17.- sumas especiales

SERIES Y SUMATORIASDEFINICIÓN :

Una serie es la adición indicada de los términos de una sucesión numérica y al resultado de dicha adición se le llama suma

o valor de la serie.

De acuerdo con esto, si la sucesión numérica es :

n321a;......;a;a;a

Entonces la serie numérica asociada a ella será :

n321a......aaa

SERIE ARITMÉTICA

La serie aritmética es la adición indicada de los términos de una sucesión aritmética de razón constante (Esta clase de

sucesiones son llamadas progresiones aritméticas (P. A.)).

n321a......aaa

r r Razón AritméticaConstante

EJEMPLO

... El profesor de RM le pidió al niño XXXX que sumará las notas obtenidas por sus 20 compañeros en el último simulacro.

Las notas son :

16 ;19 ; 22 ; 25 ; ...... ; 73

El profesor se quedó admirado de XXXX porque lo resolvió por 4 métodos diferentes.

Observa cómo lo hizo y cuáles son los métodos que utilizó :

1º método

89

89

89

737067.....221916S

La suma de los términosequidistantes siempre es la misma

www .

.

Matematic

a eP

Como son 20 términos, se forman 10 parejas, luego :

89010(89)S

2º método : invierto el orden de los sumandos

898989....8989892S

161922....677073S

737067....221916S

20 términos

Serie original :

Serie escrita “al revés” :

2S = 20 (16 + 73)

S =(16 + 73)

2 20

1º sumando Último sumando

Cantidad de sumandos

De esta última expresión podemos deducir que el valor de la serie se obtiene mediante la fórmula :

n2

ttS n1

Donde :t : 1 sumando1

er

t : Último sumandon : cantidad de sumandos2

3º métodoHalló la ley de formación de los términos y los ordenó así :

13)20(373

13)3(322

13)2(319

13)1(316

=3[1+2+3+...+18+19+20]+260

212121

S = 3(10 21)+260S = 890

)13(20)20...321(373...221916

S

En esta 1º columna estamos sumando 20 términos; conocemosesta cantidad gracias a la sucesión que aparece en la 2º columna

Nótese en esta 2º columna la sucesión :1 , 2 , 3 , ... , 20

www .

.

Matematic

a eP

4º método :

Utilizó el método combinatorio

S = 16 + 19 + 22 + 25 + .... + 73

3 3 3

1º 2º 3º 4º ....... 20º

202

201

C3C16S

!2!18

!2032016S

890S

Ejemplo (1)Calcular la suma de los 120 primeros términos de :

1 ; 2 ; 3 ; - 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; - 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; - 12 ; ...

Resolución :

Ejemplo (2)Hallar la suma de todos los elementos del siguiente arreglonumérico , si hay 30 filas :

47774

4774

474

44

4

Resolución :

Ejemplo (3)Calcular la suma de todos los números desde la figura 1hasta la figura 20.

13

5

(1)

59

7

(2)

911

13

(3)

Resolución :

Ejemplo (4)¿Cuántas bolitas hay en la figura 20?

(1) (2) (3) (20)

?

Resolución :

SERIE GEOMÉTRICAS

El Rey de la India, en reconocimiento al ingenioso inventorealizado por Lahur Sessa, decidió recompensarlo genero-samente, para lo cual mandó llamarlo a Palacio.El invento constaba de un tablero cuadriculado con 8 casi-lleros por lado (es decir; 64 cuadrados en total) que simula-ba un campo de batalla y 32 piezas (16 para cada jugador)que representaban los ejércitos en lucha. Pide lo que quie-ras dijo el rey. Solicito que se me de 1 grano de trigo porel primer casillero, y por cada casillero siguiente el doble dela cantidad anterior, hasta terminar con los 64 casilleros.El Rey ordenó que se cumpliese su deseo. Al cabo de untiempo los calculistas del palacio comunicaron al soberanoque tal pedido era imposible. Veamos :

www .

.

Matematic

a eP

6463

63

22....842S2

2....8421S

º64......º4º3º2º1

1 = 18446744073709551615 granos de trigo2S 64

Casillero :

Una serie geométrica es la adición indicada de los términosde una progresión geométrica.

* Sea la serie geométrica :

n321a......aaa

r r Razón Geométrica

* )r(aa 1n1n

*)1r(

)1r(aS

n1

n

En el problema de la historia de el Ajedrez, se tiene laserie.

S = 1 + 2 + 4 + 8 + .... + 263

2 2 2 Razón Geométrica

En donde :

1a1

n = 64r = 2

)12(

)12(1S

64

12S 64

La Tierra, convertida de Norte a Sur en un sembrado conuna cosecha por año, tardaría 450 siglos en producir seme-jante cantidad de trigo.

Ejemplo (5)Calcular : S = 1 + 3 + 6 + 12 + ....... + 1536

Ejemplo (6)Cinzia le dijo a Alessandro : "Te voy ha pagar una suma dedinero por el primer cuadrilátero que encuentres de la si-guiente figura, y luego te iré duplicadndo dicha suma porcada nuevo cuadrilátero que encuentres".Si Cinzia le pagó 12285 soles en total, ¿cuánto le pagó por elcuarto cuadrilátero?

Ejemplo (7)Calcular :

cifras40

7......77...777777R

Resolución :

SERIES NOTABLES

A) Suma de los "n" primeros números naturalesconsecutivos.

2

)1n(nn.......4321


R = 0,1 + 0,2 + 0,3 + ...... + 1,1

Resolución :

www .

.

Matematic

a eP

Ejemplo (9)

Hallar la suma total de todos los elementos del siguiente

arreglo :

10987

654

32

11º

2º

3º

4º

20º

Resolución :

Ejemplo (10)Hallar "x" en la siguiente serie :

2 + 4 + 6 + 8 + ..... + x = 930

Resolución :

B) Suma de los "n" primeros números imparesconsecutivos.

1 + 3 + 5 + 7 + ..... + (2n - 1) = n 2

Ejemplo (11)

Se sabe que :

A = 1 + 3 + 5 + ...... + 19

B = 5 + 7 + 9 + 11 + ...... + 21

Hallar : B - A

Resolución :


4 19,0...05,003,001,0)199...7531(S

Resolución :

Ejemplo (13)Se tiene el siguiente arreglo numérico :

171513119

753

1

Calcular la suma de todos los términos que hay desde lafila 4 hasta la fila 10.

Resolución :

C) Suma de cuadrados de los "n" primeros números

naturales.

6

)1n2)(1n(nn.....4321 22222


S = 2 + 3 + 10 + 15 + ...... + 99

Resolución :

www .

.

Matematic

a eP

Ejemplo (15)Calcular el valor de "a", en la siguiente serie :

1 + 4 + 9 + 16 + ...... + a = 2870

Resolución :

Ejemplo (16)Hallar el número total de triángulos que hay desde lafigura 1 hasta la figura 20.

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

Resolución :

D) Suma de los cubos de los "n" primeros númerosnaturales.

2

2

)1n(nn...4321 33333

Ejemplo (17)Hallar la suma total del siguiente arreglo numérico :

2

22

222

2222

22222

10

10......4

10......43

10......432

10......4321

...........................

Resolución :

Ejemplo (18)Si :

sumandos"n"

222n

......131415S

Calcular :

154321S......SSSSS

Resolución :


S = 1,001 + 1,008 + 1,027 + .... + 2

Resolución :

E) Suma de los "n" primeros números triangularesconsecutivos.

n.....43212

)1n(nºn

432110º4

3216º3

213º2

11º1

www .

.

Matematic

a eP

6

)2n)(1n(n

2

)1n(n...1510631


términos20

....

15141

1

1091

1

651

1

321

1N

Resolución :

Ejemplo (21)¿Cuántas bolitas habrá hasta la figura 20?

(1) (2) (3) (4) (20)

?

Resolución :

SERIES ESPECIALES

A) Suma de productos compuestos por factores consecutivos :

Ejemplo (1)

4039......433221S

Resolución :

Ejemplo (2)

403938......543432321S

Resolución :

Ejemplo (3)Hallar la suma total en el siguiente esquema si hay 20 filas.

408642:F

8642:F

642:F

42:F

2:F

20

4

3

2

1

www .

