Introduccin al Muestreo Minero por Marco Antonio Alfaro Sironvalle Santiago, Chile, 2002

Instituto de Ingenieros de Minas de Chile. Encomenderos 260, Of. 31. Tel (56-2) 2461615, Fax 2466387. E-Mail: instituto@iim ch.cl Web: http://www.iimch.cl Santiago, Chile, 2002. Es Propiedad. Prohibida la reproduccin parcial o total sin autorizacin del autor. 1

Preface Is there a single important decision made on a mining project that is no t in a way or another, directly or indirectly based on some kind of assayed grad e, or in other terms on a mineral sample? And who, in the end, is responsible fo r the devastating consequences of taking bad samples? It clearly is a subject of utmost importance that Dr. Marco Alfaro has decided to bring to his audience in this simple, yet fundamental leaflet, which is directed not only to technical p rofessionals of the mining industry, but also to those who manage them and bear the ultimate responsibility for the results and consequences of mineral sampling . In this piece of work, Dr. Alfaro genuinely makes justice to the simplicity of sampling theory, and to the many services it renders and has rendered the indus try over several decades of applications. Like in many a discipline, however, th ere is Sampling and Sampling, good and poor applications, enlightenment and ignora nce, science and witchcraft. Practical implementations have kept improving, but have also suffered through many avatars, not all consistent with its eminently s cientific approach. Erroneous sampling equipment and experimental procedures, in correct application models and formulae, based on a highly commercial but appall ingly arbitrary modus operandi, have made their way into our service and equipme nt markets, and are currently offered to the non-discerning professional. The ut most critical sense and prudence must be exercised. It is to Dr. Alfaros credit t o have presented in a simple and short publication all the tools that will help the professional of the industry, as well as the managers and directors who are committed to the success of mining projects, tell the good from the bad, and not fall prey to imitation sampling theory which plagues our plants, our mines, and e ven some of our consultants calculations. As active devotees to the future and gro wth of genuine sampling theory, we feel indebted to Dr. Alfaro and thank him ver y much for this commendable effort. Pierre Gy & Dominique Francois-Bongarcon Sam pling Associates 2

Prlogo Estimado lector, he decidido publicar en el lenguaje ms simple posible una introduccin a la Teora del Muestreo Minero, para ello, basado en mi experiencia do cente, he considerado fundamental incluir el mximo de grficos. En algunas ocasione s el material presentado corresponde a minas conocidas, he omitido sus nombres, por razones de discrecin minera. Agradezco sinceramente la ayuda, consejos y apoy o de los Doctores Pierre Gy y Dominique Francois-Bongarcon. Agradezco tambin a An a Mara por su apoyo y consejos. Estimado lector, agradecer contactarme ante cualqu ier duda, comentario o sugerencia. Juntos mejoraremos futuras ediciones del libr o. Marco Antonio Alfaro Enero, 2002. A Ana Mara, Marco y Sebastin. 3

TEMARIO. I. Introduccin e Importancia del muestreo de minerales. II. Conceptos im portantes en Teora del Muestreo. Problema principal. III. El Muestreo Estadstico. Ecuaciones. IV. Consideraciones prcticas para el muestreo de minerales. V. Muestr eo de flujos de minerales en movimiento. VI. Tipos especiales de muestreo minero . VII. El Error Fundamental del Muestreo. Teora de Pierre Gy. VIII. Bibliografa. A nexo 1. Tabla de nmeros aleatorios. Anexo 2. El Profesor Pierre Maurice Gy. Anexo 3. Sesgos generados por muestreo y anlisis. Anexo 4. Ejemplos de errores de mues treo importantes. Anexo 5. Porqu los errores aleatorios son gaussianos? 5 8 14 18 40 49 64 74 75 76 77 78 79 4

I. Introduccin e Importancia del muestreo de minerales. Definiciones. Segn el Dicc ionario de la Lengua espaola: Muestra es una parte porcin extrada de un conjunto po r mtodos que permiten considerarla como representativa del mismo. Muestreo es la accin de recoger muestras representativas de la calidad condiciones medias de un todo la tcnica empleada en esta seleccin la seleccin de una pequea parte estadstic nte determinada para inferir el valor de una varias caractersticas del conjunto. Poblacin lote: es el conjunto completo de observaciones que deseamos estudiar. El muestreo estadstico es diferente del muestreo de minerales: En el muestreo estads tico, el lote poblacin est compuesto por objetos de igual peso. En el muestreo de minerales, el lote est compuesto de objetos de diferentes pesos. Figura I.1: Muestreo estadstico y muestreo de minerales. El muestreo de minerales. Importancia: Casi todas las decisiones que se hacen re specto de un Proyecto Minero, desde la exploracin hasta el cierre de la mina, estn basadas en valores obtenidos de material muestreado. Estas decisiones significa n millones de dlares. Ejemplo: Pozos de tronadura en una mina a cielo abierto: En un pozo de tronadura el material acumulado (detritus de la perforacin) puede ser enorme, lo que obliga a tomar una muestra. Sea un depsito minero, con densidad d e 2.5 ton/m3 en una malla de perforacin de 10m*10m, con altura de 5

