Primera practica calificada MATEMATICA III (2015-2)

Miguel Pajuelo Villanueva1, Moises Vera Chinchay2

12Facultad de Ingeniera Electrica y Electronica (FIEE)

Universidad Nacional de Ingeniera PER

8 de octubre de 2015

1. En una lnea recta l, se ubican los puntos A fijo y otro punto variable M. Sea el punto P,un punto tal que el triangulo APM es isoceles PA = PM . Si el punto P vara tal que lalongitud del radio R de la circunferencia circunscrita al triangulo APM sea constante,entonces determine la ecuacion vectorial del lugar geometrico que describe elcircuncentro O y el ortocentro H del triangulo APM.SOLUCION

2. Un destructor trata de cazar a un submarino en medio de una niebla densa, la niebla selevanta durante un instante y se observa que el submarino se encuentra en la superficie a3 millas de distancia,y la niebla vuelve a cerrarse. La rapidez del destructor es el dobleque la del submarino y ademas el submarino se sumergira inmediatamente y avanzara atoda rapidez en lnea recta en una direccion desconocida. Halle la ecuacion vectorial dela trayectoria que seguira el destructor para estar seguro de pasar sobre el submarino.SOLUCION

Trabajemos en coordenadas polares, Sea s: submarino y D: destructor.El destructor avanzo hacia donde vio a s. Si s hubiera avanzado hacia D, entonces

D estara sobre S en un tiempo to

1

vto + 2vto = 3 to = 1vo

Hacemos:S : (xS(t); yS(t)) (RS(t); o)D : (xD(t); yD(t)) (RD(t); t) Donde: o : angulo que forma el escape de S.Rs(t) = vt (distancia recorrida)

Para que D pase sobre S, RD(t) = RS(t) = vt

t > 1v

(Si t =1

v;RD(t) = RS(t) = 1)

xD(t) = vtcos(t) y yD(t) = vtsen(t)(x(t))2 + (y(t))2 = v2D = 4v

2

v2(cos2(t) + t2sen2((t))2 + sen2(t) + t2cos2(t)()2) = 4v2

Queda (t) =

3

t = 3lnt+ C

Como (1

v) = 0

C = 3ln(1v

)

(t) = 3ln(vt) y R(t) = vt

vt = e

3 R() = e3

D avanza 2 millas hacia S y luego sigue una espiral de la forma R() = e3

3. Sea la curva suave descrita por la transformacion r :< 0; > R3 tal quer (t) = (a(1 t

2)

1 + t2;

2at

1 + t2; 2btan1(t))

Determine la ecuacion vectorial de la involuta de la curva suave SOLUCION

t = tan(u

2)

r (u) = (acosu; asenu; bu) r (u) = (asenu; acosu, b)s(u) =

u0r (u) du u

0

a2 + b2) du

S(u) =a2 + b2u

u =s

a2 + b2

r (s) = (acos( sa2 + b2

); asen(s

a2 + b2);

bsa2 + b2

)

r (s) = (a

a2 + b2; cos(

sa2 + b2

);

acos(s

a2 + b2)

a2 + b2

)

r (s) = r (s) + (c s)t (s)

r (s) = (acos( sa2 + b2

)); asen(s

a2 + b2);

acoss

a2 + b2a2 + b2

)+

(c s)(acos

sa2 + b2

a2 + b2;

acos(s

a2 + b2)

a2 + b2

;b

a2 + b2)

4. Sea la curva descrita por r = r (s), siendo s el parametro longitud de arco. La curva tiene las longitudes caractersticas:

2

Sus tangentes determinan un angulo de medida constante igual api

4con el eje z.

Su proyeccion sobre el plano z = 13, es la curva de ecuacion x2 + y2 = 4; z = 13

Se define 1 como la curva suave descrita por:

r 1 = r 1(s1) = ar (s) +T (s)Siendo a una contante. Calcule la curvatura k1(s1) de funcion de a de la curva suave 1de un punto generico de ella.SOLUCION

Ya que su proyeccion en un plano paralelo a XY es un crculo y sus tangente al ejez es

constante podemos inferir que se trata de una helice circular.r = (acost; asent; bt)De la proyeccion en z=13; x2 + y 2 = 4(acosto)

2 + (asento)2 = 4 2a2 = 4; a = 2

Ahora sabemos que el angulo que forma con el eje z espi

4entonces llamamos a z : vector unitario del eje Z.z = (0, 0, 1)El angulo de estos vectores lo calculamos mediante producto escalar.

cos =r zr z =

(asent; acost; b)(0; 0; 1)(a2 + b2)(1)

= cos(pi

4)

12

=b

a2 + b2como a =

2 b = 2

Ahora: r = (2cost;2sent;2t)Reparametrizando: s =

t0

=a2 + b2 dt s = 2t

r (s) = (

2cos(s

2);

2sen(s

2);

