1

MAESTRA EN SISTEMAS DE

CONTROL Y AUTOMATIZACIN

MODULO DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Por: MARCELO ROMN V.

Julio 2015

2

CONTENIDOS:

Introduccin a las Ecuaciones Diferenciales

Mtodos clsicos de Resolucin de las EDO

EDO Lineales de Orden Superior

Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

Marcelo Romn V.

3

Qu es una ecuacin diferencial?

21.0)( xexy 21.02.0 xex

dx

dy

yxdx

dy 2.0

Imaginemos que nos dan directamente esta ecuacin.

Intentaremos contestar preguntas del tipo:

Qu funcin representa y(x)?

Cmo se resuelve semejante ecuacin?

Ejemplo de

ecuacin

diferencial

Funcin diferenciable en

(-, ). Su derivada es:

Introduccin a las Ecuaciones Diferenciales

Marcelo Romn V.

4

Qu es una ecuacin diferencial (ED)?

Es una ecuacin que contiene las derivadas de una

o ms variables dependientes, con respecto a una

o ms variables independientes.

Las EDs se clasifican por tipo, orden y linealidad.

yxdx

dy 2.0

variable dependiente

variable independiente

Marcelo Romn V.

5

Ecuacin diferencial ordinaria (EDO): Una ecuacin que contiene slo derivadas ordinarias

de una o ms variables dependientes de una sola

variable independiente.

Ejemplo de EDO:

Una EDO puede contener ms de una variable

dependiente:

Clasificacin por tipo:

5 ey dx

dy x

yx dt

dy

dt

dx 2

Marcelo Romn V.

6

t

u

t

u

x

u

y

u

x

u

2 0

2

2

2

2

2

2

2

2

Ecuacin diferencial parcial (EDP):

Una ecuacin que contiene derivadas parciales de

una o ms variables dependientes de dos o ms

variables independientes.

Ejemplos:

Marcelo Romn V.

7

Notacin de Leibniz: dy/dx, d2y/ dx2,... Notacin con primas: y', y'', y''' y(n),... Notacin de Newton: Notacin de subndice: ux , uy , uxx , uyy , uxy ,

En la notacin de Leibniz localizamos rpidamente cul

es la variable dependiente y la independiente:

Notaciones

...,,,......

xxx

5 ey dx

dy xMarcelo Romn V.

8

xeydx

dy

dx

yd

45

3

2

2

Clasificacin segn el orden:

El orden de una ecuacin diferencial (ya sea EDO o

EDP) es el orden mayor de la derivadas

involucradas en la ecuacin.

Ejemplo: Segundo orden Primer orden

Luego, es una EDO de segundo orden.

Marcelo Romn V.

9

Nota: A veces escribiremos las EDOs en forma diferencial

0),(),( dyyxNdxyxM

Por ejemplo, supongamos que y es la variable dependiente

y x la independiente en la EDO en forma diferencial:

0'4

'

04)(

xyxy

dx

dyy

xdydxxy

Marcelo Romn V.

10

Forma general de orden n de una EDO: Forma normal de orden n de una EDO: Por ejemplo, las formas general y normal de la EDO son respectivamente:

0) , ,' , ,(

variables2

)(

n

nyyyxF

) , ,' , ,(

variables1

)1(

n

n

n

n

yyyxfdx

yd

f(x, y)x (x y)/y

x y)/ y - (x )F(x, y, y

4

04

x, y xy 4

Marcelo Romn V.

11

Grado

El grado de una ecuacin diferencial es el grado

algebraico de su derivada de mayor orden. Es decir,

el grado de una ecuacin diferencial es la potencia a la

que esta elevada la derivada que nos da el orden de la

ecuacin diferencial.

Ejemplo:

La siguiente ecuacin

diferencial:

es de primer grado, dado que la segunda derivada, que

nos da el orden de la EDO, est elevada a uno.

xeydx

dy

dx

yd

45

3

2

2

Marcelo Romn V.

12

Ejercicios

Determinar el grado de las siguientes ecuaciones:

a)

b)

735 25

2

22

4

4

x

dx

dy

dx

yd

dx

yd

3

2

22

6

2

2

7

dx

ydx

dx

dyx

dx

yd

NOTA: cuando alguna derivada est dentro de un radical o en polinomio,

que a su vez est elevado a una potencia fraccionaria, tendremos que

eliminar dicho radical para determinar el grado de la ecuacin diferencial.

17 2 xdx

dy3

2

2

dx

dyx

dx

yd

Marcelo Romn V.

13

Ejercicios

Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones

diferenciales:

a) b)

c)

d)

ydx

dyx

dx

yd53

3

3

5

3

33

3

3

818

dx

ydx

dx

yd

dx

dy

dx

dyx

dx

yd85

3

3

53

3

2

2

3dx

ydx

dx

yd

Marcelo Romn V.

