2 EJERCICIOS RESUELTOS DE REDES DE TUBERAS (MTODO MATRICIAL, MTODO DE LA

LNEA DE GRADIENTE HIDRULICO Y USO DE EPANET) HIDRULICA BSICA

Autor: J. Esteban Rodrguez Estudiante de la Universidad Nacional de Colombia Atencin: Documento provisto nicamente como material de estudio, se prohbe su reproduccin y/o uso

inadecuado.

1) En la figura se ilustra un sistema de tuberas con tres embalses. Determine el caudal en

cada tubera usando el mtodo de lnea de gradiente hidrulico en los nodos y el mtodo

matricial. Para cada tubera, los dimetros y longitudes estn en unidades de metros.

Figura 1. Representacin esquemtica (No a escala) del sistema

1.1) Desarrollo por el mtodo de la lnea de gradiente hidrulico en el nodo

1.1.a) Direcciones del flujo

Para este problema en particular, las direcciones del flujo son conocidas, por lo cual no se

hace necesario recurrir a suposiciones iniciales.

1.1.b) Anlisis del Nodo y su valor de LGH

Antes de especificar las ecuaciones que rigen el sistema dado, se har una suposicin

sencilla que consiste en imaginar un piezmetro en el nodo, el cual permite leer el valor

de la lnea de gradiente hidrulico LGH en dicha parte del sistema. La direccin del flujo en

cada tubera (Que ya es conocida) permite deducir inequvocamente entre qu rangos

posibles debe encontrarse tal valor de LGH en el nodo.

Figura 2. Suposicin de un piezmetro imaginario en el nodo del sistema

Considerando el hecho de que el fluido siempre viajara desde el punto de mayor energa a

un punto de menor energa y de que las condiciones en los embalses son conocidas,

resulta evidente que el valor de LGH debe ser menor a 85 metros (Ya que el agua desde el

embalse 2 viaja hacia abajo), pero mayor a 60 metros (por la misma razn respecto al

embalse 3), as:

1.1.c) Aplicacin de las ecuaciones de continuidad y energa en el sistema

Inicialmente se puede hacer un anlisis para encontrar la expresin que cumple la

ecuacin de continuidad en el nodo (La masa de fluido debe conservarse), de esta forma,

de acuerdo a las direcciones del flujo se cumple que (Considrese la nomenclatura de la

figura 2):

Donde:

El siguiente paso es aplicar las ecuaciones de energa para cada tubera en la direccin que

corresponda, estas resultan particularmente sencillas dada la ausencia de equipos de

bombeo u condiciones especiales en los embalses, por lo tanto se tiene:

Para la tubera 1

Para la tubera 2

Para la tubera 3

Donde:

Ahora bien, sabemos por definicin que las prdidas de energa se pueden representar de

la forma: de acuerdo al modelo de Darcy-Weisbach, por lo tanto,

reemplazando en las ecuaciones (2), (3) y (4):

(

)

(

)

(

)

Las ecuaciones (5), (6) y (7) expresan explcitamente los caudales Q1, Q2 y Q3 que son

precisamente aquellos que se desea conocer. Si reemplazamos estas expresiones en la

ecuacin (1) se obtiene la ecuacin que rige al sistema en funcin de LGHn y los

coeficientes de resistencia k:

(

)

(

)

(

)

1.1d) Primera estimacin de los coeficientes de resistencia k para cada tubera

Antes de analizar ms a fondo la ecuacin (8), hay que hacer una primera suposicin que

permita estimar un valor inicial de los k, el primer paso es suponer un factor de friccin

rugoso para cada tubera y calcular el resto de sus propiedades con base en los datos

conocidos y esta suposicin inicial, para esto es importante listar primero ordenadamente

en tablas cada una de las propiedades conocidas de cada tubera de acuerdo a la

nomenclatura seleccionada:

Tabla 1. Propiedades conocidas de las tuberas del sistema

Demandas

Viscosidad

q (m3/s) 0,06

(m2/s) 1,31E-06

Elevaciones

Longitudes

Z1 (m) 100

L1 (m) 2000 Z2 (m) 85

L2 (m) 1500

Z3 (m) 60

L3 (m) 3000

Dimetros

Rugosidades

D1 (m) 0,3

Ks1 (m) 0,0005 D2 (m) 0,25

Ks2 (m) 0,0005

D3 (m) 0,25

Ks3 (m) 0,0005

Suponemos entonces para las 3 tuberas un factor de friccin inicial f de 0,03, de lo cual

se puede calcular cada uno de los k de acuerdo a la ecuacin:

Donde:

Por lo tanto se tiene:

