UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS

CÁLCULO INTEGRAL

PRIMER EXAMEN FINAL COLEGIADO

TIPO “B” 14 de junio del 2006 Semestre 2006-2

INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 7 reactivos que componen el examen antes

de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2.5 horas. 1. Sea la función � � 2 1f x x � definida en el intervalo > @,a0 . Determinar a \�� si el

valor medio de f en el intervalo > @,a0 es 4 .

15 puntos 2. Realizar,

a) � �� �2 x cosh x dx³ b) 2 4 5x

dxx x� �³ c)

3

2 31x dx

x x��³

18 puntos 3. Determinar k \� para que se cumpla la igualdad

0

4 1xk e dxf

� ³

10 puntos

1EFB06-2 4. Calcular, si existe ,

� �4

0 2 x

xlím sen x

�o

15 puntos

5. Calcular el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar la

región limitada por las curvas de ecuaciones 2x

y e , 0x , 0y , 5 0x ln�

alrededor del eje de las abscisas.

10 puntos 6. Sea la función

� � � �2, 1f x y x y � �

a) Determinar el dominio y el recorrido de f . b) Representar gráficamente el dominio de f en el plano cartesiano. c) Determinar las ecuaciones de las curvas de nivel de f para 0z , 1z

y graficarlas.

17 puntos 7. Sea � �, 4 3f a b i j� � . Obtener, en cada caso, un vector unitario tal que el valor

de la ( , )uD f a b sea :

a) cero, b) máximo y c) mínimo.

15 puntos