1

LA PRIMERA LEY DE LA

TERMODINÁMICA APLICADA

A LOS GASES IDEALES

Guevara Cap 5

2

1. Introducción

2. La Energía Interna de un Gas Ideal

3. Expansión Isotérmica Irreversible de un Gas Ideal

4. Expansión Isotérmica Reversible de un Gas Ideal

5. Relación entre Cp y Cv para el Gas Ideal

6. Expansión Adiabática Irreversible de un Gas Ideal

7. Expansión Adiabática Reversible de un Gas Ideal

8. Relación Presión-Volumen en Procesos Isotérmicos de los Gases Ideales

9. Relación Temperatura-Volumen y Presión-Volumen en Procesos Adibáticos y Reversibles de los Gases Ideales

10. Cálculo del Trabajo Adibático y Reversible para un Gas Ideal

11. Comparación de los Trabajos Reversibles de Expansión-Compresión en Procesos Isotérmicos y Adiabáticos para Gases Ideales

3

1. INTRODUCCIÓN

El gas ideal es el sistema estudiado con mayor amplitud en los desarrollados en la termodinámica elemental. Por sus características es de análisis fácil.

En este capítulo se precisa los conceptos relacionados con la primera ley aplicado al gasi ideal, con sus expresiones matemáticas y que son utilizadas en el estudio de la segunda ley de la termodinámica.

4

2. LA ENERGÍA INTERNA DE UN GAS IDEAL

𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 Ecuación de estado

Sistema

Análisis de 𝑈; 𝑛 =cte

𝑈 = 𝑓 𝑉; 𝑇

5

Un cambio infinitesimal en la 𝑈 del S, será expresado:

𝑑𝑈 =

Cuantificación de la 𝑈 , respecto a 𝑉 :

𝑑𝑈 =𝜕𝑈

𝜕𝑉𝑇

𝑑𝑉

𝑈 = 𝑓 𝑉; 𝑇

𝜕𝑈

𝜕𝑇𝑉

𝑑𝑇 +𝜕𝑈

𝜕𝑉𝑇

𝑑𝑉

𝑑𝑈 = 0. 𝑑𝑇 +𝜕𝑈

𝜕𝑉𝑇

𝑑𝑉

6

Los gases (c.i.) al expandirse libremente frente al vacío, la 𝑇 , NO CAMBIA.

∆𝐸𝑖𝑛𝑡 = 𝑄𝑖𝑛 +𝑊𝑜𝑛

𝑻𝒊 𝑻𝒊

“No hay interacción térmica entre el 𝑆 y su 𝐸𝑛𝑡"

𝑑𝑈 = 𝜕𝑄 + 𝜕𝑊

𝜕𝑄 = 0 𝜕𝑊 = −𝑃𝑜𝑝𝑑𝑉 = 0

𝜕𝑈 = 0

Fig 1. Ilustración del experimento de Joule

𝑻𝒊

Gas Gas

𝑻𝒊 𝑻𝒊

7

𝜕𝑈

𝜕𝑉𝑇

= 0 𝜕𝑈

𝜕𝑃𝑇

= 0

Conclusión:

La energía interna de una masa constante de un gas ideal, depende únicamente de la temperatura, por lo que resulta ser

independiente del volumen y la presión del gas.

𝑑𝑈 =𝜕𝑈

𝜕𝑇𝑉

𝑑𝑇 ; 𝑑𝑈 =𝜕𝑈

𝜕𝑇𝑃

𝑑𝑇

Gas ideal: 𝑈 = 𝑓 𝑇

𝑈 = 𝑓 𝑉; 𝑇 𝑈 = 𝑓 𝑃; 𝑇

𝑑𝑈 = 𝜕𝑈

𝜕𝑇𝑉

𝑑𝑇 +𝜕𝑈

𝜕𝑉𝑇

𝑑𝑉 𝑑𝑈 = 𝜕𝑈

𝜕𝑇𝑃

𝑑𝑇 +𝜕𝑈

𝜕𝑃𝑇

𝑑𝑃

8

3. EXPANSIÓN ISOTÉRMICA IRREVERSIBLE DE UN GAS IDEAL

𝑊 = −𝑃𝑜𝑝∆𝑉

∆𝑇 = 0 ;

