1.Productos notables y factorización 2.Las cuatro operaciones fundamentales 3.Fracciones...
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1.Productos notables y factorización2.Las cuatro operaciones fundamentales3.Fracciones4.Ecuaciones de primer grado5.Funciones y gráficas6.Ecuaciones simultaneas de primer grado7.Exponentes radicales8.Ecuaciones de segundo grado9.Razones, proporciones y variaciones10.Logaritmos
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De manera intuitiva podemos decir
que una función es una relación
entre dos magnitudes, de tal manera
que a cada valor de la primera le
corresponde un único valor de la
segunda.
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Sean A y B dos conjuntos cualesquiera.
Una función de A en B es una asociación de
un único elemento de B con todos y cada uno
de los elementos de A.
• El conjunto A es llamado el dominio de la
función.
• El conjunto B se llama contradominio ó
codominio de la función.
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• Todos los elementos del dominio tiene que
tener asociado un elemento del
contradominio
• A un elemento del dominio se le asociara un
único elemento del contradominio
• Elementos del contradominio pueden tener
asociados más de un elemento del dominio
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Conjunto de seres humanos
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Conjunto de seres humanos
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Conjunto de seres humanos
A cada ser humano se le asocia su padre biológico
Conjunto de seres humanos
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Conjunto de seres humanos
A cada ser humano se le asocia su padre biológico
• Todo elemento del dominio tiene asociado un único elemento del contradominio. Todo ser humano tiene un único padre biológico
• No todo elemento del contradominio tiene asociado un elemento del dominio. No todo ser humano es un padre biológico
Conjunto de seres humanos
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Sean y dos conjuntos arbitrarios.
Una función de en es una asociación entre elementos
de y donde a todos y cada uno de los elementos de
se les asocia un único elemento de .
El conjunto
A B
A B
A B A
B
A se llama de la función.
Al conjunto
dominio
codominio se le cdenomina ontradom io .nioB
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Es el conjunto de todos los valores posibles que puede
tomar la función.
También se le llama imagen del dominio bajo la función.
Dada la función : el rango de , es el conjunto
Rango de : para
f A B f
f x B x f a
Evidentemente el rango de es un subconunto del
contradominio:
El rango de Rango de Cont
alguna
radomini de
o
a
f f
A
f
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ab
cd
e
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ab
cd
e
Dominio
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ab
cd
e
Dominio
Codominio
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ab
cde
DominioCodominio
Rango
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A la calabaza se le asocian dos elementos en el contradominio
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A
parcial
nabla
raiz
existe
B
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Aparcial
nabla
raiz
existe
B
El elemento en no tiene ningún elemento
asociado en
A
B
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Definimos una función de x en y como
toda aplicación (regla, criterio
perfectamente definido), que a un
número x (variable independiente), le
hace corresponder un número y (y solo
uno llamado variable dependiente).
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Se llama función real de variable real a
toda aplicación f de un subconjunto no
vacío D de R en R
Una función real está definida, en general, por una ley o
criterio que se puede expresar por una fórmula matemática.
La variable x recibe el nombre de variable independiente y la
y ó f(x) variable dependiente o imagen.
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Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.Su rango es también un subconjunto de los reales.
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El subconjunto D de números reales que tienen imagen se llama Dominio de definición de la función f y se representa D(f).
Nota El dominio de una función puede estar limitado por:
1.- Por el propio significado y naturaleza del problema que representa.
2.- Por la expresión algebraica que define el criterio.