Tabla 2. Estimaciones de coeficiente de rugosidad para la primera iteracin

Tubera Ks/D f turb K (m5/s2)-1

1 0,0017 0,03000 2040,2 2 0,0020 0,03000 3807,4 3 0,0020 0,03000 7614,9

1.1.e) Aplicacin del mtodo numrico de Newton-Raphson para estimar LGHn

Si analizamos la ecuacin (8) nos encontramos con un inconveniente importante, el valor

de LGHn es desconocido, y a pesar de que sabemos con certeza los rangos en los que se

debe encontrar no tenemos el valor preciso para que se cumpla la continuidad, por lo cual

se recurre al mtodo de Newton-Raphson para estimarlo, as que en primera medida se

adoptar un valor que corresponde al promedio de los lmites tiene, en este caso, ser:

De acuerdo al mtodo de Newton-Raphson, con un valor supuesto, debe generarse un

error, que esta define a la ecuacin (8) como una funcin de error E (LGHn):

(

)

(

)

(

)

Para aplicar el mtodo de Newton se debe calcular la derivada de la funcin de error,

respecto a la variable que se est estimando:

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

Luego, se calcula el cambio en el valor de LGHn, el, cual en teora al ser sumado al primer

valor de LGHn supuesto, debe acercarse a un mejor valor de LGHn que disminuya el error

progresivamente hasta prcticamente cero, aplicamos:

(

)

Donde:

Para nuestro caso y con los primeros valores de k encontrados se tiene que:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

Entonces:

De lo que se deduce de acuerdo a la ecuacin (13) que un LGH ms acertado para el nodo

debe ser:

Ahora bien, usando este nuevo LGHn, calculamos los caudales para esta iteracin

haciendo uso de las ecuaciones (5), (6) y (7), al mismo tiempo se puede obtener la

velocidad del flujo, dividiendo dichos caudales por el rea de la seccin transversal de

cada tubera y consecuentemente se puede calcular el nmero de Reynolds de acuerdo a

la expresin:

Donde:

Adems con este nmero de Reynolds y la relacin ks/D explcita en la tabla (2) para cada

tubera, se puede aplicar la ecuacin implcita de Colebrook-White para determinar un

nuevo factor f para cada tubera que se ajustar mejor a las condiciones del sistema y

pondr fin a la iteracin 1:

(

)

Tabla 3. Factores de friccin nuevos luego de la primera iteracin

Q (m3/s) A (m^2) V (m/s) Re f c-w hf (m)

0,087 0,07068583 1,23 281480,33215 0,0231 15,4

0,010 0,04908739 0,21 39859,91258 0,0271 0,4

0,057 0,04908739 1,16 220969,58224 0,0242 24,6

Desde este punto se inicia una segunda iteracin adoptando ahora los factores de friccin

nuevos, el procedimiento se repite exactamente igual desde la tabla (2):

Tabla 4. Estimacin de k para la segunda iteracin

Suposicin LGH N1 (m) 84,60

Tubera Ks/D f turb K (m5/s2)-1

1 0,0017 0,02305 1567,7 2 0,0020 0,02714 3444,7 3 0,0020 0,02423 6150,0

Hallamos entonces la funcin de error, su derivada y el delta en la estimacin de LGHn, tal

cual las ecuaciones (10) y (11):

Recalculando los caudales y dems variables, se tiene:

Tabla 5. Factores de friccin nuevos luego de la segunda iteracin

Q (m3/s) A (m^2) V (m/s) Re f c-w hf (m)

0,101 0,07068583 1,44 328759,64938 0,0230 16,1

0,018 0,04908739 0,37 70829,74422 0,0257 1,1

0,062 0,04908739 1,27 242138,78829 0,0242 23,9

Las iteraciones deben detenerse cuando el cambio entre los factores de friccin antiguos y

los nuevos sea despreciable, en este caso a pesar de que resultaron similares, an hubo

cambios notables, por lo cual la solucin exige ms iteraciones:

Tabla 6. Estimacin de k para la tercera iteracin

Suposicin LGH N1 (m) 83,86

Tubera Ks/D f turb K (m5/s2)-1

1 0,0017 0,02295 1560,9 2 0,0020 0,02571 3263,0 3 0,0020 0,02416 6133,0

Hallamos de nuevo la funcin de error, su derivada y el delta en la estimacin de LGHn, tal

cual las ecuaciones (10) y (11):

Recalculando los caudales y dems variables, se tiene:

Tabla 7. Factores de friccin nuevos luego de la tercera iteracin

Q (m3/s) A (m^2) V (m/s) Re f c-w hf (m)

0,102 0,07068583 1,45 331047,87114 0,0229 16,3 0,020 0,04908739 0,41 77536,69959 0,0255 1,3 0,062 0,04908739 1,27 241687,85676 0,0242 23,7

Para la siguiente iteracin se tiene:

