1974 - Oubiña - Introducción a La Teoría de Conjuntos

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Sptima.edicin corregida y actualizada por la autora. Enero de 1974.

EUDEBA S.E.M. FundMU por b Uniw:rsicbd de Buenos Aires

1965 EDITORIAL UNIVERSITARIA DE BUENOS AIRES Sociedad de Economifl Mixta Rivadavia 1571 /73 Hecho el depsito de ley IMPRESO EN LA ARGENTINA PRJNTED IN ARGENTINA

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NDICE

PRLOGO A LA PRIMERA EDICIN ...... .................. lX l'RffACIO A LA PRIMERA EDICIN . ... . . . . ........ .......... . Xf PRU: ACIO A LA EDICIN DEFINITIVA ........... . .. .. . .... ... XV ADVERTENCIA ...................................... XVII

PRELIMINAR SOBRE EL PRINCIPIO DE INDUCCIN COMPLETA ...... .XIX CD CONJUNTOS ... ... . .... . .................. . . .. ... .. .

J. J. Generalidades, 1; 1.2. Notaciones, 4; 1.3. Inclusin. Subconjuntos, 7; 1.4. El conjunto vaco, JO; 1.5. El conjunto de partes, 11.

Q() OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2. J. Unin, 13; 2.2. Interseccin, 18; 2.3. Diferencia, 23; 2.4. Complemento, 26; 2.5. Leyes distributivas y frmulas de De Morgan, 28; 2.6. Diferencia simtrica, 30; 2. 7. Uniones e intersecciones generaJizadas, 35; 2.8. Producto cartesiano, 39.

. CORRESPONDENCIA Y FUNCION . .. . . ..................... 44 ~ I 3. J. Grficas, 44; 3.2. Definicin de correspondencia y relacin, 46; 3.3.

, Imagen por una correspondencia, 49; 3.4! Correspondencia inversa de una correspondencia, 51; 3.5. Composicin de correspondencias, 61; 3.6. Definicin de funcin, 63; 3.7. Imagen e imagen inversa por una funcin, 66; 3.8 . Restriccin y extensin de funciones, 67; 3.9. Composicin de funciones, 7 3; 3.1 O .. Funciones inyectivas, suryectivas y biyectivas. Funcin inversa, 74; 3.11. Definicin de familia y sucesin, 81; 3.12. Unin e interscc-cin de una familia de conjuntos, 83; 3.13. Cubrimientos y j p~ticioncs, ~6; 3.14. Producto de una familia de conjuntos, 92.

V IV. RELACIONES DE ORDEN ... . . ..... . ... ...... ... ... 4.1. Propiedades de las relaciones, 97; 4.2. Definicin de relacin de orden, Conjuntos ordenados, ._100; 4.3. Conjuntos totalmente ordenados, 102; 4.4. Elementos maximales y 'ininimaJes, 103; 4.5. Cotas superiores e inferiores, 104 ; 4.6. Supremos e nfimos, 105; 4.7. Definicin de conjuntos bien or-denados, 109; U. Segmentos de un conjunto bien ordenado, 110; 4.9. Principio de induccin tr.inslinita. Definicin por recurrencia, 113; 4.1 O. Re-laciones de preorden, 117.

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INTRODUCC/ON A LA TJ-:ORIA DE CONJUNTOS ......-

v{ ---RFLACIONES DE EQUIVALENCIA 5. l. Delinicin de relacin de c4uivalcm:ia, 120: 5.2. Clases de equivaknda. Conjunto cocient~. 121: 5.3. Conpu~m:ia mdulo p, 127 : 5.4. Aplicaciones de las rdacioncs de equivalencia, 130.

120

VI. NMFROS CARDINALES . 6. 1. Ddinidn de nmero cardinal. Conjuntos finitiso e infinitos. 138: 6.2. Conjuntos rclkxivos. 142: 6.3. Rdadn de orden entre l'ard inaks, 145 : 6.4. Suma l' produ.:to de nmeros cardinales. 148: 6.5 .. Potcnciacin de nmeros la1dinaks, 154.

138

v~ll. EL AXWMA 01 : ELECCIN . . . . ..... . :: .. .. ... .. . .. . .... . . 162 7.1. D1st1111as lormas del axioma de elel.:;;;:i. !62; 7.2. El poslulado de buena ord

'NTRODUCCION A LA TEORIA DE CONJUNTOS r -

'Jtras disciplinas racionales, que a quienes se inician en una carrera ?Specficamente matemtica: stos adquirirn de todos modos las nociones

~onjullfistas esenciales, en tanto que aqullos corren el riesgo de adquirir Jubf 1os mentales que hagan ms ardua la posterior adopcin del punto de

~ista conjuntista. Para colocarnos a la altura de estas necesidades -cuya vsta proyeccin

':Ultural es dificil exagerar- debemos disponer de textos claros y rigurosos, ~lementales por su virtud didctica y profundos por las ideas matemticas 7ue contenga. El libro de f.ia Oubia satisface plenamente estos requisitos.

Slidamellte estructur.ido segn los mtodos expositivos de la matem-rica moderna, este libro ofrece al joven estudiante un modelo de lenguaje -:uidadoso y organizado. Si bien provee fundamentos intuitivos que facilitan

~I estudio, no hay en l ninguna concesin a la pereza mental ni a una (raseologia ms o menos pintoresca y finalmente vacua. El avance es metdico y pausado, pero va lejos: despus de numerosas pginas en ?Ue pacielllemente se desarrollan ideas muy bsicas y elementales como las de pertenencia, inclusin, operaciones conjuntistas, funciones -apuntaladas sistemticamellle por ejemplos y ejercicios-, se ofrecen al lector algunas cuestiones de mayor sutileza conceptual, entre las que merece destacarse la demostracin de existencia de entidades definidas por induccin transfinita.

Creo que corresponde a este libro el mayor elogio que puede hacerse de un texto elemental: transmite intacto el espritu del pensamiento matemti-co modemo en forma tal que resulta claro y accesible para un principiante. La teona de conjuntos tiene desde ahora, en idioma espaol, un instrumento didctico de primera calidad.

Jorge Bosch

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PREFACIO , A LA PRIMERA EDICION

Este libro es una sistemtica exposicin de elements de la teoria de wnj1111tos, actualmente indispensable en tocia rama de la matemtica. Contiene dos primeros captulos en los cuales se dan nociones generales sobre conjuntos y se definen las operaciones incluy endo aquellas generaliza-das sobre conjuntos de conjulllos. Un capitulo dedicad a correspondencias yfunciones donde se han tratado con todo detalle nociones vinculadas de uso muy frecuente cn cualquier desarrollo matemtico incluyendo fam ilias de conjuntos. Un cuarto capitulo dedicado a relaciones de orden. preorden y a conjuntos bien ordenados llegando a las definiciolies por induccin transfinita. En el quinto capitulo se estudian las relaciones de equfralencia con bastante detalle y se dan ejemplos de sus aplicaciones para comencer al lector de su importancia y utilidad y al mismo tiempo adiestrar/o en el manejo de las mismas. Se desarrolla luego la teona del nmero cardinal y en el capitulo siguiente se trata el axioma de eleccin a partir de su formulacin clsica y se demuestra su equivalencia con el principio de buena ordenacin y el lema de Zom. El ltimo capitulo tiene por objeto mostrar una de las posibles aplicaciones de los 1.:v11ceptos vistos a11teriorme111e a disciplinas que aparen1emente 110 admiten un tratamiento matemtico de este tipo, como la sociolog1I. Se han extrado las ideas y resultados del libro de J. Arrow titulado "Social Choice and Individual Values".

Esta obra est concebida como una introduccin para principiatltes. de alli que se deja a un lado la fundamentacin lgka de la teoria de co11ju11tos, partiendo de las nociones intuit ivas de conjunto y pertenencia. Pero a partir de estas ideas iniciales se sigue un mtodo riguroso y sistemtico. indispensable para una dora comprensin del tema. En algunas ocasiones se hace una introduccin informal con el objeto de que el lector capte el contenido intuiti110 de una definicin o proposicin. que de otro modo podran parecerle arbitrarias. Se dan abundantes ejercicios y ejemplos sobre cada tema y se intercalan notas y ubserl'aciones para eiitar confusiones y seiialar detalles importantes.

Este libro est destinado, en general, a toda persona que desee tener un co11ocimie11to slido de las bases fundamelllales de la matemtica moderna. En particular, puede serl'ir como introduccin . o propedutica para

XI ..

INTRODUCCION A LA TEORIA DE CONJUNTOS

estudiantes universitarios de matemtica o de materias afines, como texto de actualizacin para profesores de enseanza media (dado el gran movimiento que se est realizando en nuestro pas y en el mundo entero para modernizar Ja enseanza de la matemtica en los colegios secundarios), y finalmente, para estudiosos de otras disciplinas que deseen tener un instrumento

riguroso de anlisis conceptual. Para ellos especialmente est dedicado el captulo 8.

En el texto se presupone slo el conocimiento de los nmeros naturales y esto en una forma puramente intuitiva. Como el alumno que actualmente egresa de la escuela secundaria desconoce el principio de induccin completa se ha realizado un breve preliminar sobre ese tema. Para los ejemplos y ejercicios se ha presupuesto un mnimo de los conocimientos que provee la escuela secundaria en la actualidad. los ejercicios, ejemplos y notas marcados con asteriscos rebasan un poco dicho nivel y estn destinados a los lectores ms familiarizados con la matemtica. De todos modos acvnsejamos su lectura aun a aquellos que no se encuentren en esas condiciones para que verifiquen por ellos mismos si su nivel de conocimientos les permite o no entenderlos.

Se recomienda a los que se inician en estos estudios resolver la mayora de los ejercicios que en general no presentan grandes dificultades. estn encaminados principalmente a familiarizar al lector con el manejo de las definiciones contenidas en el texto. No se ha credo necesario publicar las respuestas, como comnmente se hace, debido a la gran cantidad de ejemplos explicados con todo detalle que servirn de gua para la resolucin de aqullos.

Se ha seguido especialmente a Bourbaki ("Thorie des ensembles". captulos 1. 2) en la eleccin de los temas y en la presentacin de muchos de ellos. En particular se adopt la definicin de funcin, dada en captulo 2 como terna ordenada (C. A. B) donde Ges su grfica (conjunto de pares ordenados). A su dominio y B su contradominio. Con ella se distinguen las funciones no slo por sus valores en cada punto de sus dominios, sino tambin por sus contradominios. la conveniencia de esta definicin se aprecia cuando se introducen estructuras en cada conjunto (de grupo, de espacio topolgico, de variedad, etc.) y por tanto es bueno familiarizar al estudiante con la misma aunque por el momento no se noten ventajas apreciables sobre otras (por ejemplo, definicin de funcin como conjunto de pares ordenados). Consecuentemente, se ampli el concepto usual de restriccin y extensin de una funcin permitiendo tambin restricciones y extensiones del contradominio.

Este libro es el primer ensayo de un plan de redaccin de textos modelos que por inspiracin del Dr. R.odolf o Ricabarra comenz a ponerse en prctica en el Departamento de Matemticas de la Facultad de Ciencias Fisicomatemticas de la Universidad Nacional de la Plata.

Se me encarg este trabajo cuando fui contratada por dicha universid

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PREFACIO A LA EDICION DEFINITIVA

E11 la edicin definitiva de este libro se ha incorporado un capitulo dedicado a Jos tipos de orde11 y nmeros ordinales. En cuanto al resto del libro. la experiencia recogida ha mostrado la necesidad de ampliar cierras remas, cambiar la exposicin de otros. de incluir nuevos ejemplos y ejercicios rra/ando sobre todo de resaltar la relacin existente entre algunos conceptos abstractos del texto y situaciones del mbito cotidiano.

Entre los lemas ampliados Jigura11 el de los conjuntos ordenados, con la imroduccin ele las nociones de supremo e injimo, adems del capit11lo ya mencionado sobre los tipos de orden y los nmeros ordinales; el de las correspondencias, con la introduccin de las matrices asociadas a correspon-dencias entre co11j11ntos finitos. y el del !.enza de Zom, maliante la incorporacin de otros ejemplos de su aplicacin.

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Ua G. Oubia la Plata, setiembre de 1973.

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ADVERTENCIA-

ALGUNOS SIMBO LOS Y CONVENCIONES USADOS EN ESTE LIBRO

1) Hemos adoptado la convencin, como se hace habitualmente, de emplear la palabra "sl, en una definicin, como abreviatura de "si y slo si". Por ejemplo, sea la siguiente definicin: "Un tringulo se llama equiltero si tiene sus tres lados iguales" . La palabra "si", con la con ven cin anterior expresa entonces que se llama equilteros aqullos tring\! los y slo aquellos que tienen su tres lados iguales.