banco de 15m., con dimetro de perforacin igual a 25cm. La cantidad de material acu mulado, en toneladas, es: Figura I.2: pozo de tiro. Tons = d 2 h / 4 = 3.14 * 0.252 *15* 2.5 / 4 = 1.8 tonela as Figura I.3: Malla e pozos e trona ura. Tratemos e encontrar ahora el valor econmico que representa una ecisin basa a en una muestra e un pozo, para ello calculemos el tonelaje que representa una mue stra, asumien o un rea e influencia igual a la malla e perforacin (figura I.3), expresan o el tonelaje en libras (se utiliza un factor e 2,204) y en onzas (se utiliza un factor e 32,150.75): Tonelaje = 10*10*15*2.5 = 3,750 tonela as = 3,7 50*2,204 = 8,265,000 libras = 3,750*32,150.75 = 120,565,312 onzas a) Caso e un epsito e cobre e 1% CuT (con un precio e 0.70 US$/libra):

6

Valor ecisin = US$ 57,855. b) Caso e un epsito e oro e 2 gr/ton (con un preci o e 300 US$/onza): Valor ecisin = US$ 72,339. El valor e la ecisin epen e el precio e los metales, pero a menu o es mucho ms e lo que se piensa! En una mina a cielo abierto, la ley e un pozo e trona ura es fun amental para la planific acin e corto plazo: este valor eci e, e una u otra manera, el estino e los m ateriales (planta, stock o bota ero). 7

II. Conceptos importantes en Teora el Muestreo. Problema principal. La figura II .1 resume el problema principal el muestreo: estimar la me ia e una poblacin (c on N elementos) lote ( e tamao ML) a partir e una muestra ( e tamao n MS): Figura II.1(a): El problema principal el muestreo. En general, el muestreo exhaustivo, es ecir tomar los N atos la masa total ML (llama o a veces censo) es muy ifcil y e alto costo. En Esta os Uni os, los mue streos e gobierno toman muestras e 105,000 personas, es ecir 1 persona ca a 1 ,240 personas. Figura II.1(b): Muestreo e minerales quebra os. 8

II.1. Etapas e un muestreo. En to o muestreo, ebe estar bien estableci o lo si guiente: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Objetivo el muestreo. Poblacin a muestrear Datos a re colectar Manera e recolectar los atos Gra o e precisin esea o Mto o e me i a. Para cumplir bien con la efinicin inicial e muestreo, se ebe cumplir el hecho siguiente, e vital importancia: El muestreo ebe ser equiprobable En el caso e los minerales: el muestreo e un lote ML compuesto e N fragmentos es equiprobable cuan o to as las combinaciones e n fragmentos tienen la misma probabili a e ser elegi os para la constitucin e la muestra (MS es la muestra con n fragmentos). Segn Pierre Gy, crea or e la teora mo erna el muestreo e min erales, cuan o la con icin e equiprobabili a no se cumple, se tiene ms bien un es pcimen (un ejemplar) en vez e una muestra. La figura II.2 muestra un ejemplo e e spcimen, las extracciones se basan en la hiptesis no realista y peligrosa e homog enei a . Figura II.2: El opera or toma incrementos e la parte ms accesible el lote. La s uma e los incrementos constituye un espcimen. 9

En el muestreo esta stico, la efinicin e muestra equiprobable es anloga a la ante rior. Ejemplos e muestreos que no son equiprobables: a) Los muestreos e carros e marinas en minera, por lo general, no son equiprobables, porque se est obliga o a tomar una muestra superficial. b) En muestreo esta stico, tomar voluntarios c onstituye un muestreo no equiprobable (ejemplo: test e roga ictos). II.2. Tipo s e Muestreo. Los principales tipos e muestreo son los siguientes: Muestreo al eatorio simple. Consiste en la seleccin e n fragmentos uni a es el lote ML e m o o que to as las muestras posibles e tamao n tengan la misma probabili a e se r elegi as. Ejemplo: En una mina hay 100 cto os e cobre (numera os) para anlisis. Se sortean (con una tabla e nmeros aleatorios) 5 cto os y se envan para anlisis al laboratorio .Se analiza Cu, O, S, Cl, Pb, Zn, Ni, Mn, Fe, Ag, As, Sb, Se, Te, B i, Sn, etc. (ver figura IV.8). Muestreo sistemtico. En este caso las extracciones e las muestras son etermina as segn una regla fija. Ejemplos: Tomar canaletas en una galera ca a 2 metros. En una cinta transporta ora, tomar una muestra ca a 10 minutos. Muestreo estratifica o. El lote ML se ivi e en partes o estratos qu e no se solapan entre s. Ca a estrato es muestrea o posteriormente segn los proce imientos anteriores. 10