.

Matematic

a eP

Resolución :

B) Suma de productos compuestos por factores cuya diferencia es constante.Ejemplo (1)

3230......534231S

Resolución :

Ejemplo (2)Hallar la suma de todos los elementos en el siguiente esquema :

15...4321

15...4321

4321

4321

432

43

4

15

15

14

...

...

...

...

... 1514

14

14

Resolución :C) Suma de productos compuestos por factores cuya suma es constante :

Ejemplo (1)

120......183192201S

Resolución :

Ejemplo (2)Hallar la suma de todos los elementos en el siguiente esquema :

www .

.

Matematic

a eP

20...4321

4321

321

21

1

Resolución :

D) Suma de las inversas de los productos compuestos por factores cuya diferencia es constante.

Ejemplo (1)

6461

1......1310

1

107

1

74

1S

Resolución :

Ejemplo (2)

3360

1......

1218

1

912

1

66

1S

Resolución :

www .

.

Matematic

a eP

E) Serie geométrica ilimitada :

r1

a.....aaaS 1

321

Donde : 0 < |r| < 1

Ejemplo (1)

......625

1

125

1

25

1

5

1S

Resolución :

Ejemplo (2)

......64

1

32

1

16

1

8

1

4

1

2

1S

Resolución :

Ejemplo (3)

......7

4

7

3

7

2

7

1S4321

Resolución :

Ejemplo (4)

......7

16

7

9

7

4

7

1S432

Resolución :

www .

.

Matematic

a eP

SUMATORIAS

Consideremos la siguiente sucesión:

m3n2n1nna;......;a;a;a;a

La suma de los términos de la sucesión será :

m

niim3n2n1nn

aa+......+a+a+a+a

La expresión en el lado derecho de la igualdad se denomina "sumatoria" y constituye una forma abreviada de escribir la seriedada.

Donde :

: Notación Sigma. Nos representa la suma de los términos de la forma " ia " de dicha sucesión.

ia : Nos representa uno de los términos de la sucesión, dependiendo del valor de "i".

término generalaami

término3er.aa2ni

término2doaa1ni

término1er.aani

mi

2ni

1ni

ni

i : Toma valores desde n hasta m

Límite superior de la sumatoriami

Límite inferior de la sumatoriani

Ejemplo : Representar la siguiente sumatoria :1 + 2 + 3 + 4 + ...... + 30

Resolución :

La sucesión está formada por todos los enteros positivos desde 1 hasta 30.

Sea i un entero cualquiera cuyo valor mínimo es 1 (límite inferior) y el valor máximo es 30. (límite superior).

Por lo tanto la sucesión indicada la podemos representar como :

30

1i

i

Ejemplo : Calcular :

5

3i

)1i2(

Resolución :

Cada término a sumar es de la forma "2i - 1" donde "i" toma valores 3 ; 4 y 5

91525i

71424i

51323i

Para Término

5

3i

21975)1i2(

www .

.

Matematic

a eP

Ejemplo : Expresar las sumatorias en forma desarrollada ycalcular el valor de la suma :

a)

40

1i

i

b)

10

1i

2i

c)

20

1i

)3i2(

d)

3

0i

2 )3i(i

Ejemplo : Expresar las sumas usando sumatorias :

a) 1 + 2 + 3 + 4 + ...... + 10 =

b) 17 + 18 + 19 + ..... + 40 =

c) 2222 20......321

d) 11 + 17 + 23 + ...... + 191 =

PROPIEDADES

1. Número de términos de la sumatoria :

m

nii

a # términos = m n + 1

Ejemplo : Halle el número de términos de la siguiente

sumatoria :

80

23ii

a # términos = 80 23 + 1 = 58

2. Si k es un valor constante :

m

ni

i

m

ni

i akak

Ejemplo :

7

4i

7

4i

i2i2

3. ai ; bi son términos que dependen de la variable"i"

m

ni

i

m

ni

i

m

ni

i ba)bai(

Ejemplo :

4

1i

24

1i

4

1i

2 ii3)ii3(

4. Sumatoria de una constante. k = cte.

k (#términos) = k (m n + 1)

m

ni

k

Ejemplo :

50)148(10108

4i

5. Desdoblando la sumatoria :i = n ; n + 1 ; n + 2 ; n + 3 ; ....... ; n + p ; n + p + 1 ; ......m

m

1pni

pn

ni

m

ni

aiaiai

www .