14

Clasificacin segn la linealidad:

Se dice que una EDO de orden n es lineal si F

(en la forma general) es lineal en y, y, y, , y(n).

)()()()()( 011

1

1 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n

0)()()()()( 011

1

1

xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n

O bien:

)()()()( 012

2

2 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

)()()( 01 xgyxadx

dyxa Dos casos importantes

para nosotros sern

las EDOs lineales de

primer y segundo

orden. Marcelo Romn V.

15

Lineal homognea:

El trmino independiente g(x) es nulo.

Lineal con coeficientes constantes:

Los coeficientes a0(x),...,an(x) son constantes.

Lineal con coeficientes variables:

Enfatiza el hecho de que al menos uno de los

coeficientes a0(x),...,an(x) NO es constante.

)()()()()( 011

1

1 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n

Marcelo Romn V.

16

xeyyy 2')1(0siny

2

2

dx

yd

024

4

ydx

yd

Si no es lineal, es no lineal :-) Ejemplos de EDOs no lineales:

El coeficiente depende de y.

Funcin no lineal de y.

En una EDO lineal de orden n:

1) y, y, y, , y(n) son de primer grado. 2) Coeficientes a0, a1, , dependen solo de la variable independiente x.

)()()()()( 011

1

1 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n

Marcelo Romn V.

17

Ejemplos: Lineales o no lineales?

1)

2)

3)

4)

5)

6)

)(1

)(1)(

tVRC

tvRCdt

tdvs

)( TTKdt

dTa

0 mgsenklml

y

yxx

dx

dy22

1)sin(' 223 xyxyxy

0y'y)y1(''y 2

)()()()()( 011

1

1 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n

Marcelo Romn V.

18

Comprobar que la funcin indicada es la solucin de

la EDO dada en el intervalo (-, ):

(a) dy/dx = xy1/2. Solucin: y = x4/16.

Solucin: Existe la derivada dy/dx = x3/4 para todo x de (-, ).

(a) Lado izquierdo :

Lado derecho:

4164

33 xx

dx

dy

4416

322/142/1 xxx

xxxy

Ejemplo: comprobacin de una solucin.

Y la igualdad se cumple para todo x de (-, ).

Marcelo Romn V.

19

Solucin:

(b) Derivando la solucin dos veces:

y' = xex + ex

y'' = xex + 2ex :

Ntese que y(x) = 0 tambin es solucin tanto de este ejemplo como del anterior en el intervalo (-, ).

Se conoce como solucin trivial.

xxeyyyy ;02

0)(2)2(2 xxxxx xeexeexeyyy

dem, para (b)

Marcelo Romn V.

20

Solucin de una EDO

Cualquier funcin , definida en un intervalo I y con al menos n derivadas continuas en I, que al sustituirse en una ecuacin diferencial ordinaria de n-simo orden reduce la ecuacin a una identidad, se considera solucin de la ecuacin en el intervalo.

Siempre hemos de considerar una solucin junto a su intervalo I de

definicin, tambin llamado intervalo de existencia, de validez o

dominio de definicin.

Al proceso de obtencin de las soluciones de una EDO se le

denomina integracin de la ecuacin.

En otras palabras, posee al menos n derivadas y cumple:

IxxxxxF n 0))( , ),(' ),( ,( )(

Marcelo Romn V.

21

Una EDO puede tener:

Infinitas soluciones:

Una nica solucin:

Ninguna solucin:

tCexyxyy sin)(;cos'

0)(;0)'( 22 xyyy

0)'( 22 xy

Marcelo Romn V.

22

Ejemplo

Comprobar que la y = x2 + C no es solucin de la ecuacin

diferencial:

xdx

dy

xdx

dy2

Sustituyendo el valor de la derivada encontrada en la

ecuacin diferencial tenemos:

Por lo tanto y = x2 + C no es solucin de la ecuacin

diferencial

12

2

xx

xdx

dy

Solucin

Derivando y = x2 + C tenemos

Marcelo Romn V.

23

Ejercicios Determine si cada ecuacin es solucin o no de

la ecuacin diferencial dada:

yxdx

dyxCxxy

22 ;

025);5cos()5(2

2

ydx

ydxBxAseny

084; 23

2

y

dx

dyxy

dx

dyCxCy

2412 ''; yxxyyCxCy

senxysenxdx

dysenyCye x

cos;cos1cos

3

2

225 1606;38 x

dx

ydCxxy

Marcelo Romn V.

24

Ejemplo: Hagmoslo a la inversa.

Encuentre la ED cuya solucin general es y = x2 + C.

Solucin

Observemos que slo aparece una constante de integracin,

de manera que derivamos una sola vez la solucin general

y = x2 + C. As

Como en esta derivada no aparecen constantes de

integracin, quiere decir que esta es la ED de la solucin

general propuesta.

xdx

dy2

Marcelo Romn V.