Figura II.3: El muestreo estratifica o. Ejemplo: En las figuras II.4 se tiene un experimento e muestreo estratifica o e n un epsito e yo o. Se realizaron son ajes, e 2 metros e profun i a los cual es proporcionaron las leyes z1, z2, z3, ... Luego el material ML e la zanja e 5m*2m*1m se re ujo a la muestra MS consi eran o os estratos (material fino y ma terial grueso). El muestreo fue manual y la proporcin finos/gruesos se etermin vis ualmente. Los resulta os e la muestras y1, y2, y3, ... (ver Tabla 1) in ican la presencia e un sesgo o error sistemtico ( atos en ppm.). Figura II.4(a): Bloques e 1m*5m*2m. Figura II.4(b): Generacin visual 11

e la muestra MS.

Zanja 1 2 3 4 5 6 II.3. Exactitu y Precisin. Tabla 1 Ley son aje Zi 520 630 600 550 580 550 Ley muestra Yi 830 1050 1100 910 820 860 En teora el muestreo e minerales se utilizan las nociones e exactitu y precis in. La figura II.5 clarifica estos conceptos. En trminos esta sticos estos concepto s correspon en respectivamente a la me ia, la cual ebe ser insesga a (exactitu ) y a la varianza el error, la cual ebe ser pequea (precisin) Figura II.5: a) Exactitu sin precisin. b) Precisin sin exactitu . c) Exactitu y precisin. ) Ninguno. En resumen: 12

Exactitu Me ia Precisin Varianza La me ia ebe ser insesga a (sin esviacin sistemt ica) y la varianza ebe ser pequea. Ejemplo: Sea ML una poblacin o lote con 4 atos y MS una muestra e 2 observaciones el lote: ML = { x1, x2 , x3, x4} MS = {a1, a2} N=4 n=2 Las muestras posibles y las me ias muestrales correspon ientes son: {x1, x2} {x1 , x3} {x1, x4} {x2, x3} {x2, x4} {x3, x4} m1 = (x1 + x2 ) / 2 m2 = (x1 + x3 ) / 2 m3 = (x1 + x4 ) / 2 m4 = (x2 + x3 ) / 2 m5 = (x2 + x4 ) / 2 m6 = (x3 + x4 ) / 2 La me ia el lote es (observar que en nuestro caso minero nos interesa en genera l el muestreo sin reemplazamiento): m0 = (x1 + x2 + x3 + x4 ) / 4 y la me ia e las muestras (posibles) es: m*=(m1+m2+m3+m4+m5+m6) / 6 se observa entonces que: m 0 = m* Se ice que la me ia e la muestra ( e 2 observaciones) m=(xi+xj)/2 es un estima or insesga o e la me ia el lote m0=(x1+x2+x3+x4)/4. La propie a e isponer e un estima or insesga o se cumplir cuan o la muestra sea equiprobable. En la prctica, cuan o sea posible, siempre se eben utilizar estima ores insesga os (la experiencia muestra que no existe na a ms complejo que corregir sesgos). 13

III. El Muestreo Esta stico. Ecuaciones. Figura III.1: Dispositivo para experimentos e muestreo. Sirve para e las frmulas e muestreo funcionan.

Estu iaremos a continuacin las frmulas el muestreo esta stico las cuales constituy en una excelente intro uccin a las frmulas el muestreo e minerales. III.1. Formu las el muestreo aleatorio. Sea ML = { x1, x2, x3,... xN } MS = { a1, a2, a3,... an } (se supone que los ai correspon en a una eleccin al azar, sin reemplazar e los xi). m*= (a1 + a2 + a3 +... + an ) / n es un estima or insesga o e: m0= (x 1 + x2 + x3 +... + xN ) / N por otra parte hay que calcular la varianza e la mu estra, segn la formula siguiente: s2 = [ (a1-m*)2 +(a2-m*)2 +(a3-m*)2 + ... +(anm*)2 ] / (n - 1) Se pue e emostrar que la varianza S2 = Var(m*) el error e mu estreo est a a por: S2 = s2 ( 1/n 1/N ) (n4 M Figura V.3: El iseo el corta or ebe consi erar los choques to e rebote. Figura V.4. Un corta or 41 e la partcula. Efec

e flujo e minerales. Existen varios tipos.