Tabla 8. Estimacin de k para la cuarta iteracin

Tubera Ks/D f turb K (m5/s2)-1

1 0,0017 0,02295 1560,7 2 0,0020 0,02554 3240,9 3 0,0020 0,02416 6133,3

Hallamos de nuevo la funcin de error, su derivada y el delta en la estimacin de LGHn, tal

cual las ecuaciones (10) y (11):

Recalculando los caudales y dems variables, se tiene:

Tabla 9. Factores de friccin nuevos luego de la cuarta iteracin

Q (m3/s) A (m^2) V (m/s) Re f c-w hf (m)

0,102 0,07068583 1,45 331045,69202 0,0229 16,3 0,020 0,04908739 0,41 77708,80360 0,0255 1,3 0,062 0,04908739 1,27 241698,42910 0,0242 23,7

Como en este caso los cambios en los nuevos factores de friccin respecto a los anteriores

no son significativos podemos aceptar que se ha llegado a la solucin del problema. Los

caudales de cada tubera son los siguientes:

Se puede verificar que las respuestas encontradas cumplen con las ecuaciones de

continuidad: (1) y las de energa (5), (6) y (7):

1.2) Desarrollo por el mtodo matricial

1.1.a) Nomenclatura y Direcciones del flujo

Para el problema propuesto, no hay inconvenientes con las direcciones de flujo (Pues son

conocidas) ni con la nomenclatura (Pues solo se tiene un nodo).

1.1.b) Definicin de circuitos

Debemos considerar el problema analizado en funcin de circuitos abiertos, es decir,

series de tuberas mediantes las cuales una lnea de corriente puede existir en la realidad,

en este caso, asumiremos los nicos 2 circuitos posibles de acuerdos a las direcciones de

flujo que abarcan toda las tuberas del sistema:

Figura 3. Definicin de

circuitos en el sistema

1.1.c) Chequeo de las prdidas de energa

A diferencia del mtodo del gradiente hidrulico en el Nodo, en este caso no se toma en

cuenta el nodo explcitamente. En primer lugar para resolver el problema por el mtodo

matricial, es aconsejable realizar un chequeo de las prdidas y para esto, recurrimos a la

ecuacin de Darcy-Weisbach y aplicamos unos valores bastante redondeados para f (Por

ejemplo 0,02) y la velocidad (1 m/s) a cada uno de los circuitos:

Para el circuito 1:

( )

(

)

( )

(

)

Al comparar esto con la diferencia de alturas entre los puntos 1 y 3 (Energa disponible):

Se obtiene aproximadamente el 50%, lo cual es aconsejable y se puede decir que le da luz

verde al sistema.

Similarmente para el circuito 2:

( )

(

)

( )

(

)

Al comparar esto con la diferencia de alturas entre los puntos 2 y 3 (Energa disponible):

Las prdidas son significativas, pero no sobrepasan a la energa disponible para gastar, por

lo cual el sistema funciona.

1.1.d) Aplicacin de las ecuaciones de conservacin de masa y energa

Inicialmente se hace explcita la ecuacin de conservacin de masa en el nodo del sistema:

Luego, analizamos los grados de libertad del sistema, en este caso son 3 (Q1, Q2 y Q3) por

lo tanto se requieren 2 ecuaciones adicionales a (16) para resolver el problema

(Corresponde a los 2 circuitos definidos) cada uno genera una ecuacin de conservacin

de energa:

Circuito 1 ( :

Circuito 2 ( :

1.1.e) Primera estimacin de los coeficientes de resistencia k

Similarmente a como se trabaj en el mtodo de LGH en el nodo, se adoptan en principio

unos valores de f para las tuberas; tomaremos 0,03 en este caso para las 3, luego

podemos calcular el k de acuerdo a la ecuacin (9):

Tabla 10. Coeficiente de resistencia para los f supuestos

Tubera Ks/D f turb K (m5/s2)-1

1 0,0017 0,03000 2040,2 2 0,0020 0,03000 3807,4 3 0,0020 0,03000 7614,9

1.1.f) Definicin de funciones de error

Idealmente se quiere lograr un cumplimiento perfecto de las ecuaciones (16), (17) y (18),

sin embargo, en el mtodo matricial se inicia suponiendo los caudales por lo que la

probabilidad de que se cumplan dichas ecuaciones simultneamente con caudales

supuestos es casi nula, as que se genera un error en cada una ellas. Por esta razn

podemos definir:

Y de forma similar (No igual) al mtodo de Newton, es vlido afirmar que se puede

obtener una funcin con un error menor aplicando:

En notacin matricial:

[ ] [ ] [ ][ ]

Donde: [ ] [ ] [ ]

Y si [ ] tiende a ser cero, la ecuacin 22 puede simplificarse como:

[ ][ ] [ ]

1.1.g) Montaje de las matrices

Para expresar la matriz [ ] hay que derivar parcialmente las ecuaciones (19), (20) y (21)

cada una respecto a Q1, Q2 y Q3 para un total de 9 trminos que conforman dicha matriz:

