2 EjemploGaussJordan
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Solución de sistemas de ecuaciones por el método de Gauss Jordan
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Gauss Jordan
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Solucin de sistemas de ecuaciones por el mtodo de Gauss Jordan
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Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el mtodo de Gauss Jordan
Paso 1. Se forma la matriz aumentada
Este es el sistema de ecuaciones a resolver
2 3
2 5 4
3 2 2
x y z
x y z
x y z
1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
NOTA IMPORTANTE: El objetivo del mtodo es lograr formar una matriz identidad de esta forma.
1 0 0
0 1 0
0 0 1
a
b
c
Donde el sistema tiene la siguiente solucin: x = a y = b z = c
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Solucin por el mtodo de gauss jordan
Paso 1. Se forma la matriz aumentada
1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
Paso 2. Como se busca obtener una diagonal de 1 en el primer rengln ya tenemos un nmero 1. Nuestro objetivo ahora ser hacer obtener ceros debajo de este nmero 1
Al numero 1 de la diagonal se le denomina elemento pivote; sobre ste vamos a apoyarnos para hacer ceros los nmeros arriba y debajo de dicho numero con operaciones de eliminacin rengln
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[ ] 1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
Solucin por el mtodo de gauss jordan
Columna pivote
Rengln pivote
Seleccionamos el rengln pivote
Seleccionamos un rengln diferente al rengln pivote
1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
Identificamos Rengln, Columna y elemento pivote
1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
Como el objetivo es hacer 0 el nmero debajo del rengln pivote Por qu nmero debemos multiplicar el rengln pivote?
0
Elemento pivote
-
(-2) [ ] 1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
Solucin por el mtodo de gauss jordan
1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
Modificamos el segundo rengln con la operacin de eliminacin rengln
1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
1 0 -3 -2
Ahora modificamos el tercer rengln Por qu nmero multiplicamos el rengln pivote ahora?
[ ] 1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
-8 0 -4 -7
3 -2 -1 2
(-3)
Cmo queda la nueva matriz?
1 2 1 3
0 1 3 2
0 8 4 7
-
Solucin por el mtodo de gauss jordan 1 2 1 3
0 1 3 2
0 8 4 7
Ya transformamos la primera columna, ahora vamos con la segunda; afortunadamente ya hay un 1 como nuevo elemento pivote
1
1
Qu hacemos ahora? Hay que transformar en ceros los nmeros arriba y abajo del nuevo elemento pivote
[ 0 1 -3 -2 ]
Nuevo rengln pivote
Se repite la eliminacin rengln
0
(-2) 1 2 1 3
1 7 7
[ 0 1 -3 -2 ]
0 -8 -4 -7
(8)
0 0 -28 -23
La siguiente matriz queda:
1 0 7 7
0 1 3 2
0 0 28 23
-
1 0 7 7
0 1 3 2
0 0 23/ 28
Solucin por el mtodo de gauss jordan El siguiente elemento pivote es 28; el cual debe ser transformado en 1 sin alterar la ecuacin Cmo lo hacemos?
1 0 7 7
0 1 3 2
0 0 28 23
En otras palabras: Cada rengln representa una ecuacin, si dividimos todo el rengln entre -28 obtenemos el 1 que estamos buscando
Convertimos el elemento pivote en
1 para facilitar las operaciones; dividimos todo el rengln entre el nmero pivote (-28) obteniendo el siguiente resultado
1 1
1 1
1
-
Solucin por el mtodo de gauss jordan Realizamos la operacin de eliminacin rengln
[ 0 0 1 23/28 ]
1 0 7 7
(-7)
1 0 5/4
1 0 7 7
0 1 3 2
0 0 1 23/ 28
0
[ 0 0 1 23/28 ]
0 1 -3 -2
(3)
0 0 13/28 1
1 0 0 5 / 4
0 1 0 13/ 28
0 0 1 23/ 28
Finalmente la matriz queda
Nuevo rengln pivote
Leyndose el siguiente resultado: x = 5/4 y = 13/28 z = 23/28
-
Respuestas: x = 5/4 y = 13/28 z = 23/28
Sistema de ecuaciones original
2 3
2 5 4
3 2 2
x y z
x y z
x y z
Solucin por el mtodo de Gauss Jordan