Figura V.5: Muestrea or rotatorio. Figura V.6: Muestrea or Figura V.7: Muestrea or 42 e ca ena y tacho. e brazo. Pro uce, en general, malos resulta os.

Figura V.8: Muestrea or

e martillo. Pro uce, en general, malos resulta os.

Figura V.9. Muestrea or rotativo. 43

Figura V.10: Otro iseo e muestrea or rotativo. En este caso el flujo gira. Pro uce, en general, malos resulta os. Cuan o se corta el flujo e una cinta transporta ora, hay que consi erar las sit uaciones e las figuras V.11 y V.12. Figura V.11. Corte e muestras en cintas transporta oras. 44

Figura V.12. Corte

e un flujo e mineral. Vista

Para trayectorias circulares es conveniente utilizar un corta or rotatorio o Vez in, el cual pue e operar en forma continua o iscontinua. Segn Pierre Gy, 1999, e s el nico mto o equiprobable para este tipo e flujos (figura V.13) Figura V.13: Corta or Vezin. Vista e arriba. 45

e arriba.

V.2. Ejercicios y complementos. 1. El ivisor e aletas. Este ispositivo es incorrecto porque en la muestra se tiene ms material e un la o el flujo (figura V.14). Figura V.14. El ivisor e aletas. 2. Explicar porqu es malo el sistema e muestr eo e minero uctos e la figura V.15. Figura V.15: Muestreo en un minero ucto. Se pue e mejorar? 3. Entre los siguientes casos para un Vezin, con flujo circular (figura V.16), s olo uno e los iseos siguientes es correcto. Cual? 46

Figura V.16. Diseos correcto e incorrectos. 4. El muestrea or siguiente tambin es incorrecto (figura V.17): Figura V.17: Una variacin (figura V.18)? Figura V.18: Corta or 47 el ivisor e aletas. 5. Qu le parece el iseo siguiente

e muestras.

6. Porqu es incorrecto el Vezin e figura V.19? Figura V.19: Vezin incorrecto. a = vista lateral. b = vista

7. Divisin e un lote en os muestras potenciales A y B. Cmo seleccionar la muestra potencial A o B? Aplicar al caso en que se tienen 5 muestras potenciales S1, S2 ,..., S5. Figura V.20. Muestra potencial A o B?. 48

e arriba.

VI. Tipos especiales e muestreo minero. Estu iaremos a continuacin algunos tipos especiales e muestreo, e gran utilizacin en minera. VI.1. Muestreo e canaletas . Las figuras siguientes muestran lo ifcil que es realizar un buen muestreo e c analetas o canales. Figura VI.1: Es ifcil perativa. elimitar bien la muestra en una canaleta. No hay solucin o

Figura VI.2: Canaleta bien muestrea a. 49

Otros factores que afectan la cali a e la muestra e canal seran los siguientes : a) Por lo general son manuales y el opera or corta (en forma consciente incons ciente) las partes ms blan as e la pare partes que tienen una caracterstica comn (color), etc. b) En ciertas minas las leyes altas se encuentran en fracturas. Al construir las galeras, las pare es e stas correspon en en forma natural a caras e fracturas. En la gran mayora e las minas que utilizan canaletas, se ha compro ba o que existe un sesgo, al comparar las leyes e las canaletas con las leyes e los son ajes prximos. En algunas minas subterrneas se ha aban ona o el muestreo por canaletas. En otras se utiliza como alternativa perforaciones e poca profun i a . Figura VI.3: Perforaciones para reemplazar canaletas.

VI.2. Muestreo en minas e calizas subterrneas. En ciertas minas e calizas subte rrneas se utilizaban mto os e muestreo no equiprobables tal como muestran las fig uras anexas: a) b) c) ) El capta or no es perpen icular al flujo. El capta or n o es ra ial. La re uccin e la muestra es manual. Las muestras se intro ucen en u n gran cilin ro plstico y se hace un nu o para ca a metro e perforacin. Se compro b que esta operacin contaminaba las muestras. 50

Figura VI.4: El corte e muestra no es perpen icular al flujo. Figura VI.5: El capta or no es ra ial, luego no es equiprobable. Figura VI.6: Contaminacin entre muestras e caliza. Las minas e caliza tienen, es e el punto e vista el muestreo, una ventaja: s us leyes son altas (sobre 65%). Una ley alta es favorable en lo que respecta al error e muestreo (tal como veremos ms a elante). Una ley baja, por ejemplo e or o (en gr/ton, es ecir ppm.), es esfavorable. VI.3. Muestreos e carros mineros . Camiones. El muestreo e carros mineros y el muestreo e camiones mineros (fig ura VI.7) no es equiprobable ebi o a que obligatoriamente la muestra es superfi cial. 51

Figura VI.7: Es casi imposible tener una muestra equiprobable e un carro o camin minero.

