2 derivadas max y min

Prof: René L. Williams G

ELEMENTOS DE CÁLCULO

DIFERENCIAL


LÍMITES

• Concepto fundamental del cálculo.

• Se aplica a funciones.

• Concepto complejo, da origen a los

conceptos de continuidad funcional y

derivada.

• Existe toda un álgebra de límites.

• Lo recordaremos en forma intuitiva.


LÍMITES

5x3)x(f Consideremos la función:

Haremos tender x a 2 por la izquierda y por la derecha.

x f(x)

1,9 10,7

1,99 10,97

1,999 10,997

2 11

2,001 11,003

2,01 11,03

2.1 11,3

Observamos que mientras más

Cerca de x = 2 estamos, la fun-

ción se acerca más a11.

Si x = 2, f(x) = 11.

Decimos que

11)5x3(lím2x


LÍMITE

En el caso recién visto, la función tiene imagen en x = 2

y también tiene límite en ese punto y son iguales, pero

no siempre ocurre así.

3x

9x)x(f

2

La función: no está definida en x = 3

x f(x)

2,9 5,9

2,99 5,99

2,999 5,999

3

3.001 6,001

3,01 6,01

3,1 6,1

Notamos que a medida que x toma

valores más cercanos a 3, la función

se acerca más a 6. Decimos:

63x

9xpero)3(f

2

3xlím


LÍMITE

La función anterior no estaba definida en x = 3 pero

tenía límite y valía 6. Gráficamente:

f(x)

x 0 3

6


LÍMITE

La función:

1xSi0

1x1x2)x(f

2

- Está definida en x = 1, vale 0.

- Existe 1)x(flím1x

Si hacemos tender x a 1, por la izquierda (por valores

menores que uno) o por la derecha, observamos que

la función tiende a tomar siempre el mismo valor, 1.

Esta función tiene imagen y límite en x = 1 y éstos son

distintos.


LÍMITE

La función:

4x6x5

4x4x3)x(f

2

Esta función no está definida en x = 4, no tiene imagen y

tampoco tiene límite, pues si hacemos tender x a 4 por la

izquierda, la función tiende a tomar el valor 26, y si hace-

mos tender x a 4 por la derecha, la función tiende a tomar

el valor 44


LÍMITE

Un teorema importante, que sólo lo enunciaremos, indica

que existe el límite de una función en un punto, si y solo

si existen los límites laterales (límites por la izquierda y

derecha del punto) y además son iguales.

)x(flím)x(flím)x(flím

)x(flím)x(flím)x(flím

axaxax

axaxax


a b

|b)x(f||ax|0:0,0b)x(flímax

f

A B


CONTINUIDAD FUNCIONAL

Una función f, se dice que es continua en x = a si y solo si:

)a(f)x(flím)c

)x(flím)b

)a(f)a

ax

ax

Si cualquiera de las tres condiciones no se cumple, decimos

que la función es discontinua en x = a.


CONTINUIDAD FUNCIONAL

Una función real es continua en el intervalo [a,b], si es con-

tinua en todo punto de ese intervalo.

Intuitivamente, decimos que una función es continua en un

intervalo, si al representarla gráficamente en ese intervalo

no hay que levantar el lápiz del papel.

Los conceptos de límite y continuidad están íntimamente

relacionados y son la base del concepto de derivada.


LA DERIVADA

Sea f una función real.

h

)x(f)hx(flím:límiteEl

f))hx(f,hx(:ranf)hx(fdomf)hx(0h;RhSea

f))x(f,x(:fran)x(fdomfx

0h

Si existe, se llama la derivada de

la función f en x y se anota

dx

)x(dfo)x(f ,


LA DERIVADA

• Es un límite bien específico que se cal-

cula a una función.

• Si la derivada existe en un punto, de-

cimos que la función es derivable en ese

punto.

• Tiene una gran aplicación en todos los

campos en que se relacionan variables.


INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

f(x)

x 0

(x,f(x))

P

Q (x+h,f(x+h))

f

SanteseclaayfQ,P

S

h

)x(f)hx(fmS

x x + h

f(x)

f(x+h)

h



f(x)

x

P

Q

S

PQ0h

h

Distintas secantes al

tender Q a P, todas

de distinta pendiente. En el límite cuando h

tiende a cero, la se-

cante se transforma

en tangente

,S

Tg

x x+h

f(x)

f(x+h)



TgS0h

mmlím

Tg,

Tg0h

mdx

)x(df)x(f

mh

)x(f)hx(flím

La derivada de una función en un punto, es la pendiente

de la tangente a la función en ese punto.


LA DERIVADA

• La derivada es la pendiente de la tangen-

te a la curva en cualquier punto.

• Representa la tasa instantánea de cambio

de la variable dependiente cuando cambia

la variable independiente.

• No existirá la derivada en un punto si no

existe el límite que la define en ese punto.

,S,S


REGLAS DE DIFERENCIACIÓN

1. Si f(x) = K (función constante). f´(x) = 0

La derivada de una constante es igual a cero.

La función constante es una recta paralela al eje

x, y por lo tanto su pendiente es cero. Como la

derivada es la pendiente de la tangente a la curva,

debe valer cero.



2. f(x) = x (función idéntica). f´(x) = 1

La derivada de x con respecto a x vale uno.

La función idéntica (x es siempre igual a su imagen)

es la bisectriz del primer y tercer cuadrante. Si toma-

mos la pendiente de esta recta, encontramos que

siempre vale uno.



3. f(x) = kg(x) f´(x) = k g´(x)

La derivada de una constante por una función es

igual a la constante por la derivada de la función.

4. f(x) = u(x) + v(x) f´(x) = u´(x) + v´(x)

La derivada de una suma (o resta) de funciones

es igual a la suma o resta de las derivadas.



5. nx)x(f Función potencial, n es un número real

1nnx)x´(f

6. f(x) = u(x) v(x) f´(x) = u´(x)v(x) + u(x)v´(x)

Derivada de un producto.



7. 2)]x(v[

)x´(v)x(u)x(v)x´(u)x´(f

)x(v

)x(u)x(f

Derivada de un cuociente.

8. )x´(u)]x(u[n)x´(f)]x(u[)x(f 1nn

u(x) es una función diferenciable de x.

Regla de la cadena.


DERIVADA Y CONTINUIDAD

¿Si una función es continua en un intervalo, es deriva

ble en ese intervalo?

¿Basta saber que una función es continua en un interva-

lo para asegurar que es derivable en ese intervalo?

¿Si una función es derivable en un intervalo, es continua

en él?

¿Es condición suficiente saber que una función es deri-

vable en un intervalo para asegurar que es continua en

ese intervalo?

La respuesta a estas preguntas es un teorema muy im-

portante del análisis matemático.



¿Qué podemos decir de esta función?

x

f(x)

0

f(x) = |x|

dom f = R

ran f = 0R

¿Es continua en x = 0?

¿Es derivable en x = 0?



f(x)

x

f(x)

x 0 0

¿Qué podemos decir de estas funciones?



Podemos dar la respuesta a las preguntas anteriores.

“Toda función continua en un punto no necesariamente

es derivable en ese punto”.

“No es suficiente saber que una función es continua en

un punto para asegurar que es derivable en ese punto”

El recíproco del enunciado anterior si que es correcto:

“Si una función es derivable en un punto, es continua

en ese punto”

“Es suficiente saber que una función es derivable en

un punto para asegurar que es continua es ese punto”.


EJEMPLO

1. Dada la función: 1x3x2)x(f 2

Determine:

a) La tasa promedio de cambio en el intervalo [0,5]

1305

166m

66y5x

1y0x

b) La derivada. 3x4)x´(f


c) Determine la tasa instantánea de cambio de f cuando

x = 5.

23354)5x´(f3x4)x´(f

d) En qué parte de la función la pendiente es igual a 0.

