Problemes de Matemàtiques

1r BATXILLERAT HUMANITATS I CIÈNCIES SOCIALS

Seminari de Matemàtiques I.E.S. Escultor en Francesc Badia. Foios

Curs 08/09

ALGEBRA

1. ilizando el método de Gauss, resuelve los siguient as de ecuaciones:

a) b)

Ut es sistem

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=−+=−+

=−−

532

1532

1

zyx

zyx

zyx

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+−=−+−=+−

623

332

232

zyx

zyx

zyx

c)⎪⎭

⎪⎬

⎫

=−−=+−=−−

11218

11152

723

zyx

zyx

zyx

d) e) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−=+

=+−

13

2

132

yx

zx

zyx

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=++=++−

=+−

75

33

22

zyx

zyx

zyx

f) ⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+=−=+

042

13

52

yx

yx

yx

g)

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=−

−=+=+−

0323

12

02

yx

yx

yx

h) ⎩⎨⎧

=−+=−+

1242

32

zyx

zyx i)

⎩⎨⎧

−=+−=++

12

32

zyx

zyx

( Solución: a)(6,2,3); b)(2,-1,-2); c) Incompatible; d) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −− λλλ ,

311,2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −− λλλ ,

23

25,

27

29 h) incompatible i) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −− λλλ ,

51

57,

53

51 e) f) incompatible g)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

51

,52

2. Se mezclan tres clases de vino de las siguientes formas: a) 5 litros de la clase A, 6 de la clase B y 3 de la C, resultando una mezcla de 1,20 € el litro

y 6 de la clase C, resultando el vino a 1,11€ el litro

c) 3 litros de la clase A, 6 de la B y 6 de la C, resultando un vino de 1,16€ el litro.

€/l; 1€/l)

3. Una compañía tiene tres camiones (P, Q, R) en los que caben exactamente un cierto número de contenedores de tres tipo A y C), de acuerdo con la tabla siguiente:

b) Un litro de la clase A, 3 litros de la clase B

Hallar el precio por litro de cada clase de vino (solución:1,20€/l; 1,30

s ( , B

A B C

P 5 3 4

Q 2 5 5

R 4 3 6

2

Si se han de transportar 45 contenedores del tipo A, 44 del tipo B y 58 del tipo del C,¿cuántos viajes ha de hacer cada camión si todos los viajes se hacen totalmente llenos?

s suministradores diferentes que lo venden a 27,28 y 31 dólares el barril, respectivamente. La factura total asciende a 16 millones de dólares. Si del primer¿Cuál es la cantidad comprada a cada suministrador?

5. Un cajero automático contiene 95 billetes el número de billetes de 10 euros es el doble del número de billetes de 20 euros, calcula

na cuarta parte de los matriculados en la primera. Además la diferencia entre los matriculadomatriculados en la segunda es inferior en dos unidades al doble de los matriculados en latercera. ¿Cuántos alumnos hay matriculados en cada autoescuela?

(Solución: 200, 102 y 50)

o, al ser menos recientes, se vendieron con descuentos del 30% y del 40%, respectivamente. Sabemos que el número de discos vendidos con descuento fue

mitad de los discos que se vendieron a su precio original. ¿cuántos discos de cada grupo se vendieron?

(Solución: 400, 120 y 80)

8. exponencia

(Solución: el camión P ha de hacer 5 viajes, el Q 4 viajes i el R 3 viajes)

4. Un estado compra 540000 barriles de petróleo a tre

administrador recibe el 30% del petróleo comprado

(solución:162.000 dólares ,30.666,66 dólares, 347.333,33 dólares)

de 10, 20 y 50 euros y un total de 2000 euros. Si

cuántos billetes hay de cada tipo. (Solución: 50 de 10 euros, 25 de 20 euros i 20 de 50 euros)

6. Una autoescuela tiene abiertas tres sucursales en una ciudad. El número total de matriculados es 352, pero los matriculados en la tercera sólo son u

s en la primera y los

7. Una tienda de música ha obtenido unos ingresos de 12768 € al vender 600 discos compactos de tres grupos musicales. Los discos se vendían a 24 €; sin embargo, los del segundo y tercer grup

la

Resuelve las siguien ecuacionetes s les y logarítmicas:

a) 8 b) 122 1 =+x 2 57x = c)2

8x 2x− 18

= d) log 4x = e) ( ) 65,02,0 =− x 100− e85

f) 22log 2x = g) ( )3log 2 1x + = 1− h)

