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OPCIONES FINANCIERASY

PRODUCTOS ESTRUCTURADOS

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PREFACIO

Llamronle los Flamencos Opsie, derivado del verbo latino Optio Optionis,que significa eleccin, por quedar a eleccin del que lo da el poder pedir oentregar la partida al que lo recibe... pues desea el que desembolsa el premioelegir lo que ms convenga, y en falta siempre puede dejar de elegir lo quedesea.

Confusin de Confusiones

JOS DE LA VEGA, 1688

v

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confianza en nuestra capacidad y especialmente a la editora Silvia Figueras cuyas su-

gerencias han mejorado notablemente la obra.Mencin especial merece el apoyo que nos ha prestado el grupo BBVA, patroci-nando la edicin. Debemos reconocer que el BBVA, al margen de ser un gran bancosiempre ha tenido una tradicin de apoyar a las ciencias y a la investigacin, con unavisin amplia de lo que debe ser una gran empresa moderna.

Por ltimo, queremos expresar nuestro agradecimiento y disculpas a nuestras espo-sas, Alicia y Carmen, y a nuestros hijos. Agradecimiento por su permanente ayuda y es-tmulo constante en nuestra faceta de redaccin de este texto. Disculpas, porque hemostenido que sacrificar mucho tiempo de convivencia con ellos para poder finalizar el pre-sente libro. Deseamos que este tiempo perdido haya merecido la pena.

PRLOGO ix

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DEDICATORIA

Para Alicia y Carmen, esposas, amigas y excelentes compaeras.

xi

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Cuadro 1.10. Volumen (en contratos) y cuota de mercado en la negociacin de derivados(futuros y opciones) del mercado monetario (tipos de inters a corto plazo)

Eurex BM&F CBOE CME Liffe Euronext Paris

CM* CM CM CM CM CM

1997 1.131.032 0,37% 3.378 0,00% 149.613.663 4 8,40 % 9 3.470.175 30,24 % 17.205.436 5,57%

1998 831.328 0,26% 2.872 0,00% 144.856.964 45,42% 127.816.901 40,08% 5.789.835 1,82%

1 99 9 3 .1 04 .4 57 1 ,2 9% 6 3. 34 6 0 ,0 3% 5 16 0 ,0 0% 1 20 .1 80 .9 04 4 9,8 4% 8 5. 96 2. 83 2 3 5,6 5% 3 .0 61 .1 35 1 ,2 7%

2 00 0 1 .2 27 .11 3 0 ,3 8% 4 3. 79 5. 59 7 1 3,7 1% 4 26 0 ,0 0% 13 8. 71 7. 44 8 4 3,4 4% 9 7. 96 0. 97 4 30 ,6 7% 1 95 .1 69 0 ,0 6%

2 00 1 6 63 .9 80 0 ,1 3% 6 5. 28 9. 47 4 1 2,5 0% 8 93 0 ,0 0% 2 74 .0 53 .0 77 5 2,4 5% 16 2. 22 0. 63 4 3 1,0 5% 2 .9 65 0 ,0 0%

OM MSENzfoe (Nueva

MEFF Tiffe (Japn) SGX-DTZelanda)

CM CM CM CM CM CM

1997 11.718.104 3,79% 2.943.759 4,09% 26.059.478 36,20%

1998 6.887.576 2,16% 2.069.505 3,16% 21.662.014 33,08%

1999 5.890.821 2,44% 25.051 0,05% 14.901.221 32,56%

2000 4.317.525 1,35% 5.242.933 7,9 1% 629.177 0,95% 247 0,00 % 17.196.604 25,94 % 1.714.393 2 ,59%

2001 5.558.558 1,06% 4.323.575 14,7 4% 948.339 3,23% 0 0,00 % 7.641.168 26,05 % 118.356 0 ,40%

HKFE SFE

CM CM

1997 87.819 0,12% 6.902.810 9,59%

1998 507.387 0,77% 8.505.460 12,99%

1999 318.372 0,70% 7.637.496 16,69%

2000 337.230 0,51% 8.028.022 12,11%

2001 643.806 2,19% 990.164 3,38%

* CM: Cuota de mercado.

Fuente: Eurex.

CAPTULO 1 Introduccin. Los conceptos fundamentales 23

Cuadro 1.11. Volumen (en contratos) y cuota de mercado en la negociacin de deriva-dos (futuros y opciones) del mercado de capitales (tipos de inters a lar-

go plazo)Eurex CBOT CBOE MSE Liffe Euronext Paris

CM* CM CM CM CM CM

1997 63.450.369 14,88% 177.617.3 86 41,65 % 72.139 0,02% 96.130.695 22,54% 44.686.994 10,48%

1998 140.962.300 29,88% 216.623.0 10 45,91 % 73.891 0,02% 47.290.514 10,02% 29.570.958 6,27%

1999 245.630.053 5 1,56% 190.101.0 28 39,90 % 42.040 0,01% 10.692.729 2,24% 6.386.379 1,34%

2 00 0 2 87 .8 12 .3 14 5 3, 24 % 1 69 .0 83 .1 76 3 1, 28 % 4 1. 66 9 0 ,0 1% 1 .5 10 .3 63 0 ,2 8% 5 .7 48 .2 54 1 ,0 6% 4 3. 32 8. 69 1 8 ,0 1%

2 00 1 4 08 .9 61 .9 42 6 1, 34 % 1 93 .9 52 .6 98 2 9, 09 % 3 8. 41 0 0 ,0 1% 1 .8 55 .6 10 0 ,2 8% 1 0. 25 3. 29 4 1 ,5 4% 1 7. 95 2. 43 6 2 ,6 9%

OMEuronext

Nybot MEFF TSE SGX-DTAmsterdam

CM CM CM CM CM CM

1997 3.189.021 0,75% 292.860 0,07% 23.688.599 5,55%

1998 3.141.345 0,67% 215.700 0,05% 16.839.457 3,57%

1999 2.124.888 0,45% 134.539 0,03% 3.618.103 0,76%

2 00 0 1 .0 68 .2 20 0 ,2 0% 4 3.9 87 0 ,0 1% 3 23 .2 94 0 ,0 6% 1 .0 94 .6 75 0 ,2 0% 11 .2 36 .2 72 2 ,0 8% 1 .0 45 .5 01 0 ,1 9%

2001 1.497.722 0,22% 10.9 37 0,00 % 164.546 0,02% 278.816 0,04 % 8.410.676 1,26% 997.976 0,15%

Nzfoe SFE

CM CM

1997 17.354.831 4,07%

1998 17.077.491 3,62%

1999 17.674.913 3,71%

2000 11.605 0,00% 18.277.688 3,38%

2001 96.419 0,01% 22.223.483 3,33%

* CM: Cuota de mercado.

Fuente: Eurex.

24 OPCIONES FINANCIERAS Y PRODUCTOS ESTRUCTURADOS

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das obtenidos y el eje de abcisas, los precios posibles del activo subyacente al venci-miento. La curva resultante nos da el resultado de la posicin, para cada precio posibledel subyacente.

Las posiciones bsicas que tericamente se pueden tomar con una opcin soncuatro:

I Compra de una call.I Compra de una put.I Venta de una call.I Venta de una put.

Los posibles resultados al cierre se muestran con los tpicos grficos de op-ciones en las Figuras 2.2 a 2.5. Se puede observar cmo la exposicin al riesgo esdiametralmente opuesta para comprador y vendedor de una opcin. El compradorlimita sus prdidas al importe de las primas y deja abiertas sus posibilidades de

ganancias (S > S*) para opciones de compra y (S < S*) para opciones de venta. Porel contrario, el vendedor limita sus ganancias a la prima (ms los posibles resul-tados de la inversin de la misma, si la cobra por anticipado), pero se expone aprdidas ilimitadas a partir del precio S* (call) o por debajo de S* (put). Esto ex-plica la importancia de una adecuada determinacin de la prima, y de una polticaeficiente de gestin del riesgo de las opciones, aspectos que trataremos en los si-guientes captulos.

En trminos analticos, los resultados de las posiciones bsicas segn el precio alvencimiento del activo subyacente y el correspondiente precio de ejercicio de la opcin,se exponen en el Cuadro 2.1.

CAPTULO 2 Las estrategias bsicas 33

Figura 2.1. Especulacin con acciones y opciones (resultados en rentabilidad anual)

-80,00

-60,00

-40,00

-20,00

0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

5,00 5,20 5,40 5,60 5,80 6,00 6,20 6,40 6,60 6,80 7,00

Precios BSCH

Rentabilidadposicin(%)

Acciones Opciones


Figura 2.2. Resultados en la compra de una call en funcin del precio del subyacente

PRECIO DEL SUBYACENTE AL VENCIMIENTO

PRIMA DE LA OPCIN

0

PRECIO DE EJERCICIO

Beneficios/Prdidas

Figura 2.3. Resultados en la compra de una put en funcin del precio del subyacente

PRIMA DE LA OPCIN

0

PRECIO DE EJERCICIO


Beneficio

s/Prdidas

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Figura 2.4. Resultados en la venta de una call en funcin del precio del subyacente


PRIMA DE LAOPCIN

0

PRECIO DE EJERCICIO

Beneficios/Prdidas

Figura 2.5. Resultados en la venta de una put en funcin del precio del subyacente

0

PRIMA DE LA OPCIN

PRECIO DE EJERCICIO


Beneficios/Prdidas

Cuadro 2.1. Resultado de las posiciones bsicas

COMPRADOR VENDEDORSI S E SE PRIMA PRIMA ( SE)

SI S >E PRIMA PRIMA

PUT SI S =E PRIMA PRIMA

SI S

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Expresado de otra forma, 357 contratos equivalen a:

357 6.100 1 = 2.177.700

y la cmara le exigir un depsito de 700 por contrato, es decir:

700 357 = 249.900

que coincide prcticamente con el importe que dispone el inversor para su especulacin.El apalancamiento de la posicin ser igual a:

Esto quiere decir que cada ganancia de la posici n al contado se multiplicar por8,7143, en su posicin de futuros. As, si el ndice se sita en 6.600, el inversor habrganado 500 puntos de ndice por cada contrato y, ya que cada punto vale 1 , su bene-ficio ser igual a:

500 1 357 contratos = 178.500

Si hubiese especulado comprando en Bolsa (al contado) una cartera equivalente a la com-posicin del IBEX, su ganancia habra sido de un 8,2% (redondeando), apreciacin experi-mentada por el ndice.