𝑄 = −𝑊

∆𝐻 = 0

∆𝑈 = 0

∆𝑈 = 𝑄 +W

∆𝑈 = 𝑊 + 𝑄 = 0

𝑄 = 𝑃𝑂𝑃 ∆𝑉

𝑄 = 𝑄𝑃

∆𝐻 = Δ𝑈 + 𝑛𝑅𝑇

𝑄𝑃 = ∆𝑈 + ∆𝑃𝑉 ∆𝐻 =

9

Un mol de gas ideal experimenta una expansión isotérmica desde un vol de 5,0 L hasta uno de 35,0 L, cuando sobre el gas actúa una presión operacional constante de 1,8 atm. Calcular: (a) W, (b) ΔU, (c) Q, (d), ΔU

EJEMPLO 1

Solución:

𝑊 = −5,5 × 𝐾𝐽

∆𝑈 = 0

𝑄 = 5,5 × 𝐾𝐽

∆𝐻 = 0

10

4. EXPANSIÓN ISOTÉRMICA REVERSIBLE DE UN GAS IDEAL

𝜕𝑊 = −𝑃𝑑𝑉

𝑊 = −𝑃 𝑑𝑉𝑉𝑓

𝑣𝑖

𝑊 = −𝑛𝑅𝑇 𝑑𝑉

𝑉

𝑉𝑓

𝑣𝑖

𝑊 = −𝑛𝑅𝑇 𝑙𝑛𝑉𝑓𝑉𝑓

𝑉𝑓

𝑣𝑖

Para evaluar la integral necesitamos

𝑃

Proceso cuasiestático, en todo momento:

𝑃 = 𝑃(𝑉)

= 𝑃𝑒𝑥𝑡 = 𝑃𝑜𝑝

11

∆𝑈 = 0 ; ∆𝐻 = 0

Como de nuevo ∆𝑇 = 𝑂

Q = −𝑊

Q = 𝑛𝑅𝑇𝑙𝑛𝑉𝑓

𝑉𝑖

12 12

Mediante un proceso reversible, desarrollado a una temperatura constante 25,0°C, se reduce la presión sobre 3 mol de helio de 10 a 1 atm. Si el helio se comporta como un gas ideal, ¿cuales serán los valores de W, ΔU, Q, ΔH implicado en el proceso?

EJEMPLO 2

Solución: 𝑊 = −18,1𝐾𝐽

∆𝑈 = 0

𝑄 = 18,1 𝐽

∆𝐻 = 0

13 13

5. RELACIÓN ENTRE Cp y Cv PARA EL GAS IDEAL

𝑑𝐻 = 𝑑𝑈 + 𝑑𝑃𝑉

𝑑𝐻 = 𝐶𝑃𝑑𝑇

𝑑𝑈 = 𝐶𝑉𝑑𝑇

𝑑𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑑𝑇

𝐶𝑃𝑑𝑇 = 𝐶𝑉𝑑𝑇 + 𝑛𝑅𝑑𝑇

𝐶𝑃 − 𝐶𝑉 = 𝑛𝑅 𝐶𝑃 − 𝐶𝑉 = 𝑅

𝐶𝑃 = 𝐶𝑉 + 𝑛𝑅

14

Calcular ΔU y, ΔH para 32 g de helio cuando se calienta de 0 a 100 °C, comportándose como un gas ideal con 𝐶𝑉 =2,98 cal/mol K

EJEMPLO 3

Solución: ∆𝑈 = 2,38𝐾𝑐𝑎𝑙

∆𝐻 = 3,98𝐾𝑐𝑎𝑙

15 15

6. EXPANSIÓN ADIABÁTICA IRREVERSIBLE DE UN GAS IDEAL

𝑊 = −𝑃𝑜𝑝∆𝑉

𝑄 = 0

∆𝑈 = 𝐶𝑉∆𝑇 ∆𝐻 = 𝐶𝑃∆𝑇

∆𝑈 = 𝑊 Como

𝐶𝑉∆𝑇 = −𝑃𝑜𝑝∆𝑉

16

En un cilindro cerrado por un pistón, 2 g de helio se mantiene a 25 °C y a 50 atm. Si la presión sobre el pistón se reduce bruscamente hasta 1 atm, provocando que el gas se expanda adiabáticamente. ¿Cuál será la temperatura final; si se comporta como un gas ideal con un 𝐶𝑉 =2,98 cal/mol K

