CALCULO DE PLACAS DEFORMA CUALQUIERA ,POR ELMETODO DE MOIRE­LlGTENBERG.

FELlX ESCRIG

Dr. ArquitectoETSA de Sevilla 1982

Todos conocemos los curiosos efectosinterferométricos que se producen cuandosuperponemos dos familias de curvas parale­las y desplazamos una sobre la otra. Unaserie de ondas que se mueven con aparentecapricho se añaden a las líneas generadoras.

El arte moderno ha explotado intensa­mente este fenómeno y el «Op art» tiene subase en la utilización de figuras interfero­métricas.

Realmente las líneas de interferencia quese producen no son tan arbitrarias comoparecen y obedecen a una ley, compleja en elcaso de curvas base complicadas y muy sen­cilla cuando las dos familias son rectas.

El método de Moiré es un ingenioso pro­cedimiento que aprovecha estas propiedadesy busca una interpretación física de lasondas producidas.

Si sobre un modelo plano pegamos unatrama de rectas paralelas y lo fotografiamos,si posteriormente aplicamos las cargas (portanto deformamos el modelo y, conjunta­mente, la trama adherida), y volvemos a foto­grafiar sobre la misma película, se habrá pro­ducido una superposición de dos familias delíneas distintas (aunque procedan de la mis­ma red). Esta superposición, dentro de cier­tos límites, producirá líneas de interferencia(líneas de Moiré) que, correctamente analiza­das, nos aportarán información sobre ladeformada del modelo.

El método es muy elemental y sus incon­ven ientes son puramente mecánicos. Resulta

difícil el pegado de las delicadas y precisastramas en modelos grandes y efectos térmi­cos o higrométricos alteran su estabilidad.Además son caras y, como veremos, paracada ensayo necesitaremos al menos dosensayos con la trama pegada en distintaposición. Por lo demás funcionan bien.

El método de Moiré-Ligtenberg tiene elmismo principio pero evita la utilización delas tramas.

Para ello coloca el modelo, con su super­ficie pulimentada y reflectante, frente a unapantalla que contiene el rayado. El modelo,

31

descargado y plano, reflejará esta trama has­ta el objetivo de la cámara fotográfica que seesconde tras un pequeño orificio en la pantalla.

La segunda exposición sobre la mismapelícula se hará con el reflejo producido porel modelo cargado y, por tanto, deformado.La superposición de estas dos familias refle-'jadas, por ser distintas, producirá líneas deinterferencia.

Veamos cómo éstas pueden interpretarsecomo líneas de igual pendiente de las flechas«w» del modelo, con respecto a la direcciónperpendicular al rayado de la malla.

En la fig. 2 vemos el principio geométricodel método para una pantalla plana y quere­mos averiguar cual es la deformación angu­lar « tp »,

CARGA

MODELO PLANOREFLECTANTE

Fig 2.

En la fig. 3 vemos que una línea de Moirées aquella que une los puntos donde «s» tie­ne un valor constante. Si las líneas «k» sonlas del modelo descargado y las «1» cargado,las «m o» unen todos los puntos «Ii' k¡» enque «s» tiene un determinado valor constan­te, por ejemplo cero.

Las líneas «m+1» resultan de unir «k¡» y<<Ii+1». Entre «mo» y «rn.; 1», «s» se incre­menta exactamente en «d». que es el intér­valo entre el rayado de la pantalla.

Para obtener el máximo de nitidez entrelas líneas de Moiré es conveniente elegir elrayado de modo que «d/2» sea blanco y«d/2» negro.

En las fotografias las líneas apareceránalternativamente blancas y negras.

32

/m,...FIG.3

Ahora que «s» es conocido de la fig. 1podemos obtener el valor de « tp » para cual ­quier forma de la pantalla. En el caso de queésta sea plana. .s = 2a tp ~lb/a)2 ~ . 1 r

I. ~ "

El pequeño término Ib/a)2 sugiere quepodriamos encontrar una forma de pantallade tal modo que s = 2a r.p. Mediante integra­ción gráfica en la fig. 4 obtenemos las curvasteóricas que cumplen esta condición y, porsimplicidad, tomaremos la forma circularmás próxima. La fig. 5 nos da el error obteni­do para distintos radios y relaciones «b/a».