)8/1;4/3(

125,0y4

3x

03x4

0)x´(f0mSi


Determine la tasa instantánea de cambio de f cuando

x = 1 y x = -2

23

2

2

2

2

2

x3x)x(f.10

x/a)x(f.9

x/2)x(f.8

bax)x(f.7

100x25)x(f.6

6x3x5)x(f.5

8x7x)x(f.4

x10x8)x(f.3

x9)x(f.2

6x3)x(f.1


DERIVE Y SIMPLIFIQUE

)(623

)(.10

)165)(4()8)(43()8)(4()(.9

)2

150(25)(.8

)18125(63)(.7

)/18(/6)(.6

)2542(2523/)(.5

)6()(.4

4

3)(.3

)83(8)(.2

)1(140)(.1

223

43252253

2

234345

43

526

56

4

4 3

23

xxxx

xf

xxxxxxxxxxxxf

xxxxxf

xxxxxxxf

xxxf

xxxxxxf

xxxf

xxxf

xxxxf

xxf


ESTUDIO DE FUNCIONES

Sea f una función real continua y derivable en el inter-

valo real [a,b].

a) f es creciente en [a,b] ]b,a[x0)x´(f

b) f es decreciente en [a,b] ]b,a[x0)x´(f

c) f es constante en [a,b] ]b,a[x0)x´(f


ESTUDIO DE FUNCIONES

Muy importante: “Conociendo el signo de la derivada

de una función en un intervalo, podemos saber si la

función es creciente, decreciente o constante en ese

intervalo”.

x

f(x)

0


f(x)

x 0 a b c d e f g h i

[a,b[ f(x) es decreciente; f´(x) < 0

]b,d[ f(x) es decreciente; f´(x) < 0

]d,e[ f(x) es decreciente; f´(x) < 0


f(x)


]e,f[ f(x) es creciente; f´(x) > 0

]f,g[ f(x) es creciente; f´(x) > 0

]g,h[ f(x) es decreciente; f´(x) < 0


f(x)


]h,i[ f(x) es decreciente; f´(x) < 0

]i, [ f(x) es creciente; f´(x) > 0


f(x)


f´(x = b) = 0 entonces f(x) se estabiliza en x = b.

f´(x) < 0 a la izquierda y a la derecha de x = b

f´(x) < 0 en x = c

f´(x) tiene su máxima negatividad en x = d


f(x)


f´(x = e) = 0, entonces f se estabiliza en x = e

f´(x) < 0 a la izquierda de x = e, f es decreciente

f´(x) > 0 a la derecha de x = e, f es creciente

f´(x) cambia de signo entorno a x = e, de – a +

f presenta un mínimo en x = e


f(x)


f´(x = g) = 0, entonces f se estabiliza en x = g

f´(x) > 0 a la izquierda de x = g, f es creciente

f´(x) < 0 a la derecha de x = g, f es decreciente

f´(x) cambia de signo entorno a x = g de + a –

f presenta un máximo en x = g


f(x)


En x = i, ocurre lo mismo que en x = e

En x = b f´(x) = 0, pero no cambia de signo en su

entorno.


f(x)


En [a,b[ la función es cóncava hacia arriba (+)

En ]b,d[ la función es cóncava hacia abajo (-)

En ]d,f[ la función es cóncava hacia arriba (+)

En ]f,h[ la función es cóncava hacia abajo (-)


f(x)


La función presenta: Un mínimo en x = e y en x = i

Un máximo en x = g.

Punto de inflexión en x =b; x = d;

x = f; x = h


MÁXIMOS Y MÍNIMOS

PRIMER MÉTODO

• Derivar la función, obtener f´(x).

• Hacer f´(x) = 0 y resolver.

sea x = a solución de f´(x) = 0

x = a se llama valor crítico pues hace

cero a f´(x).

