1MATEMATICA APLICADO A LA MEDICINATEMA TEORIA DE CONJUNTOS20142 CONJUNTO:Idea Intuitiva: La palabra conjunto sugiere de inmediato la idea de: GrupoColeccinSeleccinsociacingregado ! etc"NOTCION#ara representar un conjunto se utili$an letras %a&'sculas! tales como! ( ! C """"""" L T)O*I +) CONJUNTOS3 )L)%)NTO :Son los objetos ,ue -orman parte del conjunto la propiedad -undamental de un elemento es la pertenencia . ,ue se simboli$a as/ : Se lee : 0 pertenece a 1 los elementos se les designacon letras min'sculas ! tales como 2 ! & ! $etc" Si un elemento 2 -orma parte del conjunto ! entonces! ese elemento pertenece a ese conjuntoas/ denotamos : 2 : Se lee: 0 2 pertenece a 1Siunelemento2no-ormapartedelconjunto!entonces! ese elemento no pertenece a ese conjunto "s/ denotamos :2 : Se lee: 0 2 no pertenece a 1)jemplo: Sea3 4 2 ! & ! $ 52 & $ m L T)O*I +) CONJUNTOS4 +iagrama de 6een 7 )uler :Consisten en representar a los conjuntos por medio de -iguras geom8tricasplanas & cerradas en cu&o interior se ubican los elementos" )jemplo: 3 4m ! n ! p 5 "m"n"p

L T)O*I +) CONJUNTOS5 Determinacin de un cn!unt "Un conjunto se puede determinar:por e2tensin& porcomprensin#or e2tensin :Nombrando uno a uno los elementos del conjunto )jemplo: 3 4 9! :! ;! 5 ( 3 4 a! e! i! o! u 5 #or Comprensin :)nunciando una propiedad o caracter/stica com'n a los elementos del conjunto" )jemplo: 3 42 / 2 es un n'mero par 5( 3 4 2 ? 2 son las vocales 5L T)O*I +) CONJUNTOS6 )l Conjunto de N'meros Naturales @ NAN 3 4 = ! 9 ! B !: ! """""""""""""""""" 5 )n este conjunto slo se puede e-ectuar operaciones de adicin& multiplicacin sin restricciones"CONJUNTOS NU%)*ICOS )l Conjunto de N'meros )nteros@ C ASon los n'meros naturales precedidos por el signo7 oD !inclu&endoel cero" C 3 4 """"""""""""""" E B ! ! 7 9 ! 7 = ! > ! = ! 9 ! B ! """""""""""""""""" 5+onde N C NC7 )l Conjunto de N'meros *acionales @ FAF 3 4 2 ? 2 3.a ! b C.b > 5)s decir el conjunto F resulta de dividir 9 n'meros enteros ! con el divisor di-erente de cero " G puede obtenerse"CONJUNTOS NU%)*ICOS FCNbamixto Peridicopuro Peridicoinexacto Decimalexacto Decimaldecimal Nmero8 Conjunto de N'meros Irracionales@ F ASon a,uellos n'meros ,ue no pueden e2presarse en la -orma .b > a ! b C ! es decir ,ue no presentan periodicidad en sus ci-ras decimales" CONJUNTOS NU%)*ICOS F3Conjunto de N'meros *eales @ * A* 3 F FNota:)2iste una correspondencia biun/voca entre los elementos del conjunto de n'meros reales & el conjunto de puntos de la recta "#i#9#=@2=A@29A @2iA 7Dba{ } .......... 2 , e , , 2 , 3 .., ..........3G*HIC CONJUNTIST9RQZNQ10 )l Conjunto de N'meros Complejos @ C Al resolver la ecuacin :CONJUNTOS NU%)*ICOS i se llama unidad imaginaria #or lo tanto :Un n'mero Complejo podemos escribiren la -orma a D bi. a !b *Luego :C 3 4 a D bi a ! b * .i9 3 7 = 51 i con; 1 - si donde,R 1 x 0 1 x22 = = = = +i11 Conjuntos )speciales : Conjunto Unitario : )s el conjunto ,ue tiene un solo elemento")jemplo:% 3 4 2 5 .N 3 4 2 N / = I2 I B 5 Conjunto Nulo o 6ac/o : )s el conjunto ,ue carece de elementos" +enotado por )jemplo:# 34 2 N / = I2 I 9 5 3 Conjunto Hinito: )s el conjunto -ormado por un numero determinado de elementos")jemplo:% 34 2 / 2 es n'mero d/gito par menor ,ue :> 5Conjunto In-inito:)s el conjunto -ormado por un numero indeterminado