21

5log =x i)

2

(solución: a)6;b)5,83;c) 1; d) 10000; e)0,85; f) 2; g)

15log −=x

j) ( ) 05 21 =+− + xe 65,10

13

− )h) 25 i) 251 j) -0,78

3

ESTADÍSTICA: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES

9. El consumo de energía “per cápita” en miles de euros de seis países de la U.E. son los siguientes:

ALEMANIA BELGICA DINAMARCA ESPAÑA FRANCIA ITALIA

CONSUMO 5’7 5’0 5’1 2’7 4’6 3’1

RENTA 11’1 8’5 11’3 4’5 9’9 6’5

a) Calcula la recta de regresión del consumo de energía (X) sobre la renta (Y). b) Indica el coeficiente de correlación entre el consumo y la renta. c) ¿Qué predicción podemos hacer sobre el consumo de energía “per cápita” de Grecia si

su renta es de 4’4 miles de euros?

(Solución: a) x = 0’41y+0’79 b) 0’93 c) 2’594 miles de kw/h )

10. Se ha solicitado a un grupo de 50 individuos información sobre el número de horas que dedica a dormir y a ver la televisión. La clasificación de las respuestas ha permitido elaborar la siguiente tabla:

Nº horas dormidas X 6 7 8 9 10 Nº horas televisión Y 4 3 3 2 2 Frecuencia absoluta 2 14 25 8

Calcula el coeficiente de correlación lineal. Interpretación. (Sol: -0,846)

PROBABILIDAD. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

11. Sean A y B dos sucesos de un espacio de probabilidad, de manera que: 1,0)P(A 0,3P(B) 4,0)( = ∩= BAP

( ) BAP ∪

= Calcular razonadamente:

a) b) ( )BAP ∪ c) ( )BAP / d) ( )BAP ∩

(Sol: 0,6; 0,9; 1/3; 0,4 )

12. Un examen consiste en elegir al azar dos temas de entre los 10 del programa y desarrollar uno de ellos. Un alumno que se sabe 6 temas:

a) ¿Qué probabilidad tiene de aprobar el examen? b) ¿Qué probabilidad tiene de saberse uno de los temas y el otro no?

(Sol: 0,87; 0,53 )

4

13. Un estudiante realiza dos pruebas el mismo día. La probabilidad de que pase la primera prueba es 0,6. La probabilidad de que pase la segunda es 0,8 y que pase las dos 0,5. Se pide:

a) Probabilidad de que pase al menos una prueba b) Probabilidad que no pase ninguna prueba c) ¿Son sucesos independientes? d) Probabilidad de que pase la segunda prueba si no ha superado la primera.

(Sol: 0,9; 0,1; no; 0,75 )

14. Una urna A contiene 6 bolas blancas y 4 negras. Otra urna B tiene 5 blancas y 9 negras. Elegimos al azar una urna y extraemos dos bolas que resultan ser blancas, ¿cuál es la probabilidad de que la urna elegida sea A?

(Sol: 0,752 )

15. En tres máquinas A, B y C se fabrican piezas del mismo tipo. El porcentaje de piezas que resultan defectuosas en cada máquina, es respectivamente, 1%, 2%, y 3%. Se mezclan 300 piezas, 100 de cada máquina y se elige una pieza al azar, que resulta ser defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido fabricada por la máquina A?

(Sol: 1/6 )

16. Una urna contiene 25 bolas blancas sin marcar, 75 bolas blancas marcadas, 125 bolas negras sin marcar y 175 bolas negras marcadas.

a) Se extrae una bola, ¿cuál es la probabilidad de que sea blanca? b) Se extrae una bola y marcada , ¿cuál es la probabilidad de que sea blanca? c) Se extrae una bola, ¿cuál es la probabilidad de que sea negra y está marcada? d)¿Son independientes los sucesos “sacar bola negra” y “sacar bola blanca”?

(Sol: 1/4; 3/10; 7/16; no )

17. La ciudad A tiene el doble de habitantes que la ciudad B, pero un 30% de ciudadanos de la ciudad B lee literatura, mientras sólo el 10% de ciudadanos de A lee literatura.

a) De un ciudadano sólo sabemos que vive en la ciudad A o en la ciudad B. Calcula de forma razonada la probabilidad de que lea literatura. b) Si se nos presenta un ciudadano que vive en la ciudad A o en la ciudad B, pero del que sabemos que lee literatura, calcula razonadamente la probabilidad de que sea de la ciudad B.