Invirtiendo en Bolsa 249.900 , habra obtenido una ganancia en euros de

Su beneficio, apalancndose 8,7143 veces con futuros, es de 178.500 . Es decir, severifica que el beneficio de la especulacin es igual a:

APALANCAMIENTO RESULTADO OPERACIN AL CONTADO

Con las opciones el apalancamiento se puede modular en funcin del precio de ejercicioque elijamos, como veremos en el Ejemplo prctico 2.4.

249 9006 600 6 100

6 10020483 61.

. .

.. ,

=

l = =.

2 177 700

249 9008 714

. ., 3 veces

EJEMPLO PRCTICO 2.3 (continuacin)


EJEMPLO PRCTICO 2.4

Supongamos que el inversor latinoamericano decide especular en el mercado de opciones.Los datos del mercado son los siguientes:

Cotizacin IBEX-35 6.100

Precios opciones CALL MARZO 2003

Precio del ejercicio Prima

5.700 500

6.100 125

6.500 5

Se decide a especular con 250.000 , lo que permite comprar las siguientesopciones de las diferentes series (el multiplicador de las opciones mini sobre el IBEX-35 esde 1 ):

y para 6.500, 50.000 contratos.

En marzo, el ndice ssita en 6.600 y los beneficios en el ejercicio de las opciones sonlos siguientes:

5.700.............................. 900 puntos6.100.............................. 500 puntos6.500.............................. 100 puntos

Los resultados de la especulacin con cada serie son:

Serie

5.700 500 contratos 900 1 == 450.000 250.000 de prima = 200.000

6.100 2.000 contratos 500 1 == 1.000.000 250.000 de prima = 750.000

6.500 50.000 contratos 100 1 == 5.000.000 250.000 de prima = 4.750.000

Para contratos6 100250 000

1 12 000. ,

..

25 =

Para contratos5 700250 000

500 1500. ,

.

=

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KOLB, R. W. (2003), Futures, Options and Swaps, Blackwell Publishing, Oxford (4. ed.),cap. 11.

MCMILLAN, L. G. (2001), Options as a Strategic Investment, Prentice-Hall, Englewood-Cliffs,N.J., Caps. 2-3.

REFERENCIAS

1. En aras de una mayor exactitud, habra que incluir tambin como coste, el derivado de lafinanciacin de la prima de la opcin si sta se paga al principio, cuestin que trataremosms adelante.

2. Ver M. D. Fitzgerald (1987), Cap. 7.3. Se considera ms adecuado utilizar la capitalizacin simple por estimarse aslos costes fi-

nancieros en las operaciones a menos de un ao. Para opciones a mayor plazo conviene uti-

lizar la capitalizacin compuesta.


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turo sera el precio actual, y los precios tendran una distribucin normal, tal como serepresenta en la Figura 3.3. En dicha figura, el rea sombreada representa la probabili-dad de que S > E , es decir, que la opcin permita beneficios en su ejercicio. Cuando laopcin CALL est en el dinero, existe una probabilidad de aproximadamente un 50%1

de obtener beneficios en su ejercicio.Cuando tenemos una opcin dentro de dinero (Figura 3), existen probabilidades

de ganar ms valor intrnseco (rea de rayas verticales) pero tambin existe la posibili-dad de perder parte del valor intrnseco actual con una evolucin desfavorable de losprecios (rea de rayas diagonales), por lo que siempre el valor tiempo de una opci ndentro de dinero ser inferior al valor tiempo de una opcin en el dinero. Porl-timo, el caso de una opcin fuera de dinero se representa en la Figura 3.5. En dichogrfico observamos cmo el rea sombreada es inferior a la correspondiente de la Fi-gura 3.3. Es decir, su valor tiempo es inferior al de una opci n en el dinero.

Para las opciones PUT los razonamientos anteriores son vlidos con alguna matizacin.As, en la Figura 3.6 se puede observar la evolucin de la prima, el valor intrnseco y el va-

lor temporal de una opcin PUT en funcin de los precios del activo subyacente. Se puedeobservar cmo cuando la opcin comienza a estar muy dentro de dinero, el valor tiempode la opcin se anula. Esto se debe a que en el caso de las opciones PUT europeas, el valortiempo puede llegar a ser negativo, por las razones que comentaremos en otros apartados.

Dado que el valor total de una opcin es igual a la suma del valor intrnseco y elvalor tiempo, una forma de valorar opciones sera calcular ambos componentes y pos-teriormente sumar los resultados. Aunque algunos modelos de valoracin de opcionesse orientan por este camino, la mayora de ellos optan por calcular directamente el va-lor terico de la opcin. Antes de introducirnos en los modelos tericos de valoracinde una opcin, analizaremos dos aspectos importantes:

CAPTULO 3 Los fundamentos del valor de una opcin 51

Figura 3.3. Distribucin de probabilidad de los precios del subyacente. Opcin ATM


Figura 3.4. Distribucin de probabilidad de los precios del subyacente. Opcin ITM

Figura 3.5. Distribucin de probabilidad de los precios del subyacente. Opcin OTM

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I Los factores que influyen en el precio y valor terico de una opcin.I Los lmites que deben cumplir los precios de las opciones.

LOS DETERMINANTES EXGENOS DEL VALORDE UNA OPCIN

Los factores que determinan el valor de una opcin se enumeran en el Cuadro 3.1, in-dicando con el signo + o el signo , la influencia que tiene un aumento o alza delcorrespondiente factor sobre la prima de la opcin. Los cuatro primeros factores vienendeterminados por los mercados, es decir, son exgenos al contrato de opcin. Los dosltimos, plazo y precio de ejercicio, suponen caractersticas especficas de cada contra-to de opcin.

Esta es la razn de denominarlos determinantes endgenos del valor de la opcin.

Estudiaremos los efectos de cada factor de forma individual.

El precio del activo subyacente

Los movimientos de los precios del activo subyacente tienen una influencia muy claraen el valor de una opcin. Las alzas de precios del subyacente provocan subidas de lasprimas de las CALL y descensos de las primas de las PUT y las bajadas de precios tie-nen el efecto contrario: suben las primas de las PUT y bajan las primas de las CALL.Estos efectos se ilustran grficamente en las Figuras 3.7 y 3.8. La razn de esta rela-


Figura 3.6. Valor de la opcin PUT. Valor intrnseco y valor tiempo

cin es muy simple. Si Vc y Vp son los valores intrnsecos de una opcin call y unaopcin put, respectivamente, en base a su definicin del apartado 3.1.

Vc = MAX [0, S E]Vp = MAX [0, E S]


Cuadro 3.1. Factores influyentes en el precio de una opcin

Figura 3.7. Valor de una CALL en funcin del precio del subyacente

FACTOR CALL PUT

PRECIO SUBYACENTE +

VOLATILIDAD + +

DIVIDENDOS +

TIPO DE INTERS +

PLAZO + +

PRECIO DE EJERCICIO +

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Una subida de S, precio del subyacente, aumentar el valor intrnseco de las CALLy reducir el valor intrnseco de las PUT, y a la inversa. Adems, las variaciones delprecio del subyacente influyen de forma directa en las expectativas del precio posibleal vencimiento de la opcin. Por ejemplo, si hoy las acciones de IBM tienen un preciode 70 $, ser ms probable que dentro de tres meses coticen a 80 $ que si hoy elprecio se situara en 50 $.

La volatilidad

Como ya veremos en los Captulos 4 y 5, la volatilidad es una variable crucial en losmercados de opciones. La volatilidad se refiere al posible rango de variaciones delos precios del subyacente. Estadsticamente es la dispersin del rendimiento del acti-vo subyacente, definiendo como rendimiento a las variaciones del precio. Su efecto so-bre las CALL y las PUT es el mismo (vase Figuras 3.9 y 3.10). Los incrementos devolatilidad producen aumentos de las primas para ambas modalidades de opciones. Laexplicacin de este efecto es la siguiente:

Cuanto mayor volatilidad tenga el subyacente, el rango de precios al vencimiento de laopcin ser mayor, lo que implica un riesgo superior para los vendedores de opciones ymayores probabilidades de beneficio para los compradores de opciones. En consecuencia,el mercado de opciones traducir los aumentos de volatilidad en aumentos de precios, y ala inversa.


Figura 3.8. Valor de una PUT en funcin del precio del subyacente


Figura 3.9. Valor de una CALL en funcin de la volatilidad del subyacente

Figura 3.10. Valor de una PUT en funcin de la volatilidad del subyacente

(OPCIN EN EL DINERO)

(OPCIN EN EL DINERO)

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Por otra parte, en el caso de opciones europeas sobre contratos de futuros (o for-ward), la paridad PUT-CALL se expresa del siguiente modo:

P = C(F E) (1 + i)-T

dondeF es el precio actual del futuro para el vencimiento de las opciones y P y C lasprimas de opciones PUT y CALL para un precio de ejercicioE. De esta relacin obte-nemos una equivalencia para el caso de opciones sobre futuros en el dinero (F = E).

SiF = E

P = C

Es decir, en el caso de las opciones ATM sobre futuros, las primas de una opci nCALL y PUT para el mismo plazo deben coincidir.

Ahora bien, qu me est diciendo la paridad PUT-CALL?Veamos las Figuras 3.13 y 3.14. En la Figura 3.13 observamos cmo, combinando

la venta en descubierto (o la venta de futuros) con la compra de una CALL, obten-dremos la compra de una PUT. En la Figura 3.14, la compra del subyacente ms lacompra de una PUT, equivale a la compra de una opcin CALL. Es decir, combi-nando posiciones en el subyacente con una opcin (CALL o PUT) obtendremos otramodalidad de opcin.

En otros trminos, las opciones se pueden replicar con carteras equivalentes delsubyacente y otra modalidad de opciones. Como dicen los operadores de los mercadosde opciones, se pueden conseguir posiciones sintticas. Por nuestros razonamientosde arbitraje una CALL sinttica debe valer lo mismo que una CALL idntica adqui-rida directamente en el mercado. La igualdad anterior, se expresa formalmente con laparidad PUT-CALL. En definitiva, podramos enunciar la paridad PUT-CALL, dicien-do que una opcin adquirida directamente en el mercado debe tener el mismo precioque una opcin idntica replicada de forma sinttica. El lector que haya estudiadoEconoma, comprender que en el fondo la paridad PUT-CALL es una forma de apli-car la ley de Precio nico a los mercados de opciones.

Pagamos el crdito de 39.000 $ consus intereses.