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: 3 2
Su dominio son todos los números reales
Su contradominio o codominio son todos
los números reales
Su rango son todos los números reales
f R R y f x x
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: 3 2f R R y f x x x f(x)
0 2
1 5
-1 -1
2 8
-2 -4
3 11
-3 -7
4 14
-4 -10
5 17
-5 -13
x f(x)
0.10 2.30
1.76 7.28
-3.45 -8.35
8.97 28.91
2.34 9.02
13.33 41.99
1.41 6.23
16.77 52.31
-44.44 -131.32
0.01 2.03
-123.00 -367.00
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: exp
Su dominio son todos los números reales
Su contradominio o codominio son todos
los números reales
Su rango son todos los números reales
positivos
xf R R y x e
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exp : exp xR R y x e x f(x)
0.10 1.1051709
11.88 144,350.5506832
-3.45 0.0317456
8.97 7,863.6016055
2.34 10.3812366
13.33 615,382.9278900
6.99 1,085.7214762
-91.23 0.0000000
2.22 9.2073309
0.50 1.6487213
-12.45 0.0000039
x f(x)
0.00 1.000
1.00 2.718
-1.00 0.368
2.00 7.389
-2.00 0.135
3.00 20.086
-3.00 0.050
4.00 54.598
-4.00 0.018
5.00 148.413
-5.00 0.007
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ln : (0, ) ln
Su dominio son todos los números reales
positivos, ya que no existen el logaritmo de
un número negativo
Su contradominio o codominio son todos
los números reales
Su rango son todos lo
R y x
s números reales
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ln : (0, ) lnR y x
x ln(x) x ln(x)
0.10 -2.303 0.01 -4.605
0.20 -1.609 0.02 -3.912
0.30 -1.204 0.03 -3.507
0.40 -0.916 0.04 -3.219
0.50 -0.693 0.05 -2.996
0.60 -0.511 0.06 -2.813
0.70 -0.357 0.07 -2.659
0.80 -0.223 0.08 -2.526
0.90 -0.105 0.09 -2.408
1.00 0.000 0.10 -2.303
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2
Definición
La gráfica de la función es el lugar geométrico
de los puntos del plano cuyas coordenadas
satisfacen la ecuación ( )
, ,
f
y f x
G x y R x f x
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: 3 2f R R y f x x
![Page 34: 1.Productos notables y factorización 2.Las cuatro operaciones fundamentales 3.Fracciones 4.Ecuaciones de primer grado 5.Funciones y gráficas 6.Ecuaciones.](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022062315/5665b4621a28abb57c91158b/html5/thumbnails/34.jpg)
exp : exp xR R y x e
![Page 35: 1.Productos notables y factorización 2.Las cuatro operaciones fundamentales 3.Fracciones 4.Ecuaciones de primer grado 5.Funciones y gráficas 6.Ecuaciones.](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022062315/5665b4621a28abb57c91158b/html5/thumbnails/35.jpg)
ln : (0, ) lnR y x
![Page 36: 1.Productos notables y factorización 2.Las cuatro operaciones fundamentales 3.Fracciones 4.Ecuaciones de primer grado 5.Funciones y gráficas 6.Ecuaciones.](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022062315/5665b4621a28abb57c91158b/html5/thumbnails/36.jpg)
: R R y x
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:
3 5
L R R
L x x
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: 3 5L R R L x x
x L(x)-5 10
-4 7
-3 4
-2 1
-1 -2
0 -5
1 -8
2 -11
3 -14
4 -17
5 -20
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:
3 5
L R R
L x x
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4 3 2
:
2 13 14 24
R R
![Page 41: 1.Productos notables y factorización 2.Las cuatro operaciones fundamentales 3.Fracciones 4.Ecuaciones de primer grado 5.Funciones y gráficas 6.Ecuaciones.](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022062315/5665b4621a28abb57c91158b/html5/thumbnails/41.jpg)
4 3 2: 2 13 14 24R R
x y-5 504
-4 -32
-3 -18
-2 -4
-1 10
0 24
1 38
2 52
3 66
4 80
5 94
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4 3 2
:
2 13 14 24
R R
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En la vida real la mayoría de los fenómenos y los procesos dependen de varias variables.Por tanto, son las funciones de varias variables las que, en general, sirven para describir correctamente los procesos de la naturaleza.