(sol: a) 530 b) 0,6)

18. En una urna A hay 5 bolas numeradas del 1 al 5 y en otra urna B hay 4 bolas numeradas del 6 al 9. Se lanza una moneda; si sale cara, se extrae una bola de la urna A, y si sale cruz, se extrae una bola de la urna B. Calcula la probabilidad de que la bola extraída sea:

a) La que lleva el número 5. b) La que lleva el número 8. c) La que lleva un número par.

(Sol: 1/10 1/8 9/20 )

5

19. Una urna A tiene 3 bolas blancas y 7 negras. Otra urna B tiene 9 bolas blancas y 1 negra. Escogemos una urna al azar y de ella extraemos una bola. Calcula:

a. P(blanca/A) b. P(Blanca/B) c. P(A y blanca) d. P(B y blanca) e. P(blanca)

Sol: a. 0,3 b)0,9 c) 0,15 d)0,45 e)0,75

20. Sean A y B dos sucesos de un espacio de probabilidad, de manera que:

( )43 =∪BAP ( )

32

=BP ( )41

=∩BAP

Calcular razonadamente: a) ( ) AP b) ( )BP c) ( )BAP ∩

Sol: a. 2/3 b. 1/3 c. 1/12

21. Una entidad bancaria concede tres tipos de créditos: hipotecarios, para industria y personales. Se sabe que el 30% de los créditos que concede son hipotecarios, el 50% para la industria y el 20% restante son personales. Han resultado impagados el 20% de los créditos para vivienda, el 25%de los créditos para la industria y el 50% de los créditos para el consumo. Se pide: a. Seleccionado un crédito al azar, calcula la probabilidad de que se pague. b. Un determinado crédito ha resultado impagado , calcula la probabilidad de que sea un

crédito para vivienda

Sol: a. 0,715 b. 0,210

22. Probamos una vacuna contra la gripe en un grupo de 400 personas, de las que 180 son hombres y 220 son mujeres. De las mujeres 25 cogen la gripe y de los hombres 23. Determina las siguientes probabilidades:

a. Que al seleccionar una persona resulte que no tienen la gripe b. Que al seleccionar una persona resulte una mujer que no tiene la gripe c. Que seleccionada una persona que no tiene la gripe, resulte ser un hombre d. Que seleccionada una mujer, resulte no tener gripe.

Sol: a. 0,880 b. 0,487 c. 0,446 d. 0,886

23. Tres aviones disparan simultáneamente sobre un blanco, siendo independientes los disparos de uno y de otro, y siendo la probabilidad de que un avión dispare en el blanco igual a 0,6. Calcula la probabilidad de que el blanco sea destruido.

Sol: a. 0,936

6

24. Al 20% de los alumnos de 2º de bachillerato les gusta el grupo musical A, mientras que al 80% restante no les gusta este grupo. En cambio otro grupo musical B le gusta a la mitad y no a la otra mitad. Hay un 30% de alumnos de 2º de bachillerato al que no le gusta ninguno de los dos grupos. Si se elige un alumno de 2º de bachillerato al azar:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que le gusten los dos grupos? b. ¿cuál es la probabilidad de que le guste alguno de los dos grupos? c. ¿Cuál es la probabilidad de que le guste el grupo B y no el A?

Solución: a. 0 b. 0,70 c. 0,5

25. Se sabe que únicamente el 5% de las personas que asisten a un logopeda son de clase social baja. En un determinado momento se encuentran seis personas en la sala de espera. Hallar:

a) Probabilidad de que ninguno sea de clase social baja b) Probabilidad de que al menos uno sea de clase social baja

(sol: a)0,05; b)0,95)

26. Según un informe de la OCDE en el año 1981, el 35% de la población mundial tenía menos de 15 años. Si fuera posible elegir una muestra de la población mundial, formada por 10 personas, ¿cuál es la probabilidad de que a lo sumo haya tres individuos con edad inferior a quince años?

(solución: 0,5139)

ECUACIONES DE LA RECTA.

