1_Cinematica

1. Cinemtica de mecanismos con movimiento plano-paralelo

A. Mansilla, G. Manso, L. del Val. rea de Ing. Mecnica. EII. UVA.

TECNOLOGA DE MQUINAS. Tema 1: Cinemtica. 1

ndice

Estudio cinemtico a partir de las ecuaciones de enlace geomtricas.

Redundancia y configuraciones singulares.

Estudio cinemtico a partir de las ecuaciones de enlace cinemticas.

Movimiento plano.

Centro instantneo de rotacin.

A. Mansilla, G. Manso, L. del Val.

rea de Ing. Mecnica. EII. UVA.


Estudio cinemtico a partir de ec. de enlace geomtricas.

Posicin: Conocidos los valores de las coordenadas independientes y del tiempo, se calcula el conjunto de valores de las coordenadas generalizadas que satisface todas las ecuaciones de enlace geomtricas. (se calculan las diferentes posiciones del mecanismo a lo largo del tiempo).

Velocidades: Se determinan los valores de las velocidades generalizadas del mecanismo en una configuracin, conocidas las velocidades generalizadas independientes y el tiempo. Posteriormente se puede calcular las velocidades de todos los miembros del mecanismo.

Aceleraciones: Se calcula el valor de las derivadas de las velocidades generalizadas del mecanismo en una configuracin, dados los valores de las velocidades generalizadas independientes y de sus derivadas y del tiempo. Posteriormente se puede encontrar la distribucin de aceleraciones de todos los eslabones del mecanismo.





Anlisis de velocidades.

Se deriva respecto al tiempo el sistema de ecuaciones de enlace

geomtricas f(q,t) y se obtiene un sistema de ecuaciones lineales para las velocidades generalizadas:

0q 0t

qq

)t,q(dt

dtq

ff

fff

t

)t,q(

t

)t,q(

q

)t,q(

q

)t,q(

q

)t,q(

q

)t,q(

)t,q(

)t,q(

t,q

mg

1

t

n

mg

1

mg

n

11

q

mg

11

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f





Anlisis de velocidades.

El sistema tiene tantas variables como velocidades generalizadas (n) y tantas ecuaciones como ecuaciones de enlace cinemticas (mc).

Para resolverlo se hace una particin del conjunto de velocidades generalizadas en independientes (tantas como grados de libertad) y dependientes:

iiqt1d

q

d

t

ii

q

dd

qti

di

q

d

q

qq

qq q

q

fff

ffffff





Posicin:




X

Y

L1

L3

a3

L2

a1

a2

0senLsenLsenL

0cosLcosLcosL

3322112

3322111

aaaf

aaaf

)L,,(q

),( con 0)q(

321

21

aa

ffff

32211

32211

q

3

2

2

2

1

2

3

1

2

1

1

1

q

sencosLcosL

cossenLsenL

L

L

aaa

aaaf

f

a

f

a

f

f

a

f

a

f

f

Matriz Jacobiana:


Se calculan las velocidades generalizadas dependientes:




dq

iq

322

322

11

11

qsencosL

cossenL

cosL

senL

ff

aa

aa

a

af

Suponiendo a1 como coordenada independiente:

X

Y

L1

L3

a3

L2

a1

a2

1

11

11

1

322

322

3

2d

cosL

senL

0

0

sencosL

cossenL

Lq a

a

a

aa

aaa

SliderCrank.wm2d


Anlisis de aceleraciones.

