1.elektrostatikaren oinarriak

15
1. Elektrostatikaren oinarriak

Transcript of 1.elektrostatikaren oinarriak

Page 1: 1.elektrostatikaren oinarriak

1. Elektrostatikaren oinarriak

Page 2: 1.elektrostatikaren oinarriak

Sarrera

Elektromagnetismoa Kargaren ondorioz gertatzen diren fenomeno fisikoak aztertu.

qQunibertso=kte

Karga elektrikoa kuantizatua dago

(e=1.6·10-19C partikula

elementalen karga)

Kantitate eskalarra da: positiboa edo

negatiboa

Partikula elementalen propietate

bat da

Materiaren berezko egoera neutroa da

Page 3: 1.elektrostatikaren oinarriak

• 1785. urteko Coulomb-en emaitzetan oinarrituz…

Coulomb-en legea

' 2

'ˆq

qqF k r

r

(q-k q’-ren gainean egiten duen indarra)Bi kargen arteko indarra:

q'

q

r

'qF

'qF

r

• Indarra kargen biderkadurarekiko zuzenki proportzionala eta kargen arteko distantziaren karratuarekiko alderantziz proportzionala da.• Indarra aldaratzailea edo erakarlea izango da kargen zeinuaren arabera.• Newton-en 3. legea beteko da.• 9 2 21/ (4 ) 9 10 Nm Cok

o non hutsaren permitibitate elektrikoa den (o8.85x10-12 C2 N- 1 m-2)

' 21 1

ˆ'N N

iq i i

i i i

qF F kq r

r

N karga puntualez osatutako, q’ kargaren gaineko indar totala.N kargetariko bakoitzak eragiten duen indarraren batura bektoriala izango da.

' 2

'ˆq

q dqdF k r

r

' ' 2ˆ'q qsolido solido

dqF dF kq r

r

Solido kargatu baten kasuan, kargak elementu infinitesimaletan banatu, dq.

iq

ir

'qir

iF

'qdF

'qr

r

dq

Page 4: 1.elektrostatikaren oinarriak

Coulomb-en legea

• Orokorrean…

Solido batentzat:

Lamina batentzat:

Solido filiforme batentzat:

bolumeneko karga-dentsitatea

elementuaren bolumen infinitesimala

elementuaren azalera infinitesimala

elementuaren luzera infinitesimala

gainazal karga-dentsitatea

karga-dentsitate lineala

' ' 2ˆ'q qsolido solido

dqF dF kq r

r

'qdF

'qr

r

dq

Page 5: 1.elektrostatikaren oinarriak

Eremu ElektrostatikoaKarga puntual bat puntu batean kokatzen dugunean, inguruko espazioa aldatu egiten da.

Espazioko puntu bakoitzean bektore bat definitu:Eremu elektrostatikoa

(eremu bektoriala)

q

r

r

( 0)E q

( 0)E q '

'qF q

E k rq r

Unitateak:

N/C

r-n q’ kokatuko bagenu:

' 'qF q E

N karga puntualek sortutako eremu elektrostatikoa:

Solido kargatu batek sortutako eremu elektrostatikoa:

21 1

ˆN N

ii i

i i i

qE E k r

r

solido solido

dqE dE k r

r

Eremu bektoriala EREMU LERROAK (E eremu lerroen tangentea da)

Page 6: 1.elektrostatikaren oinarriak

Eremu elektrostatikoa

1. Eremu elektrostatikoaren kalkulua dipolo elektrikoaren ardatzean:

2. Eremu elektrikoa eraztun kargatu baten ardatzean:

ADIBIDEAK:

+q

-q

a

a

y

xPx

r

dq

x R xP

r

1/22 2 2 2 2

3/2 3/22 2 2 2

1ˆ ˆ2 2

2 ˆ

q aE k sin j kq j

r x a x a

qa pk j k

x a x a

3/22 2 2 2cosx

dq dq x xdE k k kdq

r r r x R

3/2 3/2 3/22 2 2 2 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆxeraztuna eraztuna eraztuna

x x QxE dE i kdq i k dqi k i

x R x R x R

integratuz…

E

E E

dE

Page 7: 1.elektrostatikaren oinarriak

Gauss-en Teorema. Aplikazioak.Gainazal itxi batean zeharreko eremu elektrostatikoaren fluxua:

q

rS

E

dS

q-k sortutako eremua erradiala da dS-rekiko paraleloa

gainazal bektorea

Gauss-en teorema:

- Fluxua + edo – kargaren arabera.- Gainazaletik kanpo dauden kargek ez dute fluxuaren balioan eraginik.- Gauss-en teorema bakarrik da posible E//dS denean:

-Karga banaketa esferiko bat-Plano infinitu kargatu bat-Hari luze kargatu bat

Page 8: 1.elektrostatikaren oinarriak

Gauss-en legea. Aplikazioak

a. Uniformeki kargatutako R erradioko eta Q karga totaleko esfera:

b. Uniformeki kargatutako hari zuzen eta infinitua ( luzera dentsitateduna):

c. Uniformeki kargatutako xafla lau eta infinitua ( gainazaleko karga-dentsitateduna):

APLIKAZIOAK:

R

r

S

r

L

S

S

A

E

dS

dS

E

E

dS

dS

dS

E

E

r R 2ˆ

QE k r

r

r R3

2 3

ˆ ˆ

4 o

Q r Q rE r k r

r R R

ˆ2 o

E rr

aldameneko aldamenekoS estalkiakgainazala gainazala

E dS E dS E dS EdS

2 barnealdamenekogainazala o o

Gaussen Q LE dS E rL

Teorema

aldamenekoS estalkiak estalkiakgainazala

E dS E dS E dS EdS

2 barne

estalkiako o

Gaussen Q AE dS E A

Teorema

( 0), ( <0)2 2o o

E i x E i x

Page 9: 1.elektrostatikaren oinarriak

Eremu elektrostatikoaren izaera kontserbakorra: Potentzial Elektrostatikoa

Partikularen dinamikaren gaia gogoratuz… Indar kontserbakorrak: W (lana) ibilbidearekiko menpekotasunik ez: W eta -Ep = W eta Em = ktea = Ec+Ep

Indar Elektrostatikoa KONTSERBAKORRA da. Froga dezagun…

5.1. Karga puntual bati dagokion energia potentziala

Q

q

2r

1r

r

r

dr

F

dl

q kargak dl desplazamendua jasaten badu:

2cos

QqdW F dl Fdl Fdr k dr

r

Integratuz…

22 2

11 1 1

2 21 2

1 1 1rr rr

rr r r

Qq drW dW k dr kQq kQq kQq

r r r r r

Indar kontserbakorra da, lana bakarrik hasierako eta amaierako posizioen menpekoa baita.

1 2( ) ( )p p pE E r E r

Page 10: 1.elektrostatikaren oinarriak

Eremu elektrostatikoaren izaera kontserbakorra: Potentzial Elektrostatikoa

Energia potentzialaren jatorria aukeratuko dugu: Ep = 0 denean, hau da: 1r ( ) 0pE

2 12 1

1 1( ) ( )p pE r E r W kQq

r r

Unitateak:

J

q karga bat infinitutik r-ra ekartzeko egin beharreko lana.

0kanp FE W

elF

kanF

0kanp FE W

elF

kanF

0kanp FE W

elF

kanF

kanF

elF

0kanp FE W - q

- Q

+ q

Hurbiltzean txikitzen da

Urruntzean handitzen da

+Q - q

+ qHurbiltzean handitzen da

Urruntzean txikitzen da

- Q

+Q

Orokortuz: karga-banaketa baten eraginpean dagoen q karga puntual baten energia potentziala

2r

1r

dq

qF

dl

Page 11: 1.elektrostatikaren oinarriak

Eremu elektrostatikoaren izaera kontserbakorra: Potentzial Elektrostatikoa

5.2. Potentzial elektrikoa

Elektrizitatean energia potentziala erabili beharrean ohikoagoa da karga unitateko energia potentziala erabiltzea: potentzial elektriko deritzoguna V

pEV

q Unitateak:

J/C = V (voltioa)Posizio konkretu batean kokatuko genukeen q karga batek izango luken energía potentzial elektrikoa adierazten du.