de elementos")jemplo:N 34 2 * / = I 2 J 5 ConjuntoUniversal : Constituido por todos los elementos de unadeterminada materia" )l conjunto Universal no estK de-inida en -orma 'nica! podemos elegir anuestra conveniencia" Se denota por la letra U )jemplo: Sea el universo U 34 a ! e ! i ! o ! u 5L T)O*I +) CONJUNTOS12 *elaciones entre Conjuntos :LINCLUSION +enotado porse lee:estK incluido o contenido "Se dice ,ue un conjuntoestK incluido en otro conjunto (! s/ & solo s/ ! todos los elementos depertenece a ( . es decir : )jemplo: Sea 3 49 ! B ! J5 & ( 3 4= ! 9 ! B ! : ! J ! ; 5"=":";La inclusin denotado porda la posibilidad de ,ue& ( tengan los mismos elementos"9 "B"J

(L T)O*I +) CONJUNTOSB.2.3 .5.1.4 B.6A13 Subconjunto #ropio o #arte #ropia:Se dice ,ue un conjuntoes subconjunto propio de o parte propia de ( . s/ & solo si! todos los elementos depertenecen a( ! e2istiendo elementos de (,ue no pertenecen a. se denota as/: ( se lee: es subconjunto propio de (Nota: )l conjunto nulo es subconjunto de todo conjunto " . L T)O*I +) CONJUNTOS .1 .2 .3B.a

.bA14 #ropiedades de la Inclusin:=" *e-le2iva :. 9" ntisim8trica :Si ((3 ( B" Transitiva :#ara los conjuntos! ( & CSi((C CL T)O*I +) CONJUNTOS15 Igualdad de Conjuntos : & ( son iguales ! cuando estKn -ormados por los mismos elementos"G de-inimos as/: )jemplo: A = { x , y }y B = { y , x } A = BL T)O*I +) CONJUNTOSA = B 16 *elaciones entre Conjuntos :ConjuntosComparables "b"d "-Tienen algunos elementos en com'n" 3 4 a ! b ! c ! d 5& ( 3 4 a ! c ! e ! - 5 (Conjuntos no comparables"eConjuntos +isjuntos:N'meros paresN'meros impares (No tienen ning'n elemento en com'nL T)O*I +) CONJUNTOS"a"c ! ! ! a comparable es ! ! !! a comparable es no = ! dis"untos son! # 17 Conjunto de conjuntos o -amilia de conjuntos :)s el conjunto ,ue tiene como elementos a otros conjuntos")jemplo: 3 44= ! 9 5 ! 4 > 5 ! 4 B 55 L T)O*I +) CONJUNTOSConjunto #otencia)s el conjunto cu&os elementos son todos los subconjuntos de ese conjunto ! inclu&endo el mismo & el nulo"+ado un conjunto. el conjunto potencia de ! se denota por #@ALuego :)jemplo:Sea3 4a ! b5#@A 3 44a 5 ! 4 b 5 ! 4 a ! b 5 ! 5 18 Nota :=" Sitiene 0 n1 elementos! el n'mero de elementos de la #@A es igual a 9nelementos"L T)O*I +) CONJUNTOS)l conjunto potencia dees una -amilia de conjuntos P$!% P$% !&i '.P$!% P$% !&i 3.( ) % P$ &i 2.= = = = 19O#)*CION)S)NT*) CONJUNTOSUnin o *eunin de Conjuntos+ado dos conjuntos& ( ! se tiene : ( 3 4 2? 2 2 ( 5 ( Si& ( son no comparables ! entonces: ( grK-icamente es: Si& ( soncomparables ! entonces: ( es: Si& ( son+isjuntos ( es:((

20O#)*CION)S)NT*) CONJUNTOS#ropiedades de la*eunin de Conjuntos n 2 1 in1 i . .......... 12.D ! *D * !&i 11.! !!&i . 10!!&i+.!% $ ! !% $ ,.- - ..*% $! *% $ !&i/.* ; *%$ !%$ *% ! $ 0. '.*% ! $* !% $3. ! ! 2. ;. 1 = = = = = = = = = = = = 21O#)*CION)S)NT*) CONJUNTOSInterseccin de Conjuntos+ado dos conjuntos& ( ! se tiene : ( 3 4 2? 2 2 ( 5 ( Si& ( son no comparables ! entonces: ( grK-icamente es: Si& ( soncomparables ! entonces: ( es: Si& ( son+isjuntos ( es:((

= ! 22O#)*CION)S)NT*) CONJUNTOS#ropiedades de laInterseccin de Conjuntos. ..........13. !% $ ;!% $12.*% $ !% $ *% $! *% $ !% $ *% $!11.P$!% P$% !% P$ 10.* !D ! *&i+.! !% $ !% $,.* ! *!&i.. !!&i/.0. - '.*% ! $* !% $3. ! ! 2. ;. 1n 2 1 in1 = = = = = = = = = = = = iD 23O#)*CION)S)NT*) CONJUNTOS+i-erenciade Conjuntos +ado dos conjuntos& ( ! se tiene : 7( 3 4 2? 2 2 ( 5 GrK-icamente ! mediante el diagrama de 6een se tiene: ( Si& ( son no comparables ! entonces: 7(es: Si& ( soncomparables ! entonces: 7 ( 3 @No La& grK-icoA Si& ( son+isjuntos 7( es:( (