Figura VI.8: Muestreo en un punto e extraccin. Para mejorar la situacin existen soluciones e alto costo. Una e ellas es constr ur un scoop muestra or el cual tiene incorpora o un chanca or. La otra, aplicable al caso e marinas, es utilizar una torre e muestreo (figura VI.9) y enviar el avance completo a la torre. Algunos autores consi eran que isponer e una buen a torre e muestreo constituye un seguro e vi a para la mina. 52

VI.4. Muestreo en puntos e extraccin. Marinas. El muestreo en puntos , por ejemplo en una mina explota a por block-caving, es ifcil, ebi superficial a ems e no ser equiprobable ebi o a la gran varie a e punto (a veces existen bolones e gran imetro). Lo mismo ocurre con s e marinas.

e extraccin o a que es tamaos en el las muestra

Figura VI.9: Una torre 53

e muestreo.

VI.5. El muestreo e hoyos e trona ura. En la figura VI.10 aparece un esquema e un hoyo e trona ura y uno e los mto os para tomar una muestra el cono: el tubo muestrea or (figura VI.11). Figura VI.10. Pozo e trona ura Figura VI.11: El tubo muestrea or. Figura VI.12: Forma e tomar la muestra e incrementos

el tubo.

En algunos casos el material acumula o en el cono pue e ser el or en e una ton ela a. Es imprescin ible entonces tomar una muestra e unos cuantos kilos. En la figura VI.13 se emuestra con un ejemplo hipottico que si se utiliza un capta or e etritus, su iseo ebe ser ra ial. Un corte en el cono proporciona un crculo e ra io 2r. Si suponemos, por ejemplo, que los gruesos estn en un crculo concntric o e ra io r y los finos en el exterior, entonces la proporcin real e finos/grue sos es e 3:1. En este ejemplo, un capta or rectangular entrega una proporcin e finos/gruesos e aproxima amente 1:1.

54

Figura VI.13: Comparacin entre capta or ra ial y no ra ial. En la figura VI.14 se emuestra con un ejemplo hipottico que el tubo e muestreo no es equiprobable. Asumien o un ngulo e reposo e 45 gra os, se tiene una propo rcin real e finos/gruesos e 7:1, mientras que el tubo entrega una proporcin e a proxima amente 1:1. Figura VI.14: Esquema para probar que el tubo no es equiprobable. Se concluye entonces que uno e los mejores mto os prcticos ebera ser un capta or ra ial. Sin embargo esta solucin es muy ifcil e implementar en minas gran es, e bi o a la gran canti a e material que cae en el capta or. Por esta razn, en min as gran es, se utiliza an el mto o el tubo muestrea or. El tubo presenta otros pr oblemas ebi o a que, en algunas minas, en el invierno, no se pue e utilizar (se congela el cono) y existe muestreo e verano (realiza o con un tubo) iferente el muestreo el invierno (realiza o con una pala). Otro problema asocia o es qu e a veces se remueve, en forma emprica la pasa ura en la superficie el cono. 55

Ejemplos e capta ores. Hace unos aos, el autor e este libro realiz una encuesta en minas chilenas, obtenien o los iseos, con sus imensiones correspon ientes. S e conocen como el cajn, el mol e y la cua. Figura VI.15: El cajn capta or e muestra. No es ra ial.

Figura VI.16: El mol e capta or e muestra. No es ra ial. 56

Figura VI.17: La cua capta ora e muestra. Es ra ial. En ciertas minas se pone un a cuer a para retirar el ispositivo al llegar a la pasa ura.

Figura VI.18: curva granulomtrica finos que el lote.

e la muestra y el lote. La muestra tiene menos

Se comprob a ems que la ley el lote era iferente e la ley e la muestra. Se com prob tambin que la ley e los finos es superior a la ley e los gruesos, tal como muestra la figura VI.19. 57

Resulta os para el cajn. El autor realiz experiencias, os, con el cajn, toman o en 40 hoyos la muestra total (la en un local cerra o para mayor confiabili a ) y la muestra rva que las granulometras e la muestra y el lote no son

en una mina, en la zona e xi cual se re ujo y prepar el capta or. Se obse iguales (figura VI.18).

Figura VI.19: La ley esos.

e los finos es significativamente superior a la e los gru

Figura VI.20: El capta or

e lo os en minera subterrnea.