2) El smbolo "=" colocado entre dos proposiciones, A => B, se tra-duce por : "A implica B", ".de A se deduce B" o "B es consecuencia de A". La proposicin A st llama hiptesis o primer miembro de la implica cin y la proposicin B, tesis o segundo miembro de la implicacin . Por ejemplo, se demuestra inmediatamente que si un nmero x es mltiplo de 4 resulta tambin mltiplo de 2, es decir, la proposicin "x es mltiplo de 4" implica la proposicin "x es mltiplo de 2". En forma ~irnblica se puede escribir :

(1) x es mltiplo de 4 => x es mltiplo de 2. Anlogamente , se tiene:

(2) a . 3 y 'Y son ngulos interiores de un tringulo => a + {J +'Y = 180;

(3) x par=> x + 1 impar. En los ejemplos (1) y (2) no vale la implicacin inversa, o sea, de

"x es mltiplo de 2" no se deduce "x es mltiplo de 4" y de "a+3+-y = 180" no se deduce "a . 3 y 'Y son ngulos interiores de un tringulo". En cambio, vale la implicacin inversa de (3) . En smbolos:

(4) x + 1 impar=> x par. Las implicaciones 3 y 4 se renen en una sola empleando el smbolo

" 0 " en la forma siguiente: x par o x + 1 impar

Luego, el smbolo "o" colocado entre dos propos1c1ones A 0 B significa las dos implicaciones A=> By B =>A. Puede traducirse como :

XVII

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/NTRODUCCJON A LA TEORIA DE CONJUNTOS

"A si y slo si B", "A es equivalente a B" o "A y B son equivalentes".

3) En (l-4-2) y en la nota de (2-7) se emplea la siguiente regla de lgica: "Una implicacin es verdadera en todos aquellos casos e!l que la hiptesis es falsa". Esta regla da lugar a ejemplos de implicaciones. verda deras en el sentido de la Lgica, que desconciertan un poco a la intuicin, CQ mo:

3 + .2 = 7 ~la luna es verde El sol gira alrededor de la Tierra ~Hoy comienza la Primavera Un tringulo tiene dos lados~ Todo hombre es mortal

Abundantes ra~ones lgicas hacen aceptar este tipo de implicaciones como verdadera.

4) Si no se hace mencin expresa de lo contrario, se designar en el texto al conjunto de los nmeros naturales (comenzando desde O) con la letra "N" y al conjunto de los nmeros enteros con la letra "Z".

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PRELIMINAR SOBRE EL PRINCIPIO DE INDUCCION COMPLETA

. En este libro no se desarrolla la teora del nmero natural. Se presupone un cierto conocimiento del mismo por parte del lector. Los nmeros naturales se utilizan principalmente en los cinco primeros captulos como material para los ejemplos (se ha incluido el cero entre ellos por ser muy til en los mismos) . Para -comprenderlos se necesita tan solo la idea intui-tiva y la familiaridad. con los nmeros que tiene un alumno de ( escuela primaria .

En el captulo IV se da el principio de induccin transfinita. generali zacin del principio de induccin completa de los nmeros naturales. y en los captulos VI y Vil aparecen algunas demostrJciones por induccin . Como el alumno que actualmente egresa de nuestra escuela secundaria desconoce eSte principio, dar_emos aqu su enu111.:iado. su signifii.:ado intui-tivo y algunos ejemplos para mostrar su aplicacin .

Supongamos que una persona tiene bolillas blancas y negras y co-mienza a alinearlas respetando la siguiente regla : .. Cada vez que se coloca una bolilla blanca la siguiente debe ser tambin blanca".

Una vez que ha alineado 1.000.000 de bolillas pregunta : "He co locado alguna bolilla negra o. por el contrario. son todas blanc;is"'! .

El lector sin duda h;ibr encontrado una forma muy sencilla de resolver el problema sin tener que recurrir al procedimiento de revisar un;i una to'das las bolillas. Nos dir : "Basta con observar la primera bolilla . Si la primera es blanca . son todas blancas." .

En efecto. si la primera bolilla es blanca. la segunda debe ser del mismo color. puesto que, segn la regla, cada vez que se coloca una bolilla blanca la siguiente debe ser tambin blanca. Por la misma razn, siendo blanca fa segunda, lo es la tercera y luego la cuarta y ;isi siguiendo todas las rcst;intcs. .

Investiguemos ahora. en nuestro razonamiento. cules son las hiptesis que nos permiten asegurar que todas las bolillas son bl;incas.

1) La primern bolilla es blanca .

2) Si una bolilla es blanca. la sev.unda tambin lo cs.

XIX

INTRODUCCION A LA TEORIA. DE CONJUNTOS

Para generalizar nuestro razonanento a otros casos similares,. nume-remos las bolillas de O en adelante y allOciemos a cada nmero n una proposicin que abreviaremos 1' (n) y dice lo siguiente: .. La boliUa nmero n es blanca". La proposicin P(n) puede ser, evidentemente, verdadera o falsa.

Con esta convencin, y teniendo en cuenta que el siguiente de un nmero natural se obtiene sumando l a ese nmero (el siguiente de n es n + 1), las hiptesis 1) y 2) se expresan

1) P (O) es verdadera: 2) Para cualquier n, si P(n) es verdadera entonces P(n + 1) es

tambin verdadera.

La conclusin, es decir, "todas las bolillas son blancas'", se expresa: "La proposicin P(n) es verdadera para todo n menor que I.000.000".

Es fcil darse cuenta de que la posibilidad de obtener tal conclusin a partir de las hiptesis 1) y 2) es una propiedad intrinseca de lqs nmeros naturales que puede aplicarse .a toda situacin similar a la dada. Por otra parte, el nmero de bolillas que se dio como dato al principio no desempeila ningn papel en el razonamiento, puede aumentarse tanto como se quiera; en los ejemplos que se vern ms adelante, se asocia a cada nmero natural n una proposicin P(n) y la conclusin es vlida para todo n natural.

Esperamos que el ejemplo precedente sirva al lector para captar el soporte intuitivo del "principio de induccin completa" o de .. induccin finita" de los nmeros naturales que enunciamos a continuacin, lo que es muchas veces difcil de lograr, para el principiante, a partir de su formu-lacin abstracta.

Principio de induccin completa: Sea P (n) una proposicin asociada a todo nmero natural n. Si se cumple que:

1) la proposicin P (O) es verdadera, 2) si la proposicin P (n) es verdadera, entonces tambin lo es

P(n + 1), para cualquier n,

resulta que la proposicin P (n) es verdadera para todo n natural. En las aplicaciones del principio de induccin completa, se suele llamar

"hiptesis inductiva" o "hiptesis de recurrencia" a la suposicin: la proposicin P (n) es verdadera. Las demostraciones que emplean este principio se llaman as mismo "demostraciones por induccin finita" ( o simplemente "por induccin) o "por recurrencia".

. Ejemplos: 1) Se demostrar por induccin que, para todo n natural, la suma

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PRELIMINAR SOBRE EL PRINCIPIO DE INDUCOON COMPLETA

de los n primeros nmeros naturales es igual a n (n + 1)/2. En smbolos: O+ 1 + 2 + ... + n = n (n + 1)/2.

Sea P (n) la proposicin: O+ 1 + 2 + + n ::;: n (n + 1)/2. 1) La proposicin P (O) es: O= O (O+ 1)/2. Luego, P (O) es verdadera. 2) Se debe demostrar ahora que si, para cualquier n, P (n) es verdadera

tambin lo es P(n + l). En otras palabras, admitiendo como hiptesis de recurrencia que es vlida la igualdad O+ 1 + ... + n = n (n + 1)/2, se debe probar la validez de O+ l + ... + n + (n + 1) = (n + l)[(n+ 1) + 1 )/2.

Por la propiedad asociativa de la suma de los nmeros naturales, se tiene O + l + ... + n + (n + 1) ~ (O+ 1 + ... + n) + (n + 1)

de donde, aplicando la hiptesis de recurrencia, resulta: (0 + 1 + ... + n + (n + 1) = n (n + 1)/2 + (n + 1).

Efectuando operaciones el segundo miembro de la igualdad precedente se transforma en:

(n + 1) (n + 2)/2 = (n + 1) [(n + 1) + 1)/2. Luego, se ha demostrado la validez de la proposicin P(n + 1). Por el

principio de induccin completa puede afirmarse que ia proposicin P (n) es verdadera para todo n natural.

2) Se demostrar, aplicando el principio de induccin completa, que la potencia impar de un nmero negativo es negativa.

Sea a un nmero negativo. Todo nmero impar m puede escribirse como m = 2n + 1, con n natural (si a n se le asignan los valores O, 1, 2, etctera, el nmero 2 n + 1 resulta .igual a 1, 3, 5, etctera). Luego, la proposicin: "las potencias impares de a son negativas" es equivalente a: "para todo n natural aln + 1 es negativo".

. Sea P(n) la proposicin: aln+l

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CAl'lTULO l

CONJUNTOS

1.1. CENERALIDADES

La pibhra rnnjunto'" ser uno de los tcrn1ino~ bsicos no ck fi ni

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1.1.4. El conjunto D de los nmeros naturales mayores que 5 y menores que 100.000:

1.1.S. El conjunto E de los nmeros naturales mayores que 5, menores que 9 y diferentes de 7.

1.1.6. El conjunto F de los nmeros naturales pares mayores que 5 y menores que 9.

1.1.7. El conjunto G cuyos elementos son el nmero q y el nmero 8. 1.1.8. El conjunto H de todas las rectas del plano.

1.1.9. El conjunto I de todas las rectas del plano que pasan por un punto dado.

1.1.10. El conjunto J de todas las rectas del plano que pasan por dos . puntos dados.

1.1.11. E conjunto K de todas las bibliotecas de La Plata.

1.1.12. El conjunto L de todos los libros de todas las bibliotecas de La Plata.

1.1.13. El conjunto M cuyos elementos son el nmero 1 y el conjunto de alumnos de la Universidad de La Plata.

1.1.14. El conjunto cuyos elementos son el conjunto N de los nmeros naturales y el conjunto P de los nmeros naturales pares.

1.l .15. El conjunto Q cuyos elementos son el conjunto P de los nmeros naturales pares y el nmero 2 .

Observaciones. 1) Los conjuntos de los ejemplos dados ms arriba han sido definidos fundamentalmente en dos formas distintas; por ejemplo, para definir C en 1.1.3 se nombran cada uno de sus elementos, a saber, los nmeros 10, l y yJ, lo mismo para G en 1.1.7. Se dice en estos casos que el conjunto ha sido definido por extensin. En cambio para defi -nir por ejemplo el conjunto A de 1.1.1 y el conjunto D de 1.1.4 no se nombra ninguno de los elementos de cada conjunto pero se da una propiedad que caracteriza a todos ellos, la propiedad de habitar en La Plata para A y la propiedad de ser un nmero natural mayor que 5 y menor que 100.000 para D. Se dice que tales propiedades caracterizan a los ele-mentos de un conjunto porque todos los elementos del conjunto tienen

.~sa propiedad y ade_ms, cualquier objeto que tenga esa propiedad pertenece al conjunto. En .:stos casos se dice que se ha definido un conjunto por

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CONJUNTOS

comprensin. Es claro que un conjunto infinito, como el conjunto de los nmeros naturales, no puede ser definido P! extensin.

2) Un mismo conjunto puede definirse en formas distintas; as, por ejemplo, los conjuntos E, F y G de 1.1.5, 6 y 7 respectivamente, tienen a los nmeros 6 y 8 como Wiicos elementos. Se trata entonces de un mismo conjunto.

3) Los ejemplos a partir de 1.1.11 hasta 1.1.15 estn encaminados a evitar confusiones que puedan presentarse cuando se trabaja con conjuntos cuyos elementos, o algunos de ellos, son tambin conjuntos. As, por ejemplo, se debe distinguir cuidadosamente el conjunto K de 1.1.11 del conjunto L de 1.1.12 si con la letra a se designa a un libro de una biblioteca de La Plata, es correcto escribir a E L, pero no lo es a E K, porque los elementos de K son bibliotecas y un libro no constituye por s solo una biblioteca. Similarmente, si con la letra a se designa a una biblioteca de La Plata, es correcto escribir a E K, pero no lo es a E L, pues los elementos de L son libros y no conjuntos de libros.

En 1.1.13 el conjunto M tiene exactamente dos elementos, aunque uno de ellos, el conjunto de alumnos de la Universidad de La Plata, sea a su vez un conjunto con muchos elementos. Si Juan es alumno de la Universidad de La Plata, no es lcito escribir Juan E M.