39.000 (1 + 0,005)3 = 39.586 $

BENEFICIO == 2.000 $ + 40.000 $ 39.586 $ = 2.414 $


Pagamos el crdito.

Es decir, nuestro beneficio tambin se situara en2.414 $. Esta posibilidad de arbitraje se intenta-ra aprovechar por todos los agentes del merca-do, lo cual conducira los precios a un nivel enel que se verificase la paridad PUT-CALL.


Figura 3.13. PUT sinttica (compra CALL + venta futuro)

Figura 3.14. CALL sinttica (compra PUT + compra futuro o subyacente)

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CAPTULO 4 La valoracin de las opciones Opciones europeas 81 82 OPCIONES FINANCIERAS Y PRODUCTOS ESTRUCTURADOS

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CAPTULO 4 La valoracin de las opciones. Opciones europeas 81

I La compra de Hacciones (posicin larga), o viceversa. Hes el ratio de cober-tura de la posicin en opciones.

El valor de esta cartera tendr la siguiente evolucin:

Slo existe un valor de H, para el que el valor de la cartera al final del perodo esnico.

HuSCu =HdSCd

y despejando H,

En relacin al activo libre de riesgo, la cartera tambin debe cumplir la siguienteigualdad:

Es decir, su rentabilidad debe coincidir con la rentabilidad del activo libre de ries-go. Despejando C,

DespejandoHpor su valor en [2]

Agrupando trminos

C =r

Cur d

u dCd

u r

u d

1

+

C =r

Cu Cd u d

r u + Cu1 ( )

C =rHS HuS + Cu

r=

rHS r u +Cu

1

[ ( ) ]

HS C =HuS Cu

r =HdS Cd

r

H =Cu Cd

(u d) S

HSC

HuSCu con probabilidad de q

HdSCd con probabilidad de 1 q

[2]

Si hacemos

por lo tanto,

La expresin anterior nos proporciona un mtodo para valorar una opcin de com-pra europea en un perodo.

Si denominamos porB el importe del activo libre de riesgo y acordamos que el sig-no positivo significa una inversin en dicho activo y el signo negativo representa unendeudamiento (posicin corta en el activo libre de riesgo)

C =HSB

La evolucin de la cartera de rplica sera la siguiente:

Para que (HSB) sea equivalente a C, se debe elegirHyB de tal modo que

DespejandoHyB, obtendremos

H =Cu Cd

u d SB=

dCu uCd

r u d

( )y

( )

HuS r B= Cu HdS r B= C y

C =r

p Cu + p Cd

Cu = uS E

Cd = dS E

1[ (1 ) ]

A [0, ]

A [0, ]

M X

M X

1 1

p =

r d

u d=

u r

u d

p =r d

u d


HSB

HuS B r

HdS B r

[3]

CAPTULO 4 La valoracin de las opciones. Opciones europeas 83 84 OPCIONES FINANCIERAS Y PRODUCTOS ESTRUCTURADOS

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Veamos la evolucin del precio del subyacente y la evolucin del valor de la opcin para unperodo. Calcularemos el ratio de cobertura de la posicin de opciones y el valor terico dela opcin. Qu ocurrira si en el mercado se cotizara la opcin a 15 u.m.? Cul ser el im-porte del activo libre de riesgo? Financiaremos al 10%.

S = 100 u.m. u = 1,2 d= 0,8

= 1,1 E = 100 u.m.

El ratio de cobertura de la posicin en opciones, para que el valor de la cartera al finaldel perodo sea nico:

Valor terico de la opcin:

Es decir, el valor terico de la opcin es de 13, 64 u.m.Qu ocurre si en el mercado cotiza esta opcin a 15 u.m.?Realizaramos el siguiente arbitraje:

I Vendemos la opcin a 15 u.m.I Compraramos 0,5 unidades de subyacente.

p p

C

=1,1 0,8

1,2 0,8= 0,75 1 = 0,25

=1

1,1[0,75 20+ 0,25 0]=13,64 u.m.

H =Cu Cd

u d S

H = =

( )

20 0

(1, 2 0, 8) 100 0,5

r

EJEMPLO PRCTICO 4.1

S = 100

uS = 120

dS = 80

C

Cu = 20

Cd= 0

[2]



Flujo de caja de la operacin: 15 0,5 100 =35.

Este importe lo financiamos al 10%. Resultados:

Al vencimiento el activo subyacente Al vencimiento el activo subyacente

vale 120 u.m. vale 80 u.m.

Nos ejercen la opcin y perdemos La opcin no se ejerce20 u.m. (100 120)

Vendemos nuestra inversin Vendemos nuestra inversinen el subyacente en el subyacente

0,5 120 = 60 u.m. 0,5 80 = 40 u.m.

Pagamos el crdito Pagamos el crdito35 1,1 = 38,5 u.m. 35 1,1 = 38,5 u.m.

Beneficio total = 60 20 38,5 = 1,5 u.m. Beneficio total 4038,5 = 1,5 u.m.

En ambos casos, el beneficio es el mismo 1,5 u.m. y coincide con la diferencia entre laprima del mercado (15 u.m) y la prima terica (13,64 u.m.), capitalizada al 10%.

1513,64 = 1,36 u.m.

1,36 1,1 = 1,5 u.m.

Esta oportunidad de arbitraje sera utilizada por el mercado por lo que al final, el valorterico de la opcin debera coincidir con su valor de mercado.

El importe del ratio de cobertura Hy del activo libre de riesgoB son:

H= 0,5 yB = 36,36 u.m. Es decir, podramos replicar la compra de una CALL a un preciode ejercicio de 100 mediante:

I La compra de 0,5 unidades de activo subyacente.I Endeudarnos en 36,36 u.m. al 10% de inters.

H =Cu Cd

u d SB=

dCu uCd

r (u d)

( )y


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Como indican Augros y Navatte (1987), la evolucin de una opcin de compra enel universo de un perodo por el mtodo binomial arroja algunas conclusiones intere-santes:

1. La probabilidad no interviene en la frmula de valoracin de la opcin.2. El valor de C no depende del riesgo del mercado, sino del carcter aleatorio de

la evolucin de los precios del subyacente.3. El valor de C no depende de la actitud de los inversores ante el riesgo ya que

no incluye ningn parmetro que se asocie con este factor. Por lo tanto, se pue-de admitir la evaluacin de una opcin, asumiendo arbitrariamente la hiptesis deneutralidad del inversor ante el riesgo.

Bajo estas hiptesis, se puede demostrar fcilmente quep = q.La evolucin del precio del subyacente la hemos esquematizado de la forma:

Si el inversor es neutro al riesgo, el rendimiento esperado de la accin debe ser iguala la tasa de rentabilidad del activo libre de riesgo. Es decir:

Por lo tanto, reiteramos lo comentado en el apartado 4.2, sobre c mo se debe cal-cular el valor terico de una opcin, ya que la expresin [3] es el valor actualizado dela esperanza matemtica del valor intrnseco de la opcin, asociando una probabilidadde p al precio uS y una probabilidad (1 p) al precio dS.

Extensin a n perodos

Un horizonte de dos perodos. Con dos perodos el diagrama de evolucin del pre-cio del subyacente ser:

quS + q dS =r S

q =r d

u d= p

(1 )

p p p

S

uS con probabilidad de q

dS con probabilidad de (1 q)

1.er perodo 2. perodo

to t1 t2

De forma similar el diagrama de evolucin del valor de la opcin sera:

Para un horizonte de dos perodos, aplicaremos el mismo mtodo de la valoracinque para un perodo. El mtodo consiste en estimarCu y Cda partir de los valores in-trnsecos conocidos en t2 y, posteriormente, aplicando la ecuacin [3] del apartado an-terior, se calcula C. As, en t1, el activo subyacente vale uS o dS. Cuando vale uS, suevolucin para el siguiente perodo ser:

Lo mismo que en el caso precedente, para un perodo, podramos construir una car-tera de arbitraje:

I Vendiendo una opcin.I ComprandoHunidades del subyacente, o viceversa.

S

uS

u2S con probabilidad q2

udS con probabilidad 2q (1q)

d2S con probabilidad (1 q)2dS

C

uS y la opcin Cu

u2S

udS

Cuu

Cud

Cu

Cuu = MAX [0, u2 SE]

Cud= MAX [0, udSE]

Cdd= MAX [0, d2SE]Cd


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La evolucin de la cartera ser la siguiente:

Hhabr de cumplir la igualdad:

Hu2S Cuu = HudS Cud

por lo que

La cartera de arbitraje debe proporcionar un rendimiento equivalente a la rentabili-dad del activo libre de riesgo. Es decir:

ReemplazandoHpor su valor y despejando Cu, se obtiene:

De forma anloga, situndonos en t1, y para un valor del subyacente de dS, por elmismo procedimiento, obtendramos:

Cd =r

p Cud + p Cdd 1

[ (1 ) ]

Cu=r

p Cuu+ p Cud

p =r d

u d

1[ (1 ) ]

HuS Cu =Hu S Cuu

r

=HudS Cud

r

2

H =Cuu Cud

u d uS

( )

HuS CuHu

2

S Cuu

HudS Cud

[4]

[5]

con

Sustituyendo los valores de Cu y Cdde las expresiones [4] y [5] en la expresin [3]

Expresin del valor de una opcin CALL europea segn el mtodo binomial parados perodos.

Generalizacin a n perodos. Para n perodos, los precios del subyacente evolucio-narn segn el diagrama de la Figura 4.1 y el valor de la opci n segn el diagrama dela Figura 4.2. La valoracin de la opcin admite dos caminos:

1. Calcular los valores intrnsecos al final de los n perodos, y por un procedi-miento recursivo calcular el valor de la opcin en cada nudo del diagrama orbol, mediante la expresin ya conocida:

t - tu td C =r

p C + p C11

[ (1 ) ]

C =r

p Cu + p Cd

C =r

p Cuu + p p Cud + p Cdd

C =r

p ,u S E + p p) ,udS E +

p ,d S E

2

2 2

2

1 [ (1 ) ]

1[ 2 1 ) (1 ) ]

1[ [0 ] 2 (1 [0 ]

(1 ) [0 ]

2 2

2 2

(

M X M X

M X

+

Figura 4.1. Evolucin del activo subyacente segn el proceso binomial multiplicativo ennperodos

por lo tanto,

y

[6]


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Donde:

p y r = expresan lo mismo que en ocasiones anteriores.Ct-1 = valor de la opcin en un nudo de t1.Ctu = valor de la opcin en t, cuando el precio del subyacente se multiplica por

u de t1 a t.Ctd = valor de la opcin en t, cuando el precio del subyacente se multiplica por

d, de t1 a t.

El clculo se inicia en n, ltimo perodo asumido para la valoracin. A partir delos valores intrnsecos en n se calculan los valores Cn-1 y retrocediendo en el tiem-po se calculan los Cn-2, Cn-3, etc., hasta C, el valor de la opcin en el momentoactual.

Siguiendo con el Ejemplo prctico 4.1, recordemos los datos:

S = 100 E = 100 u = 1,2

d= 0,8 = 1,1

La evolucin del subyacente ser: y la evolucin del valor de la opcin:

C =1

1,1[0, 75 44 + 2 0, 75 0, 25 0 + 0 ,25 0] = 2 0, 45 u.m.

2

2 2

r

EJEMPLO PRCTICO 4.2

100

120

144

96

64

80

C

Cu

Cuu = 44

Cud= 0

Cdd= 0

Cd

2. Mediante la extensin de la ecuacin [6] llegamos a la frmula general de eva-luacin de una opcin de compra europea para n perodos.

con = 1 + rf, siendo rf la rentabilidad del activo libre de riesgo para un

perodo y n el nmero de perodos considerados para la valoracin.

i! es factorial de i, es decir, el producto i i1 i2 ... 2 1.

Por ejemplo, 5! = 5 4 3 2 1 = 120.Con ambos mtodos se llega, obviamente, al mismo valor.

rpr d

u d=

,

C =r

n

j n jp p u d S E

j=

nj n-J j n-J

1 !

!( )!) (1 ) (0,

0

n( M X )

Figura 4.2. Evolucin del valor de una opcin de compra segn el proceso binomialmultiplicativo en nperodos del subyacente


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Seguimos con nuestro Ejemplo prctico 4.1, variando nicamente la tasa de rentabilidad parahacerla ms realista. Realizaremos la valoracin a cuatro perodos:

S = 100 E = 100 u = 1,2

d= 0,8 = 1,02 n = 4

La evolucin del subyacente ser:

Con la alternativa primera de valoracin, la evolucin del valor de la opcin sera:

p

p

=1, 02 0,8

1,2 0,8= 0,55

1 = 0,45

r

EJEMPLO PRCTICO 4.3

207,36

138,24

92,16

61,44

40,96

172,8

115,2

76,8

51,2

144

96

64

120

80

100

Los clculos intermedios realizados son:

Aplicando la expresin general

C =1

1,02

4!

4!0,45 0 +

4!

1!3!0,55 0, 45 0 +

4!

2!2!0,55 0,45 +

+4!

3!1!0, 55 0, 45 38, 24 +

4!

4!0!0,55 107,36

=1

1,02[11,45+9,83]=19,66 u.m.

4

4 3 2 2

3

4

=

0

C =19,66=1

1,02(0,55 31,55+ 0,45 6)

y assucesivamente hasta llegar a

74,76 =1

1,02(0,55 107,36 + 0,45 38,24)

20,62 =1

1,02(0,55 38,24 +0,45 0)

49,41=1

1,02(0,55 74,76 +0,45 20,62)


107,36

38,24

0

0

0

74,76

20,62

0

0

49,41

11,12

0

31,55

6,00

C = 19,66


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Valoracin de opciones PUT europeas

De forma anloga, se puede evaluar una opcin de venta, constituyendo una carterade arbitraje con posiciones largas (o cortas) en acciones y en opciones. En funcin dela evolucin del precio del activo subyacente, la evolucin del valor de la PUTser:

La cartera de arbitraje la formaremos con H unidades del subyacente y una opcinde venta, de forma que la evolucin de su valor es

H debe cumplir la igualdad HuS +Pu = HdS + Pdy despejando H

PdPuH =

(ud) S

Como era de suponer, ambos caminos llevan al mismo resultado. En nuestra opini n esms til acostumbrarse a la primera alternativa, ya que para valorar determinadas opciones,es necesario entrar dentro del rbol binomial para realizar ajustes como en el caso de lasopciones americanas. El lector que se acostumbre a utilizar la primera alternativa, podrcrear con una simple hoja de clculo, modelos de valoracin para opciones sofisticadas.Ahora bien, a travs del segundo camino podemos llegar al modelo de Black-Scholes, comoveremos en los siguientes apartados.


P

Pu = MAX [0, EuS] con probabilidad de q

Pd= MAX [0, EdS] con probabilidad de 1q

HS + P

HuS +Pu con probabilidad q

HdS + Pd con probabilidad 1q

Adicionalmente se debe cumplir

reemplazandoH por su valor, y simplificando trminos se obtiene

[8]

Del mismo modo, el valor de una opcin PUT europea para n perodos se puedeexpresar por:

Significando todos los trminos, lo mismo que en expresiones anteriores.Tambin en el caso de las opciones PUT, es ms recomendable valorar la op-

cin, calculando los valores intrnsecos en el ltimo perodo y retrocediendo enel tiempo, calculando los diferentes Pi con la expresin:

t - tu td P =r

p P + p P11

[ (1 ) ]

P =r

n

j (n jp p E u d S

j=

nj n- j J n-J 1 !

! )!) (1 ) A [0,

0

n M X ]

Pu = E uS Pd = E dSM X M XA [0, ] y A [0, ]

con

P =r

p Pu + p Pd 1

[ (1 ) ]

por lo tanto,

P =r

Pur d

u d+ Pd

u r

u d

1

H S+P=HuS+Pur

=HdS+Pdr


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Adicionalmente, sabiendo que la paridad PUT-CALL en trminos del modelo bi-nomial la podemos expresar del siguiente modo:

DespejandoP, obtenemos

La utilizacin de la expresin [9] para calcular la prima de la PUT no es un meroejercicio acadmico. En realidad, en muchos casos con un nmero de perodos grande,se ahorra mucho tiempo calculando la prima de la PUT a partir de la prima de la CALLcon la paridad PUT-CALL.

P = C S +E

r n

C = P + SE

rn

Utilizando nuestro tradicional ejemplo prctico en este captulo, vamos a calcular elvalor de una opcin PUT para un perodo:

S = 100 u.m. E = 100 u.m. u = 1,2

d= 0,8 = 1,1 n = 4

1,1 0,8p == 0,75 1 p = 0,25

1,2 0,8

1P = [0,75 0 + 0,25 20] = 4,55 u.m.

1,1

r

EJEMPLO PRCTICO 4.4

[9]

Veamos ahora el valor de la opcin PUT europea para n perodos.

S = 100 E = 100 u = 1,2

d= 0,8 = 1,02 n = 4

La evolucin del subyacente lo hemos calculado en el Ejemplo prctico 4.3:

p = 0,551p = 0,45

El valor de la opcin PUT ser:

A travs de la expresin general

Utilizando la expresin [9] (recordemos que conocemos C = 19,66 u.m. tambin del Ejer-cicio prctico 4.3)

P =19,66+ 100100

1,02=12,04 u.m.

4

P =1

1,02

4!

0!4!0, 45 59, 04 +

4!

1!3!0, 55 0, 45 38, 56 +

4!

2!2!0,55 0, 45 7,84 +

4!

1!3!0,55 0, 45 0 +

4!

4!0!0 0 =

= 11,02

[2,42 + 7,73+ 2,88]=12,

4

4 3 2 2

3

4

+

,55 4

04 u.m.04 u.m.

r

EJEMPLO PRCTICO 4.5

0

0

7,84

38,56

59,04

0

3,46

21,24

46,84

1,53

11,24

32,12

5,78

20,23

12,04

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Para nuestro ejemplo prctico desarrollado a lo largo del captulo, la probabilidadde tres alzas sera:

Es decir, la probabilidad de que el subyacente sea mayor o igual a 138,24 (1,23 0,8 100) es de un 39,1%.

Esta ley se encuentra tabulada, por lo que con cualquier libro de tablas estadsticasse pueden realizar fcilmente los clculos.

En una opcin CALL, la condicin necesaria para que la opcin est dentro de di-nero es

ua dn-a S > EDespejando a

Siendo:

LN(.) = smbolo de logaritmo neperiano.

a = nmero entero mnimo de alzas para que la opcin est dentro de dinero. As:

Paraj < a , MAX [0, uj dn-j SE] = 0, la opcin est fuera de dinero.

Paraj > a , MAX [0, uj dn-j SE] > 0, la opcin est dentro de dinero.Si a > n, la opcin al vencimiento estar siempre fuera de dinero, por lo que C = 0.

Por lo tanto, a es un valor crtico para estimar el valor de una opcin.En base a estos razonamientos, la expresin general del modelo binomial se puede

expresar del siguiente modo:

Desarrollando la expresin

C = Sn

j n jp p

u d

r

E rn

j n jp p

j=a

nj n- j

j n- j

n

-n

j=a

nj n- j

!

!( )!(1 )

!

!( )!(1 )

C =r

n

j n jp p u d S En

i=a

nj n- j j n- j

1 !

!( )!(1 ) [ ]

}

a >E/S d

u/d

nLN

LN

( )

( )

Z nj n j

q p =j=

n

j(3; 4, 0,55) !!( )!

(1

4!

3!1!0,55 (1 0,55) +

4!

4!0!0,55 = 0,3913 4

=

=

3

)

[10]

En el segundo trmino de [10] se reconoce fcilmente la funcin de distribucin dela ley binomial complementaria. Si hacemos

el primer trmino de [10] se convierte en

y por lo tanto el valor de una opcin de compra segn la ley binomial complementariase escribe

C = S Z[a; n,p]E -n

Z[a; n,p] [11]

Reemplazando C por su valor en [11], obtenemos

P =E -n {1 Z[a; n,p] } S {1Z[a; n,p]} [12]

Expresin del valor de una opcin de venta segn la ley binomial complemen-taria.

r

P = C S +

E

r n

p =r d

u dp =

u

rp

y

r

Sn

j (n j)p p S Z a n p

d=a

nj n- j=

= [ ]

!

! !(1 ) ; ,

p =u

r p

p

p =d

rp

p p

pr

up

r

d

1 se puede expresar como

1 (1 )

Sustituyendo y (1 ) por

y (1 )

con

Por la paridad PUT-CALL

p1 se puede expresar como

p pSustituyendo y (1 ) por


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Lgicamente al estar la opcin CALL dentro de dinero y la PUT, fuera de dinero, elvalor de la CALL es muy superior al de la PUT. Reiteramos que los valores de la funcinde distribucin de la ley binomial complementaria se encuentran en varios libros de tablasestadsticas. Por otro lado, con una hoja de clculo tambin es fcil obtener esta funcin.

Por otra parte, Cox, Ros y Rubinstein (1979) demuestran que cuando n-> ,Z [a; n, p] > N(d1) y Z[a; n, p] >N(d2). Sustituyendo estos valores en [11],

obtenemos la expresin del ya famoso modelo de Black-Scholes (1973)

1

2 1

1

2d

S

E+ r + t

t

d d t

2

=

=

LN

C S N(d) E e N(d )-rt= 1 2

Calcular el valor de una opcin CALL y una opcin PUT, con los siguientes datos:

S = 90 u.m. E = 85 u.m. u = 1,1

d= 0,91 = 1,02 n = 6 perodos

y la opcin PUT valdr

P = 85 1,02-6 (1 0,7879) 90 (1 0,8534) = 2,81 u.m.

aLN

LN

a a

p P

C Z Z

>(85/90 0,91 )

(1,1/0,91)=

0,5087

0,1896

> 2,6827 por lo que = 3

=1, 02 0, 91

1,1 0, 91= 0,58 =

1,1

1,020,58 = 0,63

= 90 [3, 6; 6, 0, 63] 85 1, 02 [3; 6, 0, 58] =

= 9 0 0, 8534 85 0, 89 0, 7879 = 17,

6

6

34 u.m.34 u.m.

r

EJEMPLO PRCTICO 4.6

[13]

donde

S = precio del activo subyacente en el momento de la valoracin.E = precio de ejercicio.

r = tasa de inters en tiempo continuo: r =LN(1 + i).t = plazo de ejercicio en aos. = volatilidad del precio del subyacente, en trminos anuales.e = base de logaritmos neperianos.

N(i) = valor de la funcin de distribucin normal para i.

De forma anloga, obtendramos a partir de [12] para las opciones de venta, el mo-delo de Black-Scholes que se expresa por

Significando todos los parmetros lo mismo que en [13]3.

P E N d S N d -rt2 1

= e ( () )

S = 90 u.m. E = 85 u.m.

t = 3 meses. Es decir, aproximadamente 0,25 aos

i = 12% anual, por lo que r =Ln(1,12) = 0,1133

= 30%

1

2

2

-0,11330,25

-0,1133 0,25

=

(90/85)+ 0,1133+1

20,30 0,25

0,30= 0,6449

= 0,6449 0,30 = 0,4949

= 90 (0,6449) 85 (0,4949)

=90 0,7405 85 0,9721 0,6897= 9,66 u.m.

= 85 ( 0,4949)

d

LN

d

C N e N

C

P e N

0 25

0 25

,

,

9090 ( 0,6449) =

=85 0,9721 0,3103 90 0,2595= 2,28 u.m.

N

EJEMPLO PRCTICO 4.7

8/3/2019 165 opciones

63/260

Tal como se estudia en el Captulo 6 N(d ) es equivalente al ratio de cobertura H


8/3/2019 165 opciones

64/260

Tal como se estudia en el Captulo 6, N(d1) es equivalente al ratio de cobertura Hdel modelo binomial5. Es decir,N(d1) es la cantidad de acciones (o unidades del activosubyacentes) necesarios para la cartera de rplica de la opcin. Por lo tanto, S N(d1)

es el coste de las acciones que necesitamos para la cartera de rplica. El segundo tr-mino,E e-rtN(d2), es el importe necesario a financiarnos al tipo de inters libre de ries-go para replicar la opcin. En sntesis, la diferencia entre ambos trminos, es el costede la cartera de rplica.

Por lo tanto, el lector puede comprobar cmo la frmula de Black-Scholes es sim-plemente una relacin de arbitraje. El lado izquierdo de la expresin [13] es el valorde la opcin. El lado derecho nos proporciona el precio de mercado de la cartera derplica.

LOS MODELOS DE VALORACIN EN LA PRCTICA.

COMPARACIN ENTRE LOS DOS ENFOQUESDE VALORACIN

Revisando el modelo binomial y el modelo Black-Scholes, coincidiremos en que exis-te un conjunto de parmetros de fcil obtencin (S,E, t, etc.), pero otros parmetrosno son directamente observables de la informacin disponible sobre los mercados fi-nancieros. En concreto u y d para el modelo binomial y para el modelo Black-Scholes.

En el caso del modelo binomial, una buena aproximacin de los parmetros u y dse obtiene por las expresiones6

donde:

t = plazo en aos de la opcin.n = nmero de perodos del modelo binomial.= volatilidad en trminos anuales prevista para el activo subyacente.

Por otra parte, r se puede estimar por la expresin:siendo r el tipo de inters instantneo, es decir, r =LN(1 + i).

r e

rt

n=

u = e t/n (1/2)

Calcular por el mtodo binomial el valor de una opcin CALL europea sobre una accincon los siguientes datos:

Dividendo: 0

Plazo: 3 meses (91 das)

Precio actual: 1000 u.m.

Precio de ejercicio: 1.000 u.m.

Tipo de inters: 12,75% anual

Volatilidad anual: 34,9%

Nmero de perodos: 3Cul sera el valor de la PUT?

La solucin al ejemplo es la siguiente:

El diagrama de evolucin del precio de la accin es el siguiente:

,

, ,

, ,,

,

, ,

r e

p

p

= =

=

=

=

0 12 0 25

3 1 01

1 01 0 904

1 106 0 9040 5247

1 0 4753

r LN

u e

d

= +( ) =

= =

= =

1 0 1275 0 12

1106

11106

0 904

0 3490 25

3

1

2

, ,

,

,,

,,

EJEMPLO PRCTICO 4.8

1.352,9

1.105,8

903,8

738,8

1.223,2

999,8

817,2

1.106,0

904

1.000

8/3/2019 165 opciones

65/260

8/3/2019 165 opciones

66/260

De forma anloga obtendramos para una opcin de venta europea sobre un


O C CO

8/3/2019 165 opciones

67/260

futuro:

Se observar que estas expresiones son idnticas a las expresiones [3] y [8] del apar-tado 4.3, cambiando nicamente el valor de p y (1 p).

Al igual que con las opciones sobre un activo subyacente al contado, para n pero-dos tenemos dos caminos de valoracin:

1. Desarrollar el rbol de la evolucin de precios y calcular desde n a 0, haciaatrs en el tiempo, los valores de la opcin a partir de los valores intrnsecosal vencimiento.

2. Aplicar directamente las expresiones:

para las opciones de compra y

para las opciones de venta.Personalmente preferimos el primer camino aunque, por supuesto, ambos son

vlidos.

P =r

n

j (n j)p p) u d Fn

J=

nj n- j j n- j

1 !

! !(1 [0, ]

0

M X

E

C =r

n

j (n j)p p) u d F En

J=

j n- j j n- j1 !

! !(1 [0, ]

0

M Xn

P =r

p Pu + p Pd

p =d

u d

Pu = E uF

Pd = E dF

1[ (1 ) ]

1

[0, ]

[0, ]

M X

M X

[18]

[19]

[20]

con

y

Supongamos la tpica opcin CALL europea sobre un futuro sobre un bono, con un venci-miento a seis meses (180 das). Sabiendo que:

El futuro cotiza actualmente al 97% sobre el nominal. El precio de ejercicio de la opcin es del 96,5% sobre el nominal. El tipo de inters a corto plazo es del 11%. La volatilidad estimada para el futuro es del 10% anual.

Se pide calcular la prima terica de la CALL y la prima terica de una PUT equivalentepor el modelo binomial a diez perodos.

A partir de estos valores, los diagramas de evolucin del precio del futuro y del valor dela opcin CALL se representan en las Figuras 4.5 y 4.6. Sabiendo que la paridad PUT-CALLen estas opciones viene dada por

obtenemos que

P=Cr

F En

1

[ ]

C P =r

F En

1

[ ]

u = e =0,10180

365 10

180

365

0,1044

10

1,0225

=1

= 0,978

= (1 + 0,11) = 0,1044

= = 1,0052

= 1 = 0, 4945 1 = 0, 5055

du

r LN

r e

P du d

p

EJEMPLO PRCTICO 4.9

[21]


EJEMPLO PRCTICO 4 9 (continuacin)


Figura 4.7

8/3/2019 165 opciones

68/260

es decir,

Es decir, utilizando la terminologa al uso en los mercados de opciones sobre instrumen-tos de deuda, la CALL valdra 281 puntos bsicos (p.b.s) y la PUT 234 p.b.s. Por ejemplo,para los Bunds cuyo nominal es de 100.000 y el p.b.s. (1/10.000) equivale a 10 , lasprimas seran de:

C = 281 10 = 2.810

P = 234 10 = 2.340

P = 2,811

1,0052(97 96,5)= 2,34

10


Figura 4.5

Figura 4.6

En general, en las opciones sobre futuros, es muy comn calcular la primas en pun-tos de cotizacin del contrato de futuros y despus traducirlas en unidades monetariassegn el valor asignado a cada punto de cotizacin.

Al mismo resultado habramos llegado valorando directamente la opcin PUT, talcomo se hace en la Figura 4.7. Adicionalmente, tambin se puede utilizar la funcin dedistribucin de la ley binomial complementaria, de forma similar a la expuesta para op-ciones sobre el contado. Para n , el modelo binomial converge en el modelo deBlack (1976) que analizaremos a continuacin.

EL MODELO DE BLACK PARA OPCIONES EUROPEASSOBRE FUTUROS

El modelo de Black (1976) es una derivacin del modelo B-S para opciones sobre con-tratos (a plazo) y por extensin, tambin para opciones de contratos de futuros. Partede las mismas hiptesis del modelo B-S, es decir:

El mercado es perfecto y sin fricciones: no existen costes de transaccin y los con-tratos son perfectamente divisibles; las compras y ventas en descubierto son po-sibles; las transacciones tienen lugar de forma continua y no existen impuestos.

El tipo de inters a corto plazo es constante. Las opciones son europeas y su activo subyacente es un contrato a plazo7. El precio del contrato a plazo, F, sigue un proceso definido por la ecuacin

diferencial siguiente: donde y son constantes que representan

la esperanza matemtica y la desviacin tpica de la variacin relativa instantneadel precio a plazo y dz es un proceso estndar de Gauss-Wiener.

dF

Fd + d

t z ,

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69/260

8/3/2019 165 opciones

70/260

8/3/2019 165 opciones

71/260

8/3/2019 165 opciones

72/260

8/3/2019 165 opciones

73/260

8/3/2019 165 opciones

74/260

Elevando al cuadrado ambos trminos

dS


La cartera de arbitraje tiene una rentabilidad en equilibrio igual a la rentabilidad delactivo libre de riesgo. Es decir:


8/3/2019 165 opciones

75/260

En funcin de la tabla de multiplicacin aplicable a las integrales estocsticas, sa-bemos que:

dz2 = dtdz dt = dt dz = 0dt2 = 0

En consecuencia, [2] se expresa como:

Reemplazando (dS)2 por su valor en [3], en la ecuacin [1]

La variacin dR de la cartera de arbitraje ser por lo tanto:

Dado que la variacin dS es aleatoria, podemos construir una cartera de arbitrajesin riesgo, eligiendo

n = 1 n = 1

h = CS [5] o h = CS [6]

Eligiendo [5]

R =C + CS S [7]

dR = C + C S dtt SS

1

22 2

dR = nCs +h dS + n C + C S dtt SS( )1

22 2

dC = C dS+dt C + C SS t SS

1

22 2

dSS

= dt dS = S dt2 2

2

2 2y ( )

dS

S

= dt + dt dz + dz

2 ( ) 2 ( )

2 2 [2]

[3]

[8]

{ {

[4]

Reemplazando en [9],R y dR por sus valores en [7] y [8], obtenemos

Si Tes el plazo de vencimiento de la opcin, tambin podemos escribir:

Esta ecuacin en derivadas parciales constituye la relacin fundamental que sigueel valor de una CALL. Este tipo de ecuaciones son muy frecuentes en la Fsica, porejemplo, las ecuaciones de transmisin del calor.

Para una ecuacin en derivadas parciales se puede definir, al igual que para unaecuacin diferencial, la nocin de integral general, es decir, la funcin ms general quesatisface la ecuacin.

Asimismo, se puede calcular la solucin particular de [11] que satisface adems loslmites del valor de una CALL, que como ya sabemos son:

C (S, 0, E) = S E si S EPara T= 0 [12]

C (S, 0, E) = 0 si S

8/3/2019 165 opciones

76/260

YT = YSS [13]

y los lmites de [12] se convierten en

La ecuacin [13] es la ecuacin de transmisin del calor. Su solucin se puede ob-tener por diferentes mtodos. En cualquier caso, la solucin se expresa por la igualdad

C = S N(d1)E e-rT N(d2)

Es decir, la frmula de valoracin propuesta por Black-Scholes.

REFERENCIAS

1. Vase MACKEAN, H. P. (1969), Stochastic Integrals, Academic Press, Nueva York. Porotra parte, en Hull (1989), pgs. 102 y 103, tambin se encuentra una desviacin del lemade Ito. Otras aplicaciones del clculo diferencial estocstico a las finanzas se exponen enMerton (1990).

2. Este apndice se ha basado fundamentalmente en Augros (1987), pgs. 104-110.

Y S , = E S r S

Y (S , = S 0

= r E e>

( )

DELTA

( ) ( ) 0

GAMMA

( ) 212

C

S

P

S

C

P

C P

N d

= N d = N d

< = ( ( [ ( 2 ] 01 2 1d d d) ) )

C-rt -rt -rtrF e N + r E e N + F e Z / t

>

< = ( ( [ ( 2 ] 01 2 1d d d) ) )

= = =

F F t

C P

2

2

2

2

2

2

ed

F

rt 1

2

20

Crt

C

P

rt

P

e N d

e N d

= =

= t e E1.Para una opcin put el payoff sera: 0 si S E1 y E2-S si S

8/3/2019 165 opciones

169/260

Los parmetros de valoracin son:S = 100, E1 =100;E2 = 110; T= 0,5 aos; r = 5%; q = 2% y volatilidad = 30%

Los resultados de los clculos intermedios son:d1 = 0,1760; d2 =0,035;N(d1) = 0,5699; N(d2) = 0,4860

Opciones cash or nothingUna opcin cash or nothing es aquella que paga una cantidad especificada (o nada) en lafecha de vencimiento si la opcin acaba dentro del dinero. En el caso de la opcin callcash or nothing se paga una cantidad Ksi el subyacente est por encima del strike en lafecha de vencimiento (T), es decir, S >E. Para la opcin put cash or nothing seraE > S:

Payoff call: 0 si S E y Ksi S >E.Payoff put: 0 si S E y Ksi E > S.

Estas opciones se pueden valorar anal ticamente con el modelo de Reiner yRubinstein (1991):

call

put

=

=

=+

Ke N d

Ke N d

dS E r q T

T

rT

rT

( )

( )

ln ( ) ( / )

2 2

Opciones asset or nothing

El payoff de estas opciones depende de si a vencimiento acaban dentro del dinero. Sies aspagan el precio del activo subyacente. Por lo tanto, el payoff de una opcin callasset or nothing es: 0 si S E y S si S >E.

Para la opcin put es: 0 si S E y S si S

8/3/2019 165 opciones

170/260

Opciones cash or nothing sobre dos activos

Un tipo de opciones binarias algo ms complejas son las opciones cash or nothingsobre dos activos. Existen cuatro tipos de opciones, que se pueden valorar con el mo-

delo de Heynen y Kat (1996):

I Cash or nothing call sobre dos activos: paga una cantidad fija (K) si el sub-yacente del activo 1 (S1) est por encima del strike 1 (E1) y el subyacente delactivo 2 (S2) tambin est por encima del strike 2 (E2) en la fecha de venci-miento.

prima = Ke M d d rT ( , ; ), ,11 2 2

Los resultados de los clculos intermedios son:d= 0,6203;N(d) = 0,7324; N(d) = 0,2675

I Cash or nothing put sobre dos activos: paga una cantidad fija (K) si el sub-yacente del activo 1 (S1) est por debajo del strike 1 (E1) y el subyacente delactivo 2 (S2) tambin est por debajo del strike 2 (E2) en la fecha de venci-miento.

I Cash or nothing up-down sobre dos activos: paga una cantidad fija (K) si el sub-yacente del activo 1 (S1) est por encima del strike 1 (E1) y el subyacente delactivo 2 (S2) est por debajo del strike 2 (E2) en la fecha de vencimiento.

prima = Ke M d d rT ( , ; ), ,11 2 2

prima = Ke M d d rT ( , ; ), ,11 2 2

Los clculos intermedios son:d1,1 = 3,1718;d2,2 = 0,5750;M(d1,1,d2,2;) = 0,7166

I Cash or nothing down-up sobre dos activos: paga una cantidad fija (K) si elsubyacente del activo 1 (S1) est por debajo del strike 1 (E1) y el subyacen-te del activo 2 (S2) est por encima del strike 2 (E2) en la fecha de venci-

miento.

donde

es el coeficiente de correlacin entre los dos activos subyacentes y M es la funcinde distribucin normal bivariante acumulada.

OPCIONES CHOOSER O DE ELECCIN

dS E r q T

Ti ji j i i

i

,

ln ( ) ( / )=

+

2 2

prima = Ke M d d rT ( , ; ), ,11 2 2

CAPTULO 11 Las opciones exticas 319 320 OPCIONES FINANCIERAS Y PRODUCTOS ESTRUCTURADOS

Valorar una opcin chooser simple que vence dentro de 1 ao. El precio del activo subya-cente es 12, el strike es 10, los dividendos son 1%, el tipo libre de riesgo, 5% y la volatili-dad del activo subyacente es 24%. El tiempo de eleccin t1 es de 3 meses.

Los parmetros de valoracin son:S = 12, E =10; T= 1 ao; r = 5%; q = 1%; volatilidad = 24%; t1 = 0,25 aos

EJEMPLO PRCTICO 11.8

8/3/2019 165 opciones

171/260

Las opciones chooser son aquellas que ofrecen al comprador de la opcin la posi-bilidad de elegir en una fecha determinada (t1) entre una opcin call o una opcinput.

Existen dos tipos de opciones chooser, simples y complejas.

Opciones chooser simples

Ofrecen la posibilidad al comprador de la opcin de elegir en la fecha t1 entre una op-cin call o put con las mismas caractersticas, es decir, mismo strike (E) y mismo tiem-po a vencimiento (T2). Por definicin T2 > t1.

El payoff de esta opcin es:

Estas opciones se pueden valorar utilizando el modelo analtico de Rubinstein(1991):

donde dS E r q T

Ty

S E r q T t

t=

+ +=

+ +ln( ) ( / ) ln( ) ( ) /

2

2

2

2

2

1

1

2 2 e

w Se N d Ee N d T Se N y Ee N y tqT rT qT rT = + + 2 2 2 22 1

( ) ( ) ( ) ( )

w S E r q t T call S E r q t T put S E r q t T ( , , , , , , ) ( ( , , , , , , ); [( , , , , , , )] 1 2 1 2 1 2

= mx

Opciones chooser complejas

Las opciones chooser complejas ofrecen la posibilidad al comprador de la opci n deelegir entre una call con strikeEc y vencimiento Tc y una put con strikeEp y vencimientoTp sobre un activo subyacente en un fecha t1 (Tp > t < Tc).

El payoff de estas opciones es:

w S E E r q t T T call S E r q t T put S E r q t T c p c p c c p p

( , , , , , , , , ) ( , , , , , , ]; [( , , , , , , )] 1 1 1= mx [

Los clculos intermedios son:

d= 1,025;y = 1,8710;N(d) = 0,8474; N(y) = 0,0306; = 0,7839 y

= 0,0399N y t( ) + 1

N d T ( )2

CAPTULO 11 Las opciones exticas 321

Valorar una opcin chooser compleja. El precio del activo subyacente es 24, el strike de la op-cin call es 22, el vencimiento de la call es dentro de 8 meses, el strike de la opci n put es 25,el vencimiento de la put es dentro de 4 meses, los dividendos son 1,0%, el tipo libre de riesgo,5% y la volatilidad del activo subyacente es 25%. El tiempo de eleccin t1 es de 2 meses.

Los parmetros de valoracin son:S = 24,Ec =22;Ep = 25; Tc =0,66 aos; Tp = 0,33 aos; r = 5%; q = 1%; volatilidad1 = 25%;

t1 = 0,166 aos

EJEMPLO PRCTICO 11.9donde

El valor de Ise obtiene de:

Ie N z E e N z T t Ie N z

E e N z T t

q T tc

r T tc

q T t

p

r T t

p

c c p

p

+ +

+ =

( ) ( ) ( )

( )

( ) [ ( )] ( )

[ ( )]

1 1 1

1

1 1 1 2

2 10

1 1 2 1

= =t T t T c p

;

yS E r q T

Ty

S E r q T

Tc c

c

p p

p

1

2 22 2=

+ +=

+ +ln( ) ( / ) ln( ) ( / )

;

2

dS I r q t

td d t

1

2

1

1

2 1 1

2=

+ +=

ln( ) ( / )

;


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172/260

Estas opciones se pueden valorar con el modelo de Rubinstein (1991):

w Se M d y E e M d y T Se M d y

E e M d y T

qTcc

rTc

qTp

prTp

p

c= +

+ +

( , ; ) ( , ; ) ( , ; )

( , ; )

1 1 1 2 1 1 1 2 2

2 2 2


I = 22,84; z1 = 0,4135; z2 =0,7689; N(z1) = 0,6603; N(z2) = 0,7790; d1 = 0,6016; d2 =0,4996

; y1 = 0,6589;y2 = -0,1182; r1 = 0,500; r2 = 0,7071;

; ;

;

M d y T p

( , , ) ,2 2 2

0 2819 + =

M d y( , ; ) , =1 2 2

0 2447M d y T c( , , ) ,2 1 1 0 5362 =

M d y( , , ) ,1 1 1

0 6015 =N z T tp( ) , + =2 1 0 8081

N z T tc

( ) ,1 1

0 5935 =

donde

M, como siempre, es la funcin de distribucin normal bivariante acumulada.

LAS OPCIONES CON UN VALOR DEPENDIENTEDE LA EVOLUCIN HISTRICA DE LOS PRECIOSDEL SUBYACENTE

Esta modalidad de opciones admite cuatro tipos bsicos:

Opciones lookback. Opciones barrera. Opciones doble barrera. Opciones con precio medio del subyacente u opciones asiticas.

Opciones lookback

Dentro de las opciones lookback existen dos tipos:

Opciones lookback con precio de ejercicio flotante: el valor del precio deejercicio se determina teniendo en cuenta el precio ms favorable del subya-cente durante la vida de la opcin.

zI E r q T t

T tz

I E r q T t

T tx c

c

p p

p

1

21

1

2

21

1

2 2=

+ + =

+ +

ln( ) ( / ) ( )

( )

ln( ) ( / ) ( )

( )

y

8/3/2019 165 opciones

173/260


Valorar una call lookback con strike flotante sobre una accin que vence dentro de 1 ao, elsubyacente est a 17, el subyacente mnimo, a 11, el mximo a 24, la volatilidad es del 35%,los dividendos son 1,5% y el tipo libre de riesgo es 5%.

Los parmetros de valoracin son:

S = 17, Smn = 11; Smx = 24; T= 1 ao; r = 5%; q = 1,5% y volatilidad = 35%



Valorar una put lookback con strike fijo sobre una accin que vence dentro de 1 ao, el sub-yacente est a 25, el subyacente mnimo es 20, el mximo, a 28, la volatilidad es del 38%,los dividendos son 1%, el tipo libre de riesgo es 4,5% y el strike es 22.

Los parmetros de valoracin son:

S = 25, Smn =20; Smx =28;E = 22; T= 1 ao; r = 4,5%; q = 1% y volatilidad = 38%


8/3/2019 165 opciones

174/260

donde aS S r q T

T a a T1

2

2 1

2=

+ +=

ln ( ) ( / ), mx


a1 = 1,1518; a2 = 1,168;N(a1) = 0,9355; N(a2) = 0,8787; N(a1) = 0,0644;

N ar q

T +

=1 2 0 0936

( ),

Estamos en el caso en que el strike es mayor que el subyacente mnimo (E Smn), losresultados de los clculos intermedios son:

b1 = 0,869; b2 = 0,489;N(b1) = 0,1923; N(b2) = 0,3123;

N br q

T +

=1 2 0 2466

( ),

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175/260


Valorar una opcin barrera call down-and-in con las siguientes caractersticas: el subyacen-te vale 100, la barrera se coloca en 95, strike, 110, rebate, 5, tiempo a vencimiento, 1 a o,tipo de inters libre de riesgo 5%, dividendos del activo subyacente 1,5% y volatilidad 40%.



Vamos a valorar una opcin call doble barrera up-and-out-down-and-out por el mtodo deMontecarlo. Intuitivamente se representara as:

TRES SENDAS ALEATORIAS GENERADAS POR EL MTODODE MONTECARLO DE EVOLUCIN DEL SUBYACENTE

Barrera Up

Barrera Down


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176/260

Evidentemente cualquier opcin barrera valdr siempre menos que su opcin nor-mal o estndar equivalente.

Respecto a su valoracin, existen algunos modelos analticos para alguna de sus va-

riantes

3

, aunque al igual que con otras opciones, la solucin ms simple es utilizar m-todos numricos (montecarlo o rboles binomiales).En este apartado no entraremos en el modelo analtico debido a que las frmulas

de valoracin son muy complejas4.

Opciones doble barrera

Las opciones doble barrera son muy similares a las anteriores. La nica diferencia esque el valor final de la opcin depender de si el subyacente toca (o no) una barrerasuperior (U) y otra barrera inferior (L).

Existen cuatro tipos de opciones doble barrera:

a) call up-and-out-down-and-out

Si el subyacente toca la barrera superior o inferior la opcin se desactiva.Payoff: mx (S E; 0) si L < S < Uantes de la fecha de vencimiento o 0 en casocontrario.

Para valorar esta opcin seleccionaramos slo las sendas que cumplen ambos criterios(senda de puntos).

Barrera Down

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I

donde

I Opciones asiticas con media aritmtica: para determinar el precio de la op-cin se calcula la media aritmtica de los precios del activo subyacente desdeuna fecha determinada hasta el vencimiento. Para la valoracin de este tipo deopciones no existe un modelo analtico cerrado. El motivo es que se suponeque el activo subyacente se distribuye de forma lognormal y la media aritm -tica del activo subyacente no sigue esa distribucin.Existen varias aproximaciones analticas, como la de Turnbull y Wakeman

(1991) o Levy (1992). Si no siempre podemos recurrir a mtodos numricoscomo Montecarlo.

dS E b T

Td d Ta a

a

a1

2

2 1

2=

+ +=

ln ( ) ( / );

call Se N d Ee N d

put Ee N d Se N d

b r T rT

rt b r T

a

a

=

=

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

1 2

2 1

CAPTULO 11 Las opciones exticas 333 334 OPCIONES FINANCIERAS Y PRODUCTOS ESTRUCTURADOS

Valorar una opcin call asitica con media aritmtica con las siguientes caractersticas:media aritmtica 105, subyacente 100, strike 95, tiempo sobre el que se calcula la media3 meses, tiempo a vencimiento 1 ao. Tipo de inters 10%, dividendos 5% y volatilidad delactivo subyacente 35%.


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Nosotros expondremos a continuacin el modelo de Levy (1992)5:

calculamos la prima de la put mediante la paridad put-

call para opciones asiticas:

donde:

SA es la media aritmtica del activo subyacente.S es el precio del activo subyacente.E strike o precio de ejercicio.r tipo de inters libre de riesgo.q dividendos del activo subyacente.T2 tiempo en aos sobre el que se calcula la media aritmtica de los del subya-

cente.

T tiempo a vencimiento de la opcin.

put call S E eE

rT + 2 .

call S N d E e N d E

rT ( ) ( )*1 2

2

MS

r q

e

r q

e

r q

r q T r q T

=

+

+ 2 1

2

12

2

2

2

22 2

( ) ( )

( ( ) ) ) ( )

E ET T

TS V D rT S D

M

TA E* , ln( ) [ ln( )] ,=

= + =2

2 22

SS

T r qe e d

V

DE d d V

EqT rT =

( )( ) =

=

2 21 2 1

1

2,

ln( )ln( ) ,*

OPCIONES SOBRE DOS SUBYACENTES

Dentro de este apartado existen numerosos tipos de opciones. Las m s usuales son:

I Opcin sobre el intercambio de dos activos.I Opciones sobre dos activos correlacionados.I Opciones sobre el mximo y el mnimo de dos activos.

Opcin sobre el intercambio de dos activos

Este tipo de opcin fue introducido por Margrabe (1978). El comprador de una opcinsobre el intercambio de dos activos adquiere el derecho de intercambiar el activo 2 por el

Los clculos intermedios son: SE = 24,53;E* = 16,25;M = 639,40;D = 639,40; V= 0,01027;

d1 = 4,3639; d2 = 4,26236;N(d1) = 0,9999 y N(d2) = 0,9999


Valorar la opcin sobre el intercambio de dos activos que vence dentro de 6 meses con lassiguientes caractersticas: subyacente activo 1 vale 13, subyacente activo 2,26, volatilidad25% y 35%, respectivamente, dividendos 2% y 1%, respectivamente. La cantidad del acti-vo 1 es 10 y del activo 2 5. La correlacin entre los subyacentes es del 72% y el tipo de in-ters libre de riesgo, 5%.



Valorar una opcin call sobre dos activos que vence dentro de 5 meses con las siguientescaractersticas: subyacente activo 1 vale 55, subyacente activo 2,65, volatilidad 25% y 38%,respectivamente, dividendos 1,5% y 1,25%, respectivamente. El precio de ejercicio del ac-tivo 1 es 50 y del 2,70. La correlacin entre los subyacentes es del 56% y el tipo de interslibre de riesgo, 5%.


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activo 1 en la fecha de vencimiento. El payoff de esta opcin es: mx (Q1 S1Q2 S2; 0),donde Q1 y Q2 son las cantidades del activo 1 y 2 respectivamente.

Como se trata de una opcin sobre dos activos, en los que cada uno tiene una vo-latilidad, debemos hacer un ajuste va coeficiente de correlacin.

De esta forma tendemos:

El modelo de valoracin propuesto por Margrabe es:

donde dQ S Q S q q T

T d d T1 1 1 2 2 1 2

2

2 1

2=

+ + +=

ln ( ) ( / ) ,

Pr ( ) ( )ima opcin = Q S e N d Q S e N d q T q T 1 1 1 2 2 2

1 2

= + 1

2

2

2

1 22

Los resultados de los clculos intermedios son:

d1 = 0,0567; d2 =0,1149; ;N(d1) = 0,5226 y N(d2) = 0,4542 , = 0 2428

Opcin sobre dos activos correlacionados

Las opciones sobre dos activos son muy comunes para la realizacin de coberturas decarteras cuando existen movimientos adversos en los precios de los activos. Es fre-cuente la utilizacin de este tipo de opciones sobre dos ndices de bolsa o sobre unndice de bolsa y un tipo de cambio (por ejemplo, S&P 500 y tipo de cambio euro-dlar).