27. Dibuja la recta 016 . Busca una recta paralela a la anterior que pase por el punto (-5,4).

83 =+− yx

(Sol: (3x - 8y + 47 = 0 )

28. Determina la posición relativa de les siguientes rectas: a) )2(35 −−=−≡ xy r 65 −=≡ xys Secantes

b) 04 y-2x =+≡r33

−−

=≡21-x y

s Secantes

29. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto ( -1, -4 ) y es paralela a la recta de ecuación 2x – 3y + 6 = 0.

Halla la recta que pasa por los puntos A = ( 2, -1 ) B = ( 5, 3 ). Comprueba si son paralelas. Si no lo son, halla el punto donde se cortan.

( Sol: 2x – 3y – 10 = 0 4x – 3y – 11 = 0 ( ½, -3 ) )

7

30. Halla la ecuación general de la recta que pasa por el punto (2,-1) y tiene la misma pendiente que la recta . 3 5 1 0x y− + =

(Sol: 3 5 ) 11 0x y− − =

31. Intersección de la paralela al eje de abscisas por el punto P(1,3) con la recta que pasa por el origen de coordenadas y cuya dirección es la del vector ( )1,5v −

rpendiente es -5m=

(Sol: 3 ,3

5−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

)

32. Indica el valor que debe darse a “h” para que las rectas 76y3x 12 =+=+ hyx sean paralelas.

(Sol: h = 4 )

FUNCIONES

33. Calcular los siguientes límites, indicando si hay asíntotas:

11

21 −+

→

x xx

límx

32

12

2

+−−

+∞→ xxx

límx xx

xxlímx 2

22

3

+−

−∞→ 52 −−∞→límx

x

42

22 −→

4−xx

límx

11 2 +→ x

xlímx x

límx −→ 33

1x

xlímx x+→ 20

2

x

xelím −

+∞→

1

→x 12+

−∞

xelím ( )13 −−+∞→

límx

xxxx

límx +−∞→ 2

2

(sol: 2) h) 3 xAV. ) 21f) 2

1 e) 0y A.H. 0 d) - c) 1y H A. b)1 1 xA.V ) =∞±=∞==∞± g

∞+ ∞+a

i) 0 AH y=0 j) k) l) 0 AH y=0

34. Estudia la continuidad y representa las siguientes funciones:

a) b) 2

1 si x 2( ) x 1 si 2<x<3

5 si x 3f x

≤⎧⎪= +

≥

2 si x<-1( ) 4-x si x -1

2

xf x

+⎧⎪= ⎨

≥⎪⎩

5x-⎨⎪⎩

a) discontinua de salto finito en x=2 y continua en x=3 b) discontinua de salto finito en x=-1

8

35. Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥

<<

≤

=

3x si 2-5x

3x2 si 2-x

12x si x

xf

3

)( b.

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥

≠−−

=3x si 1

3x si xx

xxf 62

3)( 2

a) discontinua de salto infinito en x=2 y continua en x=3 b) discontinua evitable en x=3

36. Calcular el valor de “a” para que la siguiente función sea continua en x=2 y representa dicha función.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥<<+

≤+

=3x si 5-5x

3x2 si 1x2x si

2

ax

xf

3

)(

(Sol: 3−=a )

37. Calcular el valor de “a” para que la siguiente función sea continua en x=2 y representa dicha función.

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠=

2x si 4-2x 4-x

2x si 2

axf )(

(Sol: 2=a )

38. Obtén la función de interpolación lineal que pasa por los puntos ( -1 1 ) i ( 2 4 ). Interpola el valor x = 0

(Sol: y=x+2 (0 2) )

39. A la vista de las siguiente gráfica de f(x), halla:

(Sol: a) +∞ b) -∞ c) 2 d) 0 e) 0 f) 0 g) +∞ h) 0)

9

40. Representa y estudia las siguientes funciones :

a) 23

xyx+

=−

b) 2( )

1f x

x=

+ c) 12,0)( += xexf d) 3y x= −

e) 2 3y x x= − f) )3ln()( += xxf

41. Utilizando la definición de derivada, calcula la derivada de les siguientes funciones en x=1

y x=-1 : a) 2 3x −

= b) 2

5y 3 1y x= −

a) 2(1)5

f ′ = 52

)1( =−′f b) (1) 6f ′ = 6)1( −=−′f

42. Calcula la función derivada de les siguientes funciones:

a) b)632)( 23 −+= xxxf 23

)( +=xxf c)