[ ] [

]

El vector [ ] es simplemente un vector columna que contiene los trminos que

deseamos encontrar de la ecuacin matricial, mientras que el vector [ ] tambin es

un vector columna que contiene a las funciones de error definidas en (19), (20) y (21), por

lo tanto:

[ ] [

]

Y en consecuencia la ecuacin matricial a resolver es:

[

] [

] [

]

Como se mencion anteriormente, este mtodo exige suponer unos caudales iniciales,

para este caso, se supone una velocidad inicial de 1 m/s en la tubera 1, y a partir de su

rea (Que es conocida) se obtiene el caudal:

(

)

(

)

Ahora bien, de la ecuacin de continuidad (16) podemos deducir que:

As que aplicando estos caudales supuestos (Que cumplen la ecuacin de continuidad) y

los k de la tabla 8 en la ecuacin matricial (24) se tiene:

[

] [

] [

]

[

] [

] [

]

De (25) se obtiene:

[

]

[

]

Con el vector de correcciones para los caudales, podemos estimar unos nuevos que se

aproximan mejor a las exigencias del sistema, y a partir de estos de forma anloga al

mtodo de LGH en el nodo, se puede obtener la velocidad del flujo, dividiendo dichos

caudales por el rea de la seccin transversal de cada tubera, consecuentemente se

puede calcular el nmero de Reynolds y ayuda de la ecuacin implcita de Colebrook-

White es posible determinar un nuevo factor f para cada tubera poniendo fin a la

iteracin 1.

Tabla 11. Factores de friccin nuevos luego de la iteracin 1

Q (m3/s) A (m^2) V (m/s) Re f c-w hf (m)

0,090 0,07068583 1,27 291141,033986 0,0230 16,5 0,027 0,04908739 0,55 104039,928124 0,0250 2,7 0,057 0,04908739 1,15 220143,908802 0,0242 24,4

Con los nuevos valores de f se estiman los k de la nueva iteracin:

Tabla 12. Coeficiente de resistencia para los f en la segunda iteracin

Tubera Ks/D f turb K (m5/s2)-1

1 0,0017 0,03000 2040,2 2 0,0020 0,03000 3807,4 3 0,0020 0,03000 7614,9

Realizando exactamente el mismo procedimiento de la iteracin anterior, se obtiene la

siguiente ecuacin matricial:

[

] [

] [

]

De (26) se obtiene:

[

]

[

]

Por lo tanto para los nuevos caudales tenemos:

Tabla 13. Factores de friccin nuevos luego de la iteracin 2

Q (m3/s) A (m^2) V (m/s) Re f c-w hf (m)

0,102 0,07068583 1,45 331563,126046 0,0229 16,4 0,020 0,04908739 0,41 78519,546775 0,0255 1,3 0,063 0,04908739 1,27 243130,037926 0,0242 24,1

El mtodo exige realizar ms iteraciones, de tal forma que el cambio en los factores de

friccin llegue a ser despreciable:

Tabla 14. Coeficiente de resistencia para los f en la tercera iteracin

Tubera Ks/D f turb K (m5/s2)-1

1 0,0017 0,02295 1560,6 2 0,0020 0,02551 3237,9 3 0,0020 0,02416 6132,3

La ecuacin matricial resultante es:

[

] [

] [

]

De (26) se obtiene:

[

]

[

]

Por lo tanto para los nuevos caudales tenemos:

Tabla 15. Factores de friccin nuevos luego de la iteracin 3

Q (m3/s) A (m^2) V (m/s) Re f c-w hf (m)

0,102 0,07068583 1,45 331047,828297 0,0229 16,3 0,020 0,04908739 0,41 77733,134487 0,0255 1,3 0,062 0,04908739 1,27 241725,268339 0,0242 23,7

Como en este caso los cambios en los nuevos factores de friccin respecto a los anteriores

no son significativos podemos aceptar que se ha llegado a la solucin del problema. Los

caudales de cada tubera son los siguientes:

La solucin es exactamente la misma a la que se lleg por el mtodo del LGH en el nodo

del sistema.

2) En la figura se muestra el predimensionamiento de un sistema distribucin de agua

potable (ks = 0.02 mm para todas las tuberas). Se estima que al tanque elevado llegue al

menos un caudal de 3.7 l/s. Presente una solucin usando el esquema de solucin

matricial y compare la solucin usando el modelo EPANET. Describa las caractersticas del

equipo de bombeo (circulo azul) necesario (curva caracterstica, eficiencia, potencia,

CNSP, dimetro de la tubera de succin y de descarga, accesorios) para impulsar agua a

la red de distribucin (del tanque con elevacin 80 m al nodo 4). Longitudes de tuberas y

dimetros en metros.