.

Matematic

a eP

En cada caso resolver las siguientes sumatorias :

a)

10

1i

)1i5(

b)

10

1i

2 )20i(

c)

100

0i

22

100

0i

4100

0i

4

)1i)(1i(

)2i2()1i(

d)

26

7i 10

140

9i

40

1i

ii

e)

20

2i

)3i4(

f)

80

5i

480

2i

4 i)1i(

g)

30

2i

23 )1i3i3i(

www .

.

Matematic

a eP

EJERCICIOS PROPUESTOS

01. La suma de 20 números enteros consecutivos es 430.

¿Cuál es la suma de los 20 siguientes?

a) 830 b) 720 c) 630

d) 820 e) 900

02. Al sumar 61 números naturales consecutivos el

resultado da 2745.

Hallar el mayor de los sumandos.

a) 75 b) 74 c) 73

d) 76 e) 77

03. La suma de todos los números naturales desde "n"

hasta "5n" es 1230.

Calcular el valor de "n" y dar como respuesta el producto

de sus cifras.

a) 0 b) 24 c) 12

d) 32 e) 40

04. Si :

630m3...963

990n...321

Hallar : nm

a) 10 b) 12 c) 7

d) 8 e) 6

05. Calcular el valor de :

J = 3,01 + 3,02 + 3,03 + ...... + 7

a) 2002 b) 2004 c) 2006

d) 1200 e) 802

06. Determinar el valor de la siguiente suma :

S = 2,01 + 4,04 + 6,09 + ...... + 18,81

a) 90,28 b) 92,85 c) 98,25

d) 92,28 e) 93,23

07. Calcular el valor de los 100 primeros términos de :

1 , 2 , 3 , -4 , 5 , 6 , 7 , - 8 , 9 , 10 , 11 , - 12

a) 2640 b) 2650 c) 2660

d) 2670 e) 2680

08. Disponga los números naturales en forma adjunta y de

enseguida el último término de la fila número 30.

1514131211

10987

654

32

1

a) 465 b) 850 c) 890

d) 910 e) 999

09. Hallar la suma total si hay 20 filas :

55555

4444

333

22

1

a) 2870 b) 2780 c) 2875

d) 2872 e) 2880

10. Se arreglan números en forma de "diamante", como

se muestra en el diagrama

1

221

333221

4444333221

333221

221

1

¿Cuál es la suma de los números en el enésimo

diamante?

a)3

)1n2(n 2 b)3

)1n(n 2

c)3

)2n(n 2 d)2

)3n(n 2

e)3

)2n(n 2

11. Dos hermanas : Patty y Paola iniciaron ante la

proximidad del verano un régimen de dieta. Patty lo

lleva a cabo comiendo 13 duraznos cada día, mientras

que Paola la lleva a cabo comiendo 1 durazno el primer

día, 2 en el segundo, 3 en el tercero y así sucesivamente,

la dieta terminó cuando ambas habían comido la

misma cantidad de duraznos. Si la dieta se inició el 15

de noviembre.

¿Qué día terminó?

a) 10 de diciembre.

b) 11 de diciembre.

c) 8 de diciembre.

d) 9 de diciembre.

e) 12 de diciembre.

12. En una reunión todos los asistentes se saludaron con

un apretón de manos, si en total hubo 28 apretones de

manos.

¿Cuántos asistieron a la reunión?

www .

.

Matematic

a eP

a) 8 b) 6 c) 9

d) 7 e) 5

13. Por motivos de una fiesta infantil se repartieron un total

de 1600 juguetes entre 25 niños, dándole a cada uno

2 juguetes más que al anterior.

¿Cuántos juguetes se les dio a los 15 primeros?

a) 800 b) 820 c) 290

d) 810 e) 560

14. Un abuelo tiene 20 nietos y repartió cierta cantidad de

caramelos de la siguiente forma: El primero le dio 10,

al segundo 12, tercero 14 y así sucesivamente.