Elegimos una pantalla con R = 3,5a quepara una relación b/a = 0,4 sólo tiene 0,3%de error máximo.

De la teoria de la Elasticidad sabemosque

Mx = -Dld2w/dx2 + v d2w/dy2)

My = -Dld2w/dy2 + v d2w/dx2)

M xy=-D(1 - v ) d2w/dxdy

donde D = Eh3/12 11 - 1) 2) en placas isó­tropas v « v »es el módulo de Poisson.

Con el rayado en la dirección del eje x lafotografia nos da las líneas de valor dw/dy =='iJ y constante y con «m» incremento deunas a otras de d/2a si sólo contamos las deuna tonalidad.

Para la obtención de los momentos nece­sitamos las derivadas segundas y, por proce­dimientos gráficos, de las líneas anteriorespodemos obtener d2w/dydx y d2w/dy2pero no d2w/dx2 para el que necesitaremos

FIG·4

15%

DEMASIADO GRA~

10 8 6 4 2 10 I 2 4 6 8 10

DEMASIADO PEQUEÑA

FIG.5

Hay que tener en cuenta que d/2a esmuy pequeño y normalmente habrá qued ibujarlo a una escala distinta de la util i­zada en las m edidas longitu dinales.Este gráfico nos da la situación relativa deunos valores con los sucesivos pero no suvalor absoluto. Esto no t iene importanciapara hallar las derivadas segundas pero esnecesario para hallar las flechas por inte­gración. En este caso , por simetria, sabe­mos que el pun to medio de la secciónyy' es de pend iente cero y ello nos daráreferenc ia para todos los demás valores.En otros casos puede ser muy co mp licadoaveriguar los va lores abso lutos.

15%

o \ 1\~ ~ .1\ ,

.9 ~.~

F\, 1\.8

1\f\ 1\ \7

\\ ~1\ ,,"

.6\ 1\

~ I~C',,/,.. Voo:"5 ~

~ '\ V:~/

1"- ' /1/

V -e-:1\ V. ~ '" V

\ ~17 V1/

2 \ ¿71

.1 1\ 'Jo

ción «d/ 2 a» que nos defin irá los valoresde la pendiente de líneas sucesivas.Uniendo los puntos int ersección de estamalla con las proyecc iones de las seccio­nes establecidas en el modelo obtendre­mos el diagrama de dw/dy a lo largo deellas.

o

o

o

o

Q4

o

o

o

e) Para obtener la fle cha en el punto O bastacon integrar gráficamente dw/dy respectoa la dirección «y». El área sombreada enla fig. 8 será la flecha buscada siempre

Wt-Z<tt-UW--.JLLWo::o J--.JWoo~

--.JWo

oZ<t--.JCL

una fotog raf ía hec ha con el rayado en la di­recc ión del eje y. Siempre necesitaremospara el análisis completo del modelo un parde fotografias con el rayado desfasado 90 0

•

Las líneas de Moiré nos servirán tambiénpara obtener las fle chas «w» sin más queintegrar adecuadamente

w = Js '-P ydY

A continuac ión vamos a exponer la me cá­nica práctica de uti lización del método paraun a placa triangula r apoyada en su contornoy cargada un iformemente.

Análisis con el rayado en la dirección deleje x

a) Tomamos la fotog raf ía en el aparato de laf ig. 1 mediante dos exposic iones sup er­puestas como hemos expl icado antes, ydibujamos en el patrón ob tenido las líneasde Moiré (fi g. 6 Y 7 ).Señalamos el punto (O) en que queremosobtener los momentos y la flecha .

b) Realizamos dos cortes paralelos a los ejescoordenados por el punto en estudio (f ig.8) Y establecemos un rayado de separa-

33

Fig.6que tengamos en cuenta el cambio deescala en ordenadas y, por supuesto, eldel conjunto del d ibujo con respecto a laestructura real.

d) Para obtener los momentos (fig. 8) basta­rá con medir las pendientes

d 'P y/ dy = d2w/dy2

d 'Py/dx = d2w/dydx

El valor d2w/dx2 habrá que obtenerlo deotra fotografia con el rayado perpendicular.