VI.7. Conclusiones. Los ejemplos analiza os muestran que en minera es muy ifcil o btener una muestra equiprobable a un costo y con iciones operacionales razonable s. Cuan o por efinicin la muestra no cumple con la con icin e equiprobabili a 58

VI.6. El capta or e lo os. s con agua y la muestra es e ena, pro ucien o una muestra que el muestreo e lo os pro

Se utiliza en algunas minas subterrneas. La perforacin e lo o o barro. La recuperacin, por lo general no es bu e u osa cali a . En varias minas se ha comproba o uce sesgos.

59

(espcimen), se eben hacer estu ios acerca e la existencia e sesgos y el posibl e cambio el sistema. Mencionemos a ems que es fcil emostrar que un ispositivo e muestreo es incorrecto pero es muy ifcil emostrar que un cierto ispositivo e s correcto.

VI.8. Ejercicios y complementos. 1. A continuacin se presenta como se muestrean los hoyos e trona ura en minas no rteamericanas (Cana y USA). Cules proporcionan especimenes? Figura VI.21. Mina 1. Figura VI.22: Mina 2. 60

Figura VI.23: Mina 3. Figura VI.24: Mina 4. Una variacin el tubo. 61

Figura VI.25. Mina 5. 3. Qu le parece el equipo e muestreo siguiente, correspon i ente a una mina espaola? Figura VI.26. Equipo e muestreo e pozos e tiro. 4. Para muestrear pozos e ma nera automtica, existen inventos (ra iales) que se ponen en la plataforma e la p erfora ora. Comentarios. Figura VI.27. Muestrea or automtico. A y B son puertas que se abren y cierran. 62

5. El conocimiento geolgico el epsito es fun amental para etectar errores en el muestreo. Ejemplo: en una mina e xi os e cobre es importante la ley e carbona to CaCO3. En una cierta mina se etect que haba valores anmalos que no correspon an con los valores normales entro e una uni a geolgica. Se comprob que el problema estaba en la perforacin e los pozos: la muestra se contaminaba con aceite (el c ual contiene carbono). 6. Comprobacin que la ley e los finos es mayor que la e los gruesos. En una mina e xi os e cobre se tom como muestra el pozo completo so bre una altura e banco e 10m. Se utilizaron harneros y tamices para separar lo s iferentes tamaos (en una muestra el or en e 700K). La tabla 2 resume los res ulta os para el cobre total y el carbonato (100# = 0.149mm) Tabla 2 Granulometra CuT en % % 4.5 0.25 7.7 0.30 7.8 0.30 30.6 0.34 19.6 0.48 14.3 0.58 5.2 0.70 10. 3 3.24 100.0 0.71 Fraccin 3/8 1/4 4# 14# 35# 100# 150# -150# Total CaCO3 % 0.31 0.24 0.24 0.24 0.33 0.36 0.46 2.40 0.51 Se observa entonces que es fun amental que una muestra respete la granulometra e l lote, luego ebe ser equiprobable. Qu pasara si usara una porua con hoyos (figura IV.2)? 7. Muestreo e marinas. Se utiliza en minera subterrnea. En la pila e la t rona ura esponja a se pone un cor n (real o imaginario) y se toman incrementos en los puntos e la figura VI.28. Est bien elimita a la muestra? Figura VI.28: Muestreo 63 e marinas. Mto o el cor n.

VII. El Error Fun amental el Muestreo. Teora e Pierre Gy. Antes e estu iar la teora e Pierre Gy, veremos un experimento isea o por Dominique Francois-Bongarco n: VII.1. Un experimento e muestreo. Este experimento se pue e realizar fcilment e y consiste en lo siguiente: En un recipiente se ponen 20 kilos e arroz, los c uales correspon en aproxima amente a 1,000,000 e granos. Se toman 10 granos, se pintan e color rojo, se intro ucen en el recipiente y se revuelve (observamos que lo anterior correspon e a un lote que po ra ser e oro con una ley alta e 10 g r/ton; a ems est libera o). Figura VII.1. Un experimento e muestreo. Luego, con una pala a ecua a se toma una muestra e unos 250 gramos. La experien cia se repite un cierto nmero e veces. Se observa en este experimento: 1. Que es complica o tomar muestras en el caso e leyes bajas (10 ppm.). Cuan o la ley es ms alta, por ejemplo pintar 10,000 granos (caso e una ley e cobre e 1%), la s ituacin es ms favorable. 2. En ca a repeticin resulta una ley (granos rojos/total e granos) iferente, a pesar e que la muestra es equiprobable. 3. Las iferenci as entre las leyes observa as y la ley real e 10 ppm. correspon en al error e muestreo, el cual se llama error fun amental el muestreo. Este error es inevita ble en las con iciones el enuncia o y no se pue e re ucir. 4. La me ia e las iferencias anteriores es nula, ebi o a que la muestra es equiprobable. 5. La va rianza e las iferencias se llama varianza el error fun amental el muestreo. 64

6. El experimento se pue e enriquecer al reemplazar los 10 granos rojos por 10 g ranos e metal (efecto e segregacin). Se comprueba que la varianza el error fun amental aumenta. 7. Se comprueba a ems que, si hay segregacin, una manera e re u cir la varianza el error fun amental es realizan o incrementos, es ecir tomar, por ejemplo, 5 submuestras e 50 gramos para constituir la muestra primaria. Es te experimento, muy instructivo, se pue e enriquecer an ms al utilizar una mezcla e porotos, lentejas y garbanzos... VII.2. La formula e Pierre Gy. La formula e Pierre Gy proporciona, en el caso e material quebra o, la varianza relativa el error fun amental el muestreo (la varianza relativa correspon e a la varianz a el error fun amental ivi i a por la ley me ia el lote eleva a al cua ra o, luego es una varianza sin imensin). La Teora fue esarrolla a por el Dr. Pierre G y, Ingeniero Civil Qumico francs (ver Anexo 2). Antes e presentar la frmula e Gy, es necesario hacer una observacin: se trata e una frmula aproxima a cuya emostr acin es ifcil. En la figura VI.2 se pue e ver un extracto e la emostracin, reali za a por el geomatemtico francs Georges Matheron, la cual ocupa 11 hojas!). Figura VII.2. Extracto e la emostracin e la frmula e Gy, por Georges Matheron.

Esta frmula ha mostra o ebili a es en el caso 65

e minerales e baja ley (ppm.).

La frmula e Gy. La varianza relativa el error fun amental e muestreo est or: S2 = K 3 ( 1 / MS 1 / ML ) (VII.1)

(Observar la estrecha analoga entre esta frmula y la el muestreo aleatorio simple ). Significa o e los trminos e la frmula e Gy: ML MS = masa el lote en gramo s = masa e la muestra en gramos = imetro mximo e partculas en cm. (en la prctica se utiliza el valor 95 correspon iente al imetro que verifica que el 95% e los imetros son menores que 95) tambin se llama imetro nominal. La constante K (e n estricto rigor no es una constante) se mi e en gr/cm3 y tiene la expresin sigui ente: K=cgfl En que: c g f l = factor e composicin mineralgica (gr/cm3) = factor e istribucin e tamao (sin imensin) = factor e forma e las partculas (sin imen sin) = factor e liberacin (0 < l < 1, sin imensin ) Estu iaremos ahora, por separa o, los factores c, g, f, l. El factor e composic in mineralgica c. Tiene la expresin siguiente: c = ((1 aL) / aL )( (1 aL) g1 + aL g 2 ) valor aproxima amente igual a g1/aL si aL es pequeo.

66

a a p

aL g1 g2 = proporcin en peso el componente crtico o con valor comercial (mena) = peso espe cfico el componente crtico (mena) = peso especfico e la ganga El factor e istribucin e tamao g. Depen e e y e . Se utiliza lo siguiente: 2 < / < 4 1 < / < 2 / = 1 / > 4 g = 0.50 g = 0.75 g = 1.00 g = 0.25

es el imetro e las partculas mnimas, me i o en cms. (en la prctica se utiliza 05 ). El valor ms utiliza o es g=0.25 que correspon e a una situacin bastante general (el imetro e la partcula mxima es superior a 4 veces el imetro e la partcula mni a). El factor e forma e las partculas. Est efini o por: f = (volumen e la partc ula) / 3 Si se supone que las partculas son aproxima amente esfricas, entonces f = 3.14159 / 6 = 0.52. Se recomien a entonces utilizar el factor: f = 0.5 El fact or e liberacin l. Sean: l = tamao mximo e partcula = tamao e liberacin el comp nente crtico 67