• Definir los intervalos


MÁXIMOS Y MÍNIMOS

PRIMER MÉTODO

a x

[,a]:I

[a,]:I

2

1

Se averigua el signo de f´(x) en cada intervalo, para esto

se toma un valor cualquiera del intervalo y se reemplaza

en f´(x)


MÁXIMOS Y MÍNIMOS

PRIMER MÉTODO

a=xenmínimounpresentaf

[+,a]encrecienteesf[+,a]en0>)x´(fSi

[a,]enedecrecientesf[a,∞]en0<)x´(fSi)b

∞⇒∞

∞⇒

• Se decide:

mínimonimáximonihayno

a=xaentornosignodecambiano)x´(fSi)c

máximounpresentafunciónlaa=xenEntonces

[+,a]enedecrecientesf[+,a]en0<)x´(fSi

[a,]encrecienteesf[a,]en0>)x´(fSi)a

∞⇒∞

∞⇒∞


MÁXIMOS Y MÍNIMOS

1. En x = a la función presenta un máximo

ssi

a) f´(x = a) = 0

b) f´(x) cambia de signo entorno de x = a

de positiva a negativa, o lo que es

equivalente, la función pasa de creci-

ente a decreciente.


MÁXIMOS Y MÍNIMOS

2. La función presenta un mínimo en x = a

ssi:

a) f´(x = a) = 0

b) f´(x) cambia de signo entorno de

x = a de negativa a positiva, o lo

que es equivalente, la función pa-

sa de decreciente a creciente.


MÁXIMOS Y MÍNIMOS

3. Si f´(x = a) = 0, pero no cambia de signo,

la función no presenta ni máximo ni

mínimo.

abajohaciacóncavaesf

a+decambia)x´(f

0=)x´(f

:máximounEn


MÁXIMOS Y MÍNIMOS

arribahaciacóncavaesf

adecambia)x´(f

0)x´(f

:mínimounEn


MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Ejemplo: Estudiar los máximos y mínimos de

x62

x

3

x)x(f

23

cosCrítiValores2xy3x0)x´(f

6xx)x´(f

21

2

-3 2 x


MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Tomamos un elemento de cada intervalo y evaluamos en

él la derivada. Nos interesa saber su signo.

a) Tomamos x = -5 (o cualquier otro valor simple de ope-

rar.

f´(x = 5) = 14 > 0 f es creciente en el intervalo

b) Tomamos x = 0 (2° intervalo)

f¨(x = 0) = -6 < 0 f es decreciente en el intervalo

c) Tomamos x = 5 (3° intervalo)

f´(x = 5) = 24 > 0 f es creciente en el intervalo


MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Entorno a x = -3 la función pasa de creciente a decre-

ciente, por lo tanto x = -3 es un máximo relativo.

Entorno a x = 2 la función pasa de decreciente a cre-

ciente, luego x = 2 es un mínimo relativo.

El máximo relativo está en (-3, f(-3)) = (-3; 13,5)

El mínimo relativo está en (2, f(2)) = (2; -7,33)


SEGUNDA DERIVADA

f(x)

x 0 a

3L

2L

1L

0m1

0m2

0m3


SEGUNDA DERIVADA

f(x)

x 0 a

3L

2L

1L

0)()(

0)(0

0

0

0

2

2

0

13

12

12

dx

xfd

dx

xdf

dx

d

mdx

d

x

mlím

x

m

xxx

xxx

mmm

x

1x

2x

3x


SEGUNDA DERIVADA

Entorno a x = a la segunda derivada es ne-

gativa.

Entorno a x = a la segunda derivada es ne-

gativa.

Toda función que presenta un máximo en x

= a, su segunda derivada es negativa en x

= a.


SEGUNDA DERIVADA

f(x)

x a 0

1L

2L

3L

3x

2x

1x

0>dx

)x(fd=

dx

)x(df

dx

d

0>)m(dx

d=

xΔ

mΔlím0>

xΔ

mΔ

0>xx=xΔ

0>xx=xΔ

0>mm=mΔ

2

2

0xΔ

13

12

12

→⇒


SEGUNDA DERIVADA

Entorno a x = a la segunda derivada es

positiva.

En x = a la segunda derivada es positiva.

La función es cóncava hacia arriba, o cón-

cava positiva.

Toda función que presenta un mínimo

en x = a, su segunda derivada es positiva

en x = a.


SEGUNDA DERIVADA

• La segunda derivada de una función está aso- ciada a la concavidad de la curva.

• Si la segunda derivada en un punto es positiva, la curva es cóncava hacia arriba.

• Si la segunda derivada en un punto es negativa, la curva es cóncava hacia abajo.

• Si la segunda derivada es igual a cero en un punto y cambia de signo entorno a él, la curva tiene concavidad nula o no tiene concavidad en ese punto.


SEGUNDA DERIVADA

• Si la función tiene un valor crítico, y en él la segunda derivada es positiva, ese valor crítico es un mínimo.

• Si la función tiene un valor crítico, y en él la segunda derivada es negativa, ese valor crítico es un máximo.

• Si la función tiene un valor crítico, y en él la segunda derivada es igual a cero, la función puede presentar un máximo, o un mínimo o un punto de inflexión.


SEGUNDA DERIVADA

concavidadsucambiao,concavidadtienenof0)x´´(f

abajohaciacóncavaesf0)x´´(f

arribahaciacóncavaesf0)x´´(f


PUNTO DE INFLEXIÓN

• La curva cambia de concavidad, de positiva a negativa o viceversa.

• La segunda derivada vale cero y cambia de signo entorno a él en cualquier orden.

• La tangente a la curva en él, corta a la función.

• La primera derivada puede ser cero, positiva o negativa.


f(x)

x 0

a b c

PUNTOS DE INFLEXIÓN

+

- +

-

a, b, c son puntos de inflexión 0)c´´(f)b´´(f)a´´(f

En x = a la función es constante f´(x) = 0

En x = b la función es decreciente, f¨(x) < 0

En x = c la función es creciente, f´(x) > 0


MÁXIMOS Y MÍNIMOS: MÉTODO DE LA

SEGUNDA DERIVADA

• Derivar la función.

• Hacer f¨(x) = 0 y resolver. Encontrar los

valores críticos.

• Derivar por segunda vez.

• Evaluar la segunda derivada en los va-

lores críticos.

• Resolver.



SEGUNDA DERIVADA

• Regla de decisión:

• f´´(x = a) > 0 en x = a existe un mínimo.

• f´´(x = a) < 0 en x = a existe un máximo.

• f´´(x = a) = 0 el método no sirve, en x = a

puede haber un máximo, mínimo o punto

de inflexión. Hay que acudir al primer méto-

do.



SEGUNDA DERIVADA

1. Estudiar la función: 3x)x(f Parábola cúbica

fallamétodoEl0=)0=x´´(f

x6=)x´´(f

C.V0=x0=x3

x3=)x´(f

2

2

⇒

Debemos aplicar el primer método



SEGUNDA DERIVADA

0

f´(x) > 0 f´(x) > 0

f es creciente f es creciente

f´´(x) < 0 f´´(x) > 0

f es cóncava hacia abajo f es cóncava hacia arriba

No hay un cambio de signo de la primera derivada en-

torno al valor crítico, luego no es máximo ni mínimo.

Cambia de signo la segunda derivada (pasando por

cero) por lo que cambia la concavidad de la curva. Es

un punto de inflexión.



SEGUNDA DERIVADA

Gráfico: f(x)

x 0

+

-

En x = 0 la función presenta un punto de inflexión.

El segundo método falla y la función presenta un punto

de inflexión.



SEGUNDA DERIVADA

2. Estudiar la función: 4x)x(f

fallamétodoEl0=)0=x´´(f

x12=)x´´(f

C.V0=x0=x4

x4=)x´(f

2

3

3

⇒



SEGUNDA DERIVADA

f´(x) < 0 f´(x) > 0

f es decreciente f es creciente

f´´(x) > 0 f´´(x) > 0

f cóncava hacia arriba f cóncava hacia arriba

0 x

23 x12)x´´(fx4)x´(f



SEGUNDA DERIVADA

• Cambia de signo f´(x) de negativa a positiva, la función pasa de decreciente a creciente, luego en x = 0 hay un mí- nimo.