Se vuelve a derivar respecto del tiempo la primera derivada del las ecuaciones de enlace geomtricas:

tqqtqq

tq

qq0qq

0qdt

d

ffffff

ff

tq

ii

q

1d

q

d

tq

ii

q

dd

qtqi

di

q

d

q

qqq

qqqqq

q

ffff

ffffffff




Haciendo una particin en aceleraciones generalizadas independientes y dependientes:


Se calculan las aceleraciones:




0senLsenL

0cosLcosL

222111

222111

qaaaa

aaaaf

Se calculan los trminos desconocidos en la expresin de las aceleraciones:

X

Y

L1

L3

a3

L2

a1

a2

3

2

1

222111

222111

1

11

11

1

322

322

3

2d

L0senLsenL

0cosLcosL

cosL

senL

sencosL

cossenL

Lq

a

a

aaaa

aaaaa

a

a

aa

aaa

SliderCrank.wm2d

Singularidades Redundancias y bifurcaciones:

Deficiencia en el rango de la matriz jacobiana (rango por filas < n de ecuaciones). No se pueden resolver los sistemas de velocidades y aceleraciones.

Puntos muertos (1 gdl y sin ec. de gobierno): Para mecanismos con 1 gdl sin ec. de gobierno:

Puesto que en un punto muerto para una coord. generalizada su derivada es nula, si se toma esta como independiente:

Para que la solucin sea diferente de la trivial el determinante de la matriz jacobiana ha de ser necesariamente nulo.

0qq0q

q iiq

dd

qi

di

q

d

q

ffff

0det0qsi0q0q dqdddqiiq fff




Singularidades Determinacin de puntos muertos para una

coordenada generalizada:

Se considera la coordenada generalizada como coordenada independiente.

Se resuelve el sistema de ecuaciones no lineales:

La configuraciones encontradas sern:

Puntos muertos si no hacen que la matriz jacobiana sea deficiente de rango.

Redundancia o bifurcacin en el caso contrario

0det

0)q(

d

qf

f




Estudio cinemtico a partir de ec. de enlace cinemticas.

Distribucin de velocidades y aceleraciones en un slido rgido:

Velocidad de un punto P conocida la velocidad de un punto O y la velocidad angular del slido:

Aceleracin de un punto P conocida la aceleracin de un punto O y la aceleracin angular del slido:

POvv 0O

0

P

0

PO)PO(aa 000O

0

P

0

a





Cuando existe composicin de movimientos:

Velocidad:

Aceleracin:

Derivacin de un vector cualquiera u cuando se conoce respecto al sistema de referencia mvil:

1A

0

A

1

A

0ARRRELAB vvvvvv

A

1

1S

0

1A

0

A

1

A

0CORARRRELAB v2aaa aaaa




udt

ud

dt

ud S

10

10

0

1

A

QuickReturnWithKnife.wm2d


Condiciones cinemticas impuestas por los enlaces:

Articulaciones:

Gua-corredera:

Gua-corredera articulada:

2A

0

1A

0

2A

0

1A

0

aa

vv




2S

0

1S

0

2A

1

1S

0

1A

0

2A

1

2A

0

2S

0

1

0

1A

0

2A

1

2A

0

v2aaa

vvv

aa

2A

1

1S

0

1A

0

2A

1

2A

0

1A

0

2A

1

2A

0

v2aaa

vvv



Condiciones cinemticas impuestas por los enlaces:

Rodadura:

Con deslizamiento:

Sin deslizamiento:

Contacto puntual:

n

2J

0n

1J

0 vv




JG

2

S1

2

2J

1

1J

2

2J

0

1J

0

v aa

vv

ntodeslizamie

2J

0

1J

0 vvv

Movimiento plano

Todos los puntos del mecanismo describen trayectorias que se encuentran en planos paralelos entre s.

Para su estudio es usual: Plantear las ecuaciones de enlace a partir de la

condicin de cierre de los anillos.

Tomar como velocidades generalizadas las velocidades angulares de los eslabones y las velocidades de deslizamiento de las correderas respecto de las guas.

A partir de las velocidades generalizadas se puede obtener la velocidad de cualquier punto del mecanismo.