¿Cuántas bolsas de caramelo ha tenido que comprar el

abuelo, si cada bolsa trae 20 caramelos?

a) 30 b) 29 c) 31

d) 28 e) 32

15. Hallar la siguiente suma (dar la suma de cifras del

resultado)

2 + 3 + 10 + 15 + 26 + ... + 1295

a) 14 b) 15 c) 20

d) 16 e) 17

16. Un profesor se dio cuenta que a medida que transcurría

el ciclo, él gastaba mayor número de tizas por semana.

Así la primera semana gastó 11 tizas, la segunda 13

tizas, la tercera 15 tizas y así sucesivamente. Si el ciclo

duró 38 semanas; y cada caja de tizas traía 15 tizas.

¿Cuántas cajas abrió el profesor durante el ciclo para

completar su dictado?

a) 121 b) 120 c) 122

d) 119 e) 123

17. Dos hermanas : Karen y Melina, compran cada una el

mismo álbum de figuritas. Karen pega en el suyo 1

figurita el primer día, 2 en el segundo día, 3 en el tercero

y así sucesivamente y Melina pega 10 figuritas cada

día. Si ambas compraron su álbum el mismo día y

Melina lo llena el día 16.

¿Cuántas figuritas le faltarán a Karen ese día paracompletar el suyo?

a) 18 b) 24 c) 20d) 36 e) 56

18. Calcular :

11 1...3,02,01,0)19...7531(

a) 10 b) 10 c) 100

d) 1 e) 1000

19. Hallar el valor de : 3 x ; si :

1 + 3 + 5 + ..... + (2x + 5) = 900

a) 2 b) 4 c) 6

d) 3 e) 5

20. ¿Cuántas bolitas blancas hay en la figura 20?

(1) (2) (3)

a) 211 b) 210 c) 209

d) 214 e) 221

21. Hallar las sumas de las áreas de los infinitos círculos así

formados, tomando como diámetro el radio de la

circunferencia anterior.

12

a) 144 b) 160 c) 180

d) 192 e) 200

22. Una persona debe recorrer 3275 m y los hace de la

siguiente manera, en el primer minuto recorre "a"

metros, en el segundo minuto recorre "2a" metros y

retrocede 10m, en el tercer minuto recorre "3a"m y

retrocede 10m, en el cuarto minuto recorre "4a"m, y

retrocede 10m, y así sucesivamente, llegando a la meta

en 21 minutos exactamente.

Hallar "2a".

a)15 b) 20 c) 24

d) 30 e) 32

23. Hallar la suma total en el siguiente arreglo triangular :

86549

6327

415

23

1 F1

F2

F3

F4

F5

F20

a) 15486 b) 15480 c) 15470

d) 15342 e) 15398

24. ¿Cuántos hexágonos regulares se formarán al unir los

centros de las circunferencias, tal que en el interior de

cada hexágono haya solamente una circunferencia?

www .

.

Matematic

a eP

30 circunferencias

a) 370 b) 380 c) 378

d) 365 e) 392

25. Luis todos los días visita a uno de sus familiares en

orden más cercano. Si la casa del más cercano está a

10m de la casa de Luis y a partir de allí todos se

encuentran a 10m de distancia.

¿Cuánto habrá caminado Luis en total después de haber

visitado al último de sus familiares, sabiendo que luego

de visitar a un familiar siempre retorna a su casa y que

sus familiares son 90?

a) 920 b) 915 c) 850

d) 900 e) 870

26. Gilder y Lincoln leen una novela de 300 páginas, Gilder

lee 100 páginas diarias y Lincoln 10 páginas el primer

día, 20 páginas el segundo día, 30 el tercero y así

sucesivamente.

Después de haber leído cuántas páginas, coincidirán?

a) 1950 b) 2000 c) 1900

d) 1850 e) 2100

27. En una huerta hay 30 caballones, cada uno de ellos

tiene 16m de largo y 2,5 m de ancho. Durante el riego

el hortelano lleva los cubos de agua desde el pozo

situado a 14m del extremo de la huerta y da la vuelta el

caballón por el surco, el agua que carga cada vez le

sirve para pegar un solo caballón.

