensiones son el resultado de las correlaciones por las desviaciones lógicamente las mayores tensiones corresponderán a las mayores escalas (menores frecuencias).

Inf. Inf. M ed. M ed. S up S up0

5

10

15

20

25

30

35

Tens iones Rey nolds de m enor frec uenc ia a m ay or frec uenc ia Q = 150 l/s y = 1.5 c m

Rango de F rec uenc ias

cm2 /

s2

Ilustración 2.37 Tensiones de Reynolds X Z en función delas frecuencias y = 1.5 cm Q = 150 l/s

Vemos que aproximadamente un 70 % de las tensiones son responsabilidad de las frecuencias menores, no olvidemos que las frecuencias disipativas son mucho mayores que las más altas aquí representadas por tanto su papel en el incremento de las tensiones debe ser muy pequeño.

2.7 Histograma angular del mapa de velocidades Para tratar de cuantificar la relación ángulo-amplitud del mapa de velocidades podemos realizar un histograma angular donde se vea el numero de puntos que caen dentro de cada intervalo de ángulos.


162

50

100

150

200

250

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

Angulo en grados

Histograma angular de mapa de velocidades X-Z Q = 150 l/s y =1.5 cm

Ilustración 2.38 Histograma angular de las direcciones de las velocidades en el plano X-Z para y =

1.5 cm Q = 150 l/s

Se aprecia claramente que caen muchos más puntos en el eje de regresión del mapa que en el resto de puntos, esto es un dato nuevo ya que antes sabíamos que los puntos de mayor velocidad turbulenta se correspondían con estos ángulos, pero ahora vemos que además hay muchos más puntos situados sobre estos ángulos. Podemos realizar una serie de giros y conversiones de ángulos de manera que nos queden en un rango de valores de 0 a π / 2 donde los valores cercanos a π / 2 sean los ángulos de regresión del campo de velocidades, el histograma resultante resultante es el siguiente:


163

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

Angulo (rad)

nº P

unto

s

Histograma de angulos Q = 150 l/s y = 1.5 cm

Ilustración 2.39 Histograma de angulos adoptados por las velocidades en el plano X-z para y = 1.5

cm Q = 150 l/s

Se aprecia claramente el fenómeno comentado, de mayor acomulación de puntos en la franja correspondiente a los ángulos de regresión. En contraste con estos datos podemos representar los de un campo de velocidades que no tenga tensiones de Reynolds.


164

50

100

150

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

Histograma angular del mapa de velocidades X-Y Q = 150 l/s y = 1.5 cm

Angulo en grados

Ilustración 2.40 Histograma angular para las velocidades en el plano X-Y para y = 1.5 cm Q = 150

l/s

Podemos ver que aparentemente no hay una dirección preponderante tan bien definida como en el otro caso.

2.8 Función de coherencia Para relacionar los espectros de dos señales existe la función de coherencia, que calcula la función de densidad de potencia espectral de la función producto de las dos anteriores y normaliza el resultado dividiendo por el valor de las funciones densidad de potencia espectral de cada una de las señales anteriores, para más datos ver KAY[88]. De modo genérico la función es de la forma:

2( )

( )( )· ( )

( )

xyxy

xx yy

xy

P fCoherencia C f

P f P f

P PSD Power Spectral Density

= =

=

Por ello la función de coherencia aporta información sobre la correlación en el dominio de las frecuencias que hay entre las dos series de datos.En primer lugar calculamos esta función para una serie de datos con tensiones de Reynolds, obteniendo el siguiente resultado:


165

Ilustración 2.41 Función de coherencia Vx-Vz para y = 1.5 cm Q = 150 l/s

Podemos contrastar con una serie de datos en la que no haya un comportamiento ordenado de los datos:


166

1.25 2.50 3.75 5.00 6.25 7.50 8.75 10.00 11.25 12.50 1.250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Frequencia (Hz)

Est

imac

ión

de la

func

ión

de c

oher

enci

a

Función de coherencias X-Y Q = 150 l/s y = 1.5 cm

Ilustración 2.42 Función de coherencia Vx-Vy para y = 1.5 cm Q = 150 l/s

En este caso se observa un comportamiento mucho más caótico, con un incremento del valor en la parte central pero sin un comportamiento previsible. Por otra parte podemos realizar los mismos cálculos con las series de datos transformadas a coordenadas polares.


167

0.0 1.25 2.50 3.75 5.00 6.25 7.50 8.75 10.00 11.25 12.500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Frequencia (Hz)

Est

imac

ión

de la

func

ión

de c

oher

enci

a

Función de coherencia X-Z Q = 150 l/s y = 1.5 cm

Ilustración 2.43 Función de coherencia Angulo-Radio de Vx Vz pasadas a polares para y = 1.5 cm

Q = 150 l/s

Se puede apreciar claramente como en coordenadas polares se pierde la

información que relaciona las frecuencias bajas, esto puede deberse a que los vórtices de menor tamaño, presentan un comportamiento más anisótropo que disminuye la correlación, para corroborar estos datos podemos calcular la correlación entre las dos series temporales polares, dando un valor de 0.4898, cuando la correlación en coordenadas cartesianas daba un valor de 0.64, bastante mayor.

2. Ensayos tridimensionales en gravas

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