• No cambia de signo la segunda derivada, la función no cambia su concavidad, no es un punto de inflexión.

• El método falla y la función presenta un mínimo.



SEGUNDA DERIVADA

Gráfico de 4x)x(f

f(x)

x 0



SEGUNDA DERIVADA

Si analizamos la función vere- mos que el método también falla, presen- tando la función un máximo en el valor crí-tico.

Cuando el método de la segunda derivada falla, no se puede afirmar nada con respecto al valor crítico, pues puede ser un máximo, mínimo o punto de inflexión. Hay que recurrir al análisis por intervalo.

4x)x(f


MÁXIMOS Y MÍNIMOS

1.

06)x´´(f

.C.V8x

048x60)x´(f

48x6)x´(f

15x48x3)x(f 2

La función tiene concavidad constante y positiva,

luego el valor crítico es un mínimo. (8, -177)

No tiene punto de inflexión.


MÁXIMOS Y MÍNIMOS

2.

8x0)x´´(f

4)10x´´(f

4)6x´´(f

16x2)x´´(f

10x

6x

060x16x0)x´(f

60x16x)x´(f

x60x83

x)x(f

2

1

2

2

23

Valores críticos

Máximo (6, 144)

Mínimo (10; 10,333..)

Punto de inflexión (8; 138,666..)


MÁXIMOS Y MÍNIMOS

x4x5,23/x)x(f.10

100x16x53/x)x(f.9

)10x5()x(f.8

10x84/x)x(f.7

x60x83/x)x(f.6

10/x)x(f.5

2/x94/x)x(f.4

24x)x(f.3

25x18)x(f.2

10x48x6)x(f.1

23

23

3

24

23

2

24

3

3

2


APLICACIONES

q = número de unidades demandadas.

p = precio unitario.

q = f(p)

Ingreso: I = (precio unitario) x (unidades demandadas)

I = p x q


APLICACIONES

1. Dada la función de demanda:

p5,7000.15q

a) Interprete los parámetros de la función.

15.000 = demanda fija o demanda máxima, cuando

el precio del producto es cero.

7,5 = disminución de la demanda por cada peso

que sube el precio del producto. Tasa ins-

tantánea de cambio.

p = precio en pesos

q = unidades demandadas


APLICACIONES

b) Obtenga la función ingreso

2

2

p5,7p000.15)p(I

p5,7p000.15qp

p/p5,7000.15q


APLICACIONES

c) Optimice la función ingreso en términos de p. En-

cuentre el precio que maximiza el ingreso.

15)p´´(I

.C.V1000p

0p15000.150)p´(I

p15000.15)p´(I

p5,7p000.15)p(I 2

Máximo (1.000, 7.500.000)


APLICACIONES

2. q = número de unidades producidas.

C = costo de producción en unidades monetarias.

C = f(q)

Ejemplo:

C(q) ) = 2.500.000 + 3.500q Costo lineal.

2.500.000 = Costo fijo, independiente de q

3.500q = Costo variable, depende de q

3.500 = Tasa instantánea de cambio del costo

por cada unidad producida.


APLICACIONES

3. Costo Marginal. Tasa instantánea de cambio del

costo total al producir una unidad

más. Como cambia el costo total

al producir una unidad más.

)TotalCosto(dq

dinalargMCosto

El Costo Marginal es la primera derivada con res-

pecto a q del Costo Total.


APLICACIONES

4. Ingreso Marginal: Es la tasa de cambio del Ingreso

Total al vender una unidad más.

Es el cambio que experimenta el

Ingreso Total al vender una unidad

más.

)TotalIngreso(dq

dinalargMIngreso

El Ingreso Marginal es la primera derivada de la función

Ingreso Total.