Figura 4. Esquema del problema 2

2.1) Solucin por el mtodo matricial

2.1.a) Estimacin de las prdidas de energa para seleccin de la bomba

Antes de iniciar con la resolucin del problema, es necesario tener clara la ecuacin del

equipo de bombeo que se debe utilizar; como en este caso no se cuenta con dicha

ecuacin, se debe hacer su seleccin estimando las prdidas de energa que se

necesitaran compensar para transportar el fluido en la direccin especificada. Para que la

estimacin sea efectiva, se supondr el camino ms largo desde el tanque a 80 m hasta el

tanque a 100 m y se asumir un valor tpico de velocidad para un red de distribucin, para

efectos de esta estimacin: V= 1 m/s.

Figura 5. Trayecto ms largo (De mayores prdidas) desde el tanque de succin hasta el de descarga

Al aplicar la ecuacin de Darcy-Weisbach suponiendo una velocidad y un coeficiente de

friccin rugoso, se obtienen las siguientes prdidas redondeadas:

Por lo tanto se requerir una bomba que supla una prdida de no menos de 40 m para un

caudal mnimo que debe corresponder a la suma de las demandas de los nodos y al

mnimo caudal que se exige en el tanque de descarga, dicho caudal es:

Para encontrar una bomba con estas caractersticas se debe recurrir a un catlogo de

bombas, y fijarse en aquellas que para el caudal estimado puedan aportar la carga

hidrulica necesaria. Al revisar el catlogo tcnico Barnes de Colombia encontramos que

para cada bomba se describe una serie de grficas de H (m) contra el caudal el Litros por

minuto (LPM). En el caso de nuestra red, el caudal mnimo a transportar ser:

Sin embargo, en este catlogo ni siquiera con la proyeccin de las curvas de las bombas

ms potentes se encuentra alguna que si quiera considere este caudal (Los valores

mximos de caudal llegan a 22400 LPM)

Figura 6. Curva caracterstica de la Bomba con mayor capacidad encontrada en el catlogo, el caudal

mximo graficado llega hasta 15000 LPM muy lejos de 34000 LPM (Fuente: Barnes de Colombia S.A Catlogo

tcnico)

Al revisar otro catlogo tcnico correspondiente a una empresa espaola conocida como

Bombas Omega se encontraron solo 2 bombas que podran ajustarse a la red estudiada,

en este caso, el caudal est expresado en LPS:

Las curvas de las bombas ms potentes de dicho catlogo se muestran a continuacin:

Figura 7. Curvas caractersticas de las Bombas con mayor capacidad encontradas en el catlogo, estas

bombas cumplen con los requerimientos del problema (Fuente: Bombas OMEGA. Catlogo tcnico)

Para el problema se adoptar la bomba de 960 RPM correspondiente a la figura 7, siendo

la que, mejor se ajusta a la red en trminos de los valores de H y Q presentes, y sobre todo

en eficiencia. Para estimar la ecuacin de la curva caracterstica se puede seleccionar 3

puntos y realizar el ajuste potencial a una curva de la forma (Q= A B*Q^2), aunque

claramente se aprecia que la grfica no corresponde perfectamente a una funcin de esta

forma se puede hacer una aproximacin:

[ ] [ ] [ ]

La ecuacin (27) corresponde a la ecuacin de la bomba que se utilizar para realizar la

solucin del problema, corresponde a la Bomba de referencia C-400/500 de 960 RPM del

catlogo espaol Omega.

2.1.b) Nomenclatura y direcciones de flujo

La nomenclatura de tuberas y circuitos viene explcita en el esquema del problema; y

respecto a las direcciones de flujo, se pueden adoptar criterios de gravedad y mquinas

Hidrulicas presentes para suponerlas, en este caso, dichas suposiciones se muestran en la

siguiente figura:

Figura 8. Direcciones de flujo supuestas

2.1.c) Anlisis del sistema y definicin de los circuitos

Previamente al planteamiento de las ecuaciones del sistema, hay que cuantificar el

nmero de nodos y tuberas para establecer la cantidad de circuitos que se har necesario

definir, en este caso:

De lo que deducimos que el nmero de ecuaciones de energa faltantes debe ser:

Por lo tanto, 3 circuitos que abarcan todas las tuberas del sistema son los siguientes:

Figura 9. 3 Circuitos posibles que abarcan todas las tuberas del sistema

En este caso, se opt por utilizar 2 circuitos cerrados (C1 y C2) y uno abierto (CA) puesto

que los primeros simplifican levemente las ecuaciones a plantear.