Bi punturen (r1 eta r2) arteko potentzial diferentzia:

Potentzial elektrikoaren jatorria aukeratuz…

orduan

Karga banaketa batentzat orokortuz…

2r

1r

dq

dl

E

Modu berean ere:

VqE p

Page 12: 1.elektrostatikaren oinarriak

Eremu elektrostatikoaren izaera kontserbakorra: Potentzial Elektrostatikoa

Q

E

V

Eremu eskalarra

Gainazal ekipotentziala: potentzial berdina

daukaten puntuen leku geometrikoa

Eremu bektoriala

Eremu lerroak: eremuaren norabidea

adierazi

Esfera zentrukideak:

V=kQ/r

Karga positibo bat askatzen badugu espazioko edozein

tokitan, potentzial txikiagoko posizioetara

mugituko da.

Page 13: 1.elektrostatikaren oinarriak

Energia ElektrostatikoaZein da karga banaketa baten energia? Kargak beraien artean infinituki urrun dauden posiziotik karga banaketa (kargak elkartzeko) egin beharreko lana.Izan bitez hiru karga eta suposa dezagun banan-banan hurbiltzen ditugula:

1q

2q

3q

1,2r

2,3r

1,3r

Lehenengo karga hurbiltzeko lanik ez: W1=0

Bigarren karga hurbiltzeko: 12 2 2 2 2

1,2p

qW E q V q k

r

Hirugarren karga hurbiltzeko: 1 23 3 3 1,3 3 2,3 3 3

1,3 2,3p

q qW E q V q V q k q k

r r

U energia elektrostatiko totala: U = W1 + W2 + W3

1 3 2 31 22 3

1,2 1,3 2,3p p

q q q qq qU E E k k k

r r r kargak ekarri diren

ordenaren independentea

Berridatziz…

1 3 2 3 1 3 2 31 2 1 2

1,2 1,3 2,3 1,2 1,3 2,3

1

2

q q q q q q q qq q q qU k k k k k k

r r r r r r

3 32 1 1 21 2 3

1,2 1,3 1,2 2,3 1,3 2,3

1

2

q qq q q qkq kq kq

r r r r r r

1 1 2 2 3 3

1

2q V q V q V

Page 14: 1.elektrostatikaren oinarriak

Energia elektrostatikoa

1 1 2 2 3 3

1

2q V q V q V U

non V1: beste kargek q1-en posizioan sortutako potentziala den V2: beste kargek q2-en posizioan sortutako potentziala den V3: beste kargek q3-en posizioan sortutako potentziala den

N karga puntualentzat orokortuz…

1

1

2

N

i ii

U qV

Karga banaketa jarraitu batentzat orokortuz…

1

2 solidoU Vdq

Page 15: 1.elektrostatikaren oinarriak

Dipolo elektrikoa eremu elektriko bateanDipolo elektrikoa: bi karga berdinek baina aurkako zeinukoak (q eta –q) osatzen duten sistema.

: momentu dipolarra eta

O

+q

-q

r

r

F

F

p

E eremuaren barruan sartzean bi indar agertu 1F = qE

2F = -qE

Beraz, E–k indar-momentu bat eragingo du:

2 2O

r rM r F r F r F r qE p E

F F

Dipoloa d angelua biratzen duenean Lana egingo du.

O pdW M d pEsin d dE

cospE pE p E

Beraz, dipoloa orientatzeko behar den energia, orientazio-energia: