Reglas indirectas

Clase 16Leonel Morales Díaz

litomd@ufm.eduleonel@ingenieriasimple.com

01/Septiembre/2014

Introducción de negación Se necesita demostrar que ~P

O bien concluir que ~P

Se puede asumir que P Y tratar de llegar a una

contradicción Usando las premisas

se llama Falsum o absurdo

Ejemplo (P Q) (P ~Q)

Asumiendo que P

Entonces Q Entonces ~Q Pero Q & ~Q es absurdo

Por tanto ~P

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Introducción de Negación

Diagrama de Fitch

El símbolo se llama Falsum También le llamaremos absurdo

1. (P Q) Premisa 2. (P ~Q) Premisa

3. P Se asume 4. Q E: 1, 3 5. ~Q E: 2, 3 6. I: 4, 5

7. ~P ~I: 6

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Introducción de Negación

En general: Introducción de absurdo

Introducción de negación

p1. φ p2. ~φ c. I: p1, p2

a1. φ Se asume … p1. c. ~φ ~I: p1

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Ejemplo ¿Guatemala está en África?

“Oh! Guatemala! Eso estar en África!” No, está en Centroamérica

El Salvador está en Centroamérica Guatemala y El Salvador son vecinos Si Guatemala está en África entonces

El Salvador también Por tanto, Guatemala no está en África

Codificación G = Guatemala está en África E = El Salvador está en Centroamérica V = Guatemala y El Salvador son

vecinos

PremisasEV ((G & ~E) v (~G & E))V

SupongamosG

Derivando:(G & ~E)~EE & ~E es Absurdo(~G & E)~G contradice suposición

Conclusión:~G

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EjemploPremisas

EV ((G & ~E) v (~G & E))V

SupongamosG

Derivando:(G & ~E)~EE & ~E es Absurdo(~G & E)~G contradice suposición

Conclusión:~G

1. E Premisa 2. V Premisa 3. (V ((G & ~E) v (~G & E))) Premisa 4. ((G & ~E) v (~G & E)) E: 3, 2

5. G A+ 6. (G & ~E) A+ 7. ~E &ER: 6 8. I: 1, 7 9. (~G & E) A+ 10. ~G &EL: 9 11. I: 5, 10 12. vE: 4, 8, 11

13. ~G ~I: 12

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Ejemplo

Conclusión sin premisas

De hecho:

1. (P & ~P) Se asume 2. P &EL: 1 3. ~P &ER: 1 4. I: 2, 3

5. ~(P & ~P) ~I: 4

1. (P & ~P) Premisa

2. X Se asume 3. P &EL: 1 4. ~P &ER: 1 5. I: 3, 4

6. ~X ~I: 5

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Contradicciones como premisas Si se acepta una contradicción como premisa

¡Cualquier cosa se puede concluir!

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Contradicciones como premisas Si se acepta una contradicción como premisa

¡Cualquier cosa se puede concluir!

Ejemplo: Profesor: Hay que hacer el lab #3 Profesor: No hay que hacer el lab #3 Alumno pilas: Entonces no hay examen Profesor y alumnos: ¿Por qué no hay examen? Alumno pilas:

Supongamos que hay examen Entonces hay que hacer el lab #3 Pero eso contradice indicación de que no hay que hacer lab #3 Por tanto no hay examen

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Contradicciones como premisas

No pueden aceptarse contradicciones como premisas Una contradicción es siempre falsa De premisas falsas se puede concluir cualquier cosa

1. (P & ~P) Premisa

2. X Se asume 3. P &EL: 1 4. ~P &ER: 1 5. I: 3, 4

6. ~X ~I: 5

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Eliminación de negación

Es la misma regla que la introducción Comparación:

Eliminación de negación

Introducción de negación

a1. ~ φ Se asume … p1. c. φ ~E: p1

a1. φ Se asume … p1. c. ~φ ~I: p1

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Pruebas por contradicción Introducción y eliminación de negación

Son pruebas por reducción al absurdo o pruebas por contradicción

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Pruebas por contradicción Introducción y eliminación de negación

Son pruebas por reducción al absurdo o pruebas por contradicción Ejemplos

Eliminación de negación

Introducción de negación

1. ((F & ~I) S) Premisa 2. ~S Premisa 3. F Premisa

4. ~I Se asume 5. (F & ~I) &I: 3, 4 6. S E: 1, 5 7. I: 6, 2

8. I ~E: 7

1. (P Q) Premisa 2. (P ~Q) Premisa

3. P Se asume 4. Q E: 1, 3 5. ~Q E: 2, 3 6. I: 4, 5

7. ~P ~I: 6