2.1.d) Aplicacin de las ecuaciones de conservacin de masa y energa

Inicialmente se hacen explcitas las ecuaciones de conservacin de masa (o continuidad)

en los nodos del sistema:

Las ecuaciones de energa se obtienen a partir de los circuitos previamente definidos:

Para el circuito 1, si se toma como punto de partida el Nodo 1, todos los trminos

(Excepto las prdidas de energa) se anulan puesto que la lnea de corriente parte y llega

al mismo punto, en esto consiste la simplificacin de un circuito cerrado:

En la ecuacin (32) el trmino para la tubera 5 toma signo negativo porque en el circuito

adoptado, la direccin del flujo se opone a la que lleva la lnea de corriente. El

procedimiento anterior se repite para el circuito 2:

El circuito abierto es el ms importante ya que es el que contiene a la bomba, por lo tanto

hay que prestar especial atencin a la definicin de su ecuacin de energa; en este caso

los puntos extremos son las reservas de agua:

( )

( )

Es importante notar que se tiene otro dato muy importante del sistema, en este caso, el

caudal mnimo que debe abastecer a la reserva 1:

2.1.e) Primera estimacin de los coeficientes de resistencia k

En este paso se adoptan en principio unos valores de f para las tuberas; tomaremos

0,03 en este caso para todas, luego podemos calcular el k de acuerdo a la ecuacin (9)

(Usada en el problema anterior), es necesario tener tabuladas ordenadamente todas las

caractersticas de cada tubera:

Tabla 16. Caractersticas de cada una de las tuberas

Demandas

Viscosidad

q1 (m3/s) 0,1

(m2/s) 1,31E-06

q2 (m3/s) 0,15 q3 (m3/s) 0,18 q4 (m3/s) 0,1

Elevaciones

Longitudes

Z1 (m) 100

L1 (m) 500 Z2 (m) 80

L2 (m) 1500

L3 (m) 1400

L4 (m) 1600

L5 (m) 900

L6 (m) 1800

L7 (m) 900

Dimetros

Rugosidades

D1 (m) 0,40

Ks1 (m) 0,00002 D2 (m) 0,50

Ks2 (m) 0,00002

D3 (m) 0,25

Ks3 (m) 0,00002 D4 (m) 0,45

Ks4 (m) 0,00002

D5 (m) 0,40

Ks5 (m) 0,00002 D6 (m) 0,50

Ks6 (m) 0,00002

D7 (m) 0,60

Ks7 (m) 0,00002

Los resultados de la ecuacin (9) para los f supuestos se muestran a continuacin:

Tabla 17. Primera estimacin de los coeficientes de resistencia k

Tubera Ks/D f turb K (m5/s2)-1

1 0,000050 0,03000 121,0 2 0,000040 0,03000 119,0 3 0,000080 0,03000 3553,6 4 0,000044 0,03000 214,9 5 0,000050 0,03000 217,9 6 0,000040 0,03000 142,8 7 0,000033 0,03000 28,7

2.1.f) Aplicacin de la ecuacin matricial

De acuerdo a la teora ya estudiada en el primer problema, se debe armar una ecuacin

matricial que cumpla:

[ ][ ] [ ]

Donde: [ ] [ ]

[ ]

Para este problema las 7 funciones de error a considerar son:

Por lo tanto, su matriz de derivadas parciales es la siguiente:

[

]

Y la ecuacin matricial en cuestin:

[

]

[ ]

[

]

2.1.g) Primera iteracin

Las ecuaciones anteriores nos llevan a plantear los caudales supuestos, para que cumplan

las ecuaciones de continuidad desde un principio:

Aplicando la ecuacin (42) se tiene el siguiente resultado para el vector de delta de

caudal:

[ ]

[

]

Aplicando esta correccin a los caudales y obteniendo la velocidad del flujo, su nmero de

Reynolds y el coeficiente de friccin de acuerdo a la ecuacin de Colebrook, se tiene:

Tabla 18. Resultados de Q y f para la primera iteracin

Tubera Q (m3/s) A (m^2) V (m/s) Re f c-w hf (m)

1 0,0326 0,1257 0,26 79093,6 0,0191 0,13

2 0,0370 0,1963 0,19 71988,2 0,0195 0,16

3 0,0271 0,0491 0,55 105263,3 0,0182 2,61

4 0,1529 0,1590 0,96 330295,8 0,0147 5,03

5 0,1130 0,1257 0,90 274491,7 0,0152 2,78

6 0,1967 0,1963 1,00 382282,4 0,0143 5,52

7 0,5626 0,2827 1,99 911274,8 0,0125 9,08

De la tabla 18 podemos observar que al final de la iteracin 1, el caudal en 1 es menor a

0,0037 el cual es el requerido, por lo tanto para las siguientes iteraciones se espera un

positivo para que de acuerdo a las estimaciones 1 la condicin se cumpla.