En 1.1.14, los elementos de son N y P y solo ellos. tiene, por lo tanto, dos elementos. Si bien es cierto que 10 EN y 10 E P, no es lcito escribir IO E .

En 1.1.15 es correcto escribir 2 E Q, pero no lo es por el hecho de ser 2 un nmero par, sino por figurar explcitamente en la definicin de Q.

1.1.16. Definicin. Un conjunto se lla.na "unitario" si tiene un solo elemento. (Se recuerda que la palabra "si" usada en una definicin es abreviatura de "si y solo si" (ver Advertencia).

Ejemplos

1.1.17. El conjunto J de 1.1.IO. puesto que por dos puntos pasa una y solo una recta.

1.1.18. El conjunto de los numeros naturales mayores que 1 y menores que 3.

l.l.19. El conjunto de rectas de un plano que son perpendiculares a una dada y pa,san por un mismo punto.

1.1.20. El conjunto cuyo nico elemento es el conjunto N de los r.meros naturales.

3

INTRODUCCJON A LA TEORIA DE CONJUNTOS

Ejercicios 1.1.21. Con referencia a todos los ejemplos dados, a qu conjuntos

pertenece el nmero 10?

1.1.22. Cules de los conjuntos de todos los ejemplos dados han sido defirdos por extensin y cules por comprensin?

1.1.23. Cules son los elementos del conjunto que se obtiene de la expresin 2 k - 3 dndole a k los valores 2, 3, 4, 5 y 6?

1.1.24. Dar otra definicin del conjunto del ejercicio anterior.

1.1.25. Supongamos cinco personas: Ana, Mara, Pedro, Juan y Diego; se quiere formar el conjunto de grupos de esas cinco personas con la condicin de que en cada grupo no haya dos hombres juntos. Hacer una lista de los elementos de ese conjunto.

1.1.26. Del conjunto del ejerc1c10 anterior extraer los grupos en que aparezcan juntos Ana y Pedro.

1.1.27. Cul es el conjunto constituido por los mltiplos no negativos de !?

1.1.28. De las frmulas A E B y BE C se deduce A E C?

1.1.29. Sea A el conjunto de los nmero~ naturales iguales a 2, y sea B el conjunto cuyos elementos son A y el nmero 1. Es lcito escribir 2 E B? .

1.1.30. Dar ejemplos de conjuntos unitarios.

1.2. NOTACIONES

Cuando se define un conjunto X enunciando una propiedad P que caracteriza a sus elementos (definicin por comprensin) es frecuente utilizar la siguiente notacin:

X= {x: x cumple P} Por ejemplo, el conjunto D de 1.1.4 se escribe

D = {x: 5


1.2.6. Con referencia al ejercicio anterior, decir cul de expresiones es la correcta:

., Oguientes(- /\ i r--u. INCLUSIN.SUBCONJUNTOS CONJUNTOS

1.2.7.

1.2.8

10, 7, E O {10, 7} E D.

Escribir con las notaciones introducidas las definiciones de los siguientes conjuntos: a) El conjunto de las rectas del plano a que pasan por el punto P. b) El conjunto de los nmeros fraccionarios cuyos denominadores son mayores que los numeradores. c) El conjunto de los divisores de 10. En geometra se da el nombre de lugares geomtricos a conjuntm de puntos definidos por una propiedad caracterstica, por ejemplo, cir-cunferencia de centro C y radio r es el conjunto de puntos del plano cuyas distancias a C son iguales a r: Si con d (P, C) se indica la distancia del punto p a c, se puede definir la circunferencia de centro y radio r como:

C(C,r) = {P: d(P,C) = r}. Cmo se llaman en geometra los siguientes conj~ntos de ountos del plano? a) {P: d (P, A) = d (P, B)}, siendo A y B dos puntos fijos. b) {P: d (P, C) ,;; r}. siendo C un punto fijo. c) {P: d (P, a) y d (P, b) } siendo a y b lados de un ngulo e indi-cando con d (P, a) y d (P, b) las distancias de P a los lados a y b respectivamente. d) {P: r :i;; d (P, C) ,;; r'}, siendo C un punto fijo y r y r' dos nmeros tales que r ,;; r '. e) {P: d(P,A) + d(P,B) = c}. siendo A y B dos puntos fijos y e un nmero real.

1.2.9. Cmo se llaman en geometra los siguientes conjuntos de puntos del espacio? a) {P: d (P, C) = r}. siendo C un punto fijo y r un nmero real. b) {P: d (P, a)= d (P, b)}. siendo a y b las caras de un ngulo diedro y d (P, a) y d (P, b) las distancias del punto P a las caras a y b respectivamente.

1.2.10. Expresar los siguientes conjuntos de nmeros naturales con la nota-cin introducida en l.2.1:

6

a) {x: 1,;;xo;;;; 10} b) {x:

INTRODUCCION .A LA TEORl.A DE CONJUNTOS

1.3.8. Sea. T el conjunto de los tringulos ABC, BCD y CDE de la figura J.~ Son suoconjuntos de T, por ejemplos Jos conjuntos T 1 = {ABC} y T2 = {ABC, BCD} pero no Jo son, por ejemplo, el lado AB del tringulo ABC ni cualquier conjunto de vrtices corno {A, D, E}, puesto que Jos elementos de T sofl tringulos y no elementos de los mismos.

fa D

/S7\ ,. G E

Figura J

1.3.9. Sea E el conjunto cuyos elementos son el conjunto' N de los nmeros naturales y el conjunto P de los nmeros naturales pares. Los conjuntos unitarios {N} y {P} son partes de E, pero no lo son, subconjuntos de N o de P; por ejemplo, 110 es lcito escribir { 14, 8, 6} CE, ya que 14, 8 y 6 no son elementos de E.

1.3.10. Sea R el conjunto de las rectas de un plano; si Pes un punto de u!1a recta a, es lcito escribir PE a y {P}C a, pero no lo es PE R y {P} C R.

1.3.11. El conjunto A de los mltiplos de 4 (en smbolos A= {x: x = 4} es subconjunto del conjunto B de los mltiplos de 2 (en smbolos B = {x: x = 2}). En efecto, si x es un elemento arbitrario de A, se, tiene x = 4, ef decir, existe un nmero natural k tal que x = k 4, pero como 4 = 2. 2 resulta x = 2k. 2, con lo cual x = i, de donde x E B. Siendo x un elemento arbitrario de A, lo mismo se cumple para todos los elementos de A, luego A C B.

1.3.12. El intervalo natural [2, 10) es un subconjunto del intervalo na-tural (2, JOO). En efecto, si x E (2, 10) se tiene 2 < x < JO y como 10 < 100 resulta 2 < x < 100, con lo cual x E [2, 100] y por lo tanto [2, 10) e [2, JOO).

1.3.13. Teorema. Para todo conjunto E, se cumple: a) E e E. b) Fe E y E C F implica E= F . c) F e E y E e G implica Fe G.

Demostracin. La parte a) ya ha sido demostrada en el ejemplo 1.3.2.

8

~ 1

1

t f

CONJUNTOS

b} Por ser F un subconjunto de E, resuita que todos los elementos de F estn en E. Por otra parte, E no puede tener otros elementos distintos de los de F, puesto que E C F indica que todo elemento de E es de F. Luego, E y F tienen los mismos elementos; es decir E= F.

c) Si x E F, por ser F un subconjunto de E, resulta x E E, pero como adems se tiene E C G, resulta x E G, con Jo cual F C G.

Observacin. El punto b) del teorema anterior da un criterio de "igualdad de conjuntos" y un procedimiento para demostrar que dos conjuntos t ienen los mismos elementos. Por ejemplo, si se quiere demostrar la igualdad de dos conjuntos E y F se torna un elemento arbitrario x E E y se prueba . que x E F, iuego se torna un elemento arbitrario y E F y se prueba que y E E; con esto se demuestra la doble inclusin E C F y F C E que es equivalente (por a) y b) del teorema anterior) a E = F.

1.3.14. Definicin. Se dice que un subconjunto F de E es subconjunto "propio" de E o est contenido "propiamente" en E si E* F.

Ejercicios

1.3.15. Demostrar que siendo A= {k: k EN, 3 < 2 + Sk < 20}: B = {k: k EN, 3 < 2 + k < 20} , se cumple que A C B.

1.3.16. Demostrar que el conjunto D = {x: x E N, 1 < x 3 < 100} est incluido en el conjunto E = {x: x E N, J < x 2 < J 00}.

1.3.17. Qu relaciones de inclusin se verifican entre los siguientes con-juntos? F: conjunto de nmeros de cuatro cifras donde dos por lo menos son ceros.

G: conjunto de nmeros de cuatro cifras donde una por lo menos es cero.

H: conjunto de nmeros de cuatro cifras dos de las cuales son ceros y las restantes diferentes de cero.

1.3.18. Sean 1, J y K los conjuntos: 1 = {{ 7, 8}, { 2, 3, 4}, { 9, !O}} J = {7, 8, 2, 3, 4, 9, JO} . K= {{7}. {8}. {2}. {3}, {9}. {JO}}. a) Es lcito escribir 1 = J = K? b) Cules de las siguientes expresiones es la correcta? {7,8}EI, {7,8}CI, {7,8}EJ, {7,8} CJ , {7,8}E K.

9

INTRODUCC/ON A LA Tt:ORIA DE CONJU/l/rus

{7,8}CK. {7}EI , {7}EJ, {7}EK, {7}CI, {7}CJ, {7}EI, {7} E J, {7}E K

1.3.19. Sea A un conjunto y sea BE A; si C C B, es lcito escribir C C A? (ver ejemplos 1.3.8, 9, 10).

1.3.20. Sean A= { l} y B = {{ l}}. cules de las siguientes expresiones son correctas? 1 E A, 1 E B, {l}C A, {l}CB {l}EB, {{J}}CA.

1.4. EL CONJUNTO YACIO

Si se da una propiedad P de elementos de un conjunto X tal que , por lo menos un elemento x E X tenga tal propiedad, queda determinado el subconjunto de X constituido por todos los elementos de X que tienen la propiedad P. Por ejemplo, en 1.1.1 el conjunto A es el subconjunto del conjunto de los habitantes de la Repblica Argentina que tienen la pro-piedad de vivir en La Plata; en 1.1.4 el conjunto D es el subconjunto del conjunto N de los nmeros naturales que tienen la propiedad de ser mayores que 5 y menores que 100.000. Pero si P es una propiedad de elementos del conjunto X que no es satisfecha por ningn elemento de X (por ejemplo , la propiedad x =I= x), se tiene el caso ex.::epcional de una propiedad que no define un conjunto . Se conviene en evitar formalmente esta excepcin introduciendo el signo

l .\TRODUCCION A LA TEORIA Dt: CONJUNTOS

En ~mbolos se tiene que {f(E) = {F: F F}.

Segn lo visto en 1.3.2. y en 1.4, se tiene E, , E (J (E).

Ejemplos

1.5.2. Si X= {x} resulta(f>(X) = {{x}, } . 1.5.3. Si A= {a, b, cJ resulta (f>(A) = {A,, {a}, {b}, {e}, {a, b},

{a, e}, {b, c}i

Ejercicios 1.5.4. Siendo T el conjunto definido en 1.3.8 hallar ?CT) 1.5.5. Siendo A= {a, b, e, d} hallar Cf (A). 1.5.6. Demostrar que si un conjunto E tiene n elementos, &\E) tiene

2n elementos.

1.5. 7. Hallar @e).

~

12

~ '

i'

1 ~

l .

l ..

1

CAl'Jl"L;LO 11

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

2.1. UNIN

2.1.1. Deji11i11. Sean t.:: y F dos rnnjunlos. Se llama .. unin .. o reunin" de E y F al conjunto cuyos elemen tos pertenecen a E o a F.

Ohscn-aci11: La conJ unc1on .. o .. se emplea a4 ul en sentido no res-tringido. es decir. un cle111ento 4ue penenece simultneamente a E y a F tambin pertenece a la unin .

Nutacicin. La unin de dos conjuntos E y F se desgina con E U F. En forma abreviad;i se puede escribir

E UF = {x: x E E x E F) . l';ir;i visualizar l;is operaciones entre conjuntos se puede recurrir a

diagramas como el siguiente. donde E y F son los conjuntos de puntos de los rcctnj!ulos y su unin es la parte sombreada

~ iUF J'i;:ura :!