171)(+

=x

xf

d) e)( 325)( −= xxf )55)(

−+

=xxxf f) ( )22 12)( −−= xxf

g) 1

)( 2 +=

xxxf h) 1)( 2 += xxf i) xexxf −⋅= 13)(

a) 26 6y x x′ = + b) 13

y′ = c) ( )2

77 1

yx−′ =+

d) e)( )215 5 2y x′ = −( )2

105

yx−′ =−

f) 34 4y x′ x= − +

g)( )

2

22

1

1

xyx

−′ =+

h) 2 1xy

x′ =

+ i) ( )2 3 13 xy x x e −′ = −

43. Los costes de producción en euros de una empresa vienen dados por 2q q donde q son las unidades producidas. El precio de venta de cada

unidad son 520 euros. 40.000 20c = + +

a) Expresa en función de q el beneficio de la empresa i represéntala gráficamente. (beneficio=ingresos-costes)

b) ¿Cuántas unidades hará falta producir para que el beneficio sea máximo? (Solución: beneficio máximo 22500€, fabricando 250 unidades).

44. Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde lo alto de un edificio. La altura que alcanza viene dada por la fórmula 2t (t en segundos y h en metros) 80 64 16h t= + −a) Dibuja la gráfica en el intervalo [ ]0,5 b) Halla la altura del edificio c) ¿En qué instante alcanza la altura máxima?

(sol: b) 80m c) A los 2 sg)

45. Un cultivo de bacterias crece según la función 1021x

y += ( y = miles de bacterias; x = número de horas) a) ¿Cuántas había en el momento inicial? b) ¿Y al cabo de 10 horas? c) Calcula cuánto tiempo tardarán en duplicarse.

( Sol: a) 2000 bacterias b) 3000 bacterias c) 15’85 horas = 15 h 51’ )

10

11

46. Una fábrica dedicada al montaje de dispositivos para aviones ha calculado que la media de

dispositivos que prepara cada trabajador viene dada por la función60( )

5xf x

x=

+ siendo x

el tiempo en días transcurridos desde de que el trabajador es contratado. ¿cuántos dispositivos prepara el trabajador el primer día? ¿cuántos prepara el quinto día? ¿Y el trigésimo? ¿Al cabo de cuántos días prepara 50 dispositivos? ¿Qué podemos decir de un operario que lleva “muchísimo” tiempo trabajando en la empresa?

(Sol: 10 disp. 30 disp. 51 disp. aproximadamente, 25 días, tiende a hacer 60 disp. )

47. El número de socios de una ONG viene dado por la función: 2624152)( 23 ++−= xxxxn donde x es el número de años desde su fundación. Calcula

a. El número de socios en el momento fundacional b. En qué año ha habido el menor número de socios. ¿Cuántos fueron? c. El cuarto año se produjo un cambio en la junta directiva; ¿influyó el número de

socios? (Sol: a. 26 socios b. en el cuarto año 10 socios. C. a partir del cuarto año el número de socios crece)

48. Dada la función 712)( 3 +−= xxxf ,calcula: a. Sus máximos y mínimos relativos b. Sus máximos y mínimos absolutos en el intervalo [-3,3] c. Sus máximos y mínimos absolutos en el intervalo [-4,4] d. Sus máximos y mínimos absolutos en el intervalo [-5,5]

A. máximo relativo (-2,23) mínimo relativo (2, -9) b. máximo absoluto (-2,23) mínimo absoluto (-2,-9)

c. máximo absoluto (-2,23) y (4,23) mínimo absoluto (-2,-9) y (-4,-9) d. . máximo absoluto (5,72) mínimo absoluto (-5,-58)

49. El dinero en efectivo, en euros de una oficina bancaria durante las seis horas que permanece la caja abierta al público viene dado por la expresión:

227 , siendo t el tiempo en horas transcurrido desde la apertura. Determina y justifica:

2342000)( tttC +−=

a. ¿En qué momento hay más dinero en efectivo y cuánto? b. ¿En qué momento hay menos dinero en efectivo y cuánto?

(Sol: a. A las 4 horas y 20 minutos después de abrir que hay 1493 €

c. Al momento de abrir que hay 2000 €)

50. La función 224152)( 23 ++−= xxxxf0

describe los benefícios esperados por uma empresa em los próximos 3 años , 3≤≤ x . ¿Cuándo serán los máximos y los mínimos beneficios en este período? ¿Cuáles serán en cada caso?

(Sol: Máximo el primer año, beneficio 13. Mínimo el tercer año, pérdidas -7)