Nuevamente, a la hora de obtener laspendientes, habrá que tener en cuenta qu elas escala del conjunto no afecta a éstaspero sí la escala relativa entre ordenadas yabcisas.

Este cálculo de pendientes de curvas sepuede hacer por varías procedimientos aun ­que todos ellos impl ican un espec ial cuidadográfico.

Para el análisis con el rayado en la direc­ción del eje «y» efectuaremos las mismasoperaciones y obtendremos algunos valoresque ya conociamos en el proceso anterior.Estos nos servirán de comprobación y, entodo caso, podrá hallarse un promedio entreellos.

Nuestra idea es utilizar el método paraanalizar placas isótropas y anisótropas conformas y condiciones de carga complicadasmediante una sistemática que le dé utilidadcomercial.

Para hacer posible todos los cálculosanteriores habrá parámetros que determinar

34

Fig.7con ensayos previos, tales como «Dx»' «Dy»,«Dxy» y « v ».

Para eso existen procedimientos normali­zados y técnicas especiales. También esposible complementar al modelo, simultá­neamente al ensayo de Moiré-Ligtenberg,con dispositivos extensométricos o medido­res de desplazamiento y ajustar los valoresdesconocidos para que co incidan los distin­tos procedimientos.

A continuación acompañamos una seriede ensayos sencillos que nos garantizan lautil idad y precisión del método.

dw11--- - - - - -,..'-,.-,--.-.--,-, d1

dz"c¡y;¡;

\-\,,--'I:"----+'-j-t-H~), I

dwdY

ENSAYO N.o 1

PLACA RECTANGULAR APOYADA ENTODO SU CONTORNO.ESQUINAS ANCLADAS.

1.1. ESQUEMA DE CARGA.

22 cargas puntuales de 500 g. con untotal de 11 kg. que simulan una carga unifor­memente distribuida en toda la superficie.

1.2. CARACTERISTICAS DE LAESTRUCTURA.

q = 4,583 g/cm2

a =60 cm.h =0,60 cm.E=33.106 g/cm2

v =0,4D=Eh3/12(1- v 2 ) = 70 ,7 1 .104

EoOv

fL-- - - - - - - - - - - - 6Ocm- - - - - - - - - - - -

1.3. TABULACION DE LOS RESULTADOS.

COORDENADAS(d

2"' / dx2).10

4 o 4 o 4(d 2",/dy2).10

4Mx(g . en) MyCg.enJ MX).(g . en) ; W(en)DEL PUNTO (dw/dxdy) . 10 (d"w/dydxl.10

0.0 -2,23 O O -7,21 361,61 572,89 -0,139

10.0 -2,97 -6,4 S 392,4. 540,08 O -0,129

20.0 -2,97 O -3,79 317,21 351,99 O -O ,C/O

30.0 O O O O

0.10 -1,11 O -6,26 255,55 474,04 O -0,090

10.10 -2,2 1,11 1,52 -5,69 318,62 465,41 78,11 -0,080

.20.10 -2,60 2,44 2,84 -3,bO 285,67 ' 328,07 156,81 -0,050

30.10 O 2,60 5 ,31 O o O 234,91

0.20 O O O O O

10.20 2,97 1,90 O 144,63

20:20 7,79 3,97 O 343,91

30.20 O 8,91 6,Oi O O O 444,88 O

35

X=30X=20X=IOX=O

)

I!IJ. . ,u , 'Ip-' p,¡1 -111/ !I

1/ VlJ 11

!I)

1I , I I~ i·' :2~ 'm 1/ p O1/

I 1/

n 11

\1\ 1\

\ 1\

1\ 1\ 1\

1\1\ 1\ 1'\

1'\

jI' 1"\ ":--.f'\1'-:--.f'\

I[\" - .. 0 - .. - - ~. --

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;-¡-I-I-I---h-I / / /~~"............. ~~

wCJ)

= .FU:.Q;l WD1 IO.oI.