2.1.h) Segunda iteracin

De acuerdo a los nuevos caudales y coeficientes de friccin obtenidos, los valores de k

se modifican as:

Tabla 19. Valores de K para la segunda iteracin

Tubera Ks/D f turb K (m5/s2)-1

1 0,000050 0,01914 77,2 2 0,000040 0,01946 77,2 3 0,000080 0,01823 2159,8 4 0,000044 0,01468 105,2 5 0,000050 0,01519 110,3 6 0,000040 0,01429 68,0 7 0,000033 0,01250 11,9

Por lo tanto de la ecuacin matricial con estos nuevos valores de K y Q resulta el

siguiente vector solucin:

[ ]

[

]

Aplicando esta correccin a los caudales y obteniendo la velocidad del flujo, su nmero de

Reynolds y el coeficiente de friccin de acuerdo a la ecuacin de Colebrook, se tiene:

Tabla 20. Resultados de Q y f para la segunda iteracin

Tubera Q (m3/s) A (m^2) V (m/s) Re f c-w hf (m)

1 0,0403 0,1257 0,320 97848,9 0,0183 0,13

2 0,0138 0,1963 0,070 26885,1 0,0242 0,01

3 0,0195 0,0491 0,396 75641,9 0,0194 0,82

4 0,1605 0,1590 1,009 346752,2 0,0146 2,71

5 0,1362 0,1257 1,084 330870,6 0,0147 2,05

6 0,1736 0,1963 0,884 337372,9 0,0146 2,05

7 0,5703 0,2827 2,017 923778,4 0,0125 3,89

2.1.i) Tercera iteracin

De acuerdo a los nuevos caudales y coeficientes de friccin obtenidos, los valores de k

se modifican as:

Tabla 21. Valores de K para la tercera iteracin

Tubera Ks/D f turb K (m5/s2)-1

1 0,000050 0,01833 74,0 2 0,000040 0,02420 96,0 3 0,000080 0,01944 2303,2 4 0,000044 0,01457 104,4 5 0,000050 0,01473 107,0 6 0,000040 0,01458 69,4 7 0,000033 0,01247 11,9

Por lo tanto de la ecuacin matricial con estos nuevos valores de K y Q resulta el

siguiente vector solucin:

[ ]

[

]

Aplicando esta correccin a los caudales y obteniendo la velocidad del flujo, su nmero de

Reynolds y el coeficiente de friccin de acuerdo a la ecuacin de Colebrook, se tiene:

Tabla 21. Resultados de Q y f para la tercera iteracin

Tubera Q (m3/s) A (m^2) V (m/s) Re f c-w hf (m)

1 0,0403 0,1257 0,321 97912,7 0,0183 0,12

2 0,0123 0,1963 0,062 23851,6 0,0249 0,01

3 0,0179 0,0491 0,364 69411,1 0,0198 0,73

4 0,1621 0,1590 1,020 350213,7 0,0145 2,74

5 0,1377 0,1257 1,096 334662,5 0,0147 2,03

6 0,1704 0,1963 0,868 331275,0 0,0146 2,02

7 0,5703 0,2827 2,017 923820,9 0,0125 3,88

2.1.j) Cuarta iteracin

De acuerdo a los nuevos caudales y coeficientes de friccin obtenidos, los valores de k

se modifican as:

Tabla 22. Valores de K para la cuarta iteracin

Tubera Ks/D f turb K (m5/s2)-1

1 0,0000500 0,01833 74,0

2 0,0000400 0,02490 98,7

3 0,0000800 0,01978 2343,4

4 0,0000444 0,01454 104,2

5 0,0000500 0,01471 106,8

6 0,0000400 0,01463 69,6

7 0,0000333 0,01247 11,9

Por lo tanto de la ecuacin matricial con estos nuevos valores de K y Q resulta el

siguiente vector solucin:

[ ]

[

]

Aplicando esta correccin a los caudales y obteniendo la velocidad del flujo, su nmero de

Reynolds y el coeficiente de friccin de acuerdo a la ecuacin de Colebrook, se tiene:

Tabla 23. Resultados de Q y f para la cuarta iteracin

Tubera Q (m3/s) A (m^2) V (m/s) Re f c-w hf (m)

1 0,0403 0,1257 0,321 97927,4 0,0183 0,12

2 0,0122 0,1963 0,062 23627,4 0,0250 0,01

3 0,0177 0,0491 0,360 68668,6 0,0198 0,73

4 0,1623 0,1590 1,021 350626,2 0,0145 2,75

5 0,1378 0,1257 1,097 334942,8 0,0147 2,03

6 0,1701 0,1963 0,866 330691,4 0,0146 2,01

7 0,5703 0,2827 2,017 923830,7 0,0125 3,88

2.1.j) Quinta iteracin

De acuerdo a los nuevos caudales y coeficientes de friccin obtenidos, los valores de k

se modifican as:

Tabla 24. Valores de K para la quinta iteracin

Tubera Ks/D f turb K (m5/s2)-1

1 0,0000500 0,01833 74,0 2 0,0000400 0,02495 99,0 3 0,0000800 0,01983 2348,5 4 0,0000444 0,01454 104,2 5 0,0000500 0,01470 106,8 6 0,0000400 0,01463 69,6 7 0,0000333 0,01247 11,9