EJEMPLO 4

Solución:

𝑇2 =181,8 K 𝑇2 = -91,5℃

17 17

7. Expansión Adiabática Reversible de un Gas Ideal

𝜕𝑊 = −𝑃𝑑𝑉

𝑊 = − 𝑃𝑑𝑉𝑉𝑓

𝑣𝑖

𝑄 = 0

𝑃

Proceso cuasiestático, en todo momento:

= 𝑃𝑒𝑥𝑡 = 𝑃𝑜𝑝

18

∆𝑈 = 𝐶𝑉𝑑𝑇 = 𝐶𝑉∆𝑇𝑇𝑓

𝑇𝑖

∆𝐻 = 𝐶𝑃𝑑𝑇 = 𝐶𝑃∆𝑇𝑇𝑓

𝑇𝑖

19 19

8. RELACIÓN PRESIÓN-VOLUMEN EN PROCESOS ISOTÉRMICOS DE LOS GASES IDEALES

𝑇1 =𝑃1𝑉1𝑛𝑅

𝑃1𝑉1 = 𝑃2𝑉2

𝑇2 =𝑃2𝑉2𝑛𝑅

𝑃𝑉 = 𝑐𝑡𝑒 𝑂 𝑃 = 𝑐𝑡𝑒

𝑉

𝑐𝑡𝑒 = 𝑛𝑅𝑇

Una cantidad fija de neón se comprime reversiblemente desde un volumen inicial de 0,1 m3 hasta un volumen final 10,0Lde y una presión final de 10,0 atm . Cómo el proceso se lleva a cavo isotérmicamente, se cumplirá que PV= constante Determine: a) El valor de dicha constante b) La presión inicial, y c) El trabajo hecho sobre el neón durante la compresión.

EJEMPLO 5

Solución: 𝑃𝑓𝑉𝑓 = 100 𝑎𝑡𝑚 − 𝐿 = Cte

𝑃0 = 1,0 𝑎𝑡𝑚

𝑊 = 23,3𝐾𝐽

21 21

9. RELACIÓN TEMPERATURA-VOLUMEN Y PRESIÓN-VOLUMEN EN PROCESOS ADIBÁTICOS Y REVERSIBLES DE LOS GASES IDEALES

𝑑𝑈 = 𝜕𝑄 + 𝜕𝑊

Como el Proceso es Adiabático:

𝑑𝑈 = 𝜕𝑊

𝐶𝑉𝑑𝑇 = −𝑃𝑑𝑉

𝐶𝑉𝑑𝑇 = −𝑛𝑅𝑇 𝑑𝑉

𝑉

𝑉𝑓

𝑣𝑖

Proceso adiabático y reversible

𝜕𝑄=0

22

𝐶𝑉 𝑑𝑇

𝑇

𝑇𝑓

𝑇𝑖

= −𝑛𝑅 𝑑𝑉

𝑉

𝑉𝑓

𝑉𝑖

Como 𝐶𝑃 − 𝐶𝑉 = 𝑛𝑅 :

𝐶𝑉 𝑑𝑇

𝑇

𝑇𝑓

𝑇𝑖

= −𝐶𝑃 − 𝐶𝑉1

𝑑𝑉

𝑉

𝑉𝑓

𝑉𝑖

Sea γ =𝐶𝑃

𝐶𝑉 :

- 𝑑𝑇

𝑇

𝑇𝑓𝑇𝑖

= 𝛾 − 1 𝑑𝑉

𝑉

𝑉𝑓𝑉𝑖

𝑙𝑛𝑇𝑖𝑇𝑓

= 𝛾 − 1 𝑙𝑛𝑉𝑓

𝑉𝑖

- 𝑑𝑇

𝑇

𝑇𝑓𝑇𝑖

=𝐶𝑃−𝐶𝑉

𝐶𝑉

𝑑𝑉

𝑉

𝑉𝑓𝑉𝑖

23

𝑃𝑖𝑉𝑖𝑃𝑓𝑉𝑓

=𝑉𝑓

𝑉𝑖

(𝛾−1)