"tl~ '

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Ir .•

PLACA RECTANGULARAPOYAr:A. EN TODO SUCONTORNO.CALCULO de: dw , d

2

w ,d~dx dxdy dx2

/' ENSAYO N~ I

~Yc: 20

o'",,- - :ll:

01

r-o

Z'!i

~-

x

~x \\

\

" ... o~ jm N~IN>-

"O "O

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ª~N~I~

x "O~

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x H!'-h .¡;-1= f',

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,, -~ - - - - 1\ -

~X

-

111)

1/

11 !I11

/

11 vl/

1/ 1/

/ L.-

u V

LYt-

V v I--

37

1.4. COMPARACION CON VALORESCONOCIDOS.

De las tablas de BAR ES p. 56 para v == 0,30 obtenemos en el punto medio (0.0)

w = 0,0166 qa4/Eh3 = 0,138 cm.

Mx = 0,0222 qa2 = 366 g.cm.

M y = 0,0812 qb 2 = 595,42 g.cm.

Si no consideramos la diferencia de « v »tenemos un error con respecto a nuestrosvalores de

w=6%

Mx = 1%

ENSAYO N.a 2

PLACA RECTANGULAR APOYADA ENCUATRO PUNTOS.

5.1. ESQUEMA DE CARGA.

24 cargas puntuales de 100 g. con untotal de 2,4 kg. que simulan una carga uni ­formemente distribuida en toda la superficie.

My=4%

Y de las tablas de BARES p.39 para v = °Mxy = 0,0613. q . b2 = 449,5Un error del 1%.

Los errores son debidos a:a) Consideración de distintos módulos de

Poisson.b) Aplicación de las cargas puntualmente.e) Errores «materiales» de ejecución del mo­

delo y «gráficos» de interpretación deresu Itados.

5.2. CARACTERISTICAS DE LAESTRUCTURA.

q= 1 g/cm2

a = 60 g/cm2

h = 0,60 cm.E = 33 .10 6 g.cm2

=0,4D=Eh3/12(1- v 2 )= 70,7 1.104

L b.. y

o o o o o o

o o o o o o

r-,' . V

o o oX

o o o

o o o o o o

*-- - - - --6Oan - - - - - - - JL

38

X=60X=3Q X=40 X=50AREA ' FLECHA W EN(40,01

X=lO X=20

PLACA RECTANGULARAPOYADA EN CUATROPUNTOS.

d d2w d2

CALCULO de: d; 1dydx' d;2

X=O

1':" 1\ I 11 1\ 1\ l ~~ 1\

\ 1\ 11 \

1) 1/ 1\ 1\

1/ 1

I

1/ 1/ 1/1/ 1/ 11 V 1/ Ij1/ I 1/

1/ 1/ 11 1/ Ij !l ' 1/1/ 1/' II

1/ 1/ ~ 1/ 1/ V~ yflo I..L I li lJ IL 1 ~ l 1,.. ~ I

V 2 h. llr/4 - t¡i...1b· - 7 1u~ l.. -4 1/ 9 1"" 1/ - l.. ~0 4 - 2 ,,-41" 1" 1/ , p ro 1/ ' ~ ' I ' 1/ Co" 11/ ' 1'"

1/ 1/ V 1/ 1/IJ 1//

~ lA

~o (1 r1, 91"" o,l'o ' - 71l( 4 / VI 0 ' d~~r . ~ 1 ~'4 \

\~ ~[ i\~~p \ 1\

'-

Y=20

Y=IO

X=50X=40X=30X=20X=IO

--~

- >r<4::¡7~4 -4.