2

2s)

Sabemos que: r 1(s1) = ar s +T s

Reemplazando: r 1 =

2(

2coss

2;

2s

2;

2

2s) +

2

2(sens

2; cos

s

2; 1)

r 1 = (2coss2

2

2sen

s

2; 2sen

s

2+

2

2cos

s

2; s+

2

2)

r 1 =T = (

2cos

s

24

sens2

; coss

2

2sens

24

; 1)

Sabemos que:T =

N

HallamosN

N =

T

T En un punto generico: t = 0 s = 0T = (1

2;

2

8; 0) T = 3

2

8N =

8

3

2(1

2;

2

8; 0)

Ahora:T =

N

(12

;

2

8; 0) = ( 4

3

2;1

3; 0)

1

4+

2

64= 2(

16

18+

1

9)

3

932= 2 = 3

2

8

5. Sea una helice circular y 1 es el lugar geometrico de los centros de curvatura de lahelice circular. Si k es la curvatura de la helice, entonces el producto de las torsiones dela curvas y 1SOLUCION

Sea r la posicion de la helice en un tiempo t.r = (acost; asent; bt)Hallamos su curvatura: k =

r r (r )3r = (asent; acost; b)r = (acost;asent; 0)

Reemplazando k =(absent;abcost; a2)

(a2 + b2)3

k =aa2 + b2

(a2 + b2)3

k =a

a2 + b2 = 1

k=a2 + b2

aAhora sea: 1 la curva descrita por los centros de curvatura de la heliceEsta definida por: c = r + nHallamos la normal de la helicer = r t(8 asent; acost; b) = a2 + b2t t = 1

a2 + b2(asent; acost; b)

t = t n

1a2 + b2

(acost;asent; 0) = 1a2 + b2

ann = (cost;sent; 0) c = (acost; asent; bt) + a

2 + b2

a(cost;sent; 0)

c = (acost a2 + b2

acost; asent a

2 + b2

asent; bt)

c = (b2cost;b2sent; bt)Ahora, hallamos las torsiones: Sea : torsion de y 1: torsion de 1

=(r r )r r r r = (acost; asent; bt)

4

r = (asent; acost; b)r = (acost;asent; 0)r = (asent;acost; 0) =

(absent;abcost; a2)(asent;acost; 0)a2(a2 + b2)

=a2bsen2(t) + a2bcos2(t)

a2(a2 + b2)=

a2b

a2(a2 + b2) = b

a2 + b2

Para 1 :

1 =(c c )c c c

c = (b2cost;b2sent; bt)c = (b2sent;b2cost; b)c = (b2cost; b2sent; 1)c = (b2sent; b2cost; 0)1 =

(b2cost b3sent; b3cost b2sent; b4)(b2sent; b2cost; 0)b4(b4 + b2 + 1)

1 =b4sentcost+ b5sen2(t) + b5cos2(t) b4sentcost

b4(b4 + b2 + 1)

1 = 1b4(b4 + b2 + 1)

Piden 1 = ( ba2 + b2

)(1

b4(b4 + b2 + 1))

1 = 1(a2 + b2)(b3)(b4 + b2 + 1)

6. Una partcula se desplaza a lo largo de una curva plana con rapidez constante igual a 2,el movimiento empieza en el origen cuando t=0 y el vector velocidad inicial es (2; 0). Encada instante la curvatura de la curva es 4t. Si la curva nunca esta debajo del eje X,

5

calcule el vector velocidad cuando t =

pi

4SOLUCION

r = 2 vo = (ro) = 2 k = 4tk(s) =

dQ

dSs =

t0r dt

s = t0

2 dts = 2

t0dt

s = 2tds

dt= 2 ds = 2dt

Integrando obtenenmos: s = 2t k = 2sHallando Q:

k(s) =dQ

dS

2s =dQ

dS s0

2s ds = Q0dQ s2 = Q

De: x x0 = s0cosQ ds x = cosQds

dt

Igualmente para y: y y0 = s0senQ ds y = senQds

dtPero: Q = s2

x = cos(s2)dsdt

... (1)

y = sen(s2)dsdt

... (2)

Pero: s = 2tEn (1) y (2)

x = cos(4t2)ds

dt

y = sen(4t2)ds

dtr = (2cos(4t)); 2sen(4t)) r

(

4)

= (

2;

2)

7. Demuestre que v2 = GM(2

r 1a

) en cualquier punto de una orbita elptica.