13

INTRODUCCJON A LA TEORIA Dl!. 10, en el primer caso x E [ 5, 10] y en el segundo x E [10, 14], por lo.tanto, x E [5, 10] U [10, 14), con lo cual [S, 14] e [S, 10] U [10, 14] y por la parte b) del teorema 1-3-13 resulta la igualdad que se quera demostrar.

1

1

~ '!'

' ~:

~ .

t J


2.1.7. Sea K el conjunto de nmeros de dos cifras tales que la primera sea mayor o igual que Ja segunda. Sea L el conjunto de nmeros de dos cifras tales que la segunda sea mayor o igual que la primera (por ejemplo, 1 S E L y S 1 E K), entonces K U L es el. conjunto M de todos los nmeros de dos cifras. En efecto, desde que K CM y L C M, resulta K u Le M; rec-procamente, si ab es un nmero de dos cifras la primera de las cuales es a y la segunda b, puede suceder nicamente que a ;>. b a< b, en el primer caso ab E K y en el segundo ab EL, de donde ab E K u L, con Jo cual Me K U L, y por la parte b). del teorema 1.3.13, resulta M = K U L.

2.1.8. Teorema. Siendo E, F y G conjuntos, se cumplen las siguientes leyes: a) E U F =FU E (ley conmutativa). b) F e E si y solo si F U E = E. c) (E u F) U G =E U (FU G) (ley asociativa).

Demostracin. La demostracin de: las leyes a) y b) se deja como ejer-cicio para el lector (ver 2 .1.9). Se demostrar la ley asociativa.

Si x E (E U F) U G, se tiene x E E U F x E G; si x E E U F se tiene x E E x E F, en el primer caso x E E U (F U G) y en el segundo , x E FU G, con lo cual tambin x E E U (FU G); si x E G se tiene x E FU G, y por lo tanto x E E U (FU G). Se ha probado que (E U F) U G C E u (F u G), veamos ahora la inclusin inversa. Si x E E U (F U G), se tiene x E E x E FU G; si x E E se tiene x E E U F , con lo cual tambin x E (E U F) U G; sixE FUG, se tiene x E F x E G, en ambos casos x t: (E U F) U G. Por lo tanto E U (FU G) e (E u F) U G.

Ejercicios

2.1.9. Demostrar las leyes a) y b) del teorema anterior. Obtener como consecuenci~ de b) las siguientes: a) E u E::::: E. bJ E u e/>= E.

2.1.10. Sean A= {{l,2,3}, l}; B= {l,2,3}, C= {2,3,4}, D = {{2, 3}. l, S}, Hallar A U B, A U C y A u.o.

2.1.11. Sea E el conjunto c~1yo:: elementos son el cpnjunto de los nmeros

15

INTRUVUCC/ON A J,A Tt:OR/A nE CONJUNTOS

pares y el nmero l, sea F = {l,5,2} y sea G = {5,3,2}. Hallar E u F y E U G.

2.1.12. Hallar la unin del conjunto formado por todas las rectas del plano y el punto P con el conjunto formado por todos los puntos de una recta dada. Dividir en dos casos segn esta recta contenga o no al punto P.

2.1.13. Demostrar que si X e Y son dos conjuntos resulta: (?(X) u Q(Y) e Gl(X U Y); (ver 1.5). b) Dar un ejemplo en el que no se verifique la inclusin inversa. Se extender ahora la definicin de unin de dos conjuntos para

el caso de un nmero n de conjuntos.

2.1.14. Definicin. Sean E1 . , En n conjuntos. Se llama unin o reu nin de E1 , , En al conjunto cuyos elemenots pertenecen a uno al menos de los conjuntos dados.

Notacin. Se desgina a la unin de los conjuntos E1 , , En con E1 U ... U En o tambin con 0 E;.

/e En forma abre~ada se pueden escribir: (j E1 = {.x: x E E; para algn i = 1,. .. n}.

,_ 1 .

Ejemplos

2.1.15. {l,3,2}U{l,5}U{7,9,2}U{8,5,4}={1,3,2,5,7,9,8,4}

2.1.16. Sea A el conjunto de nmeros de cuatro cifras que tienen por lo menos un cero, y sea, para i = 1, 2, 3, A; el conjunto de nmeros de cuatro cifras que tienen i ceros y las 4 - i cifras restantes diferentes de cero. En estas condiciones se tiene A = e.i A;. En efectQ, si x E A, tiene i= 1 . por lo menos un cero; si tiene tres cifras distintas de cero pertenece a A1 , si tiene dos cifras diferentes de cero pertenece a A2 y si tiene una sola cifra distinta de cero pertenece a A1 ; en cualquiera de los tres casos x E ei A;, con lo cual A e o A; . ,. 1 3 ,_ 1 Por otra parte, si x E .u A se tiene que x E A, para algn

,,. i'3i = 1, 2, 3, y como cada A C A, resulta x E A, con lo cual 1";!1 A1 CA.

2.1.17. La unin de los intervalos naturales [O, i), para = O, .. , n,

16

l

l

OPERACIONES ENTRI:: CONJUNTOS

es el intervalo natural [O, n J. En efecto, se tiene evidentemente que (O, n] e (O, O) U ... U [O, n], y como por otra parte, (O, i) e (O, n) para i = 1 ... n, razonando como en el ejemplo anterior, se obtiene (O, O) U . . . U {O, n] C [O, n].

2.1.18. Teorema. a) Sean..k 1 , , k,. una ordenacin cualquiera de los ndices 1, .. . , n, entonces

.6 Ek . = (j E; (ley conmutativa). I= 1 1 te 1

b) Sea E un conjunto tal que, para todo i, i = 1, ... ,n, se cumple E; C E, entonces

d E; CE. ji;:; l c) Para todo nmero natural j, tal que 1 ~ j ~ 11, se cumple

( 6 E) u G o E,\ = E i=I' i=+I') i=l 1 Demostracin. Se deja como ejercicio para el lector (ver 2.1. 19).

Nota. Se puede definir "por recurrencia" la unin de /1 conjuntos a partir de la definicin de unin de dos conjuntos. Por 2.1.1 . se conoce el significado de E 1 U E2 ; para un tercer conjunto E.i se escribe

. E;= (E 1 U E2 ) U E3 , y en general para 11 conjuntos /= 1

.u E = .u E; u E,, ti ( 11-1 ) -1=1 1=l .

Ejercicios

2.1.19. Demostrar el teorema 2.1.18 y como consecuencia de la parte b) probar: a) E U E u E . ... U E = E .

n veces

b) E u~ u , .. u~= E. c) E; e E; + 1 , i = 1 , ... , /1 - I, ~ .6 E; = En .

t= 1

2.1.20 . . Sean r1 , , r n 11 nmeros naturales tales que r1 ~ . ~ r11 ; 11~1 Demostrar que y {x: r; ~x

INTRODUCCION A /.A Tt:O"R.IA DE CONJUNTOS

n-1 .u {x: r; ~ x t;;; r;+ 1 } C {x: r ~ x :i:;; R}. ;

Proponer un ejemplo donde no se verifique la inclusin inversa.

2.1.22. Demostrar: . Cf(E;) e f?(. E~. (ver 1.5) '.I . '' ')

2.2. INTERSECCION.

2.2.1. Definici11. Sean E y F dos conjuntos. Se llama .. interseccin"' de E y F al conjunto cuyos elementos pertenecen J la vez a E y a F.

Notacin. La interseccin de los conjuntos E y F se designa con E n F. En forma abreviada se puede escribir

E n F = {x: x E E. x E F}

F.

F

~ EnF Figura J.

Ejemplos

2.2.2. Segn las notaciones de 2.1.4, A n B = C.

2.2.3. {7. 8, 9} () {3. 2. 8} = {8}.

2.2.4. La interseccin de los intervalos naturales (O, 10) y (S. IS] es el intervalo natural [S. 10).

2.2.S. Siendo A= { {::!, 3}. {9}}y B = {::!, 3, 9} es A n B =. (Notar la diferencia entre el elemento 9 y el conjunto cuyo nico elemen-to es 9).

2.2.6. Sean K! = {~k - 3:'k = 2.3.4,S,,7} y K 2 = {3k - 2: k = 1,

18

vrr:.r y Q dos puntos distintos del p lano; la interseccin del conjunto de rectas que pasan por P con el conjunto de rectas que pasan por Q es la recta determinada por P y Q.

2.2.8. Si C es el conjunto de puntos de un crculo y D es el conjunto de untos E n F. Sea ahora x E F, como por hiptesis Fe E se tiene x EL por lo tanto x E En F, con lo cual F C En F. bta inclusin con la inversa ya demostrada da , por 1.1.13, HH =F.

Suponiendo ahora F n E= F, se demostrar F C E . En efecto , si x E F. siendo F = F n E, resu lta x E E, con lo cual F CE.

Ejercicios

2.2.10. Probar las leyes a) y c) del teorema 2.2.9 y obtener como conse-cuencia de b) l;is siguientes: a) En E = E. b) n E=.

2.H l. Sean X e Y dos conjuntos. Demostrar: (?(X) n (f(Y) = (?(X n Y). .

2.2.12. Sean'! y b dos rectas de un plano a y sean

19

INTRODUCCION A LA TEORJA DE CONJUNTOS

R 1 = {r: res recta de a, r 11 a}, R1 = {r: r es recta de a, r 11 b}.

Hallar Ra n R1 en los casos

a) a 11 b, b) a -!+b.

2.2.13. Siendo A = {x: x EN, JO< x 1 ~ 300}. B = {x: x EN, I ~ 3x-2 ~ 30} hallar A () B.

2.2.14. Demostrar que siendo: F{{x,y}: x,y EN, x +y= 10} y G= { {x, y}: x, y, E N, x - y = 3} , resulta F () G = t/I.

2.2.15. Demostrar que siendo: e = {x: X es mltiplo de 2 }, D = {x:x es mltiplo de 5} , E= {x: x es mltiplo de ll resulta C () D =E.

2.2.16. Definicin. Dos conjuntos E y F son "disjuntos" si E n F = t/I.

Ejemplos

2.2.17. Son disjuntos A y Ben 2.2.5 y F y Gen 2.2.14.

2.2.18. El conjunto de los nmeros naturales pares es disjunto con el conjunto de los nmeros naturales impares.

2 .2.19. El conjunto vaco es disjunto con cualquier conjunto (ver 2.2.10).

2.2.20. Siendo a una recta del plano, son disjuntos los conjuntos e = {r: r es recta del plano, r 11 a} y D = {r: r es recta del plano, r 1 a}

2.2.21. Si X e Y son dos conjuntos disjuntos, @(X) n rf(Y) = {t/I}. En efecto, si existiese un elemento Z :f:. t/I tal que Z E @(X) n n @(Y), se tendra por. definicin de interseccin Z E @(X) y Z E @(Y), luego segn la definicin del conjunto de partes (ver 1.5.1), resultara Z e X y Z e Y, y siendo por lptesis Z :f:. t/I, existira x E Z cumpliendo x E X y x E Y, lo cual es absurdo puesto que X n Y = t/I.

Se extender ahora la definicin de interseccin de dos conjuntos para el caso de un nmero finito de conjuntos.

2.2.22. Definicin: Sean Ea , ... , En, n conjuntos .. Se llama interseccin de

20

J

Ol'l:.RA CJONF.S f."NTRE CONJVNTOS

E1 En al conjunto cuyos elementos pertenecen a todos los conjuntos dados.

Notacin. Se designa a la interseccin de los conjuntos E1 , En con Ea n . .. n E,,. o tambin con .0 E.

. 1 - 1

En forma abreviada se p~ede escribir 11 { E d . .

. n E, = ;e x E , para to o 1, 1 1=1

1, . . . 11} .

Ejemplos

2.2.23. {2, 5, 8, 9} n {5, 9} n { 1, 3, 8, 5, 9} n {JO, 5. 9) = {5. 9 ) 2.2.24. La interseccin de los intervalos naturales ! O, i), para i = O, .. .. 11 .

es el conjunto unitario {O}.

2.2.25. Sean D el conjunto de los nmeros primos, E el interva lo natura l (O, 20) y F el conjlinto de los nmeros nat urales. una por lo menos de cuyas cifras es 3. Entonces resulta D n F n F = { 3. 13} En efecto, el conjunto de los nmeros primos comprendidos entre O y 20 incluidos, es decir D n E, es el conjunto ( 1, 2. 3, 5. 7, 11, 13, 17, 19}; al intersecar este conjunto con F quedan solamente. los nmeros en los cuales una por lo menos de cuyas cifras es 3.

2.2.26. Sea C el conjunto de todos los cuadrilteros, R el conjunto

INTRODl.X'CION A /,A TEORIA DE CVNJUN7VS

Demostracin. Se deja como ejercicio (ver 2 .2.28).