𝑃𝑓𝑉𝑓𝛾 = 𝑃𝑖𝑉𝑖

𝛾 γ =𝐶𝑃

𝐶𝑉 :

= 𝑃𝑖𝑉𝑖

𝑃𝑓𝑉𝑓

𝑇𝑖𝑇𝑓

=𝑉𝑓

𝑉𝑖

(𝛾−1)

Relación temperatura-volumen en procesos adiabáticos y reversibles de los gases ideales

𝑃𝑓

𝑃𝑖 =

𝑉𝑖𝑉𝑓

𝛾

Relación presión-volumen en procesos adiabáticos y reversibles de los gases ideales

24

Procesos adiabáticos

Procesos en los que 𝜕𝑄 = 0

𝑃𝑉𝛾 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑇𝑉𝛾−1 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑇𝑉−𝑘 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

𝛾 =𝐶𝑝𝐶𝑣

𝑘 =𝑅

𝐶`𝑝

Isotermas vs Adiabáticas Ecuaciones de Poisson

25

10. CÁLCULO DEL TRABAJO ADIBÁTICOS Y REVERSIBLE PARA UN GAS IDEAL

26

10. CÁLCULO DEL TRABAJO ADIBÁTICOS Y REVERSIBLE PARA UN GAS IDEAL

𝛾𝐶𝑉 − 𝐶𝑉 = 𝑛𝑅

𝐶𝑉 =𝑛𝑅

𝛾−1

𝐶𝑃 − 𝐶𝑉 = 𝑛𝑅

γ =𝐶𝑃

𝐶𝑉

Reemplazando 𝐶𝑉 en la ecuación de W :

W = ∆𝑈

∆𝑈 = 𝐶𝑉∆𝑇

W = 𝐶𝑉∆𝑇

27

W =𝑛𝑅

𝛾−1∆𝑇

W =𝑃𝑓𝑉𝑓−𝑃𝑖𝑉𝑖

𝛾−1

W = 𝑛𝑅𝑇𝑓−𝑇𝑖

𝛾−1

28

11. COMPARACIÓN DE LOS TRABAJOS REVERSIBLES DE EXPANSIÓN-COMPRESIÓN EN PROCESOS ISOTÉRMICOS Y ADIABÁTICOS PARA GASES IDEALES

29

11. COMPARACIÓN DE LOS TRABAJOS REVERSIBLES DE EXPANSIÓN-COMPRESIÓN EN PROCESOS ISOTÉRMICOS Y ADIABÁTICOS PARA GASES IDEALES

( Pi , Vi )

Vi´ )

V2´ V2

Proceso Isotérmico Reversible

Ei(Pi,Vi,Tf) Ef(Pf,Vf,Tf)

Exp

Comp

Proceso Adiabático Reversible

Ei´(Pi,Vi´,Ti) Ef(Pf,Vf,Tf) Exp

Comp

Tf < Ti Vf ´ < Vf

30

( Pi , Vi )

Vi´ )

V2´ V2

𝑃𝑉 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑇𝑉𝛾−1 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

𝛾 =𝐶𝑝𝐶𝑉> 1

Isoterma

Adiabática

𝑃𝑉𝛾 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

31

PROCESOS DE EX0PANSIÓN O COMPRESIÓN EN LOS GASES IDEALES

TIPO DE PROCEO

ISOTERMICO IRREVERSIBLE

ISOTERMICO REVERSIBLE

ADIABÁTICO IRREVERSIBLE

ADIABÁTICO REVERSIBLE

−𝑃𝑜𝑝∆𝑉

∆𝑈 𝑊

−𝑛𝑅𝑇𝑙𝑛𝑉𝑓

𝑉𝑖

𝑃𝑜𝑝∆𝑉

𝑄

𝑛𝑅𝑇𝑙𝑛𝑉𝑓

𝑉𝑖

∆𝐻

0

−𝑃𝑜𝑝∆𝑉

− 𝑃𝑑𝑉𝑉𝑓

𝑉𝑖

0

0

0

𝐶𝑃∆𝑇 𝐶𝑉∆𝑇

𝐶𝑃∆𝑇

𝐶𝑉∆𝑇

0

0

32