Si r = r v; velocidad y a es la longitud del semieje mayor de la orbita.SOLUCION

En los casos especficos de una orbita elptica o circular , la ecuacion puedederivarse facilmente a partir de la conservacion de energa y momento. Energatotal especfico es constante a lo largo de la orbita . Por lo tanto, el uso de lossubndices a y p para denotar apogeo y perigeo, respectivamente.0 < < 1

=v 2a2 GM

ra=v 2p2 GM

rpv 2a2v 2p2

=GMra GM

rpRecordando que para una orbita elptica (y por lo tanto tambien una orbita

6

circular ) los vectores de velocidad y radio son perpendiculares alapogeo y perigeo,la conservacion del momento angular requiere:

h = rav a = rpv p v p = ra

rp

v a1

2(1 r

2a

r2p)v 2a =

GMra GM

rp1

2

r2p r2ar2p

v 2a =GMra GM

rpAislando la energa cinetica en el apogeo y simplificando:1

2v 2a = (

GMra GM

rp)(

r2pr2p r2a

)

1

2v 2a = GM(

rp rararp

)(r2p

r2p r2a)

1

2v 2a = GM

rpra(rp + ra)

A partir de la geometra de una elipse 2a = rp + ra; donde a es la longitud delsemieje mayor

=v 2a2 GM

ra= GM(

2a rara(2a)

)

= GM(2a ra

2ara 1ra

) = GM2a

Esto en la primera ecuacion:v 22 GM

r= GM

2a

v 2 = GM(2r 1a

)

8. Halle las ecuaciones intrnsecas de la curva regular , descrita por la transformacionr : [0; 2pi] R2 tal que r = (a asen; a acos) , a > 0.SOLUCIONr = (a asen; a acos)

(r ) = (a acos; asen)(r ) = (asen; acos)(r ) = (acos;asen)

7

k =(r ) ((r )

((r))3Reemplazando:

k =a2cos a2

a3(2cos 2)3/2 k = cos 1

a

(2cos 2)3Ahora: =

(r (r )).(r)(r (r ))2

=(0; 0; a2cos a2).(acos;asen; 0)

((r ) (r ))2 =

0 + 0 + 0

(r ) (r ))2 = 0Reparametrizando:s =

0

(x)2 + (y)2 d

s = 0

(a)2(1 cos)2 + (a2(sen)2) d

s = 4acos(2

) + 4a

= 2arccos(4a s)4a

k = cos 1a

(2cos 2)3 y = 0; =2arccos(4a s)

4a

9. Sea la curva suave cerrada convexa y plana descrita por (s), [0; l] orientadapositivamente. La curva suave 1 descrita por

(s) = (s)N (s) es el vector normal,

se denomina una curva paralela a (s). Calcule la curvatura de la curva suave 1.SOLUCION

: r (s) r (s1) = r (s) un (s)(r )(s1) = (r )(s) u(n )t = [

t (s) u(kt b )] ds

ds1...(1)

Pero como r (s)//r (s1)[t (s) u(kt + b )]t (s) = 1 ds

ds1=

1

1 + uk...(2)

(2) en (1)

8

t (s1) =

t

1 + uk+ukt ub1 + uk

t (s1) =

t u

b

1 + uk

(tj(s1)) = [(

t ) ((b ) u

1 + uk+b (

u

1 + uk))]

ds

ds1

kn = [kk n ( u1 + uk

b ( u1 + uk

)]1

1 + uk

k = (k u2

1 + uk 0) 1

1 + uk

k =k

1 + uk u

2

(1 + uk)2

k (s) =

k + uk2 u 2(1 + uk)2

10. Encuentre la curvatura y el centro de curvatura de la conicax2 2xy + y2 x+ 3y 4 = 0 en el punto (0; 1).SOLUCION

Parametrizamos la curva, hacemos x=tt2 2ty + y2 t+ 3y 4 = 0y2 + (3 2t)y + t2 t 4 = 0y =(3 2t)(3 2t)2 4(1)(t2 4 t)

2

y =2t 325 8t

2Para t=0 x = 0, y = 0

El valor que satisface es:

y =2t 3 +25 8t

2Ahora tenemos:r (t) = (x, y) = (t; 2t 3 +

25 8t

3) Derivando:

r(t) = (1;

25 8t 2

25 8t ) ; r(t) = (0;

8(25 8t)3 )

Para t=0;

r = (1;23

5) ; r(t) = (0;

8125

)

Sabemos:

k =r r(r)3 =

(1; 23/5) (0;8/125)(1; 23/5)3

k =

8

125

(554

25)3/2

k = 6,135 104

Sabemos r = r .r

T =

(1;

25 8t 2

25 8t2(

25 8t+ 8t 278t 25

T = (

8t 25

2(2

25 8t+ 8t 27;

8t 35(25 8t 2)

25 8t(

2(2

8t 35 + 8t 27))

9

N = (

(8t 25)(25 8t 2)(

25 8t)(

2(2

25 8t+ 8t 27);

8t 25

2(2

25 8t+ 8t 27))

Para t=0 N = (1534

;25

34)

C = r + .NSabemos que: =

1

k=

1

6,135 104 = 1,62 103

C = (0; 1) + 1,63 103(1534

;25

34)

C = (714,7; 1192,17)

10