APLICACIONES

5. Costo Promedio por unidad

(CP).

unidadesdeNúmero

TotalCosto

q

CTCP


APLICACIONES

6. Utilidad Total = Ingreso Total – Costo Total

q = Unidades producidas.

U(q) = I(q) - C(q)

las funciones Ingreso y Costo deben estar en

función de q.


ELASTICIDAD DE LA DEMANDA

• Medida de sensibilidad de la demanda

de un producto cuando cambia el precio.

• Hay productos cuya demanda varía nota-

blemente a cambios de precio. Demanda

elástica.

• Indica la variación porcentual de la de-

manda para un cambio de un 1% del pre-

cio.



UnitariadElasticida1=|η|

InelásticDemanda1<|η|

ElásticaDemanda1>|η|

dp

dq

q

p=

p

q

dp

dq

=omedioPrFunción

inalargMFunción=η

⇒

⇒

⇒



Ejemplo: Dada la función de demanda

p50000.200q

p = Precio unitario en pesos

q = Número de unidades producidas y demandadas.



p000.4

p

p5000.200

p50

)50(p50000.200

p

dp

dq

q

p

50dp

dq

p50000.200

p

q

p

a) La elasticidad de la demanda.



p4000

p

Si p = $3.000, 3||

Al nivel de precios de $3.000 un aumento de un 1%

del precio significa una disminución de un 3% de la

demanda.



Si p = $ 1.000 33333.0||

Al nivel de precios de $ 1.000, un aumento del precio

de un 1% significa una disminución de la demanda de

un 0,333%


APLICACIONES

1. Una compañía a descubierto que el ingreso total es una función

del precio fijado a su producto. En concreto la función del ingre-

so total es

p960.1p20)p(R 2

Donde p es el precio en unidades monetarias.

a) Determine el precio que produce el máximo ingreso total.

(p = 49)

b) ¿Cuál es el valor máximo del ingreso total (R = 48.020)


APLICACIONES

2. La función de demanda del producto de una industria es

p75000.300q

donde q representa el número de unidades demandadas

y p su precio.

a) Determine el precio que deberá cobrarse para maxi-

mizar el ingreso total. (p = 2.000)

b) ¿Cuál es el valor máximo del ingreso total?

(R = 300 Mill)

c) ¿Cuántas unidades se espera que se demanden?

(q = 150 mil)


APLICACIONES

3. La utilidad anual de una compañía depende del número de

unidades producidas. Específicamente, la función que des-

cribe la relación exis tente entre la utilidad U y el número de

unidades producidas x es

000.000.25x000.6x12,0)x(U 2

a) Determine el número de unidades x que producirán la

utilidad máxima.

b) ¿Cuál es la utilidad máxima esperada?


1. El costo total de producir q unidades de cierto producto se

describe por medio de la función

2q01,0q300000.000.4)q(C

Donde C es el costo total expresado en unidades monetarias

a) ¿Cuántas unidades deberán producirse a fin de minimizar

el costo promedio por unidad?

b) ¿Cuál es el mínimo costo promedio por unidad?

c) ¿Cuál es el costo total de producción en ese nivel de pro-

duc ción?

d) Demuestre que el costo promedio por unidad es igual al

costo marginal en el mínimo del costo promedio


2q01,0q300000.000.4)q(C

a) Costo promedio por unidad = CP = q

)q(C

q01,0300q

000.000.4

q

)q(C

.C.V000.20000.000.400q

000.000.40001,0

000.000.4q

01,0q

000.000.4

001,0q

000.000.40CP

01,0q

000.000.4CP

2

2

2

,

2

,


000.20q

000.000.4q01,0

q

000.000.4q01,0

q01,0q

000.000.4q02,0

q01,0300q

000.000.4q02,0300

CPCM

2


mínimo.C.V0q

000.000.8CP

3

,,

b)

c)

000.000.14)000.20q(C

000.2001,0000.20300000.000.4)000.20q(C 2

.m.u700000.2001,0300000.20

000.000.4)000.20q(CP

2 derivadas max y min

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