Nota. Como en el caso de la unin de 11 conjuntos se podra haber definido por recurrencia la intersecccin de 11 conjuntos. se define como en 2.2.1 la interseccin de dos conjuntos E 1 y E2 ; para un tercer conjun-to E3 se escribe:

.1 n E= (E 1 n E2 ) n E3 y en general para /1 conjuntos 1= 1 11

n E= i= 1 1

11- 1 n F.,

'= 1 n E".

Ejercicios 2.2.28. Demostrar el teorema 2.2.27 y obtener como consecuen..:ia de b)

las siguientes leyes:

a) En . . . n E= E. n veces

. 11

b) E e E;. 1 ' i = 1, . . .. /1 - 1 ~ n E; = E 1 t=I

2.2.29. Demostrar la parte b) del teorema 2 .2.27 emplcu.nJ0 el principio de induccin completa (ver Preliminar sobre el princi pio de induccin completa).

2.2.30. Sean r 1 , . ,r,,. 11 nmeros naturales tales que r 1 ~ . . . ..;; r,, IJ - 1

Hallo.:r el valor de 0 {v r ,;::: x,;::: r } t -1 ~'\ I "'-;:;:: ~ I + 1

en los casos

a) r 1 = r 2 = ... = r,,, b) r, =Fr2,r2 =r3 = . . . =r,, e) r 1 =F r2 * r =F rk. con 2 < j < 11 y j < k ~ 11.

2.2.31. Sea A el conjunto de nmeros fraccionarios con numeradL'r y denominador natural, uno por lo n'lenos de los cuales es 5. B el conjunto de nmeros fraccionarios en los cuales el deno-minador es mayor o igual que el numerador. y C el conjunto de nmeros fraccionarios tales que Id suma del numerador y del denominador es un mltiplo de 2. Demostrar

22

\ n B ()e= K1 u Ki . donde K1 = {(5 -2k)/S: k =O, 1. 2} y

K1 = {5/(S + 2k) k =O, l, 2, ... }.

\ 0/'LRA C/ONl:S l::NTRE CONJUNTOS

2.2.32. Sea D el conjunto de nmeros de tres cifras y sean E0 E 1 y E2 el conjunto de nmeros naturales. una por lo menos de cuyas cifras es O. l. 2. respect ivame nte. Hallar D n E0 n E1 n E2 .

/"3 ,, 11 /;) 2.2.33. Demostrar que v ( .n E)= .n LT( E; ) .

1=1 1; 1

2.2.34. Siendo/\.= {2. 3, 5, 7. 8 ), B = {3. S. 1}, C' = {7, 9), D = {9, 4 , 1}, Hallar (A n Bl U (C n 0); (Bu C') n A: (A n D) U A U B.

{ 2.3. DIFERENCIA

2.3.1. /Jcj/i1ici11. Sean E y F d

INTRODUCCJON A LA TEORJA DE CONJUNTOS

2.,3.6. El conjunto de los tringulos menos el conjunto de Jos polgonos que tienen, i>or Jo menos, un par de lados desiguales es el conjunto de los tringulos equilteros.

2.3.7 . Sean C y C .. dos crculos con contorno incluido, concntricos, de radios r y r' respectivamente . Suponiendo r > r', C - C' es la corona circular que muestra la figura 5, con la circunferencia exte-rior incluida y la circunferencia interior excluida.

Figura 5

2.3.8. Teorema. Siendo E, F y G conjuntos, se cumplen las siguientes leyes:.

a) E - E= 4>. b) E - =E. c) 4> - E=, d) E - F = F - E => E = F, e) (E - F) - G C E - (F - G).

f . -

Demostrqcin. Las demostraciones de las partes a), b), c) y d) se dejan como ejercicio para el lector. Se probar e}. Sea x E (E - F) - G; por la definicin 2.3.1 de diferencia de dos conjuntos, se tiene x E E - F y x f$. G, de donde, por la misma definicin, x E E y x f$. F, luego x

JNTRODUCC!ON A !.A Tt:ORIA DE CONJUNTOS

2.3.13. Siendo A={l,5,7}, B={7,3,4,2,I}, C={5}, D={2,9,7}, hallar (B - A) U C; (B - A) - (CU O); (A U B) - (D u C) y A U (B - O).

2.3.14. Para tres conjuntos A, B y C demostrar: a) A - (B - C) =(A - B) u (A n C). b) A U (B - C) = (A U B) - (C - A). c) A n (B - C) =(A n B)- (A n C).

2.4. COMPLEMENTO

2.4.1. Definicin. Sean E y F dos conjuntos tales que F C E. Se llama "complemento de F con respecto a E", o "relativamente a E", a la dife-rencia E - F.

Notacin: Se designa al complemento de F con respecto a E con el smbolo~ F

En forma abreviada .se puede escribir CFx={x: xEE,x


2.4.l l. Demostrar que si A y B son subconjuntos de un conjunto E se cumple:

a) A e B - CA :J CB. b) B e CA - A e CB. c) CB e A - A e B.

2.4.12. Demostrar que si A y B son subconjuntos de un conjunto E se cumple:

a) A - B = A n CB. b) A =(A n B) u (A n CB). c) A u B =(A n B) u (A n CB) u (CA n B).

2.4 .13. Sean C = {7, 8, 9, 5 , l} , D = {l , 8}, E = { 8, 9, 5, 1 } y F = {l , 9, 7} Hallar:

a) (Con F) u CE. e e

b) (F n C) u CD. E

c) C(E - F) u D. e

2.4.14. Con las notac;iones del ejerc1eto anterior expresar E U F como unin de tres conjuntos disjuntos.

J-2.S. LEYES DISTRlBUTIV AS Y FRMULAS DE DE MORGAN 2.5.l. Tcorem:i. Siendo E, F y G tre;s conjuntos, valen las siguientes

leyes llamadas distributivas:

a) E n (F u G) = (E n F) u (E n G) b) E u (F n G) = (E u F) n (E u G).

Demostracin. Probaremos la ley a), dejando la b) como ejercicio para el lector.

Sea x E E n (F U G), entonces en virtud de la definicin de intersec-cin 2.2.1 x E E y x E FU G; de este ltimo hecho resulta, por la definicin de unin 2.2.1, que x E F x E G. Analizaremos ambos casos:

Si x E F, como tambin x E E, resulta que x E E n F y por lo tanto x e (E n F) u (E n G).

Si x E G, como tambin '= E E, resulta que x E En G y por lo tanto x E (E n F) U (E n G).

28 .,,)

~

l

1


Se ha demost.rado entonces: E n (F U G) e (E n F) u (E n G). Sea ahora x E (E n F) U (E n G), entonces por definicin de unin,

X E E n F X E E n G. Si X E E n F resulta que X E E y X E F' luego X E E y por definicin de unin, X E F u G y por lo tanto X E E n (Fu G).

Si x E En G resulta que x E E y x E G, Juego x E E y x E Fu G y por lo tanto x E E n (Fu G). Entonces (En F) u (E n G) e En (F n G), y con la inclusin inversa ya probada queda demostra.a la parte a) del teorema.

2.5.2. Teorema. Sean F y G dos conjuntos, ambos subconjuntos de un conjunto E; entonces valen las siguientes leyes, llamadas de De Morgan:

a) C(F u G) = C F n CG. E C E

b) C(F n G) = CF u CG . . E E E

Demostracin. Probaremos Ja frmula a), dej~ndo la b) como ejercicio. Sea X E c {Fu G); por definicin de complemento (2.4.1), X E E y

;:: tf- F u 9, con lo cual, por definicin de unin, X E E y X tf- F y X~ G, de donde, X E e F y X E c G, con lo cual, por definicin de interseccin, x E C F n C G. Luego, C(F U G) C C F n C G.

Sea ahora, x E CF n CG, entonces, x E E y x ~ F y x f:. G, de donde x E E y x f. Fu G, con lo cual, x E C(F u G); luego, CF n CG e C( FU G). Esta ltima inclusin, con la inversa ya demostrada, prueba la parte a) del teorema.

Nota: Las frmulas de De Morgan se enuncian en forma abreviada diciendo;, "el complemento de Ja unin es la interseccin de Jos comple-mentos, y el complemento de Ja intersecin es la unin de los comple-mentos". Recordando esta regla y la ley de involucin C (CF) = F del teorema 2.4.7 se puede hallar fcilmente el complemento de una expresin donde figuren uniones o intersecciones. Propongmonos hallar, por ejemplo, el complemento de (CA u B) n (C u CD).

Por las frmulas de De Morgan: C{(CA u B) n (Cu CD)}= C(CA u B) u C(C u CD)= (C{CA) n B) u (CC n c (CD)] y por Ja ley de involucin obtenemos finalmente:

(A n CB) u (CC n D).

Ejercicios

2.5.3. Probar la parte b) de los teoremas 2.5.1 y 2.5.2.

79

INTROOUCC/ON A LA TEORIA DE CONJUNT()S

2.5.4.

2.5.5.

Como generalizacin para un .nmero finito de conjuntos de las . leyes distributivas de 2.5. I, probar:

a) (0 E;) n (. F)= . u (E 1 n f 1). 1=1 =1 1=1 . n i=1 n

b) c E) u e.A F ) = n (E; u F). . i=I 1 =1 / 1=1 . n

J = 1 11

Como gen~ralizacin , para un nmero finito de conjuntos, de las leyes de De Morgan de 2.5.2 probar:

a) C (. E)= .n CE . t= 1 1 1 =I 1

n n b)C(nE;)= UCE;.'

e 1 'IC 1

2.S.6. Encontrar los complementos de las siguientes expresiones: a) AUBUCC; b) (AUCBUCC}n[AU(BUCC)). b} AU[Bn(CUCD)]. d) (CAUB}n(AUCB) .

2.6. DIFERENCIA SIMTRICA 2.l.l. Definicin. Dados dos conjuntos E y F, se llama diferencia sim-trica de E y F al conjunto (E U F) - (E n F) .

La diferencia simtrica de E y F es entonces el conjunto de puntos que pertenecen a E o a F, pero no a ambos a la vez.

Notacin. Se designa con E A F a la diferencia simtrica de E y F.

~ ~EAF Figura 8

El siguiente teorema permite expresar la diferencia simtrica empleando las operaciones de unin, interseccin y complemento.

2.6.2. Teorema. Para dos conjuntos E y F se tiene a) E A F = (E u F) n C (E n F), b) E A F =(En e F) u (C ~ n F).

t \ 1 ,

(,

J

O.PERACIONES ENTRE CONJUNTOS

(el complemento se toma con respecto a un conjunto cualquiera que contenga a los conjun:os dados) .

Demostracin. La demostracin de la parte a) es una consecuencia inmediata de las definiciones. Probaremos la iguaidad b) demostrando que su segundo miembro es igual al segundo miembro de a) .

Por una de las frmulas de De Morgan (teorema 2.5.2), resulta C(E n F) .=e E u e F,

(E u F) n e (E n F) = (E u F) n (e E u e F) de donde aplicando la propiedad distributiva de la interseccin, (teorema 2.5 . 1 1) el segundo miembro de la igualdad anl.erior se transforma en

[(E u F) n e E] u [(E u-F) n e F], volviendo a aplicar a cada parntesis la misma propiedad se obtiene

[(E ne E) u (F ne E)] u [(En CF) u (F ne F)), como E n CE = F n C F = (teorema 2.4.7) la expresin anterior es igua l a:

(F nCE)U(EnCF), la cual por las propiedades conmutativas de la unin e interseccin, es igual a:

(E n e F) u (CE n F). Esto concluye la demostracin del teorema.

Ejemplos

2.6.3. {l,2,3,4} A {2,5,4,7}={1,J,5 , 7} .

2.6.4. Con las notaciones 2.1.7, K A Les el conjunto de nmeros de dos cifras en los cuales ambas son distintas.

2.6.5. Con las notaciones de 2 .1.4, A A B s el conjunto de personas que hablan ingls y no hablan francs o que hablan francs y no hablan ingls.

2.6.6. Si P es el conjunto de los nmeros pares y C es el intervalo natural [IO, 20], P A Ces el conjunto de los nmeros pares menores que 10 y mayores que 20, unido con ei conjunto de los nmeros impares comprendidos entre 10 y 20.

2.6.7. Teorema. Siendo E, F y G tres conjuntos, valen- las siguientes igualdades:

31


a) E A ~ =. F A E (propiedad conniutativa). b) (E A F)" A G = E A (F A G) (propiedad asociativa). c) E A lf> =E. d) E A E= q,. y) (E A F) n G = (E n G) A (F n G) (propiedad distributiva de

la interseccin con respecto a la diferencia simtrica).