( E es:24O#)*CION)S)NT*) CONJUNTOS#ropiedades de la+i-erencia de Conjuntos! - *% -$ * - !% - $ 12.Dis"untos son - ! ; !; ! -11.*% $ !% $ *% $! -*% - $ !% - $ *% $! -10.* , *% - $! *% - $ !&i+.!!&i,.*% $ - !% $ *% - ! $ ..!% - $ !/.!% $ -! - !% $ !% - $0. -'. ! - 3. 2. - . 1= = = = = = = === = 25O#)*CION)S)NT*) CONJUNTOSComplemento de un Conjunto +ado el universo U & unconjunto .el complemento de! denotado por Oc se de-ine asi :

c3 4 2? 2 U 2 5 3 U 7

cGrK-icamente:

Si el conjunto re-erencial no es el conjunto universo!tal como ( ! donde ( . entonceselcomplementodeconrespectoa ( ! denotado por C( @ASerK : C( @A 34 2?2 ( 2 5 3 ( 7 U26O#)*CION)S)NT*) CONJUNTOS#ropiedades del Complemento!% $ - % ! $ 12.!% $ - - % ! $ 11.!% ! $ !% ! $ 10. ! !&i+.! $% *,. - ! $% *../.-0.-'. 3.-2. %$. 1!! = = = = = = = = = = = B A B A27+i-erencia Sim8trica +ado dos conjuntos &( . la di-erencia Sim8trica ! denotada por ( se de-ine as/: ( 3 @ E ( AU@( E A(GrK-icamente:

)jemplo "Si3 4 9 ! B ! J 5 & ( 3 4 > ! = ! 9 ! B ! < ! M 5Nallar ( Solucin" Como ( 3 @ E ( A @( E A3 4 J 5 4 > ! = ! < ! M 5 ( 34 > ! = ! J ! < ! M 528#ropiedades de la +i-erencia sim8trica( ) ( )( )* ! * ! &i+.%! $ % !$ ! 1,.!% $ - !%$ ! 1..*% ! $ - % !$ * ! !% 1 $ /.*% ! 1$ *%$ * !% 1 $ 0.! '. !1 ! 13.2.. 1= = = = = = = == = CC B A C29T)O*I +) CONJUNTOSN'mero de )lementos de un Conjunto l n'mero de elementos de un conjunto se le llama :Cardinal de un Conjunto&se denota as/:#ara un conjunto se tienen@ACard @A)jemplo "Si3 4 a ! e ! i ! o ! u5 n@ A 3 Jn O #@A P 3 9J 3 B9 30T)O*I +)CONJUNTOS#ropiedades *% ! n$ *% n$! - *% n$ - !% n$ - n$*% n$!% n$% *% ! n$ 2 entonces , * !2 3ue tales s, comparable no con"untos son* #! , &i'.!% n$ - n$!% n$% !% n$ 2 entonces s, comparable no con"untos son! #&i3.!% n$ - n$% !% - n$ 2 ra cuales3uie con"untos son! #&i2.n$!% n$% !% n$ 2 entonces , dis"untos con"untos son! #&i. 1 + + + = + = =+ = 31)J)*CICIOS+) CONJUNTOS=" #ara la grK-ica de! ( & C se tiene:Las operaciones ,ue representan las regiones: (CR1R'R0R.R2R/R3R,U% ! * n$ 4 ! *% n5$ n$!% *% n$ R% !n$* % ! $ n5* !% n$ n$*% R% *n$! 4 % * $ ! n5 *% n$ n$!% R% * ! n$ 4 % * $! n5 *% n$! n$% R'321 = = = = = = = = = = = =32)J)*CICIOS +) CONJUNTOS#ara la grK-ica de! ( & C se tiene:Las operaciones ,ue representan las regiones: (CR1R'R0R.R2R/R3R,U% * ! n$ R*% ! n$ R%* n$! 4*% $! n5 n$% *% n$! R% * ! n$ 4 * % n5$ n$*% !% n$ R,./0 = = = = = = = = B33)J)*CICIOS +) CONJUNTOS9"Sean los conjuntos: 3 4 = ! 9 ! B ! :5. ( 3 4 > ! 9 ! J ! ;5& C 3 4 = ! 9 ! : ! ; ! Q 5 con U 34 > ! = ! 9 ! B ! : ! J ! ; ! Q ! < ! M 5 Nallar : Solucin:( ) ( ) ( ) % !6$ * !3.! 6 * 2. * ! 1. ( ) { } { } { } { } { } . 1,2,',/,. .,,,+ 1,2,',/,. 0,/ 0,1,2,3,', * ! . 1 = = = ( ) [ ] { } { } { } { } / / , 0 , 2 , 0 % . , / 3 $ ! % $* *% $ ! * . 2 = = = { } { } { } + , , , . , / , 0 , 3 , 2 , 1 , 0 + , , , . , / , 0 , 3 , 1 , 0 2 % !$ *% ! $. 3 = = 34)J)*CICIOS +) CONJUNTOSB" Si los conjuntos& ( tienen los siguientes datos: n@(A 3 ;> .n@ E (A 3 9:&n@( A 3 9>Nallar: n@A D n@(ASolucin:*estando : @=A & @9Ase tiene : n@(A 3 B;*estando : @=A&@BAse tiene :n@A 3:>Luego n@A D n@(A 3 :> D B; 3 Q; ......$1% /0 !% n$ - n$!% n$%2 tiene &e!% n$ - n$!% n$% !% n$ 2 3ue &abemos= + + = ......$2% .......... 2' !% n$ - n$%!% n$ - n$% !% n$ 2 3ue &abemos= = ......$3% .......... 20 !% n$ - n$!% % n$! - n$!% % n$!- !! *omo= = = 35)J)*CICIOS +) CONJUNTOS:"+ado los conjuntos: 3 4 a ! 4a ! b5 5.( 3 4 a ! b ! 4 c 5 5.C 3E (Nallar : aA#@ CAbA #@A#@(A Solucin:{ } { } { } { } { } { }{ } { } { } { } { } , , *% P$ b a, * a.entonces ,b a, !*c b, a, ! ; b a, a,2 *omo b a = = = = = ={ } { } { } { } { } { }{ } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { }{ } { }