Ejemplo. Mecanismo de 4 eslabones

Datos:

Incgnitas:

Velocidades:

Sistema lineal de 2 ecuaciones con 2 incgnitas:

1S

0

1S

0 , a

QRv

QPPOQPvv

3S

0

Q

0

2S

0

1S

0

2S

0

P

0

Q

0




3S

0

2S

0

3S

0

2S

0 , , , aa

QRQPPO 3S02S

0

1S

0

FourBarVariableBase.wm2d


Datos:

Incgnitas:

Aceleraciones:

Sistema lineal de 2 ecuaciones con 2 incgnitas:

1S

0

1S

0 , a

QR)QR(a

QP)QP(PO)PO(QP)QP(aa

3S

0

3S

0

3S

0

Q

0

2S

0

2S

0

2S

0

1S

0

1S

0

1S

0

2S

0

2S

0

2S

0

P

0

Q

0

a

aaa




3S

0

2S

0

3S

0

2S

0 , , , aa

QR)QR(QP)QP(PO)PO( 3S03S

0

3S

0

2S

0

2S

0

2S

0

1S

0

1S

0

1

0

aaa

FourBarVariableBase.wm2d


Datos:

Incgnitas:

Velocidades:

2 ecuaciones y 2 incgnitas:

1S

0

1S

0 , a

OA a paralela v

OAvvvv

1A

2

2S

0

1A

2

2A

0

1A

2

1A

0




.desliz

2S

0.desliz

2S

0 a , ,v ,

a

2S

0.desliz

1A

2 y v v

O



Datos:

Incgnitas:

Aceleraciones:

2 ecuaciones y 2 incgnitas:

1S

0

1S

0 , a

OA a paralela a

v2OA)OA(aa

aaaa

t

1A

2

1A

2

2S

0

2S

0

2S

0

2S

0t

1A

2

1A

0

cor

2A

0

1A

2

1A

0

a




.desliz

2S

0.desliz

2S

0 a , ,v ,

a

2S

0.deslizt

1A

2 y a a a

O



Punto del slido (con movimiento plano) con velocidad nula en un instante dado.

Conocida la velocidad de un punto O de un slido y su velocidad angular , se puede encontrar un punto I con velocidad nula.

1S

0

O

0

1S

0

1S

0

O

0

1S

0

O

0

I

0

vIO

IO siendo IOv

0OIvv




Centro instantneo de rotacin. Determinacin de centros instantneos de rotacin:




Centro instantneo de rotacin. Centro instantneo de rotacin absoluto y relativo.

CIR absoluto: definido respecto a la referencia en estudio.

CIR relativo: definido respecto a referencias solidarias a cada uno de los eslabones del mecanismo.

Si se dispone de 2 miembros el CIR relativo I21 (punto de 2 con velocidad nula respecto de 1) coincide con I12 (punto de 1 con velocidad nula respecto de 2).

El primer trmino es nulo por la condicin de slido rgido del miembro 2, y los trminos segundo y tercero por definicin de centro instantneo de rotacin.

211221121S

2

0

I

2

0

I

1

0

I

2 II 0IIvvv122121





La velocidad de I21 coincide con I12 en cualquier referencia.

El nmero de CIR total de un mecanismo es el de las combinaciones del nmero de eslabones mviles + 1 (debido a las conexiones con la bancada), tomadas de 2 en 2.

1221122121

00

0

2112

1

00

0

10 IISIII vvIIvvv

!2

n)1n(C 2 1n




Centro instantneo de rotacin. Teorema de los tres centros o de Aronhold-Kennedy.

2312

2

1

I

1

I

1 IIvv1223

0v donde IIvv 121223I

12312

2S

1

I

1

I

1




Dados tres slidos, con movimiento plano, los tres centros instantneos de rotacin existentes entre ellos (I12, I13, I23) estn sobre la misma lnea.

Calculamos la velocidad de I23 respecto a la referencia fija en 1.

Como punto del slido 2:

Como punto del slido 3:

Igualando ambas expresiones:

0v donde IIvv 131323I

12313

3S

1

I

1

I

1

elossean paral II y II IIII 2313231223133S

12312

2S

1

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