Demostracin. La propiedad conmutativa surge inmediatamente del teorema 2.6.2 y de las propiedades conmutativas de la unin e interseccin, (se deja como ejercicio). Demostraremos la propiedad asociativa .

Por la parte b) de 2.6.2 se tiene (E A F) A G) = ((E A F) n C G) U (C (E A F) n G); (1)

por otro lado, de la parte a) del mismo teorema se obtiene: E A F =(E u F) n C(E n F) ,

de donde, por las frmulas de De Morgan 2.5.2 y la ley de involucin del complemento 2.4.7, e) resulta

c (E F). = C(Eu F) u (E ('\ F) = (CE ('\ c F) u (E ('\ F); reemplazando esta expresin en (1) y desarrollando E A F segn la parte' b) de 2.6.2, el segundo miembro de (1) se transforma en

{((E ('\ c F) u (CE ('\ F) 1 ('\ {[(CE ('\ c F) u (E ('\ F)J ('\ e}; por la propiedad distributiva de la interseccin 2.5.l, a) y por las propie-dades asociativas de la unin e interseccin, la expresin anterior es igual a: .

(E ('\ c F n c G) u ( c E ('\ F ('\ c G) u ( c E ('\ c F ('\ G) u (E ('\ F ('\ G) . (2) El segundo miembro de la igualdad que se est demostrando es igual, por la propiedad conmutativa de la diferencia simtrica supuesta ya demostrada, a (F G) A E, cuyo desarrollo se puede obtener, sin necesidad de- repetir el proceso anterior, cambiando en (2) E por F, F por G y G por E se tiene entonces

(F ~e) E= (F n e en e E) u (CF nen CE) u (CF n CG n .E) u (F n G n E),

expresin que coincide con la (2) salvo el orden de los paintesis y de los elementos dentro de cada parntesis; luego por las propiedades conmutativas de la unin e interseccin resulta finalmente

(E A F) A G) = E A (F A G). Las igualdades c) y d} se dejan como ejercicio. Demostraremos abo~ ~ propiedad distributiva e):

Por teorema 2.6.2 parte b ), se tiene

32

~ ; .

'

I ,.

1

OPI::RACIONt:S ENTRE CONJUNTOS

(E A F) n G =[(En CF) u (CE n F)) n G, lo que a su vez es igual, por la propiedad distributiva de la interseccin con respecto a la unin a:

(EnCFnG)U(CEnFnG) (3) Empleando nuevamente..el teorema 2.6.2 parte b), resulta

(En G) A (F n G) =[(En G) n C(F n G)) u [C(E n G) n (F n G)) ; por las frmulas de De Morgan, el segundo miembro de esta ltima igualdad se convierte en:

[(En G) n (C Fu CG)J u [(CE u CG) n (F n G)), y por la propiedad distributiva de la interseccin con respecto a la unin y la asociativa de la interseccin, en

(E('\ G ('\ e F) u (E('\ e() c G) U-(C E('\ FnG)U(C G n F ('\ G), el segundo y el ltimo parntesis de la expresin anterior pueden supri-mirse puesto que G n C G = q,, con lo cual, por la propiedad conmutativa de la interseccin, la ltima expresin resulta igual a la (3) , Esto termina la demostracin de la propiedad e).

Ejercicios

2.6.8. Demostrar las igualdades a), e) y d) del teorema 2.6 .7.

2.6.9. Averiguar si la unin es distributiva con respecto a la diferencia simtrica.

2.6.10. Demostrar: A B = lf> ~A= B.

2.6.J l. Demostrar: (A B) u (B C) =(A u Bu C) - (A n B n C).

2.6.12. Sea F un conjunto de conjuntos finitos, para cada A E F, desig-naremos con c (A) al nmero de elementos del conjunto A. Definiremos una distancia entre los elementos de F en la siguiente forma: si A y B pertenecen a F, la distancia de A a B, a la cual simbolizaremos con d (A, B) es el nmero de elementos de la diferencia simtrica A B. Es decir

d (A, B) = c (A B) a) Demostrar que esta distancia goza de las propiedades que se le exigen a una mtrica', a saber:

1) d (A, B) ;;;r, O :i) d (A, B) = O si y slo si A = B

, ,,

33

INTRODUCCION A LA TEORIA 01:: CONJUNTOS

3) d (A, B) = d (B,_A) 4) d (A, C) .;;;; d (A, B) + d (B, C) b) Para X, A y B pertenecientes a F, diremos que "X est entre A y B" si d (A, X) + d (X, B) = d (A, C) Probar que X est entre A y B si y slo si

A () B e X e A u B. c) A cada palabra de la lengua castellana le haren1os corresponder el conjunto de sus letras afectadas por subndices de acuerdo con el lugar que ocupan, por ejemplo a la palabra "telfono: le co;respon~ de el conjunto {t1, e2 , 13 e4, fs, 0 6 , n1, 0 6 }. La distancia entre dos palabras, ser por definicin, el nmero de elementos de la diferencia simtrica de los conjuntos correspondientes, por ejemplo, d (mam, pap) = 4, puesto que la diferencia simtrica de los conjuntos {m1 a2 , mJ, a4 }, {p1, a2. p3. a4} es {m1, m1, Pi. P2} Calcular d (vida, vid), d (abuelo, abuela). Existen palabras entre "cielo" y "tierra" distintas de estas dos? y entre mam y pap?

2.6.13. Se dice que el conjunto E de los nmeros enteros constituye un "anillo conmutativo con unidad en respecto a I;,~ operaciones de suma y producto" porque la suma y el producto de dos nmeros enteros son nmeros enteros y se cumplen adems las siguientes propiedades:

'l.S.

a) propiedad conm;itativa de la suma: para todos a, b, E E: a+b=b+a

b) propiedad asociativa de la suma: par.i todos a, b. e, E r a+ (b +e)= (a + b) +e

c) existencia del elemento neutro: existe un nmero entero e (el nmero O) tal que, para todo a E E,

a+ d.=a

d) existencia del inverso: para todo a E E, eXiste un entero a' (el nmero - a) tal que

a+a'=e

e) propiedad asociativa del produ.cto: para todos a. b, e, E E, a (be) = (ab) e.

t) propiedad distributiva del producto con respecto a la suma: para todos a, b, e, E E,

\

,:

J


(a + b) e = ac + be . gl propiedad conmutativa del producto: para todos e, b, E E

ab = ba. h) existencia de la unid:id: p:ira todo a E E, existe un entero k

(el nmero 1) tal que ak =a

Sea ahora X un conjunto, entre las operaciones U, n. -, C, y t:.., elegir una de ellas (.'Omo suma y otra como producto de modo que (?(X) (ver 1.5.l) munido de estas operaciones constituya un anillo conmutativo con unidad.

.a: 2.7. UNIONES E INTERSECCIONES GENERALIZADAS

Hasta ahora se han definido (en 2.1 y 2.2) uniones e intersecciones de conjuntos en nmero finito. Extenderemos estas. definiciones para un conjunto de conjuntos cualquiera. Emplearemos letras maysculas cursivas para designar a conjuntos de conjuntos.

2.7.l. Definicin. Sea '} un conjunto de conjuntos, se llama "unin (o reunin) de los conjuntos de 'J-"al conjunto cuyos elementos pertenecen a uno al menos de los conjuntos de 1.

Notacin. Se designa con el smbolo U X a la unin de los conjuntos d Xel

de .r. En smbolos U X {x: x E X para algn X E i }

X e J. 2.7 .2. Definicin. Sea "J. un conjunto de conjuntos, se llama "intersec-cin de los conjuntos de ~" al conjunto cuyos elementos pertenecen a codos los conjuntos de '5'.

Notacin. Se design:t con el smbolo. n x a la interseccin de los Xe':t

conjuntos de '"!!. En forma abreviada n X = {x: X E X para todo X E '5'} Xe~

Nota. 1) Muchos autores acostumbran llamar a un conjunto de conjuntos "familia de conjuntos". Nosotros no adoptaremos esta nomen-clatura porque emplearemos ms adelante (3.11.1) la palabra "familia" con otro significado.

2) Si se efectan, segn las definiciones la unin y la interseccin de los conjuntos de 1, en la hiptesis: ~ := tP resulta.

35


U x = if>, puesto que si existiera un elemento x tal que X E


que X E e X, de donde, X E E y para algn X de lo ' X $. X. con lo cual X E E y X$. n X y, por Jo tanto, X E e n.._x. XE~ Xfv

Ejercicios 2.7 .7. Demostrar la frmula a) del teorema 2.7 .6.

2.7 .8. Sean a y b dos nmeros naturales tales que a~ b, y sea ~ el conjunto de intervalos naturales de extremos e y d, para todos e y d naturales tales que e): a y d ,;;:;; b. Hallar la unin y la inter-seccin de Jos elementos de ';.1- en los casos siguientes:

a) a= b, b) a* b.

2.7.9. Sea M un conjunto de puntos del plano y sea X e! conjunto de puntos de una circunferencia que pasa por todos los puntos de M. Llamamos 3 al conjunto de todos los conjuntos X. Encontrar la unin y la interseccin de los conjuntos de 'J. en los siguientes casos:

a) M = cf; b) M es un conjunto de un solo punto. c) M es un conjunto de dos puntos. d) M es un conjunto de tres puntos no ali~eados. e) M es un conjunto de tres puntos alineados.

2.7.10. Sea 1- un conjunto de conjunto~. Para un conjunto A cualquiera, las intersecciones de A con cada elemento del conjunto 1 constituyen un nuevo conjunto de conjuntos, al cual llamaremos;(,. Para

38

simplificar la notacin, en lugar de escribir U .,,(A n B), A ()BE""

pondremos U~ (A n B), Igualmente si ~ es otro conjunto de BE~

conjuntos, Ja3 intersecciones de cada elemento de t.l con cada ele-mento de 1 , constituyen otro conjunto de conjuntos, al cual lo llamaremos .f, ; por abuso de notacin en lugar de escribir

u , {A n B), pondremos: U,.(A n B). AnBf.u Af,

B E:1 Teniendo en cuenta estas convenciones, demostrar las frmulas

a) A n ( u . B) = . u (A n B) B~ OE3'

b) ( u A) n ( u B) = U~{A n B). A!f BE1 AE

BE

. ! '

fJPt:J

INTRODUCC/ON A LA TEORIA DE CONJUNTOS

de donde {a} = {a'} y por lo tanto a =a'. Como tambin b = b' ,par ser b = a y b' = a', llegamos a la tesis. b) Supongamos a i= b, entonces tambin a' i= b', porque en caso con tracio los conjuntos de la igualdad (I) tendran distinto nmero de elementos.

De ( 1) se obtiene: {a} E {{a'}, {a', .b'}} y corno {a} * {a', b'},_debe ser {a}= {a'} con lo cual es a =a'. Tambin {a, b} E {{a'}, {a', b}} y como {a, b}., {a'} debe ser {a, b} = {a', b'}. 1uego siendo a= a' y b * debe ser b =b'. Hemos probado entonces la primera parte del teorema. c) Supongamos ahora que a = a' y b . = b' y demostraremos que (a, b) =(a', b').

Siendo a =a' y b = b' resulta {a} = {a'} y {a, b} = {a', b'} y entonces {{a}, {a, b }} = {{a'}, {a', b}}, o sea, (a: b) = (a', b').

2.8.3. De]micin. Dados dos conjuntos, E y F, se llama "producto cartesiano" (o simplemente "producto") de E y F al conjunto de pares ordenados (a, b) tales que a E E y b E F.

Notacin. Se designa al productQ cartesiano de E y F con el smbolo E X F. .

En forma abreviada se tiene E X F ={(a, b): a E E, b E F}

Cuando E = F se suele designar con el smbolo E2 al producto E X E.

Ejemplos

2.8.4. Sea A= {O, l, 2} y B = {5, 6} A X B ={(O, S), (O, 6), (1, S), (1, 6), (2, S), (2, 6)}

2.85. Si N es el conjunto de los nmeros naturales {O} X N ~ {(O, x): x natural}, /

N X {O}= {(x, O): x natural}. 2.8.6. Si [a, b) = {x: x real, a~ x ~ b} y [c. d) = {x: x real, e ~x..;;; d}

[a, b] X [e, d) = {(x,y): x, y reales, a ..;;x ~b. e ~y ~d}. Mediante la correspondencia que se establece en: geometra anltica

entre nmeros reales y puntos de un eje, los conjuntos [a, b} y [e, d }. corresponden a segmentos ron extremos incluidos sobre ese eje. To-mando un sistema de dos ejes cartesianos y representando a, b J sobre uno de ellos y [e, d) sobre el otro, el conjunto [a, b] X [e, d] est representado por el conjunto de puntos del rectngulo de la figura con

40

r

t

OPERACIONES EN TRE CONJUNTOS

el contorno incluido. Los elementos de (a, b J X (e, d] son. las coordenadas cartesianas de los puntos de ese rectngulo.

d D '

' b

Figura 9

Ejercicios

2.8.7. Demostrar que si A* ifi , B * efl y A i= B, entonces: A X B * B X A. 2.8.8. Demostrar que : A X B = efl si y slo si A = efl B = efl.