, a P$!% P$%, , , , , , , , , , , , a P$!%, , , , , a P$%b.= ==c b a c b c a b a c bb a a b a )J)*CICIOS +) CONJUNTOS5.Deun#ru$de%2tra&a!adre'deuncentrde'a(ud)2*(a&ranen a'i'tencia) ++ tra&a!an en &iene'tar , 40 tra&a!an en cn'u(ta' e-terna' , .tra&a!adre'cntratad'tra&a!anen(a'tre'/rea'01cu/nta'$er'na' tra&a!an en d' de e'ta' 2a&rica' '(amente) 'i td' tra&a!an a( men' en una de e'ta' tre'3Solucin A=25B=33n(A) = 25n(B) = 33n(C) = 40n(A

C=40 Rpta:22 7abc18-a-b26-b-c33-a-c37;" )n una encuesta reali$ada en un centro Lospitalario de Lima !con-ormado por ;> pro-esionales de la salud se tiene la siguiente in-ormacin : :> pro-esionales Lablan ingl8s .9< Lablanel-ranc8s! =; Lablan alemKn. =9 Lablan el ingl8s & el -ranc8s J el ingl8s & el alemKn! lostres idiomas slo 9" Si el n'mero de pro-esionales ,ueLablan slo el -ranc8s es igual al n'merode pro-esionales,ueLablanel -ranc8s&elalemKn"RCuKntos Lablan 'nicamente el -ranc8sSSolucin:IH

203210x1/-$3727x%2,-$10727x%)J)*CICIOS +) CONJUNTOSx% 8 9 n$2 8% 9 n$0 % n$812 9% n$8 1/ n$%2, n$9% '0 n$8%= = = = == = )J)*CICIOS +) CONJUNTOS 7. De una $&(acin de *0 in#re'ante' a (a2acu(tad de medicina de (a UPSM 'e 'a&e 4ue"5 * mu!ere' tienen 1. a'05 1% mu!ere' n tienen 1. a'05 14 mu!ere' n tienen 16 a'05 10 7m&re' n tienen 1. ni 16 a'0 1Cuant' 7m&re' tienen 1.16 a'3

3839SOLC!O"AR!O#$%b&'( )*+'&'(17 a$(A 5p18 aos10 B ,)*+'&'( ,*' n$ t-'n'n 18 a.$(: p / 5 = 14p = 9)*+'&'( ,*' n$ t-'n'n 17 a.$( :p / , = 16 , = 710 / ( A / B ) / 5 / 7 / 9 = 50L*'0$: A / B = 1910 Se 'a&e 4ue 8U8 e' e( cn!unt uni9er'a( dnde 'e cum$(e" n:; n:C n:A; n:A@= *) n:AC@ n:A n:A ; C n:U< = *00 Ca(cu(ar" n A:A C