Por lo tanto de la ecuacin matricial con estos nuevos valores de K y Q resulta el

siguiente vector solucin:

[ ]

[

]

Aplicando esta correccin a los caudales y obteniendo la velocidad del flujo, su nmero de

Reynolds y el coeficiente de friccin de acuerdo a la ecuacin de Colebrook, se tiene:

Tabla 25. Resultados de Q y f para la quinta iteracin

Tubera Q (m3/s) A (m^2) V (m/s) Re f c-w hf (m)

1 0,0403 0,1257 0,321 97930,7 0,0183 0,12

2 0,0121 0,1963 0,062 23606,7 0,0250 0,01

3 0,0176 0,0491 0,359 68592,9 0,0198 0,73

4 0,1624 0,1590 1,021 350668,3 0,0145 2,75

5 0,1379 0,1257 1,097 334968,6 0,0147 2,03

6 0,1701 0,1963 0,866 330635,4 0,0146 2,01

7 0,5703 0,2827 2,017 923832,9 0,0125 3,88

Como los deltas de caudales son nulos as como los cambios en el coeficiente de friccin,

podemos aceptar que hemos encontrado la solucin del problema que cumple todos los

requerimientos, incluyendo que Q1 debe ser mayor a 37 litros por segundo.

2.2) Verificacin del modelo con el software EPANET

El siguiente es el esquema de la red de distribucin representada en EPANET:

Figura 10. Dibujo del esquema del problema en EPANET

Todas las opciones fueron verificadas previamente a la ejecucin del programa, se

verific:

Utilizacin del Modelo de Darcy-Weisbach (D-W)

Unidades en Litros por segundo LPS; esto implica que las demandas se ingresan

en litros por segundo; las longitudes de las tuberas en metros, mientras que los

dimetros y las rugosidades en milmetros.

La curva de la bomba se ajust a unidades lps

Las dimensiones de todos los elementos (L en metros, D en mm y Rugosidad en

mm)

Para la bomba se especificaron los siguientes puntos de acuerdo a la ecuacin 27:

Figura 11. Curva caracterstica de la bomba seleccionada ingresada en EPANET

Al ejecutar el programa con el botn Run , el programa confirma que el sistema est

bien representado y no hubo dificultades para realizar los clculos (Run was successful),

los resultados se muestran para cada tubera de acuerdo a la ruta: Table Network links

OK. El resumen se presenta en la siguiente tabla:

Figura 12 Resultados de caudales y factores de friccin segn EPANET

Se puede comprobar que EPANET obtiene los resultados en aproximacin iguales a los que

se encontraron con el mtodo matricial (Tabla 25) y se confirma adems que las

direcciones de flujo supuestas eran las correctas para cada tubera. Ntese que en esta

tabla aparece una tubera 8, la cual fue tuvo que ser aadida como tubera de succin

(Con propiedades iguales a la tubera 7 excepto su longitud a la cual se le dio un valor por

defecto) para poder definir a la bomba en el Software, su inclusin no afect

significativamente el clculo del sistema.

2.3) Caractersticas del equipo de Bombeo

Se seleccion la bomba de catlogo de Bombas OMEGA con curva caracterstica de

acuerdo a la imagen izquierda de la figura 7.

2.3.1) Curva caracterstica

La curva caracterstica de la bomba se tom del catlogo tcnico puesto a disposicin del

pblico y se muestra a continuacin:

Figura 13 Curva caracterstica de la bomba seleccionada

2.3.2) Potencia y eficiencia

De acuerdo a la curva seleccionada, para el caudal que maneja la bomba (Q7= 570 LPS) se

tendra una eficiencia del 77% aproximadamente

Figura 14 Eficiencia para la bomba

Respecto a la potencia y recordando su definicin, se tiene:

Donde:

2.3.3) Carga neta de succin positiva

Para realizar el anlisis de CNSP, hay que considerar una lnea de corriente entre el tanque

y la succin de la bomba, para este caso es:

En el problema no se especifican propiedades de la tubera de succin, mediante la cual se

puede calcular , sin embargo, podemos hacer una estimacin con que la longitud

de esa Tubera es 50 m. Podemos despejar :

En trminos de la elevacin de la bomba (No especificada en el problema):

[ ] [ ] [ ] [ ]

2.3.4) Dimetros de succin y descarga, accesorios

De acuerdo a las especificaciones del catlogo se tienen los siguientes dimetros de

impulsin y descarga:

Figura 15 Dimetros de impulsin y descarga

En este caso para la curva 3 (La seleccionada), se tiene:

Como el dimetro de la tubera es 0.6 m, se requerir un accesorio para la transicin de

dimetro al de la bomba.