2.8.9. En qu caso el producto cartesiano A X B tiene elementos con ~guales coordenadas?

2.8.10. En qu caso (A X B) () (B X A) i= ip '!

2.8.l l. Demostrar que si A' y B' son dos conj untos no vacos, ento nces . A ' e A y B' e B si y solo si A' X B' e A X B.

2.8.12. Demo~trar que a) (A U B) X C = (A X C) U (B X C). b) (A() B) X C = {A X

INTRODUCCION A LA Tt:ORJA DE CONJUNTOS

a) (A X B) - (C X D); b) (A - B) X (D - C), c) [(BU C) n DJX(A-D).

2.8.14. Definicin. Sean. E 1 , E2 y E 3 tres conjuntos, se llama "pro

_,

C'Al'ITL1LO 111

CORRESPONDENCIA Y FUNCIN

3.1. GRAFIC AS

3.1.1. Definicin. Un conjunto G es una grjfica si sus elementos son pares ordenados. Si Ges una grfica y (x. y) E G. se dice que "y es el correspondiente de x por G".

"-.] 3.1.2. Dcfi11iciu11. Si G es una grfica. se llama primera (respectivamente ~segunda) proyeccin de G, al conjunto de las primeras (respectivamente ~ segundJs) coordenadas de elementos de G . .._./ . \ A la primera proyeccion de G se le suele llamar tambin "conjunto - de definicin de G" y a la segunda "conjunto de valores de G " .

/\'a1ac/i11. Se designa con pr 1 G y pr2 G a la primera y segunda. -.!....,. respectivamente. proyecciones de G.

J

Ejemplos

3.1.3. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es una gr~fica, pr 1 (A X 13) =A y pr2 (A X B) =B.

3.1.4. G 1 = { (x. y): x natural. y = x 2 }. es una grfica. Su primera pro-yeccin es el conjunto N de: los nmeros naturales y su segunda proyeccin es un subconjunto de N.

3.1.S. C2 = {(x,y): x natural. y real, .12 = x}, es una grfica. Su primera proyeccin es el conjunto N de los nmeros naturales y su segunda proyeccin no est contenida en N (por ejemplo no existe un nmero natural y tal que y 2 = 2).

3.1.6. e_, = {(x.y): X natural. y= 2x} . es una grfica. Su primcrJ pro-

44

1 1

1.

1

CORRESPONDE/\'CIA Y F UNCION

ycccin es N y su segunda proyeccin es el conjunto P de los nmeros pares.

3.1. 7. Sea O un punto de un plano o: y sea C una circunferencia de centro O y radio no nulo, contenida en o:. El conjunto de pares ordenados {a. A). donde a es una recta de o: que pasa por O y A un pu nto donde la recta a corta a C, es una grfica a la cual llamaremos C 4 La primera proyeccin es el conjunto de rectas del plano o: q ue pasa por O. La segunda proyeccin es el conjunto de puntos de C, puesto que si A es un punto de C, es el correspondiente a la recta OA por la grfica G4

Nota. Cuando los elementos de una grfica son pares ordenados de nmeros reales, es posible obtener una "representacin grafica: de la misma: se toma un sistema de ejes cartesianos en el plano y se representa cada elemento de la grfica por un punto del plano cuya abscisa es la primera coordenada del par y cuya ordenada es la segunda. Por ejemplo la " representacin grfica" de la grfica G 3 , _de 3.1.6, es la siguiente

1

1 i. .J .. s

Figura JO

Ejercicios .

3.1.8. Sea G una grfica. a) Demostrar que G C (pr1 G) X (pr2 G), j b) Con respecto a la inclusin de la parte a), dar un ejemplo en el que valga la inclusin inversa y otro en el que no valga,

c) Demostrar que si pr 1 C = t/J pr2 G = I/> resulta G =

INTRODUCCION A LA. TEORIA DE CONJUNTOS

c) Con respecto a la parte a), dar un ejemplo en el que la pro-yeccin de la interseccin coincida con la interseccin de las pro-yecciones, y otro en el que la proyeccin de la interseccin est contenida propiamente en la interseccin de las proyecciones.

3.1.10. Sea E un conjunto. Decir cules son las proyecciones de la grfica: {(X, x): X e E, X E X}. .

3.1.11. Encontrar la interseccin de las grficas G1 = {(x,y}: x natural.y= 2x + I}, G2 = {(x, y): x natural, y = 3x - 3},

y representarlas grficamente.

3.1.12. Decir cules son las proyecciones de la grfica G = {(x, 2): x natural}

y representarla grficamente

3.1.13. En igual forma, para la grfica. G = {(x, x}: x natural}.

3.2. DEFINICIN DE CORRESPONDENCIA Y RELACIN 3.2.1. Definicin. Se llama correspondencia o relacin entre un conjunto A y un conjunto B a una terna ordenada r = (G, A, B), donde G es una grfica tal que pr 1 G e A y pr1 G C B. Se dice que G es la grfica de f, A el conjunto de partida y B el conjunto de llegada.

Si (x, y) EG se dice tambin, que: "y es correspondiente de x por la correspondencia f "o que:" f hace corresponder al elemento X el elemento y". Para todo x perteneciente a pr 1 G, se dice que "la correspon-dencia r est definida para el objeto x", y pr1 G se llama el "conjunto de definicin de . r" o "dominio de f "; para todo y perteneciente a pr1 G, se dice que ''y es un valor tomado por f" y pr2 G se llama el "conjunto de valores de r ".

.

Ejemplos

3.2.2. Siendo A y B dos conjuntos, r =((A X B), A, B} es una correspon-dencia o relacin entre el conjunto A y el conjunto B.

3.2.3. Sean A ={O, l} y B = {O, 1, 2, 3}. Si G es la grfica: G ={(O, O), (O. 1), (0,2), (1,.3}}, entonces r = (G, A, B) es una

J ' i ~\

t

1

~ ,.

~

J .

CORRESPONDENCIA Y FUNCION

correspondencia entre. A y B. Esta correspondencia hace corres-ponder al elemento O de A los elementos 0,1 y 2 de B. Si C es el conjunto C ={O, 1, 2, 3, 4, 5} entonces I'' = (G, A, C} es una correspondencia entre A y C distinta de f a pesar de que ambas tienen la misma grfica y el mismo conjunto de partida. En casos como ste, donde la grfica es finita, suele ser til representar las correspondencias con diagramas como el siguiente, donde se ilustra la correspondencia f = (G, A, B).

o~: '~: 3.2.4. Sea R el conjunto de los nmeros reales, e indiquemos con el smbo-

lo 1 x 1 el valor absoluto de un nmero real x. Definimos la grfica G como

G = {(x,y): x,y, E R,y > lxl }, entonces r = (c. R, R) es una correspondencia o relacin entreR y l mismo. Esta correspondencia hace corresponder a cada nmero real x, infinitos nmeros reales: todos aquellos que sean mayores que el valor absoluto de x. Representados los elementos de G en coordenadas cartesianas, obtenemos t


3.25. Un conjunto de alum~os A ha respondido a un conjunto de pre-guntas B. Si G es el conjunto de pares (a, b) con a E A y y b E B, tales que el alumno a respondi correctamente a la pregun-ta h, se tiene una correspondencia (G, A, B) entre A y B.

Observacin. Ei lector puede notar que el concepto de correspondencia es una generalizacin del concepto de funcin, que se da habitualmente en los cursos de anlisis matemtico. En efecto, dado cualquier subconjunto de R X R, se lo puede tomar como grfica de una Correspondencia entre el conjunto de lo:; nmeros reales y s mismo. Ms adelante (en 3.6.2), introduciremos el concepto de funcin imponiendo condiciones ms restrictivas.

Ejercicios

3.2.6. Definir correspondencias cuyas grficas seaw las dadas en ( 3.1.10. 11, 12 y 13).

3.2.7. Siendo A= {O, I}, definir relaciones entre A y l mismo.

3 .2.8. Definicin. Sea A un conjunto. Se llama "relacin en A" o "relacin entre elementos de A" a toda correspondencia o relacin donde el conjunto de partida y el de llegada, son subconjuntos ele A.

Si R es una relacin en un conjunto A, y si y es correspondiente de x por la relacin R, se dice que "x e y estn R-relacionados" o que "x est R-relacionado con y" (o simplemente, cuando no da lugar a confusin, se dice que "x est relacionado con y) y se escribe: x R y. La negacin de la proposicin anterior se escribe x R y.

Obsrvese que 3.2.1 define el trmino "relacin" (o "correspondencia") en general. En cambio 3.2.14 define la locucin "relacin en A". Por razones de comodidad, usaremos siempre "correspondencia" para el caso general y "relacin" para el caso particular de 4.2.14.

Nota. Si R' es una relacin en un oonjunto A resulta muchas veces til representar los elementos de A mediante puntos y expresar que x est relacionado con y mediante una flecha de x a y. Por ejemplo, si A= {l, 2, 3, 4} y si G = {(l, 1), {l, 2}, (1, 4), ( 4, I)} es la grfica de una re-lacin en A, se obtiene el siguiente diagrama

1(\,--~ ~ 2 3

48

,,

!'.

{

.

CORRESPONDENCIA Y FUN CJU N

3.2.9. Sea A el conjunto de las rectas de los plano o:, y sea G la grfica G ={(a, b): a, b E A,a lb}, .

entonces la correspondencia R = (G. A, A) es una relacin entre las rectas de o: . Una recta del plano, est relacionada con todas las rectas del plano que le son perpendiculares.

3.2.10. Siendo G la grfica: G = { (x, y): x , y nat urales, x ~ y}, la co-rrespondencia R = (G, N, N), es una relacin en N. Un nmero natural, est relacionado con todos !os nme ros naturales mayores o iguales que l.

3.2.11 . Sea Bel conjunto de polgonos de /1 lados," los cuales se designar con letras griegas, y sea G la grfica.

G = {(o:, (3) : o:, {3, E B, o: semejante a 3}

La correspondencia R = (G, B, B), es una relacin en el conjunto de los polgonos de n lados. Un polgono de /1 lados est relacio-nado con todos sus polgonos semejantes.

3 .2.12 . Sea X un conjunto de individuos y R la relacin en X, x R y si y soll) si x es padre de y. Si se representa est

IN1'RODUCCJON A LA TEORIA DE CONJUNTOS

Notacin. Se designa a la imagen por r de X, con el smbolo f (X). Cuando X es un conjunto unitario, cuyo nico elemento es x, se conviene en escribir f (x) en lugar de f ({ x}). Luego en forma abreviada se tiene

f (X) = {y: y E f(x), para algn x E X}.

Ejemplos

3.3.2.

3.3.3.

Siendo r = ((A X B), A, B) con A * t/I, para todo subconjunto X de A no vaco, se tiene f (X) = B. En efecto, por definicin f(X) e B, y, adems, dado b perteneciente a B, para cualquier x de X, se verifica (x, b) E A X B. con lo cual b es el correspon-diente de X por r' de donde re!':ilta b E r (X) y' por lo tanto B e r (X), Sea Ja correspondencia r == (G, A. B) con A== {O, l, 2, 3}, B = {4, 7, 8,9, 10} y G={(0,4),(0,7),(0,10),(3,7) ,(3,9), (1, 8)} entonces,f({O, 3, 2}) == {4, 7, 10, 9}

o~; 1 8 2 9 3 10

3.3.4. Sea r la relacin en el conjunto R de los nmeros reales de grfica G=={(x,y):y1 =x}.Entoncesr({I,4})== {1,-1,2,-2}.

3.3.5. Sea r' Ja relacin en el conjunto R de Jos nmeros reales de gr-fica G' == {(x, y): y= x1 } . Entonces r' ({ 1,4}) == { l, 16}.

3.3.6. Si se designa con X al conjunto de personas que trabajan en una empresa determinada y con R Ja relacin en X definida por: x R y si y solo si y es subordinado de x, se tiene, para el director general a, R (a) = X. Adems, la igualdad R (u) == tfi para algn E X significa que no tiene personal a sus rdenes.