¿Cuál es la longitud de camino que recorre el hortelano

para regar toda la huerta?

Nota :

El camino comienza y termina junto al pozo.

a) 4 225 m b) 4 325 m

c) 4 125 m d) 4 025 m

e) 4 200 m

28. Calcular el valor de "S". Si :

términos40

...131111997755331S

a) - 3300 b) - 3280 c) 3080

d) - 3380 e) - 3240

29. Una pelota de Ping pong es dejada caer de 24m de

altura, y cada vez que rebota se eleva una altura igual a

la mitad de la altura anterior.

¿Cuántos metros recorrió la pelota hasta que quedó

teóricamente estática?

a) 48 m b) 96 m c) 72 m

d) 24 m e) 108 m

30. Hallar la suma total del siguiente arreglo numérico :

3725232119

131197

975

53

1

a) 1 065 b) 1 045 c) 1 035d) 1 095 e) 1 075

31. Calcular : A + B

11B...531

A...115113111

términosx

términosx

a) 156 b) 150 c) 155d) 160 e) 152

32. Sabiendo que :

n....54321Sn

Hallar :

121617181920SS...SSSSSS

a) 1 640 b) 121 c) 110

d) 90 e) 131

33. Hallar la suma total del siguiente arreglo numérico :

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ........... + 202 2 2 2 2 2

2 + 3 + 4 + 5 + ........... + 202 2 2 2 2

3 + 4 + 5 + ........... + 202 2 2 2

4 + 5 + ........... + 202 2 2

202

a) 44100 b) 42400 c) 44400d) 4300 e) 4540

34. Hallar la suma de :

sumandos"n"

).........7x()5x()3x()1x(R

Para : x = (n - 2)

www .

.

Matematic

a eP

a) n(2n 1) b) 2n(n 1)c) 2n(2n 2) d) n(2n 3)

e) nn2

35. Un micro parte con 10 pasajeros, en el primer paradero

suben 4 y bajan 2, en el siguiente suben 8 y bajan 3, en

el siguiente suben 12 y bajan 4 y así sucesivamente.

¿Cuántos bajaron en el paradero central de su recorrido,

si finaliza con 561 a bordo?

a) 8 b) 9 c) 10

d) 11 e) 12

36. Hallar la suma de las diez primeras filas del siguiente

arreglo numérico.

1 F1

3 5 F27 9 11 F3

13 15 17 19 F4

a) 3225 b) 2525 c) 3025

d) 1515 e) 4225

37. Hallar la suma total del siguiente arreglo, si tiene 10filas :

36543

3323

313

33

3

a) 723 b) 726 c) 710

d) 720 e) 724

38. El primer día de trabajo gané S/. 3; el segundo día gané

S/. 7; el tercer día gané S/. 13; el cuarto día gané S/. 21

y así sucesivamente. Si trabajé 20 días, ¿cuánto gané el

último día?

a) 441 b) 421 c) 560

d) 380 e) 420

39. Calcular la suma de los infinitos términos dados :

...7

2

7

1

7

2

7

1

7

2

7

165432

a)16

1b)

16

9c)

16

7

d)16

3e)

16

5

40. Si x > 3; calcular el valor de la siguiente serie :

.....x

1

x

1

x

1R32

a)4x

x2

b)7x

x2

c)1x

x2

d)xx

x2

e)3x

x2

41. Calcular la suma de todos los términos del siguientearreglo :

11111

27272727

282828

2929

30

a) 4 960 b) 4 980 c) 4 900

d) 4 700 e) 4 500

42. Calcular el valor de "E".

Si :

]n.....321[

n

11....4

113

112

11

E2222

a)n

1b) 2n

1c)

n

2

d)n

3e) 2n

2

43. La suma de la última fila del arreglo :

7654

543

32

1

Es igual a 2380, ¿cuántas filas tiene el arreglo?

a) 35 b) 38 c) 39

d) 40 e) 41

44. Hallar el valor de la siguiente serie :

1410...736251E

a) 610 b) 609 c) 605d) 606 e) 607

45.Calcular :

....216

35

36

13

6

52S

a) 3,8 b) 4,5 c) 3,5

d) 2,5 e) 2,6

www .