Los correspondientes payoff de las opciones son:

Call: mx (S2E2 ; 0) si S1 >E1 y 0 en caso contrario.Put: mx (E2S2 ; 0) si S1

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REFERENCIAS

1. En general, es muy difcil hacer clasificaciones plenamente aceptadas. Por ejemplo, Ru-binstein (1990) cataloga a todas estas opciones bajo el epgrafe de opciones exticas. Par-ticularmente opinamos que es ms apropiado distinguir entre ambos tipos, dadas sus nota-bles diferencias a efectos de valoracin, clculo de parmetros, etc.

2. Este tipo de estructura tambin se utiliza en los mercados OTC de opciones sobre accionese ndices burstiles, con la denominacin de opciones con un CAP (lmite mximo de pre-cio del subyacente al ejercicio), opciones con un FLOOR (lmite mnimo del precio del sub-yacente al ejercicio) y opciones con un COLLAR (lmites mximos y mnimos al ejercicio).

3. Vase Merton y Reiner (1973), Rubinstein (1991), Rich (1994).4. Las f rmulas de valoracin las podemos encontrar en Gaarder Haug (1997).5. Existen trabajos que han demostrado que el modelo de Levy es ligeramente ms preciso que

el de Turnbull y Wakeman. Vase Levy y Turnbull (1992).


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Como analizaremos a continuacin, una inversin en opciones se puede analizarbajo el enfoque del CAPM si el perodo de la inversin es infinitamente pequeo. Estosupone que, en perodos normales de evaluacin de inversiones, el criterio clsicoesperanza matemtica-varianza no se puede utilizar para una cartera que incluya op-

ciones.Por otra parte, conviene subrayar la paradoja existente en la relacin entre el CAPM

y la teora de valoracin de opciones. As, mientras el CAPM implcitamente valida losmodelos de valoracin de opciones como el modelo B-S, lo contrario no es cierto7. Esdecir, la verificacin de la teora de valoracin de opciones no implica el cumplimien-to del CAPM. Teniendo en cuenta estas observaciones, estudiaremos la inclusin de lasopciones dentro del CAPM.

Por el Captulo 4, sabemos que una opcin CALL es equivalente a una posicin lar-ga sobre Hacciones y un prstamo igual a B unidades monetarias. Es decir:

C = HS B [1]

Si denominamosL a la elasticidad de la prima de la opcin, con respecto al precio

de la accin.

L =dC/C

dS/S= dC/dS

S

C= H

S

C

CAPTULO 12 Las opciones y la gestin de carteras de renta variable 359

La expresin [2] nos permite definir de forma instantnea la rentabilidad esperadade la opcin de compra, su riesgo total y su beta

representan la rentabilidad esperada instantnea de la accin y la opcin y r es la tasainstantnea de rentabilidad del activo libre del riesgo.

La igualdad precedente se puede plantear tambin de la siguiente manera:

EdC

Crdt = L E

dS

Srdt

EdC

C= L E

dS

S+ L rdt

EdS

CE

dS

S

(1 )

y

dC

C= L

dS

S+ L rdt

(1 )


[2]

en donde

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o

L representa tambin el apalancamiento de la inversin en la opcin.Sustituyendo C por su valor en [1]

El signo negativo delante de B indica que se trata de un endeudamiento.En un intervalo muy reducido de tiempo, la rentabilidad de la inversin en la op-

cin de compra ser igual a la suma ponderada del rendimiento de la accin y del ac-tivo libre de riesgo. Por lo tanto,

L =HS

HS B

L =B

HS B

(1 )

L =S

C

y

Por el Captulo 4, sabemos que

En consecuencia, la rentabilidad instantnea esperada para la CALL se puede ex-presar como:

Adicionalmente su riesgo total, medido por la desviacin t pica de su rendimientoinstantneo,

Es decir, el riesgo total de la opcin es igual al riesgo total de la accin, medidopor la desviacin tpica del rendimiento instantneo de la misma multiplicado por elapalancamiento de la opcin.

C = L S

EdC

Cr dt = L( r) dt

EdS

S= dt

[3]

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CAPTULO 15 Opciones reales y valoracin de empresas de alto crecimiento 459

Para aplicar el mtodo binomial, debemos extraer las probabilidades de la posible evolu-cin del proyecto en un entorno de neutralidad al riesgo. Recordemos del Cap tulo 4, que laprobabilidad al alzap es igual a

En trminos de un proyecto de inversin es comn utilizar la siguiente expresin:

siendo:

rf = la rentabilidad libre de riesgo.

uVo = el valor del proyecto en el escenario optimista para un perodo.d.Vo = el valor del proyecto en el escenario pesimista para un perodo.En nuestro caso:

El valor actual del proyecto en este entorno de valoracin sera:

VANb

= + +

= 2000 293 25 140 0 707

1 0637 5

, ,,

p

p

=+

=

=

( , ) ,,

,

1 0 06 162 5 140

250 1400 293

1 0 707

pr V d V

uV d V f o o

o o

=+

( )1

pr d

u d=



y el valor de la opcin real VOR, despejando de la expresin [1],

Para la opcin de crecimiento, tenemos el siguiente diagrama:

El valor total del proyecto con la opcin de ampliacin incluida sera igual a:

VOR VAN VAN millones de euros= = =a b

10 50 37 5 48, ( , )

VANa

= +

=0 293 38 0 707 0

1 061050

, ,

,,


VANa

MAX(0, 250 212) = 38

MAX(0, 140 212) = 0

VANa

MAX(250 1,6 85, 250) = 315

MAX(140 1,6 85, 140) = 140

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Valoremos la opcin de atrasar el proyecto. Grficamente, los desenlaces son:

I1 es la inversin necesaria para realizar el proyecto en el perodo 1. Asumiremos en elejemplo que I1 = 200 1,06 = 212 millones de euros, es decir, el coste inicial se actualizacon el tipo de inters libre de riesgo. Por lo tanto,

1 06,

VANa

MAX(0, uVoI1)

MAX(0, dVoI1)

El proyecto no se realizara con la opcin de expansin analizada ya que la mista tieneun valor de slo 28,77 millones de euros [8,73 (37,5)] que no compensa el VANb ne-gativo de 37,5 millones de euros.

VANa =

+

=

0 293 315 0 707 140

1 06 200 8 73

, ,

, ,

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cimiento de las ventas, el precio del riesgo de mercado de las ventas y la variable tiem-po. En total once parmetros en distintas composiciones.

ANLISIS DE LA EMPRESA TERRA:

I. Resultado de la matriz tipo de inters/dotaciones a la amortizacin.

Dotacionesamortizacin /activos amortizables.Aplicado comoporcentaje a lasventas

SGA

Tipo de inters

COGS

II. Resultado de la matriz COGs/SGAs.

Tasa a largo plazode crecimiento

Porcentaje demarketing sobrelas ventas

III. Resultado de la matriz Mrketing/Tasa a largo plazo de crecimiento de lasventas.


VII. Resultado de la matriz del precio del riesgo de mercado para la tasa espera-da de crecimiento de las ventas/Precio del riesgo de mercado de las ventas.

Precio del riesgode mercadode las ventas

Precio del riesgo demercado para latasa esperada decrecimientode las ventas

V. Resultado de la matriz Volatilidad a largo plazo de la tasa de crecimiento delas ventas/Tasa a largo plazo de crecimiento de las ventas.

VI. Resultado de la matriz velocidad de ajuste para la volatilidad del proceso deventas/Velocidad de ajuste para la volatilidad de la tasa de crecimientodel proceso.

Velocidad de ajustepara la volatilidadde la tasa decrecimiento delproceso

Velocidad de ajustepara la volatilidaddel procesode ventas

Tasa a largo plazode crecimientode las ventas

Volatilidad a largoplazo para tasade crecimiento

de ventas

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de las ventas

IV. Resultado de la matriz Volatilidad inicial de las ventas/Tasa inicial esperadade crecimiento de las ventas.

Tasa inicial esperadade crecimientode las ventas

Volatilidad inicialde las ventas

VIII. Resultado de la matriz tiempo/tipo de inters.

Tipo de inters

Tiempo entrimestres


IX. Resultado de la matriz tiempo/Tasa a largo plazo de crecimiento de lasventas.

X. Resultado de la matriz tiempo/Volatilidad a largo plazo de la tasa de creci-miento de las ventas.

ANLISIS DE LA EMPRESA TISCALI:I. Resultado de la matriz tipo de inters/dotaciones a la amortizacin.


Tiempo entrimestres

Volatilidad a largoplazo de la tasa decrecimiento de lasventas

Tiempo entrimestres

Dotacionesamortizacin/activosamortizables.Aplicado comoporcentaje a lasventas

Tipo de inters

COGS



Velocidad de ajustepara la volatilidadde la tasa decrecimientodel proceso

Velocidad de ajustepara la volatilidaddel proceso deventas

VI. Resultado de la matriz velocidad de ajuste para la volatilidad del proceso deventas/Velocidad de ajuste para la volatilidad de la tasa de crecimiento delproceso.




Volatilidad a largoplazo la tasa decrecimientode ventas



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SGA




VII. Resultado de la matriz del precio del riesgo de mercado para la tasa espera-da de crecimiento de las ventas/Precio del riesgo de mercado de las ventas.

Precio del riesgode mercadode las ventas

Precio del riesgode mercado para latasa esperadade crecimientode las ventas


VIII. Resultado de la matriz tiempo/tipo de inters.

IX. Resultado de la matriz tiempo/Tasa a largo plazo de crecimiento de lasventas.


Tiempo entrimestres

Tipo de inters

Tiempo entrimestres

Volatilidad a largoplazo de la tasade crecimientode las ventas

Tiempo entrimestres

X. Resultado de la matriz tiempo/Volatilidad a largo plazo de la tasa de creci-miento de las ventas.









SGA

COGS


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ANLISIS DE LA EMPRESA T-ONLINE:

I. Resultado de la matriz tipo de inters/dotaciones a la amortizacin.

Dotacionesamortizacin/activosamor

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