,~ =- - -"" -<,

...t..e::.4

l' '11 --Ll

......-J L:.I.:!ill

PI ' " 9 ...... "" 9 ,,/ pe .... ......- 9::::> -=:d> ~Y'

J,)' " , ~ / 1)" ' H I "( ;e ,, ~ ;> :::::" !y

X=60Y=O

X=O

wCD

ENSAYO N~ 2t

v / 1/ \1/ /

11/ 11

II

3 51 O~l K>." '1 10 0,: 1,>l

0, -1 -41\ \

4 _1 '1 01 .6 ,1 F-!JI. ~ ~ 1\

....•. 0

~,mJ y=O

~ ~\ I 9 I 9 \ , \ 9 1, li I I 9 ! l ! Y=IO

r> )' " 1 I 'e ( ( 1 '> 't \ ) 1 I ( ( ¿ -<r ! Y= 20X=O X=IO X=20 X=3QX=40 X=50 X=60

X=O X=IO X=20 X=30 X=40 X=50 X=60

---v- Mo'''''---

~ '-In'-v tJKr~

~ 10'" 010- ----s-r-/ ,,,,.,-4

I ~

./. irl7-1lY4--=:b --- 7-10-4

¿ 0.52~0'"l

//

./ r./1 """'-. - /

1" ,' 'vN

AliVó'fL CHAW EN 2 20 <, "21=:1,,4 .Y

y=O

Y=IO

Y=20

PLACA RECTANGULARAPOYAlJA. EN CUATROPUNTOS.CALCLl.O de' dw, d

2

w ,d2

w"dx dxdy dx"

ENSAYO N~ 2

5.3, TABULACION DE LOS RESULTADOS.

CCOIUJlW¡\IJAS(d 2w/tlx2) ,1 0

4(<1 2101/<1;0;01) . 104

(d2w/ dyd;o; ) , 10

4 (d2w/tly2 ) . 104 Hx(r. ,C11l) Hy(g. cm) Hxy(v.·OII ) Wkm)DEL. rnmu0 .0 O o O -l .78 O 1%, 57 U · U,Ol 7

10 .0 -0 , 3 (1 O - l . 09 80 , 35 85, 5ti O ' O,OH

l O.n -O,35 O O • 1. 7<1 73 ,96 132 ,9 \ O - 0 ,037

.'0 .0 11 ,3 O O -l ,O!! .H ,90 139, 3U (l - O, IIJ8

'10 ,0 I , .U (1 O - 2 , 95 -9 , " 0 171, 26 O - O,1l2tl

50 .Ó I,IH U O - .' , 48 24, 89 21(. , (,(í O · O,U50

60.0 U O O -3 , 82 O 270 , 11 O · U,08·'

0 .10 O - 1, 74 ' 0 , 35 - 1, 39 O 98, 29 · 44 , 3·' . O,OU.

10 , 10 -0 , 7 ' 0 , 52 -0 , 28 . fl , 70 (.9 ,3 0 f'9, 30 - 1(' ,97 ' O,Ol 4

l U. IO ' 0 , 7 0, 52 0, 1 - 0 , 76 170 ,99 73 ,5 " 1.',1 5 · 0 . (1 29

30 . 10 O U. 7U 0, 7 · 1, 11 O 78 , 49 29 .70 -0 ,0 29

40 . 10 l , S7 O 0 , 69 · (1 , 52 -9(, , 3 1 - 7 , 601 14,f>ol LU,o n

5U. IU 1,0-' -O . l8 - O, z ·0 , 52 -58 , 11 3 7 , .' 5 · 10 , IR -0 ,0 36

1i0 . 10 O O O·' O U O n u, U70

O.lO 2 ,44 5 ,9 1 16,(,8 ., , 52 - 300 , 38 - 31i8 ,(. l ,' ti<I , 211 n10. 20 ' 0 , 87 · " u.\ 0, 42 O 6 1, 52 U · n , l ~ . (1 . 0 10

20.20 - ' , 39 1, 04 0 ,7 O 98 ,29 O .' f' ,9 1 -0 ,0 17

30 . 20 - 0 , 35 0,52 1,Il4 O 2" , 75 O H,09 - 0 ,0 10

40 , 20 2 ,7 8 - 1, 74 1, li7 \ , .19 - 235 , 89 . 17(' ,92 - 1 ,48 O

SU,2 0 0, 52 0 , 87 ' 1, 14 O 5" ,77 O - IR,4 6 - 0 ,0 21

sn, 20 O O O O O O O - O,OS3

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STIGLAT, K.; WIPPEL, H.«Placas»I.E.T. Madrid. 1966

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