.

Matematic

a eP

46. Calcular R en :

204321 10......10101010R

a)9

)110(10 2 b)

9

)110(10 20

c)9

)110(10 21 d)

9

)310(10 20

e)3

)110(10 20

47. Calcular el valor de :

...15123

1

1292

1

961

1M

363310

1

a)2716

65b)

2176

65c)

2416

65

d)2576

65e)

2376

65

48. Hallar el área del triángulo, si todos los cortes son

homogéneos.

A

B

C1 2 3 4 17 18 19 20

2cm2

a) 2cm172 b) 2cm192 c) 2cm190

d) 2cm180 e) 2cm380

49. Calcular : S

119...173182191S

a) 1 290 b) 1 330 c) 1 020

d) 1 390 e) 1 225

50. Anita una esforzada atleta realiza su entrenamiento elcual se encuentra en el punto A y se dirige hacia el

punto B, recorriendo5

4de la distancia que la separa

de B y marca ahí el punto C. Luego se dirige hacia A,

recorriendo5

4de la distancia que la separa de A, y

marca el punto D. Después se dirige hacia C recorriendo

5

4de la distancia que la separa de C y marca el punto

E y así sucesivamente. ¿A qué distancia de B se

encontrará al cabo de "x" años?

V=1m/s

360 mA

B

a) 250m b) 140m c) 240m

d) 160m e) 200m

51. Reducir :

10000

11.....

25

11

16

11

9

11

4

11N

a)100

101b)

100

202c)

200

101

d) 2 e)200

99

52. Un atleta se dispone de entrenar en el circuito mostrado

empleando 10 segundos para ir de un círculo a otro

(en sentido horario), pero cada vez que completa media

vuelta descansa un tiempo mayor en 10 segundos al

que viene empleando para ir de un círculo a otro. Luego

continúa y para ir de un círculo a otro emplea el tiempo

que descansa. ¿Cuánto tiempo habrá transcurrido hasta

terminar un descanso que duró 410 segundos?

a) 41400 seg b) 41000 segc) 42600 seg d) 43500 sege) 461000 seg

53. Calcular la suma de todos los términos unidos por la

línea demarcada hasta la fila 20.

16152015616Fila

151010515Fila

146414Fila

13313Fila

1212Fila

11Fila

a) 1540 b) 1620 c) 1520

d) 1740 e) 1850

54. Calcular : S

...3

4

3

3

3

2

3

1S432

www .

.

Matematic

a eP

a)81

4b)

16

3c)

4

3

d)3

4e)

9

4

55. Si :

2662f

242f

22f

2f

)4(

)3(

)2(

)1(

Calcular :

)20()3()2()1(f....fff

a) 1221 b) 2221

c) 3221 d) 4221

e) 6221

56. Dados :

2120...131212111110S1

2120...433221S2

Hallar :12

SS

a)75

84b)

75

42c)

25

42

d)85

84e)

84

83

57. Calcular el valor de la siguiente serie :

términos30

.....837261S

a) 13780 b) 11780 c) 12780

d) 14790 e) 15780

58. Hallar "S"

....1280

72

320

36

80

18

20

9S

a) 0,1 b) 0,7 c) 0,6

d) 1,9 e) 0,9

59. En el siguiente arreglo triángulo calcular la suma de los

términos de20

F

20Fila

4Fila100816449

3Fila362516

2Fila94

1Fila1

a) 804470 b) 804670 c) 846470

d) 805070 e) 804600

60. Calcular "S"

105100

1...2015

1

1510

1

105

1S

a)100

21b)

105

8c)

105

7

d)21

4e)

105

4

www .

.

Matematic

a eP

ClavesClaves

a

a

a

d

a

b

b

a

a

a

a

a

d

b

b

c

b

b

d

a

d

d

a

c

d

c

e

d

c

b

e

c

a

b

c

c

a

b

d

d

a

b

d

c

c

b

e

c

b

e

c

a

a

c

b

a

b

e

b

e

01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

www .

.

Matematic

a eP

17.- sumas especiales

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