3.3.7. Teorema. Sean ':f un conjunto no vaco de partes de un conjunto A y r una correspondencia entre A y B. Se tiene entonces:

a) r ( u X) = u,r (X). X e1" X

b) r( n X) e n r(X). X 1 Xe'I

50

('

CORRESPONDENCIA Y F UNCION

Demostracin .. a) Sea y E f' ( U X), luego existe x E U-Y.X tal que Xe'i XJ

y E r (x). Pero si X E u ..,_X, por definicin de unin de los elementos de xe..-

un conjunto (ver 2.7.l), existe X E ~tal que X E X, de donde.Y E r (X)' con lo cual y E u1r (X). Recprocamente, si y E U r (X), existe xe xe~ X E ~ tal que y E f (X), de donde para algn .r E X , pero como tambin X E u X resulta y E r ( u .... X). :J,er (X) . .

X1 X ea rf"

b) Sea y E f ( n..,_X), luego existe x E n.,.X tal que y E f' (x). X a- X"

Pero si x E n X, por definicin de interseccin de los elementos de un Xara una correspondencia r cualquiera no vale en general la inclusin inversa de lgarte b) 'CleJ teorema anterior, es decir, es falsa en general la frmula ( n X) = n..,_r (X). Por ejemplo, sea f la corres-

tel X.-pondencia r = (A X B, A, B) y sean X e Y dos subconjuntos de A no vacos y disjuntos. Segn se demostr en 3.3.2, r (X) = f (Y) = B, con lo cual f (X) n f (Y) == B, mientras que f (X n Y) == f (t/I) == tfi.

Ejercicios

3.3.8. Sea r una correspondencia y sean A y B dos subconjuntos del conjunto de partida de f y tales que A e B. Demostrar que

r (A) e r (B)

3.3.9. Sea G la grfica de una correspondencia r y sea X un subconjunto de su conjunto de partida. a) Para X* tfi y XC pr1 G, demostrai que f(X)-:/= tf. b) Para X tal que X n pr1G = tfi demostrar que f' (X)= tf .

3.3.10. Sea G la grfica de una correspondencia r y X un subconjunto de su conjunto de partida. Si X :> pr1 G, demostrar que f' (X)= pr1 G.

3.3.ll. Sea R la relacin de 3.2.JO y X el intervalo natural (1, 10). Hallar R (X).

3.4. CORRESPONDENCIA INVERSA DE UNA CORRESPONDENCIA

3.4.1. Definicin. Sea G una grfica. Se llama "grf!ca inversa" de G

51

/

INTRODUCC/ON A LA TEORIA DE CONJUNTOS

a la grfica cuyos elementos son los pares ordenados (x, y), tales que (y, x) sea un elemento de G.

Notacin. La grfica inversa de G se designa con el smbolo c- 1 En fonna abreviada se tiene que

e- ={(x,y):(y,x)EG}. Se dice que una grfica Ges "simtrica" si G = c- 1

Ejemplos 3.4.2. Sean A y B dos conjuntos, y G = A X B, entonces resulta

c- 1 = B X A. En efecto, por definicin de grfica inveri;a, si (x, y) E c- 1 , se tiene (y, x) E G = A X B, luego (x, y) E B X A. Fcilmente se ve tambin que si (x, y) E B X A resulta que (x, y) E c- 1

3.4.3. La grfica inversa de la grfica- G 1 de 3. l.4 es un subconjunto de la grfica G2 de 3 .1.5, ms precisamente, G 1 -i coincide con el conjunto: G = {(x,y): y naturaly2 = x}. tNtese la exigencia en esta definicin, de que y sea un nmero natural; por ejemplo, el par (2, y'2) pertenece a G2, pero no a G). En efecto; Ja proposicin (x, y) E G 1- 1 es equivalente a (y, x) E G 1 , la cual, a su vez equivale a: y natural y x = y 2 , que es equivalente a (x, y) E G.

3.4.4. La grfica inversa de la grfica G3 de 3.1.6, es la grfica G = {(x,y):y natural, y =x/2}.

En efecto, la proposicin (x, y) E G 3 -l es equivalente a (v, x) E G 3, la cual a su vez equivale a: y natural y x = ly, que es equivalente a: y natural y y = x /2, y, por lo tanto, a (x, y) E G.

3.4.5. Con las notaciones de 3.1.7, la grfica inversa de la grfica G4 es el conjunto de pares ordenados (A, a). En efecto, dado el par (A, a). se tiene que a es una recta que pasa por O y que corta a la circunferencia C en el punto A; luego de acuerdo con la definicin de G4 resulta que (a, A) E G4 , con lo cual se tiene que (A, a) E G 4 - i . La recproca es inmediata.

Nota. Sea G una grfica de pares ordenados de nmeros reales. Para obtener la "representacin grfica" de e- 1 (ver 3.! nota) basta representar cada elemento de G por un punto del plano, cuya abscisa 11ea la segunda co-ordenada del par y. cuya ordenada sea la primera. As, por ejemplo, la

52

CORRESPONDENCIA Y FUNCIN

.. representacin grfica" de la grfica de G 3 , de 3.1.6, es la siguiente:

1 , i. .s .... :; 6

Figura IJ

Ejercicios

3.4.6. Hallar las grficas inversas de las dadas en 3.1.IO, 11. 12 y 13, representarlas grficamente (salvo la p:imera) y decir cul de ellas es simtrica.

3.4.7. Sea G una grfica. Demostrar que: a) pr1 G- 1 = pr2G. b) pr2G- 1 = pr 1 G.

3.4.8. Definici:1. Sea r = (G, A, B) una correspondencia entre A y B. Se llama "correspondencia inversa de f", a la correspondencia (G - 1 , B, A).

Observacin. Segn la definicin de correspondencia (ver 3.2 l}, para que (G- 1 , B, A) sea, en efecto, una correspondencia, es necesario que pr1c- 1 e By pr2c- 1 e A. Esto resulta del ejercicio 3.4.7 y del hecho de que' de acuerdo con la definicin de r, pr2 G e B y pr 1 G e A.

Notacin. Se designar a la correspondencia inversa de r con el smbolo r _,.

3.4.9. Definicin. Para todo subconjunto Y de B, la imagen r- 1 (Y), de y por r -l se llama la "imagen inversa de y por r ". .

En forma abreviada se tiene 1:- 1 (Y)= {x: x E 1-1 (y), para algn y E Y}.

53


~ Ejercicios 3.4.10. Demostrar que la correspondencia inversa de r- 1 es r.

3.4.11. Hallar las correspondencias inversas a las dadas en los ejemplos de 3.2.2 a 3.2.5 inclusive.

3.4.12. Se darn las definiciones y notaciones de intervalos reales, de uso muy frecuente. Sean a y b dos nmeros reales: a) Se llama "intervalo cerrado de extremos a y b", y se anota [a, b), al conjunto: {x; x real, a< x < b}. b) Se llama "intervalo abierto de extremos a y b", y se anota (a, b), al conjunto: {x: x reaJ, a< x < b}. c) Se llama "intervalo semiabierto a derecha de extremos a y b ., , y se anota [a, b), al conjunto: {x: x real, a,..;; x < b}. d) Se llama "intervalo semiabierto a izquierda de extremos a y b" y se anota (a, b], al conjunto: {x: x real, a< x < b}. Con estas definiciones, siendo r la correspondencia de 3.2.4 hallar r- 1 [- l, 1).

3.4.13. Sea G la grfica G={(x,y): x,yER y=x2 }; y sea r la correspondencia, r = (G, R, R). Hallar r- 1 [O, l].

3.4.14. Sea G Ja grfica, G = {(x,y): x,y E R, y= 2x}; y sea r la correspondencia, r = (G, R, R). Hallar 1-1 [-1, 2).

3.4.lS. Sea r la correspondencia, entre R y R, cuya grfica es G = { (x, y): x,y, E R, y= [x]} (con [x] se indica a la parte entera de x). Hallar r- 1 (n), para cada nmero entero n.

3.4.16. Sea r la correspondencia, entre R X 1

INTRODUCCION A LA TEORIA DI:.: CONJUNTOS

de C 1 y G2, y = 2x y z = yj, con lo cual z = 8x3 Por lo tanto (x, z) pertenece al segundo miembro de (1). Sea ahora (x, 2x3 ) un elemento del segundo miembro de (2). Por las definiciones de G 1 y G2 se tiene que (x, x3 ) EG2 y que (x3 , 2x3) E G 1 , de donde (x, 2x3 ) E G 1 o G2. Recprocamente si (x, z) E G 1 o G2 , existe y tal que (x,y)EG2 y(y,z)EG 1 , con lo cualy=x3 yz=2y, de donde z = 2x3 y (x, z) percenece al segundo miembro de (2).

3.5 5 . Teorema. Sean G 1 y G2 dos grficas. La grfica inversa de G2 o G 1 es: G 1- 1 o G2 _,

Demostracin. Sea G 3 = G2 o G 1 Por la definicin 3.4.l de grfica inversa, la proposicin

"(x,y) E G3- 1 " es equivalente a

"(y, x) E G 3 ". de donde, por la definicin 3 .5 .1 de composicin de dos grficas, es equivalente a:

"existe z tal que, (y, z) E G 1 y (z, x) E G2 ", con lo cual equivale a

"existez talque,(z,y)E Gi 1 y (x,z)EG2- 1", y, por lo tanto, es equivalente a

(x,y) E c 1- 1 0 G1 - 1 ", en virtud de la definicin 3.5.1 aplicada a c2-J y c 1- 1 , en este orden. Esto termina la demostracin.

Observacin. En la demostracin de este teorema se lleg a Ja conclu-sin de que "(x,y)EG3- 1 " equivale a "(x, y)EG 1- 1 0G2 - 1 ", lo que equivale a demostrar la doble inclusin: G3 - a e G 1 -i o G2 -i y G 1 - i o G2-1 e G3-1.

3.5.6. Teorema. Sean las grficas G 1 , G2 y G3 Se tiene entonces (G3 oG 2 )oG 1 =G3 o(G2 oG 1).

Demostracin. Por la definicin 3.5.I de composicin de dos grficas la proposicin

"(x, y) E {G3 o G2 ) o G1 " es equivalente a

"existe z tal que, (x, z) E G 1 y (z, y) E G3 o G2 ", y por la misma razn equivale a

"existen z y u tales que, (x, z) E G 1 , (z, u) E G2 y (u, y) E G 3 ",

56

-

CORRESPON DENCIA Y FUN C/ON

con lo cual es equivalente a

"existe u tal que, (x, u) E G2 o G 1 y (u, y) E G3 '.' y, por lo tanto, es equivalente a

" (x, y.) E G 3 o (G2 o G 1 )" . fato termina la demostracin del teorema.

Notacin. De acuerdo con este teorema no hay ambigedad si se designa a la grfica (G3 o G2 ) o G 1 con el smbolo G 3 o G2 oG 1 , como se har en lo sucesivo. Igualmente, si G 1 , Gi. G J y G4 son grficas, se pond r G4 o (G 3 o G2 o G 1 ) = G4 o G3 o G2 o G 1 , y lo mismo tratndose de un nmero finito cualquiera de grficas.

Ejercicios

3.5.7. Hallar G2 o G 1 y G 1 o G2 en los siguientes casos a) G 1 = { (x, x): x natural} , G2 = { (x, y): x natural, y = x + 2} , b) G 1 = {(x,y) ; x natural, y =x2 + l},

G2 = {(y, z): y natural, z = 3y + 2} . e) G 1 = {(x,y): x reai,y = 2x - J},

G2 ={(y, z): y real, z = 3y2 }.

3.5.8. Hallar G3 o G2 c. G 1 , siendo: G1 = {(x,y) : X natural, y= 3x + 3}. G2 = {(y, z): y natural, z = 2y + 1}, G3 = { (z, u): z natural, u = 2z2 },

3.5.9. Demostrar que (G3 o G2 o Gi)- 1 = c 1- 1 o c2- 1 o G3- 1

3.5.10. Sea E un conjunto y sean G 1 y G2 las grficas G1 ={(x,X): XC E,xEX}. G2 = {(X, y): XC E,y 'f. X}.

-Hallar G2 o G 1 y G 1 o G2 .

3.5.11. Demostrar que si G 1 , G2 , Gi' y G2' son grficas tales q ue, G' e G 1 y G2' e G2 , se cumple G2' o G'_c G2 o G 1

3.5.12. Demostrar que pr (G2 o G} e pr G y pr2 (G2 o Gi) e pr2 G2. Dar ejemplos donde no valgan las inclusiones inversas.

57

1974 - Oubiña - Introducción a La Teoría de Conjuntos

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