Figura VII.3: El imetro e liberacin correspon e al imetro que hay que moler para que la mena se libere e la ganga. Se recomien a utilizar: l=1 l = ( l / )b si l > si l >4) Al aplicar la frmula se obtiene la varianza relativa: S2 = c g f l 3 ( 1 / MS 1 / M L ) = 1.128*10-5 2S = 0.007 = 0.7% Con un 95% e confianza el error relativo es el 0.7% (bastante bueno) Observacin: en la prctica se tiene que ML >> MS , luego, se pue e espreciar el termino 1/ ML y la frmula e Gy que a: S2 = c g f l 3 / MS Se pue e fijar el error esea o 2S (luego S es conoci o) para encontrar el ta mao mnimo e la muestra: MS = c g f l 3 / S2 VII.3. El Factor e Liberacin. Como i ntro uccin estu iemos un ejemplo: Se tiene una pila e 400 kilos, correspon iente a un hoyo e trona ura en una mina e oro. El imetro nominal e las partculas es = 1 cm El peso especfico el oro es 19 gr/cm3. El imetro e liberacin el oro e s e 10 micrones = 0.001 cm 95 = 1.0 f = 0.5 g = 0.25 c = g1/aL = 19,000,000 (s uponien o aL = 1gr/ton = 1*10-6) Sea: l = ( l / )0.5 = 0.0316. Formula errnea pu blica a por P. Gy, consi era a hoy a como arbitraria en casos particulares. Si S = 0.1, se obtiene un valor MS igual a: MS = 7.5 tonela as! El problema, escubi erto por el Dr. D. F. Bongarcon, ra ica en el factor e liberacin l, el cual se p ue e expresar ms generalmente como: 69

l = ( l / )b La eterminacin el coeficiente b requiere experimentos e muestreo y no pue e ser re uci a a la aplicacin e una formula arbitraria tal como l=( l/ )0.5 la cual no es soporta a ni por la teora ni por experimentos. En el caso el oro, se observa empricamente que a menu o b ~ 1.5; en el caso el cobre, b ~ 0.5 . Si aplicamos ahora la frmula e Gy, obtenemos: MS = 7.51 kilos Resulta o bastan te ms razonable que el anterior. VII.4. Los Protocolos e Muestreo. Las operacion es que conciernen al tratamiento e las muestras (chanca o, mezcla, re uccin, etc .) eben que ar claramente estableci as, es e un peso inicial Q ( e varios kilo s) hasta la muestra e laboratorio q ( e algunos gramos). Ejemplo: testigos en u na mina e oro: Figura VII.4. Testigo (izquier a) mto os para cortarlo ( erecha) a) b) c)

) e) f)

cortar el testigo por la mita = 6 cm, peso = 8 kilos moler 100% me iante chan ca or primario a un tamao e 1 cm re ucir la muestra a 4 kilos utilizan o riffle moler 100% me iante molino e ro illos a un tamao e 0.2 cm seleccionar, por me i o e riffle 400 gramos e mineral pulverizar los 400 gramos a 150#. En la figura VII.5 se tiene un protocolo bastante riguroso. 70

Figura VII.5: Protocolo e muestreo para mineral e oro. Las iferentes operaciones se pue en llevar a un grfico log-log (figura VII.6). L a operacin no ebe pasar la lnea e seguri a e Gy (ver ejercicio 3 siguiente). Figura VII.6: Grfico log-log. 71

VII.5. Ejercicios y complementos. 1. Otro ejemplo para comprobar que la formula l=( l/ )0.5 es errnea es el siguien te: Sean fragmentos iguales (g=1) cbicos e oro (f=1), g1=20. Se toma una muestra e 2000 gramos. Se esea una precisin S=0.01. Se pi e calcular el imetro e libe racin. Solucin: MSS2 2 Se obtiene l=10-12cm=0.0001Amstrong! Pero 1 tomo e oro = 1.5 Amstrong. 2. Bolon es en muestreo e canaletas. En las minas e oro en vetas se hacen canaletas y s e re uce la muestra por cuarteo manual. Cuan o el trabaja or encuentra un boln, l o parte con un combo y luego proce e a ivi ir la muestra. Explicar esta operacin basn ose en la formula e Gy. Figura VII.7: Re uccin el imetro mximo e la muestra antes e cuartear. Siempre c onviene re ucir el imetro nominal antes e ivi ir la muestra. 3. Probar que la formula e Gy se pue e escribir como: C 3b S = MS 2 Al tomar logaritmos, esta ecuacin se transforma en: log( S 2 ) = log(C ) + (3 b) log( d ) log( M S ) Sea x=log(S2), y=log(MS); entonces se tiene la ecuacin: 72 l = 3cfg

x + y = log(C ) + (3 b) log(d ) Que es la ecuacin de una recta de endiente 1 en coordenadas logartmicas (ver figur a VII.5). Las formulas anteriores se ueden rogramar fcilmente en un com utador. En el asado se utilizaba una regla de calculo, diseada or P. Gy. Figura VII.7: Sam ling slide rule, regla de calculo ara muestreo. 4. La formula de Gy coincide con la formula del muestreo estadstico cuando se tiene material l iberado. Consideremos la figura III.1. Se tienen N artculas esfricas de igual dime tro y de igual densidad. Su ongamos que K de estas artculas son de color negro. La ley del material negro es a=K/N. Su ongamos que se toma una muestra de n artc ulas del reci iente (K,n