25

Ejemplo

Encuentre la ED cuya solucin general es y = C x2.

Cxdx

dy2

xx

y

dx

dy

222x

yC

Por lo tanto:

es la ED de la solucin general, puesto que ya no

aparecen constantes de integracin.

x

y

dx

dy 2

Solucin

Observemos que slo aparece una constante de

integracin, de manera que derivamos una sola vez la

solucin general y = C x2. As

Despejamos C de la solucin general y se sustituye el valor

encontrado en la ED.

Marcelo Romn V.

26

Ejercicios Encuentra la ED de cada una de las siguientes

soluciones generales:

xx eCeCy 21

)3tan( Cxy

2222

1 CyCx

Marcelo Romn V.

27

(a) y = 1/x considerada como una funcin, tiene dominio de definicin (-, 0) U (0, ).

Es discontinua y no diferenciable en x = 0.

(b) y = 1/x es tambin solucin de xy + y = 0. Se entiende que es solucin en algn intervalo I en el que es diferenciable y cumple la EDO. Por ejemplo, en (0, ).

La grfica de una solucin de una EDO se llama curva solucin.

Como es una funcin diferenciable, es continua en su

intervalo de definicin I. Puede,

entonces, haber diferencias entre la

grfica de la funcin y la solucin.

Veamos un ejemplo:

Funcin vs solucin

Marcelo Romn V.

28

Solucin explcita de una EDO:

La variable dependiente est expresada solamente en trminos de variables independientes y constantes.

Por ejemplo, la solucin de xy' + y = 0 en (0, ) es y = (x) = 1/x.

Solucin implcita de una EDO

Una relacin G(x,y) = 0 es una solucin implcita de una EDO en un intervalo I, siempre que exista al menos una funcin y = (x) que satisface tanto la relacin como la ED en I.

Veamos un ejemplo Marcelo Romn V.

29

x2 + y2 = 25 es una solucin implcita de dy/dx = x/y en el intervalo

-5 < x < 5; puesto que al derivar de forma implcita respecto a x:

dx2/dx + dy2/dx = (d/dx)(25), 2x + 2y(dy/dx) = 0;

obtenemos la EDO: dy/dx = -x/y. Despejando y de la solucin implcita podemos encontrar dos soluciones explcitas:

Ejemplo: Comprobacin de una solucin implcita.

Marcelo Romn V.

30

Familia de soluciones o solucin general:

Al resolver una EDO de primer orden F(x, y, y') = 0, en general, se obtiene una solucin que contiene una constante arbitraria o parmetro c. Una solucin as, G(x, y, c) = 0 representa en realidad a un conjunto de soluciones, llamado familia uniparamtrica de soluciones.

Cuando se resuelve una ED de orden n, se busca una familia n-paramtrica de soluciones

G(x, y, c1, c2, , cn) = 0.

Observemos que el nmero de constantes arbitrarias en la solucin general est

determinado por el orden de la EDO. Marcelo Romn V.

31

Solucin particular: es una solucin libre de

parmetros arbitrarios.

Por ejemplo : y = cx x cos x es la solucin general de xy y = x2 sin x en (-, ); una familia uniparamtrica de soluciones.

Tomando c = 0, tenemos: y = x cos x, una solucin

particular.

Marcelo Romn V.

32

Ejemplo: Sin explicitarlo, hemos visto que las variables independientes y dependientes pueden usar smbolos distintos a x e y. Por ejemplo:

x = c1cos(4t)

x = c2 sen(4t)

con c1 y c2 constantes o parmetros arbitrarios, son ambas soluciones de la EDO:

x + 16x = 0.

Podemos comprobar fcilmente que la suma

x = c1cos 4t + c2 sin 4t

es tambin una solucin.

Marcelo Romn V.

33

Podemos comprobar que la familia uniparamtrica y = cx4

es una solucin de xy 4y = 0 en (-, ).

La funcin definida a trozos: es una solucin particular donde elegimos c = 1 para x < 0

y c = 1 para x 0.

0 ,

0 ,

4

4

xx

xxy

Ejemplo: solucin definida por partes.

Marcelo Romn V.

34

Solucin singular: Una solucin que no puede obtenerse al especificar los valores de los parmetros de la familia de soluciones.

Por ejemplo: y = (x2/4 + c)2 es la familia de soluciones de dy/dx = xy1/2 , sin embargo

y(x) = 0 tambin es una solucin de la ED anterior.

No podemos encontrar ningn valor de c en la familia de soluciones y = (x2/4 + c)2 que nos proporcione la solucin y = 0, as que llamamos a y = 0, solucin singular.

Marcelo Romn V.

35

Sistema de EDOs: dos o ms ecuaciones con las derivadas de dos o ms funciones desconocidas de una sola variable independiente.

Ejemplo de sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden:

dx/dt = f(t, x, y) dy/dt = g(t, x, y)

Marcelo Romn V.

36

Problemas de valores iniciales (PVI)

Encontrar la solucin y(x) de una ED que adems satisfaga condiciones adicionales

en y(x) y en sus derivadas. Ejemplo: en un intervalo I que contiene a xo Resolver con condiciones

A esto se le llama problema de valor inicial.

Y a las condiciones se las llama: condiciones iniciales.

) , ,' , ,( )1( nn

n

yyyxfdx

yd

10)1(

1000 )( , ,)(' ,)( n

n yxyyxyyxy

Marcelo Romn V.

37

Resolver:

sujeta a:

Resolver:

sujeta a:

00)( :

) ,( :

yxytosubject

yxfdx

dysolve

1000

2

2

)(' ,)( :

)' , ,( :

yxyyxytosubject

yyxfdx

ydsolve

PVIs de primer y segundo orden:

son problemas de valor inicial

de primer y segundo orden,

respectivamente. Fcilmente

interpretables de manera

geomtrica, como vemos en

las figuras. Marcelo Romn V.

38

Ejemplo:

Sabemos que y = cex es una familia uniparamtrica de soluciones de la EDO:

y = y en (-, ).

Si y(0) = 3, entonces

3 = ce0 = c. As y = 3ex es una

solucin de este problema de valor inicial. Si queremos una solucin que pase por (1, -2), entonces la condicin es: y(1) = -2. De modo que -2 = ce,

c = -2e-1. Y tenemos y = -(2/e)ex.

y = 3ex

y = -(2/e)ex

Marcelo Romn V.

39

Ejemplo: vimos que x = c1cos(4t) + c2sen(4t) era una solucin de x + 16x = 0.

Hallar una solucin del siguiente PVI: x + 16x = 0, x( /2) = 2, x( /2) = 1.

Solucin:

Sustituimos: x( /2) = 2 en

x = c1cos(4t) + c2sen(4t),

y obtenemos c1 = 2.

De la misma manera, a partir de x( / 2) = 1 obtenemos c2 = . La solucin pedida es:

x = 2 cos 4t + sen 4t Marcelo Romn V.

40

Ejemplo: la solucin de y + 2xy2 = 0 es y = 1/(x2 + c). Si imponemos y(0) = -1, obtenemos c = -1.

Considrense las siguientes distinciones:

1) Como funcin, el dominio de y = 1/(x2 - 1)

es el conjunto de todos los nmeros reales

excepto -1 y 1.

2) Como una solucin: los intervalos de definicin

mayores posibles son (-, 1),

(-1, 1) y (1, ).

3) Como un problema de valor inicial, con

y(0) = -1. El intervalo de definicin mayor es (-1, 1). Marcelo Romn V.

41

Existencia y unicidad: Existe siempre una solucin para un problema de

valor inicial (PVI)? Y si existe una solucin, es nica?

Ejemplo: Ya que y = x4/16 e y = 0 satisfacen la ED dy/dx = xy1/2 , y tambin el valor inicial y(0) = 0, esta ED

tiene al menos dos soluciones:

Marcelo Romn V.

42

Teorema de existencia de una solucin nica

Sea R la regin rectangular en

el plano xy definida por

a x b, c y d que

contiene el punto (xo, yo) en su

interior. Si f(x, y) y f/y son

continuas en R, entonces

existe algn intervalo Io:

xo- h < x < xo + h, h > 0,

contenido en a x b y una

funcin nica y(x) definida en

Io que es una solucin del PVI .

Las condiciones del teorema son suficientes, pero no necesarias...

),(' yxfy

Marcelo Romn V.

43

muestra que son continuas en el semiplano superior y > 0. Basndonos en el teorema de existencia de una solucin nica, concluimos que para cada punto (xo, yo), con yo > 0, existe un intervalo centrado en xo en el que esta ED tiene una solucin nica.

2/1

2/1

2y ) ,(

y

x

y

fxyyxf

Vimos que dy/dx = xy1/2 , tena como soluciones a

y = x4/16 e y = 0. La inspeccin de las funciones:

Marcelo Romn V.

44

Intervalo de existencia y unicidad

Suponiendo que y(x) es una solucin de un PVI, los siguientes conjuntos pueden no ser los mismos:

o el dominio de y(x),

o el intervalo de definicin de y(x) como solucin,

o el intervalo Io de existencia y unicidad.

Marcelo Romn V.

45

Bibliografa principal:

Ecuaciones diferenciales Dennis G. Zill y Michael R. Cullen

Matemticas avanzadas para ingeniera, vol. 1 Dennis G. Zill

Ed. Thomson Paraninfo, 2006, Tercera edicin

Marcelo Romn V.